2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)含解析
2018年高考理科数学新课标全国2卷逐题解析
2018 年一般高等学校招生全国一致考试新课标2 卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及稿本纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要 求的。
1+2i1． 1-2i =( )4 3 4 3 343 4A ．- 5-5iB ． - 5 + 5iC ．- 5-5iD ． - 5 + 5i分析：选 D2．已知会集 A={(x,y)|x2+y 2≤ 3,x ∈Z,y ∈ Z } ，则 A 中元素的个数为 ( )A ． 9B ． 8C ． 5D ． 4分析：选 A 问题为确立圆面内整点个数3．函数 f(x)=e x -e -x的图像大体为 ( ) x 2分析：选 B f(x) 为奇函数，消除A,x>0,f(x)>0,消除 D, 取 x=2,f(2)=e 2-e -2>1, 应选 B44．已知向量 a ， b 满足 |a|=1 ， a · b=-1 ，则 a · (2a-b)= ( )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 0分析：选 B a · (2a-b)=2a 2-a ·b=2+1=32－y 25．双曲线 x22 ＝1(a ＞ 0， b ＞ 0) 的离心率为 3，则其渐近线方程为( )ab23A ． y= ± 2xB ． y=± 3xC ． y=± 2 xD ． y=± 2 x分析：选 A e=222a3 c =3a b=C 56．在 ABC 中， cos 2= 5 ， BC=1， AC=5，则 AB= ( )A ．4 2B ． 30C ． 29D ．2 5分析：选 A cosC=2cos2C3 222-1= -AB=AC+BC-2AB · BC ·cosC=32 AB=4 2251 / 61 1 - 1 1 1( )7． 算 S=1- +3+⋯⋯+- ， 了右 的程序框 ， 在空白框中 填入2 499100开始N 0,Ti 1是100 否i1S NTN NiT T1出 Si 1束A ． i=i+1 B． i=i+2C ． i=i+3D． i=i+4分析： B8．我国数学家 景 在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界 先的成就． 哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示 两个素数的和”，如30=7+23．在不超 30 的素数中，随机 取两个不一样的数，其和等于30 的概率是 ()1111A ．B ．C ．D ．121415 18 分析： C不超30 的素数有 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17，19， 23， 29 共 10 个，从中 2 个其和 30 的3 2= 17+23， 11+19， 13+17，共 3 种情况，所求概率 P= 15C109．在 方体 ABCD-AB C D 中， AB=BC=1， AA =3， 异面直 AD 与 DB 所成角的余弦 ()1 1 1 11111552A ．B ．C ．D ．5652分析： C建立空 坐 系，利用向量 角公式可得。
2018年全国高考新课标2卷理科数学考试(解析版)
3 6 的直
2 A．
3
1 B．
2
1 C．
3
1 D．
4
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高考真题
高三数学
3
解析：选
D AP 的方程为
y= (x+a), 6
∵Δ P F 1F2 为等腰三角形
∴ |F 2P|=| F 1F2|=2c,
过 P 作 PH⊥ x 轴，则∠ PF2H=600, ∴ |F 2H|=c,|PH|= 3c, ∴ P(2c, 3c), 代入 AP 方程得 4c=a
55
34 C． - - i55源自34 D． - + i
55
解析：选 D 2．已知集合 A={(x,y)|x 2+y 2≤ 3,x ∈Z,y ∈ Z } ，则 A 中元素的个数为 ( )
A． 9
B． 8
解析：选 A 问题为确定圆面内整点个数
ex-e -x
3．函数 f(x)=
x 2 的图像大致为 ( )
C． 5
开始
N 0,T 0
i1
是
否
i 100
1 NN
i 1 TT i1
SNT 输出 S 结束
高三数学
()
A． i=i+1 B 解析：选 B
． i=i+2 C
． i=i+3 D ． i=i+4
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．
哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数
可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于
解析： 9 15．已知 sin α+cos β =1,cos α +sin β =0，则 sin( α +β )=__________ ．
2018年高考全国二卷理科数学真题(附答案)
2018年高考全国二卷理科数学真题（附答案）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A ．2y x =±B ．3y x =C ．2y = D ．3y x = 6．在ABC △中，5cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30C 29 D ．257．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15BCD10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ． 23B ．12C ．13D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥一中等六校教育研究会2018届高三上学期第二次联考数学(理)试卷(含答案)
安徽六校教育研究会2018届高三第二次联考数学试题（理）命题：合肥一六八中学考试时间：120分钟满分：150分一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．若集合，且，则集合B可以是（）A．B．C．D．R2．若复数其中a,b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知是等差数列的前n项和，且对，下列说法不正确的是（）A、B、C、成等差数列；D、数列是等差数列；4．已知函数f(x)是定义域在R上的奇函数，且在[0，+∞）单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（）A、(-,2]B、(0, ]C、[,2]D、(0,2]5．如图是某几何体的三视图，则该几何体内切球的表面积为（）A．3B．C．D、6．已知x,y满足约束条件，则目标函数的最大值和最小值的差等于（）A、1B、-1C、2D、-27．若a和b都是计算机在区间（0，2）上产生的随机数，那么ab<1的概率为（）A．B．C．D．8．设函数f(x)=是常数，），且函数f(x)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象向右平移个单位所得函数图象与g(x)= 图象重合，则的值可以是（）A、B、C、D、9．若，若=84，则实数a的值为（）A、1B、2C、-2D、-310．已知点P(x,y)满足，过点P作抛物线x2=8y的两条切线，切点为A,B，则直线AB斜率的最大值为（）A、B、C、D、11．若数列的前n项和满足：对都有（M为常数）成立，则称数列为“和敛数列”，则数列，，，中是“和敛数列”有（）个。
A、1B、2C、3D、412 ．定义在R 上的函数f(x) 满足：f（x+1）= f(x-1) ，且当x [0,2) 时，，使方程有3个解的一个充分不必要条件是（）A、a (-1,0)B、a (-1, )C、aD、a)二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．运行右边程序框图,当输入某个正整数n后,输出的S (10,20),那么n的值为。
2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)
1．1+2i=()5555555542D．y=±3C．y=±2x6．在ΔABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=()252018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1-2i43A．--i43B．-+i34C．--i34D．-+i解析：选D2．已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4解析：选A问题为确定圆面内整点个数3．函数f(x)=e x-e-xx2的图像大致为()e2-e-2解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)=>1,故选B4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=()A．4B．3C．2D．0解析：选B a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3x2y25．双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y=±2x B．y=±3x2x解析：选A e=3c2=3a2b=2aC525A．42B．30C．29D．25C3解析：选A cosC=2cos2-1=-AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=422 3 4 99 100 12 B ． 1 14 C ． 1 15 D ． 1A ． 1 C 102 155 6 5 24 B ．π2 C ．3πA ．π解析：选 A f(x)= 2cos(x+ π 4 4 4 ＋ 2＝1（a>b>0）的左，右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为b 61 1 1 1 17．为计算 S=1- + - +……+ - ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入()开始N = 0, T = 0i = 1是i < 100否N = N +1iS = N - TT = T +1i + 1输出 S结束A ．i=i+1B ．i=i+2C ．i=i+3D ．i=i+4 解析：选 B8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数 可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的 概率是( )18解析：选 C 不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 共 10 个，从中选 2 个其和为 30 的3 1为 7+23，11+19，13+17，共 3 种情形，所求概率为 P= =9．在长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB=BC=1，AA 1= 3，则异面直线 AD 1 与 DB 1 所成角的余弦值为( )1 5 52A ．B ．C ．D ．解析：选 C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。
安徽省合肥市2018届高三第二次质量检测理科综合试卷(word含答案)
合肥市2018年高三第二次教学质量检测理科综合试题可能用到的相对原子质量：H：1B：11C：12N：14O：16S：32Cl：35.5Cu：64Sn：119第I卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于细胞内蛋白质和核酸及其相互关系的叙述，正确的是A.控制合成不同蛋白质的DNA分子碱基含量可能相同B同一人体的神经细胞与骨骼肌细胞具有相同的DNA和RNAC.蛋白质功能多样性的根本原因是控制其合成的mRNA具有多样性D.基因的两条链可分别作模板进行转录，以提高蛋白质合成的效率2.研究发现，VPS4B(种蛋白质)能够调控肿瘤细胞的增殖过程。
在癌细胞培养过程中，下调VPS4B的含量，细胞分裂间期各时期比例变化如下表。
下列分析中合理的是A.B.VPS4B的缺失或功能被抑制可导致细胞周期缩短C.VPS4B可能在S期与G2期的转换过程中起重要作用D.下调ⅴPS4B的含量可能成为治疗癌症的新思路3.下列关于探索DNA是遗传物质经典实验的相关叙述，正确的是A.格里菲思发现S型菌与R型菌混合培养，所有R型菌都转化成S型菌B.艾弗里的体外转化试验中，R型菌转化成S型菌的实质是基因突变C.用S型肺炎双球菌的DNA感染小鼠，可以导致小鼠患败血症死亡D.T2噬菌体侵染细菌实验的关键思路是对DNA和蛋白质进行单独跟踪4.辣椒抗病(B)对不抗病(b)为显性，基因型为BB的个体花粉败育，不能产生正常花粉。
现将基因型为Bb的辣椒植株自由交配两代获得F2。
F2中抗病与不抗病植株的比例和花粉正常与花粉败育植株的比例分别为A.3：1 6：1B.2：1 5：1C.3：2 7：1D.1：1 3：15.PM2.5是指大气中直径小于2.5μm的颗粒物，富含大量有毒、有害物质，易通过肺部进入血液。
目前PM2.5已成为空气污染指数的重要指标。
下列有关PM2.5的推测正确的是A.PM2.5进入人体肺泡中即进入了人体的内环境B.颗粒物中的一些酸性物质进入人体血液将导致血浆最终呈酸性C.PM2.5可能成为过敏原，其诱发的过敏反应属于免疫缺陷症D.颗粒物进入呼吸道引起咳嗽属于非条件反射，其中枢不在大脑皮层6.地上枯落物是指由植物地上部分产生并归还到地表的所有有机物质的总称，细枯落物主要由凋落的叶片和草本植物组成，粗糙木质枯落物主要是死亡的木本植物的茎。
2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足z2＝12+16i，则z的模为（）A．20B．12C．D．2．（5分）θ为第三象限角，，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．C．D．3．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|﹣x2+6x﹣8＞0}，，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3]C．（0，2]D．[2，3]4．（5分）不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M，函数的图象与x轴所围成的区域为N．向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为（）A．B．C．D．5．（5分）直线l过抛物线E：y2＝8x的焦点且与x轴垂直，则直线l与E所围成的面积等于（）A．13B．C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（）A．16+5πB．16+3πC．20+4πD．20+5π7．（5分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序．当输入的x∈[﹣2，4]时，则输出y的范围是（）A．[﹣8，4]B．[0，24]C．[﹣2，4]∪（6，24]D．[﹣2，24] 8．（5分）函数的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位后，得到y ＝g（x）为偶函数，则m的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）平面α内有n个点（无三点共线）到平面β的距离相等，能够推出α∥β，三个平面将空间分成m个平面，则的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知x，y满足，z＝xy的最小值、最大值分别为a，b，且x2﹣kx+1≥0对x∈[a，b]上恒成立，则k的取值范围为（）A．﹣2≤k≤2B．k≤2C．k≥﹣2D．11．（5分）向量，，满足：，，，则最大值为（）A．2B．C．1D．412．（5分）y＝f（x）的导函数满足：当x≠2时，（x﹣2）（f（x）+2f'（x）﹣xf'（x））＞0，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，则展开式中常数项是．14．（5分）已知两个圆C1，C2与两坐标系都相切，且都过点（1，﹣2），则|C1C2|＝．15．（5分）在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想．比如在中“…”即代表无限次重复，但原数中有个定数x，这可以通过确定出来x＝2，类似地可得到：＝．16．（5分）△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且，，，则△ABC面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17．（12分）数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）甲乙两个班进行物理测试，其中女生60人，男生50人，从全部110人任取一人及格的概率为，并且男生和女生不及格人数相等．（1）完成如下2×2列联表（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取3人，记抽取的3人中不及格人数为X，求X的数学期望和方差．附：．19．（12分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AA1＝A1C＝AB，A1B＝A1D．（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）设BD与AC交于O点，求二面角B﹣OB1﹣C平面角正弦值．20．（12分）已知椭圆E：，点A、B、C都在椭圆E上，O为坐标原点，D为AB中点，且．（1）若点C的坐标为，求直线AB的方程；（2）求证：△ABC面积为定值．21．（12分）设．（1）g（x）＝f'（x）在[1，2]上单调，求a的取值范围；（2）已知f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线M的参数方程为：（α为参数），曲线N的极坐标方程为．（1）求曲线M的普通方程与曲线N的直角坐标方程；（2）曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．（1）解不等式：f（x）≤x+3；（2）不等式|m|•f（x）≥|m+2|﹣|3m﹣2|对任意m∈R恒成立，求x的范围．2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足z2＝12+16i，则z的模为（）A．20B．12C．D．【解答】解：设z＝a+bi，∵复数z满足z2＝12+16i，∴a2+2abi+b2i2＝12+16i，∴（a2﹣b2）+2abi＝12+16i，∴，解得a2＝16，b2＝4，∴z的模|z|＝＝＝2．故选：C．2．（5分）θ为第三象限角，，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵θ为第三象限角，＝，∴tanθ＝＝2，再根据sin2θ+cos2θ＝1，sinθ＜0，cosθ＜0，∴sinθ＝﹣，cosθ＝﹣，∴sinθ﹣cosθ＝﹣，故选：B．3．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|﹣x2+6x﹣8＞0}，，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3]C．（0，2]D．[2，3]【解答】解：A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|0＜x≤3}；∴∁R A＝{x|x≤2，或x≥4}；∴（∁R A）∩B＝（0，2]．故选：C．4．（5分）不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M，函数的图象与x轴所围成的区域为N．向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M、函数的图象与x轴所围成的区域为N如图．正方形区域M得面积为，区域N得面积为．由测度比为面积比，可得向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为．