2020年中考数学培优 专题讲义 第17讲 二次函数与面积

第17讲 二次函数与面积

解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化.

【例题讲解】 例题1 如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ABC S △＝1

2

ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答问题：

如图2，顶点为C （1,4）的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于点A （3,0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式；

（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △；

②是否存在抛物线上一点P ，使PAB S △＝CAB S △？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．

C

B

1把A （3,0）代入解析式求得a ＝－1， 所以1y ＝－（x －1）²＋4＝－x ²＋2x ＋3， 设直线AB 的解析式为：2y ＝kx ＋b

由1y ＝－x ²＋2x ＋3求得B 点的坐标为（0,3） 把A （3,0），B （0,3）代入2y ＝kx ＋b 中 解得：k ＝－1，b ＝3 所以2y ＝－x ＋3；

（2）①因为C 点坐标为（1,4） 所以当x ＝1时，1y ＝4，2y ＝2 所以CD ＝4－2＝2 CAB S △＝

1

2

×3×2＝3（平方单位）；

②假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则h ＝1y －2y ＝（－x ²＋2x ＋3）－（－x ＋3）＝－x ²＋3x 由PAB S △＝CAB S △ 得：

1

2

×3×（－x ²＋3x ）＝3 化简得：x ²－3x ＋2＝0， 解得：1x ＝1，2x ＝2，

将1x ＝1代入1y ＝－x ²＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（1，4）． 将2x ＝2代入1y ＝－x ²＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（2，3）．

∵点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点， 综上所述，P 点的坐标为（1，4），（2，3）．

模型讲解

竖切

面积公式均为1

=

2

S dh

C

B

h

C

B

h C

B

横切

面积公式均为1

=

2

S dh

D

【总结】

这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如何选用，取决于点D 的坐标哪种更易求得.

例题2 已知一次函数y ＝（k ＋3）x ＋（k －1）的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，P （－1，－4）.

（1）若△OBP 的面积为3，求k 的值； （2）若△AOB 的面积为1，求k 的值.

【解析】（1）∵y ＝（k ＋3）x ＋（k －1）的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ， ∴A （

1k

k －＋3

，0），B （0，k －1） ∵P （－1，－4） ∴1

2

1k －×1＝3 ∴1k －＝6

∴1k ＝7，或2k ＝－5. （2）

121k

k －＋3

1k －＝1

()

2

1k k －＋3

＝2

∴（k －1）²＝23k ＋

①当k ＋3≥0，即k ≥－3时，k ²－4k －5＝0 ∴1k ＝5，或2k ＝－1；

②当k ＋3＜0，即k ＜－3时，k ²＝－7（舍去）； 综上所述：1k ＝5，或2k ＝－1. 例题3 如图，二次函数y ＝

12

ax 2

－ax ＋c 的图像的顶点为C ，一次函数y ＝－x ＋3的图像与这个二次函数的图像交于A 、B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与它的对称轴交于点D . （1）求点D 的坐标；

（2）若点C 与点D 关于x 轴对称，且△BCD 的面积为4，求此二次函数的关系式.

【解析】（1）∵y ＝12

ax 2

－ax ＋c ∴x ＝－

a

a

－＝1，

∵y ＝－x ＋3 ∴y ＝2 ∴D （1，2）；

（2）设B 点坐标为（m ，n ）. ∵点C 与点D 关于x 轴对称， ∴C （1，－2） ∴CD ＝4. ∵BCD S △＝4， ∴

1

2

×4×（m －1）＝4 ∴m ＝3 ∵y ＝－x ＋3 ∴n ＝－3＋3＝0 ∴B （3，0） ∵y ＝

12

ax 2

－ax ＋c ∴1229032

a a c a a c ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＝－＋＝－＋

∴13c 2

a ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝－

∴y ＝

12x 2－x 3

2

－.

例题4 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB ＜OC ）是方程x ²－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2. （1）求抛物线解析式；

（2）若点E 时线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围.

【解析】（1）x ²－10x ＋16＝0， 解得1x ＝2，2x ＝8．

∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB ＜OC ）， ∴点B 的坐标为（2,0），点C 的坐标为（0,8）．

又由抛物线的对称轴是直线x ＝－2，得A 点坐标为（－6,0），把A ，B ，C 点坐标代入表达式y ＝ax ²＋bx ＋c ，得3660

4208a b c a b c c ⎧⎪

⎨⎪⎩

－＋＝＋＋＝＝，

解得23838a b c ⎧⎪⎪

⎪

⎨⎪⎪⎪⎩

＝－＝－＝．

∴所求抛物线的表达式为y ＝－

23x ²－8

3

＋8． （2）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8, ∴AC ＝10. ∵EF ∥AC ， ∴△BEF ∽△BAC ，EF AC ＝BE AB ，即10EF ＝88

m

－， ∴EF ＝

4054

m －． 过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ， 则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝

45

，