分组与分配
数字的分组和分配
数字的分组和分配数字在我们生活和工作中随处可见，它们承载着信息、表达着数值，对于数字的分组和分配也是我们经常需要进行的操作。
本文将介绍数字分组和分配的基本概念及其在实际应用中的具体操作方法。
一、数字的分组数字的分组是指将一串数字按照一定的规则进行划分，以方便我们对其进行处理和理解。
常见的数字分组方法有以下几种：1. 千位分隔法千位分隔法是我们最常见的数字分组方法，即在数字每隔三位加上一个逗号。
例如，将数字123456789分组后的结果为123,456,789。
这种分组方法在金融、财务等领域常用于表示金额、数量等大数字的表达。
2. 数字字符串分组对于较长的数字字符串，我们可以按照每个字符或每几个字符为一组进行分组。
例如，数字字符串"123456789"按照每三个字符为一组进行分组，结果为"123,456,789"。
这种分组方法在计算机编程中常用于处理长数字字符串。
3. 数字分段分组有些情况下，我们需要将数字按照具体含义进行分段分组。
例如，将一个三位数的年份分为年、月、日进行分组，如"20210901"可以分组为"2021年09月01日"。
这种分组方法在时间、日期等领域常用于数据的表示和处理。
二、数字的分配数字的分配是指将一定数量的数字按照某种规则分配到不同的组或者对象中。
常见的数字分配方法有以下几种：1. 平均分配平均分配是将一定数量的数字均匀地分配到不同的组中，每个组中的数字量尽量相等。
例如，将10个数字平均分配到5个组中，即每个组中分配2个数字，如[1, 2], [3, 4], [5, 6], [7, 8], [9, 10]。
2. 比例分配比例分配是根据预设的比例将数字按照不同的比例分配到不同的组中。
例如，将100个数字按照2:3:5的比例分配到三个组中，即第一组分配20个数字，第二组分配30个数字，第三组分配50个数字。
排列组合题型全归纳 专题14 分组与分配问题(解析版)
专题14分组与分配问题【方法技巧与总结】分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成n 堆（组）必须除以nn A ；如果有m 堆（组）元素个数相同，必须除以m m A .【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A ．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B ．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C ．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D ．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；【答案】D【解析】选项A ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有22264290C C C =种分配方法，故该选项错误；选项B ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有411362132290C C C A A =种分配方法，故该选项错误；选项C ，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有2264C C 种方法，其余分给丙丁每人各1本，有22A 种方法，所以不同的分配方法有222642180C C A =种，故该选项错误；选项D ，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有221146421422221080C C C C A A A =种方法，故该选项正确.故选：D.例2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（）A ．240种B ．360种C ．450种D ．540种【答案】D 【解析】由题知，6名教师分3组，有3种分法，即1，2，3；1，1，4；2，2，2，共有1142221236546426532323C C C C C C C C C 90A A ++=种分法，再分配给3所学校，可得3390A 540⨯=种.故选：D.例3．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录人､采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（）A ．450种B ．72种C ．90种D ．360种【答案】A【解析】6名志愿者分成三组，每组至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种：人数为123--的三组，共有12336533C C C A 360⋅=种；第二种：人数为222--的三组，共有2223642333C C C A 90A ⋅=种.所以不同的安排方法共有36090450+=种，故选：A .例4．（2023·陕西铜川·校考一模）将4名新招聘的工人分配到A ，B 两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（）A ．36种B ．14种C ．22种D ．8种【答案】B【解析】将4名工人，安排到两个车间：分为其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人和两个车间都安排两名工人，两种情况.其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人的方案有：3412238C C A ⋅⋅=；两个车间都安排两名工人的方案有：422222226C C A A ⋅⋅=.所以，不同的安排方案有8614+=.故选：B.例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（）A ．540种B ．300种C ．210种D ．150种【答案】D【解析】先将每天读书的本数分组，有1,2,2和3,1,1两种分组方案，当按1,2,2分组时，有22353322C C A 90A =种方法，当按按3,1,1分组时，有3353C A 60=种方法，所以不同的选择方式有9060150+=种.故选：D.例6．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A ，B ，C 三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B 企业，乙不去C 企业，则不同的派遣方案共有（）A ．42种B ．30种C ．24种D ．18种【答案】D【解析】若甲乙去同一企业，则甲乙只能去B 企业，剩下的4人平均分去两个企业，共有22242222C C A 6A ⨯=种；若甲乙不去同一企业，分两步，第一步：先给甲乙两人选同伴，有1143C C 种，第二步：将这三组分去三个企业，因为甲去B 企业，乙不去C 企业，所以共有1种分法，由分步乘法计数原理可得：共有1143C C 112⨯=种；所以不同的派遣方案共有61218+=种，故选：D .例7．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5名大学生分为4组，有25C 10=种分组方法，②将分好的4组安排参加4个项目参加志愿活动，有44A 24=种情况，则有1024240⨯=种分配方案；故选：C ．例8．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（）A ．36B ．81C ．120D ．180【答案】D【解析】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有15C 5=种不同的选派方案，再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，有2343C A 6636=⨯=种不同的选派方案，所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有123543C C A 536180=⨯=种.故选：D .例9．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（）种安排方法A ．335B ．100C ．360D ．340【答案】C【解析】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有22264233C C C 15A ⋅⋅=在把这三组老师安排给三位不同学生辅导的不同安排方案数为：33A 6=，根据分步计数原理可得共有不同安排方案为：2223642333C C C A 15690A ⋅⋅=⨯=如果把甲老师安排去辅导同学1的方法数为：2212425222C C 1C A 30A ⋅⋅⋅=所以把6位老师平均安排给三位学生辅导且甲老师不安排去辅导同学1的方法数为903060-=②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导的方法数为：若1同学只安排了一位辅导老师则11425542C C C A 50⋅=若1同学安排了四位辅导老师则4252C A 10=所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为60③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导的方法数为；若1同学只安排了一位辅导老师则12325532C C C A 100⋅=若1同学只安排了两位辅导老师则21325432C C C A 80⋅=若1同学只安排了三位辅导老师则31225322C C C A 60⋅=所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为6080100240++=综上把6位老师安排给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为2406060360++=故选：C例10．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（）A ．1880种B ．2940种C ．3740种D ．