故选：A．5．（5分）直线l过抛物线E：y2＝8x的焦点且与x轴垂直，则直线l与E所围成的面积等于（）A．13B．C．D．【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点坐标为（2，0），∵直线l过抛物线C：y2＝8x的焦点且与x轴垂直，∴直线l的方程为x＝2，∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为2）dx＝4＝．故选：C．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（）A．16+5πB．16+3πC．20+4πD．20+5π【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是正方体与半圆柱的组合体，其中正方体的上部挖去一个半球体，如图所示；则该几何体表面积为S＝4×22+2π•12+π•12+π•1•2＝16+5π．故选：A．7．（5分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序．当输入的x∈[﹣2，4]时，则输出y的范围是（）A．[﹣8，4]B．[0，24]C．[﹣2，4]∪（6，24]D．[﹣2，24]【解答】解：分析程序的运行过程知，该程序运行后输出y的值；当x∈[﹣2，1）时，3x2+2∈[2，14]，y＝2（3x2+2）﹣4∈[0，24]；当x∈[1，4]时，y＝2x﹣4∈[﹣2，4]；∴输出y的取值范围是[﹣2，24]．故选：D．8．（5分）函数的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位后，得到y ＝g（x）为偶函数，则m的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数＝sin x（sin x+cos x）＝•sin2x+sin x cos x＝•+sin2x＝+（sin2x﹣cos2x）＝+•sin（2x﹣），把f（x）的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位后，得到y＝g（x）＝+•sin（2x﹣2m﹣）的图象，而g（x）为偶函数，∴2m+＝kπ+，k∈Z，∴m＝，故选：D．9．（5分）平面α内有n个点（无三点共线）到平面β的距离相等，能够推出α∥β，三个平面将空间分成m个平面，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵不在同一条直线三点确定一个平面，∴至少有三个．当有三个点时，如果在平面β的异侧，则不成立；当四个点时，如果在平面β的异侧，且均平行于平面β，也不成立，当有五个点时成立．∴“这n个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件，则n的最小值为5，三个平面将空间分成m个平面，m的取值为4，6，7，8，即m的最大值为8，可得的最小值为．故选：C．10．（5分）已知x，y满足，z＝xy的最小值、最大值分别为a，b，且x2﹣kx+1≥0对x∈[a，b]上恒成立，则k的取值范围为（）A．﹣2≤k≤2B．k≤2C．k≥﹣2D．【解答】解：x，y满足的可行域如图：z＝xy，当x一定，y最大时，z最大，y 一定则x最大时，z最大，所以，最大值一定在线段2x+y＝3上取得，最小值在（0，1.5）处取得．z＝x（3﹣2x）＝﹣2x2+3x，x∈[0，1]，所以z的最大值为：＝，最小值为：0，x2﹣kx+1≥0对x∈[0，]上恒成立，可得k≤，因为≥2，此时x＝1，1∈，所以则k的取值范围为：k≤2．故选：B．11．（5分）向量，，满足：，，，则最大值为（）A．2B．C．1D．4【解答】解：如图，设＝，＝，＝，，，可得cos∠MON＝＝﹣，即有∠MON＝120°，又＝﹣，＝﹣，，可得cos∠MPN＝，即∠MPN＝60°，由∠MON+∠MPN＝180°，可得O，M，P，N四点共圆C，在△MON中，OM＝ON＝2，MN＝＝2，则圆C的直径为＝4，可得最大值为4．故选：D．12．（5分）y＝f（x）的导函数满足：当x≠2时，（x﹣2）（f（x）+2f'（x）﹣xf'（x））＞0，则（）A．B．C．D．【解答】解：设g（x）＝，∴g′（x）＝，∵（x﹣2）（f（x）+2f'（x）﹣xf'（x））＞0，∴（x﹣2）（（x﹣2）f'（x）﹣f（x））＜0，当x＞2时，（x﹣2）f'（x）﹣f（x））＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（2，+∞）上单调递减，当x＜2时，（x﹣2）f'（x）﹣f（x））＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，∴g（4）＜g（3）＜g（），∴＜＜∴f（4）＜2f（3）＜（2+4）f（），故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，则展开式中常数项是7920．【解答】解：二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，∴第7项是中间项，展开式共有13项，则n＝12；∴二项式展开式的通项公式为T r+1＝••＝（﹣2）r••，令6﹣＝0，解得r＝4，∴展开式中常数项是T5＝（﹣2）4•＝16×＝7920．故答案为：7920．14．（5分）已知两个圆C1，C2与两坐标系都相切，且都过点（1，﹣2），则|C1C2|＝．【解答】解：两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（1，﹣2），则圆在第四象限内；设两个圆的圆心分别为（a，﹣a），（b，﹣b），由于两圆都过点（1，﹣2），则有＝|a|，＝|b|，∴a和b分别为（x﹣1）2+（x﹣2）2＝x2的两个实数根，即a和b分别为x2﹣6x+5＝0 的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝5，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝16，∴两圆心的距离|C1C2|＝•|a﹣b|＝4．故答案为：4．15．（5分）在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想．比如在中“…”即代表无限次重复，但原数中有个定数x，这可以通过确定出来x＝2，类似地可得到：＝．【解答】解：可以令＝S（S＞0），可得（）+1＝S，即，解得S＝，故答案为：．16．（5分）△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且，，，则△ABC面积为．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且，，，则：sin A＝，所以：8sin A sin B＝3sin C，解得：2b＝3c，设：b＝3x，c＝2x，a＝2y在△ABC中，利用余弦定理：cos A＝﹣＝，解得：y＝2x．在△ABD中，利用余弦定理：4x2＝﹣2cos∠BDA，在△ACD中，利用余弦定理：﹣2，所以：13x2＝8x2+5，解得：x＝1，所以：b＝3，c＝2，故：＝，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17．（12分）数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n＝1时，；当n≥2，＝，可得，又∵当n＝1时也成立，∴；（2），＝，∴T n＝，＝．18．（12分）甲乙两个班进行物理测试，其中女生60人，男生50人，从全部110人任取一人及格的概率为，并且男生和女生不及格人数相等．（1）完成如下2×2列联表（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取3人，记抽取的3人中不及格人数为X，求X的数学期望和方差．附：．【解答】解：（1）（2）由＝，犯错误概率不超过0.1的前提下，没有足够的证据说明物理成绩及格与性别有关；（3）由题意可知，∴，∴．19．（12分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AA1＝A1C＝AB，A1B＝A1D．（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）设BD与AC交于O点，求二面角B﹣OB1﹣C平面角正弦值．【解答】（1）证明：设AC，BD交于点O，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵A1B＝A1D，O是BD的中点，∴A1O⊥BD，AC∩A1O＝O，∴BD⊥平面ACC1A1，又∵BD⊂平面BDD1B1，∴平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）解：∵AA1＝A1C，O是AC的中点，∴OA1⊥AC，OA1，OA，OB两两垂直，以OA，OB，OA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设AA1＝A1C＝AB＝2，由题得BD＝2，，OA1＝1，则，，B（0，1，0），A1（0，0，1），设是平面OBB1的一个法向量，，，由，可得，设是平面OB1C的一个法向量，则，＝，由，可得，可得＝，∴二面角B﹣OB1﹣C平面角正弦值为．20．（12分）已知椭圆E：，点A、B、C都在椭圆E上，O为坐标原点，D为AB中点，且．（1）若点C的坐标为，求直线AB的方程；（2）求证：△ABC面积为定值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），∵，＝（﹣1，﹣），∴，故x1+x2＝﹣1，y1+y2＝﹣．将A，B带入椭圆方程中，可得，化简可得：，∴＝，∴直线AB的方程为：y＝﹣（x+）﹣，即x+2y+2＝0．（2）证明：设C（m，n），则，①当直线AB的斜率不存在时，n＝0，由题意可得C（2，0），，或C（﹣2，0），，，此时；②当直线AB的斜率存在时，n≠0，由（1），∴AB：，即直线AB：＝，即3mx+4ny+6＝0，⇒3x2+3mx+3﹣4n2＝0，∴x1+x2＝﹣m，，∵，＝＝，O到AB的距离，∴×．∴S△ABC为定值．21．（12分）设．（1）g（x）＝f'（x）在[1，2]上单调，求a的取值范围；（2）已知f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f'（x）＝lnx﹣3ax+3a，即g（x）＝lnx﹣3ax+3a，x∈（0，+∞），，①g（x）在[1，2]上单调递增，∴对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，得；②g（x）在[1，2]上单调递减，∴对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，得，由①②可得a的取值范围为；（2）由（1）知，①a≤0，f'（x）在（0，+∞）上单调递增，∴x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取得极小值，符合题意；②时，，又f'（x）在上单调递增，∴x∈（0，1）时，f'（x）＜0，∴时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，上单调递增，f（x）在x＝1处取得极小值，符合题意；③时，，f'（x）在（0，1）上单调递增，∴x∈（1，+∞）上单调递减，∴x∈（0，+∞）时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意；④时，，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）在x＝1处取得极大值，不符合题意；综上所述，可得．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线M的参数方程为：（α为参数），曲线N的极坐标方程为．（1）求曲线M的普通方程与曲线N的直角坐标方程；（2）曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．【解答】解：（1）在曲线M中x2＝cos2α+3sin2α，∴曲线M的普通方程为y＝x2﹣1，x∈[﹣2，2]．在曲线中：．可得ρcosθ﹣ρsinθ＝，∴曲线的直角坐标方程为；x﹣y＝，即y＝x﹣m．（2）联立，x∈[﹣2，2]有两解，令，在[﹣2，2]上有两解，∴，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．（1）解不等式：f（x）≤x+3；（2）不等式|m|•f（x）≥|m+2|﹣|3m﹣2|对任意m∈R恒成立，求x的范围．【解答】解：（1）|x﹣1|+|x﹣2|≤x+3，可得①，②⇒1＜x＜2，③⇒0≤x≤1，由①②③可得x∈[0，6]；（2）①当m＝0时，0≥0，∴x∈R；②当m≠0时，即对m恒成立，，当且仅当，即时取等号，∴f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|≥4，由x≥2，2x﹣3≥4，解得x≥，即为x≥；1＜x＜2，x﹣1+2﹣x≥4，解得x∈∅；x≤1时，3﹣2x≥4，解得x≤﹣；综上可得．。
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学文试题(解析版)
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学文试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()12?i i -（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A. 2i - B. i C. -2 D. 1 【答案】D 【解析】由复数的运算法则可得：()21222i i i i i -?-=+，据此可得复数的虚部为1. 本题选择D 选项.2.已知集合{}|1M x x =<，{}|02N x x =<<，则M N ?（ ）A. ()0,1B. (),1-?C. (),2-?D. [)0,1 【答案】A 【解析】由题意结合交集的定义可得：{}|01M N x x ?<<，表示为区间形式即()0,1.本题选择A 选项. 3.已知圆()()22:684C x y -++=，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为（ ）A. ()()2234100x y -++= B. ()()2234100x y ++-=C. ()()223425x y -+-= D. ()()223425x y ++-=【答案】C 【解析】由题意可知：()()0,0,6,8O C -，则圆心坐标为：()3,4-10=，据此可得圆的方程为：()()22210342x y 骣琪-++=琪桫，即：()()223425x y -+-=.本题选择C 选项.4.在平面直角坐标系中，若角a 的终边经过点55sin ,cos 33P p p骣琪琪桫，则()sin p a +=（ ）A. -B. 12-C. 12D. 3【答案】B 【解析】由诱导公式可得：53sin sin 2sin 333p p p p 骣琪=-=-=-琪桫，51cos cos 2cos 3332p p p p 骣琪=-==琪桫，即：122P 骣琪-琪桫， 由三角函数的定义可得：22112sin 23122a ==骣骣琪-+琪琪琪桫桫， 则()1sin sin 2p a a +=-=-. 本题选择B 选项.5.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A. 174斤 B. 184斤 C. 191斤 D. 201斤 【答案】B 【解析】 用128,,,a a a 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列128,,,a a a 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴1878179962a ´+?， 解得165a =．∴865717184a =+?．选B ．6.已知函数()22xxa f x a -=+是奇函数，则()f a 的值等于（ ） A. 13-B. 3C. 13-或3D. 13或3 【答案】C 【解析】函数为奇函数，则：()()f x f x -=-，即：2222x xx xa a a a ----=-++恒成立， 整理可得：212212x x x xa a a a ?-+=?+，即21a =恒成立，1a \=?， 当1a =时，函数的解析式为：()1212x x f x -=+，()()111211123f a f -===-+， 当1a =-时，函数的解析式为：()1212x x f x --=-+，()()11121312f a f ----=-==-+，综上可得：()f a 的值等于13-或3. 本题选择C 选项.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式． 7.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表根据上表可得到回归直线方程0.7ˆ5ˆy x a =+，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（ ） A. 19.5万元 B. 19.25万元 C. 19.15万元 D. 19.05万元 【答案】D 【解析】 由题意可得：2345645x ++++==，15.116.317.017.218.416.85y ++++==，回归方程过样本中心点，则：16.80.754,13.8ˆˆa a =?\=.回归方程为：0.7518ˆ 3.y x =+，该公司7月份这种型号产品的销售额为：0.75713.89ˆ1.05y=?=万元. 本题选择D 选项.8.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x 的的值为（ ）A. 3或-2B. 2或-2C. 3或-1D. -2或-1或3 【答案】A 【解析】由题意可得本题是求分段函数2323,2()log (2),2x x f x x x x ì--?ï=í->ïî中，求当()1f x =时x 的取值． 当2x £时，由231x --=，解得2x =-，符合题意．当2x >时，由23log (2)1x x -=，得2230x x --=，解得3x =或1x =-（舍去）． 综上可得2x =-或3x =．选A ．9.已知函数()()2sin (0,0)f x x w jw j p =+><<相邻两条对称轴间的距离为32p ，且02f p骣琪=琪桫，则下列说法正确的是( )A. 2w =B. 函数()y f x p =-为偶函数 C. 函数()f x 在,2p p 轾--犏犏臌上单调递增 D. 函数()y f x =的图象关于点3,04p骣琪琪桫对称 【答案】C 【解析】由题意可得，函数()f x 的周期为：3232T pp =?，则223T p w ==，A 说法错误；当2x p =时，()2,323x k k k Z p p w j j p j p +=?=\=-?， 0j p <<，故取1k =可得：23j p =，函数的解析式为：()222sin 33f x x p 骣琪=+琪桫， ()()2222sin 2sin 333y f x x x p p p 轾=-=-+=犏犏臌，函数为奇函数，B 说法错误；当,2x p p 轾?-犏犏臌时，22,3333x p p p 轾+?犏犏臌，故函数()f x 在,2pp 轾--犏犏臌上单调递增，C 说法正确； 323272sin 2sin 043436f p pp p 骣骣琪琪=?=?琪琪桫桫，则函数()y f x =的图象不于点3,04p骣琪琪桫对称，D 说法错误； 本题选择C 选项.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，用过点A ，C ，E 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】如图所示，取11B C 的中点F ，则EFAC ，即平面ACEF 即平面ACE 截正方体所得的截面，据此可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图如选项A 所示. 本题选择A 选项.11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，点P 是双曲线C 上的一点，1215PF F ??，21105PF F ??，则该双曲线的离心率为（ ）A.B. 3C.26+ D. 6【答案】D 【解析】由正弦定理可得：)1212::sin105:sin15:sin 60:62:22,PF PF F F ==不妨设))()121262,62,230PF m PF m F F m m ===>，结合双曲线的定义有：12222a PF PF m =-=，12223c F F m ==， 双曲线的离心率为：262c c e a a ===. 