案例--探究抛物线与x轴交点情况
抛物线与直线交点问题
课题:抛物线与直线的交点问题教学目标：1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。
2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。
3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。
教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。
2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。
教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。
讲授方法： 讲授与讨论相结合教学过程：一、抛物线与x 轴的交点问题例1：已知：抛物线322--=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。
练习：1、已知：抛物线)1(3)2(2++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。
（2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值围。
2、（2013房山一模23前两问）已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式.方法总结：1、 抛物线与x 轴相交：抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴相交 ）（002≠=++a c bx ax 2.抛物线与x 轴的交点的个数（1）有两个交点 △>0 抛物线与x 轴相交（2）有一个交点 △=0 抛物线与x 轴相切（3 △<0 抛物线与x 轴相离二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点例2：求抛物线322--=x x y 与y=1的交点坐标 练习：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 如果抛物线与y=3有两个交点，求c 的取值围。
（2） 如果对于任意x ，总有y>3，求c 的取值围方法总结：1、抛物线与平行于x 轴的直线相交抛物线c bx ax ++2的图象与平行于x 轴的直线相交⎩⎨⎧=++=my bx ax y 2 新的一元二次方程m c bx ax =++2 2.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数（1 △>0 抛物线与直线相交（2 △=0 抛物线与直线相切（3 △<0 抛物线与直线相离三：抛物线与直线的交点问题例3：若抛物线221x y =与直线y=x+m 只有一个交点，求m 的值练习： 已知:抛物线），（和点0,1-3-2A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式方法总结：抛物线与直线相离没有交点与方程组没有解时抛物线与直线相切有一个交点与方程组有一组解时抛物线与直线相交有两个交点与时方程组有两组不同的解的解的数目来确定由的交点个数的图象与抛物线的图象一次函数⇔⇔⇔⇔⇔⇔⎩⎨⎧++=+=≠++=≠+=G l G l G l cbx ax y b kx y G a c bx ax y l k b kx y 22)0()0(例4：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 当c=-3时，求出抛物线与x 轴的交点坐标（2） 当-2<x<1时，抛物线与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值围方法总结：线段与抛物线的交点，要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析 练习：1、 抛物线222-m mx x y +=与直线y=2x 交点的横坐标均为整数，且m<2,求满足要求的m 的整数值2、 已知：抛物线14-2+=x x y ，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线（1）求平移后的抛物线的解析式（2）请结合图象回答，当直线y=m 与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m 的取值围3、已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++，在0x =和2x =时的函数值相等。
几何画板二次函数案例
说明： 本案例是苏科版九年级（下）数学第6章二次函数如何运用“几何画板”教学的案例，其他版本的教材也可参考使用。
运用“几何画板”教学二次函数的案例江苏省泰兴市黄桥初级中学 马京城函数是研究现实世界数量关系及变化规律的重要数学模型，在研究二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与性质、平移、翻折变换等问题时，我用“几何画板”辅助教学活动，引导学生“操作、观察----比较、猜想、探索---抽象和概括”，和学生们共同探究二次函数的有关问题，感觉比采用传统的教学手段，效果要好得多。
现按照教学顺序，将我在教学中的案例片段一一展示，供老师们参考。
一、 探究)0(2≠=a ax y 图象、性质与系数a 的关系学生会用描点法画二次函数2x y =的图象后，在多媒体教室进行以下教学。
首先，教师将事先做好的“几何画板”文件（如图1）分发给学生，图中点A 为x 轴上的动点，)0(2≠=a ax y 中系数a 的值等于点A 的横坐标。
探究序列：（1）用鼠标拖动点A（在x轴上原点向右运动）时，改变了)0yax=a(2≠中a的值，体会图象开口方向和开口大小变化；（2）拖动点A（在x轴上原点向左运动）时，改变了)0axy中(2≠=aa的值，体会图象开口方向和开口大小变化；（3）归纳发现：系数a的作用是a>0时，抛物线开口向（填上或下）；a<0时，抛物线开口向（填上或下）；a越大，抛物线开口越（填大或小）；a越小，抛物线开口越（填大或小）。
教师将事先做好的“几何画板”文件（如图2）分发给学生，图中点P为抛物线上的动点，探究序列：(1) a>0时,拖动点P，当点P在抛物线上从左到右运动（即点P的横坐标逐渐增大），观察点P的纵坐标是逐渐增大还是逐渐减小（2）a<0时，拖动点P ，当点P 在抛物线上从左到右运动（即点P 的横坐标逐渐增大），观察点P 的纵坐标是逐渐增大还是逐渐减小 （3）归纳：当自变量变化时，函数值如何变化以及函数的最大（或小）值情况。
2022-2023学年九年级数学中考复习《抛物线与x轴交点问题》解答题专题训练(附答案)
2022-2023学年九年级数学中考复习《抛物线与x轴交点问题》解答题专题训练（附答案）1．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），顶点为D．（1）请直接写出A、B两点坐标，抛物线的对称轴；（2）若点M（t，y1），N（t+3，y2），P（1，y3）都在抛物线上，且始终满足y1＞y2＞y3，请结合图象，求出t的取值范围．2．如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直线y＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接P A，PD，求△P AD的面积的最大值．3．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点为A（2，4），B（2，2），C（5，2），D （5，4），抛物线y＝ax2+bx交x轴正半轴于点E．（1）若抛物线经过A，C两点，求抛物线的解析式．（2）若a＝﹣1；①抛物线交直线CD于点M，当△OME面积为5时，求b的值；②当抛物线与矩形ABCD的边有交点时，直接写出b的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝mx2+4mx﹣5m．（1）求抛物线与x轴两交点间的距离；（2）当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C 在点D左侧），C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝8，求抛物线的解析式．5．对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3．（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）当﹣2＜x＜2时，直接写出y的取值范围．6．已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3；（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3在直线AB下方的部分与抛物线y'＝﹣x2+2x+m只有一个交点，请直接写出m的取值范围．8．如图，已知抛物线C1：y＝a（x+4）2﹣6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点B的坐标为（2，0）；（1）由图象可知，抛物线C1的开口向，当x＜﹣4时，y随x的增大而；（2）求a的值；（3）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2在x轴上平移，平移后的抛物线记为C3，当抛物线C3与抛物线C1只有一个交点时，求抛物线C3的解析式，以及交点坐标．9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和B（0，3），与x轴负半轴交于点C，点D是抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D作DE⊥AB于点E，连接BF，当点D在第一象限且S△BEF＝2S△AEF时，求点D的坐标．10．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B、C，且OB＝OC，点A坐标为（﹣1，0）．（1）求出该二次函数表达式，并求出顶点坐标．（2）将该函数图象沿x轴翻折，如图①，（Ⅰ）请直接写出翻折后的图象对应的函数表达式；（Ⅱ）翻折前后的函数图象在一起构成轴对称图形，请写出对称轴．（3）将两图象在x轴上方的部分去掉，如图②，当直线y＝﹣x+k与两抛物线所剩部分有4个交点时，请求出k的取值范围．11．当x＝﹣1时，抛物线y＝ax2+bx+c取得最大值4，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点M（m，y1），N（m+2，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；（3）对于二次函数图象上的两点P（x l，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+2，x2≥2时均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且S△ABD＝4，点P是抛物线y＝ax2+bx+c 上的动点．（1）求抛物线的函数解析式．（2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．13．如图，抛物线的顶点A是直线OD上一个动点，该抛物线与直线OD 的另一个交点为C，与y轴的交点为B，点D的坐标是（2，2）．（1）求点B的纵坐标的最小值，并写出此时点A的坐标．（2）在（1）的条件下，若该抛物线与x轴的两个交点分别为E和F，请直接写出线段EF的长度．14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标．15．设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点B（﹣2，0）、C（4，0）两点，与y轴交于点A（0，2）．（1）求出此抛物线和直线AC的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点M，求点M的横坐标x为何值时四边形ABCM 的面积最大？最大值是多少？并写出此时点M的坐标．17．已知抛物线L1的顶点为（1，），且经过点（0，3），L1关于x轴对称的抛物线为L2．（1）求抛物线L1的表达式；（2）点E在x轴上方的抛物线L1上，过点E作EF∥x轴，与抛物线L1交于点F（点E 在点F的左侧），那么在抛物线L2上是否存在点M、点N，使得四边形EFMN是矩形，且其长与宽的长度之比为3：1？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣3，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，连接BC、AC．（1）用含a的代数式求S△ABC；（2）若S△ABC＝6，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，当m﹣1≤x≤1时，y的最小值是﹣2，求m的值．19．已知抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A（2，﹣4）．（1）求a的值；（2）若抛物线与y轴的公共点为（0，﹣1），抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由；（3）当2≤x≤4时，设二次函数y＝ax2﹣mx+2m﹣3的最大值为M，最小值为N，若＝，求m的值．20．设二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a+2），其中a为实数．（1）若二次函数的图象经过点P（2，﹣1），求二次函数的表达式；（2）把二次函数的图象向上平移k个单位，使图象与x轴无交点，求k的取值范围；（3）若二次函数的图象经过点A（m，t），点B（n，t），设|m﹣n|＝d（d≥2），求t的最小值．参考答案1．解：（1）由y＝ax2﹣2ax﹣3a得到：y＝a（x﹣3）（x+1），故A（﹣1，0），B（3，0）．由y＝ax2﹣2ax﹣3a得到：y＝a（x﹣1）2﹣4a，故抛物线的对称轴是直线x＝1；（2）由（1）知，抛物线的对称轴是直线x＝1，所以点P（1，y3）是抛物线y＝ax2﹣2ax ﹣3a的顶点坐标，∵始终满足y1＞y2＞y3，∴该抛物线的开口方向向上．当点M（t，y1），N（t+3，y2）都在对称轴左侧时，t+3＜1，则t＜﹣2．当点M（t，y1），N（t+3，y2）分别位于对称轴两侧时，1﹣t＞t+3﹣1，则t＜﹣．当t＝﹣2时，t+3＝1，此时y2＝y3，与已知矛盾，故t≠﹣2．综上所述，t的取值范围是t＜﹣且t≠﹣2．2．解：（1）∵直线y＝﹣x﹣1经过点A，∴令y＝0，则0＝﹣x﹣1，∴x＝﹣1，∴A（﹣1，0），将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，﹣5），过点P作PE∥y轴，交AD于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+3t+4，∴△P AD的面积＝•PE•（4+1）＝（﹣t2+3t+4）＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，△P AD的面积最大，且最大值是．3．解：（1）把A（2，4），C（5，2）代入抛物线y＝ax2+bx中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x；（2）若a＝﹣1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+bx，①当x＝5时，y＝﹣25+5b，∴M（5，﹣25+5b），当y＝0时，﹣x2+bx＝0，x1＝0（舍），x2＝b，∴E（b，0），∴S△OME＝•OE•y M＝b（﹣25+5b）＝5，解得：b1＝或b2＝（不符合题意，舍）；②∵y＝﹣x2+bx＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的顶点坐标为（，），令＝x，则抛物线的顶点所在的图象的解析式为：y＝x2，当抛物线经过点B时满足题意，将点B的坐标（2，2）代入y＝﹣x2+bx得：2＝﹣4+2b，∴b＝3，当抛物线经过点D时满足题意，将点D的坐标（5，4）代入y＝﹣x2+bx得：4＝﹣25+5b，∴b＝，∴3≤b≤．4．解：（1）令y＝0得：mx2+4mx﹣5m＝0，∴m（x2+4x﹣5）＝0，∵m为二次函数二次项系数，∴m≠0，∴x2+4x﹣5＝0，∴x1＝﹣5，x2＝1，∴与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），∴与x轴两交点间的距离为1﹣（﹣5）＝6；（2）∵直线l过点（0，2）且平行于x轴，∴直线l的解析式为y＝2，∴y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2得：∴2＝mx2+4mx﹣5m，∴mx2+4mx﹣5m﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣5﹣，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16+20+，∵x2﹣x1＝8，∴（x1﹣x2）2＝64，∴16+20+＝64，36+＝64，＝28，∴m＝，∴y＝x2+x﹣．5．解：（1）将y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），将x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4），故答案为：（﹣1，0），（3，0）；（0，﹣3）；（1，﹣4）．