立体几何小题练习进步

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高二数学提升练习题 (空间立体几何)1

A B 主视图 C 左视图俯视图3 4 2 俯视图主视图左视图空间立体几何三视图专题1一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如左图所示，那么该三棱锥的外接球的外表积为2.一个几何体的三视图如右图所示，其中，主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为3.知一个空间几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸〔单位：cm 〕，可得这个几何体的体积是___________cm 3．〔第4题〕4〔山东卷6〕右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的外表积是 5四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如右图，那么四棱锥P ABCD - 的外表积为__ .〔第6题〕6一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如下图那么该三棱锥的外接球的外表积为．7一个几何体的三视图如下图，其中主视图、左视图均为上底为2，下底为4，腰为5 的等腰梯形，俯视图为一圆环，那么该几何体的体积为．8.〔课本改编题，新增内容〕右图为一个几何体的三视图，尺寸如下图，那么该几何体的体积为 9据图中尺寸〔单位：cm 〕，可知这个几何体的外表积是342 俯视图主视图左视图2 2 主视图 2 4左视图俯视图〔第3图〕〔第9题〕〔第8题〕10图是一个空间几何体的三视图，其主视图、左视图均为正三角形，俯视图为圆，那么该几何体的侧面积为 .广东高考文科数学分类汇编--立体几何2021年广东高考文科数学左视图俯视图〔第7题222 C2313主视图左视图俯视图 2 2 〔10题〕18.〔本小题总分值14分〕如图4，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED,FB=a5〔1〕证明：EB⊥FD〔2〕求点B到平面FED的距离.2021年广东高考文科数学6.给定以下四个命题：①假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④17.〔本小题总分值13分〕某高速公路收费站入口处的平安标识墩如图4所示,墩的上半局部是正四棱锥P －EFGH,下半局部是长方体ABCD －EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.〔1〕请画出该平安标识墩的侧(左)视图〔2〕求该平安标识墩的体积〔3〕证明:直线BD ⊥平面PEG2021年广东高考文科数学7．将正三棱柱截去三个角〔如图1所示，A B C ，，分别是GHI △三边的中点〕得到几何体如图2，那么该几何体按图2所示方向的侧视图〔或称左视图〕为〔〕18．〔本小题总分值14分〕如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，ADP BAD △∽△．〔1〕求线段PD 的长；〔2〕假设11PC R =，求三棱锥P ABC -的体积．E F DIA H GBC EF D AB C侧视图1图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．PAD2007年广东高考文科数学6．假设l m n ，，是互不一样的空间直线，αβ，是不重合的平面，那么以下命题中为真命题的是〔〕Ａ．假设l n αβαβ⊂⊂，，∥，那么l n ∥Ｂ．假设l αβα⊥⊂，，那么l β⊥ Ｃ．假设l nm n ⊥⊥，，那么l m ∥Ｄ．假设l l αβ⊥，∥，那么αβ⊥17．〔本小题总分值12分〕某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图〔或称主视图〕是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图〔或称左视图〕是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．〔1〕求该几何体的体积V ；〔2〕求该几何体的侧面积S ．图52021年广东高考文科数学一、D二、 18.〔1〕证明：点E 为弧AC 的中点2021年广东高考文科数学6.D7. 17.【解析】(1)侧视图同正视图,如右图所示. 〔２〕该平安标识墩的体积为：P EFGH ABCD EFGH V V V --==221406040203200032000640003=⨯⨯+⨯=+=()2cm 〔３〕如图,连结EG,HF 及 BD ，EG 与HF 相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO ⊥平面EFGH ,PO HF ∴⊥ 又EG HF ⊥ HF ∴⊥平面PEG 又BD HF BD ∴⊥平面PEG ；2021年广东高考文科数学 7．A 18．解：〔1〕BD 是圆的直径ADP BAD △∽△90BAD ∴∠=，又ADP BAD △∽△，AD DP BA AD ∴=，22234(sin 60)431(sin 30)22R AD BD DP R BA BD R ⨯====⨯；〔2〕在Rt BCD △中，cos 452CD BD R ==2222229211PD CD R R R PC +=+==PD CD ∴⊥，又90PDA ∠= PD ∴⊥底面ABCD2113211sin(6045)22222224ABC S AB BC R R R ⎛⎫=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△ 三棱锥P ABC -的体积为2311313133344P ABC ABC V S PD R R R -++===△ 2007年广东高考文科数学二、D17解: 由可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V -ABCD；(1) ()1864643V =⨯⨯⨯= (2) 该四棱锥有两个侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为1h ==另两个侧面VAB. VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为 25h ==因此 112(685)4022S =⨯⨯⨯⨯=+.C PA B 图5D,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。