本题选择D 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()()2f x f x +>?，()01f =，则不等式()ln 2ln 3f x x 轾+->臌的解集为（ ） A. (),0-? B. ()0,+? C. (),1-? D. ()1,+?【答案】A 【解析】解法1：令()()ln 2ln 3g x f x x 轾=+--臌，则：原不等式等价于求解不等式()0g x >， ()()()()()()''2'122f x f x f xg x f x f x --=-=++，由于()()()'20,20f x f x f x --+，故()'0g x <，函数()g x 在定义域R 上单调递减，且()()0ln 120ln30g =+--=，据此可得，不等式即：()()0g x g >，结合函数的单调性可得不等式()23ln f x ln x 轾+->臌的解集为(),0-? . 本题选择A 选项.解法2：构造函数()x f x e =，满足函数()f x 是定义在R 上的增函数，()()2'f x f x +>，()01f =，则不等式()23ln f x ln x 轾+->臌即：()ln 2ln 3x e x +->， 22ln ,,1,033x x x x e e x e e x ++>><<，即不等式的解集为(),0-?.本题选择A 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若命题:0p x ">，ln 10x x -+?，则p Ø为__________． 【答案】0x $>，ln 10x x -+> 【解析】全称命题的否定为特称命题，据此可得p Ø为0x $>，10lnx x -+>.14.已知两个单位向量a ，b 的夹角为3p，则()()2?a b a b +-=__________． 【答案】12【解析】()()22122211cos132a b a b a a b b p +?=-?=-创-=． 答案：1215.已知四棱锥P ABCD -的侧棱长都相等，且底面是边长为3210的球面上，则四棱锥P ABCD -的体积为__________． 【答案】6或54 【解析】由题意可知，棱锥底面正方形的对角线长为：3226，棱锥的底面积为：()23218S ==，据此分类讨论：当球心位于棱锥内部时，棱锥的高为：225539h =+-=，棱锥的体积：1543V Sh ==； 当球心位于棱锥外部时，棱锥的高为：225531h =--=，棱锥的体积：163V Sh ==；综上可得：四棱锥P ABCD -的体积为6或54.16.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在5:00-6:00之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于__________． 【答案】34【解析】如图所示，x 轴表示快递员送货的试卷，y 轴表示小李到家的时间，图中的矩形区域为所有可能的时间组合，阴影部分为满足小李需要去快递柜收取商品的时间，结合几何概型公式可得小李需要去快递柜收取商品的概率：()112132124p ??==´.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项等比数列{}n a 满足39a =，4224a a -=.()1求数列{}na 的通项公式；()2设•nn bn a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S .【答案】(1) 13n n a -=;(2) ()21?314nnn S -+=.【解析】 试题分析：()1由题意列方程可得数列的公比3q =，则数列的通项公式319?33n n na --==.()2结合(1)的结论可得1•3n n b n -=，错误相减可得其前n 项和为()21?314nnn S -+=.试题解析：()1设数列{}n a 的公比为q ，由4224a a -=，得9924q q-=，即23830q q --=，解得3q =或13q =-.又0n a >，则0q >，3q \=，319?33n n n a --\==.()2 1••3n nn bn a n -==，01211?32?33?3?3n n S n -\=+++鬃?，()12131?32?31?3?3n n n S n n -=++鬃?-+，()12112?3121333?32nn nn n S n ---\-=+++鬃?-=，()21?314nnn S -+\=.18.某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的数学成绩如下： 甲组：94,69,73,86,74,75,86,88,97,98； 乙组：75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.()1画出这两个小组同学数学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大，并说明理由； ()2从这两个小组数学成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率. 【答案】(1)见解析;(2) 35P =. 【解析】 试题分析：(1)结合所给的数据画出茎叶图，观察可得甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，或者利用方差也可以说明甲组同学的成绩差异较大.(2)由题意列出所有的事件，共有15中，其中满足题意的事件由9种，据此可得选出的2位同学不在同一个小组的概率35P =. 试题解析：()1由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，所以，甲组同学的成绩差异较大.（也可通过计算方差说明：2101.6s =甲，237.4s =乙，22s s >乙甲）()2设甲组数据成绩在90分以上的三位同学为123,,A A A ；乙组数据在90分以上的三位同学为123,,B B B .从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ；()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ；()31,A B ，()32,A B ，()33,A B ；()12,B B ，()13,B B ，()23,B B .其中，从这6位同学中选出2位同学不在同一个小组共有9个基本事件，93155P \==. 19.在多面体ABCDPQ 中，平面PAD ^平面ABCD ，////AB CD PQ ，AB AD ^，PAD D 为正三角形，O 为AD 中点，且2AD AB ==，1CD PQ ==.()1求证：平面POB ^平面PAC ； ()2求多面体ABCDPQ 的体积.【答案】(1)见解析;(2) 43. 【解析】 试题分析：()1由相似三角形的性质可得AC BO ^.由面面垂直的性质可得PO ^平面ABCD ，则AC PO ^.据此可得AC ^平面POB ，结合面面垂直的判断定理有平面POB ^平面PAC .()2取AB 中点为E ，连接CE ，QE .则该几何体分割为一个三棱柱与一个三棱锥，结合体积公式计算可得组合体的体积43BCDPQ PAD QEC Q CEB V V V --=+=. 试题解析：()1由条件可知，Rt ADC Rt BAO D D ≌，故DACABO ??.90DAC AOB ABO AOB \?????，AC BO \^.PA PD =，且O 为AD 中点，PO AD \^.PAD ABCD PAD ABCD AD PO AD PO PAD ì^ïï?ïí^ïïÌïî平面平面平面平面平面，PO \^平面ABCD . 又AC Ì平面ABCD ，AC PO \^.又BO PO O ?，AC \^平面POB . AC Ì平面PAC ，\平面POB ^平面PAC.()2取AB 中点为E ，连接CE ，QE .由()1可知，PO ^平面ABCD .又AB Ì平面ABCD ，PO AB \^.又AB CD ^，PO AD O ?，AB \^平面PAD .1••3BCDPQ PAD QEC Q CEB PAD CEB V V V S AE S PO --D D \=+=+21143211234323骣琪=+创创=琪桫20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点13,2P -，椭圆E 的一个焦点为)3,0.()1求椭圆E 的方程； ()2若直线l 过点()2M 且与椭圆E 交于A ，B 两点，求AB 的最大值.【答案】(1) 2214x y +=;(2)56【解析】 试题分析：()1与椭圆结合椭圆的定义计算可得2a =，则c 21b \=，椭圆E 的方程为2214x y +=.()2分类讨论，当直线l的斜率存在时，设:l y kx =()11,A x y ，()22,B x y .联立直线方程与椭圆方程可得AB =换元后结合二次函数的性质可得AB £.当直线l的斜率不存在时，2AB =，故AB. 试题解析：()1依题意，设椭圆E 的左，右焦点分别为()13,0F -，)23,0F .则1242PF PF a+==，2a \=，3c =21b \=， \椭圆E 的方程为2214x y +=.()2当直线l 的斜率存在时，设:2l y kx =()11,A x y ，()22,B x y .由22214y kx x y ì=ïïíï+=ïî得()22148240k x kx +++=. 由0D>得241k >. 由1282kx x +=-122414x x k =+得222112611414AB k k骣琪==-++琪++桫设2114t k =+，则102t <<，2212556261261224AB t t t 骣琪\=-++=--+琪桫. 当直线l 的斜率不存在时，562AB = AB \56点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 21.已知函数()()21x f x x e ax =--（e 是自然对数的底数）()1判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由；()2若0x ">，()3x f x e x x +?，求a 的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2) (],2e -?. 【解析】 试题分析：()1求导可得()()'2x f x x e a =-.分类讨论可得：当0a £时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ¹时，()f x 有2个极值点；当12a =时，()f x 没有极值点. ()2结合函数的定义域可知，原问题等价于21x e x a x --£对0x ">恒成立.设()21x e x g x x --=，则()()()211'xx e x g x x---=.讨论函数g (x )的最小值.设()1xh x ex =--，结合h (x )的最值可得()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+?上单调递增，()()12g x g e ?-，a 的取值范围是(],2e -?.试题解析：()1 ()()'22x xf x xe ax x e a =-=-. 当0a £时，()f x 在(),0-?上单调递减，在()0,+?上单调递增，()f x \有1个极值点；当102a <<时，()f x 在(),2ln a -?上单调递增，在()2,0ln a 上单调递减，在()0,+?上单调递增，()f x \有2个极值点；当12a =时，()f x 在R 上单调递增，()f x \没有极值点； 当12a >时，()f x 在(),0-?上单调递增，在()0,2ln a 上单调递减，在()2,ln a +?上单调递增，()f x \有2个极值点；\当0a £时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ¹时，()f x 有2个极值点；当12a =时，()f x 没有极值点.()2由()3xf x ex x +?得320x xe x ax x ---?.当0x >时，210xe x ax ---?，即21x e x a x--£对0x ">恒成立.设()21x e x g x x --=，则()()()211'x x e x g x x---=. 设()1x h x e x =--，则()'1x h x e =-.0x >，()'0h x \>，()h x \在()0,+?上单调递增，()()00h x h \>=，即1x e x >+， ()g x \在()0,1上单调递减，在()1,+?上单调递增，()()12g x g e \?-，2a e \?，a \的取值范围是(],2e -?.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知过点()0,1P -的直线l 的参数方程为12312x ty ì=ïïíï=-+ïî（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为()22sin cos 00a a q r q -=>. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值. 【答案】（1）()220x ay a =>；（2）56a =. 【解析】 试题分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式求解即可．（2）利用直线的参数方程中参数t 的几何意义并结合一元二次方程根于系数的关系求解． 试题解析： （1）22sin cos 0a q r q -=，222sin cos 0a r q r q \-=，将cos ,sin x y r q r q ==代入上式可得()220x ay a =>， ∴曲线C 的直角坐标方程()220x ay a =>.（2）将121x t y ì=ïïíï=-ïî代入22x ay =消去x y ，整理得280t a -+=，∵直线与抛物线交于两点， ∴()243480a a D=--?，又0a >， ∴23a >． 设M ，N 对应的参数分别为12t t ，， 则121243,?8t t a t t a +==．PM ，MN ，PN 成等比数列，2•MN PM PN \=，即21212t t t t -=， ()21212124t t t t t t \+-=，即()2400a -=，解得56a =或0a =（舍去） 56a \=. 点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t q qì=+ïí=+ïî (t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为12,t t ，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到： (1) 1202t t t +=；(2) 1202t tPM t +==；(3)21AB t t ＝－；(4)12··PA PB t t ＝． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x m =+.（1）若不等式()9f x m -?的解集为[]1,3-，求实数m 的值；（2）若0m >，函数()()21g x f x x =--的图象与x 轴围成的三角形的面积大于60，求m 的取值范围.【答案】（1）3m =-；（2）12m >. 【解析】 试题分析：（1）解不等式()9f x m -?可得9233mx --＃且9m ?，根据不等式的解集为[]1,3-得到9213m--=-，解得3m =-，即为所求．（2）由题意可得函数()g x 的图象与x 轴围成的ABC D 的三个顶点的坐标为()2,0A m --，2,05mB 骣-琪琪桫，2,233m m C 骣琪---琪桫，于是()2431•60215ABC C m S AB y D +==>，解得12m >，即为所求的范围． 试题解析：（1）由题意得90,39.m x m m ì+?ïí+?ïî①②解①得9m ?.②可化为939m x m m --??，解得9233m x --＃.不等式()9f x £的解集为[]1,3-，9213m--\=-，解得3m =-，满足9m ?. 3m \=-．（2）依题意得，()321g x x m x =+--. 又0m >，()()2,3521,321.m x m x m g x x m x x m x ⎧⎛⎫---≤- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=+--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪++≥⎪⎩∴()g x 的图象与x 轴围成的ABC D 的三个顶点的坐标为()2,0A m --，2,05mB 骣-琪琪桫，2,233m m C 骣琪---琪桫， ()2431•60215ABCC m S AB yD +\==>， 解得12m >.12,+?．∴实数m的取值范围为()。
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学文试题(含参考答案)
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学文试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()12?i i -（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A. 2i - B. i C. -2 D. 1 【答案】D 【解析】由复数的运算法则可得：()21222i i i i i -?-=+，据此可得复数的虚部为1. 本题选择D 选项.2.已知集合{}|1M x x =<，{}|02N x x =<<，则M N ?（ ）A. ()0,1B. (),1-?C. (),2-?D. [)0,1 【答案】A 【解析】由题意结合交集的定义可得：{}|01M N x x ?<<，表示为区间形式即()0,1.本题选择A 选项. 3.已知圆()()22:684C x y -++=，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为（ ）A. ()()2234100x y -++= B. ()()2234100x y ++-= C. ()()223425x y -+-= D. ()()223425x y ++-=【答案】C 【解析】由题意可知：()()0,0,6,8O C -，则圆心坐标为：()3,4-10=，据此可得圆的方程为：()()22210342x y 骣琪-++=琪桫，即：()()223425x y -+-=.本题选择C 选项.4.在平面直角坐标系中，若角a 的终边经过点55sin ,cos 33P p p骣琪琪桫，则()sin p a +=（） A. 2-B. 12-C. 12D. 2【答案】B 【解析】由诱导公式可得：5sin sin 2sin 3332p p p p 骣琪=-=-=-琪桫，51cos cos 2cos 3332p p p p 骣琪=-==琪桫，即：12P 骣琪-琪桫，由三角函数的定义可得：11sin 2a ==， 则()1sin sin 2p a a +=-=-. 本题选择B 选项.5.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A. 174斤 B. 184斤 C. 191斤 D. 201斤 【答案】B 【解析】 用128,,,a a a 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列128,,,a a a 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴1878179962a ´+?， 解得165a =．∴865717184a =+?．选B ．6.已知函数()22xxa f x a -=+是奇函数，则()f a 的值等于（ ） A. 13-B. 3C. 13-或3D. 13或3 【答案】C 【解析】函数为奇函数，则：()()f x f x -=-，即：2222x xx xa a a a ----=-++恒成立， 整理可得：212212x x x xa a a a ?-+=?+，即21a =恒成立，1a \=?， 当1a =时，函数的解析式为：()1212x x f x -=+，()()111211123f a f -===-+， 当1a =-时，函数的解析式为：()1212x x f x --=-+，()()11121312f a f ----=-==-+， 综上可得：()f a 的值等于13-或3. 