（2）∵抛物线顶点坐标为（1，﹣4），∴抛物线对称轴为直线x＝1，∵抛物线经过（0，﹣3），∴抛物线经过（2，3），列表如下：x…﹣10 1 2 3…y…0 ﹣3 ﹣4 ﹣3…图象如下：（3）将x＝﹣2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝4+4﹣3＝5，∵抛物线开口向上，抛物线顶点坐标为（1，﹣4）且经过（2，﹣3），∴当﹣2＜x＜2时，﹣4≤y＜5．6．解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，解得m1＝1，m2＝﹣3，又∵m＞0，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x2+x﹣2，∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有2个交点．7．解：（1）将点A（3，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣3中，得9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）画出函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图1所示：（3）∵y'＝﹣x2+2x+m＝﹣（x﹣1）2+m+1，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下，与y轴的交点的坐标为（0，m），且可看成由抛物线y＝﹣（x﹣1）2沿对称轴（直线x＝1）上下平移得到，当抛物线y'＝﹣（x﹣1）2+m+1的顶点坐标为（1，﹣4）时，符合题意，即m+1＝﹣4，解得m＝﹣5；当抛物线y'＝﹣（x﹣1）2+m+1经过点B（0，﹣3）时，如图所示，此时有1个交点．将B（0，﹣3）代入y'＝﹣（x﹣1）2+m+1，即可解得m＝﹣3；当抛物线y'＝﹣（x﹣1）2+m+1经过点A（3，0）时，如图3所示，此时没有交点；将A（3，0）代入y'＝﹣（x﹣1）2+m+1，即可解得m＝3；如图4所示，当﹣3＜m＜3时，此时有一个交点．综上所述，m的取值范围为﹣3≤m＜3或m＝﹣5．8．解：（1）由图象和抛物线解析式可知，抛物线C1的开口向上，对称轴为x＝﹣4，∴当x＜﹣4时，y随x的增大而减小；故答案为：上，减小；（2）把点B的坐标（2，0）代入y＝a（x+4）2﹣6得，0＝a（2+4）2﹣6，解得：a＝；（3）由（2）知抛物线C1的解析式为y＝（x+4）2﹣6，∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，∴抛物线C2与的解析式为y＝﹣（x+4）2+6，∵将抛物线C2在x轴上平移，平移后的抛物线记为C3，∴抛物线C3：y＝﹣（x﹣h）2+6，联立得，（x+4）2﹣6＝﹣（x﹣h）2+6，整理得：2x2+（8﹣2h）x+h2﹣56＝0，∵抛物线C3与抛物线C1只有一个交点，∴Δ＝（8﹣2h）2﹣4×2（h2﹣56）＝0，整理得：h2+8h﹣128＝0，解得：h1＝﹣16，h2＝8，∴抛物线C3的解析式为y＝﹣（x﹣8）2+6或y＝﹣（x+16）2+6；把h＝8或h＝﹣16代入2x2+（8﹣2h）x+h2﹣56＝0中，解得：x1＝x2＝2或x3＝x4＝﹣10，当x＝2时，y＝（2+4）2﹣6＝0，当x＝﹣10时y＝（﹣10+4）2﹣6＝0，∴抛物线C3与抛物线C1交点坐标为（2，0）或（﹣10，0）．9．解：（1）将点A（3，0）和B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（3，0）和B（0，3），∴OA＝OB＝3，∴∠BAO＝45°，∵DF⊥AB，∴EF＝AE，∵AB＝3，S△BEF＝2S△AEF，∴AE＝，∴AF＝2，∴F（1，0），∴E（2，1），∴设直线DF的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝x﹣1，联立方程组，解得x＝或x＝，∵点D在第一象限，∴x＝，∴D（，）．10．解：（1）∵y＝ax2+bx+3，∴C（0，3），∵OB＝OC，∴B（3，0），又∵A（﹣1，0）．∴，解得：，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）Ⅰ如图：D（1，4），则D关于x轴的对称点D′坐标为（1，﹣4），∵翻折前后抛物线的形状、大小都相同，开口方向相反，∴翻折后的图象对应的函数表达式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；Ⅱ翻折后关于抛物线的对称轴对称，此时对称轴为直线x＝1，同时两个图象关于两个图象的交点所在的中线对称，此时对称轴为直线y＝0（或x轴）；（3）当直线y＝﹣x+k过点A时，则有三个交点，把A（﹣1，0）代入y＝﹣x+k，得k＝﹣1；当直线y＝﹣x+k与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点（相切）时，则有三个交点，联立，则x2﹣2x﹣3＝﹣x+k，即x2﹣x﹣3﹣k＝0，Δ＝1﹣4×1×（﹣3﹣k）＝13+4k＝0，解得：k＝﹣，由图像可知，若直线y＝﹣x+k与两抛物线所剩部分有4个交点，k的取值范围为﹣＜k＜﹣1．11．解：（1）由题意设抛物线y＝a（x+1）2+4，代入点C（0，3）得，a+4＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵点M（m，y1），N（m+2，y2）都在该抛物线上，∴y1﹣y2＝（﹣m2﹣2m+3）﹣[﹣（m+2）2﹣2（m+2）+3＝4m+8，当4m+8＞0，即m＞﹣2时，y1＞y2，当4m+8＝0，即m＝﹣2时，y1＝y2，当4m+8＜0，即m＜﹣2时，y1＜y2．（3）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，∴当x＝2与x＝﹣4时的函数值相等，∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，∵当t﹣1≤x1≤t+2，x2≥2时均满足y1≥y2，∴，解得：﹣3≤t≤0．12．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，∴C（0，3），B（3，0），设点A（m，0），∴抛物线对称轴为x＝（3+m），∴点D（+，﹣m+），∵S△ABD＝4，∴（3﹣m）（﹣m+）＝4，解得：m＝﹣1或m＝7（舍去），∴点A（﹣1，0），将A，B，C三点坐标代入解析式得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作PE∥OC交BC于E，PF⊥BC于F，∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PE∥OC，∴∠PEF＝∠OBC＝45°，∴PF＝PE×sin45°＝PE，∴点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，设P（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，﹣x+3），∴PE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当x＝时，PE最大值为，∴PF最大＝PE最大＝×＝，∴点P到直线BC的距离的最大值为．13．解：（1）设直线OD解析式为y＝kx，将（2，2）代入y＝kx得2＝2k，解得k＝1，∴y＝x，设点A坐标为（m，m），则抛物线解析式为y＝（x﹣m）2+m，将x＝0代入y＝（x﹣m）2+m得y＝m2+m＝（m+1）2﹣，∴点B纵坐标最小值为﹣，此时m＝﹣1，∴点A坐标为（﹣1，﹣1）．（2）由（1）得y＝﹣（x+1）2﹣1，将y＝0代入y＝﹣（x+1）2﹣1得0＝﹣（x+1）2﹣1，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，∴EF＝﹣1+﹣（﹣1﹣）＝2．14．解：（1）由题意得，，解得．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）设过A、C两点直线的解析式为y＝kx+n，由题意得，，解得．∴直线AC的解析式为y＝x﹣3．∵点P在第四象限的抛物线上，∴设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）且0＜x＜3．∵PE⊥x轴交直线AC于点D，∴可设点D的坐标为（x，x﹣3），∴PD＝|x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）|，∵点D在点P的上方，∴PD＝﹣x2+3x（0＜x＜3），即线段PD的长为﹣x2+3x（0＜x＜3）．∵线段PD的长为﹣x2+3x，∴﹣x2+3x是开口向下的抛物线，∴PD有最大值，∴当x＝﹣＝时，PD最大值＝．∴此时点P的纵坐标为y＝﹣2×﹣3＝﹣．∴此时点P的坐标为（，﹣）．15．解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．∴b+c＝2h2﹣4h﹣2＝2（h﹣1）2﹣4．把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．（3）由题意得，y＝y1﹣y2＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．∵函数y的图象经过点（x0，0），∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．16．解：（1）将（﹣2，0）、（4，0），（0，2）代入y＝ax2+bx+c中得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．设直线AC的解析式为y＝kx+n，将（0，2），（4，0）代入y＝kx+n得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2．（2）如图，作ME⊥x轴，交AC于点N，设M点坐标为（m，﹣m2+m+2），则N点坐标为（m，﹣m+2）．∴MN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m，∴S四边形ABCM＝S△ABC+S△ACM＝×6×2+4（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+8．∴当m＝2时，S四边形ABCM有最大值为8，此时M点坐标为（2，2）．17．解：（1）∵抛物线L1的顶点为（1，），∴设抛物线L1的解析式为y＝a（x﹣1）2+，将（0，3）代入解析式可得：a（0﹣1）2+＝3，解得：a＝﹣，∴抛物线L1的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+；（2）存在．∵L1的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+，且L1、L2关于x轴对称，∴L2的解析式为y＝（x﹣1）2﹣，∵E在x轴上方的抛物线L1上，故可设E（m，﹣（m﹣1）2+），∵EF∥x轴，点E在点F的左侧，且对称轴为x＝1，∴F（2﹣m，﹣（m﹣1）2+），即EF＝2﹣2m，∵四边形EFMN是矩形，∴可设N（m，（m﹣1）2﹣），故EN＝﹣（m﹣1）2+﹣（m﹣1）2+＝﹣（m﹣1）2+，∵矩形长与宽的长度之比为3：1，当EF为长时：＝，整理得：3m2﹣10m﹣32＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝，当m＝时，EF＝2﹣2m＝﹣，不符合实际意义，舍去，∴m＝﹣2，此时F（4，1）；当EF为宽时，＝，整理得：m2﹣14m＝0，解得：m1＝0，m2＝14，当m＝14时，EF＝2﹣2m＝﹣26，不符合实际意义，舍去，∴m＝0，此时F（2，3）．综上所述：F（2，3）或（4，1）．18．解：（1）∵A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，点B的坐标为：（1，0）；∵点B（1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c上，∴a+b+c＝0，∵函数的对称轴为：x＝﹣1＝﹣∴b＝2a，将b＝2a代入a﹣b+c＝0得：c＝﹣3a，故抛物线的表达式为：y＝ax2+2ax﹣3a，∴C（0，﹣3a），∵a＞0，∴OC＝3a，∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3a＝6a；（2）∵S△ABC＝6a＝6，∴a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；（3）①当m﹣1≥﹣1时，即m≥0，函数在x＝m﹣1时，取得最小值，即：（m﹣1）2+2（m+1）﹣3＝﹣2，解得：m＝±（舍去负值），故m＝；②当m﹣1＜﹣1，即m＜0时，函数在顶点处取得最小值，而顶点纵坐标为﹣4≠﹣2，故不存在m值；综上，m＝．19．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A（2，﹣4），∴4a﹣2m+2m﹣3＝﹣4，解得：a＝﹣；（2）由（1）知a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，∵抛物线与y轴的公共点为（0，﹣1），∴2m﹣3＝﹣1，解得m＝1，∴y＝﹣x2﹣x﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣）×（﹣1）＝1﹣1＝0，∴抛物线与x轴是有一个公共点，令y＝0，则﹣x2﹣x﹣1＝0，解得：x1＝x2＝﹣2，∴公共点的坐标为（﹣2，0）；（3）由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣2m，①当﹣2m＜2，即m＞﹣1时，∵a＜0，抛物线开口向下，∴当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，∴当x＝2时，M＝y max＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，当x＝4时，N＝y min＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，∵＝，∴＝，解得：m＝﹣，不符合题意；②当2≤﹣2m≤4即﹣2≤m≤﹣1时，若直线x＝2与直线x＝﹣2m接近时，则当x＝﹣2m时y取得最大值，即M＝﹣×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m ﹣3，当x＝4时，y取得最小值，即N＝﹣×42﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，∵＝，∴＝，解得：m1＝﹣，m2＝﹣（不合题意，舍去）；若直线x＝4与直线x＝﹣2m接近时，则当x＝﹣2m时y取得最大值，即M＝﹣×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m ﹣3，当x＝2时，y取得最小值，即N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，∵＝，∴＝，解得：m1＝，m2＝（不符合题意，舍去）；③当﹣2m＞4即m＜﹣2时，∵a＜0，抛物线开口向下，∴当2≤x≤4时，y随x的增大而增大，∴当x＝2时，N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，当x＝4时，M＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，∵＝，∴＝，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），综上所述，m的值为﹣或．20．解：（1）∵二次函数的图象经过点P（2，﹣1），∴（2﹣a）（2﹣a+2）＝﹣1，解得：a＝3，∴y＝（x﹣3）（x﹣3+2）＝x2﹣4x+3，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）由二次函数的交点式得二次函数与x轴交点横坐标x1＝a，x2＝a﹣2，∴二次函数的对称轴为直线x＝＝a﹣1，把x＝a﹣1代入解析式得顶点纵坐标为﹣1，∴将二次函数图象向上平移k个单位可得顶点纵坐标为k﹣1，∵图象与轴无交点，∴k﹣1＞0，∴k＞1；（3）∵二次函数的对称轴为直线x＝＝a﹣1，不妨设m＜n，∵|m﹣n|＝d，∴m＝a﹣1﹣，n＝a﹣1+，把x＝a﹣1﹣，y＝t代入函数解析式，得t＝d2﹣1，∵d≥2，∴t的最小值为0．。
【2021中考数学专题复习】抛物线与x轴的交点问题含答案
