第四章 刚体的定轴转动解析
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大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
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02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
大学物理习题册及解答_第二版_第四章_刚体的定轴转动
桌面上有两个质量均为m的小球各自在垂直于杆的方向上正对着杆的一端以相同速率v相向运动当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后就与杆粘在一起转动则这一系统碰撞后的转动角速度应为12题俯视图质量为20kg边长为10m的均匀立方物体放在水平地面上
第四章 刚体定轴转动(一)
一．选择题
1．几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几 个力的矢量和为零，则此刚体 (A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变． (C) 转速必然改变． (D) 转速可能不变，也可能改变．
(1 )m m / 2 T mg m m m/2
k 1 k 2 2 1 2
4．质量为M，长为l的均匀细杆，可绕A端的水平轴自由转动，当 杆自由下垂时，有一质量为m的小球，在离杆下端的距离为a处垂 直击中细杆，并于碰撞后自由下落，而细杆在碰撞后的最大偏角 为，试求小球击中细杆前的速度。 解：球与杆碰撞瞬间，系统所受合外力矩为零，系 统碰撞前后角动量守恒
m (l a) J
1 J Ml 3
2
杆摆动过程机械能守恒
1 l J Mg (1 cos ) 2 2
2
解得小球碰前速率为
Ml 2 gl sin m(l a ) 3 2
5．一轻绳绕过一半径R，质量为M/4的滑轮。质量为M的人抓住绳 子的一端，而绳子另一端系一质量为M/2的重物，如图。求当人相 对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？ 解：选人、滑轮、与重物为系统，系统所受对滑轮轴的 外力矩为 1
1 d 13 即 MgR ( MR MRu) 2 dt 8
该题也可在地面参考系中分别对人和物体利用牛顿第二定 律，对滑轮应用转动定律求解。
一选择题
第四章 刚体定轴转动(二)
第四章 刚体定轴转动(一)
一．选择题
1．几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几 个力的矢量和为零，则此刚体 (A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变． (C) 转速必然改变． (D) 转速可能不变，也可能改变．
(1 )m m / 2 T mg m m m/2
k 1 k 2 2 1 2
4．质量为M，长为l的均匀细杆，可绕A端的水平轴自由转动，当 杆自由下垂时，有一质量为m的小球，在离杆下端的距离为a处垂 直击中细杆，并于碰撞后自由下落，而细杆在碰撞后的最大偏角 为，试求小球击中细杆前的速度。 解：球与杆碰撞瞬间，系统所受合外力矩为零，系 统碰撞前后角动量守恒
m (l a) J
1 J Ml 3
2
杆摆动过程机械能守恒
1 l J Mg (1 cos ) 2 2
2
解得小球碰前速率为
Ml 2 gl sin m(l a ) 3 2
5．一轻绳绕过一半径R，质量为M/4的滑轮。质量为M的人抓住绳 子的一端，而绳子另一端系一质量为M/2的重物，如图。求当人相 对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？ 解：选人、滑轮、与重物为系统，系统所受对滑轮轴的 外力矩为 1
1 d 13 即 MgR ( MR MRu) 2 dt 8
该题也可在地面参考系中分别对人和物体利用牛顿第二定 律，对滑轮应用转动定律求解。
一选择题
第四章 刚体定轴转动(二)
大学物理(4.1.2)--刚体的定轴转动力矩
各
点运
动状态 等都相
同。 刚体上任一点的运动
可代表整个刚体的运动。
( 刚体平动的运动规律与质
点的运动规律相同 )
刚体平动
动
质点运
4/19
※ 转动：分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
刚体的一般运动可看作：
+ 随 质 心 的 平 动
绕质心的转动
的合成
6/19
※ 刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
2/19
第一讲 刚体的定轴转动 力矩
※ 刚体
在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。 ( 任意两质点间距离保持不变的特殊质点组。 )
说明： ⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
※ 刚体的运动形式：平动、转动。
※ 平动：刚体中所有点
的运动轨迹都保持完全相
同 一
。样v，、 特如a点：：
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v02 2a(x x0 )
2
2 0
2
(
0
)
10/19
※ 角量与线量的关系
v
ω
rωddet t
v r r
dω dt
d 2 d2t
an ra
at r
an rω2
a ret rω2en
at
evt
※ 力矩
用来描述力对刚体的转动
F Fz F
矩 为 零其，F中F故z
对转轴的力 对转轴的力 矩M来自krFz
k
O rFz
F
F
Mz
rF
第四章 刚体解析
刚体的运动分为：平动(3)、定轴转动(1)、平面平行运动(3)、 定点转动(3)和一般运动(6) ，五种类型。
二、定点转动和欧拉角
刚体的定点转动可用欧拉角来描述：
Φ，θ，Ψ称为欧拉角。其中Φ称为进动角， θ称为章动角，
刚Ψ体称定为点自转转动角的。角速度ω可用欧拉角表示为：
欧拉运动学方程:(在体坐标系O-xyz中)
四、惯量椭球与惯量主轴
惯量椭球是描述惯量张量的几何方法。与O点联系的惯量 椭球方程为：
I11x2 I22 y2 I33z2 2I12 xy 2I13xz 2I32 yz 1
使惯量积等于零的坐标轴称为惯量主轴。
惯量主轴垂直于惯量椭球面，如以惯量主轴为坐标轴，则椭球 面的方程可写为标准形式的椭球方程：
设P滚过角度为 ,则S滚过角度为 r1
则P的角速度
s'
r1 r2
p
k
，而S自转角r速2 度
,S相对P的角速度
sp
k
S角速度为：
s sp s'
k
r1 r2
k
(1
r1 r2
)
r1 r2
k
(3) 因为S与P,P与地面之间绝对光滑,则两圆柱体只受重力和中心力 的作用,无力矩,所以S和P的角速度均为常数.