5640种【答案】B【解析】5名女老师分配到三个社区，分配的方案有1:1:3型与1:2:2型，对于1:1:3型，女老师的分配情况有3353C A 60=，其中只有一个社区女老师的人数超过2，则5名男老师只能分配去这个村，即总分配情况为60；对于1:2:2型，女老师的分配情况有2213531322C C C A 90A =，其中有两个社区女老师的人数为2，则将5名男老师分配去两个社区，则分配方案有0:5型、1:4型与2:3型，则分配情况有242232252532A +C A C C A 32+=，即总分配情况为32902880⨯=；综上所述，2880602940+=.故选：B.例11．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（）A ．96种B ．124种C ．150种D ．130种【答案】C【解析】根据题意：分2步进行：①5人在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，可以把5人分成三组，一种是按照1,1,3；另一种是按照1,2,2；当按照1,1,3来分时共有35C 10=种分组方法；当按照1,2,2来分时共有225322C C15A =种分组方法；则一共有101525+=种分组方法；②将分好的三组对应三家酒店，有33A 6=种对应方法；则安排方法共有256150⨯=种，故选：C .例12．（2023秋·河南焦作·高二温县第一高级中学校考期末）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）A ．540种B ．180种C ．360种D ．630种【答案】A【解析】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区，可分为3种情况，第一类：6名志愿者分成123++，共有12336533C C C A 360=（种）选派方案，第二类：6名志愿者分成114++，共有1143654322C C C A 90A =（种）选派方案，第三类：6名志愿者分成222++，共有2223642333C C C A 90A =（种）选派方案，所以共3609090540++=（种）选派方案，故选：A.例13．（2023·全国·高三专题练习）佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（）A ．240B ．180C ．690D ．150【答案】A【解析】第一种情况，当中门的志愿者有3人时，其他两个门有1个门1人，1个门2人，有322632C C A 120=种，第二种情况，当中门有2人时，其他两个门也分别是2人，222642C C C 90=种，第三种情况，当中门有4人时，其他两个们分别1人，有4262C A 30=种，所以不同的分配方法种数是1209030240++=.故选：A例14．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去,,A B C 三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A ．28种B ．32种C ．36种D ．42种【答案】C【解析】将甲、乙看成一个元素A ，然后将A 、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有21142122C C C 6A =种，再将3组分到3个不同小区有33A =6种，所以满足条件的安排方法共有66=36⨯种.故选：C例15．（2023·全国·高三专题练习）某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（）A ．72B ．108C ．216D ．432【答案】C【解析】根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421322C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213322C C C A A 216A ⋅⋅=种不同的分配方案.故选：C.例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A ．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有15种分法；B ．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C ．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法；D ．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；【答案】BD【解析】对于A ，6本不同的书分给甲､乙､丙三人，每人各2本，共有226415690C C =⨯=种分法，A 错误；对于B ，6本不同的书分给甲､乙､丙三人，一人4本，另两人各1本，共有1136532215690C C A A ⋅=⨯=种分法，B正确；对于C ，6本不同的书分给甲乙每人各2本，丙丁每人各1本，共有221642180C C C =种分法，C 错误；对于D ，6本不同的书，分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，共有22146424222245241080C C C A A A ⋅=⨯=种分法，D 正确；故选：BD.例17．（多选题）（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）九本书籍分给三位同学，下列说法正确的是（）A ．九本书内容完全一样，每人至少一本有28种不同的分法B ．九本书内容都不一样，分给三位同学有9319683=种不同的分法C ．九本书内容完全一样，分给三位同学有55种不同的分法D ．九本书内容都不一样，甲同学至少一本，乙同学至少二本有63729=种不同的分法【答案】ABC【解析】对于A ，9本相同的书分给三位同学，每人至少一本，利用挡板法分析，在9本书之间的8个空位中任选2个，插入挡板即可，有28C 28=种不同的分法，故A 正确；对于B ，根据题意，9本书内容都不一样，则每本书都可以分给3人中的任意一人，即有3种分法，所以9本书有9319683=种不同的分法，故B 正确；对于C ，由9本书内容完全一样，则将这9本书和2个挡板排成一排，利用挡板将9本书分为3组，对应3位同学即可，则有211C 55=种不同的分法，故C 正确；对于D ，可以分11类情况：①“1，2，6型”有126986C C C 41008⨯=；②“1，3，5型”135985C C C 42016⨯=；③“1，4，4型”144984C C C 21260⨯=；④“1，7，1型”171981C C C 72=；⑤“1，8，0型”1898C C 9=；⑥“2，2，5型”225975C C C 32268⨯=；⑦“2，3，4型”234974C C C 67560⨯=；⑧“2，7，0型”2797C C 272⨯=；⑨“3，3，3型”333963C C C 1680=；⑩“3，6，0型”3696C C 2168⨯=；⑪“4，5，0型”4595C C 2252⨯=，所以有1008+2016+1260+72+9+2268+7560+72+1680+168+252=16365种不同的分法，故D 错误．故选：ABC ．例18．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有_________种不同的分配方法．【答案】150【解析】根据题意，先把5名医生分成3组再分配，一是分成3,1,1然后分配，共有3353C A 10660⋅=⨯=种分配方法，二是分成2,2,1然后分配，共有22353322C C 30A 690A 2⋅=⨯=种分配方法，所以共有6090150+=种分配方法.故答案为：150.例19．（2023·高三课时练习）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有_________种.【答案】684【解析】根据题意，分3步完成：第一步：将6名护士分成3组，每组1至3人，其中护士甲和护士乙分到同一组，若甲和乙一组，将其他4人分成2组即可，有23441C C 72+=种分组方法；若甲乙组恰有3人，从其他4人中选1人分到甲乙组，剩下的3人分成2组，有234C 12=种分组方法；则护士有71219+=种分组方法；第二步：将3名医生分成3组，每组1人，有1种分组方法；第三步：将分好的三组护士和三组医生安排到三家医院，有3333A A 6636=⨯=种安排方法；根据分步乘法计数原理得19136684⨯⨯=种分配方法.故答案为：684.例20．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）8支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定第一轮4场比赛的分组，再确定第一轮的4支胜者队伍在第二轮2场比赛的分组，最后确定第二轮的2支胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次性完成制定(与具体每场比赛的胜者是谁无关).则赛程表有___________种.【答案】315【解析】由已知可得第一轮比赛的安排方法数为2222864244C C C C A ，即105种安排方法，第二轮比赛的安排方法数为224222C C A ，即3种安排方法，第三轮比赛的安排方法数为1，由分步乘法计数原理可得所有的安排方法数为315；故答案为：315.例21．（2023·全国·高三专题练习）现有6位教师要带4个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案共有______种.【答案】432【解析】由于每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，所以分以下两类情况：①甲乙一起带队，则需要把其余的四位老师分成三组，共有24C 种分法，再将四组老师分到4个班级共有44A 种分法；即甲乙同队共又2444C A 144=种；②甲、乙分别于另外一位老师一起带队，先将其他四位老师分到4个班级共有44A 种分法，再将甲、乙分别分到两个不同的班级共有24A 种分法；即甲、乙不同队共有4244A A 288=；综上可知，不同的带队方案共有144288432+=种.