2021年九年级数学中考复习《抛物线与x轴的交点问题》1．已知二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．02．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x+3）2+k经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于点C、BD⊥y轴于点D，则图中阴影部分图形的面积和为（）A．18B．12C．9D．63．如图，二次函数y＝﹣x2+﹣1的图象交x轴于A，B两点，图象上的一点C使∠CBA ＝135°，则点C的坐标是（）A．（4，﹣1）B．（4，﹣）C．（4.5，﹣）D．（4.5，﹣）4．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝x+m 与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是（）A．﹣7＜m＜﹣3B．3＜m＜6C．﹣7＜m＜3D．﹣3＜m＜65．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0），与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（﹣4，0）D．（﹣1，0）6．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1．若关于x的一元二次方程x2+（b+1）x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣4≤x≤1的范围内只有一个解，则t的值是（）A．t＝7B．t＝3C．t＝7或t＝D．t＝3或t＝7．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．28．已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，若m，n是关于x的方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（）A．m＜p＜q＜n B．m＜p＜n＜q C．p＜m＜n＜q D．p＜m＜q＜n 9．抛物线y＝x2+bx+4与x轴有且只有1个公共点，则b＝．10．如图，抛物线y＝x2﹣3与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，4）为圆心，3为半径的圆上的动点，M是线段P A的中点，连结OM．则线段OM的最大值是．11．将抛物线y＝（x+1）2﹣4向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴只有一个交点，则a的值为．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，﹣4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A，在x轴下方作垂直于y 轴的直线BC抛物线于点B、C，连接AB、AC，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则△ABC的面积为．14．已知二次函数y1＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位得到抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为．15．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，与x轴平行的直线l交抛物线于A、B，交y轴于M．①若抛物线经过（0，4），则b＝．②若AB＝6，则OM的长为．16．若函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为．17．已知点P为二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若△APC为直角三角形且AC为直角边，则点P的横坐标的值为．18．已知关于x的二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3．（1）该函数图象经过点（2，﹣3）．①求这个二次函数的表达式及顶点坐标；②分别求出这个二次函数图象与x轴，y轴的交点坐标；（2）将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式．19．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．（1）求此抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）若直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．20．如图，已知抛物线y＝x2﹣9与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C'．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（2，0），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC 于点G．（1）求抛物线的解析式．（2）求△PQG周长的最大值及此时点P的坐标．22．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线与x轴相交于A，B两点，C为抛物线与y轴的交点，点A（﹣3，0），点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的关系式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PBC的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标．23．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（4，﹣2），且经过点B（0，6）．（1）求该二次函数的解析式．（2）求出二次函数图象与x轴的交点A和C的坐标．（3）在抛物线上存在一点P，使△ACP的面积等于8．求出点P的坐标．24．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为P，连接AC．（1）求此抛物线的表达式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP＝3S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：∵二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣＝0，解得a＝﹣2，∴二次函数y＝4x2﹣1，∴当y＝0时，0＝4x2﹣1，解得x1＝﹣，x2＝，∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根是x1＝﹣，x2＝，∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积是（﹣）×＝﹣，故选：B．2．解：把（0，0）代入y＝﹣（x+3）2+k，得﹣（0+3）2+k＝0，解得k＝6，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+6，∴B点坐标为（﹣3，6），∵BC⊥x轴于C，∴图中阴影部分图形的面积和＝S矩形OCBD＝3×6＝18．故选：A．3．解：二次函数y＝﹣x2+﹣1中，令y＝0，则y＝﹣x2+﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A（1，0），B（3，0），过点C作CD⊥x轴于点D，∵∠CBA＝135°，∴∠CBD＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，设BD＝CD＝m，∴C（3+m，﹣m），∵点C在二次函数y＝﹣x2+﹣1的图象上，∴﹣m＝﹣（3+m）2+（3+m）﹣1，解得m1＝1，m2＝0（舍去），∴C（4，﹣1），故选：A．4．解：如图所示，当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m一定小于0，故选：A．5．解：令x＝0，得到y＝c，∴C（0，c），∵D（m，c），得函数图象的对称轴是x＝，设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x＝，得＝，解得x＝﹣2，即A点坐标为（﹣2，0），故选：B．6．解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，解得b＝2，∴一元二次方程x2+（b+1）x+3﹣t＝0可以写成x2+3x+3﹣t＝0，当方程x2+3x+3﹣t＝0有两个相等的实数根时，32﹣4×（3﹣t）＝0，解得t＝，此时x ＝﹣＝﹣，∵关于x的一元二次方程x2+（b+1）x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣4≤x≤1的范围内只有一个解，∴当t＝，x＝﹣符合题意；令y＝x2+3x+3﹣t，则或，解得t＝7，由上可得，t的值是或7，故选：C．7．解：∵ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴ax2+bx＝2﹣m有两个不相等的实数根，令y1＝ax2+bx，y2＝2﹣m（表示与x轴平行的直线），∴y1与y2有两个交点，∴2﹣m＜2，∴m＞0∵m是整数，∴m＝1，故选：C．8．解：∵二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，∴该函数开口向上，当x＝p或x＝q时，y＝﹣2，∵m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，∴y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，当x＝m或x＝n时，y＝0，∴p，q一定处在m，n中间故选：A．9．解：令y＝0，则当抛物线y＝x2+bx+4的图象与x轴只有一个公共点时，关于x的一元二次方程x2+bx+4＝0的根的判别式△＝0，即b2﹣4×4＝0，解得b＝±4．故答案是：±4．10．解：令y＝x2﹣3，则x＝±3，故点B（﹣3，0），设圆的半径为r，则r＝3，连接PB，而点M、O分别为AP、AB的中点，故OM是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OM最大，则OM＝BP＝（BC+r）＝（+3）＝4，故答案为：4．11．解：抛物线y＝（x+1）2﹣4向上平移a个单位后得到的抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4+a，此时抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4+a），因为新抛物线恰好与x轴有一个交点，所以﹣4+a＝0，解得a＝4．故答案为：4．12．解：根题意知，当CD⊥y轴时，线段CD最短．∵点C的坐标为（2，﹣4），∴点D的坐标为（0，﹣4）．将其代入y＝ax2﹣4ax+3a，得3a＝﹣4，解得a＝﹣．∴该抛物线解析式是：y＝﹣x2+x﹣4．∵y＝﹣x2+x﹣4＝﹣（x﹣2）2+．∴该抛物线的顶点坐标是（2，）．∴抛物线顶点纵坐标为．故答案是：．13．解：由抛物线y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1知，A（1，1）．∵点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，∴y B＝﹣3．则﹣x2+2x＝﹣3，即x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1．∵BC⊥y轴，∴B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3）．∴BC＝4．∴S△ABC＝×4×4＝8．故答案是：8．14．解：设点M为抛物线y1的顶点，点N为抛物线y2的顶点，连接MA、NB，则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，∵二次函数y1＝（x+1）2﹣3，∴该函数的顶点M的坐标为（﹣1，﹣3），∴点M到x轴的距离为3，∵MN＝2，∴四边形AMNB的面积是2×3＝6，∴阴影部分的面积是6，故答案为：6．15．解：①抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，则b2﹣4c＝0，抛物线过点（0，4），则c＝4，故b2﹣16＝0，解得b＝±4（舍去正值），故b＝﹣4，故答案为﹣4；②抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，则b2﹣4c＝0，设OM＝h，A、B点的横坐标分别为m、n，则：A（m，h）、B（n，h），由题意得：x2+bx+（c﹣h）＝0，则：m+n＝﹣b，mn＝c﹣h，AB＝6＝n﹣m＝＝，解得：h＝9，即OM＝9，故答案为9．16．解：x＝﹣＝﹣＝2，解得：b＝﹣4，故x2﹣bx﹣5＝2x﹣13，即为：x2﹣6x+8＝0，解得：x＝2或4，故答案为：x1＝2，x2＝4．17．解：对于y＝x2﹣2x﹣3①，令y＝0，则x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝﹣3，故点A、B、C的坐标分别为：（3，0）、（﹣1，0）、（0，﹣3）．①当∠ACP为直角时，如下图，由点A、C的坐标知，OA＝OC＝3，即直线AC的与x轴负半轴的夹角为45°，而∠ACP为直角，故直线PC的倾斜角为45°，故设直线PC的表达式为：y＝﹣x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝﹣3，故直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣3②，联立①②并解得：x＝0或1（舍去0），故点P的坐标为：（1，﹣4）；②当∠P AC为直角时，同理可得：点P（﹣2，5）；故答案为﹣2或1．18．解：（1）①∵该二次函数图象经过点（2，﹣3），∴﹣3＝22﹣（m﹣2）×2﹣3，解得m＝4．∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴二次函数顶点坐标为（1，﹣4）；②令x＝0，则y＝﹣3．∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．令y＝0，则x1＝﹣1，x2＝3．∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．（2）y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3＝（x﹣）2﹣﹣3，∴该函数的顶点坐标是（，﹣﹣3）．∴顶点恰好落在y轴上，∴该函数图象向右平移个单位．∴．19．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，∴，解得：，故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴此抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1；（3）联立方程组得：，解得：（舍去），，∴D（4，5）．在直线y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，∴F（0，1）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，∴E（0，﹣3）．∴EF＝1﹣（﹣3）＝4．过点D作DM⊥y轴于点M，∴S△DEF＝EF•DM＝8．20．解：（1）由x2﹣9＝0得，x1＝﹣3，x2＝3，∵点A位于点B的左侧，∴A（﹣3，0），∵直线y＝x+m经过点A，∴﹣3+m＝0，解得，m＝3，∴点D的坐标为（0，3），∴AD＝＝3；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+bx+3，y＝x2+bx+2＝（x+）2+3﹣，则点C′的坐标为（﹣，3﹣），∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣9），∴直线CC′的解析式为：y＝x﹣9，∴3﹣＝﹣﹣4，解得，b1＝1+，b2＝1﹣，∴新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+（1+）x+3或y＝x2+（1﹣）x+3．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（2，0），对称轴为直线x＝﹣，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣x+3．（2）令y＝0，即﹣x2﹣x+3＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2，∴A（﹣3，0），令x＝0，得C（0，3），∵直线AC经过A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，∴，∴直线AC的解析式为y＝x+3，∴∠BAO＝45°，∵PH⊥AO，PG⊥AB，∴∠AQH＝∠PQG＝∠QPG＝45°，∴△PQG是等腰直角三角形，设P（m，﹣m2﹣m+3），∴Q（m，m+3），∴PQ＝﹣m2﹣m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣m，∴当m＝﹣时，PQ max＝，此时P（﹣，），∵△PQG是等腰直角三角，∴△PQG周长＝﹣m2﹣m+（﹣m2﹣m），＝（+1）（﹣m2﹣m），＝（+1）PQ，∴△PFG周长的最大值为：（+1）．22．解：（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1，点A（﹣3，0），则点B（1，0），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），将点C的坐标代入上式并解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：点B关于函数对称轴的对称点为点A，AC交x＝﹣1于点P，此时△PBC的周长最小，理由：△PBC的周长＝BC+PB+PC＝BC+P A+PC＝BC+AC为最小，设直线AC的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣3＝1﹣3＝﹣2，故点P的坐标为（﹣1，﹣2）；（3）由点C的坐标知，OC＝3，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC＝4S△BOC，∴×3×|x|＝4××3×1，解得x＝4或﹣4．