x
y
s in s in
sin cos
cos sin
z cos
注意：这里的刚体角速度 是刚体相对空间坐标系的转动角速
度，只不过是用对体坐标系的投影形式来表示。
刚刚体体任任一一点点的的速加度速：度：vavaccddt
r
r
三、转动惯量与惯量张量
平行轴定理：刚体对于任一固定轴线的转动惯量I等于通
二、定点转动和欧拉角
刚体的定点转动可用欧拉角来描述：
Φ，θ，Ψ称为欧拉角。其中Φ称为进动角， θ称为章动角，
刚Ψ体称定为点自转转动角的。角速度ω可用欧拉角表示为：
欧拉运动学方程:(在体坐标系O-xyz中)
四、惯量椭球与惯量主轴
惯量椭球是描述惯量张量的几何方法。与O点联系的惯量 椭球方程为：
I11x2 I22 y2 I33z2 2I12 xy 2I13xz 2I32 yz 1
使惯量积等于零的坐标轴称为惯量主轴。
惯量主轴垂直于惯量椭球面，如以惯量主轴为坐标轴，则椭球 面的方程可写为标准形式的椭球方程：
设P滚过角度为 ,则S滚过角度为 r1
则P的角速度
s'
r1 r2
p
k
，而S自转角r速2 度
,S相对P的角速度
sp
k
S角速度为：
s sp s'
k
r1 r2
k
(1
r1 r2
)
r1 r2
k
(3) 因为S与P,P与地面之间绝对光滑,则两圆柱体只受重力和中心力 的作用,无力矩,所以S和P的角速度均为常数.
x
y
s in s in
sin cos
cos sin
z cos
注意：这里的刚体角速度 是刚体相对空间坐标系的转动角速
度，只不过是用对体坐标系的投影形式来表示。
刚刚体体任任一一点点的的速加度速：度：vavaccddt
r
r
三、转动惯量与惯量张量
平行轴定理：刚体对于任一固定轴线的转动惯量I等于通
第四章 刚体的转动
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
刚体定轴转动(公式)
安全措施
旋转木马通常配备安全带、护栏等安全措施，以确保乘客安全。
儿童游乐设施
旋转木马是儿童游乐场常见的设施之一，为儿童提供娱乐和刺激。
电风扇的转动
电风扇的工作原理
电风扇通过电机驱动叶片 旋转，产生风流，实现送 风效果。
风力调节
电风扇通常配备调速器， 可调节电机转速，从而调 节风力大小。
维护保养
定期清洗电风扇叶片和外 壳，检查电线和开关是否 正常，以确保安全和正常 使用。
04
刚体定轴转动的实例分析
匀速转动的飞轮
01
02
03
飞轮的转动
飞轮在匀速转动时，其角 速度保持恒定，不受外力 矩作用。
动能与势能转换
飞轮在转动过程中，动能 和势能之间相互转换，但 总能量保持不变。
平衡状态
在匀速转动状态下，飞轮 的合力矩为零，处于平衡 状态。
旋转木马的转动
旋转木马的转动原理
旋转木马通过电机驱动，使木马旋转，当木马旋转时，离心力作 用使木马保持稳定。
力矩平衡方程
合力矩=0，即所有作用在刚体上的力对旋转轴产生的力矩之和为零。
注意事项
在应用力矩平衡方程时，需要明确各个力的作用点和方向，并计算其对旋转轴产生的力矩。同时，需要注意力的 方向和力臂的长度对力矩的影响。
如何应用动量矩守恒定律？
动量矩守恒定律
在没有外力矩作用的情况下，刚体的动量矩是守恒的。
05
刚体定轴转动的常见问题与解决方案
如何计算转动惯量？
转动惯量计算公式
I=mr^2，其中m是刚体的质量，r是质心到旋转轴的距离。
注意事项
在计算转动惯量时，需要明确旋转轴的位置，并计算质心到旋转轴的距离。同时 ，需要考虑刚体的质量分布情况，因为不同位置的质量对转动惯量的贡献不同。
旋转木马通常配备安全带、护栏等安全措施，以确保乘客安全。
儿童游乐设施
旋转木马是儿童游乐场常见的设施之一，为儿童提供娱乐和刺激。
电风扇的转动
电风扇的工作原理
电风扇通过电机驱动叶片 旋转，产生风流，实现送 风效果。
风力调节
电风扇通常配备调速器， 可调节电机转速，从而调 节风力大小。
维护保养
定期清洗电风扇叶片和外 壳，检查电线和开关是否 正常，以确保安全和正常 使用。
04
刚体定轴转动的实例分析
匀速转动的飞轮
01
02
03
飞轮的转动
飞轮在匀速转动时，其角 速度保持恒定，不受外力 矩作用。
动能与势能转换
飞轮在转动过程中，动能 和势能之间相互转换，但 总能量保持不变。
平衡状态
在匀速转动状态下，飞轮 的合力矩为零，处于平衡 状态。
旋转木马的转动
旋转木马的转动原理
旋转木马通过电机驱动，使木马旋转，当木马旋转时，离心力作 用使木马保持稳定。
力矩平衡方程
合力矩=0，即所有作用在刚体上的力对旋转轴产生的力矩之和为零。
注意事项
在应用力矩平衡方程时，需要明确各个力的作用点和方向，并计算其对旋转轴产生的力矩。同时，需要注意力的 方向和力臂的长度对力矩的影响。
如何应用动量矩守恒定律？
动量矩守恒定律
在没有外力矩作用的情况下，刚体的动量矩是守恒的。
05
刚体定轴转动的常见问题与解决方案
如何计算转动惯量？
转动惯量计算公式
I=mr^2，其中m是刚体的质量，r是质心到旋转轴的距离。
注意事项
在计算转动惯量时，需要明确旋转轴的位置，并计算质心到旋转轴的距离。同时 ，需要考虑刚体的质量分布情况，因为不同位置的质量对转动惯量的贡献不同。
刚体定轴转动知识点总结
刚体定轴转动知识点总结1. 刚体的转动定轴刚体的转动定轴是指固定不动的直线，沿其进行转动的刚体的每一个质点所受的力矩的代数和等于零。
在实际中，通常通过支点来实现转动定轴，比如钟摆、摇摆、旋转的转轴等。
2. 刚体的角位移、角速度和角加速度在刚体定轴转动中，刚体围绕定轴线进行旋转，其角位移、角速度和角加速度是非常重要的物理量。
角位移表示刚体在围绕定轴线旋转的过程中所经过的角度变化量，通常用θ表示；角速度表示刚体围绕定轴线旋转的速度，通常用ω表示；角加速度表示刚体围绕定轴线旋转的加速度，通常用α表示。
3. 牛顿第二定律在刚体定轴转动中的应用牛顿第二定律也适用于刚体定轴转动的情况。
在刚体定轴转动中，外力会给刚体带来转动运动，根据牛顿第二定律，刚体的角加速度与作用在其上的外力矩成正比。
