高二数学培优课程第8讲-直线与圆锥曲线的位置关系(8个考点+练习)
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.说明：(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝||a ∆，|y 2－y 1|＝||a ∆ 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)点差法设而不求，借用中点公式即可求得斜率．(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0； 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0. 典型例题题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．题型二 中点弦问题例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________．题型三 弦长问题例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．课堂练习1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________．3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．4．(四川文)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．课下作业1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．2．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________．3．已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________．5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________．8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为________． 9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．13．(陕西文)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.。
高考数学总复习-第8章-第8节-直线与圆锥曲线的位置关系课件-新人教A版
(2)当直线方程写成y＝kx＋b(k∈R)形式时，其弦长用 x1，x2表示为：|P1P2|＝ 1＋k2|x1－x2| .
用y1，y2表示为：|P1P2|＝
1＋k12|y1－y2|.
1．直线kx－y＋k＋1＝0与椭圆2x52 ＋1y62 ＝1公共点的个数
为( )
A．0
B．1
C．2
D．随k值而改变
解析:直线方程kx－y＋k＋1＝0可化为y－1＝k(x＋1),所以 直线过定点(－1,1)，而(－1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆必相 交．
①求椭圆C的方程； ②是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共 点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若 不存在，说明理由．
(文)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭 圆C1：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1) 在C1上．
A．(1，＋∞)
B．(1,2)
C．(1,1＋ 2)
D．(2,1＋ 2)
解析：易知|FA|＝ba2.若△ABE是锐角三角形， b2
∴a＋a c＜1， ∴c2－2a2－ac＜0，∴e2－e－2＜0，解得1＜e＜2.
答案：B
4．(理)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为 F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为 (2,2)，则直线l的方程为________________________．
一、直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置的判断： 设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，曲线C的
方程为F(x，y)＝0，联立方程组得
Ax＋By＋C＝0， Fx，y＝0，
消去
y(也可消去x)得到关于x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0.
直线与圆锥曲线的位置关系详解
直线与圆锥曲线的位置关系●知识梳理本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.●点击双基1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况.答案：B2.已知双曲线C ：x 2－42y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：数形结合法，与渐近线平行、相切.答案：D3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是A.（－∞，0）B.（1，＋∞）C.（－∞，0）∪（1，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.答案：C4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________.解析：由题意知抛物线焦点F （1，0）.设过焦点F （1，0）的直线为y =k （x －1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.代入抛物线方程消去y 得k 2x 2－2（k 2+2）x +k 2=0.∵k 2≠0，∴x 1+x 2=22)2(2k k +，x 1x 2=1. ∵|AB |=2212))(1(x x k -+ =]4))[(1(212212x x x x k -++ =]4)2(4)[1(4222-++k k k =8，∴k 2=1.∴△OAB 的重心的横坐标为x =3021x x ++=2. 答案：2 5.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +92y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________.解析：设直线l 与椭圆交于P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率k =2121x x y y --=－)(42121y y x x ++=－2422121y y x x +⋅+ =－244⨯=－21. 由点斜式可得l 的方程为x +2y －8=0.答案：x +2y －8=0●典例剖析【例1】 已知直线l ：y =tan α（x +22）交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且|AB |的长不小于短轴的长，求α的取值范围.剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b ，最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.解：将l 方程与椭圆方程联立，消去y ，得（1+9tan 2α）x 2+362tan 2α·x +72tan 2α－9=0，∴|AB |=α2tan 1+|x 2－x 1| =α2tan 1+·)tan 91(2α+Δ =αα22tan 916tan 6++. 由|AB |≥2，得tan 2α≤31， ∴－33≤tan α≤33. ∴α的取值范围是［0，6π）∪［6π5，π）. 评述：对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于l 的方程由tan α给出，所以可以认定α≠2π，否则涉及弦长计算时，还应讨论α=2π时的情况. 【例2】 已知抛物线y 2=－x 与直线y =k （x +1）相交于A 、B 两点.（1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.剖析：证明OA ⊥OB 可有两种思路（如下图）：（1）证k OA ·k OB =－1；（2）取AB 中点M ，证|OM |=21|AB |. 求k 的值，关键是利用面积建立关于k 的方程，求△AOB 的面积也有两种思路：（1）利用S △OAB =21|AB |·h （h 为O 到AB 的距离）； （2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线和x 轴交点为N ，利用S △OAB =21|AB |·|y 1－y 2|. 请同学们各选一种思路给出解法.解方程组时，是消去x 还是消去y ，这要根据解题的思路去确定.当然，这里消去x 是最简捷的.（1）证明：如下图，由方程组y 2=－x ， y =k （x +1）ky 2+y －k =0.设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由韦达定理y 1·y 2=－1.∵A 、B 在抛物线y 2=－x 上，∴y 12=－x 1，y 22=－x 2，y 12·y 22=x 1x 2．消去x 后，整理得∵k OA ·k OB =11x y ·22x y =2121x x y y =211y y =－1， ∴OA ⊥OB .（2）解：设直线与x 轴交于N ，又显然k ≠0，∴令y =0，则x =－1，即N （－1，0）.∵S △OAB =S △OAN +S △OBN =21|ON ||y 1|+21|ON ||y 2| =21|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB =21·1·212214)(y y y y -+ =214)1(2+k. ∵S △OAB =10， ∴10=21412+k.解得k =±61. 评述：本题考查了两直线垂直的充要条件、三角形的面积公式、函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力.【例3】 在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围.剖析：设B 、C 两点关于直线y =kx +3对称，易得直线BC ：x =－ky +m ，由B 、C 两点关于直线y =kx +3对称可得m 与k 的关系式，而直线BC 与抛物线有两交点，∴Δ＞0，即可求得k 的范围.解：设B 、C 关于直线y =kx +3对称，直线BC 方程为x =－ky +m ，代入y 2＝4x ，得y 2＋4ky －4m =0，设B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2），BC 中点M （x 0，y 0），则y 0＝221y y +＝－2k ，x 0＝2k 2+m . ∵点M （x 0，y 0）在直线l 上，∴－2k =k （2k 2＋m ）+3.∴m =－kk k 3223++. 又∵BC 与抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2＋16m ＞0.把m 代入化简得kk k 323++＜0， 即kk k k )3)(1(2+-+＜0，解得－1＜k ＜0. 评述：对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式.本题运用了“设而不求”，解决本题的关键是由B 、C 两点在抛物线上得“Δ＞0”.【例4】已知抛物线C ：y 2=4（x －1），椭圆C 1的左焦点及左准线与抛物线C 的焦点F 和准线l 分别重合.（1）设B 是椭圆C 1短轴的一个端点，线段BF 的中点为P ，求点P 的轨迹C 2的方程；（2）如果直线x +y =m 与曲线C 2相交于不同两点M 、N ，求m 的取值范围.（1）解法一：由y 2=4（x －1）知抛物线C 的焦点F 坐标为（2，0）.准线l 的方程为x =0.设动椭圆C 1的短轴的一个端点B 的坐标为（x 1，y 1）（x 1＞2，y 1≠0），点P （x ，y ），x =221+x ， x 1=2x －2， y =21y ， y 1=2y . ∴B （2x －2，2y ）（x ＞2，y ≠0）.设点B 在准线x =0上的射影为点B ′，椭圆的中心为点O ′，则椭圆离心率e =||||BF O F '，由||||B B BF '=||||BF O F '，得22)2()222(22-+--x y x =22)2()222(222y x x +----， 整理，化简得y 2=x －2（y ≠0），这就是点P 的轨迹方程.则 ∴解法二：抛物线y 2=4（x －1）焦点为F （2，0），准线l ：x =0.设P （x ，y ），∵P 为BF 中点，∴B （2x －2，2y ）（x ＞2，y ≠0）.设椭圆C 1的长半轴、短半轴、半焦距分别为a 、b 、c ，则c =（2x －2）－2=2x －4，b 2=（2y ）2=4y 2，∵（－c ）－（－ca 2）=2， ∴cc a 22-=2， 即b 2=2c .∴4y 2=2（2x －4），即y 2=x －2（y ≠0），此即C 2的轨迹方程.x +y =m ， y 2=x －2m ＞47. 而当m =2时，直线x +y =2过点（2，0），这时它与曲线C 2只有一个交点，∴所求m 的取值范围是（47，2）∪（2，+∞）. ●闯关训练1.若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P （a ，b ）到直线y =x 的距离为2，则a +b 的值为A.－21B.21C.±21 D.±2 解析：P （a ，b ）点在双曲线上，则有a 2－b 2=1，即（a +b ）（a －b ）=1.d =2||b a -=2，∴|a －b |=2.又P 点在右支上，则有a >b ，（2）解：由 （y ≠0），得y 2+y －m +2=0，令Δ=1－4（－m +2）＞0，解得∴a －b =2.∴|a +b |×2=1，a +b =21. 答案：B2.已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +my 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）解析：直线y －kx －1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点.所以，m 1≤1且m ＞0，得m ≥1.故本题应选C. 答案：C3.已知双曲线x 2－32y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为____________.