当x＝4时，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21；当x＝﹣4时，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5．∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）．23．解：（1）抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣4）2﹣2，将点B的坐标代入上式得，6＝a（0﹣4）2﹣2，解得a＝，故抛物线的表达式为y＝（x﹣4）2﹣2；（2）令y＝（x﹣4）2﹣2＝0，解得x＝2或6，故点A、C的坐标分别为（2，0）、（6，0）；（3）△ACP的面积＝×AC×|y P|＝×（6﹣2）×|y P|＝8，则y P＝±4，即±4＝（x﹣4）2﹣2，解得x＝4±2，故点P的坐标为（4﹣2，4）或（4+2，4）．24．解：（1）设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴y＝a（x+1）（x﹣3），又∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴a（0+1）（0﹣3）＝﹣3，∴a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵点A（﹣1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∵DC⊥AC，∴∠DCO+∠OCA＝90°，∵OC⊥x轴，∴∠COA＝∠COQ＝90°，∠OAC+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝∠OAC，∴△QOC∽△COA，∴，即＝，∴OQ＝9，又∵点Q在x轴的正半轴上，∴Q（9，0），设直线QC的解析式为：y＝mx+n，则，解得，∴直线QC的解析式为：y＝x﹣3，∵点D是抛物线与直线QC的交点，∴，解得，∴点D（，﹣）；（3）存在，理由：如图，点M为直线x＝1上一点，连接AM，PC，P A，设点M（1，y），直线x＝1与x轴交于点E，∴E（1，0），∵A（﹣1，0），∴AE＝2，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P，对称轴为x＝1，∴P（1，﹣4），∴PE＝4，则PM＝|y+4|，∵S四边形AEPC＝S四边形OEPC+S△AOC＝×1×（3+4）+×1×3＝5，又∵S四边形AEPC＝S△AEP+S△ACP，S△AEP＝AE×PE＝×2×4＝4，∴S△ACP＝5﹣4＝1，∵S△MAP＝3S△ACP，∴×2×|y+4|＝3×1，∴|y+4|＝3，∴y1＝﹣1，y2＝﹣7，故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP＝3S△ACP，点M的坐标为（1，﹣1）或（1，﹣7）。
《抛物线形问题》教案 (公开课)2022年冀教版数学
30.4 二次函数的应用第1课时 抛物线形问题1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥、涵洞关问题．3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如下列图)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点：拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立适宜的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一局部和矩形的一局部构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)假设要搭建一个矩形“支撑架〞AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，那么这个“支撑架〞总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M(12，0)和抛物线顶点P(6，6)；顶点坐标，可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架〞总长AD＋DC＋CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，6)．(2)设此函数关系式为y＝a(x－6)2y＝a(x－6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a(0－6)2＋6，即a＝－112.所以此函数关系式为y ＝－112(x－6)2＋6＝－112x 2＋x＋3.(3)设A(m，0)，那么B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架〞总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计建立二次函数模型：〔1〕拱桥问题；〔2〕涵洞问题.教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.第2课伟大的历史转折1教学分析知识与能力知道中共十一届三中全会召开时间；了解它的背景，理解其重大意义；了解拨乱反正加强了民主与法制建设，推动了社会主义现代化建设；学会在历史开展的进程中认识历史人物、历史事件的地位和作用过程与方法学会运用原因与结果、联系与综合等概念，理解中共十一届三中全会的召开背景与历史意义情感态度与价值观认同中国共产党完全有能力领导中国人民取得社会主义建设事业的成功；认识改革开放是我国的强国之路【重点难点】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。
用通法解决抛物线与直线、射线、线段的交点问题
用通法解决抛物线与直线、射线、线段的交点问题 抛物线c bx ax y ++=2与直线（射线或线段）n mx y +=的交点问题在中考、高考都很受命题人员的青睐，但学生面对这类问题常常犯考虑不周的错误。
下面笔者通过实例来说明解决这类问题的通法。
【例1】已知抛物线12-+-=mx x y 和点A （3，0），B （0，3），则当抛物线与线段AB 有两个不同交点时，求m 的取值范围。
分析思路：易得线段AB 的解析式为3+-=x y ，“抛物线与线段AB 有两个不同交点”实际可转化为“⎩⎨⎧+-=-+-=312x y mx x y 所对一元二次方程0412=++-x )m (x 在30≤≤x 内有两个不等根”来解决，进而转化为抛物线412++-=x )m (x y 在30≤≤x 与x 轴有两个交点，于是有：[注])(f 3表示当3=x 时412++-=x )m (x y 的值。
小结：抛物线与线段的交点问题，就是一元二次方程在给定范围内的根的个数问题，主要从端值、判别式和对称轴等方面来把握控制点，这就是解决“抛物线与线段的交点问题”的通法。
【例2】已知抛物线22++=mx x y 与经过A （0，1），B （2，3）两点的线段AB 有公共点，求m 的取值范围。
分析思路：易得线段AB 的解析式为1+=x y ，“抛物线与线段AB 有两个不同交点”实际可转化为“⎩⎨⎧+=++=122x y mx x y 所对一元二次方程011-2=++x )m (x 在20≤≤x 内有两实根”来解决，进而转化为“抛物线-在20≤≤x 与x 轴有交点”，于是有：x O y B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--<≥≥2210002m )(f ∆或02≤)(f ，进而得1-≤m 。
【参考题目】（2018•湖州）在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线22+-=x ax y （a ≠0）与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤﹣1或41≤a ＜31 B ．41≤a ＜31 C ．a ≤41或a ＞31 D ．a ≤﹣1或a ≥41 选A 。
抛物线与x轴的交点坐标公式
抛物线与x轴的交点坐标公式抛物线是一种经典的二次曲线，它的形状独特而美丽。
我们可以通过求解抛物线与x轴的交点来了解抛物线的性质和特点。
在本文中，我们将介绍如何推导出抛物线与x轴的交点坐标公式，并且探讨一些相关的应用。
让我们来回顾一下抛物线的定义。
抛物线是一个平面曲线，由所有与一个定点（焦点）到一个定直线（准线）的距离相等的点组成。
它的数学表示形式是一个二次方程，通常写作y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
要求解抛物线与x轴的交点，我们需要找到满足方程y = ax^2 + bx + c的x值。
当抛物线与x轴相交时，y的值为0，所以我们可以将方程改写为0 = ax^2 + bx + c。
为了解这个二次方程，我们可以使用求根公式。
根据一元二次方程的求根公式，对于一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的根可以通过以下公式计算得出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)现在，我们可以将这个公式应用于我们的抛物线方程0 = ax^2 + bx + c。
根据求根公式，我们可以得到两个根，分别记作x1和x2：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)这两个根分别对应于抛物线与x轴的交点的横坐标。
而纵坐标则是0，因为交点在x轴上。
所以，我们可以得到抛物线与x轴的交点坐标公式：交点1坐标：(x1, 0)交点2坐标：(x2, 0)值得注意的是，当判别式b^2 - 4ac为负数时，方程没有实数解，这意味着抛物线与x轴没有交点。
当判别式等于零时，方程有一个重根，抛物线与x轴相切于一个点。
抛物线与x轴的交点坐标公式在很多实际问题中都有很大的应用价值。
例如，在物理学中，抛物线的运动轨迹可以用来描述抛体在重力作用下的运动。
当抛体落地时，它与地面的交点坐标即为抛物线与x轴的交点坐标。
巧破解，妙拓展——一道抛物线中两条切线交点问题的探究
课程篇巧破解，妙拓展———一道抛物线中两条切线交点问题的探究张新村（江苏省张家港市乐余高级中学，江苏张家港）一、问题呈现问题：已知抛物线C ：x 2=4y 。
过抛物线C 上两点A ，B 分别作抛物线的两条切线PA ，PB ，P 为两条切线交点，O 为坐标原点。
PA ·PB 则直线OA ，OB 斜率之积为（）A.-14B.-3C.-18D.-4分析：本题主要考查抛物线标准方程及性质，直线与抛物线相切，考查学生的运算能力和抽象概括能力，也考查学生的核心素养数学，其中涉及的运算工具是导数和向量。
二、问题破解解法一：（特殊位置定结论）本题是选择题，并且是圆锥曲线动态中求定值问题，可以利用特殊位置或特殊值来得出结论。
满足PA ·PB =0的点P 有无数个，其中特殊位置是点P 在y 轴上，则一切点A ，B 关于y 轴对称，又与PB 垂直，则切线PA ，PB 斜率分别为-1，1，由y ′=12x ，可得12x 1=-1，12x 2=1，即x 1=-2，x 2=2，得出A （-2，1），B （2，1），显然直线OA ，OB 斜率之积为-14。
解法二：（几何关系代数化）分析：巧设点A ，B 坐标，利用导数求切线斜率，将PA ·PB =0转化两直线垂直，再将垂直的几何关系转化为斜率之积为-1，整体代入直线OA ，OB 斜率乘积表达式中得出结论。
设A （x 1，x 124），B （x 2，x 224），则直线OA ，OB 斜率之K OA ·K OB =x 1x 216①由抛物线C ：x 2=4y ，得y =x 24则y ′=12x ，∴K AP =12x 1，K BP =12x 2由PA ·PB =0，可得K AP ·K BP =-1，即x 1·x 2=-4②将②代入①得：K OA ·K OB =-14.点评：解法一由特殊得到一般结论，对于动态下求定值或定点问题，往往可以由特殊位置或特殊值锁定结论，然后再对一般情况进行论证；解法二则是通过解析法论证解法一的结论。
知识点215 抛物线与x轴的交点(解答)
知识点215 抛物线与x 轴的交点（解答）1. （2011•新疆）已知抛物线243y x x =-+-与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧），顶点为P ．（1）求A 、B 、P 三点的坐标；（2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出x 取何值时，函数值大于零；（3考点：抛物线与x 轴的交点；二次函数的图象；二次函数图象与几何变换．分析：（1）令y=0求得点A 、B 的坐标，根据抛物线的顶点公式求得点P 的坐标；（2）首先写出以顶点为中心的5个点的坐标，从而画出图象，结合与x 轴的交点，写出x 取何值时，函数值大于零；（3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，即对应点的纵坐标少1，从而写出函数解析式．解答：解：（1）令243=0x x -+-，解得1x =或3x =∴()A 1,0 ()B 3,0又()2y=43x x --+ =()24443x x ⎡⎤--+-+⎣⎦=()221x --+∴P (2，1)（2）表格、图象如右图所示：由图象可知当13x <<时，函数值大于零．（3）若将函数的图象向下平移一个单位，则抛物线顶点为（2，0）∴函数的表达式为()22y=2044x x x --+=-+- 点评：此题考查了抛物线与x 轴的交点以及顶点坐标、抛物线的画法以及与不等式之间的关系、抛物线的平移和解析式的变化．2. （2011•南京）已知函数y=mx2-6x+1（m 是常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．考点：抛物线与x 轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：（1）根据解析式可知，当x=0时，与m 值无关，故可知不论m 为何值，函数y=mx2-6x+1的图象都经过y 轴上一个定点（0，1）．（2）应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x 轴有一个交点；②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答．解答：解：（1）当x=0时，y=1．所以不论m 为何值，函数y=mx2-6x+1的图象都经过y 轴上一个定点（0，1）；（2）①当m=0时，函数y=-6x+1的图象与x 轴只有一个交点；②当m ≠0时，若函数y=mx2-6x+1的图象与x 轴只有一个交点，则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根，所以△=（-6）2-4m=0，m=9．综上，若函数y=mx2-6x+1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9．点评：此题考查了抛物线与x 轴的交点或一次函数与x 轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用．3. （2011•荆州）如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B （4，2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x 的函数y=mx2-（3m+k ）x+2m+k 的图象与坐标轴只有两个交点，求m 的值．考点：抛物线与x轴的交点；一次函数的性质；等腰梯形的性质．专题：计算题．分析：过B作BE⊥AD于E，连接OB、CE交于点P，根据矩形OCBE的性质求出B、P 坐标，然后再根据相似三角形的性质求出k的值，将解析式y=mx2-（3m+k）x+2m+k中的k化为具体数字，再分m=0和m≠0两种情况讨论，得出m的值．解答：解：过B作BE⊥AD于E，连接OB、CE交于点P，∵P为矩形OCBE的对称中心，则过点P的直线平分矩形OCBE的面积．∵P为OB的中点，而B（4，2），P点坐标为（2，1），在Rt△ODC与Rt△EAB中，OC=BE，AB=CD，Rt△ODC≌Rt△EAB（HL），△ODC≌Rt△EBA，∵P点坐标为（2，1），∴2k-1=1，k=1，过点（-1，0）与P（2，1）的直线平分等腰梯形面积，这条直线为y=kx-1．2k-1=1，则k=1．∵关于x的函数y=mx2-（3m+1）x+2m+1的图象与坐标轴只有两个交点，∴①当m=0时，y=-x+1，其图象与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）；②当m≠0时，函数y=mx2-（3m+1）x+2m+1的图象为抛物线，且与y轴总有一个交点（0，2m+1），若抛物线过原点时，2m+1=0，即m=-，此时，△=（3m+1）2-4m（2m+1）=（m+1）2＞0，故抛物线与x轴有两个交点且过原点，符合题意．若抛物线不过原点，且与x轴只有一个交点，也符合题意，此时△=（m+1）2=0，m=-1．综上所述，m的值为：m=0或-1或-．点评：此题考查了抛物线与坐标轴的交点，同时结合了梯形的性质和一次函数的性质，要注意数形结合，同时要进行分类讨论，得到不同的m值．4. （2011•广东）已知抛物线与x轴没有交点．（1）求c的取值范围；（2）试确定直线y=cx+1经过的象限，并说明理由．考点：抛物线与x轴的交点；一次函数的性质．专题：代数综合题．分析：（1）根据题意的判别式小于0，从而得出c的取值范围即可；（2）根据c的值，判断直线所经过的象限即可．解答：解：（1）∵抛物线与x轴没有交点．∴△=1-4³c=1-2c＜0，解得c＞；（2）∵c＞，∴直线过一、三象限，∵b=1＞0，∴直线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴直线y=cx+1经过第一、二、三象限．