立体几何强化训练200题综合应用篇.

立体几何强化训练200题·综合应用篇一、选择题1．空间五个点，没有三个点共线，但有四个点共面，这样的五个点可以确定（）平面。

A．3个B．5个C．8个D．7个2．已知命题：“直线a上的两个点A，B在平面α内。

”与它不等价的命题是A．直线a在平面α内B．平面α通过直线C．直线a上只有两点在平面α内D．直线a上的所有点都在平面α内3．空间有n（n≥3）条直线，其中任意两条都相交，那么n条直线一定是A．共面B．不共面但过同一点C．过同一点或共面D．既不过同一点又不共面4．下列各个条件中，可以确定一个平面的是A．三个点B．两条不重合直线C．一个点一条直线D．不共点的两两相交的三条直线5．l是平面M的一条斜线，在l上任取两点，在M上任取三点，则五点最多可以确定面。

A．6个B．7个C．9个D．10个6．四个命题：（1）直线a在平面α内，a也在平面β内，则α，β重合。

（2）直线a，b相交，直线b，c也相交，则直线a，c也必相交。

（3）直线a，b共面，直线b，c也共面，则直线a，c也必共面。

（4）a在平面α外，则直线a与平面α内任何一点都可惟一确定一个平面。

以上四个命题中错误的命题个是A．1个B．2个C．3个D．4个7．若平面α上有三点到平面β的距离都相等，则α与β的关系是A．α与β平行B．α与β相交C．α与β平行或相交D．以上结论都不是8．条件Ⅰ：两条直线不平行；条件Ⅱ：两条直线为异面直线。

则Ⅰ是Ⅱ的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．分别与两条异面直线同时相交的两条直线A．一定是异面直线B．不可能是平行的C．不可能是相交的D．可以是平行的10．异面直线a，b分别在平面α，β内，若α∩β=l，则直线l必定是A．分别与a，b相交B．与a，b都不相交C．至少与a，b中之一相交D．至多与a，b中之一相交11．判断下列命题有几个是不正确的①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。

中职立体几何提升训练(一)

立体几何能力提升训练1.01、中位线定理的几何语言：∵DE是△ABC的中位线，∴，．2、平行四边形判定（常用）：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形练习1.如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，DE ＝CF．求证：DC∥EF．练习2.如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC边的中点，求证：BE∥DF．类型一：证明线面平行1.已知D是直角三角形ABC的斜边AB的中点，AC＝8，BC＝6，EC垂直于△ABC所在的平面，且EC＝6。

若BC的中点为F，证明：DF∥平面AEC；在正四棱锥P﹣ABCD中，PC＝5，AB＝6，点E是PC的中点；（1）求证P A∥面DBE；（2）求正四棱锥的体积和表面积。

3.如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB，点E是PD的中点．求证：PB∥平面AEC．如图所示，已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥底面ABCD，M是AS的中点.求证：SC∥平面MBD.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，AC⊥BC。