本题选择C 选项.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式． 7.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表根据上表可得到回归直线方程0.7ˆ5ˆy x a =+，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（ ）A. 19.5万元B. 19.25万元C. 19.15万元D. 19.05万元 【答案】D 【解析】 由题意可得：2345645x ++++==，15.116.317.017.218.416.85y ++++==，回归方程过样本中心点，则：16.80.754,13.8ˆˆa a =?\=.回归方程为：0.7518ˆ 3.y x =+，该公司7月份这种型号产品的销售额为：0.75713.89ˆ1.05y=?=万元. 本题选择D 选项.8.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x 的的值为（ ）A. 3或-2B. 2或-2C. 3或-1D. -2或-1或3 【答案】A 【解析】由题意可得本题是求分段函数2323,2()log (2),2x x f x x x x ì--?ï=í->ïî中，求当()1f x =时x 的取值． 当2x £时，由231x --=，解得2x =-，符合题意．当2x >时，由23log (2)1x x -=，得2230x x --=，解得3x =或1x =-（舍去）． 综上可得2x =-或3x =．选A ．9.已知函数()()2sin (0,0)f x x w jw j p =+><<相邻两条对称轴间的距离为32p ，且02f p骣琪=琪桫，则下列说法正确的是( )A. 2w =B. 函数()y f x p =-为偶函数 C. 函数()f x 在,2p p 轾--犏犏臌上单调递增 D. 函数()y f x =的图象关于点3,04p骣琪琪桫对称 【答案】C 【解析】由题意可得，函数()f x 的周期为：3232T pp =?，则223T p w ==，A 说法错误； 当2x p =时，()2,323x k k k Z p pw j j p j p +=?=\=-?， 0j p <<，故取1k =可得：23j p =，函数的解析式为：()222sin 33f x x p 骣琪=+琪桫， ()()2222sin 2sin 333y f x x x p p p 轾=-=-+=犏犏臌，函数为奇函数，B 说法错误；当,2x p p 轾?-犏犏臌时，22,3333x p p p 轾+?犏犏臌，故函数()f x 在,2pp 轾--犏犏臌上单调递增，C 说法正确； 323272sin 2sin 043436f p pp p 骣骣琪琪=?=?琪琪桫桫，则函数()y f x =的图象不于点3,04p骣琪琪桫对称，D 说法错误；本题选择C 选项.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，用过点A ，C ，E 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，取11B C 的中点F ，则EFAC ，即平面ACEF 即平面ACE 截正方体所得的截面，据此可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图如选项A 所示. 本题选择A 选项.11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，点P 是双曲线C 上的一点，1215PF F ??，21105PF F ??，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.C.2D. 2【答案】D 【解析】由正弦定理可得：1212::sin105:sin15:sin 60::PF PF F F ==不妨设()1212,,0PF m PF m F F m ===>，结合双曲线的定义有：122a PF PF =-=，122c F F ==，双曲线的离心率为：22c c e a a ===.本题选择D 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 12.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()()2f x f x +>?，()01f =，则不等式()ln 2ln 3f x x 轾+->臌的解集为（ ） A. (),0-? B. ()0,+? C. (),1-? D. ()1,+?【答案】A 【解析】解法1：令()()ln 2ln 3g x f x x 轾=+--臌，则：原不等式等价于求解不等式()0g x >， ()()()()()()''2'122f x f x f xg x f x f x --=-=++，由于()()()'20,20f x f x f x --+，故()'0g x <，函数()g x 在定义域R 上单调递减，且()()0ln 120ln30g =+--=，据此可得，不等式即：()()0g x g >，结合函数的单调性可得不等式()23ln f x ln x 轾+->臌的解集为(),0-? . 本题选择A 选项.解法2：构造函数()x f x e =，满足函数()f x 是定义在R 上的增函数，()()2'f x f x +>，()01f =，则不等式()23ln f x ln x 轾+->臌即：()ln 2ln 3x e x +->， 22ln ,,1,033x x x x e e x e e x ++>><<，即不等式的解集为(),0-?.本题选择A 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若命题:0p x ">，ln 10x x -+?，则p Ø为__________． 【答案】0x $>，ln 10x x -+> 【解析】全称命题的否定为特称命题，据此可得p Ø为0x $>，10lnx x -+>. 14.已知两个单位向量a ，b 的夹角为3p，则()()2?a b a b +-=__________． 【答案】12【解析】()()22122211cos132a b a b a a b b p +?=-?=-创-=． 答案：1215.已知四棱锥P ABCD -的侧棱长都相等，且底面是边长为10的球面上，则四棱锥P ABCD -的体积为__________． 【答案】6或54 【解析】由题意可知，棱锥底面正方形的对角线长为：6，棱锥的底面积为：(218S ==，据此分类讨论：当球心位于棱锥内部时，棱锥的高为：59h =，棱锥的体积：1543V Sh ==；当球心位于棱锥外部时，棱锥的高为：51h =-=，棱锥的体积：163V Sh ==；综上可得：四棱锥P ABCD -的体积为6或54.16.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在5:00-6:00之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于__________．【答案】34【解析】如图所示，x 轴表示快递员送货的试卷，y 轴表示小李到家的时间，图中的矩形区域为所有可能的时间组合，阴影部分为满足小李需要去快递柜收取商品的时间，结合几何概型公式可得小李需要去快递柜收取商品的概率：()112132124p ??==´.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项等比数列{}n a 满足39a =，4224a a -=.()1求数列{}na 的通项公式；()2设•nn bn a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S .【答案】(1) 13n n a -=;(2) ()21?314nnn S -+=.【解析】 试题分析：()1由题意列方程可得数列的公比3q =，则数列的通项公式319?33n n na--==.()2结合(1)的结论可得1•3n n b n -=，错误相减可得其前n 项和为()21?314nnn S -+=.试题解析：()1设数列{}n a 的公比为q ，由4224a a -=，得9924q q-=，即23830q q --=，解得3q =或13q =-.又0n a >，则0q >，3q \=，319?33n n n a --\==.()2 1••3n nn bn a n -==，01211?32?33?3?3n n S n -\=+++鬃?，()12131?32?31?3?3n nn S n n -=++鬃?-+， ()12112?3121333?32nn nn n S n ---\-=+++鬃?-=，()21?314nnn S -+\=.18.某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的数学成绩如下： 甲组：94,69,73,86,74,75,86,88,97,98； 乙组：75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.()1画出这两个小组同学数学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大，并说明理由； ()2从这两个小组数学成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率. 【答案】(1)见解析;(2) 35P =. 【解析】 试题分析：(1)结合所给的数据画出茎叶图，观察可得甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，或者利用方差也可以说明甲组同学的成绩差异较大.(2)由题意列出所有的事件，共有15中，其中满足题意的事件由9种，据此可得选出的2位同学不在同一个小组的概率35P =. 试题解析：()1由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，所以，甲组同学的成绩差异较大.（也可通过计算方差说明：2101.6s =甲，237.4s =乙，22s s >乙甲）()2设甲组数据成绩在90分以上的三位同学为123,,A A A ；乙组数据在90分以上的三位同学为123,,B B B .从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ；()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ；()31,A B ，()32,A B ，()33,A B ；()12,B B ，()13,B B ，()23,B B .其中，从这6位同学中选出2位同学不在同一个小组共有9个基本事件，93155P \==. 19.在多面体ABCDPQ 中，平面PAD ^平面ABCD ，////AB CD PQ ，AB AD ^，PAD D 为正三角形，O 为AD 中点，且2AD AB ==，1CD PQ ==.()1求证：平面POB ^平面PAC ； ()2求多面体ABCDPQ 的体积.【答案】(1)见解析;(2) . 【解析】试题分析：()1由相似三角形的性质可得AC BO ^.由面面垂直的性质可得PO ^平面ABCD ，则AC PO ^.据此可得AC ^平面POB ，结合面面垂直的判断定理有平面POB ^平面PAC .()2取AB 中点为E ，连接CE ，QE .则该几何体分割为一个三棱柱与一个三棱锥，结合体积公式计算可得组合体的体积BCDPQ PAD QEC Q CEB V V V --=+. 试题解析：()1由条件可知，Rt ADC Rt BAO D D ≌，故DACABO ??.90DAC AOB ABO AOB \?????，AC BO \^.PA PD =，且O 为AD 中点，PO AD \^.PAD ABCD PAD ABCD AD PO AD PO PAD ì^ïï?ïí^ïïÌïî平面平面平面平面平面，PO \^平面ABCD . 又AC Ì平面ABCD ，AC PO \^. 又BO PO O ?，AC \^平面POB .AC Ì平面PAC ，\平面POB ^平面PAC.()2取AB 中点为E ，连接CE ，QE .由()1可知，PO ^平面ABCD .又AB Ì平面ABCD ，PO AB \^.又AB CD ^，PO AD O ?，AB \^平面PAD .1••3BCDPQ PAD QEC Q CEB PAD CEB V V V S AE S PO --D D \=+=+211211232骣琪+创创琪桫20.已知椭圆()2222:10x yE a ba b+=>>经过点12P-，椭圆E的一个焦点为).()1求椭圆E的方程；()2若直线l过点(M且与椭圆E交于A，B两点，求AB的最大值.【答案】(1)2214xy+=;(2)【解析】试题分析：()1与椭圆结合椭圆的定义计算可得2a=，则c21b\=，椭圆E的方程为2214xy+=.()2分类讨论，当直线l的斜率存在时，设:l y kx=()11,A x y，()22,B x y.联立直线方程与椭圆方程可得AB==换元后结合二次函数的性质可得AB£.当直线l的斜率不存在时，2AB=，故AB试题解析：()1依题意，设椭圆E的左，右焦点分别为()1F-，)2F.则1242PF PF a+==，2a\=，c21b\=，\椭圆E的方程为2214xy+=.()2当直线l的斜率存在时，设:l y kx=()11,A x y，()22,B x y.由2214y kxxyì=ïïíï+=ïî得()221440k x+++=.由0D>得241k>.由12x x +=-，122414x x k =+得AB ==设2114t k =+，则102t <<，AB \==?.当直线l 的斜率不存在时，2AB =，AB \的最大值为6. 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 21.已知函数()()21x f x x e ax =--（e 是自然对数的底数）()1判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由； ()2若0x ">，()3x f x e x x +?，求a 的取值范围.【答案】(1)见解析;(2) (],2e -?.【解析】 试题分析：()1求导可得()()'2x f x x e a =-.分类讨论可得：当0a £时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ¹时，()f x 有2个极值点；当12a =时，()f x 没有极值点. ()2结合函数的定义域可知，原问题等价于21x e x a x --£对0x ">恒成立.设()21x e x g x x --=，则()()()211'xx e x g x x---=.讨论函数g (x )的最小值.设()1xh x ex =--，结合h (x )的最值可得()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+?上单调递增，()()12g x g e ?-，a 的取值范围是(],2e -?.试题解析：()1 ()()'22xx f x xeax x e a =-=-.当0a £时，()f x 在(),0-?上单调递减，在()0,+?上单调递增，()f x \有1个极值点；当102a <<时，()f x 在(),2ln a -?上单调递增，在()2,0ln a 上单调递减，在()0,+?上单调递增，()f x \有2个极值点；当12a =时，()f x 在R 上单调递增，()f x \没有极值点； 当12a >时，()f x 在(),0-?上单调递增，在()0,2ln a 上单调递减，在()2,ln a +?上单调递增，()f x \有2个极值点；\当0a £时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ¹时，()f x 有2个极值点；当12a =时，()f x 没有极值点.()2由()3xf x ex x +?得320x xe x ax x ---?.当0x >时，210xe x ax ---?，即21x e x a x--£对0x ">恒成立.设()21x e x g x x --=，则()()()211'x x e x g x x---=. 设()1x h x e x =--，则()'1x h x e =-.0x >，()'0h x \>，()h x \在()0,+?上单调递增，()()00h x h \>=，即1x e x >+， ()g x \在()0,1上单调递减，在()1,+?上单调递增，()()12g x g e \?-，2a e \?，a \的取值范围是(],2e -?.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知过点()0,1P -的直线l的参数方程为1212x ty ì=ïïíï=-+ïî（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为()22sin cos 00a a q r q -=>. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值. 【答案】（1）()220x ay a =>；（2）56a =. 【解析】 试题分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式求解即可．（2）利用直线的参数方程中参数t 的几何意义并结合一元二次方程根于系数的关系求解． 试题解析： （1）22sin cos 0a q r q -=，222sin cos 0a r q r q \-=，将cos ,sin x y r q r q ==代入上式可得()220x ay a =>， ∴曲线C 的直角坐标方程()220x ay a =>.（2）将121x t y ì=ïïíï=-ïî代入22x ay =消去x y ，整理得280t a -+=，∵直线与抛物线交于两点，∴()2480a D=--?，又0a >， ∴23a >． 设M ，N 对应的参数分别为12t t ，，则1212,?8t t t t a +==．PM ，MN ，PN 成等比数列，2•MN PM PN \=，即21212t t t t -=， ()21212124t t t t t t \+-=，即()2400a -=，解得56a =或0a =（舍去） 56a \=. 点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t q qì=+ïí=+ïî (t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为12,t t ，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到： (1) 1202t t t +=；(2) 1202t tPM t +==；(3)21AB t t ＝－；(4)12··PA PB t t ＝． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x m =+.（1）若不等式()9f x m -?的解集为[]1,3-，求实数m 的值；（2）若0m >，函数()()21g x f x x =--的图象与x 轴围成的三角形的面积大于60，求m 的取值范围. 【答案】（1）3m =-；（2）12m >. 【解析】 试题分析：（1）解不等式()9f x m -?可得9233mx --＃且9m ?，根据不等式的解集为[]1,3-得到9213m--=-，解得3m =-，即为所求．（2）由题意可得函数()g x 的图象与x 轴围成的ABC D 的三个顶点的坐标为()2,0A m --，2,05mB 骣-琪琪桫，2,233m m C 骣琪---琪桫，于是()2431•60215ABC C m S AB y D +==>，解得12m >，即为所求的范围．试题解析：（1）由题意得90,39.m x m m ì+?ïí+?ïî①②解①得9m ?.②可化为939m x m m --??，解得9233m x --＃.不等式()9f x £的解集为[]1,3-，9213m--\=-，解得3m =-，满足9m ?. 3m \=-．（2）依题意得，()321g x x m x =+--. 又0m >，()()2,3521,321.m x m x m g x x m x x m x ⎧⎛⎫---≤- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=+--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪++≥⎪⎩∴()g x 的图象与x 轴围成的ABC D 的三个顶点的坐标为()2,0A m --，2,05mB 骣-琪琪桫，2,233m m C 骣琪---琪桫， ()2431•60215ABCC m S AB yD +\==>， 解得12m >.∴实数m 的取值范围为()12,+?．。