解析：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），代入双曲线方程3x 2－y 2=1相减得直线AB 的斜率k AB =2121x x y y --=2121)(3y y x x ++ =2232121y y x x ++⨯=123⨯=6. 答案：64.AB 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦，若|AB |=1，则AB 中点的横坐标为___________；若AB 的倾斜角为α，则|AB |=____________.解析：设过F （2p ，0）的直线为y =k （x －2p ），k ≠0，代入抛物线方程，由条件可得结果.答案：21p - α2sin 2p 5.求过点（0，2）的直线被椭圆x 2＋2y 2＝2所截弦的中点的轨迹方程.解：设直线方程为y =kx +2，把它代入x 2＋2y 2＝2，整理得（2k 2＋1）x 2+8kx +6=0.要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k ＜－26或k ＞26. 设直线与椭圆两个交点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），中点坐标为C （x ，y ），则x ＝221x x +＝1242+-k k ， y = 1242+-k k +2＝1222+k . x =1242+-k k ， y =1222+k 消去k 得x 2＋2（y －1）2＝2，且｜x ｜＜26＝，0＜y ＜21． 6.中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为23，与直线x +y －1=0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.解：设椭圆方程22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）， ∵e ＝23，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b . ∴椭圆方程为224b x ＋22by ＝1. 把直线方程代入化简得5x 2－8x +4－4b 2＝0.设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝58，x 1x 2＝51（4－4b 2）. 从参数方程 （k ＜－26或k ＞26），∴y 1y 2＝（1－x 1）（1－x 2）＝1－（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝51（1－4b 2）. 由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.解得b 2＝85，a 2＝25. ∴椭圆方程为52x 2＋58y 2＝1. 7.已知直线y =（a +1）x －1与曲线y 2=ax 恰有一个公共点，求实数a 的值.y =（a +1）x －1， y 2=ax ，x =1，y =0.（2）当a ≠0时，方程组化为aa 1+y 2－y －1=0. x =－1， y =－1.若a a 1+≠0，即a ≠－1，令Δ=0，得1+4·aa 1+=0，解得a =－54，这时方程组恰有 x =－5，y =－2.综上所述，可知当a =0，－1，－54时，直线与曲线恰有一个公共点. ●思悟小结 1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式Δ，有时借助图形的几何性质更为方便.2.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用平方差法，但必须以直线与圆锥使其恰有一组解.（1）当a =0时，此方程组恰有一组解 若aa 1+=0，即a =－1，方程组恰有一解 解析：联立方程组 一解曲线相交为前提，否则不宜用此法.3.求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式d =2212))(1(x x k -+＝2212))(11(y y k -+. 再结合韦达定理解决.焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化.直线与圆锥曲线的位置关系●知识梳理本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.●点击双基1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条2.已知双曲线C ：x 2－42y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是（ ）A.（－∞，0）B.（1，＋∞）C.（－∞，0）∪（1，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________.5.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +92y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________.●典例剖析【例1】 已知直线l ：y =tan α（x +22）交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且|AB |的长不小于短轴的长，求α的取值范围.【例2】 已知抛物线y 2=－x 与直线y =k （x +1）相交于A 、B 两点.（1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.【例3】 在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围.【例4】已知抛物线C ：y 2=4（x －1），椭圆C 1的左焦点及左准线与抛物线C 的焦点F 和准线l 分别重合.（1）设B 是椭圆C 1短轴的一个端点，线段BF 的中点为P ，求点P 的轨迹C 2的方程；（2）如果直线x +y =m 与曲线C 2相交于不同两点M 、N ，求m 的取值范围.●闯关训练1.若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P （a ，b ）到直线y =x 的距离为2，则a +b 的值为A.－21B.21C.±21 D.±2 2.已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +my 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）3.已知双曲线x 2－32y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为____________.4.AB 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦，若|AB |=1，则AB 中点的横坐标为___________；若AB 的倾斜角为α，则|AB |=____________.5.求过点（0，2）的直线被椭圆x2＋2y2＝2所截弦的中点的轨迹方程.3，与直线x+y－1=0相交6.中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为2于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.7.已知直线y=（a+1）x－1与曲线y2=ax恰有一个公共点，求实数a的值.。
