第四章 刚体的定轴转动解析

设单位长度的质量（质量的线密度）为
dm λdl
dm λdl
•形状、大小相同的刚体，密度越大，转动惯量越大；
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
•同一刚体转动惯量大小取决于转轴方向与位置。
➢推广：平行轴定理
I Ic md 2
d O ri
C
riC
mi
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
例5 求质量为m、半径为R的匀质细圆环的转动惯量。 （轴与圆环平面垂直并通过圆心）
思考： 1、等质量的匀质薄圆筒？ 同匀质细圆环！
2、等质量、等半径的匀质薄圆盘？
(同匀质圆柱)
•总质量相同，质量分布离轴越远， 转动惯量越大；
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
OR dm
dm
R
r
dr
dS 2πrdr
dm σ2πrdr
注意：物理中的数学处理！
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
小结：
由定义式求刚体转动惯量： 1）选取一个恰当的质元dm； 2）写出其转动惯量dI； 3) 统一积分变量，求出积分:
I dI r2dm
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
第四节
4 -3
外力对转轴的力矩
本章题头
刚体
(rigid body)
运 动
刚学 体 力动 学力
学
—— 刚体力学 ——
形变可以忽略的质点系
各质元相对位置固定的质点系
一种理想化模型
平动 转动
定轴转动 定点转动
定轴转动定律
定轴转动动力学 定点转动动力学 *平面运动动力学
引言
功能关系 进动 陀螺仪
4 -1
1、刚体运动的几种形式
【平动】刚体内任意两点连线的空间指向在运动的过 程中始终保持不变。
对同一轴具有可加性
例3：求下图所示刚性系统对轴 OO的转动惯量
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
➢质量连续分布刚体对转轴的转动惯量：
质量为线分布 dm dl
质量为面分布 dm ds
质量为体分布 dm dV
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
例4：分别求匀直细杆对质心轴、端垂轴的转动惯量
z
质元对o点的角动量
Li roi mivi oo'mivi ri mivi
质元对o点的角动量沿Z轴的投影 Liz ri mivi
方向：沿转轴方向
大小： Liz miviri miri2
O'• ri
mi
vi
O • roi
刚体对转轴的角动量
z
LZ Liz miviri miri2
外力相对转轴上某一点的力矩沿转轴方向的分量
外力Fi对O点的力矩
沿Z轴方向 的投影为零
z
Fiz
Fi
沿Z轴方向 的投影为零
方向：沿转轴方向
Байду номын сангаас
O'• ri
Fi
roi
mi
O•
外力对转轴的力矩
方向：沿转轴方向 大小：
外力相对转轴的合力矩
z
Fiz
Fi
Od'•i
ri mi roi
O•
Fi
i
一般研究思路： 质点系角动量定理 质点系 定轴转动
φ
x
5、角量与线量的关系
dφ ω
υp ωrp
υp
ω
rp
ω Rp
aτ αrp
an ω2rp
—— 刚体力学 ——
转动平面
o
rp
φ
x
Rp
o
刚体的运动
6、在刚体作匀变速转动时，相应公式: ω
0
0t
1 t 2
2
0 t
转动中心
转动平面
2 02 2( 0 )
o φ
x
—— 刚体力学 ——
刚体内各质元的 运动状态完全相 同，所以可以用 刚体内任一质元 代表整个刚体的 运动，通常代表 点选作质心。
—— 刚体力学 ——
刚体平动
刚体的运动
质点运动
【转动】刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.
转轴上仅有一点固定 ——定点转动
刚体在转动过程中， 转轴始终保持固定。
——定轴转动
刚体的一般运动
量（角位移、角速度、角
加速度）都相同。
转动平面
φ
x
—— 刚体力学 ——
刚体的运动
1、角位置 φ
dφ ω
φ φ(t)
刚体定轴转动的运动方程
2、角位移
转动中心
Δφ φ(t Δt) φ(t)
3、角速度 ω dφ
o
dt
4、角加速度
α
dω dt
d 2φ dt 2
—— 刚体力学 ——
刚体的运动
转动平面
M
dL
质点系角 动量 L ri pi
dt 定 转
轴动
定轴转动角动量 定理
Mz
dLz dt
Lz I
（适用于任意质点系的定轴转动）
M z
dLz dt
比较与说明：
刚体 I 恒定
M z I
刚体定轴转动定理
一维： F ma
定轴：M z I
质点运动的动力学方程 刚体定轴转动的动力学方程
F 一定，m
动量臂
方向：沿z轴方向
O
r r
x
m
y
P
特例：圆周运动质点对圆心O的角动量
大小： L mr mr 2
方向 逆时针转动，沿z轴正向 Lz mr mr 2 顺时针转动，沿z轴负向 Lz mr mr 2
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
刚体对转轴的角动量
刚体相对转轴上任意一点的角动量沿转轴的分量
A BC A
+ 基点的平动 绕过基点轴的转动
A
B C
A• •
•A •
BC
A BC
+ 刚体的一般运动 基点的平动 绕过基点轴的转动
—— 刚体力学 ——
刚体的运动
特点：
（1）、各质元都在与转 轴垂直的平面内作圆周 运动，圆周运动的平面 称为转动平面。
转动中心
（2）定轴转动时，各质
o
元的线量一般不同，但角
a
Mz 一定，I
m是质点平动惯性的量度 I是刚体转动惯性的量度
t2 t1
Fdt
mυ2
mυ1
t2 t1
M
z
dt
Iω2
Iω1
—— 刚体力学 ——
刚体定轴转动的角动量定理
★刚体定轴转动定理的应用
➢ 一般解题思路：
M z I
1、选取研究对象。
通常采用“隔离体”法。
2、分析隔离体的受力情况，找出各力的力矩。
i
i
i
刚体对转轴
的转动惯量
I miri2
i
LZ I
O'• ri
mi
vi
O • roi
结论：定轴转动的刚体相对转轴的角动量等于刚体 转动的角速度和刚体相对转轴的转动惯量的乘积
➢质点对转轴的转动惯量：
例1：单摆
例2：圆锥摆
θ
θ
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
➢分立质点系对转轴的转动惯量：
刚体的运动
[例1]: 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可 绕垂直其横截面通过中心的轴转动。 开始时其角速度 为零，经300s 后，其转速达到 18000r/min。已知转子 的角加速度与时间成正比。 问在这段时间内，转子转 过多少转？
—— 刚体力学 ——
刚体的运动
4 -2
LrP
z
L
大小：L rP sin r P