故答案为：432例22．（2023·高二课时练习）把5名志愿者分到3所学校去服务，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法有______种．【答案】150【解析】当分成三组，分别为1，1，3时有31152122C C C P ⋅⋅种；当分成三组，分别为2，2，1时有22153122C C C P ⋅⋅种再将分好的三组对应到三所学校共有311221352153132222C C C C C C P 150P P ⎛⎫⋅⋅⋅⋅+⋅= ⎪⎝⎭故答案为：150.例23．（2023·全国·高三专题练习）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有__种．【答案】60【解析】由题知，①将5名大学生分成1,2,2的三组，有22153122C C C 15P =种分组方法，②甲同学所在的组不去观看冰球比赛，有2种情况，剩下的2组任意选择，有222P 4=种情况，所以有15460⨯=种方案．故答案为：60例24．（2023·全国·高三专题练习）从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有______种不同的取法．【答案】130【解析】当恰好有2只能配成一双有：12115422C C C C 120⨯⨯⨯=；当恰好有4只能配成两双有：25C 10=；故共有12010130+=种不同的取法.故答案为：130例25．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【答案】36【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例26．（2023·全国·高三专题练习）A 、B 、C 、D 四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A 和B 不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.【答案】30【解析】根据题意，若A B C D 、、、四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，则共有2343C A 36=种情况，若A B C D 、、、四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，A 和B 参加同一科的有2323C A 6=种情况；所以，满足题意的情况共有23234323C A C A 30-=种.故答案为：30.例27．（2023·全国·高三专题练习）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有__________种．【答案】210【解析】先从6个班级中选择2个班级去黄山，则有26C 种情况，接下来4个班级可分为两种情况：第一种情况，2个班级去九华山，2个班级选择取天柱山，则有2242C C 种情况，第二种情况，3个班级去九华山或天柱山，剩余的1个班去另一个山，则有342C 种情况，综上：恰好有2个班级选择黄山的方案有()22236424C C C 2C 210+=．故答案为：210例28．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．【解析】（1）根据分步计算原理可知，1236535461602C C C ⨯⋅⋅=⨯⨯=，所以分成1本、2本、3本三组共有60种方法；（2）由（1）可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，再分给甲、乙、丙三人，所以有336060321360A ⋅=⨯⨯⨯=种方法；（3）先分三步，则应是222642C C C ⋅⋅种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A 、B 、C 、D 、E 、F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则222642C C C ⋅⋅种分法中还有(AB ，EF ，CD )、(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF ，AB )、(EF ，CD ，AB )、(EF ，AB ，CD )，共33A 种情况，而且这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有22264233C C C A ⋅⋅＝15(种)．（4）在问题（3）的基础上再分配即可，共有分配方法2223642333C C C A A ⋅⋅⋅＝90(种)．例29．（2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选1本有16C 种选法;再从余下的5本中选2本有25C 种选法;最后余下的3本全选有33C 种选法.故共有12365360C C C =(种)选法.（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在1题的基础上,还应考虑再分配,共有12336533360C C C A =.（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是222642C C C 种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A ,B ,C ,D ,E ,F ,若第一步取了AB ,第二步取了CD ,第三步取了EF ,记该种分法为(AB ,CD ,EF ),则222642C C C 种分法中还有(AB ,EF ,CD ),(CD ,AB ,EF ),(CD ,EF ,AB ),(EF ,CD ,AB ),(EF ,AB ,CD ),共有33A 种情况,而这33A 种情况仅是AB ,CD ,EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有2226423315C C C A =.（4）有序均匀分组问题.在3题的基础上再分配给3个人,共有分配方式222364233390C C C A A ⋅=(种).（5）无序部分均匀分组问题.共有4116212215C C C A =(种)分法.（6）有序部分均匀分组问题.在5题的基础上再分配给3个人,共有分配方式411362132290C C C A A ⋅=(种).（7）直接分配问题.甲选1本有16C 种选法,乙从余下5本中选1本有15C 种选法,余下4本留给丙有44C 种选法,共有11465430C C C =(种)选法.例30．（2023春·甘肃兰州·高二校考开学考试）某校高三年级有6个班，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．【解析】除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：①4个名额全部分给某一个班，有16C 种分法；②4个名额分给两个班，每班2个，有26C 种分法；③4个名额分给两个班，其中一个班1个，一个班3个，共有26A 种分法；④4个名额分给三个班，其中一个班2个，其余两个班每班1个，共有1265C C ⋅种分法；⑤4个名额分给四个班，每班1个，共有46C 种分法．故共有122124666656C C A C C C 126+++⋅+=（种）分配方法．例31．（2023·全国·高三专题练习）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：(1)每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？(2)恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？(3)每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？(4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？【解析】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为44A 24=（种）；（2）先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为2344C A 144=（种）；（3）考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3，因此，所求放法种数为248⨯=（种）；（4）按两步进行，空盒编号有4种情况，然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空（不包括两端）中插入2块板，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为234C 12=（种）.例32．（2023·全国·高二专题练习）设有编号为1、2、3、4、5的5个球和编号为1、2、3、4、5的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子内．(1)只有1个盒子空着，共有多少种投放方法？(2)没有1个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？(3)每个盒子内投放1球，并且至少有2个球的编号与盒子编号相同，有多少种投放方法？【解析】（1）首先选定两个不同的球，作为一组，选法有25C 10=种，再将4组排到4个盒子，有45A 120=种投放法．∴共计101201200⨯=种方法；（2）没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有55A 种，而球的编号与盒子编号全相同只有1种，所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有55A 1119-=种．（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种；第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种；第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：25C 10=种；第四类，两个球的编号与盒子编号相同的放法：252C 20=种．所以满足条件的放法数为：1102031++=种．。