直线和圆锥曲线的位置关系
直线和圆锥曲线的位置关系知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系.一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解.1．直线0=++C By Ax 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 一元二次方程，其判别式为∆.(1)⇔>∆0直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)⇔=∆0直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)⇔<∆0直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．2．直线0=++C By Ax 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程.（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）⇒>∆0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0>∆，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0>∆是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，⇔=∆0直线与双曲线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 外一点),(00y x P 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；3．直线0=++C By Ax 和抛物线)0(22>=p px y 的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 方程.（一）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和抛物线相离，无公共点.注意：（1）⇒>∆0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0>∆，当直线与抛物线的对称轴重合或平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0>∆也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.（2）当直线与抛物线的对称轴不重合或平行时，⇔=∆0直线与抛物线相切；（3）如说直线和抛物线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（4）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.知识点二：圆锥曲线的弦1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.当直线的斜率k 存在时，直线b kx y +=与圆锥曲线相交于),(),,(2211y x B y x A ，两点，把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为02=++c bx ax .则弦长公式：2121x x k AB -+=其中aa c ab x x x x x x ∆=--=-+=-4)(4)(22122121 当k 存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：21211y y k AB -+=. 注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，21y y AB -=.2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦公式α221sin 2p p x x AB =++=，其中α为过焦点的直线的倾斜角.3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径.椭圆和双曲线的通径为ab AB 22=，抛物线的通径p AB 2=. 知识点三：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆12222=+b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；②在双曲线12222=-b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =； ③在抛物线)0(22>=p px y 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0y p k =. 注意：因为0>∆是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0>∆！知识点四：求曲线的方程1. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标),(y x 所满足的方程0),(=y x f 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2. 坐标法求曲线方程的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.通过坐标法，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨论；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等.规律方法指导1．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2．直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.3．当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.4．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便.。
直线与圆锥曲线位置关系经典总结
3 4
B. 4
3பைடு நூலகம்
C. 3
4
4
D. 3
(3)过点(-1,0)的直线l 与抛物线y2=6x有公共点, 则直
线l 的斜率的范围是_[___26__, _2_6_] __.
(4)已知抛物线y2=4x过焦点F的弦AB被焦点分成
m、n两部分,则 1 1 =_1__.
mn
1 AF
1 BF
2; p
(5)过原点与双曲线 x2 y2 1交于两点的直线 43
斜率的取值范围是_(___,___23__) __(__23__,___).
(6)若焦点是(0,5 2)的椭圆截直线3x-y-2=0所得的
弦的中点的横坐标是
1 2
,则椭圆方程是_2x_52___7y_52___1.
解：(一)依题意知椭圆的焦点在y轴上，且c＝5 2
c2 50
b2 a2 c2 a2 50
x22 y22 1? —(2) b2 a2
(1)-(2)得：x12－b2x22
＝
y12－y22 a2
即
a2 b2
＝( y1 ( x1
y2 x2
)( y1 )( x1
y2 ) x2 )
k
y1 y2 x1 x2
(7)过椭圆3x2+4y2=48的左焦点F引直线交椭圆于A,
B两点,若|AB|=7, 则此直线的方程
4
只有一个公共点的直线有__4_条.