2018届安徽省合肥市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2018届安徽省合肥市高三第二次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足（是虚数），则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】∴，∴，∴复数点为，位于第二象限．选B．2. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴．选D．3. 命题，关于的方程有实数解，则为（）A. ，关于的方程有实数解B. ，关于的方程没有实数解C. ，关于的方程没有实数解D. ，关于的方程有实数解【答案】C【解析】根据含有量词的命题的否定可得，为：，关于的方程没有实数解．选C．4. 在直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由条件得点的坐标为，∴．∴．选A．5. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A. 174斤B. 184斤C. 191斤D. 201斤【答案】B【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴，解得．∴．选B．6. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入的的值为（）A. 3或-2B. 2或-2C. 3或-1D. -2或-1或3【答案】A【解析】由题意可得本题是求分段函数中，求当时的取值．当时，由，解得，符合题意．当时，由，得，解得或（舍去）．综上可得或．选A．7. 小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设快递员到小李家的时间为x，小李到家的时间为y，由题意可得所有基本事件构成的平面区域为，设“小李需要去快递柜收取商品”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为，如图阴影部分所示的直角梯形．在中，当时，；当时，．∴阴影部分的面积为，由几何概型概率公式可得，小李需要去快递柜收取商品的概率为．选D．8. 在正方体中，，，分别为棱，，的中点，用过点，，的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中点连，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．延长，交的延长线与点，连，交于，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．同理，延长，交的延长线于，连，交于点，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．所以过点，，的平面截正方体所得的截面为图中的六边形．故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C所示．选C ．9. 已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，故函数为奇函数．又，故函数在R上单调递减．∵，∴，∴，∴．选C．10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，，是双曲线上的两点，且，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，设，是双曲线左支上的两点，令，由双曲线的定义可得．在中，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去）．∴，∴为直角三角形，且．在中，，即，∴，∴．即该双曲线的离心率为．选B．点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．11. 已知函数，，，且在上单调.下列说法正确的是（）A. B.C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】由题意得函数的最小正周期为，∵在上单调，∴，解得．∵，，∴，解得，∴．对于选项A，显然不正确．对于选项B，，故B不正确．对于选项C，当时，，所以函数单调递增，故C正确．对于选项D，，所以点不是函数图象的对称中心，故D不正确．综上选C．点睛：解决函数综合性问题的注意点（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．12. 已知点在内部，平分，，对满足上述条件的所有，下列说法正确的是（）A. 的三边长一定成等差数列B. 的三边长一定成等比数列C. ，，的面积一定成等差数列D. ，，的面积一定成等比数列【答案】B【解析】设．在中，可得．在中，分别由余弦定理得，①，②．③由①+②整理得，∴，将代入上式可得．又由三角形面积公式得，∴，∴，∴，∴．由③得，∴，整理得．故选B．点睛：本题难度较大，解题时要合理引入变量，通过余弦定理、三角形的面积公式，建立起三角形三边间的联系，然后通过消去变量的方法逐步得到三边的关系．由于计算量较大，在解题时要注意运算的准确性和合理性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知两个单位向量，的夹角为，则__________．【答案】【解析】．答案：14. 在的展开式中，的系数等于__________．【答案】10【解析】含项为，故系数为.15. 已知半径为的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于__________．【答案】4【解析】如图，设四棱锥的侧棱长为，底面正方形的边长为，棱锥的高为．由题意可得顶点在地面上的射影为底面正方形的中心，则球心在高上．在中，，∴，整理得．又在中，有，∴．∴，∴．设，则，∴当时，单调递增，当时，单调递减．∴当时取得最大值，即四棱锥的体积取得最大值，此时，解得．∴四棱锥的体积最大时，底面边长等于4．答案:4【答案】2或7【解析】以为为坐标原点，为x轴建立平面直角坐标系，则．由题意得处理站在以为圆心半径为5的圆A上，同时又在以为圆心半径为的圆C上，两圆的方程分别为和．，解得或．∴垃圾处理站的坐标为或，∴或，即垃圾处理站与村相距或．答案：2或7点睛：解答本题的关键是读懂题意，深刻理解垃圾处理站所在的位置，然后通过合理建立平面直角坐标系，将所求问题转化为求两圆交点的问题，解方程组得到两圆交点坐标后再通过两点间的距离公式求解．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列的前项和满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由变形得，即，于是可得公比，由此可得通项公式．（2）由（1）得，然后利用错位相减法求和．试题解析：（1）设等比数列的公比为.由，得，即，，∴．（2）由（1）得，，①∴，②①-②得，∴．18. 为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3）.按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）已知市理科考生约有1000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里.相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）.【答案】（1）103；（2）①117；②4168名.【解析】试题分析：试题解析：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：.（2）记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为，根据题意，，即.由，得解得，所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.，所以理科数学成绩为107分时，大约排在名．19. 在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由并结合平面几何知识可得．又由及平面平面可得平面，于是得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得平面平面．（2）根据，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，通过求出平面和平面法向量的夹角并结合图形可得所求二面角的余弦值．试题解析：（1）由条件可知，，，，.，且为中点，.∵，，，平面.又平面，.，平面.平面，平面平面.（2）由（1）知，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，，，设为平面的一个法向量，由，得.令，得.同理可得平面的一个法向量．∴.由图形知二面角为锐角，∴二面角的余弦值为.点睛：用空间向量求解立体几何问题的注意点（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标．（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论．20. 已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆.（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设以线段为直径的圆的圆心为，取，借助几何知识分析可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，根据待定系数法可得动点的轨迹方程为．（2）①当直线垂直于轴时，不合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元后可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系及斜率公式可得，为定值．试题解析：（1）如图，设以线段为直径的圆的圆心为，取.依题意，圆内切于圆，设切点为，则，，三点共线，为的中点，为中点，.，∴动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为，则，，，，，动点的轨迹方程为.（2）①当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时直线与椭圆相切，与题意不符.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由消去y整理得.∵直线与椭圆交于，两点，∴，解得．设，，则，（定值）．点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题．（2）求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21. 已知函数（是自然对数的底数）（1）判断函数极值点的个数，并说明理由；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）对求导可得，根据的取值，分，，和四种情况讨论函数的单调性，然后得到极值点的个数．（2）由题意可得对恒成立．然后分，和三种情况分别求解，通过分离参数或参数讨论的方法可得的取值范围．试题解析：（1）∵，∴，当时，在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；当时，在上单调递增，此时没有极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；综上可得：当时，有1个极值点；当且时，有2个极值点；当时，没有极值点．（2）由得.①当时，由不等式得，即对在上恒成立.设，则.设，则.，，在上单调递增，，即，在上单调递减，在上单调递增，，.②当时，不等式恒成立，；③当时，由不等式得.设，则.设，则，在上单调递减，.若，则，在上单调递增，.若，，，使得时，，即在上单调递减，，舍去..综上可得，的取值范围是.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知过点的直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线分别交于点，，且，，成等比数列，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式求解即可．（2）利用直线的参数方程中参数的几何意义并结合一元二次方程根于系数的关系求解．试题解析：（1），，将代入上式可得，∴曲线的直角坐标方程.（2）将代入消去整理得，∵直线与抛物线交于两点，∴，又，∴．设，对应的参数分别为，则．，，成等比数列，，即，，即，解得或（舍去）.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3)；(4)．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，函数的图象与轴围成的三角形的面积大于60，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）解不等式可得且，根据不等式的解集为得到，解得，即为所求．（2）由题意可得函数的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，于是，解得，即为所求的范围．试题解析：（1）由题意得解得.可化为，解得.不等式的解集为，，解得，满足.．（2）依题意得，.又，∴的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，解得.∴实数的取值范围为．。
2018合肥二模数学理,答案
高三数学试题（理科）答案 第1 页（共4页）合肥市2018年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 答案BDCABADCCBCB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)12(14)10 (15)4 (16)2或7三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分) (Ⅰ)设数列{}n a 的公比为q .由54643S S S =+，得655433S S S S -=-，即653a a =，∴3q =， ……………3分 ∴31933n n n a --=⋅=. ……………5分 (Ⅱ)()()121213n n n b n a n -=-⋅=-⋅， ……………6分∴0121133353(21)3n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅ ， ……………8分()()12131333233213n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，∴()()121212323232132223n n n n T n n --=+⋅+⋅++⋅--⋅=-+-⋅ ，∴()131n n T n =-⋅+. ……………12分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)该市此次检测理科数学平均成绩约为:0650.05750.08850.12950.151050.241150.181250.11350.051450.03μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 103.2103=≈. ………………5分 (Ⅱ)①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为1x ，根据题意得，()1011103110.4619.3x x P x x μσ--⎛⎫⎛⎫>=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.5419.3x -⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭. 由(0.7054)0.54Φ=得，111030.7054116.611719.3x x -=⇒=≈， 故本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分. ………………8分②()()107103107110.207210.58320.416819.3P x -⎛⎫>=-Φ=-Φ≈-=⎪⎝⎭，故理科数学成绩为107分，大约排在100000.41684168⨯=名.………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)由条件可知，Rt ADC ∆≌Rt BAO ∆，∴DAC ABO ∠=∠， ∴90DAC AOB ABO AOB ∠+∠=∠+∠= ，∴AC BO ⊥.高三数学试题（理科）答案 第2 页（共4页）.∵PA PD =，且O 为AD 中点，∴PO AD ⊥.∵PAD ABCD PAD ABCD ADPO AD PO PAD⊥⎧⎪=⎪⎨⊥⎪⎪⊂⎩ 平面平面平面平面平面，∴PO ABCD ⊥平面.又∵AC ABCD ⊂平面，∴AC PO ⊥. 又∵BO PO O = ，∴AC POB ⊥平面.∵AC PAC ⊂平面，∴平面POB ⊥平面PAC . …………5分 (Ⅱ)以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则P (0，0，2)，A (1，0，0)，D (-1，0，0)，C (-1，1，0)，()102PA =- ，，，()210AC =- ，，，()102PD =-- ，，， ()0 1 0CD =-，，.设()1x y z =，，n 为平面PAC 的一个法向量，由 1100PA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得2020x z x y -=⎧⎨-+=⎩，解得122z xy x⎧=⎪⎨⎪=⎩. 令2x =，则()1241=，，n . 同理可得，平面PDC 的一个法向量()2201=-，，n ， ∴二面角A PC D --的平面角θ的余弦值1212cos 35θ⋅===n n n n . …………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A '(-1，0).依题意，圆C 内切于圆O .设切点为D ，则O C D ，，三点共线. ∵O 为AA '的中点，C 为AB 中点，∴2A B OC '=.∴2222242BA BA OC AC OC CD OD AA ''+=+=+==>=.依椭圆的定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，其中： 24 22BA BA a AA c ''+====，，∴21a c ==，，∴2223b a c =-=，∴动点B 的轨迹方程为22143x y +=. ………………5分(Ⅱ)当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为2x =，此时直线l 与椭圆22143x y +=相切，与题意不符.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x +=-.由()2212143y k x x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩得()()222243168161680k x k k x k k +-+++-=.高三数学试题（理科）答案 第3 页（共4页）设()()1122M x y N x y ，，，，则2122212168431616843102k k x x k k k x x k k ⎧++=⎪+⎪⎪+-=⎨+⎪⎪∆>⇒<⎪⎩， ∴()()12121212122121112222222PM PN k x k x y y k k k x x x x x x ----⎛⎫+=+=+=-+ ⎪------⎝⎭()()()121212121244222224x x x x k k x x x x x x +-+-=-=----++222221684432232316168168244343k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-=+-=⎛⎫+-+-+ ⎪++⎝⎭. ……………12分 (21) (本小题满分12分)(Ⅰ)∵()()22x x f x xe ax x e a '=-=-.