求证：AC1∥平面B1CD。

如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别为AB、BB1的中点．证明：BC1∥平面A1CD；2.如图，已知P A垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别为AB、PC的中点.求证：EF∥平面P AD；变式1.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AD＝CD＝2AB＝2，AB⊥AD，CD⊥AD，P A ⊥底面ABCD，M为PC的中点．求证：BM∥平面P AD．变式2.图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，PB的中点，求证：EF∥平面PCD．如图，矩形ABCD，P A⊥平面ABCD，M、N、R分别是AB、PC、CD的中点．求证：直线AR∥平面PMC；在空间四边形ABCD中，E，F、G，H分别为AB，BC，CD、DA的中点，且AC⊥BD。

高考必刷小题立体几何

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11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M， N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是 A.MN＝12EF
√B.MN≠12EF √C.MN与EF异面
D.MN与EF平行
1 A.4
dm2
C.
3 4
dm2
√B.
2 4
dm2
D.34 2
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根据题意，在平面VAC内，过点P作EF∥AC分别交VA，VC于点F，E，在平面VBC内，过点E作EQ∥VB交BC于点Q，在平面VAB内，过点F作FD∥VB交AB于点D，连接DQ，如图所示，因为EF∥AC，所以△VEF∽△VCA，设其相似比为k，则VVAF＝VVCE＝AECF＝k，0<k<1，因为 VA＝VB＝VC＝1，且两两垂直，所以 AC＝ 2，
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因为EF⊂平面VAC，所以FD⊥EF，所以四边形 FEQD 是矩形，即 S 矩形 FEQD＝
FD·EF＝(1－k)· 2k＝－ 2k－122＋ 42，
所以当
k＝12时，S
矩形 FEQD
有最大值
2 4.
故该截面面积的最大值是
对于A，如图(1)，α∩β＝l，m⊥l，n∥l，则满足m∥α，n∥β，m⊥n，平面α与β不一定垂直，故A错误；对于B，如图(2)，α∩β＝l，n∥l，m⊥α，则满足n∥β，m⊥n，平面 α与β不一定垂直，故B错误；
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立体几何练习题及答案

立体几何练习题及答案立体几何练习题及答案立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的几何形体。

在我们的日常生活中，立体几何无处不在，比如建筑物、雕塑、家具等。

掌握立体几何的基本概念和解题方法，不仅可以提高我们的空间想象能力，还能帮助我们解决实际问题。

下面，我将给大家提供一些立体几何的练习题及答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 题目：一个正方体的体积是64立方单位，求它的边长。

解答：设正方体的边长为a，则根据正方体的性质可知，它的体积等于边长的立方，即a³=64。

两边开立方根，得到a=4。

所以，这个正方体的边长是4个单位。

2. 题目：一个圆柱的底面半径为3cm，高为8cm，求它的体积和表面积。

解答：圆柱的体积公式为V=πr²h，其中r是底面半径，h是高。

代入已知条件，可得V=π×3²×8=72π。

所以，这个圆柱的体积是72π立方厘米。

圆柱的表面积公式为A=2πrh+2πr²。

代入已知条件，可得A=2π×3×8+2π×3²=48π+18π=66π。

所以，这个圆柱的表面积是66π平方厘米。

3. 题目：一个球的半径为5cm，求它的体积和表面积。

解答：球的体积公式为V=4/3πr³，其中r是半径。

代入已知条件，可得V=4/3π×5³=500/3π。

所以，这个球的体积是500/3π立方厘米。

球的表面积公式为A=4πr²。

代入已知条件，可得A=4π×5²=100π。

所以，这个球的表面积是100π平方厘米。

4. 题目：一个圆锥的底面半径为6cm，高为10cm，求它的体积和表面积。

解答：圆锥的体积公式为V=1/3πr²h，其中r是底面半径，h是高。

代入已知条件，可得V=1/3π×6²×10=120π。

所以，这个圆锥的体积是120π立方厘米。

立体几何练习进步题(精)