临床研究中的样本分组与随机分配的方法与结果分析
临床研究中的样本分组与随机分配的方法与结果分析在临床研究中，样本的分组和随机分配是非常重要的步骤，它们能够确保研究结果的可靠性和可比性。
本文将介绍样本分组和随机分配的方法，并分析其对研究结果的影响。
一、样本分组方法样本分组方法是根据研究的要求和目的，将参与研究的样本按照一定的规则划分到不同的组别中。
常见的样本分组方法包括：1. 随机分组法：通过使用随机数表或计算机生成的随机数，将样本随机分配到不同组别，以避免个人和主观因素对结果的影响。
2. 分层分组法：在进行随机分组时，将样本按照重要变量（如年龄、性别、疾病严重程度等）进行层次划分，以保证各组之间的基本特征的均衡性。
3. 匹配分组法：将样本按照某些特征进行匹配，使不同组别的样本在该特征上无显著差异，以减小干扰因素对结果的影响。
4. 配对分组法：将样本按照某些特征进行两两配对，使得每一对中的两个样本在该特征上非常相似，以减小个体差异对结果的影响。
二、随机分配方法随机分配是指将样本按照一定的规则随机分配到不同的实验条件组中，以保证各个实验条件组之间的一致性。
常见的随机分配方法包括：1. 简单随机分配法：通过使用随机数表或计算机生成的随机数，将样本随机地分配到各个实验条件组中。
2. 分组随机分配法：将样本分组后，再使用随机数表或计算机生成的随机数，将每个组内的样本随机地分配到各个实验条件组中。
3. 在双盲实验中，使用特殊的随机分配方法，既保证了实验者对样本的随机分配不知情，也保证了被试者对自己所处实验条件组的不知情，以消除主观干扰。
三、结果分析在临床研究中，样本分组和随机分配的方法对结果的影响是不可忽视的。
合理的样本分组和随机分配能够保证实验组和对照组之间在基线特征上的均衡性，降低干扰因素对结果的影响。
通过分析样本分组和随机分配方法对结果的影响，可以评估研究结果的可信度和可靠性。
在结果分析中，需要考虑以下几个方面：1. 基线特征比较：对实验组和对照组之间的基线特征进行比较，以评估样本分组方法的均衡性。
二级结论专题13 排列组合
二级结论专题13排列组合、二项式定理二级结论1：排列组合中的分组与分配【结论阐述】①“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组，使用分步组合法；②“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组．不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m个组的元素是均匀的，都有A m m种顺序不同的分法只能算一种分法；③对于非均匀编号分组采用分步先组合后排列法，部分均匀编号分组采用分组法；④平均分堆问题倍缩法采用缩倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重复法）；⑤有序分配问题逐分法采用分步法）；⑥全员分配问题采用先组后排法；⑦名额分配问题采用隔板法（或元素相同分配问题隔板法、无差别物品分配问题隔板法）；⑧限制条件分配问题采用分类法．【应用场景】需要根据题意判断出符合题意的分组、分配方式，涉及平均分配、部分平均不定向分配、非平均不定向分配，以及分类、分步计数原理等．【典例指引1】1．某高校从某系的10名优秀毕业生中选派4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？【典例指引2】2．有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？【针对训练】（2022·江苏省苏州）3．现有5个不同的小球，放到标号分别为①②③的三个空盒中，每个盒子至少放一个小球，有（）种不同的放法A．240种B．150种C．360种D．540种4．将20个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为（）A．1615B．1716C．286D．3645．10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有_________种方分法.（2022·重庆巴蜀中学高二）6．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34（2022·山西·芮城）7．有3个完全相同的标号为1的小球和两个标号为2，3的小球，将这5个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为（）A ．45B ．90C ．24D ．150（2022·山西省长治市）8．某社区服务站将5名志愿者分到3个不同的社区参加活动，要求每个社区至少1人，不同的分配方案有（）A ．360种B ．300种C ．90种D ．150种（2022·江苏·昆山）9．（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法；（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法；（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法；（4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？10．按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;二级结论2：()()(),mn nax by cx dy ax by cz ++++型的系数【结论阐述】一、三项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法：（1）通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法求解；（2）将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形；（3）也可以按照推导二项式定理的方法解决问题．二、几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．【应用场景】对于()()(),mn nax by cx dy ax by cz ++++型系数问题，可以采用相应的方法解决问题。
分组与分配问题(整理他人所得)
分组与分配问题（整理他人所得）一、分组与分配的概念将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。
分组问题有完全均分、全非均分和部分均分三种情况。
将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题。
分配问题有分为定向分配和不定向分配两种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。
对于后者必须先分组后排列。
二、分组问题例1、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组2本（均分三堆）；(2)一组1本，一组2本，一组3本；(3)一组4本，另外两组各1本；分析：(1) 每组2本（均分三堆）；分组与顺序无关，是组合问题。
可分三步，应是222642C C C ⨯⨯种方法，但是这里出现了重复。
不妨把6本不同的书标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记这种分法为（AB ，CD ，EF ），那么222642C C C ⨯⨯种分法中包含着（AB ，EF ，CD ），（CD ，AB ，EF ），（CD ，EF ，AB ），（EF ，CD ，AB ），（EF ，AB ，CD ），共33A 种情况，而这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，应该除序，所以正确的分组数是：22264233C C C A ⨯⨯=15(种)。
(2) 一组1本，一组2本，一组3本；分组方法是123653C C C ⨯⨯，还要不要除以33A 呢？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有123653C C C ⨯⨯=60(种) 分法。
或231641C C C ⨯⨯或312632C C C ⨯⨯或321631C C C ⨯⨯或213643C C C ⨯⨯(3) 一组4本，另外两组各1本；分组方法是411621C C C ⨯⨯，有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
排列组合中的分组分配问题完整
五非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C61C52C33
非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 再作排列。
五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同 元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和 分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是 不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同， 仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
C61C52C33 A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
排列与组合-分组与分配问题
第一次分组：先取4个人，取到1, 2, 3, 4作为第一组，再取到 5作为第二组，剩下6作为第三组，这是一种分组的方法.
第二次分组：先取到1, 2, 3, 4作为第一组，再取到6作为第二 组，剩下5作为第三组，这两种分组方法是一样的，所以有重复.