当0a ≤时，()f x 在() 0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增，∴()f x 有1个极值点； 当102a <<时，()f x 在() ln 2a -∞，上单调递增，在()ln 2 0a ，上单调递减，在()0+∞，上单调递增，∴()f x 有2个极值点；当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 没有极值点； 当12a >时，()f x 在() 0-∞，上单调递增，在()0 ln 2a ，上单调递减，在()ln 2 a +∞，上单调递增，∴()f x 有2个极值点；综上所述，当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当102a a >≠且时，()f x 有2个极值点； 当12a =时，()f x 没有极值点. …………………6分 (Ⅱ)由()3x f x e x x +≥+得 320x xe x ax x ---≥.当0x >时，210xe x ax ---≥，即21x e x a x--≤对0x ∀>恒成立.设()21x e x g x x --=，则()()()211xx e x g x x ---'=.()1, '()e 1.0, '()0, ()(0,)()(0)0,x x h x e x h x x h x h x h x h =--=->∴>∴+∞∴>= 设则在上单调递增， 1x e x >+即，∴()g x 在()01，单调递减，在()1+∞，上单调递增，∴()()12g x g e ≥=-，∴2a e ≤-. 当0x =时，不等式恒成立，a R ∈；高三数学试题（理科）答案 第4 页（共4页）当0x <时，210x e x ax ---≤.设()21x h x e x ax =---，则()2x h x e x a '=--. 设()2x x e x a ϕ=--，则()20x x e ϕ'=-<，∴()h x '在()0-∞，上单调递减，∴()()01h x h a '≥'=-. 若1a ≤，则()0h x '≥，∴()h x 在()0-∞，上单调递增，∴()()00h x h <=. 若1a >，∵()010h a '=-<，∴00x ∃<,使得()0 0x x ∈，时，()0h x '<，即()h x 在()0 0x ，上单调递减，∴()()00h x h >=，舍去. ∴1a ≤. 综上可得，a 的取值范围是-∞（，e-2]. ………………12分(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程(Ⅰ)∵22sin cos 0a θρθ-=，∴222sin cos 0a ρθρθ-=，即22x ay =(0a >). …………5分(Ⅱ)将1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22x ay =，得280t a -+=，得21212()480 8a t t t t a⎧∆=--⋅>⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩①. ∵20, .3a a ∴>>解①得∵ PM MN PN ，，成等比数列，∴2MN PM PN =⋅，即21212t t t t -=， ∴()21212124t t t t t t +-=，即2)400a -=，解得56a =,满足23a >.56a ∴=. ……10分 (23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)由题意得9039m x m m +≥⎧⎪⎨+≤+⎪⎩①②，解①得m ≥-9.②可化为939m x m m --≤+≤+，∴9233mx --≤≤. ∵不等式()9f x ≤的解集为[]13-，，∴9213m--=-， 解得3m =-，满足m ≥-9. ∴ m =-3. …………5分 (II)依题意得，()321g x x m x =+--.又∵0m >，∴()()2 352132 1.m x m x m g x x m x x m x ⎧⎛⎫---≤- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=+--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪++≥⎪⎩，，()g x 的图象与x 轴围成的ABC ∆的三个顶点的坐标为()20A m --，，2 05m B -⎛⎫⎪⎝⎭，，2 233m m C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，，∴()243160215ABCC m S AB y ∆+=⋅=>，解得12m >. ………………10分。
2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)
2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知1+2i/(1-2i)，则结果为：A。
--iB。
-+iC。
--iD。
-+i解析：选D。
2.已知集合A={(x,y)|x+y≤3,x∈Z,y∈Z }，则A中元素的个数为：A。
9B。
8C。
5D。
4解析：选A。
问题为确定圆面内整点个数。
3.函数f(x)=2/x的图像大致为：A。
B。
C。
D。
解析：选B。
f(x)为奇函数，排除A。
当x>0时，f(x)>0，排除D。
取x=2，f(2)=1，故选B。
4.已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=：A。
4B。
3C。
2D。
2-2xy解析：选B。
a·(2a-b)=2a-a·b=2+1=3.5.双曲线a^2(x^2)-b^2(y^2)=1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为：A。
y=±2xB。
y=±3xC。
y=±2x/abD。
y=±3x/ab解析：选A。
e=3，c=3ab=2a。
6.在ΔABC中，cosC=1/5，BC=1，AC=5，则AB=：A。
42B。
30C。
29D。
25解析：选A。
cosC=2cos^2(C/2)-1=-1/5，AB=AC+BC-2AB·BC·cosC=32，AB=42.7.为计算S=1-1/3+1/5-1/7+……+(-1)^n-1/(2n-1)，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入：开始N=0,T=1i=1是N=N+1/T=T+(-1)^N-1/(2N-1)i<100否S=N-T输出S结束A。
合肥市2018年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）（含答案）
合肥市2018年⾼三第⼆次教学质量检测数学试题（理科）（含答案）合肥市2018年⾼三第三次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知复数2i1iz =+(i 为虚数单位)，则z =2.已知集合{}220A x R x x =∈-≥，{}2210B x R x x =∈--=，则()C R A B =IA.?B.12??-C.{}1D. 1 12??-，3.已知椭圆2222:1y x E a b+=(0a b >>)经过点A)，()0 3B ，，则椭圆E 的离⼼率为A.23 C.49 D.594.已知111 2 3 23α?∈-，，，，，若()f x x α=为奇函数，且在()0 +∞，上单调递增，则实数α的值是A.-1，3B.13，3C.-1，13，3D. 13，12，35.若l m ，为两条不同的直线，α为平⾯，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()()*12nx n N -∈展开式中3x 的系数为80-，则展开式中所有项的⼆项式系数之和为A.64B.32C.1D.1-7.已知⾮零实数a b ，满⾜a a b b >，则下列不等式⼀定成⽴的是A.33a b >B.22a b >C.11a b < D.1122log log a b <8.运⾏如图所⽰的程序框图，若输出的s 值为10-，则判断框内的条件应该是A.3?k <B.4?k <C.5?k <D.6?k < 9.若正项等⽐数列{}n a 满⾜()2*12n n n a a n N +=∈，则65a a -的值是-10.如图，给7条线段的5个端点涂⾊，要求同⼀条线段的两个端点不能同⾊，现有4种不同的颜⾊可供选择，则不同的涂⾊⽅法种数有A.24B.48C.96D.12011.我国古代《九章算术》将上下两⾯为平⾏矩形的六⾯体称为刍童.如图所⽰为⼀个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，⾼为2，则该刍童的表⾯积为A.16+D.16+12.已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()2(1)2g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取A.924??-- ，B.9 04??-， C.(-2，0) D.()1 +∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考⽣都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考⽣根据要求作答.⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分.把答案填在答题卡相应的位置.(13)若实数x y ，满⾜条件1010330x y x y x y +-≥??--≤??-+≥?，则2z x y =-的最⼤值为 .(14)已知()OA =uu r，()0 2OB =u u u r ，，AC t AB t R =∈u u u r u u u r ，，当OC uuu r 最⼩时，t = . (15)在ABC ?中，内⾓A B C ，，所对的边分别为a b c ，，.若45A =，2sin sin 2sin b B c C a A -=，且ABC ?的⾯积等于3，则b = .(16)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S，若数列也是公差为d 的等差数列，则=n a .三、解答题：解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本⼩题满分12分)已知函数()1in c o s c o s223f x x x x π?--.(Ⅰ)求函数()f x 图象的对称轴⽅程； (Ⅱ)将函数()f x 图象向右平移4π个单位，所得图象对应的函数为()g x .当0 2x π??，时，求函数()g x 的值域.(18)(本⼩题满分12分)(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学⽣中，采⽤按性别分层抽样的⽅法，选取12⼈参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、⼥学⽣各选取了多少⼈？(ⅱ)若从这12⼈中随机选取3⼈到校⼴播站开展冬奥会及冰雪项⽬的宣传介绍，设选取的3⼈中⼥⽣⼈数为X ，写出X 的分布列，并求()E X .附：()()()()()22n a d b cK a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.(19)(本⼩题满分12分)如图，在多⾯体ABCDE 中，平⾯ABD ⊥平⾯ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，DE 12AC ，AD=BD=1. (Ⅰ)求AB 的长；EDCBA(Ⅱ)已知24AC ≤≤，求点E 到平⾯BCD 的距离的最⼤值.(20)(本⼩题满分12分)已知抛物线2:2C y px =(0p >)的焦点为F ，以抛物线上⼀动点M 为圆⼼的圆经过点F.若圆M 的⾯积最⼩值为π.(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)当点M 的横坐标为1且位于第⼀象限时，过M 作抛物线的两条弦M A M B ，，且满⾜AM F BM F ∠=∠.若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的⽅程.(21)(本⼩题满分12分)已知函数()212x f x e x a x =--有两个极值点12x x ，(e 为⾃然对数的底数).(Ⅰ)求实数a 的取值范围； (Ⅱ)求证：()()122f x f x +>.请考⽣在第(22)、(23)题中任选⼀题作答.注意：只能做所选定的题⽬，如果多做，则按所做的第⼀个题⽬计分，作答时，请⽤2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的⽅框涂⿊. (22)(本⼩题满分10分)选修4－4：坐标系与参数⽅程在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线l的参数⽅程为11x y ?=-??=??(t 为参数)，圆C 的⽅程为()()22215x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系.(Ⅰ)求直线l 及圆C 的极坐标⽅程；(Ⅱ)若直线l 与圆C 交于A B ，两点，求c o s A O B ∠的值.。
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z满足z⋅(1−2i)=i（i是虚数），则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】由z⋅(1−2i)=i，得z=i1−2i =i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−25+15i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(−25,15)，在第二象限．2. 已知集合A={x|−2<x<3}，集合B={x|x<1}，则A∪B=()A.(−2, 1)B.(−2, 3)C.(−∞, 1)D.(−∞, 3)【答案】D【考点】并集及其运算【解析】利用并集定义直接求解．【解答】∵集合A={x|−2<x<3}，集合B={x|x<1}，∴A∪B={x|x<3}={−∞，3)．3. 命题p:∀a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解，则￢p为（）A.∃a<0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解B.∃a<0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解C.∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解D.∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解【答案】C【考点】命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：根据含有量词的命题的否定可得，¬p为∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解．故选C．4. 在直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin 5π3,cos5π3)，则sin(π+α)=( )A.−12B.−√32C.12D.√32【答案】 A【考点】 三角函数 【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin(π+α)的值． 【解答】∵ 角α终边经过点P(sin5π3,cos5π3)，即点P(−√32, 12)， ∴ x =−√32，y =12，r =|OP|=1，则sin(π+α)=−sinα=−y r =−y =−12．5. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤 【答案】 B【考点】等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：用a 1,a 2,⋯,a 8，表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列{a n }(n =1,2,3,⋯,8)是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， ∴ 8a 1+8×72×17=996，解得a 1=65，∴ a 8=65+7×17=184． 故选B ．6. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x 的值为（ ）A.3或−2B.2或−2C.3或−1D.−2或−1或3 【答案】 A【考点】 程序框图 【解析】根据已知中的程序框图，分类讨论满足y =1的x 值，综合可得答案． 【解答】当x >2时，由y =log 3(x 2−2x)=1得：x 2−2x =3，解得：x =3，或x =−1（舍） 当x ≤2时，由y =−2x −3=1，解得：x =−2， 综上可得若输出的结果为1，则输入x 的值为3或−2，7. 小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00−6:00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5:30−6:00．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为（ ） A.19B.89C.512D.712【答案】 D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】设快递员送达的时刻为x ，小李到家的时刻为y ，根据题意列出有序实数对(x, y)满足的区域，以及小李去快递柜收取商品对应的平面区域，计算面积比即可得出答案． 【解答】假设快递员送达的时刻为x ，小李到家的时刻为y ， 则有序实数对(x, y)满足的区域为 {(x, y)|{5≤x ≤65.5≤y ≤6}，小李需要去快递柜收取商品，即序实数对(x, y)满足的区域为{(x, y)|{5≤x ≤65.5≤y ≤6x +16<y}，∴ 小李需要去快递柜收取商品的概率为 P =SS =12×(13+56)×1212×1=712．8. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱CD ，CC 1，A 1B 1的中点，用过点E ，F ，G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ）A.B.C.D.【答案】 C【考点】简单空间图形的三视图 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：取AA 1的中点H ，连结GH ，则GH 为过点E,F,G 的平面与正方体的面A 1B 1BA 的交线．延长GH ，交BA 的延长线于点P ，连结EP ，交AD 于N ，则NE 为过点E ，F,G 的平面与正方体的面ABCD 的交线．同理，延长EF ，交D 1C 1的延长线于Q ，连结GQ ，交B 1C 1于点M ，则FM 为过点E,F,G 的平面与正方体的面BCC 1B 1的交线．所以过点E,F,G 的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN ．故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C 所示． 故选C ．9. 已知函数f(x)=1−2x 1+2x，实数a ，b 满足不等式f(2a +b)+f(4−3b)>0，则下列不等式恒成立的是（ ） A.b −a <2 B.a +2b >2 C.b −a >2 D.a +2b <2【答案】 C【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】 此题暂无解析解：由题意得f(−x)=1−2−x 1+2−x=2x −12x +1=−1−2x 2x +1=−f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)=−2x −11+2x=−(2x +1)−21+2x=−1+21+2x ,故函数f(x)在R 上单调调递减．∵ f(2a +b)+f(4−3b)>0，∴ f(2a +b)>−f(4−3b)=f(3b −4), ∴ 2a +b <3b −4, ∴ b −a >2． 故选C ．10. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 是双曲线C 上的两点，且AF 1→=3F 1B →，cos∠AF 2B =35，则该双曲线的离心率为（ ） A.√10 B.√102C.√52D.