因此，可以根据力矩的大小和方向来分析刚体的转动运动。
4. 转动惯量和转动动能在刚体定轴转动中，转动惯量是一个非常重要的物理量。
转动惯量描述了刚体围绕定轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
转动动能是刚体围绕定轴线旋转的能量，其大小取决于刚体的转动惯量和角速度。
5. 转动定律和角动量守恒定律在刚体定轴转动中，转动定律和角动量守恒定律是非常重要的定律。
转动定律描述了刚体受力矩产生的角加速度与所受力矩的关系，角动量守恒定律描述了刚体转动过程中角动量的守恒规律。
6. 平衡条件和稳定性分析在刚体定轴转动中，平衡条件和稳定性分析是非常重要的内容。
通过平衡条件，可以分析刚体围绕定轴线旋转的平衡状态。
稳定性分析则是分析刚体在平衡状态下的稳定性，通常通过刚体的势能函数和平衡位置的稳定性来进行分析。
7. 应用领域刚体定轴转动的理论和方法在工程技术、航空航天、机械制造、物理学等领域都有重要的应用价值。
比如在机械制造中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计机械装置；在航空航天中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计飞行器的运动控制系统。
大学物理刚体的定轴转动
2l
l
17
例 一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为
的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻。 解： 建立如图坐标，取质元
dm dx
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
o
xl dm m dx
x
细杆受的阻力矩
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 mgl
2
18
例 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的
令 J miri2
刚体绕Z轴转动的转动惯量
即
M z J ----刚体的定轴转动定律
说明
1. 上式是矢量式（力矩只有两个方向）。
2. M、J、是对同一轴而言的。
3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。
4. 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度。
8 8
3、转动惯量的计算
转动惯量： J miri2
l
r
dr
d
dm g
M
dM
l
0
mg l
r
cosdr
mg
l 2
cos
16
M J 1 ml2
3
3g cos
2l
(2) d d d d 3g cos dt d dt d 2l
分离变量积分 g cos d l d
02
03
(3g sin ) l
300 , 3g 900 , 3g
i
质量连续分布的刚体： J r2dm
质量为线分布： dm dl
面分布： dm ds
体分布： dm dV
1）总质量
转动惯量与下列因素有关： 2）质量分布 3）转轴位置
9
✓ J与质量分布有关：
理论力学第4节 刚体的定轴转动和平面运动微分方程
圆盘质心 加速度
aC
2M 3mR
FN
2）如果作用于圆盘的力偶矩 M
圆盘连滚带滑，所受摩擦力为
3 2
fmgR
时，则
F mgf
aC fg
2(M mgfR) mR2
0
d
dt
maC F
FN mg
1 mR 2 M FR
2
纯滚动 应满足
M C aC
mg F
FN
F f FN
M
3 2
fmgR
解得
F
2M 3R
，M
3 2
RF
，aC
2M 3mR
讨论
M
1）为使圆盘作纯滚动，应满足
作用于圆盘 的力偶矩
M
3 2
fmgR
C aC mg F
• 刚体绕定轴转动的运动微分方程：绕定轴转动的刚 体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作 用在刚体上的所有外力对转轴力矩的代数和。
例11-5 如图所示一均质圆盘质量 m = 100kg，半径 r = 0.5m，转速 n 擦因数 f = 0.6。开始加制动闸，使闸块对轮
dt
J C
n
M C (Fi(e) )
i1
式中 M 为刚体的质量，aC 为质心的加速度，J C为刚 体对通过质心Cz轴的转动惯量。
MaC
F (e) R
y
d(JC)
dt
JC
n
M C (Fi(e) )
i1
d
dt
d 2
刚体的定轴转动
半径为R、质量为 m3的均质圆盘，忽略轴 的摩擦。求：(1) m1 、m2的加速度；(2)滑 轮的角加速度 及绳中的张力。（绳轻且
不可伸长）
R m3
m1
m2
24
R
m1
m2
解 对m1 、m2，滑轮作受力分析， m1 、 m2作平动，滑轮作转动，
(T1 T1，T2 T2)
m1g T1 m1a
T2 m2 g m2a
其一 此处滑轮质量不可忽略，大小不可忽略，所以要用到转动定律；
其二 绳与滑轮间无相对滑动，所以
；因a R
故滑轮两边绳之张力不相等。
26
例2－33 质量m=1.0kg、半径 r=0.6m 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水
平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量 I=mr2/2。圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量
质量分布均匀而有一定几何形 状的刚体，质心的位置为它的 几何中心。
X
32
五、机械能守恒定律 若 A外 0 A内非 ＝０ (或只有保守力作功)
系统机械能守恒，即
1 2
mv2
1 2
I2
mghc
1 2
k x2
恒量
33
例2－35 一均匀细杆长为l，质量为m，垂直放置，o点着地。杆绕过o的光滑水平轴