(1)过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,
这样的直线有( B ) 相切、与x轴平行
A.一条 B.两条 C.三条 D.四条
(2)设椭圆 x2 y2 1的长轴端点为M、N,异于M, N
直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交的弦长公式
直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看：要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
(2)从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax°+bx+c=0.①.若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法：（1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部；（2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。
2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。
直线与圆锥曲线的位置关系：(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B 的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．。
直线与圆锥曲线位置关系知识梳理
直线（点）与圆锥曲线的位置关系知 识 梳 理一、 点与圆锥曲线的位置关系设点P 坐标为00(,)x y ,约定：含焦点的区域称为圆锥曲线的内部。
1. 椭圆：若2200221x y a b+=，则P 在椭圆上；若2200221x y a b +<，则P 在椭圆内；若2200221x y a b+>，则P 在椭圆外. 2.双曲线：若2200221x y a b -=，则P 在双曲线上；若2200221x y a b-<，则P 在双曲线外；若2200221x y a b->，则P 在双曲线内. 3.抛物线：若2002y px =，则P 在抛物线上；若2002y px <，则P 在抛物线内；若2002y px >，则P 在抛物线外.说明：当圆锥曲线的焦点在其他轴上时，有类似于上述的结论，此处从略。
二、 直线与圆锥曲线的位置关系1. 椭圆000=000≠∆>⇔⎧⎧⎪⇒≠∆⇔⎨⎨⎩⎪≠∆<⇔⎩二次项系数且交于两点直线一元二次方程二次项系数且切于一点（图示从略）椭圆二次项系数且无公共点（相离）说明：△＞0是直线与椭圆相交的充要条件；△=0是直线与椭圆有且只有一个公共点的充要条件。
2. 双曲线说明：（1）△＞0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件（因为相交包括交于一000=0=000≠∆>⇔⎧⎪⎪⎪≠∆⇔⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⇔⇔⎪⎪⎪≠∆<⇔⎩ 二次项系数且交于两点二次项系数且切于一点直线一元方程双曲线二次系数(一次方程)交于一点直线渐近线二次项系数且无公共点（相离）12120000x x x x ⎧⎪∆>>⎨⎪∆><⎩既可与两支相交又可与一支相交只与一支交于两点：且与两支交于两点：且⎫⎬⎭有一个公共点点或两点）；但直线与双曲线交于两点时必有△＞0。
△=0是直线与双曲线有一个公共点的充分不必要条件（因为对双曲线来说，有一个公共点包括切于一点和交于一点）；但切于一点时，必有△=0。
直线与圆锥曲线的位置关系
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，）:(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0）:2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。
练习：1、过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有（ ）条。
A ．4B ．3C ．2D ．1分析：作出抛物线232--=x x y ，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。
解：抛物线232--=x x y 如图，点P （3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有一条。
故选择D规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。
（这里可以用公司的设备画图）一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在双曲线内，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系一、基本知识概要：1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。
从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为x 或y 的方程二次项系数非零，判别式⊿=0时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。
2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。
3.①当直线的斜率存在时，弦长公式：2121x x k l -+==[]2122124)()1(x x x x k -+⋅+或当k 存在且不为零时21211y y kl -+=，（其中（11,y x ），（22,y x ）是交点坐标）。
②抛物线px y 22=的焦点弦长公式|AB|=α221sin 2pp x x =++，其中α为过焦点的直线的倾斜角。
4.重点难点:直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。
5.思维方式: 方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。
6.特别注意:直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。
一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行。
二、例题：【例1】直线y=x+3与曲线14||92=-x x y （ ） A 。
没有交点 B 。
只有一个交点 C 。
有两个交点 D 。
有三个交点〖解〗：当x>0时，双曲线14922=-x y 的渐近线为：x y 23±=，而直线y=x+3的斜率为1，1<3/2，因此直线与双曲线的下支有一交点，又y=x+3过椭圆14922=+x y 的顶点，k=1>0因此直线与椭圆左半部分有一交点，共计3个交点，选D [思维点拔]注意先确定曲线再判断。
【例2】已知直线)22tan(:+=x y l 交椭圆9922=+y x 于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且AB 的长不小于短轴的长，求α的取值范围。
直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)
O
X
种类:相离;相切; 相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
Y
O
X
若直线与渐近线平行, 则相交且只有一个交点.
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
(2)当 a≠0 时，消去 x，得a＋a 1y2－y－1＝0.
①若a＋a 1＝0，即 a＝－1，方程变为一元一次方程－y－1＝0，
方程组恰有一组解yx＝＝－－11.，
a＋1 ②若 a ≠0，即
a≠－1，令Δ＝0，
得 1＋4(a＋a 1)＝0，可解得 a＝－45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．
综上所述知，当
两式相减可得yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－ba22，即 kAB＝－ba22xy00
.
x2 y2 类似的可得圆锥曲线为双曲线a2－b2＝1
时，有
kAB＝ab22yx00.