4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有多少种？
解：根据题意，可以将5名志愿者按照2，1，1，1分成4组，再分配到4个
项目，则有：
C52
C31 C21 A33
C11
A44
240
故共有240种不同的分配方案.
课堂小结
分组问题
完全非均匀分组：分步组合； 完全均匀分组：分步组合后除以组数的阶乘； 部分均匀分组：分步组合后，若有m组元素个数相同，则除以m！
法？
解析：本题可先按照问题3将书分成三堆，分堆方法数是
C64
C21 A22
C11
15
种，再分给甲、乙、丙三人，排列方法数有 A33 种，再根据分步乘法计
数原理 ,分配方法数是
C64
C21 A22
C11
A33
90
种
.
点拨：先分组、再分配！
解决问题
情境： 将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶
思考：这样分组有什么问题吗？
探究新知
思考：这样分组有什么问题吗？ 分步骤而人为增加了顺序！！
答 : 可以假设这6个人编号为1, 2, 3, 4, 5, 6号. 第一次分组：先取到1, 2作为第一组，再取3, 4作为第二组，剩
概率中的分组与分配问题
概率中的分组与分配问题在概率学中，分组与分配问题是指将一组有限元素（总是整数）分到不同的组中，或将这些元素分配给不同的容器（也称分组中的容器），以满足某些条件。
本文讨论的是概率中的这类问题的数学表示以及在特殊情况下的解决方法。
概率学中的分组与分配问题是一个非常重要的理论。
它不仅涉及到有限组合数的计算问题，而且可以用来描述概率学中的组合问题。
其基本形式是，将元素按一定的顺序放入容器中，使每个容器都满足一定的条件。
例如，可以将元素放入n个容器中，使容器i（i≤n）中的元素数量等于aiai为可调整参数）。
在概率学中，分组与分配问题可以用来描述实际问题，并用数学方法解决。
例如，假设有一批商品，需要根据不同的价格分配到不同的市场上去销售，那么就可以用概率中的分组与分配问题来解决。
它可以让商品按照价格分到不同的市场，然后通过概率论来估计销售数量。
此外，在非线性优化模型中经常用到分组与分配问题。
这类数值最优化问题往往涉及到多个变量，这些变量可以按某一特定的概率分配到不同的维度，以便实现更好的优化效果。
分组与分配问题是一个复杂的问题，它的解决方案也有很多种。
常用的方法有贪心算法、符号搜索、回溯算法等。
贪心算法的思路是，每次从某个容器中选取一个最优的元素并加入到另一个容器中，直到所有的容器都满足预期条件为止。
这种方法简单，可以快速找到最优解，但有时也可能会让问题变得更复杂。
符号搜索和回溯算法是一种较为复杂的解决方案。
它们通过在可行解空间中进行搜索来尝试每一种可能的解。
符号搜索算法可以尝试全部的解，而回溯算法可以在搜索过程中剪枝，从而缩短搜索时间。
概率中的分组与分配问题是一个复杂但又有趣的课题，研究它可以为解决实际问题提供有效的数学技术支持。
因此，研究概率中的分组与分配问题，对于提高系统管理水平和实现优化有重要而又直接的意义。
总之，概率中的分组与分配问题是一个非常有趣的研究课题，它有许多应用领域，比如计算机科学、概率论和优化等。
排列组合中的分组分配问题
排列组合中的分组分配问题仁荣中学 杨明关键词：分组 均匀 不均匀 分配 定向分配 不定向分配 分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是624222C C C =90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C C A =15(种)。
(2)先分组，方法是615233C C C ，那么还要不要除以33A ？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C =60(种) 分法。
(3)分组方法是642111C C C =30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
人员分组分工方案
人员分组分工方案方案一：分组与分工1. 项目组人员分组- 将项目组成员按照专业能力和技术背景进行分组，确保每个组中都具备完成项目任务所需的技能和知识。
- 每个组成员要有明确的角色和职责，以便在项目中能够高效地合作和协调。
2. 分工明确- 在每个组内进一步明确分工，确保每个成员都清楚自己的工作职责和任务。
- 根据项目任务的复杂度和工作量，合理安排各组成员的工作量，避免出现人员之间工作重叠或工作不均衡的情况。
3. 协作与沟通- 设置跨组协作机制，确保各组之间的沟通畅通，有利于信息共享和问题解决。
- 定期举行小组会议，讨论项目进展、解决困难，以及跨组协调事项。
4. 监控与调整- 设立项目监控机制，及时了解项目进展和问题，以便及时调整分工和人员配备。
- 根据项目进展情况，随时对分工进行评估和调整，确保项目按计划顺利进行。
方案二：协作与分工方案1. 人员分组- 根据参与项目的人员的专业背景和技能，将其划分为不同的小组。
- 每个小组需要有明确的组长，负责协调小组工作并向整体团队汇报。
2. 分工明确- 在每个小组内部，根据项目需求和成员的专长，明确各自的具体工作任务。
- 确保分工合理，避免出现重复工作或者工作漏洞。
3. 沟通与协作- 设定定期会议时间，小组成员可以分享工作进展、遇到的问题，并共同讨论解决方案。
- 小组间需要进行交流和协作，确保各个小组之间的工作衔接和协调。
4. 监控与调整- 设立项目监控机制，对每个小组进行跟踪，确保工作进展和质量符合预期。
- 根据项目进展情况，在必要时对分工进行调整，以适应新的需求或变化。
方案三：分组与任务分配方案1. 人员分组- 将参与项目的人员根据其专业背景和技能进行合理划分，形成多个小组。
- 每个小组人数不宜过多，以便更好地协作和沟通。
2. 任务分配- 在小组内部，根据项目的任务和要求，将任务进行细化和分配。
- 每个小组成员需要承担特定的任务，确保任务的完成质量和进度。
分组与分配问题讲解纪实