m=1.0kg 的物体，如图所示。起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率 v0=0.6m/s 匀速上 升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向运动？
r
T
m、r
T
a
v0
mg
解；受力分析如图所示
mg T ma
Tr I
a r
v0 at 0
I 1 mr2 2
解得 a mgr mr I r 2g 3
不可伸长）
R m3
m1
m2
24
R
m1
m2
解 对m1 、m2，滑轮作受力分析， m1 、 m2作平动，滑轮作转动，
(T1 T1，T2 T2)
m1g T1 m1a
T2 m2 g m2a
其一 此处滑轮质量不可忽略，大小不可忽略，所以要用到转动定律；
其二 绳与滑轮间无相对滑动，所以
；因a R
故滑轮两边绳之张力不相等。
26
例2－33 质量m=1.0kg、半径 r=0.6m 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水
平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量 I=mr2/2。圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量
质量分布均匀而有一定几何形 状的刚体，质心的位置为它的 几何中心。
X
32
五、机械能守恒定律 若 A外 0 A内非 ＝０ (或只有保守力作功)
系统机械能守恒，即
1 2
mv2
1 2
I2
mghc
1 2
k x2
恒量
33
例2－35 一均匀细杆长为l，质量为m，垂直放置，o点着地。杆绕过o的光滑水平轴
m=1.0kg 的物体，如图所示。起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率 v0=0.6m/s 匀速上 升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向运动？
r
T
m、r
T
a
v0
mg
解；受力分析如图所示
mg T ma
Tr I
a r
v0 at 0
I 1 mr2 2
解得 a mgr mr I r 2g 3
第四章 刚体力学的定轴转动
轴转动中它们的方向沿着转轴 , 可以用带正负号 的标量来表示。
3
三、刚体转动的角速度和角加速度 角速度 刚体在dt 时间内 的角位移dq 与dt 之比。 z
dq
dq w dt
(rad s )
1
r
θ
P
角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内 角速度的增量Dw 与Dt 之比的极 限
2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz J x J y
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
1 2 J ml 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 1 解：两平行轴的距离 d l , 代入平行轴定理， 2 得
由定义得：
dw ct dt
dw ct dt
6
对上式两边积分
由条件知
w
0
dw c tdt
0
t
1 2 w ct 2
2π 1 1 t 300 s , w 18000 rad s 600 π rad s 60 2w 2 600 π π 3 3 c rad s rad s 所以 t2 300 2 75
由角速度定义 得到：
dq π w rad s 3 t 2 d t 75
π q rad s 3 t 3 150
7
q
0
π t 2 dq t dt 150 0
π 3 转子转数： N 300 3 104 2 π 2 π 450
3
三、刚体转动的角速度和角加速度 角速度 刚体在dt 时间内 的角位移dq 与dt 之比。 z
dq
dq w dt
(rad s )
1
r
θ
P
角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内 角速度的增量Dw 与Dt 之比的极 限
2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz J x J y
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
1 2 J ml 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 1 解：两平行轴的距离 d l , 代入平行轴定理， 2 得
由定义得：
dw ct dt
dw ct dt
6
对上式两边积分
由条件知
w
0
dw c tdt
0
t
1 2 w ct 2
2π 1 1 t 300 s , w 18000 rad s 600 π rad s 60 2w 2 600 π π 3 3 c rad s rad s 所以 t2 300 2 75
由角速度定义 得到：
dq π w rad s 3 t 2 d t 75
π q rad s 3 t 3 150
7
q
0
π t 2 dq t dt 150 0
π 3 转子转数： N 300 3 104 2 π 2 π 450
4第四章 刚体的定轴转动
七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转 动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题. 八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题. 明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序.
