余数性质及同余定理(B级)
数论之同余问题
因为13903 13511 392,14589 13903 686,
由于13511,13903,14589要被同一个数除时,
余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整 除.（392,686） 98，所以所求的最大整数是98.
（2003年南京市少年数学智力冬令营试题）22003与
定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数
【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,
所以每198个数一次.
1〜198之间只有1,2,3，…，17,198（余0）
这18个数除以18及33所得的余数相同，
而999±198=5…•…9,所以共有5X18+9=99个
这样的数.
【巩固】（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余 数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除 以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位 数中最大数是多少，最小数是多少？
1998,2000,2003
2000,2003,2001,1995,1998,2000,2003,2001,1995.
［例4】（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整
数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之
和是50,那么这个整数是.
【解析】（70 110 160） 50 290,50 316……2,除数应当是290的大于
【解析】设这个三位数为s'它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n,则s 17a m 19b n.
根据题意可知a m b n,所以s am s b n，即16a 18b,得8a 9..所以a是9的倍数，b是8的倍数.此时,
由于s为三位数，最小为100,最大为999，所以
同余的概念与性质
同余的概念与性质同余：设m 是大于1的正整数，若用m 去除整数b a ,，所得余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，读作a 同余b 模m ；否则称a 与b 关于模m 不同余记作)(mod m b a ≠。
性质1：)(mod m b a ≡的充要条件是Z t mt b a ∈+=,，也即)(|b a m -。
性质2：同余关系满足下列规律：（1）自反律：对任何模m 都有)(mod m a a ≡；（2）对称律：若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；（3）传递律：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则若)(mod m c a ≡。
性质 3:若,,,2,1),(mod s i m b a i i =≡则).(mod ),(mod 21212121m b b b a a a m b b b a a a s s s s ≡+++≡++推论： 设k 是整数，n 是正整数，（1）若)(mod m c b a ≡+，则)(mod m b c a -≡。
（2）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a mk a ≡+；)(mod m bk ak ≡；)(mod m b a n n ≡。
性质4：设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则 ))(mod ()(m b f a f ≡。
性质5：若)(mod m bd ad ≡，且1),(=m d ，则)(mod m b a ≡。
性质6：若)(mod m b a ≡，且m d b d a d |,|,|，则)(mod d m d b d a ≡。
性质7：若)(mod m b a ≡，且m m |1，则)(mod 1m b a ≡。
性质8：若)(mod i m b a ≡，s i ,,2,1 =，则]),,,(mod[21s m m m b a ≡这里],,,[21s m m m 表示s m m m ,,,21 的最小公倍数。
同余的基本概念和性质
例3 说明 是否被641整除。
因此 0 (mod 641)，
即641 。
第一节 同余的基本性质
第一节 同余的基本性质
设式(4)对于n = k成立，则有 1 (mod 2k + 2) = 1 q2k + 2， 其中qZ，所以
=(1 q2k + 2)2=1 q 2k + 31(mod 2k + 3)， 其中q 是某个整数。这说明式(4)当n = k 1也成立。 由归纳法知式(4)对所有正整数n成立。
第一节 同余的基本性质
a2 1 (mod p) pa2 1 = (a 1)(a 1)，
证明 由
pa 1或pa 1，
所以必是
a 1或a 1 (mod p)。
例8 设p是素数，a是整数，则由a2 1(mod p)可以推出
即a 1 (mod p)或a 1 (mod p)。
解 因为792 = 8911，故 792n 8n，9n及11n。 我们有 8n 8 z = 6，
证明 留作习题。
定理5 下面的结论成立： (ⅰ) a b (mod m), dm, d>0 a b (mod d); (ⅱ) a b (mod m), k > 0, kN ak bk (mod mk)； (ⅲ) a b (mod mi )，1 i k a b (mod [m1, m2, , mk])； (ⅳ) a b (mod m) (a, m) = (b, m)； (ⅴ) ac bc(modm), (c, m) =1 a b (mod m).