分组与分配问题讲解辨析分组与分配问题可谓老生常谈，很多教师在论文中谈到，我认真阅读，做了透彻分析；前一阶段，教研活动，又听了其他教师的课程讲授，同头教师在关于分组与分配问题的讲解上又进一步进行了探讨，有以下感受与同行探讨。
一：分组与分配的定义理解1、分配：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题。
分定向分配和不定向分配两种。
2、分组：将n个不同元素按照某些条件分成k组，成为分组问题。
分组问题有平均分组、不平均分组、与部分平均分组三种情况。
分组与分配是有区别的，但也有联系存在。
前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同仍可取分。
因此，对于后者必须先分组后排列。
讲解透析：但仅仅向学生说明定义，就以具体的模式讲解例子，学生自然不能理解，所以在讲授时必须以简单实例，真正分组、分配给予演示。
二：特例演示：(一)基本的分组问题例1：6本不同的书分为3组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每组两本（2）一组一本，一组两本，一组三本（3）一组四本，另外两组各一本以此例分析：（1）把6本书设置上具体的编号，再分组，让学生真正体会均匀分组中存在的组的顺序问题。
（2）让学生体会，因不是均匀分组，所以不存在组的顺序问题。
（3）因存在两组的均分问题，所以两组之间存在组的轮换顺序问题。
通过以上3小题的分组问题，得出结论。
更形象些，直观些。
（二）基本的分配问题1、定向分配例2：6本不同的书分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下的不同分配方法？（1）甲两本，乙两本，丙两本（2）甲一本，乙两本，丙三本（3）甲4本，乙一本，丙一本分析：由于每个人几本是一定的，属于分配中的定向问题，由于有了上例的具体演示，所以学生不难理解乘法中存在的组轮换顺序问题。
2、不定向分配例3：6本不同的书分给甲乙丙三人，求在下列条件下的不同分配方法？（1）每人两本（2）一人一本，一人2本，一人三本（3）一人四本，一人一本，一人一本分析：(1)与上例中的（1）同，都是没人两本，学生基本从字面意思能够理解（2）与上例中（2）比较，在上例(2)分配好的基础上再加以轮换，因为不指定谁得到一本、两本、三本。
分组问题和分配问题
分组问题和分配问题一、问题的提出（课本习题）4名同学报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中1个运动队，不同报名方法和种数是43还是34？解法1：分4步，第1步，第1名同学报名，有3种方法；第2步，第2名同学报名，有3种方法┅┅，所以共有43。
解法2：分3步，第1步，确定足球队的人选，有4种方法；第2步，确定篮球队的人选，有4种方法┅┅，所以共有34。
解法2错在哪里？ 依解法2应分成3类。
第1类先把4名同学分成1组，再分配给1个运动队有3种方法；第2类把同学分成2组（1、3或2、2），再分配给2个运动队，有232222241134)(A A C C C C 种；第3类分成3组（2、1、1），再分配给3个运动队，有3322111224A A C C C 种。
二、分配问题定义：把一类对象分配给另一类对象来接受的问题。
释义：把分配对象视作“元素”，接受对象视作“位置”，实质是元素和位置的对应问题。
故解题的关键是分清谁是元素，谁是位置。
基本类型：1） 元素和位置之间“一对一”。
实质就是排列问题，种数为mn A ；2） 元素和位置之间“多对一”。
即一个元素只能占一个位置，而一个位置允许容纳多个元素，种数为nm 。
例1：8名大学生分配给9个工作单位，每个单位只接受1名，有多少种分配方法？（89A ） 例2：9名大学生分配给8个工作单位，每个单位只接受1名，有多少种分配方法？（89A ）例3：将6封信投入4个不同的信箱，有多少种不同的投法？（64） 例4：把3名学生分配给5个不同的班级，有多少种不同的分配方法？（35） 例5：将6本不同的教学参考书借给3位教师，有多少种不同的借法？（63） 例6：8名体操运动员争夺6个体操冠军，有多少种不同的结果？不设并列冠军（68）三、分组问题定义：将n 个不同的元素分成p 组，有多少种不同的分组方法；无序分组：将n 个不同的元素分成p 组，各组元素数目为m 1，m 2，┉┉m p ，其中组内元素数目相等的组数分别为k 1，k 2，┉┉k s ，那么种数为s sp pk k k k k k mm m m n m n AA A C C C N 2211211-=。
分组与分配
③按“1
∶
1
∶
4”型分： N3
C61C51 2!
C44
15
先均匀后非均匀
N3
C64
C21C11 2!
15
一、分组：
1.相同元素的分组： 2.不同元素的非均匀分组： 3.不同元素的均匀分组： 4.不同元素的混合分组：
二、分配：
1.不同元素的分配： 先分组后分配
2.相同元素的分配(分组)： 0—1(挡板)法
2!
②将3n个不同元素均匀的分成3组,共有 C3nnC2nnCnn 种分法 4.不同元素的混合分组：先均匀后非均匀 3!
二、分配：
1.不同元素的分配： 先分组后分配 2.相同元素的分配(分组)：0—1法
一、分组：
1.相同元素的分组：参分配 2.不同元素的非均匀分组：常规法处理 3.不同元素的均匀分组：
⑦分配
均匀分配 非均匀分配
先分组后分配
⑧错排：二元1种；三元2种；四元9种……
⑨定序——倍缩法(等概率法)；插空法
⑩染色——递推法
§103 分组与分配
一、分组：
1.相同元素的分组：参分配 2.不同元素的非均匀分组：常规法处理 3.不同元素的均匀分组： ①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有 C2nnCnn 种分法
二、分配：
1.不同元素的分配：
先分组后分配
练习2.不同元素的分配：
(4)(2007年新课标)某校安排5个班到4个工厂
进行社会实践，每个班去一个工厂，每个
工厂至少安排一个班，不同的安排方法共
有
种
解：N
( C51C41C31 3!