第 1 讲 刚体的定轴转动
预习要点 1. 理解刚体的运动； 2. 掌握描述刚体定轴转动的运动学方法； 3. 理解力矩的概念及力矩的功；
式中 mi ri2 表示第i个质点对转轴的转动惯量；
对质量连续分布的刚体，任取质量元 dm ，其到轴的
距离为 r ，则转动惯量：
J r2dm 单位：kg ·m2
若系统由多个刚体组成，则系统对转轴的总转动惯量， 等于各部分对同一转轴的转动惯量之和
一个长为4L的轻杆，连有两个质量都是m的小球（大小可 忽略），此系统可绕垂直于杆的轴转动，求下列转动惯量；
在转动平面内，O为转动平面与转轴的焦点，r 为从O 点指向
M 力的作用点 A 的位矢，两矢量的夹角为 ；
力 F 对定轴 OZ 的力矩 ：
（力臂：力的作用线到转轴的距离）
z
M Z Fd Fr sin
通常，从OZ轴正向俯视，有 逆时针转动（趋势）力矩为正， 反之为负；
单位：牛·米（N ·m）
F
Or
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬
有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力. 设 m2 m1
解: 受力分析如图：
FT1 m1g m1a m2g FT2 m2a
FT2R FT1R J a r
m2
)
gl
sin
α
第 1 讲 刚体的定轴转动
预习要点 1. 理解刚体的运动； 2. 掌握描述刚体定轴转动的运动学方法； 3. 理解力矩的概念及力矩的功；
式中 mi ri2 表示第i个质点对转轴的转动惯量；
对质量连续分布的刚体，任取质量元 dm ，其到轴的
距离为 r ，则转动惯量：
J r2dm 单位：kg ·m2
若系统由多个刚体组成，则系统对转轴的总转动惯量， 等于各部分对同一转轴的转动惯量之和
一个长为4L的轻杆，连有两个质量都是m的小球（大小可 忽略），此系统可绕垂直于杆的轴转动，求下列转动惯量；
在转动平面内，O为转动平面与转轴的焦点，r 为从O 点指向
M 力的作用点 A 的位矢，两矢量的夹角为 ；
力 F 对定轴 OZ 的力矩 ：
（力臂：力的作用线到转轴的距离）
z
M Z Fd Fr sin
通常，从OZ轴正向俯视，有 逆时针转动（趋势）力矩为正， 反之为负；
单位：牛·米（N ·m）
F
Or
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬
有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力. 设 m2 m1
解: 受力分析如图：
FT1 m1g m1a m2g FT2 m2a
FT2R FT1R J a r
m2
)
gl
sin
α
刚体定轴转动角动量守恒定律解析
MR2
2
d
dt
R0
t
t
d dt
0
0
01
ut
(
2m
)
1 2
arctan[ M ]
0
2mu2t 2
MR2
dt
第四u章( 2Mm
1
刚) 2体力学
R
8 22
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
角动量守恒定律在工程技术上的应用
陀螺仪与导航
陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。
l 2
处)
解得
t
2 m2
v1 v2
m1g
O
关于摩擦力矩 在x处取dm，dm m1 dx
x l
l
dm
元摩擦力 df dmg
m1
元摩擦力矩 dMr df x dmg x
总摩擦力矩
M r
dMr
l m1 gxdx m1g l 2
0
l
l2
m1g
l 2
第四章 刚体力学
4
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
例 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为
m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为
30°。问子弹的初速度为多少。
解： 射入过程角动量守恒：
o
mva
1 3
m0l
2
ma2
30°
la
转动过程机械能守恒：
v
1 1 23
m0l 2
ma2
2
mga1 cos30
m0 g
l 2
1 cos30
v 1 ma
g 2 6
2
d
dt
R0
t
t
d dt
0
0
01
ut
(
2m
)
1 2
arctan[ M ]
0
2mu2t 2
MR2
dt
第四u章( 2Mm
1
刚) 2体力学
R
8 22
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
角动量守恒定律在工程技术上的应用
陀螺仪与导航
陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。
l 2
处)
解得
t
2 m2
v1 v2
m1g
O
关于摩擦力矩 在x处取dm，dm m1 dx
x l
l
dm
元摩擦力 df dmg
m1
元摩擦力矩 dMr df x dmg x
总摩擦力矩
M r
dMr
l m1 gxdx m1g l 2
0
l
l2
m1g
l 2
第四章 刚体力学
4
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
例 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为
m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为
30°。问子弹的初速度为多少。
解： 射入过程角动量守恒：
o
mva
1 3
m0l
2
ma2
30°
la
转动过程机械能守恒：
v
1 1 23
m0l 2
ma2
2
mga1 cos30
m0 g
l 2
1 cos30
v 1 ma
g 2 6
刚体的定轴转动
F
F
圆盘静止不动
F 圆盘绕圆心转动
F
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
一、力矩
刚体绕Oz轴旋转,力 F作用在刚体上点P,且在转动平面内, 由 点O 到力的作用点P的径矢为 。r
F 对转轴z的力矩
MrF 大小
M F rsin
z
M
Or
d
F
P
Fd
d : 力臂
二、力矩的功
F 力 F 对质元P所做的元功：
角位置： ( t ) 单位：r a d
角速度： d dt
角加速度：
d
dt
d 2
dt2
角量与线量的关系
v a
i it
ri ri
a
in
ri
2
质元
vi
ri mi x
转动平面
固定轴
方向: 右手螺旋方向
刚体定轴转动的转动方向可以用角速度的正负来表示.