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
求椭圆
x2 9
y2 4
1 被点
Q(2,1)平分的弦 AB
2
x
L4相切
x2
直线L绕着点(0，3)旋转过程中，直线L与双曲线
y2
1
43
的 交点情况如何？L的斜率变化情况如何？
L4 L3 y L2 L1 3
-2
2
x
直线L绕着点(-1，3)转过程中，直线L与抛物线 y 2 4 x
的交 点情况如何？L的斜率变化情况如何？
高二数学寒假作业 专题09 直线和圆锥曲线的位置关系(背)
专题9 直线和圆锥曲线的位置关系【背一背】一、直线和椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋b 与椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的位置关系： 直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x2a2＋y2b2＝1有一组实数解，即0∆=，.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x2a2＋y2b2＝1有两组实数解，即0∆>，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x2a2＋y2b2＝1没有实数解，即0∆<. 直线和双曲线的位置关系一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m≠0)① 双曲线C ：x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)② 把①代入②得(b2－a2k 2)x2－2a2mkx －a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±b a时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．直线和抛物线位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x 的方程k2x2＋2(kb －p)x ＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行，此时直线与抛物线有一个公共点．直线与圆锥曲线相交问题的解法：利用“点差法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标）——代入（即将端点代入曲线方程）——作差（即两式相减）——得出中点坐标与斜率的关系。
第八节-直线与圆锥曲线的位置关系
由
y
2
4x,
y kx b,
消去y整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,
考点突破
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Δ2=(2kb-4)2-4k2b2=16-16kb=0,即kb=1,
∴
b2 kb
2k 2 1.②
1,
①
由②得b= 1 ,代入①得 1 =2k2+1,
k
k2
即2k4+k2-1=0.
令t=k2,则2t2+t-1=0,
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所
在直线方程是 x0x - y0 y =1.
a2 b2
(3)双曲线 x2 - y2 =1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2-B2b2=
a2 b2
C2.
教材研读 栏目索引
3.抛物线的切线方程 (1)抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0). (2)抛物线y2=2px(p>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所在直线方 程是y0y=p(x+x0). (3)抛物线y2=2px(p>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC.
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2.直线y=
b a
x+3与双曲线
x a
2 2
-
y2 b2
=1的交点个数是
( A)
A.1 B.2 C.1或2 D.0
答案 A 因为直线y= b x+3与双曲线的渐近线y= b x平行,所以它与双
直线与圆锥曲线的位置关系
解：联立直线与椭圆的方程，可得方程组
= 2 − 2
2 2
+
=1
5
4
解方程组可得
5
=
=0
3
或
= −2
4
=
3
5 4
因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点坐标为(0, −2), ( , ).
3 3
从而可知所求线段长
5
(
3
−
4
2
0) +[
3
5 5
2
− (−2)] =
.
3
例2
2
:
4
+
2
2
，分别求直线
=1
与椭圆 有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时的
取值范围.
当 = 0即 = ±3 2时，方程①有两个相等的实数解，此时原方程的实数解
集中只有一个元素，直线 与椭圆 有且只有一个公共点；
当 < 0即 < −3 2或 > 3 2时，方程①无实数解，此时原方程组的解集
两式相减,得(x 1+x 2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2).
1-2
故 k AB=
1-2
(1)由 kAB=-
=-
1+2
4(1+ 2)
1
4
=- .
4
= ,得所求轨迹方程为 x-2y-4=0.
2
(2)由 kAB=-4=2,得所求轨迹方程为 x+8y=0(-4≤x≤4).
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
学习任务
1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.(数学抽象)
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第八讲 直线与圆锥曲线的位置关系
【知识梳理】
1.直线与圆锥曲线C 的位置关系
将直线l 的方程代入曲线C 的方程,消去y 或者消去x ,得到一个关于x （或y ）的方程
02=++c bx ax 进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法.
（1）交点个数
①当 a =0或a ≠0,⊿=0时,曲线和直线只有一个交点；
②当 a ≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点；
③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点；
（2） 弦长公式：
斜率为k 的直线被曲线截得弦AB ,若A 、B 两点的坐标分别是A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,则
21|| AB x x -
一定要注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用.
2.求动点轨迹方程
①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法
②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法
③一动点随另一动点的变化而变化,一般用代入转移法
【考点一：中点弦问题】
【例1】已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于A 、B 两点,且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上,求此椭圆的离心率.
【课堂练习】
（1）椭圆14
162
2=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分,求此弦所在直线的方程.
【考点二：中点问题】
【例2】已知点A 、B 的坐标分别是()()0,1-0,1，
.直线BM AM ,相交于点M ,且它们的斜率之积为－2.