点评：本题考查了抛物线和x轴的交点问题以及一次函数的性质，是基础知识要熟练掌握．5. （2010•镇江）已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点．（1）求C1的顶点坐标；（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（-3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；（3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．分析：（1）由于二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0，由此可以确定m．（2）首先设所求抛物线解析式为y=（x+1）2+k，然后把A（-3，0）代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式；（3）由于图象C1的对称轴为x=-1，所以知道当x≥-1时，y随x的增大而增大，然后讨论n≥-1和n≤-1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围．解答：（1）y=x2+2x+m=（x+1）2+m-1，对称轴为直线x=-1，∵与x轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0，∴C1的顶点坐标为（-1，0）；（2）设C2的函数关系式为y=（x+1）2+k，把A（-3，0）代入上式得（-3+1）2+k=0，得k=-4，∴C2的函数关系式为y=（x+1）2-4．∵抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；（3）当x≥-1时，y随x的增大而增大，当n≥-1时，∵y1＞y2，∴n＞2．当n＜-1时，P（n，y1）的对称点坐标为（-2-n，y1），且-2-n＞-1，∵y1＞y2，∴-2-n＞2，∴n＜-4．综上所述：n＞2或n＜-4．点评：此题比较复杂，首先考查抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，接着考查抛物线平移的性质，最后考查抛物线的增减性．6. （2010•咸宁）已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（-3m，0）（m≠0）．（1）证明4c=3b2；（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的最值．专题：计算题；证明题．分析：（1）由根与系数关系得出等式，消去m，得出b、c的关系式；（2）根据对称轴公式可求系数b，代入（1）的结论可求c，可确定二次函数解析式，再求函数的最小值．解答：（1）证明：依题意，m，-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=m+（-3m）=-b，x1•x2=m（-3m）=-c，∴b=2m，c=3m2，∴4c=3b2=12m2；（2）解：依题意，，即b=-2，由（1）得，∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴二次函数的最小值为-4．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点横坐标与一元二次方程根与系数关系的联系，待定系数法求二次函数解析式的方法．7. （2010•十堰）已知关于x的方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=mx2-（3m-1）x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．考点：抛物线与x轴的交点．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）本题中，二次项系数m的值不确定，分为m=0，m≠0两种情况，分别证明方程有实数根；（2）设抛物线与x轴两交点的横坐标为x1，x2，则两交点之间距离为|x1-x2|=2，再与根与系数关系的等式结合变形，可求m的值，从而确定抛物线的解析式；（3）分三种情况：只与抛物线y1有两个交点，只与抛物线y2有两个交点，直线过抛物线y1、y2的交点，观察图象，分别求出b的取值范围．解答：解：（1）分两种情况讨论：①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x=2 方程有实数根②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式△=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0恒有实数根.（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(3m－1)x+2m－2与x轴交点的横坐标.则有x1+x2=31mm-，x1²x2=22mm-由| x1－x21|| mm+，由| x 1－x 2|=2得1||m m +=2，∴12m m +=或12m m +=- ∴m =1或m =13- ∴所求抛物线的解析式为：y 1=x 2－2x 或y 2=13-x 2+2x －83 即y 1= x （x －2）或y 2=13-（x －2）（x －4）其图象如右图所示. （3）在（2）的条件下，直线y =x +b 与抛物线y 1，y 2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b 的取值范围.212 y x x y x b ⎧=-⎨=+⎩，当y 1=y 时，得x 2－3x －b =0，△=9+4b =0，解得b =－94 ； 同理2218233y x x y x b ⎧=-+-⎪⎨⎪=+⎩，可得△=9－4（8+3b ）=0，得b =－2312 .观察函数图象可知当b <－94 或b >－2312时，直线y =x +b 与（2）中的图象只有两个交点. 由21222 182 33y x x y x x ⎧=-⎪⎨=-+-⎪⎩当y 1=y 2时，有x =2或x =1当x =1时，y =－1所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y =x －2，综上所述可知：当b <－94 或b >－2312或b =－2时，直线y =x +b 与（2）中的图象只有两个交点.点评：本题具有较强的综合性，考查了一元二次方程的根的情况，二次函数与对应的一元二次方程的联系，讨论一次函数与二次函数图象交点的情况．8. （2010•汕头）已知二次函数y=-x2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（-1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．考点：抛物线与x 轴的交点；二次函数的图象．分析：（1）把抛物线上的两点代入解析式，解方程组可求b 、c 的值；（2）令y=0，求抛物线与x 轴的两交点坐标，观察图象，求y ＞0时，x 的取值范围． 解答：解：（1）将点（-1，0），（0，3）代入y=-x2+bx+c 中，得，解得． ∴y=-x2+2x+3．（2）令y=0，解方程-x2+2x+3=0，得x1=-1，x2=3，抛物线开口向下，∴当-1＜x＜3时，y＞0．点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线与x轴的交点，开口方向，可求y＞0时，自变量x的取值范围．9. （2010•南京）已知点A（1，1）在二次函数y=x2-2ax+b图象上．（1）用含a的代数式表示b；（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．分析：（1）因为二次函数y=x2-2ax+b图象上的任何一点都满足方程式y=x2-2ax+b，所以，把点A（1，1）代入方程求解即可；（2）根据b2-4ac与零的关系即可判断出二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴交点的个数．解答：解：（1）因为点A（1，1）在二次函数y=x2-2ax+b的图象上，所以1=1-2a+b可得b=2a（3分）（2）根据题意，方程x2-2ax+b=0有两个相等的实数根，所以4a2-4b=4a2-8a=0解得a=0，或a=2（5分）当a=0时，y=x2，这个二次函数的图象的顶点坐标为（0，0）当a=2时，y=x2-4x+4=（x-2）2，这个二次函数的图象的顶点坐标为（2，0）所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为（0，0）或（2，0）点评：考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．10. （2010•娄底）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标是（-2，0），点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OC＜OB）是方程x2-10x+24=0的两个根．（1）求B、C两点的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．考点：抛物线与x轴的交点；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求二次函数解析式．分析：（1）解方程求已知方程的两根，根据题意确定B、C两点坐标；（2）抛物线过A（-2，0），B（6，0），设交点式，把C（0，4）代入求待定系数即可．解答：解：（1）解方程x2-10x+24=0，得x1=6，x2=4，∵OC＜OB，∴B（6，0），C（0，4）；（2）∵抛物线与x轴交于A（-2，0），B（6，0）设抛物线解析式y=a（x+2）（x-6）把C（0，4）代入解析式，得4=a（0+2）（0-6），解得a=-，y=-（x+2）（x-6）即y=-x2+x+4．点评：本题考查了解一元二次方程，点的坐标的求法，待定系数法求二次函数解析式的方法．11. （2009•肇庆）已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．（1）求q关于p的关系式；（2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y=x2+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．考点：抛物线与x轴的交点．专题：计算题；证明题．分析：（1）把x=2代入可求得q与p的关系式；（2）由△=b2-4ac可判断抛物线与x轴的交点情况；（3）先写出该抛物线的顶点坐标，方程根与系数关系可求线段AB的长，进而求得△AMB 的面积表达，从而求得最小值．解答：（1）解：由题意，得22+2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；（2）证明：∵抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点，∴一元二次方程x2+px+q=0的判别式△=p2-4q＞0，由（1）得△=p2+4（2p+5）=p2+8p+20=（p+4）2+4＞0，（3分）∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根．（4分）∴抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；（5分）（3）解：抛物线顶点的坐标为，（6分）∵x1，x2是方程x2+px+q=0的两个根，∴，∴．（7分）∴，（8分）要使S△AMB最小，只须使p2-4q最小．由（2）得p2-4q=（p+4）2+4，所以当p=-4时，有最小值4，此时S△AMB=1，q=3．（9分）故抛物线的解析式为y=x2-4x+3．（10分）点评：考查了代入法、判别式△的使用，以及一元二次方程中根与系数的关系、三角形面积的求法、最大最小值的求解等内容．12. （2009•新疆）（1）用配方法把二次函数y=x2-4x+3变成y=（x-h）2+k的形成．（2）在直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象．（3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=x2-4x+3图象上的两点，且x1＜x2＜1，请比较y1，y2的大小关系．（直接写结果）（4）把方程x2-4x+3=2的根在函数y=x2-4x+3的图象上表示出来．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征．专题：配方法．分析：（1）含x的项即为完全平方公式展开的前两项，加上常数组成完全平方式，但后面应减去加上的常数；（2）找顶点左右两边的数，按顶点式画出函数图象；（3）应先判断出所给两点在对称轴的哪一侧，当在左侧时，y随x的增大而减小，在右侧时，y随x的增大而增大；（4）方程x2-4x+3=2的根是函数图象上y=2时所对应的x的值．解答：解：（1）y=x2-4x+3=（x2-4x+4）+3-4=（x-2）2-1．（3分）（2）对称轴x=2，顶点坐标（2，-1）x … 0 1 2 3 4 …y … 3 0 -1 0 3 …（6分）（3）y1＞y2（8分）（4）当y=2时，得：（4）当y=2时，得：2=（x-2）2-1．∴x=2±．即y=2时所对应的x 的值为2±．（10分）点评：本题考查二次函数的解析式的两种表达形式的转换以及读图等知识点，需注意抓住对称轴和交点是解决此类问题的关键．13. （2009•黔东南州）已知二次函数22-++=a ax x y 。
抛物线的简单几何性质讲解与例题
抛物线的简单几何性质一、抛物线几何性质的应用 活动与探究1已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上．若抛物线上一动点P 到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，F 两点距离之和的最小值为4，且A 为抛物线内一点，求抛物线方程．迁移与应用1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 的纵坐标为－42，该点到准线的距离为6，则抛物线方程为________________．2．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝__________． 注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．二、抛物线的焦点弦 活动与探究2已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 迁移与应用1．过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )．A ．45°B ．90° C．60° D．120°2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，求1|AF |＋1|BF |的值．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 称为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有下列性质：|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24等．三、直线与抛物线的位置关系 活动与探究3已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．迁移与应用1．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为( )．A ．－1B ．2C ．2或－1D ．42．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若AB 恰被Q 平分，求AB 所在的直线方程．1．直线与抛物线位置关系的判定：直线方程与抛物线方程联立得方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当a ＝0时，直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，且只有一个交点；当a ≠0时，两者位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可，即①相交：两个不同交点⇔a ≠0且Δ＞0；②相切⇔a ≠0且Δ＝0；③相离⇔a ≠0且Δ＜0．2．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点问题，要注意“点差法”的运用，体现“设而不求”的优越性．当堂检测1．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为|PF|＝( )．A．．8 C．．162．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为( )．A．1 B．1或3 C．0 D．0或13．过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为，则p＝__________．4．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________．5．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．线OA与l的距离等于5答案：课前²预习导学 【预习导引】1．⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 x ＝－p 2 y ＝p2 x ≤0y ≤0 x 轴 y 轴 (0,0)预习交流1 提示：抛物线与双曲线的一支不相同．双曲线的一支有渐近线，离心率e ＞1；抛物线没有渐近线，它的离心率是唯一的，e ＝1．2．x 0＋p2x 1＋x 2＋p 2p预习交流2 提示：抛物线方程化为y 2＝13x ，2p ＝13，故其通径长为13．预习交流3 提示：不正确，若直线与抛物线相切，则它们只有一个公共点，但当直线与抛物线只有一个公共点时，直线不一定与抛物线相切，还可能是相交，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合．这一点与圆、椭圆是不同的，要注意区别．课堂²合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：先根据题目条件设出抛物线方程，再结合图形，探讨抛物线上的动点P 满足到A ，F 两点距离之和取最小值时的条件，进而列出等量关系．解：设所求的抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p2．如图所示，若A 点在“抛物线所包含的区域之内”， 过点P 作准线的垂线，垂足为H ，由抛物线定义可知|PF |＝|PH |． 当H ，P ，A 在同一条直线上时， |PA |＋|PF |取最小值|AH |＝2＋2p ＝4，解得p ＝4，故所求的抛物线方程为y 2＝8x ． 迁移与应用 1．y 2＝16x 或y 2＝8x 解析：由于抛物线的准线方程是x ＝－p2，而点M 到准线的距离为6，所以M 点的横坐标是6－p 2，于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p 2，－42，代入方程得32＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p2，解得p ＝8或p ＝4，故方程为y 2＝16x 或y 2＝8x ．2．2 解析：圆x 2＋y 2－6x －7＝0的圆心为(3,0)，半径为4，抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋p 2＝4，得p ＝2或－14(舍)．活动与探究2 思路分析：(1)由倾斜角可知斜率，从而得到l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义可求得|AB |的值；(2)由|AB |＝9求得弦AB 中点的横坐标即可求得M 到准线的距离．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3．又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3．又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92．迁移与应用 1．B 解析：如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1．又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO ． 同理∠BFB 1＝∠B 1FO ．于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1．故∠A 1FB 1＝90°．2．解：已知抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 对于直线AB ，分两种情况考虑： (1)若直线AB 的倾斜角为90°， 则有|AF |＝|BF |＝p ，所以112||||AF BF p+=； (2)若直线AB 的倾斜角不等于90°， 设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 与抛物线方程联立并消去y ，整理得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋224k p ＝0，由韦达定理得，x 1＋x 2＝22(2)k p k +，x 1x 2＝24p ．另一方面，由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2p ，|BF |＝x 2＋2p． 于是121111||||22p p AF BF x x +=+++ ＝()122121224x x pp p x x x x +++++＝()()22222222=2424k pp k p k p p p pk ++++⋅+． 活动与探究3 思路分析：要求弦AB 的长，只需求出A ，B 两点的坐标．为此，设出A ，B 两点的坐标，利用OA ⊥OB 以及A ，B ，P 三点共线的条件求解．解：∵A ，B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2． ∵OA ⊥OB ，∴OA ²OB ＝0．由OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，OB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0．∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36．①∵点A ，B 与点P (4,2)在一条直线上， ∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226，化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24． 将①代入，得y 1＋y 2＝－6．②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610．迁移与应用 1．B 解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于两点，∴k ≠0． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝4k ＋8k2．而AB 中点的横坐标为2， ∴4k ＋8k2＝4，解得k＝－1或k ＝2．而当k ＝－1时，方程k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A ，B 两点重合，∴k ≠－1． 2．解：方法1：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －4)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －4)，y 2＝8x ，消去x ，整理得ky 2－8y －32k ＋8＝0．此方程的两根是弦AB 的端点A ，B 的纵坐标，由韦达定理得y 1＋y 2＝8k．又Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2．∴k ＝4． 故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0．方法2：设弦AB 的端点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 则有2118y x ＝，2228y x ＝，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． 由于Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2，于是y 1－y 2x 1－x 2＝4， 即直线AB 的斜率k ＝4，故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0．当堂检测1．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为|PF |＝( )．A ．．8C ．．16答案：B 解析：如图，直线AF 的方程为2)y x =-，与准线方程x ＝－2联立得A (－2，．设P (x 0，，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6． ∴|PF |＝x 0＋2＝8．2．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则k 的值为( )． A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．0或1答案：D 解析：联立22,8y kx y x=+⎧⎨=⎩得(kx ＋2)2－8x ＝0．整理得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0．当k ＝0时，方程变为－8x ＋4＝0，只有一解，这时直线与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，由Δ＝0得(4k －8)2－16k 2＝0，解得k ＝1． 综上，k ＝0或1．3．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B在x 轴上的正射影分别为D ，C ．若梯形ABCD 的面积为，则p ＝__________．答案：2 解析：如图，抛物线焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB ：y －2p ＝x ，即y ＝x ＋2p ．联立x 2＝2py ，得2,22,p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 得x 2－2px －p 2＝0，∴x 1＝(1p ，x 2＝(1p ．∴|AD |＋|BC |＝y 1＋y 2＝x 1＋2p ＋x 2＋2p＝2p ＋p ＝3p ，|CD |＝|x 1－x 2|＝． 由S 梯形ABCD ＝12(|AD |＋|BC |)²|CD |＝132p ⋅⋅=p 2＝4，∴p ＝±2．∵p ＞0，∴p ＝2．4．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．答案：－4 解析：由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴212242(2)2y y ⎧=⎨-=⎩,①,② ∴128,2,y y =⎧⎨=⎩∴P (4,8)，Q (－2,2)． 又∵抛物线可化为212y x =， ∴y ′＝x ，∴过点P 的切线斜率为4'4x y ==． ∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8． 又∵过点Q 的切线斜率为2'2x y =-=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2． 联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4．5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；答案：解：将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ²1，∴p ＝2．故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l l 的方程；若不存在，说明理由． 答案：假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ． 由22,4y x t y x=-+⎧⎨=⎩得y 2＋2y －2t ＝0． ∵直线l 与抛物线C 有公共点， ∴Δ＝4＋8t ≥0，解得12t ≥-．另一方面，由直线OA 与l 的距离5d ==，解得t ＝±1． ∵11,2⎡⎫-∉-+∞⎪⎢⎣⎭，11,2⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，∴符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0．用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本。
【教学案例】《抛物线的简单几何性质》教学案例
《抛物线的简单几何性质》教学案例（一）教学题目：《抛物线的简单几何性质》第一课时（二）授课类型：新授课（三）教学目标：知识与技能：1、从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。
2、掌握抛物线的几何性质、范围、对称性、顶点、离心率，能根据给出条件求抛物线的标准方程，了解抛物线的通径及画法。
过程与方法：经历由抛物线的标准方程推导抛物线的性质，培养学生数形结合及方程的思想。
情感、态度与价值观：训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用，培养学生的应用意识，进而培养学生乐于学习数学的兴趣。
（四）教学重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。
（五）教学难点：抛物线各个知识点的灵活应用。
（六）教学方法：采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。
（七）课时分配：1课时（八）教学媒体：多媒体课件（九）学情分析：我授课的学生大部分数学基础不太好,尤其理解能力、运算能力、思维能力等方面参差不齐，所以在教学中注重双基的训练。
（十）教学步骤：教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图一、导入1、抛物线的定义：平面内与一个点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F→焦点，直线L→准线。
2、抛物线的标准方程。
图形标准方程焦点坐标准线方程3、唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的句子，诗中提到“夜光杯”。
问题1：如果测得酒杯口宽4cm，杯深8cm，试求抛物线方程。
解：如图建立平面直角坐标系,则可知A(-2,8),B(2,8) 所以设抛物线的方程为：A、B点在抛物线上，代入抛物线方程，可得P=41则所求的抛物线方程为：yx212=问题2：研究酒杯轴截面所在曲线的几何性质。
老师展示结论。
提出问题，引导学生由“数学模型”到“数学问题”的解决问题的方法。
展示解题过程。
抛物线的定义及标准方程由学生口述。
在探究发现中学习抛物线焦点弦有关性质的案例
在探究发现中学习抛物线焦点弦 有关性质的案例文/中山纪念中学王明山本节探究课是前面学习拋物线标准方程及其简单 几何性质的延伸，也是在学习《普通高中课程标准实 验教科书•数学（选修2-1)》（人教版）第二章圆锥 曲线中椭圆和双曲线有关知识基础上的拓展。
美籍数 学家、数学教育家波利亚在其名著《怎样解题》中指 出：在解题过程中要加强学生数学发现能力的培养，教会学生思考和培养学生创新精神。
因此本节课的 在于推出 性质，，是 学过的知识载体，引导学生如何抓这问题的本质(拋物线的焦点的直线方程），发学生思考，在探究 中基本的 验，发展数学 养，提高 问题和解问题的能力。
1. 课前准备，知识链接上 有关“拋物线的光学性质及截面为部分 拋物线的物体”的，学 。
2. 问题引出本节内容师：学生作业（即课本第73第5题的解答过程）。
【题】如图，！是拋物线上 ，$是拋物线的，以为 ，F M a的角！％$!=60。
，求 |$! |。
【学生解过程】线F M的方程为"=#1(%-1)，与拋物线方程"2=4% ，〜$=V T(%-1)，①①代人②ij2=4%，②消去"，得3%2-10%+3=0③，解得％1=^，％=3，分别代人 ①，得"i=-|#^，"2'2#3，由题意知 M(3,2#^)，因此 |FM |= V(3-1)2+(2#^-0)2 =4。
(学生神，的解答过程 )师：学们分析此题解答是否正确，有无其他解法？生1)方程③使用韦达定理无法求出I M F|的大 ，會S出M的标，出|M F|。
生 2:因为 |FM |=%2+p，所以 |FM |=3+1=4。
(其 学基本学的 ）生3: 简方程 知％是消去"，而且也容易出错。
师：家能从直线F M的方程人手寻求该问题 的突破口呢？【设计 】通过一个共性的作业问题引出本节课的 ，激发学生探究知识的欲望。
3.提出问题、讨论、探究、交流分享问题1:师：如右图所亦，拋物线方程为:"2=2p%(p>0)，焦点 F(t，0)。
抛物线与直线的交点问题
For personal use only in study and research; not for commercial use抛物线与直线的交点问题1、 抛物线y=ax +bx+c 与直线y=m （坐标系中的水平直线）的交点问题：①把y=m 代入y=ax 2+bx+c 得ax 2+bx+c=m ，即ax 2+bx+（c-m ）=0此时方程的判别式△=b 2-4a(c-m)。
△＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。
②特殊情形：抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点问题：令y=0，则ax 2+bx+c=0此时方程的判别式△=b 2-4ac△＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。
2、抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 的交点问题：令ax 2+bx+c=kx+b ，整理方程得：ax 2+(b-k)x+（c-b ）=0此时方程的判别式△=(b-k)2-4a （c-b ）△＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。
总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。
