余数性质及同余定理(B级)

知识框架

一、带余除法的定义及性质

1.定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,

0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

(1)当0

r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

(2)当0

r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

一个完美的带余除法讲解模型:如图

这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。

2.余数的性质

⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；

⑵余数小于除数．

一、余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2

2.余数的加法定理

a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c 的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝

2.

当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4

3.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．

二、同余定理

1、定义

整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）

2、同余的重要性质及举例。

〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；

〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）

〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；

〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）

〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；

〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）

其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"

注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：

〈1〉用2来将整数分类，分为两类：

1，3，5，7，9，……（奇数）；

0，2，4，6，8，……（偶数）

〈2〉用3来将整数分类，分为三类：

0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）

1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）

2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）

〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：

0（mod6）：0，6，12，18，24，……

1（mod6）：1，7，13，19，25，……

2（mod6）：2，8，14，20，26，……

3（mod6）：3，9，15，21，27，……

4（mod6）：4，10，16，22，29，……

5（mod6）：5，11，17，23，29，……

重难点

一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同。

同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．

例题精讲

【例1】两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．

【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？

【例2】有一个整数，用它去除73，112，165所得到的3个余数之和是60，那么这个整数是______。【巩固】用自然数n去除65，94，129得到的三个余数之和为30，那么n=________．

【例 3】 求89

143除以7的余数．

【巩固】 2013"2"2222个除以13所得余数是？

【例 4】 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都

是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?

【巩固】 有三所学校，高中A 校比B 校多10人，B 校比C 校多10人．三校共有高中生2196人．有一所

学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A 校总人数是________人．