z
z
0
0
2 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.
dW FdrFcosds
cossin
dsrd
d W F r s i n d
又 M F r s in
d W M d
力矩的功 W 2 Md 1
z
d
F dr
rP
y
F
dr
d r
P
o
x
三、转动动能
在刚体上取一质元 p ：i
动能：Eki
1 2
mivi2
1 2
mi
ri22
F 对刚体上所有质元的动能求和：
M F d J 1 t 2 2 F2dJt2 126N
大学物理学(课后答案)第4章
第4章 刚体的定轴转动习 题一 选择题4-1 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体下，对此有以下几种说法：（1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；（2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；(3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；（4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零．对L 述说法下述判断正确的是[ ]（A ）只有（l ）是正确的 （B ）（1）、（2）正确，（3）、（4）错误 （C ）(1)、（2）、（3）都正确 （D ）（1）、（2）、（3）、（4）都正确 解析：力矩是描述力对刚体转动的作用，=⨯M r F 。
因此合力为零时，合力矩不一定为零；合力矩为零时，合力也不一定为零。
两者并没有一一对应的关系。
答案选B 。
4-2 有A 、B 两半径相同，质量相同的细圆环。
A 环的质量均匀分布，B 环的质量不均匀分布，设它们对过环心的中心轴的转动惯量分别为A I 和B I ，则有[ ]（A ）A B I I > （B ）A B I I < （C ）无法确定哪个大 （D ）A B I I = 解析：转动惯量2i i iI m r =∆∑，由于A 、B 两细圆环半径相同，质量相同，所以转动惯量相同2A B I I mR ==，而与质量分布均匀与否无关。
选D 。
4-3 均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图4-3所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法正确的是[ ]（A ）角速度从小到大，角加速度不变 （B ）角速度从小到大，角加速度从小到大（C ）角速度从小到大，角加速度从大到小 （D ）角速度不变，角加速度为零解析：在棒摆到竖直位置的过程中，重力势能和转动动能相互转化，因此转速越来越大，即角速度从小到大。
整个过程中棒只受到重力矩的作用，211cos 23M mg l J ml θαα===，所以3cos 2gl αθ=，随着转角θ逐渐增大，角加速度α由大变小。
刚体的定轴转轴运动
遗传算法
模拟生物进化过程中的遗传规律，通过基因突变、 交叉和选择等操作寻找最优解。
粒子群优化算法
模拟鸟群、鱼群等生物群体的行为模式，通过个 体间的信息交流和协作寻找最优解。
模拟退火算法
借鉴物理中的退火过程，通过随机搜索和局部搜 索结合的方式寻找最优解。
仿真与实验验证
建立刚体定轴转轴运动的数学模型，利用仿真软件进行模拟实验，分析控制策略和优化算法的性能表 现。
04
刚体的定轴转轴运动的实例分析
飞轮的运动分析
飞轮的运动
飞轮是一个刚体，绕某一固定轴旋转， 具有恒定的角速度。飞轮在转动过程 中，其上任意一点都做圆周运动，且 各点的线速度大小相等。
飞轮的动量
飞轮的动能
飞轮的动能与角速度的平方成正比， 与飞轮的质量成正比。
飞轮在转动过程中，其动量的大小与 角速度成正比，方向与角速度方向相 同。
角动量守恒定律
角动量守恒定律
在无外力矩作用的情况下， 刚体的角动量保持不变。
角动量
描述刚体绕定轴转动的物 理量，与刚体的转动惯量 和角速度有关。
外力矩
作用在刚体上的外力矩， 可以改变刚体的角动量。
刚体的动能和势能
刚体的动能