√5【答案】B【考点】 双曲线的特性 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ AF 1→=3F 1B→，∴ A,F 1,B 共线，且点F 1在线段AB 上，如图，设A,B 是双曲线C 左支上的两点， 令|AF 1|=3|F 1B |=3m(m >0)，由双曲线的定义可得|BF 2|=2a +m,|AF 2|=2a +3m ，在△F 2AB 中，由余弦定理得(4m)2=(2a +m)2+(2a +3m)2−2×(2a +m)×(2a +3m)×35，整理得3m 2−2am −a 2=0，解得m =a 或m =−13a (舍去)．∴ |AB|=4a,|BF 2|=3a,|AF 2|=5a ，∴ △F 2AB 为直角三角形，且∠ABF 2=90∘． 在Rt △F 1BF 2中，|F 1B |2+|BF 2|2=|F 1F 2|2， 即a 2+(3a)2=(2c)2，即10a 2=4c 2， ∴ e 2=c 2a 2=52,∴ e =√102，即该双曲线的离心率为√102． 故选B ．在(0, π)上单调．下列说法正确的是（）A.ω=12B.f(−π8)=√6−√22C.函数f(x)在[−π,−π2brack上单调递增D.函数y=f(x)的图象关于点(3π4,0)对称【答案】C【考点】正弦函数的单调性【解析】根据题意，设置满足条件的ω，φ的值，依次对各选项讨论即可．【解答】由f(π8)=√2，即2sin(ωπ8+φ)=√2，可得：ωπ8+φ=π4+2kπ或ωπ8+φ=3π4+2kπ，k∈Z；令ωπ8+φ=π4……(1)，(2)(3)解得：ω=2，不满足题意：令ωπ8+φ=3π4……(4)，(5)(6)解得：ω=23，满足题意：∴f(x)=2sin(23x+2π3)对于B:f(−π8)=2sin(−23×π8+2π3)=2sin7π12=√6+√22，∴B不对．对于C：令−π2≤23x+2π3≤π2，解得：−3π2≤x≤π4，∴函数f(x)在[−π,−π2brack上单调递增，∴C对．对于D：当x=3π4，可得f(3π4)=2sin(23×3π4+2π3)=−2sinπ6=−1，∴函数y=f(x)的图象不是关于点(3π4,0)对称，∴D不对．故选：C．12. 已知点I在△ABC内部，AI平分∠BAC，∠IBC=∠ACI=12∠BAC，对满足上述条件的所有△ABC，下列说法正确的是（）A.△ABC的三边长一定成等差数列B.△ABC的三边长一定成等比数列C.△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等差数列D.△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等比数列【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设∠IBC=∠ACI=∠BAI=∠CAI=θ,IA=IC=m,IB=n，在△IAC中，m=b2cosθ，在△ABI,△BCI,△ABC中，分别由余弦定理得n2=c2+m2−2cmcosθ，m2=a2+n2−2ancosθ，a2=b2+c2−2bcos2θ，由+整理得2(cm+an)cosθ=a2+c2，∴ cm+an=a2+c22cosθ，将m=b2cosθ代入上式可得n=a2+c2−bc2acosθ，又由三角形面积公式得12bcsin2θ=12mcsinθ+12ansinθ+12bmsinθ，∴2bccosθ=mc+an+bm=m(b+c)+an，∴ 2bccosθ=b(b+c)2cosθ+a2+c2−bc2cosθ=a2+b2+c22cosθ，∴ 4bcos2θ=a2+b2+c2，∴ 2bc(1+cos2θ)=a2+b2+c2，由得cos2θ=b2+c2−a22bc，∴ 2bc(1+b2+c2−a22bc)=a2+b2+c2，整理得a2=bc，故△ABC的三边长一定成等比数列．故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知两个单位向量a→，b→的夹角为π3，则(2a→+b→)∗(a→−b→)=________．【答案】12【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】直接利用向量的数量积的运算法则求解即可．【解答】两个单位向量a →，b →的夹角为π3，则(2a →+b →)∗(a →−b →)=2a →2−a →∗b →−b →2=2−12−1=12，在(2x +1)2(x −2)3的展开式中，x 2的系数等于________． 【答案】 10【考点】二项式定理的应用 【解析】化简(2x +1)2(x −2)3=(4x 2+4x +1)(x 3−6x 2+12x −8)，展开后可得含x 2项的系数． 【解答】∵ (2x +1)2(x −2)3=(4x 2+4x +1)(x 3−6x 2+12x −8)， ∴ x 2的系数等于4×(−8)+4×12−6=(10)已知半径为3cm 的球内有一个内接四棱锥S −ABCD ，四棱锥S −ABCD 的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S −ABCD 的体积最大时，它的底面边长等于________cm ． 【答案】 4【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图，设四棱锥S −ABCD 的侧棱长为x ，底面正方形的边长为a ，棱锥的高为ℎ， 由题意可得顶点S 在底面上的射影为底面正方形的中心O 1，则球心O 在高SO 1上，在Rt △OO 1B 中，OO 1=ℎ−3,OB =3，O 1B =√22a ，∴ 32=(ℎ−3)2+(√22a)2，整理得a2=12ℎ−2ℎ2．又∵ 在Rt △SO 1B 中，有x 2=ℎ2+(√22a)2=ℎ2+(6ℎ−ℎ2)=6ℎ，∴ ℎ=x 26.∴a 2=2x 2−x 418,∴ V S−ABCD =13⋅a 2⋅ℎ=13×(2x 2−x 418)×x 26=1324(−x 6+36x 4)，设f(x)=−x 6+36x 4，则f ′(x)=−6x 5+144x 3=−6x 3(x 2−24)， ∴ 当0<x <2√6时f ′(x)>0,f(x)单调递增， 当x <2√6时，f ′(x)<0,f(x)单调递减，∴ 当a =2√6时，f(x)取得最大值，即四棱锥S −ABCD 的体积取得最大值， 此时a 2=2×(2√6)2−(2√6)418=16，解得a =4，∴ 四棱锥S −ABCD 的体积最大时，底面边长等于4cm ． 故答案为：4．为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5km，且与C村相距√31km的地方．已知B村在A村的正东方向，相距3km，C村在B村的正北方向，相距3√3km，则垃圾处理站M与B村相距________km．【答案】2或7【考点】解三角形【解析】此题暂无解析【解答】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(3,0),C(3,3√3).由题意得处理站M在以A(0,0)为圆心，半径为5的圆A上，同时又在以C(3,3√3)为圆心，半径为√31的圆C上，两圆的方程分别为x2+y2=25和(x−3)2+(y−3√3)2=31，联立{x2+y2=25(x−3)2+(y−3√3)2=31，解得{x=5y=0，或{x=−52y=5√32，∴垃圾处理站M的坐标为(5,0)或(−52,5√32)，∴|MB|=2或|MB|=√(−52−3)2+(5√32)2=7，即垃圾处理站M与B村相距2km或7km．故答案为：2或7．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知等比数列{a n}的前n项和S n满足4S5=3S4+S6，且a3=9．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=(2n−1)⋅a n，求数列{b n}的前n项的和T n．【答案】(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q．由4S5=3S4+S6，得S6−S5=3S5−3S4，即a6=3a5，∴q=3，∴a n=9∗3n−3=3n−1．(Ⅱ)b n=(2n−1)∗a n=(2n−1)∗3n−1，∴T n=1∗30+3∗31+5∗32+⋯+(2n−1)∗3n−1，3T n=1∗31+3∗32+⋯+(2n−3)∗3n−1+(2n−1)∗3n，∴−2T n=1+2∗31+2∗32+⋯+2∗3n−1−(2n−1)∗3n=−2+(2−2n)∗3n，∴T n=(n−1)∗3n+1．【考点】数列的求和【解析】(Ⅰ)利用已知条件求出数列的公比，然后求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q．由4S5=3S4+S6，得S6−S5=3S5−3S4，即a6=3a5，∴q=3，∴a n=9∗3n−3=3n−1．(Ⅱ)b n=(2n−1)∗a n=(2n−1)∗3n−1，∴T n=1∗30+3∗31+5∗32+⋯+(2n−1)∗3n−1，3T n=1∗31+3∗32+⋯+(2n−3)∗3n−1+(2n−1)∗3n，∴−2T n=1+2∗31+2∗32+⋯+2∗3n−1−(2n−1)∗3n=−2+(2−2n)∗3n，∴T n=(n−1)∗3n+1．为了解A市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u0；（精确到个位）(Ⅱ)研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布X∼N(μ, σ2)(u=u0，σ约为19.3)．①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）②已知A市理科考生约有1000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？= 1 − \pℎi(\dfrac{{x}_{1} − u}{∖sigma})}表示{x\gt x_{1}}的概率,{\phi(\dfrac{{x}_{1} - u}{\sigma})}用来将非标准正态分布化为标准正态分布,即{X\sim N(0,\, 1)},从而利用标准正态分布表{\phi (x_{0})},求{x\gt x_{1}}时的概率{P(x\gt x_{1})},这里{x_{0}= \dfrac{{x}_{1} - u}{\sigma}}.相应于{x_{0}}的值{\phi(x_{0})}是指总体取值小于{x_{0}}的概率,即{\phi (x_{0})= P(x\lt x_{0})}.参考数据:{\phi (0.7045)= 0.54},{\phi (0.6772)= 0.46},{\phi (0.21)= 0.5832)}$．【答案】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：u0=65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18 +125×0.1+135×0.05+145×0.03=103.2≈1(03)（2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为x1，根据题意，P(x>x1)=1−ϕ(x1−u0σ)=1−ϕ(x1−10319.3)=0.46，即ϕ(x1−10319.3)=0.54．由ϕ(0.7054)=0.54得，x1−10319.3=0.7054⇒x1=116.6≈117，所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分．P(x>7)=1−ϕ(107−10319.3)=1−ϕ(0.2072)≈1−0.5832=0.4168，所以，理科数学成绩为107分，大约排在10000×0.4168=4168名．【考点】正态分布的密度曲线【解析】（I）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算平均成绩；(II)①根据所给公式列方程求出x1；②根据成绩计算概率，得出大体名次．【解答】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：u0=65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18 +125×0.1+135×0.05+145×0.03=103.2≈1(03)（2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为x1，根据题意，P(x>x1)=1−ϕ(x1−u0σ)=1−ϕ(x1−10319.3)=0.46，即ϕ(x1−10319.3)=0.54．由ϕ(0.7054)=0.54得，x1−10319.3=0.7054⇒x1=116.6≈117，所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分．P(x>7)=1−ϕ(107−10319.3)=1−ϕ(0.2072)≈1−0.5832=0.4168，所以，理科数学成绩为107分，大约排在10000×0.4168=4168名．在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB // CD，AB⊥AD，O为AD中点，PA=PD=√5，AD＝AB＝2CD＝2．(Ⅰ)求证：平面POB⊥平面PAC；(Ⅱ)求二面角A−PC−D的余弦值．【答案】（1）证明：由条件可知，Rt △ADC ≅Rt △BAO ，∴ ∠DAC ＝∠ABO ， ∴ ∠DAC +∠AOB ＝∠ABO +∠AOB ＝90∘，∴ AC ⊥BO ．∵ PA ＝PD ，且O 为AD 中点，∴ PO ⊥AD ．∵ {PAD ⊥ABCDPAD ∩ABCD =AD PO ⊥AD PO ⊂PAD，∴ PO ⊥平面ABCD ．又∵ AC ⊂平面ABCD ，∴ AC ⊥PO ． 又∵ BO ∩PO ＝O ，∴ AC ⊥平面POB ． ∵ AC ⊂平面PAC ，∴ 平面POB ⊥平面PAC ．（2）以O 为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0, 0, 2)，A(1, 0, 0)，D(−1, 0, 0)，C(−1, 1, 0)，PA →=(1,0,−2)，AC →=(−2,1,0)，PD →=(1,0,−2)，CD →=(0,−1,0)， 设n 1→=(x,y,z)为平面PAC 的一个法向量，由{n 1→⋅PA →=0n 1→⋅AC →=0得{x −2z =0−2x +y =0 ，解得{z =12x y =2x．令x ＝2，则n 1→=(2,4,1)．同理可得，平面PDC 的一个法向量n 2→=(−2,0,1)， ∴ 二面角A −PC −D 的平面角θ的余弦值cosθ=|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→|=√105=√10535．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)通过Rt △ADC ≅Rt △BAO ，推出∠DAC ＝∠ABO ，证明AC ⊥BO ，PO ⊥AD ．推出PO ⊥平面ABCD ．得到AC ⊥PO ．AC ⊥平面POB ，即可证明平面POB ⊥平面PAC ．(Ⅱ)以O 为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PAC 的一个法向量，平面PDC 的一个法向量，利用向量的数量积求解即可． 【解答】（1）证明：由条件可知，Rt △ADC ≅Rt △BAO ，∴ ∠DAC ＝∠ABO ， ∴ ∠DAC +∠AOB ＝∠ABO +∠AOB ＝90∘，∴ AC ⊥BO ．∵ PA ＝PD ，且O 为AD 中点，∴ PO ⊥AD ．∵ {PAD ⊥ABCDPAD ∩ABCD =AD PO ⊥AD PO ⊂PAD，∴ PO ⊥平面ABCD ．又∵ AC ⊂平面ABCD ，∴ AC ⊥PO ． 又∵ BO ∩PO ＝O ，∴ AC ⊥平面POB ． ∵ AC ⊂平面PAC ，∴ 平面POB ⊥平面PAC ．（2）以O 为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0, 0, 2)，A(1, 0, 0)，D(−1, 0, 0)，C(−1, 1, 0)，PA →=(1,0,−2)，AC →=(−2,1,0)，PD →=(1,0,−2)，CD →=(0,−1,0)， 设n 1→=(x,y,z)为平面PAC 的一个法向量，由{n 1→⋅PA →=0n 1→⋅AC →=0得{x −2z =0−2x +y =0 ，解得{z =12xy =2x． 令x ＝2，则n 1→=(2,4,1)．同理可得，平面PDC 的一个法向量n 2→=(−2,0,1)， ∴ 二面角A −PC −D 的平面角θ的余弦值cosθ=|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→|=√105=√10535．已知点A(1, 0)和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O:x 2+y 2=4． (Ⅰ)求动点B 的轨迹方程；(Ⅱ)已知点P(2, 0)，Q(2, −1)，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值． 【答案】（1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(−1, 0)． 依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线， ∵ O 为AA′的中点，C 为AB 中点，∴ A′B =20C ．∴ |BA′|+|BA|=20C +2AC =20C +2CD =20D =4>|AA′|=2 依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，其中：|BA′|+|BA|=2a =4，|AA′|=2c =2， ∴ a =2，c =1，∴ b 2=a 2−c 2=3， ∴ 动点B 的轨迹方程为x 24+y 23=1．（2）证明：当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x =2， 此时直线l 与椭圆x 24+y 23=1相切，与题意不符．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y +1=k(x −2)．由{y +1=k(x −2)x 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2−(16k 2+8k)x +16k 2+16k −8=0． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 则{x 1+x 2=16k 2+8k4k 2+3x 1x 2=16k 2+16k−84k 2+3△>0⇒k <12 ， ∴ k PM +k PN =y 1x 1−2+y 2x2−2=k(x 1−2)−1x 1−2+k(x 2−2)−1x 2−2=2k −(1x1−2+1x2−2)=2k −x 1+x 2−4(x 1−2)(x 2−2)=2k −x 1+x 2−4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2k −(16k 2+8k4k 2+3)−416k 2+16k−84k 2+3−2(16k 2+8k4k 2+3)+4=2k +3−2k =3．∴ 直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3．【考点】 轨迹方程圆锥曲线的综合问题 【解析】(Ⅰ)设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(−1, 0)．圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，由此能求出动点B 的轨迹方程．(Ⅱ)设直线l 的方程为y +1=k(x −2)．由{y +1=k(x −2)x 24+y 23=1 得(4k 2+3)x 2−(16k 2+8k)x +16k 2+16k −8=0．由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能证明直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3． 【解答】（1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(−1, 0)． 依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线， ∵ O 为AA′的中点，C 为AB 中点，∴ A′B =20C ．