立体几何练习题1.设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，l⊂α，则l∥β；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD1与平面ABCD所成角的余弦值为（）A．B．C D．3.三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2且AA1⊥平面ABC，△ABC是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）A．8πB．C．D．8π4.三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O，空间一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP长为（）A．5B．2C．3D．55.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．A C⊥SBB．AB∥平面SCDC．S A与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D． AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角6.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点CG到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有（）A．1＜d1＜d2B．d1＜d2＜1C ． d 1＜1＜d 2D ． d 2＜d 1＜17.在锐角的二面角错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，若错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

所成角为错误!未找到引用源。

，则二面角错误!未找到引用源。

为__________. 8.给出下列四个命题：(1)若平面错误!未找到引用源。

上有不共线的三点到平面错误!未找到引用源。

的距离相等，则错误!未找到引用源。

；(2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；(3)两条异面直线中的一条平行于平面错误!未找到引用源。

立体几何提升训练

立体几何提升训练
1.如图，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，且BC ＝2AD ，AD ⊥CD ，PB ⊥CD ，点E 在棱PD 上，且
PE ＝2ED .
(1)求证：平面PCD ⊥平面PBC ；
(2)求证：PB ∥平面AEC .
2、(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为菱形，点G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .
(1)证明：平面AEC ⊥平面BED .
(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD 的体积为
63
，求该三棱锥的侧面积．
3.如图(1)，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2.将△ADE 沿DE 折起到△A ′DE 的位置，使A ′C ⊥CD ，如图(2)．
(1)求证：DE ∥平面A ′BC ；
(2)求证：A ′C ⊥BE ；
(3)线段A ′D 上是否存在点F ，使平面CFE ⊥平面A ′DE ？
若存在，求出DF 的长；若不存在，请说明理由．
4.如图，四棱锥P ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12
AD ，
∠BAD ＝∠ABC ＝90°.
(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；
(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD 的体积．。

立体几何提高训练题.

立体几何提高训练选择题1、异面直线a ，b 成80°角，P 为a ，b 外的一个定点，若过P 有且仅有2条直线与a ，b 所成的角相等且等于α，则角α属于集合（ B ）A ．{α|0°<α<40°}B ．{α|40°<α<50°}C ．{α|40°<α<90°}D ．{α|50°<α<90°} 2、1111ABCD A B C D -已知长方体中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使1D P PC ⊥，则棱AD 的取值范围是（A ）(].01A ， B、((](0.02.C D ，填空题3、α、β为两个不同平面，m ，n 是平面α，β外的两条不同直线，给出下面四个结论：①m//n ；②m//β；③α⊥β；④n ⊥α，以其中三个为条件，另一个为结论，写出你认为正确的一个命题。

（按④①②③⇒形式写）①②④⇒③或①③④⇒②4、.已知A ，B ，C ，D 为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2，则球心到平面BCD 的距离等于14解答题5、.在棱长为a 的正方体OABC －O'A'B'C'中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE=BF.（1）求证：A'F ⊥C'E ；（2）当三棱锥B'－BEF 的体积取得最大值时，求二面角B'－EF －B 的大小.（结果用反三角函数表示）'C 'A 'ECBA解：１）[证明]如图，以O 为原点建立空间直角坐标系。

设AE ＝BF ＝x ，则A ’(a ，0，a )、F (a －x ，a ，0)、C ’(0，a ，a )、E (a ，x ，0)}.,,{'},,,{'a a x a C a a x A --=--= ∵ ,0)(''2=+-+-=⋅a a x a xa E C F A ∴ A ’F ⊥C ’E . （２）[解]记BF=x ，BE ＝y ，则 x +y =a ，三棱锥B ’－BEF 的体积,241266132a y x a xya V =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤= 当且仅当2ay x ==时，等号成立。