描述刚体平动和转动的动能，与刚体 的质量和角速度有关。
刚体的势能
描述刚体位置与重力势能有关的物理 量，与刚体的位置和重力加速度有关。
05
刚体的定轴转轴运动的控制与优化
控制策略
PID控制
01
通过比例、积分和微分三个环节对误差信号进行控制，实现转
轴运动的精确控制。
模糊控制
02
利用模糊逻辑和模糊集合理论，处理不确定性、非线性和时变
性的控制问题。
模拟生物进化过程中的遗传规律，通过基因突变、 交叉和选择等操作寻找最优解。
粒子群优化算法
模拟鸟群、鱼群等生物群体的行为模式，通过个 体间的信息交流和协作寻找最优解。
模拟退火算法
借鉴物理中的退火过程，通过随机搜索和局部搜 索结合的方式寻找最优解。
仿真与实验验证
建立刚体定轴转轴运动的数学模型，利用仿真软件进行模拟实验，分析控制策略和优化算法的性能表 现。
04
刚体的定轴转轴运动的实例分析
飞轮的运动分析
飞轮的运动
飞轮是一个刚体，绕某一固定轴旋转， 具有恒定的角速度。飞轮在转动过程 中，其上任意一点都做圆周运动，且 各点的线速度大小相等。
飞轮的动量
飞轮的动能
飞轮的动能与角速度的平方成正比， 与飞轮的质量成正比。
飞轮在转动过程中，其动量的大小与 角速度成正比，方向与角速度方向相 同。
角动量守恒定律
角动量守恒定律
在无外力矩作用的情况下， 刚体的角动量保持不变。
角动量
描述刚体绕定轴转动的物 理量，与刚体的转动惯量 和角速度有关。
外力矩
作用在刚体上的外力矩， 可以改变刚体的角动量。
刚体的动能和势能
刚体的动能
描述刚体平动和转动的动能，与刚体 的质量和角速度有关。
刚体的势能
描述刚体位置与重力势能有关的物理 量，与刚体的位置和重力加速度有关。
05
刚体的定轴转轴运动的控制与优化
控制策略
PID控制
01
通过比例、积分和微分三个环节对误差信号进行控制，实现转
轴运动的精确控制。
模糊控制
02
利用模糊逻辑和模糊集合理论，处理不确定性、非线性和时变
性的控制问题。
4_刚体的定轴转动
从以上各式即可解得
m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r a
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
37
若m=0，Mr=0，则
1 m1 2 m 2 m g M / r 2 T1 m1 g a 1 m 2 m1 m 2 1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m 2 m1 m 2
物体转动与否不仅与力的方向大小有关还与力作用的位置有关定轴转动的力矩只能引起物体变形对转动无贡献转动平面内a力与转轴平行b力与转轴垂直对转动无贡献仅使物体发生形变只有与转轴垂直的分力产生力矩使物体绕轴转动的垂直距离转轴到力在定轴动问题中如不加说明所说的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩
第三章
刚体的定轴转动
l/2 2
28
(2)建立坐标系，分割质量元
x J x 2 dm l o 2 m x dx dx x 0 l 1 3 2 l 2 1 2 ml J C m ml 12 3 2
J x 2 dm
(3)建立坐标系，分割质量元
x
2
m x dx l / 2 h l 1 2 2 2 ml mh J C mh 12
25
转动惯量
多个质点组成的系统：
J mi ri
i
2
质量连续分布的刚体：
J r dm
2
平动 m 转动 J
v w
a a
mv Jw
dv F ma m dt d M z J J dt
26
小结
• • • • • 刚体的概念 刚体的运动自由度 刚体定轴转动的自由度 刚体定轴转动的运动方程 刚体定律转动定律
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刚体内各质元的 运动状态完全相 同，所以可以用 刚体内任一质元 代表整个刚体的 运动，通常代表 点选作质心。
—— 刚体力学 ——
刚体平动
刚体的运动
质点运动
【转动】刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.