（Ⅰ）求动点M 的轨迹方程；
（Ⅱ）若过点⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段C D 的中点,求直线l 的方程.
【课堂练习】
（2）已知椭圆22
221x y a b
+=（a >b >0）的离心率e ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ,已知点A 的坐标为（-a ,0）.
（i ）若AB 5
||=,求直线l 的倾斜角； （ii ）若点Q y 0（0，）在线段AB 的垂直平分线上,且QA QB=4.求y 0的值.
【考点三：弦长问题】
【例3】已知椭圆14
:22
=+y x G .过点（m ,0）作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A ,B 两点.
（Ⅰ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （Ⅱ）将AB 表示为m 的函数,并求AB 的最大值.
【课堂练习】
3.已知椭圆1922=+y x ,过左焦点F 作倾斜角为6
π的直线交椭圆于A 、B 两点,求弦AB 的长.
【考点四：对称问题】
曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上
【例4】已知椭圆C 的方程x y 22
43
1+=,试确定m 的取值范围,使得对于直线y x m =+4,椭圆C 上有不同两点关于直线对称.
【课堂练习】
4.在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称,求k 的取值范围.
【考点五：垂直问题】
002211=+⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⊥=•y x y x AB 为直径的圆过原点以
重心坐标公式：⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++3,3321321y y y x x x 【例5】已知m ＞1,直线2:02m l x my --=,椭圆2
22:1x C y m
+=,1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时,求直线l 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,12AF F ,12BF F 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内,求实数m 的取值范围.
【课堂练习】
5.已知定点A （－1,0）,F （2,0）,定直线：12
x =,不在轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线的距离的2倍.设点P 的轨迹为E ,过点F 的直线交E 于B 、两点,直线AB 、A 分别交于点M 、
（Ⅰ）求E 的方程； （Ⅱ）试判断以线段M 为直径的圆是否过点F ,并说明理由.【考点六：面积问题】
点到直线的距离弦长⨯⨯=∆2
1AOB S
【例6】已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>直线:l y kx m =+交椭圆于不同的两点A ,B
（Ⅰ）求椭圆的方程 （Ⅱ）若坐标原点O 到直线l ,求AOB ∆面积的最大值
【考点七：比例问题】
【例7】设1F ,2F 分别为椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦点,过2F 的直线l 与椭圆C 相交
于A ,B 两点,直线l 的倾斜角为60,1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距； （Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.
【课堂练习】
6.设0λ>,点A 的坐标为（1,1）,点B 在抛物线2y x =上运动,点Q 满足λ=,经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ,点P 满足λ=,求点P 的轨迹方程.
【考点八：范围、最值问题】
几何方法：充分利用图形的几何特征及意义,利用几何性质解决问题
代数方法：建立目标函数,再求目标函数的最值.
【例8】已知椭圆)0(1:22
221>>=+b a b
y a x C 与直线01=-+y x 相交于两点B A ,.当椭圆的离心率e 满足2
233≤≤e ,且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）时,求椭圆长轴长的取值范围.
【课堂练习】
7.已知P 是椭圆124:221=+y x C 的动点,点⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,21A 关于原点O 的对称点是B ,若|PB |的最小值为23,求点P 的横坐标的取值范围.
【巩固练习】
基础训练（A 类）
1.已知抛物线y =x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ,则|AB |等于（ ）
A .3
B .4
C .32 D.42 2.椭圆19
36:2
21=+y x C 的一条弦被)2,4(A 平分,那么这条弦所在的直线方程是 （ ） A .02=-y x B .0102=+-y x C .022=--y x D.08-2=+y x
3.设斜率为2的直线l 过抛物线2
(0)y ax a =≠的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△O AF （O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（ ）. A .24y x =± B .28y x =± C . 24y x = D. 2
8y x =
4.设抛物线2y =2x 的焦点为F ,过点M 3,0）的直线与抛物线相交于A ,B 两点,与抛物线的准线相交于C ,BF =2,则∆BCF 与∆ACF 的面积之比BCF ACF S S ∆∆=（ ） A .45 B .23 C .47 D.12
5.设双曲线()22
2200x y a b a b
－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切,则该双曲线的离心率等于（ ）
A 3
B .2
C 5 66.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,P A ⊥l ,A 为垂足.如果直线AF 的斜率为3那么|PF |=（ ）
A .3
B .8
C .3 D. 16
7.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p =________________。