立体几何的练习题及解题方法

立体几何的练习题及解题方法立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的几何图形。

在学习立体几何时，我们常常需要进行一些练习题来加深对各种几何图形的理解，并熟悉解题方法。

本文将提供一些立体几何的练习题，并探讨它们的解题方法。

一、体积计算题1.请计算一个边长为5cm的正方体的体积。

解题方法：正方体的体积计算公式为V = a^3，其中a表示边长。

将已知数据带入公式，得到V = 5^3 = 125 cm^3。

因此，正方体的体积为125立方厘米。

2.已知一个椎体的底面半径为4cm，高为6cm，求它的体积。

解题方法：椎体的体积计算公式为V = (1/3)πr^2h，其中r表示底面半径，h表示高。

将已知数据带入公式，得到V = (1/3)π(4^2)(6) ≈100.53 cm^3。

因此，椎体的体积约为100.53立方厘米。

二、表面积计算题1.已知一个正方体的边长为3cm，求它的表面积。

解题方法：正方体的表面积计算公式为S = 6a^2，其中a表示边长。

将已知数据带入公式，得到S = 6(3^2) = 54 cm^2。

因此，正方体的表面积为54平方厘米。

2.请计算一个圆锥的表面积，已知它的底面半径为6cm，侧面高为8cm。

解题方法：圆锥的表面积计算公式为S = πr(r + l)，其中r表示底面半径，l表示斜高。

首先，我们需要计算斜高，可以利用勾股定理得到l = √(r^2 + h^2)。

将已知数据带入公式，得到l = √(6^2 + 8^2) = 10 cm。

然后，将r和l带入表面积计算公式，得到S = π(6)(6 + 10) ≈ 251.33 cm^2。

因此，圆锥的表面积约为251.33平方厘米。

三、图形的相交与不相交题1.已知一个正方体和一个立方体，它们的边长均为4cm，判断它们是否相交。

解题方法：两个立体图形相交的条件是它们至少有一个公共点。

由于正方体和立方体的边长相等，并且它们的中心点重合，因此它们相交。

立体几何提升练习

（4）若 AB ⊥ CD ， AC BD 设 E, F , G, H 分别为所在棱的中点，则 EFGH 是矩形，连接 EG, FH 记它们的交点为 P ，则 P 到 E, F , G, H 距离相等，均为
1 EG ；分别取 2
AB, CD的中点 M , N ，连 MG, GN , NE, EM ，
CF EF AF FG CF (0 1) ，由 , ，所以 EF (1 ) CD, FG AB ， CA CD AC AB AC 1 SEFGH EF FG sin (1 ) AB CD sin ，而 AB ， CD 是确定的，所以当， 2 即 F 是 AC 的中点时，亦即 E 为 AD 中点时，截面四边形 EFGH 面积取得最大值，（2）正
点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D ， BCA 90 , AC BC 2, BA1 AC1 ．Biblioteka 2 ？若 7A1 B1
C1
A
D B
C
（Ⅰ）求证： AC1 平面 A1 BC ；（Ⅱ）求二面角 B1 A1 B C1 的余弦值． 10．如图，棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的所有棱长都等于 2，∠ABC＝60°，平面 AA1C1C⊥平面 ABCD，∠A1AC＝60°．
令确；（3）由
EF AF FG CF EF FG AF CF , 1 ，所以两式两边分别相加得， CD AC AB AC CD AB AC AC AB CD AB FG AB EF , EFGH 的周长为 2( EF FG)) 2( AB EF ) ，而 CD CD ，故 EFGH 的周长不存在最小值，（3）不正确； 0 E F C D

立体几何初部能力提升自测题(含解析)