转轴上仅有一点固定 ——定点转动
刚体在转动过程中， 转轴始终保持固定。
——定轴转动
刚体的一般运动
dm σ2πrdr
注意：物理中的数学处理！
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
小结：
由定义式求刚体转动惯量： 1）选取一个恰当的质元dm； 2）写出其转动惯量dI； 3) 统一积分变量，求出积分:
I dI r2dm
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
第四节
4 -3
外力对转轴的力矩
φ
x
5、角量与线量的关系
dφ ω
υp ωrp
υp
ω
rp
ω Rp
aτ αrp
an ω2rp
—— 刚体力学 ——
转动平面
o
rp
φ
x
Rp
o
刚体的运动
6、在刚体作匀变速转动时，相应公式: ω
0
0t
1 t 2
2
0 t
转动中心
转动平面
2 02 2( 0 )
o φ
x
—— 刚体力学 ——
对同一轴具有可加性
例3：求下图所示刚性系统对轴 OO的转动惯量
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
➢质量连续分布刚体对转轴的转动惯量：
质量为线分布 dm dl
质量为面分布 dm ds
质量为体分布 dm dV
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
例4：分别求匀直细杆对质心轴、端垂轴的转动惯量
A BC A
+ 基点的平动 绕过基点轴的转动
A
B C
A• •
•A •
BC
A BC
+ 刚体的一般运动 基点的平动 绕过基点轴的转动
—— 刚体力学 ——
刚体的运动
特点：
（1）、各质元都在与转 轴垂直的平面内作圆周 运动，圆周运动的平面 称为转动平面。
转动中心
（2）定轴转动时，各质
o
元的线量一般不同，但角
外力相对转轴上某一点的力矩沿转轴方向的分量
外力Fi对O点的力矩
沿Z轴方向 的投影为零
z
Fiz
Fi
沿Z轴方向 的投影为零
方向：沿转轴方向
O'• ri
Fi
roi
mi
O•
外力对转轴的力矩
方向：沿转轴方向 大小：
外力相对转轴的合力矩
z
Fiz
Fi
Od'•i
ri mi roi
O•
Fi
iHale Waihona Puke 一般研究思路： 质点系角动量定理 质点系 定轴转动
动量臂
方向：沿z轴方向
O
r r
x
m
y
P
特例：圆周运动质点对圆心O的角动量
大小： L mr mr 2
方向 逆时针转动，沿z轴正向 Lz mr mr 2 顺时针转动，沿z轴负向 Lz mr mr 2
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
刚体对转轴的角动量
刚体相对转轴上任意一点的角动量沿转轴的分量
量（角位移、角速度、角
加速度）都相同。
转动平面
φ
x
—— 刚体力学 ——
刚体的运动
1、角位置 φ
dφ ω
φ φ(t)
刚体定轴转动的运动方程
2、角位移
转动中心
Δφ φ(t Δt) φ(t)
3、角速度 ω dφ
o
dt
4、角加速度
α
dω dt
d 2φ dt 2
—— 刚体力学 ——
刚体的运动
转动平面
本章题头
刚体
(rigid body)
运 动
刚学 体 力动 学力
学
—— 刚体力学 ——
形变可以忽略的质点系
各质元相对位置固定的质点系
一种理想化模型
平动 转动
定轴转动 定点转动
定轴转动定律
定轴转动动力学 定点转动动力学 *平面运动动力学
引言
功能关系 进动 陀螺仪
4 -1
1、刚体运动的几种形式
【平动】刚体内任意两点连线的空间指向在运动的过 程中始终保持不变。
例5 求质量为m、半径为R的匀质细圆环的转动惯量。 （轴与圆环平面垂直并通过圆心）
思考： 1、等质量的匀质薄圆筒？ 同匀质细圆环！
2、等质量、等半径的匀质薄圆盘？
(同匀质圆柱)
•总质量相同，质量分布离轴越远， 转动惯量越大；
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
OR dm
dm
R
r
dr
dS 2πrdr
刚体的运动
[例1]: 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可 绕垂直其横截面通过中心的轴转动。 开始时其角速度 为零，经300s 后，其转速达到 18000r/min。已知转子 的角加速度与时间成正比。 问在这段时间内，转子转 过多少转？
—— 刚体力学 ——
刚体的运动
4 -2
LrP
z
L
大小：L rP sin r P
z
质元对o点的角动量
Li roi mivi oo'mivi ri mivi
质元对o点的角动量沿Z轴的投影 Liz ri mivi
方向：沿转轴方向
大小： Liz miviri miri2
O'• ri
mi
vi
O • roi
刚体对转轴的角动量
z
LZ Liz miviri miri2
M
dL
质点系角 动量 L ri pi
dt 定 转
轴动
定轴转动角动量 定理
Mz
dLz dt
Lz I
（适用于任意质点系的定轴转动）
M z
dLz dt
比较与说明：
刚体 I 恒定
M z I
刚体定轴转动定理
一维： F ma
定轴：M z I
质点运动的动力学方程 刚体定轴转动的动力学方程
F 一定，m
设单位长度的质量（质量的线密度）为
dm λdl
dm λdl
•形状、大小相同的刚体，密度越大，转动惯量越大；
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
•同一刚体转动惯量大小取决于转轴方向与位置。
➢推广：平行轴定理
I Ic md 2
d O ri
C
riC
mi
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
i
i
i
刚体对转轴
的转动惯量
I miri2
i
LZ I
O'• ri
mi
vi
O • roi
结论：定轴转动的刚体相对转轴的角动量等于刚体 转动的角速度和刚体相对转轴的转动惯量的乘积
➢质点对转轴的转动惯量：
例1：单摆
例2：圆锥摆
θ
θ
—— 刚体力学 ——
刚体的角动量与转动惯量
➢分立质点系对转轴的转动惯量：
a
Mz 一定，I
m是质点平动惯性的量度 I是刚体转动惯性的量度
t2 t1
Fdt
mυ2
mυ1
t2 t1
M
z
dt
Iω2
Iω1
—— 刚体力学 ——
刚体定轴转动的角动量定理
★刚体定轴转动定理的应用
➢ 一般解题思路：
M z I
1、选取研究对象。
通常采用“隔离体”法。
2、分析隔离体的受力情况，找出各力的力矩。