3、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点位置问题：若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为（x 1，0）、（x 2，0）① 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点右侧② 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点左侧③ 若x 1x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分居于原点两侧4、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的两个交点距离公式若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点（x 1，0）、（x 2，0）的距离为︱x 1-x 2︱=aac b 42 练习1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是____________．2．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为( )A ．k >－47B ．k <－47且k ≠0C ．k ≥－47D ．k ≥－47且k ≠03．若抛物线y ＝x 2－８x ＋c 顶点在x 轴上，则c 的值等于( )．A ．４B ．８C ．－４D ．１６4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒为负值的条件是( )．A．a＞０, b2－４ac＜０B．a＜０, b2－４ac＞０C．a＞０, b2－４ac＞０D．a＜０, b2－４ac＜０5.直线y=3x－3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是______6．若抛物线y=（m－1）x2+2mx+m+2恒在x轴上方，则m_______．7．抛物线顶点C(２,)，且与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程2x2－7x＋1＝０的两根，则S△ABC＝．8．直线y=2x1与抛物线y=x2的公共点坐标是______________．9、不等式x2-9＞０的解集为_________________；x2＞2x+1的解集为_____________.10．利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的根．11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3,0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．12．已知抛物线y＝x2＋ax＋a－2．(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;(2)求这两个交点间的距离;(用关于a的表达式来表达)(3)a取何值时,两点间的距离最小?13．已知抛物线y=－x2+（m－2）x+3（m+1）交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，交y•轴正半轴于C点，且x1<x2，│x1│>│x2│，OA2+OB2=2OC+1．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线？如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
抛物线与x轴的交点
练习：求出下列二次函数和 轴的交点坐标 轴的交点坐标： 练习：求出下列二次函数和X轴的交点坐标： 1. y=x²-2x+1 3. y=x²-4x-8 2. y=2x²-4x+8 4. y=3（x-4)（x+3) （ （
y
O
x
看谁快
4ac的符号 b2-4ac的符号
不用画图,试判断下列抛物线同x轴交点情况: 不用画图,试判断下列抛物线同x轴交点情况:
2
1
地面
解方程得t 解方程得 1=0.5；t2=1.5 ； 答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）； 球从弹起至回到地面需要时间为 （ ）； 经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到 球的高度达到3.75m。 经过圆心的 或 球的高度达到 。
课内练习： 课内练习：
1、一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图， 、一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图， 当球离抛出地的水平距离为 30m 时，达到最 大高10m。 大高 。 求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围； ⑴ 求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围； 求球被抛出多远； ⑵ 求球被抛出多远； 当球的高度为5m 5m时 ⑶ 当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离 是多少m 是多少m？ y
15 10 5 10 20 30 40 50
x
填 空
图象的顶点坐标________与x轴的交点坐 求出二次函数y=-x²-2x+3图象的顶点坐标 与 轴的交点坐 并画出函数的大致图象. 标_____________________并画出函数的大致图象 并画出函数的大致图象
(1,4)
根据图像回答下列问题： 1.直接写出方程-x²-2x+3=0的 的 解： x1=-3；x2=1 ； 2.令y=-5，得方程-x²-2x+3=-5 解此方程得： 解此方程得： x =-4；x =2 ； 2 1
抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式
抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式1. 引言1.1 什么是抛物线抛物线是平面几何中非常重要的一种曲线，它是一种U形的曲线，可以由二次方程定义。
在笛卡尔坐标系中，抛物线通常是关于x轴对称的。
抛物线在数学、物理等领域都有着广泛的应用，比如在物理学中描述抛物运动的轨迹、在工程学中设计拱形结构等。
抛物线的形状是由一条直线（焦点到直线）和一定点（焦点）组成的几何图形。
在抛物线上，每个点到焦点的距离等于这个点到直线的距离。
这也是抛物线得名的原因，因为“parabola”在希腊语中意为“平行”。
抛物线有许多重要的性质，比如焦距、准线等，它们对于抛物线的性质和特征有着重要的作用。
抛物线是一种非常有趣和重要的曲线，它在数学中有着深远的影响，也在实际生活和工程中有着广泛的应用。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式，有助于我们更深入地理解抛物线的性质和特点，也有助于我们解决与抛物线相关的问题和应用。
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1.2 为什么要研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式抛物线是代数曲线的一种特殊形式，它在数学和物理领域都有广泛的应用。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式，可以帮助我们更深入地理解抛物线的性质和特点。
通过分析抛物线与坐标轴的交点，我们可以探讨抛物线在不同位置的表现，了解其与坐标轴的关系。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式还可以帮助我们解决实际问题中的数学计算和建模工作。
通过求解抛物线与x轴的交点，我们可以确定抛物线的零点，从而找到函数的根；通过求解抛物线与y轴的交点，我们可以确定抛物线的焦点坐标；通过求解抛物线与y=x线的交点，我们可以推导出抛物线的对称性质。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式具有重要的理论和实际意义，对于深化我们对抛物线的认识和应用具有重要意义。
2. 正文2.1 抛物线的一般方程抛物线是平面上一种特殊的几何曲线，具有许多重要的性质和特征。
它是二次函数的图像，其一般方程可以用一般形式的二次方程表示。
二次函数2交点问题
二次函数交点问题(2016 中考)27在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221(0)y mx mx m m =-+->与x 轴的交点为A ，B. （1）求抛物线的顶点坐标;（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点.① 当m=1时，求线段AB 上整点的个数；② 若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围.（2012•北京）23．已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。
（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点(3)A m -，，求m 和k 的值；（3） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线6y kx =+向上平移n 个单位。
请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。
（2015）27. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =-交于点A ，点A 关于直线1x =的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B 。
(1)求点A ，B 的坐标；(2)求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围。
(2013海淀 一模）23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-． （1）求B 点坐标； （2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．（2013昌平一模）23. 已知抛物线22y x kx k =-+-+．（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点； （2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，OP =103，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x轴上方的部分沿x轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M，当直线y x b=-+与图形M有四个交点时，求b的取值范围.-1-111xOy（2014•北京）23．（7分）（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．（2013•北京）23．在平面直角坐标系x O y中，抛物线222--=mxmxy（0≠m）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B。
中考数学压轴题专题-二次函数与交点公共点综合问题
专题13二次函数与交点公共点综合问题【例1】（2021•宜昌）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为（h1，k1）．抛物线y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）．（1）写出A点坐标；（2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示）（3）当﹣4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；（4）经过点M（2n+9，﹣5n2）和点N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n），y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．【例2】（2021•德州）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：x…01234…y…36763…（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：；（2）求抛物线C1的解析式；（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．【例3】（2021•黔西南州）如图，直线l：y＝2x+1与抛物线C：y＝2x2+bx+c相交于点A（0，m），B（n，7）．（1）填空：m＝，n＝，抛物线的解析式为．（2）将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围．（3）Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【例4】（2021•绵阳）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B （点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．【例5】（2020•襄阳）如图，直线y=−12x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=−14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．【题组一】1．（2021•苏州模拟）问题一：已知二次函数：y＝（x﹣m）2﹣2m﹣（m为常数），当m取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．我们发现：是当m取不同数值时，此二次函数的图象的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是．问题二：已知直线l：y＝x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线L：y＝（x﹣m）2﹣2m﹣（m 为常数）图象的顶点为C．（1）如图1，若点C在Rt△AOB的内部（不包括边界），求m的取值范围；（2）如图2，当抛物线L的图象经过点A，B时，在抛物线上（AB的下方）是否存在点P，使∠ABO ＝∠ABP？若存在，求出点P的横坐标；若不存在．请说明理由．2．（2021•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．（1）求抛物线的对称轴；（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．3．（2021•南关区一模）在平面直角坐标系中，把函数y＝ax2+2bx+2（a、b为常数）的图象记为G．（1）求G与y轴交点的坐标．（2）当b＝2时，G与x轴只有一个交点，求a的值．（3）①设k≠0，若点A（2﹣k，t）在G上，则点B（2+k，t）必在G上，且G过点C（3，﹣1），求G的函数表达式．②点D（1，y1）、E（4，y2）是①中函数图象上的两点，比较y1与y2的大小．③点P（m，y3）、Q（m+3，y4）是①中函数图象上的两点，比较y3与y4的大小．（4）矩形FHMN四个顶点的坐标分别为F（1，﹣2）、H（4，﹣2）、M（4，4）、N（1，4），当a＝﹣1时，函数y＝ax2+2bx+2（x≥0）的图象在矩形FHMN内部的部分均为自左向右下降时，直接写出b 的取值范围．4．（2021•九江一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m的顶点为A．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；（3）已知点B（m﹣1，m﹣2），C（2，2）．若该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，求出m 的取值范围．【题组二】5．（2021•邯郸模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．（1）若抛物线过点A（﹣1，6），求出抛物线的解析式；（2）当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求1≤x≤5时，y的最大值；（3）已知直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值；（4）如图2，作与抛物线G关于x轴对称的抛物线G'，当抛物线G与抛物线G'围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．6．（2021•姜堰区一模）已知，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a为常数，且a≠0）的图象与x轴交于点A、B （点B在点A的左侧），与y轴交于点C，将点A绕着点C顺时针旋转90°至点P．（1）求A、B两点的坐标；（2）设点P的坐标为（m，n），试判断m+n的值是否发生变化？若不变，请求出m+n的值；若变化，请说明理由；（3）若点D、Q在平面直角坐标系中，且D（0，﹣1），D、Q、P、C四点构成▱CPDQ．