立体几何初部能力提升自测题（含解析）本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1﹣BB 1D 1D 的体积为（） A ．B ．C ．D ．2．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中不相交的线段的对数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．已知点E ，F 分别是正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱AB ，AA 1的中点，点M ，N 分别是线段D 1E 与C 1F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条4．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为1cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为（）cm ． A ．12 B ．13 C ． D ．155．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（） A ．12π B ．20π C ．24π D ．32π6.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R ，圆柱的高为43R．设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则12V V 的值是（） A. 1 B. 2 C. 3D. 47.母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为（）A ．16πB ．8πC ．D ．8．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，若A 1A ＝AB ＝4，当阳马B ﹣A 1ACC 1体积最大时，则堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为（） A ．B ．16C ．16D ．32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设l 、m 、n 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，下列四个命题中正确的命题为（）A.若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α；B.若α⊥β，m ∥α，n ⊥β，则m ⊥n ；C.若l ∥α，且m ∥α，则l ∥m ；D.若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β． 10. 如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（） A ．AE ∥CD B ．CH ∥BEC ．DG ⊥BHD ．BG ⊥DE11．如图，已知六棱锥P —ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，则下列结论不正确的是 ( )A ．PB ⊥ADB ．平面PAB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面PAED ．直线CD ⊥平面PAC12.已知四边形ABCD 是等腰梯形（如图1），3AB =，1DC =，45BAD ∠=︒，DE AB ⊥．将ADE 沿DE 折起，使得AE EB ⊥（如图2），连结AC ，AB ，设M 是AB 的中点.下列结论中正确的是（） A. BC AD ⊥ B. 点E 到平面AMC 的距离为63C. //EM 平面ACDD. 四面体ABCE 的外接球表面积为5π 三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知m ，n 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的条件．14.如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm ，盆底直径为15cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长15cm.为了美化花盆的外观.需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要毫升油漆23.141)cm π（取，精确到15.如图所示的正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则三棱锥111A AB D -的高= ．16.阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球(指与圆柱的两个底面及侧面都相切的球)的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比，可证明该定理推广到圆锥也成立，即：圆锥的内切球(与圆锥的底面及侧面都相切的球)的体积与圆锥的体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝ι．（1）求证：ι∥BC ．（2）MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC ⊥，AB=PB ，E,F 分别是PA ，AC 的中点．求证：（1）EF ∥平面PBC ；（2）平面BEF ⊥平面PAB ．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PBD △为等边三角形，E 为PC 中点，平面EBD ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若2AB =，求三棱锥P BED -的体积．20. （12分）如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1中点（1）求证：BC 1∥平面AB 1D 1 （2）求证：平面AB 1D 1∥平面C 1BD ．21．