定义1 给定正整数m，如果整数a与b之差被m整除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为 a b (mod m)， 此时也称b是a对模m的同余
小学奥数同余定理与剩余定理B提高版
同余定理与剩余定理B知识点拨一、同余定理1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711（）能被3整除．（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．⑴ 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；⑴ 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；⑴ 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；⑴ 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑴ 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑴ 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．二、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
数的性质 同余性 同余
若 ≡ ( 1 )， ≡ ( 2 )，
则 ≡ ( 1 ，2 )。
三、同余的运算性质
3.可约性
（1）若 ≡ ( )， , = 1，则 ≡ ( )
（2）若 ≡ ( )，则 ≡ ( )
（3）若 ≡ ( )，则 ≡ ( )
（4）若 ≡ ( )， , = ，则 ≡ (
)
四、欧拉函数
欧拉函数 ()是定义在正整数上的函数，()表示序列0，1，
2，...， − 1中与互质的整数的个数。
欧拉函数的计算公式：设 = 1 1 2 2 … … ，则
（3）传递性：
Hale Waihona Puke 若 ≡ ( )， ≡ ( )
则 ≡ ( )
三、同余的运算性质
1.可加性
若 ≡ ( )， ≡ ( )
则 + ≡ + ( )
推论
若 + ≡ ( )， ∈ ，
则 ≡ − ( )
() = (1
1
− )
1
(1 −
1
1
) … … (1 − )
2
欧拉定理：设是大于1的整数，（，） = 1，则
() ≡ 1( )
五、典型例题分析
【例1】已知今天是星期三，问1012 后的那一天是星期几？
解：10 ≡ 3( 7)；
1012 ≡ 312 ≡ 274 ≡ −1
三、同余的运算性质
2.可乘性
（1）若 ≡ ( )， ∈ ，则 ≡ ( )
（2）若 ≡ ( )， ≡ ( )，则 ≡ ( )
（3）若 ≡ ( )， ∈ ∗ ，则 ≡ ( )
（4）若 ≡ ( 1 )， ≡ ( 2 )， 1 , 2 = 1，
余数性质及同余定理(B级)
余数性质及同余定理知识框架一、余除法的定及性1.定：一般地，若是 a 是整数， b 是整数（ b≠0） ,若有 a÷b=q⋯⋯ r ，也就是 a＝b×q＋ r ,0≤r＜ b；我称上面的除法算式一个余除法算式。
里：(1)当 r 0 ：我称 a 可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或完好商(2)当 r 0 ：我称 a 不可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或不完好商一个圆满的余除法解模型 : 如是一堆，共有 a 本，个 a 就可以理解被除数，在要求依照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，打包后共打包了 c 捆，那么个 c 就是商，最后节余 d 本，个 d 就是余数。
个能学生清楚的理解余除法算式中 4 个量的关系。
并且可以看出余数必然要比除数小。
2.余数的性⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵ 余数小于除数．二、余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之和，或个和除以 c 的余数。
比方： 23，16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23+16＝ 39 除以 5 的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。
比方： 23，19 除以 5 的余数分是 3 和 4，所以 23+19＝ 42 除以 5 的余数等于3+4=7 除以 5 的余数22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之差。
比方： 23， 16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23－ 16＝7 除以 5 的余数等于2，两个余数差3－ 1＝2.当余数的差不减，上除数再减。
比方： 23，14 除以 5 的余数分是 3 和 4， 23－ 14＝ 9 除以 5 的余数等于4，两个余数差3＋ 5－4＝ 43.余数的乘法定理a 与b 的乘除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数的，也许个除以 c 所得的余数。
余数
余数、同余与周期一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：①自身性：a≡a(mod m)；②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；三、关于乘方的预备知识：①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
余数及其应用基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。
余数的性质：①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
余数、同余与周期
.