①求点Q的坐标（用含a的代数式表示）；②若▱CPDQ的边DQ与二次函数的图象有公共点，直接写出满足条件的a的取值范围．7．（2021•襄州区二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．（1）求c的值，并用含a的代数式表示b．（2）当a＝时，①求此函数的表达式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值．②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，过点D作DE⊥OC于点E，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若线段GH的端点G、H的坐标分别为（﹣5，10）、（1，10），此二次函数的图象与线段GH只有一个公共点，求出a的取值范围．8．（2021•朝阳区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x+1+m．（1）求此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）如果当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，求该抛物线的表达式；（3）如果（2）中的抛物线与x轴相交于A、B（点A在点B左侧），现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l：y＝﹣x+k与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．【题组三】9．（2021•天心区二模）定义：二元一次不等式是指含有两个未知数（即二元），并且未知数的次数是1次（即一次）的不等式；满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y），所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，如：x+y＞3是二元一次不等式，（1，4）是该不等式的解．有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合．（1）已知A（，1），B（1，﹣1），C（2，﹣1），D（﹣1，﹣1）四个点．请在直角坐标系中标出这四个点，这四个点中是x﹣y﹣2≤0的解的点是．（2）设的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G．①求G的面积；②反比例函数y＝（x＞0）的图象和图形G有公共点，求k的取值范围；（3）设的解集围成的图形为M，直接写出抛物线y＝mx2﹣2mx+m+与图形M有交点时m的取值范围．10．（2021•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2，（1）该抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），其中x1＜m＜x2，且x1+x2＜2m，则y1与y2的大小关系是：y1y2（填“＞，＝，或＜”号）；（3）点C（﹣4，﹣2），将点C向右平移6个单位长度，得到点D．当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2与线段CD有且只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围．11．（2021•商水县三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（1，）两点，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）若C（m，y1），D（n，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c上两点（m＜n）．Q为抛物线上点C和点D之间的动点（含点C，D），点Q纵坐标的取值范围为，求m+n的值；（3）已知点E（p，﹣p），F（2，1），若抛物线与线段EF有一个交点，求p的取值范围．12．（2021•靖江市一模）已知抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣3，抛物线与坐标轴交于点A（3，0）、B两点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P（2，a）在抛物线上时．①如图1，过点P不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点，求直线l1的方程；②如图2，若直线l2：y＝2x+b交抛物线于M，点M在点P的右侧，过点P（2，a）作PQ∥y轴交直线l2于点Q，延长MQ到点N使得MQ＝NQ，试判断点N是否在抛物线上？请说明理由．【题组四】13．（2020•滨湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC下方抛物线上一动点；①连接CD，是否存在点D，使得AC平分∠OCD？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．②在①的条件下，若点P为抛物线上位于AC下方的一个动点，以P、C、A、D为顶点的四边形面积记作S，则S取何值或在什么范围时，相应的点P有且只有两个？14．（2020•姜堰区二模）二次函数y=6x2−23x+m（m＞0）的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B．（1）当m＝1时，求顶点P的坐标；（2）若点Q（a，b）在二次函数y=6x2−23x+m（m＞0）的图象上，且b﹣m＞0，试求a的取值范围；（3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值．15．（2020•天心区模拟）如图，抛物线y=−845(+（x﹣3m）（其中m＞0）与x轴分别交于A、B 两点（A在B的右侧），与y轴交于点C；（1）点B的坐标为（−3，0），点A的坐标为（3m，0）（用含m的代数式表示），点Cm的代数式表示）；（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2＝PC•PA，求tan∠APO的值及用含m 的代数式表示点P的坐标；（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式n≤式2n−916≥−4x02+3x0+138恒成立，求n的取值范围．16．（2020•开福区校级二模）如图，抛物线y＝mx2+4mx﹣12m（m＜0）与x轴相交于点A、B（点A在点B的右边），顶点为C．（1）求A、B两点的坐标；（2）若△ABC为等边三角形，点M（x0，y0）为抛物线y＝mx2+4mx﹣12m（m＜0）上任意一点，总有n−856≥02+403y0﹣298成立，求n的最小值；（3）若m=−12，点P为x轴上一动点，若α＝∠CAB+∠CPB，当tanα＝4时，求P点的坐标．【题组五】17．（2020•天心区校级模拟）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最大值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=1（x＞0）和y＝x+2（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的边界值是3，且这个函数的最小值也是3，求b的取值范围；（3）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足34≤t≤1？18．（2020•思明区校级模拟）已知抛物线C：y1＝a（x﹣h）2﹣1，直线l：y2＝kx﹣kh﹣1．（1）判断命题“抛物线C的对称轴不可能是y轴”的真假，并说明理由；（2）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（3）①当a＝﹣1，m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立，直接写出m的取值范围；②当0＜a≤2，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．19．（2020•海陵区一模）已知抛物线y1＝ax2﹣2amx+am2+4，直线y2＝kx﹣km+4，其中a≠0，a、k、m是常数．（1）抛物线的顶点坐标是，并说明上述抛物线与直线是否经过同一点（说明理由）；（2）若a＜0，m＝2，t≤x≤t+2，y1的最大值为4，求t的范围；（3）抛物线的顶点为P，直线与抛物线的另一个交点为Q，对任意的m值，若1≤k≤4，线段PQ（不包括端点）上至少存在两个横坐标为整数的点，求a的范围．20（2020•遵化市三模）已知点P（2，﹣3）在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；（2）当L经过（3，3）时，求此时L的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；（4）点M（x1，y1），N（x2，y2）是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．【题组六】21．（2020•中原区校级模拟）如图1所示，抛物线=232+B+与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知C点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为72，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ是平行四边形，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求使△APC的面积为整数的P点的个数；（3）当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；（4）在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q为“和谐点”的横坐标的值．22．（2020•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）已知点P（a，0），Q（0，a﹣2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．23．（2020•密云区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为（3，0），将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y＝ax2﹣2（a≠0）与线段AE恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．24．（2020•惠安县校级模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点在第一象限，且与直线y＝1只有一个公共点．（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，求a、c之间应当满足的关系式；（2）若b＝﹣2，点P是抛物线的顶点，且点P与点Q关于y轴对称，△OPQ是等腰直角三角形．①求抛物线的解析式；②直线y＝kx（k＞0）与抛物线C1交于两不同点A、B（点A在点B的左侧），与直线y＝﹣2x+4交于点R．求证：对于每个给定的实数k，总有1O+1O=2O成立．。
8.2.9抛物线位置与系数a-b-c的关系以及与x轴交点问题(共40张)
x
y
B
o x Do
x
第25页，共40页。
2.若函数(hánshù) 是(1，-2)，则b=
的顶点坐标
，c= 。
3.已知二次函数 象如图所示，则一次函数
的图象不经过第 象限。
的图
y
o
x
第26页，共40页。
4.若抛物线 y (m 1)x2 2mx m 3
位于(wèiyú)x轴上方,求m的取值范围.
a>0
向 下
x<-
b 2a
x<-
b 2a
x>-
b 2a
x>-
b 2a
第40页，共40页。
当x=
-
b 2a
时，
y有最小值：
4ac-b2 4a
当x= -
b 2a
时，
y有最大值：
4ac-b2 4a
其中正确的是
（填序号，并说明理由）
y
x=1
o1
(a+c)2 b2
(a b c)(a b c) x 1时，a+b+c 0
x 1时，a-b+c 0 x (a b c)(a b c) 0
即(a+c)2 b2 0 (a+c)2 b2
第33页，共40页。
10. 二次函数(hánshù)y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它 的顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的 范围,并说明理由.
对称轴是直线x =
b
2a
① a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；
② b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；
③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
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探究 1、求二次函数图象 y=x2-3x+2 与 x 轴的交点 A、B 的坐标。 解：∵A、B 在轴上， ∴它们的纵坐标为 0， ∴令 y=0，则 x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程 x2-3x+2=0 的解 x1、x2 与 A、B 的坐标有什么联系？ 结论：方程 x2-3x+2=0 的解就是抛物线 y=x2-3x+2 与 x 轴的两个交点的横坐标。 即：若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1、x2， 两个交点坐标分别是 A（x1, 0 ） ， B（x2 ,0 ） 则抛物线 y=ax2+bx+c 与轴的
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探究 2．分别求出二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象与 x 轴的交点的坐标,并快 速作出草图.
-1-
白云湖中学生态课堂案例分析
y=x +2x
y=x-2x +1
y=x-2x +2
（1）观察二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象，每个图象与 x 轴有几个交点？ （2）一元二次方程 x2+2x=0, x2-2x+1=0 有几个根?验证一下方程 x2-2x+2=0 有根吗? （3）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根有 什么关系? 归纳整理: 1.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点有三种情况: （1） 、 有两个交点, （2） 、 有一个交点, （3） 、 没有交点. 2.当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y=0 时自变量 x 的值, 即一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根. 3.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点情况由一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况决 定，而一元二次方程根的情况由Δ 即 b2-4ac 的符号来决定。 二次函数 y=ax2+bx+c 的 图象和 x 轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根 一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式 Δ =b2-4ac 两个 一个 没有交点 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac ＜0
初中农村“生态课堂”教学模式研究 案 例 分 析
教研组： 学 姓 时 科： 名： 间：
数学组 数学 钱玲 2014-11-3
白云湖中学生态课堂案例分析
探究：抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点情况
二次函数是初中数学的重要内容 ,是初中、 高中数学知识的衔接点,是中考中数学的重 点考察内容之一 ,要全面掌握二次函数的基础知识和基本性质,并能分析和解决有关二次函 数的综合问题,合理利用二次函数与一元二次方程的联系是十分必要的[1 学生在上学期已经学习过一元二次方程的知识，之前学习了二次函数的图象和代数表 达式的三种表示方法，其中主要对一般式和顶点式做了大量的训练，因而从“数”的方面 对二次函数有了比较全面的认识，对交点式仍然停留在感性认识层面，特别是对于从数 形结合的这一数学思想来认识二次函数，他们对整章各节知识的关系还没有真正完整的形 成，通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始，学生将会对二次函数的 “数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。在中学数学里，我们不可能把“数”和“形” 完全孤立地割裂开， 也就是说，代数问题可以几何化， 几何问题也可以代数化， “数”和“形” 在一定条件下可以相互转化、相互渗透。