C22 )
A44
240
(5)(2008年湖北)将5名志愿者分配到3个不同的 奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配 一名志愿者的数为
幼儿活动教案的分组与角色分配建议
幼儿活动教案的分组与角色分配建议引言：在幼儿教育中，活动教案的设计是教师进行有效教学的重要工具。
而分组与角色分配则是活动教案中不可忽视的环节。
本文将探讨幼儿活动教案分组与角色分配的建议，旨在提供教师们更好地组织幼儿活动，促进幼儿全面发展。
第一部分：理解分组与角色分配的重要性分组与角色分配在幼儿活动中具有重要意义，有助于：1. 激发幼儿对活动内容的兴趣：合理的分组与角色分配能够使幼儿更加投入活动，提高他们对活动内容的兴趣。
2. 培养协作与合作意识：分组与角色分配可以促进幼儿之间的相互合作和协作，培养其提供帮助和支持的能力。
3. 促进个体发展：通过角色分配，教师可以根据幼儿的个体差异，促进其在活动中的全面发展。
第二部分：分组建议在进行幼儿活动教案的分组时，教师可以考虑以下几个因素：1. 兴趣：将兴趣相似的幼儿分在同一组，可以提高他们参与活动的积极性。
2. 水平：将能力相近的幼儿分在一组，有利于教师进行个性化教学，同时避免幼儿之间差距过大带来的困扰。
3. 异域：将不同背景、文化的幼儿分在一组，有助于他们之间的交流和相互学习。
第三部分：角色分配建议合理的角色分配是幼儿活动教案成功的重要保证，以下是一些建议：1. 组长：选取一个有领导力的幼儿作为组长，负责组织并协调小组成员的活动参与。
2. 记录员：让一个善于观察和记录的幼儿担任记录员，帮助记录活动过程中的重要信息和成果。
3. 学习者：让一个具有学习意愿的幼儿担任学习者角色，鼓励其积极学习，促进其他成员的参与。
第四部分：根据活动类型进行分组与角色分配不同类型的活动需要不同的分组和角色分配策略：1. 团队竞赛活动：可以将幼儿分成若干个小组，每个小组分别安排不同的角色，如队长、执行者等。
2. 创意绘画活动：根据幼儿的绘画水平和创作风格，将他们分成不同的组，让每个小组展示不同的创意。
3. 角色扮演活动：将幼儿分成小组，每个小组扮演不同的角色，在角色扮演中互相合作与交流。
数的运算学习使用分组和分配律进行运算
数的运算学习使用分组和分配律进行运算数的运算是数学学习中的基础，其中使用分组和分配律进行运算是非常重要的。
通过合理运用这两个运算法则，可以简化复杂的数算题目，提高计算的效率。
本文将对分组和分配律的概念进行解释，并通过应用实例来展示其在数的运算中的应用。
一、分组律分组律是指将一组数根据某种规则进行拆分，然后重新组合得出相同结果的运算法则。
在分组律中，具有交换律的运算会更容易应用。
以加法为例，对于任意三个数a、b、c，分组律可以表示为：(a + b) + c = a + (b + c)。
也就是说，当进行多个数相加的运算时，先将两个数相加，然后将得出的结果与第三个数相加，或者先将第一个数与最后一个数相加，再与中间的数相加，结果都是相同的。
例如：对于算式(3 + 5) + 2，先计算括号内的结果得到8，再与2相加，结果为10。
而对于算式3 + (5 + 2)，先计算括号内的结果得到7，再与3相加，同样结果为10。
可见，无论是先计算哪个括号内的结果，最终的计算结果都是相同的。
二、分配律分配律是指在运算中，将一个数与两个数的和相乘（或相减），等于将该数分别与两个数分别相乘（或相减）再进行运算得到的结果。
分配律在加法和乘法中都有应用，下面分别进行说明。
1. 加法中的分配律对于任意三个数a、b、c，分配律可以表示为：a × (b + c) = (a × b)+ (a × c)。
也就是说，当一个数与两个数的和相乘时，可以将其分别与这两个数相乘，再将结果相加，得到的结果是相等的。
例如：对于算式3 × (4 + 5)，可以先将4与3相乘得到12，然后将5与3相乘得到15，最后将12和15相加，结果为27。
而对于算式(3 ×4) + (3 ×5)，可以先将3与4相乘得到12，然后将3与5相乘得到15，最后将12和15相加，同样结果为27。
可以看出，无论先进行哪个运算，最终的结果都是相同的。
数的分组与分配
数的分组与分配1. 引言数的分组与分配是数学中一个重要的概念和方法，用于将一组数按照特定规则进行分组和分配。
本文将介绍数的分组与分配的基本概念、方法和应用。
2. 数的分组2.1. 定义数的分组是将一组数按照某种规则进行分类，可以根据数的特性或者需求进行分组。
例如，可以按照数的正负性、奇偶性、大小关系等进行分组。
2.2. 举例假设有一组数：{-4, -3, -2, 0, 1, 3, 5}，我们可以按照正负性将其分为负数集合和非负数集合：负数集合{-4, -3, -2}，非负数集合{0, 1, 3, 5}。
3. 数的分配3.1. 定义数的分配是将一个数或者一组数按照一定的比例或者规则进行划分或者分配。
分配可以针对整数、实数或者其他数的类型进行。
3.2. 举例假设有一个数42需要分配到四个相等的组中，我们可以进行平均分配，即每个组分配42/4=10.5。
由于分配对象是整数，所以实际上可以将其分配为10和11两部分，每个组分配10和11。
4. 数的分组与分配的应用4.1. 统计学中的分组频数在统计学中，常常需要将一组数据按照一定的范围划分为若干组，并计算每组的频数。
通过数的分组与分配，可以更加直观地展示数据的分布情况。
4.2. 经济学中的资源分配在经济学中，资源的有限性决定了需要进行合理的分配。
数的分组与分配可以帮助经济学家将资源按照一定的比例或者规则分配到不同的部门或者个体，以实现经济效益的最大化。
4.3. 数论中的数的划分问题数论研究的一个重要问题是数的划分，即将一个正整数n划分为若干个正整数的和。
数的划分问题可以通过数的分组与分配来解决。
5. 结论数的分组与分配是数学中常用的方法和概念，通过将一组数按照特定规则进行分类和划分，可以更好地分析和应用数的性质。
数的分组与分配在统计学、经济学和数论等领域都有广泛的应用，对于解决实际问题具有重要意义。
编写日期：XXXX年X月X日注意：以上仅为示例文章，实际写作时，请根据题目的要求和具体内容进行适当调整。
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解：N C62 15
针对训练：
1.《新考案》P：154 变式训练 4 (1)
2.《新考案》P：154 突破训练 1
3.(2009年复旦大学自主)将 m＋1个相同的 小球放入n 个盒子，每个盒子至少放一个 小球，共有______种放法
预习：
在与不在、含与不含、至多与至少、定序
N3
C63C33 2!
10
(3)将6人分成3组，有几种分法？
①按“2
∶
2
∶
2”型分： N1
C62C42C22 3!
15
②按“1 ∶ 2 ∶ 3”型分： N2 C61C52C33 60
③按“1
∶
1
∶
4”型分： N3
C61C51 2!
C44
15
先均匀后非均匀
N3
C64
C21C11 2!
§103 分组与分配
一、分组：
1.相同元素的分组：参分配 2.不同元素的非均匀分组：常规法处理 3.不同元素的均匀分组： ①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有 C2nnCnn 种分法
2!