余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则a n≡b n(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则M A=M a×b=（M a）b
②若B=c+d则M B=M c+d=M c×M d
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的
和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则a p-1≡1(mod p)。
1 / 1'.。
同余运算及其基本性质
同余运算及其基本性质100除以7的余数是2，意思就是说把100个东西七个七个分成一组的话最后还剩2个。
余数有一个严格的定义：假如被除数是a，除数是b（假设它们均为正整数），那么我们总能够找到一个小于b的自然数r和一个整数m，使得a=bm+r。
这个r就是a除以b的余数，m被称作商。
我们经常用mod来表示取余，a除以b余r就写成a mod b = r。
如果两个数a和b之差能被m整除，那么我们就说a和b对模数m同余（关于m同余）。
比如，100-60除以8正好除尽，我们就说100和60对于模数8同余。
它的另一层含义就是说，100和60除以8的余数相同。
a和b对m同余，我们记作a≡b(mod m)。
比如，刚才的例子可以写成100≡60(mod 8)。
你会发现这种记号到处都在用，比如和数论相关的书中就经常把a mod 3 = 1写作a≡1(mod 3)。
之所以把同余当作一种运算，是因为同余满足运算的诸多性质。
比如，同余满足等价关系。
具体地说，它满足自反性（一个数永远和自己同余）、对称性（a和b同余，b和a也就同余）和传递性（a和b同余，b和c同余可以推出a和c同余）。
这三个性质都是显然的。
同余运算里还有稍微复杂一些的性质。
比如，同余运算和整数加减法一样满足“等量加等量，其和不变”。
小学我们就知道，等式两边可以同时加上一个相等的数。
例如，a=b可以推出a+100=b+100。
这样的性质在同余运算中也有：对于同一个模数m，如果a和b同余，x和y同余，那么a+x和b+y也同余。
在我看来，这个结论几乎是显然的。
当然，我们也可以严格证明这个定理。
这个定理对减法同样有效。
性质：如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则a+x≡b+y(mod m)。
证明：条件告诉我们，可以找到p和q使得a-mp = b-mq，也存在r和s使得x-mr = y-ms。
于是a-mp + x-mr = b-mq + y-ms，即a+x-m(p+r) = b+y-m(q+s)，这就告诉我们a+x和b+y除以m的余数相同。
余数三大定理
余数三大定理有余数的加法定理：a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c 的余数之和，或这个和除以c的余数。
余数的乘法定理：a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
同余定理：若两个整数
a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余。
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例：18，21除以5的余数分别是1和3，而18+21=39除以5的余数等于4，即是两个余数的和1+3.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c所得的余数。
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例：18，21除以5的余数分别是1和3，而18×21=378除以5的余数等于3，即是两个余数的积1×3.
当余数的积比除数大时，所求的余数等于两个余数的积再除以c所得的余数。
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a、b除以同一个数m，得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除。
例：18，33除以5的余数都是3，则33－18=15一定能被5整除。
论证：设除数为x，第一个商为m，余数为a，则第一个被除数为mx+a，设第二个商为n（n＜m），余数为a，则第二个被除数为nx+a，两个被除数的差为：（m－n）x，（m+n）x是x的倍数，所以，两个被除数的差一定能被x整除。
小学奥数模块教程同余
同余知识框架一、余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．二、同余定理1、定义整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）2、同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b （modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，……（奇数）；0，2，4，6，8，……（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，……1（mod6）：1，7，13，19，25，……2（mod6）：2，8，14，20，26，……3（mod6）：3，9，15，21，27，……4（mod6）：4，10，16，22，29，……5（mod6）：5，11，17，23，29，……例题精讲一、同余的性质【例1】有一个整数，除100、195所得的余数都是5，求这个数的可能值。
五年级奥数余数性质及同余定理(B级)
【巩固】带余除法的定义及性质 【巩固】 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
【巩固】 余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．【巩固】 余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝知识框架 余数性质及同余定理2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
小升初数学基础知识之余数、同余与周期知识点.doc
小升初数学基础知识之余数、同余与周期知识点小升初数学需要大家掌握很多数学知识点，为了加深大家对这些知识的掌握，下面为大家带来小升初数学基础知识之余数、同余与周期知识点，希望对大家复习小升初数学知识有帮助。
一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作ab(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：①自身性：aa(mod m);②对称性：若ab(mod m)，则ba(mod m);③传递性：若ab(mod m)，bc(mod m)，则a c(mod m);④和差性：若ab(mod m)，cd(mod m)，则a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m);⑤相乘性：若a b(mod m)，cd(mod m)，则ac bd(mod m);⑥乘方性：若ab(mod m)，则anbn(mod m);⑦同倍性：若a b(mod m)，整数c，则ac bc(mod mc);三、关于乘方的预备知识：①若A=ab，则MA=Mab=(Ma)b②若B=c+d则MB=Mc+d=McMd四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则Mn(mod 9)或(mod 3);②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M 的各个偶数数位上数字的和，则MY-X或M11-(X-Y)(mod 11);五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-11(mod p)。
为大家带来了小升初数学基础知识之余数、同余与周期知识点，希望大家能认真掌握这些内容，这样就能在考试的时候运用这些知识点解答问题，从而取得好的小升初数学成绩。
数论之余数三大定理
第十四章数论之余数三大定理概念一般地，如果a是整数，b是整数(b旳)若有a H b=q……r,也就是a 二b旳+ r, 0孕v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：⑴当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商三大余数定理1. 余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
2. 余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
3. 同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a M b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除用式子表示为：如果有aM) ( mod m )，那么一定有a-b = mk,k是整数，即m|(a—b)例题1. 用某自然数a去除1992，得到商是46,余数是r，求a和r。
2. 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
3. 一个两位数除310，余数是37,求这样的两位数。
4. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？5. 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？6. （真题）三个不同的自然数的和为2001,它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______ ，______ ， _____ 。
_7. 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是________ 。
余数及同余
余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a ＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b 整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m 同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.1三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b －d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.[答疑编号5721170101]【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.[答疑编号5721170102]2【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？[答疑编号5721170103]【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
六年级奥数知识讲解：余数、同余与周期
六年级奥数知识讲解：余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。
二、同余的*质：
①自身*：a≡a(modm)；
②对称*：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；
③传递*：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；
④和差*：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；
⑤相乘*：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；
⑥乘方*：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；
⑦同倍*:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若a=a×b，则ma=ma×b=（ma）b
②若b=c+d则mb=mc+d=mc×md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数m，n表示m的各个数位上数字的和，则m≡n(mod9)或（mod3）；
②一个自然数m，x表示m的各个奇数位上数字的和，y表示m 的各个偶数数位上数字的和，则m≡y-x或m≡11-（x-y）(mod11)；
五、费尔马小定理：
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。
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知识框架
一、带余除法的定义及性质
1.定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：
(1)当0
r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(2)当0
r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型:如图
这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2.余数的性质
⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；
⑵余数小于除数．
一、余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2
2.余数的加法定理
a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝
2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4
3.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.
乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．
二、同余定理
1、定义
整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）
2、同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；
〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）
〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；
〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）
〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；
〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）
其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"
注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：
〈1〉用2来将整数分类，分为两类：
1，3，5，7，9，……（奇数）；
0，2，4，6，8，……（偶数）
〈2〉用3来将整数分类，分为三类：
0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）
1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）
2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：
0（mod6）：0，6，12，18，24，……
1（mod6）：1，7，13，19，25，……
2（mod6）：2，8，14，20，26，……
3（mod6）：3，9，15，21，27，……
4（mod6）：4，10，16，22，29，……
5（mod6）：5，11，17，23，29，……
重难点
一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同。
同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．
例题精讲
【例1】两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．
【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？
【例2】有一个整数，用它去除73，112，165所得到的3个余数之和是60，那么这个整数是______。
【巩固】用自然数n去除65，94，129得到的三个余数之和为30，那么n=________．
【例 3】 求89
143除以7的余数．
【巩固】 2013"2"2222个除以13所得余数是？
【例 4】 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都
是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?
【巩固】 有三所学校，高中A 校比B 校多10人，B 校比C 校多10人．三校共有高中生2196人．有一所
学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A 校总人数是________人．
【例5】若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．
【巩固】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，2
a+，则这个自然数是多少？
a+，5
【例6】有这样一类2009位数，它们不含有数字0，任何相邻两位（按照原来的顺序）组成的两位数都有一个约数和20相差1，这样的2009位数共有________个．
【巩固】在两位数10，11，…，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变．问：经过这样改变之后，所有数的和是多少?
【例7】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？
【巩固】已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是1
a-，求该自然数的值．
a-，2a，31
【例8】已知n是正整数，规定!12
=⨯⨯⨯，
n n
令1!12!23!32007!2007
m=⨯+⨯+⨯++⨯，则整数m除以2008的余数为多少？
【巩固】已知n是正整数，规定!12
n n
=⨯⨯⨯，
令3!34!45!52012!2012
Q=⨯+⨯+⨯++⨯，则整数Q除以2013的余数为多少？
【例 9】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余
数，则这个自然数是多少？
【巩固】 两位自然数ab 与ba 除以7都余1，并且a b >，求ab ba ⨯．
【例 10】 设n 为正整数，2004n k =，k 被7除余数为2，k 被11除余数为3，求n 的最小值．
【巩固】 试求不大于100，且使374n n ++能被11整除的所有自然数n 的和．
课堂检测
【随练1】 2024除以一个两位数，余数是22．求出符合条件的所有的两位数．
【随练2】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
【随练3】
20032与22003的和除以7的余数是________．
【随练4】 从1，2，3，4，…，2007中取N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N 最大
为多少？
【随练5】
M 、N 为非零自然数，且20072008M N +被7整除。
M N +的最小值为 。
【随练6】 三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这
三个数是_______，_______，_______。
家庭作业
【作业1】一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？
【作业2】大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等？
【作业3】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【作业4】三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是。
【作业5】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
【作业6】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。
问修改后的这个数是几？
【作业7】有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第2013个数被3除所得的余数是多少？
【作业8】一个七位整数，其中任何3 个连续的数码都构成1 个三位数，且构成的三位数能被13 或11 整除，这个七位数最大是？
学习心得。