一题多解求双曲线的离心率

一、典例分析，融合贯通

典例1 【2016年山东卷理科第13题】已知双曲线

)>,>(=:00122

22b a b

y －a x E ，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为E 的两个焦点，且BC 3=AB 2，则E 的离心率为 【解法1】直接法

由题意c 2=BC ，所以3c =AB ，

于是点),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得14922

22=b c －a c ，

在由2

c b a =+22得E 的离心率为

2==

a c

e .

【点睛之笔】直接代入，少走弯路！ 【解法2】通径法

易得2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以2

2b |AB |a =，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222

c a b =+得离心率e 2=或

1

e 2=-

（舍去），所以离心率为 2.e =

【点睛之笔】通径法，此径通幽！

【点睛之笔】几何法，利用图形画出美好未来！ 【解后反思】

解法1：直接将数据代入，直奔主题，不走回头路！ 解法2：利用通径，减少计算量！ 解法3：利用数形结合法，以形助数！

典例2 【2009全国卷Ⅰ，理4】设双曲线12222=-b

y a x (a ＞0, b ＞0)的渐近线与抛物线y=x 2

+1相切，则该

双曲线的离心率等于（ ）

A.3 C.5 D.6

【点睛之笔】设而不求法，不求也能求！ 【解法2】导数法 设切点00(,)P x y

'2,y x = ∴切线斜率02b

k x a

== ∴02b x a

=

∴

2

002

2

,

2

1,

2

b b

y x

a a

b

y

a

⎧

==

⎪

⎪

⎨

⎛⎫

⎪=+

⎪

⎪⎝⎭

⎩

22

4

b a

∴= .

∴又2222222

,45

c a b c a a a

=+∴=+=

5

c

e

a

∴==，故选C.

【点睛之笔】导数法，快速确定解题方向！

【解后反思】

解法1:设而不求法，再也不求人！

解法2：利用导数的几何意义，迅速突破难点，确定解题方略！

3.典例3双曲线1

2

2

2

2

=

-

b

y

a

x

的离心率为e1,双曲线1

2

2

2

2

=

-

a

x

b

y

的离心率为e2, 则=

+

2

2

2

1

1

1

e

e

_________, e1+e2的最小值为______. e1·e2的最小值为______ .

由双曲线离心率定义知：

b

b

a

e

a

b

a

e

2

2

2

2

2

1

,

+

=

+

= , 故有

22

12

11

1

e e

+=.

【点睛之笔】均值不等式，不患寡而患不“均”！

【解法2】换元法

不妨设1,121>=>=y e x e ，则问题相当于：

,1112

2=+y x 求y x +、xy 的最小值。 由均值不等式得：xy y

x y x 2

1121112

222=⋅≥+=

，∴ 2≥xy ，等号成立，当且仅当y x = ，即 21e e =，进而推出 ,b a =即122e e ==时.而 8

22222)(2

2

2

2

2

2

=⋅+≥+=++=+xy y x xy y x y x 82222=⋅+≥，∴ 22≥+y x ，等号成立，当且仅当122e e ==时取等号（由

,11

122=+y

x 去分母可得：2222y x y x =+） .

故答案依次为：1,22,2 . 【点睛之笔】换元法，换了都说好！ 【解后反思】

解法1：一正二定三相等，解起题来不需等！ 解法2：换元法，越换越简练，越换越明了！ 二、精选试题，能力升级

1.【2018辽宁省八中模拟】已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，在双曲线上存

在点P 满足12122PF PF F F +≤,则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A. 12e <≤ B. 2e ≥ C. 12e <≤ D. 2e ≥

【答案】B

2.【2018广东省海珠区一模】已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线均与圆

22650x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C 的离心率为（ ）

66

355