②将3n个不同元素均匀的分成3组,共有 C3nnC2nnCnn 种分法 4.不同元素的混合分组：先均匀后非均匀 3!
二、分配：
1.不同元素的分配： 先分组后分配 2.相同元素的分配(分组)：0—1法
一、分组：
1.相同元素的分组：参分配 2.不同元素的非均匀分组：常规法处理 3.不同元素的均匀分组：
①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有 C2nnCnn 种分法
2!
②将3n个不同元素均匀的分成3组,共有 C3nnC2nnCnn 种分法
1.不同元素的分配：先分组后分配
2.相同元素的分配(分组)：0—1法
将n个相同元素分成 k 组，共有
C k 1 n 1
种分法
注：将n个相同元素看成是n个“0”
0 0 0 0 …… 0 0
然后将k-1个隔板“1” 插入n-1个空位即可
所以称为0—1法；隔板法；挡板法
练习3.相同元素的分配(分组)：
(6)现有10个保送上大学的名额，分配给3所学校，每校 至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？
3!
4.不同元素的混合分组：先均匀后非均匀
练习1.不同元素的分组： (1)将6人分成6组，有几种分法？
解：N=1种
(2)将6人分成2组，有几种分法？
解：N C63C33 20
①按“1∶5” 型分： N1 C61C55 6
②按“2∶4” 型分： N2 C62C44 15
③按“3∶3”
型分：
15
一、分组：
1.相同元素的分组： 2.不同元素的非均匀分组： 3.不同元素的均匀分组： 4.不同元素的混合分组：
二、分配：
1.不同元素的分配： 先分组后分配
2.相同元素的分配(分组)： 0—1(挡板)法
二、分配：
1.不同元素的分配：
先分组后分配
练习2.不同元素的分配：
(4)(2007年新课标)某校安排5个班到4个工厂
排列组合型
十大题型
计数原理间的关联
化大为小是共性 顾名思义是区分
共同点 都是采用“分”的手法，将大事件化为小事件
“分类”是指完成事件共有n类办法 每类办法都能独立地完成这件事
类似于物理中的并联电路
不同点
“分步”是指完成事件共有n个步骤 每一步都不能独立完成这件事
类似于物理中的串联电路Fra bibliotek说明最终结果“分类” 用“加 法 最”终结果“ 分步”用“乘 “法分”类”要不重不漏；各类间要互斥独立
( C51C41 2!
C33)
A33
( C52C32 2!
C11)
A33
150
一、分组：
1.相同元素的分组： 2.不同元素的非均匀分组： 3.不同元素的均匀分组： 4.不同元素的混合分组：
二、分配：
1.不同元素的分配： 先分组后分配
2.相同元素的分配(分组)： 0—1(挡板)法
二、分配：
排列有序，组合无序 ;可用特值法来验证有无顺序
②互异性
同一个元素是不允许重复的排列
③线排性
不尽相异元素的全排列公式
已知n个元素中，有m1个元素相同，又有m2个元素相同
……又有mk个元素相同(m1+m2+…+mk≤n)
则这n个元素所有的排列数为：N
n!
称其为不尽相异元素的全排列
m1 !m2 !L mk !
解：N C122 66
(9)将10个相同的小球放入编号为1，2，3的 三个盒子，要求每个盒子中的小球数 不少于该盒子的编号数，则共有______种 不同的放法
析1 ：首先在2号，3号盒子中 分别放入1个和2个小球
析2 ：则原问题等价于： 将7个相同的小球放入三个不同的盒子 要求每个盒子至少放一个小球 则共有______种不同的放法
进行社会实践，每个班去一个工厂，每个
工厂至少安排一个班，不同的安排方法共
有
种
解：N
( C51C41C31 3!
C22 )
A44
240
(5)(2008年湖北)将5名志愿者分配到3个不同的 奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配 一名志愿者的数为
A.540 C.180
B.300 D.150
解：N
两理两数四原则 十大题型递推法
①相邻——捆绑法
②不邻(相离) ——插空法
③在与不在
④含与不含 ⑤至多与至少
——
特殊优先直接法 正难则反间接法
⑥分组
相同元素——0-1法 不同元素——公式法
⑦分配
均匀分配 非均匀分配
先分组后分配
⑧错排：二元1种；三元2种；四元9种……
⑨定序——倍缩法(等概率法)；插空法
解：N C92 36
(7)将10个相同的小球放入三个盒子，要求每个盒子中 至少要有一个小球，则共有______种放法
解：N C92 36
(8)将10个相同的小球放入三个盒子， 则共有______种放法
析1：与第(7)题的区分是：允许有空盒子
析2：虚拟不空，先借不还：每个盒子先借一个装入……
析3：则与第(7)题是同类题型了：将13个小球……
“分步”要连续完整；各步间要关联独立
两理两数四原则 十大题型递推法
排列与组合的关联：
① 排列有序，组合无序，可用特值法来验证有无顺序
② 先组后排：排列可以看作是先取组合，再做全排列
Anm Cnm m!
两理两数四原则 十大题型递推法
①先理后数 ②先组后排 ③特殊优先 ④正难则反
排列的几个特点 ①有序性
体
回归分析 分布列及期望 相关分析
计数问题总述
概率 计数
两理两数四原则 复杂的计数问题 十大题型递推法 简单的计数问题
计数原理型
排列组合型
十大题型
计数原理
1.分类加法计数原理： 2.分步乘法计数原理： 3.容斥计数原理:
化大为小是共性 顾名思义是区分
复杂的计数问题 简单的计数问题
用何法？！
计数原理型
⑩染色——递推法
§103 分组与分配
一、分组：
1.相同元素的分组：参分配 2.不同元素的非均匀分组：常规法处理 3.不同元素的均匀分组： ①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有 C2nnCnn 种分法
2!
②将3n个不同元素均匀的分成3组,共有 C3nnC2nnCnn 种分法 4.不同元素的混合分组：先均匀后非均匀 3!
二、分配：
1.不同元素的分配： 先分组后分配 2.相同元素的分配(分组)：0—1法
统计学简述
利用局部研究总体的一门学科
高中数学研究的主要内容
确定关系 关系
数数关系： 代数 数形关系：解析几何
函数 方程 不等式 解析式
形形关系： 立体几何
随机关系 概率与统计
概率与统计简述
样 抽样
总
本 估计 推断