∴ |BA′|+|BA|=20C +2AC =20C +2CD =20D =4>|AA′|=2 依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，其中：|BA′|+|BA|=2a =4，|AA′|=2c =2， ∴ a =2，c =1，∴ b 2=a 2−c 2=3， ∴ 动点B 的轨迹方程为x 24+y 23=1．（2）证明：当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x =2， 此时直线l 与椭圆x 24+y 23=1相切，与题意不符．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y +1=k(x −2)．由{y +1=k(x −2)x 24+y 23=1 得(4k 2+3)x 2−(16k 2+8k)x +16k 2+16k −8=0． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 则{x 1+x 2=16k 2+8k4k 2+3x 1x 2=16k 2+16k−84k 2+3△>0⇒k <12 ， ∴ k PM +k PN =y 1x 1−2+y 2x2−2=k(x 1−2)−1x 1−2+k(x 2−2)−1x 2−2=2k −(1x1−2+1x2−2)=2k −x 1+x 2−4(x 1−2)(x 2−2)=2k −x 1+x 2−4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2k −(16k 2+8k4k 2+3)−416k 2+16k−84k 2+3−2(16k 2+8k4k 2+3)+4=2k +3−2k =3．∴ 直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3．已知函数f(x)=(x −1)e x −ax 2（e 是自然对数的底数）． (Ⅰ)判断函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(Ⅱ)若∀x ∈R ，f(x)+e x ≥x 3+x ，求a 的取值范围． 【答案】（1）∵ f′(x)=xe x −2ax =x(e x −2a)，当a ≤0时，f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有1个极值点；当0<a <12时，f(x)在(−∞, ln2a)上单调递增，在(ln2a, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；当a =12时，f(x)在R 上单调递增， 此时f(x)没有极值点；当a >12时，f(x)在(−∞, 0)上单调递增，在(0, ln2a)上单调递减，在(ln2a, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；∴ 当a ≤0时，f(x)有1个极值点； 当a >0且a ≠12时，f(x)有2个极值点； 当a =12时，f(x)没有极值点．（2）由f(x)+e x ≥x 3+x 得xe x −x 3−ax 2−x ≥(0) 当x >0时，e x −x 2−ax −1≥0， 即a ≤e x −x 2−1x 对∀x >0恒成立． 设g(x)=e x −x 2−1x，则g ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2．设ℎ(x)=e x −x −1，则ℎ′(x)=e x −(1)∵ x >0，∴ ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x >x +1，∴ g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增， ∴ g(x)≥g(1)=e −2，∴ a ≤e −(2) 当x =0时，不等式恒成立，a ∈R ； 当x <0时，e x −x 2−ax −1≤(0)设ℎ(x)=e x −x 2−ax −1，则ℎ′(x)=e x −2x −a ． 设φ(x)=e x −2x −a ，则φ′(x)=e x −2<0， ∴ ℎ′(x)在(−∞, 0)上单调递减， ∴ ℎ′(x)≥ℎ′(0)=1−a ． 若a ≤1，则ℎ′(x)≥0，∴ ℎ(x)在(−∞, 0)上单调递增， ∴ ℎ(x)<ℎ(0)=(0)若a >1，∵ ℎ′(0)=1−a <0，∴ ∃x 0<0，使得x ∈(x 0, 0)时，ℎ′(x)<0， 即ℎ(x)在(x 0, 0)上单调递减， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，舍去， ∴ a ≤(1)综上可得，a 的取值范围是(−∞, e −2]． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数即可； (Ⅱ)问题转化为a ≤e x −x 2−1x对∀x >0恒成立，设g(x)=e x −x 2−1x，设ℎ(x)=e x −x −1，根据函数的单调性求出a 的范围即可． 【解答】（1）∵ f′(x)=xe x −2ax =x(e x −2a)，当a ≤0时，f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有1个极值点；当0<a <12时，f(x)在(−∞, ln2a)上单调递增， 在(ln2a, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；当a =12时，f(x)在R 上单调递增， 此时f(x)没有极值点；当a >12时，f(x)在(−∞, 0)上单调递增，在(0, ln2a)上单调递减，在(ln2a, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；∴ 当a ≤0时，f(x)有1个极值点； 当a >0且a ≠12时，f(x)有2个极值点； 当a =12时，f(x)没有极值点．（2）由f(x)+e x ≥x 3+x 得xe x −x 3−ax 2−x ≥(0) 当x >0时，e x −x 2−ax −1≥0， 即a ≤e x −x 2−1x 对∀x >0恒成立． 设g(x)=e x −x 2−1x，则g ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2．设ℎ(x)=e x −x −1，则ℎ′(x)=e x −(1)∵ x >0，∴ ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x >x +1，∴ g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增， ∴ g(x)≥g(1)=e −2，∴ a ≤e −(2) 当x =0时，不等式恒成立，a ∈R ； 当x <0时，e x −x 2−ax −1≤(0)设ℎ(x)=e x −x 2−ax −1，则ℎ′(x)=e x −2x −a ． 设φ(x)=e x −2x −a ，则φ′(x)=e x −2<0， ∴ ℎ′(x)在(−∞, 0)上单调递减， ∴ ℎ′(x)≥ℎ′(0)=1−a ． 若a ≤1，则ℎ′(x)≥0，∴ ℎ(x)在(−∞, 0)上单调递增， ∴ ℎ(x)<ℎ(0)=(0)若a >1，∵ ℎ′(0)=1−a <0，∴ ∃x 0<0，使得x ∈(x 0, 0)时，ℎ′(x)<0， 即ℎ(x)在(x 0, 0)上单调递减， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，舍去， ∴ a ≤(1)综上可得，a 的取值范围是(−∞, e −2]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知过点P(0, −1)的直线l 的参数方程为{x =12ty =−1+√32t（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值． 【答案】解(Ⅰ)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． ∴ 2aρsinθ−ρ2cos 2θ=(0) 即x 2=2ay(a >0)．（2）将{x =12ty =−1+√32t代入x 2=2ay ， 得t 2−4√3at +8a =0， 得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a. ． ∵ a >0， ∴ 解①得a >23．∵ |PM|，|MN|，|PN|成等比数列， ∴ |MN|2=|PM|⋅|PN|， 即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴ (t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2， 即(4√3a)2−40a =0， 解得a =0或a =56． ∵ a >23， ∴ a =56．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系，把方程组转换为一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果． 【解答】解(Ⅰ)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． ∴ 2aρsinθ−ρ2cos 2θ=(0) 即x 2=2ay(a >0)．（2）将{x =12ty =−1+√32t代入x 2=2ay ，得t 2−4√3at +8a =0， 得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a. ． ∵ a >0， ∴ 解①得a >23．∵ |PM|，|MN|，|PN|成等比数列， ∴ |MN|2=|PM|⋅|PN|， 即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴ (t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2， 即(4√3a)2−40a =0， 解得a =0或a =56． ∵ a >23， ∴ a =56．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|3x +m|．(1)若不等式f(x)−m ≤9的解集为[−1, 3]，求实数m 的值；(2)若m >0，函数g(x)=f(x)−2|x −1|的图象与x 轴围成的三角形的面积大于60，求m 的取值范围． 【答案】 解：(1)由题意得{9+m ≥0|3x +m|≤9+m.解①得m ≥−9②可化为−9−m ≤3x +m ≤9+m ，−9−2m 3≤x ≤3．∵ 不等式f(x)≤9的解集为[−1, 3]， ∴−9−2m 3=−1，解得m =−3，满足m ≥−9， ∴ m =−3.(2)依题意得，g(x)=|3x +m|−2|x −1|．又∵ m >0，∴ g(x)={−x −m −2(x ≤−m 3)5x +m −2(−m 3<x <1)x +m +2(x ≥1).，g(x)的图象与x 轴围成的△ABC 的三个顶点的坐标为 A(−m −2, 0)，B(2−m 5,0)，C(−m 3,−2m 3−2)，∴ S △ABC =12|AB|⋅y C =4(m+3)215>60，解得m >12. 【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)去掉不等式的绝对值并根据条件限制m 的范围，根据题意得出m 的值；(Ⅱ)由m >0去掉绝对值，将函数g(x)写成分段函数的形式，根据大致图象求出三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，解不等式即可． 【解答】解：(1)由题意得{9+m ≥0|3x +m|≤9+m.解①得m ≥−9②可化为−9−m ≤3x +m ≤9+m ，−9−2m 3≤x ≤3．∵ 不等式f(x)≤9的解集为[−1, 3]， ∴−9−2m 3=−1，解得m =−3，满足m ≥−9 ∴ m =−3.(2)依题意得，g(x)=|3x +m|−2|x −1|．又∵ m >0，∴ g(x)={−x −m −2(x ≤−m3)5x +m −2(−m 3<x <1)x +m +2(x ≥1).，g(x)的图象与x 轴围成的△ABC 的三个顶点的坐标为 A(−m −2, 0)，B(2−m 5,0)，C(−m 3,−2m 3−2)，∴ S △ABC =12|AB|⋅y C =4(m+3)215>60，解得m >12.。
2018年高考全国卷2理科数学真题附含答案解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A. B. C. D.2.已知集合A=｛（x，y）｜x ²+y ²≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为A.9B.8C.5D.43.函数f（x）=e ²-e-x/x ²的图像大致为A.B.C.D.4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1,则a·（2a-b）=A.4B.3C.2D.05.双曲线x ²/a ²-y ²/b ²=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为A.y=±xB.y=±xC.y=±D.y=±6.在中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=A.4B.C.D.27.为计算s=1-+-+…+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为A. B.10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是A. B. C. D. π11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。
若f（1）=2，则f（1）+ f（2）+ f（3）+…+f（50）=A.-50B.0C.2D.5012.已知F1，F2是椭圆C: =1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为A..B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
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综上可得若输出的结果为 1，则输入 x 的值为 3 或﹣2， 故选：A． 7．（5 分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午 5：00﹣6：00 之间送货上门，
已知小李下班到家的时间为下午 5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家， 则快递员会电话联系小李．若小李能在 10 分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则， 就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为（ ）
求 m 的取值范围．
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2018 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）已知复数 z 满足 z（• 1﹣2i）＝（i i 是虚数），则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）
到的绵是（ ）
A．174 斤
B．184 斤
C．191 斤
D．201 斤
6．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 1，则输入 x 的值为（ ）
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A．3 或﹣2
B．2 或﹣2
C．3 或﹣1
D．﹣2 或﹣1 或 3
7．（5 分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午 5：00﹣6：00 之间送货上门，
对称
12．（5 分）已知点 I 在△ABC 内部，AI 平分∠BAC， 述条件的所有△ABC，下列说法正确的是（ ）
，对满足上
A．△ABC 的三边长一定成等差数列 B．△ABC 的三边长一定成等比数列 C．△ABI，△ACI，△CBI 的面积一定成等差数列 D．△ABI，△ACI，△CBI 的面积一定成等比数列 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
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2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．i为虚数单位，若复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，则实数m=（）
A．1 B．﹣1 C． D．2
2．已知A=[1，+≦），，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）
A．[1，+≦）B．C．D．（1，+≦）
3．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）
A．﹣1 B．1 C．3 D．7
4．若输入n=4，执行如图所示的程序框图，输出的s=（）
A．10 B．16 C．20 D．35
5．若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）
A．y=〒x B．C．D．
6．等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
3
=6，S
6
=3，则S
10
=（）
A．B．0 C．﹣10 D．﹣15
7．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．28 D．
8．对函数f（x），如果存在x
0≠0使得f（x
）=﹣f（﹣x
），则称（x
，f（x
））
与（﹣x
0，f（﹣x
））为函数图象的一组奇对称点．若f（x）=e x﹣a（e为自然
数的底数）存在奇对称点，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣≦，1） B．（1，+≦）C．（e，+≦）D．[1，+≦）
9．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（）
A．0条B．1条C．2条D．1条或2条
10．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ=（）
A．3 B．C．D．4
11．锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）
=（c﹣b）sinC，若，则b2+c2的取值范围是（）
A．（5，6] B．（3，5）C．（3，6] D．[5，6]
12．已知函数f（x）=xlnx﹣ae x（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）
A．B．（0，e）C．D．（﹣≦，e）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．等比数列{a
n }满足a
n
＞0，且a
2
a
8
=4，则log
2
a
1
+log
2
a
2
+log
2
a
3
+…+log
2
a
9
= ．
14
．不共线向量
，
满足
，且
，则
与的夹角为．
15
．在的展开式中，常数项为．
16．已知关于x的方程（t+1）cosx﹣tsinx=t+2在（0，π）上有实根．则实数t 的最大值是．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17
．已知
，，函数f（x）
=．
（Ⅰ）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）若方程f（x）
=在（0，π）上的解为x
1
，x
2
，求cos（x
1
﹣x
2
）的值．
18．某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．
（Ⅰ）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数；
（Ⅱ）根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？
附：，其中n=a+b+c+d．。