（12分）如图，在空间几何体A ﹣BCDE 中，底面BCDE 是梯形，且CD ∥BE ，CD ＝2BE ＝4，∠CDE ＝60°，△ADE 是边长为2的等边三角形．（1）若F 为AC 的中点，求证：BF ∥平面ADE ；（2）若AC ＝4，求证：平面ADE ⊥平面BCDE ．22. （12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，M是SB的中点，AB∥CD，BC⊥CD，且AB＝BC＝2，CD＝SD＝1，又SD⊥面SAB．（1）证明：CD⊥SD；（2）证明：CM∥面SAD；（3）求四棱锥S﹣ABCD的体积．立体几何部分能力提升自测题答案及解析1.A【解析】如图，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为V，三棱锥A1﹣ABD的体积为，∴四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为V．故选A．2.C【解析】平面展开图还原成正方体：G点与C点重合，B 点与F重合．观察正方体中的线段不难发现：GH与EF，GH 与AF，CD与AF，CD与EF均不相交．∴在正方体中不相交的线段有4对．故选C．3.B【解析】如图，设D1E与平面AA1C1C相交于点M，在平面AA1C1C内过点M作MN∥AA1交C1F于点N，连接MN，由C1F与D1E为异面直线知MN唯一，且MN⊥平面ABCD，故选B.4.C【解析】如图所示，把侧面展开两周可得对角线最短：AA1cm．故选C．5．B【解析】将三棱锥P ABC放入长方体中，如图，三棱锥P ABC -的外接球就是长方体的外接球．因为2PA AB ==，4AC =，ABC △为直角三角形，所以23BC =，设外接球的半径为R ，依题意可得2(2)441220R =++=，故25R =，则球O 的表面积为24π20πS R ==，故选B ．6.B 【解析】由题意3124433R V R R ππ=⋅=，332142233R V R ππ=⨯=，所以313243322R VV Rππ==. 故选B.7.A 【解析】母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，所以侧面展开图的弧长为：l ＝58π，由弧长＝底面周长，即8π＝2πr，r ＝4，所以圆锥的高为h 3，所以圆锥体积Vπ×r 2×hπ×42×3＝16π．故选A ．8.B 【解析】设AC ＝x ，BC ＝y ，由题意得x ＞0，y ＞0，x 2+y 2＝16，阳马B ﹣A 1ACC 1体积V4x ×yxy ，∵xy8，当且仅当x ＝y ＝2时，取等号，∴当阳马B ﹣A 1ACC 1体积最大时，AC ＝BC ，此时堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝S ABC •AA 116，故选：B ．二、多项选择题：9.AB 【解析】对于A ：根据线面平行的性质知，若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α正确，故A 正确；对于B ：根据面面垂直的性质知，若α⊥β，m ∥α，n ⊥β，则m ⊥n 正确，故B 正确；对于C ：若l ∥α，且m ∥α，则l ∥m 不一定正确，有可能相交，也有可能异面，故C 错误；D 若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β不一定成立，有可能相交．故D 错误，故正确的是AB,故选AB ．10.BCD 【解析】还原正方体直观图如图，可知AE 与CD 为异面直线，故选项A不正确；由EH BC ，可得CH ∥BE ，故选项B 正确；正方形中易得DG ⊥平面BCH ，所以有DG ⊥BH ，故选项C 正确；因为BG ∥AH ，且DE ⊥AH ，所以BG ⊥DE ，故选项D 正确．故选BCD ．11．ABC 【解析】因为AD 与PB 在平面ABC 内的射影AB 不垂直，所以A 中结论不正确；过点A 作PB 的垂线，垂足为H ，若平面PAB ⊥平面PBC ，则AH ⊥平面PBC ，所以AH ⊥PBC ，又PA ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，则BC ⊥AB ，这与底面是正六边形不符，所以B 中结论不正确；若直线BC ∥平面PAE ，则BC ∥AE ，但BC 与AE 相交，所以C 中结论不正确；因为底面是正六边形，所以∠ABC=∠BCD=1200，AB=BC,所以∠BCA=300，所以∠ACD=900，所以DC ⊥AC ，因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥DC ，又AC ∩PA=A ，所以CD ⊥平面PAC ，所以D 中结论正确．故选ABC ． 12.BD 【解析】因为DE AB ⊥，45BAD ∠=︒，所以ADE 为等腰直角三角形，过C 做CF AB ⊥，交AB 于F ，如图所示：所以ADE BCF ≌，即AE=BF ，又3AB =，1DC =，所以1AE EF FB DE CF =====，则=2AD BC =，对于A ：因为AE EB ⊥，AE DE ⊥，,BE DE ⊂平面BCDE ，所以AE ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，所以AE BC ⊥，若BC AD ⊥，且,AE AD ⊂平面ADE ，则BC ⊥平面ADE ，所以BC ⊥DE.与已知矛盾，所以BC 与AD 不垂直，故A 错误；对于B ：连接MC ，如图所示，在DEC Rt △中，DE=DC=1，所以2EC ==2BC ，EB=2，所以222EC BC EB +=，所以EC BC ⊥，又因为AE BC ⊥，,AE EC ⊂平面AEC ，所以BC ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，所以BC AC ⊥，即ABC 为直角三角形，在Rt AEC 中，1,2AE EC ==，所以3AC =M 是AB 的中点，所以AMC 的面积为Rt ABC 面积的一半，所以11632224AMCS=⨯=，因为,DE AE DE EB ⊥⊥，所以DE 即为两平行线CD 、EB 间的距离，因为E AMC C AEMV V --=，设点E 到平面AMC 的距离为h ，则1133AME AMC S DE S h ⨯⨯=⨯⨯，即111111323h ⨯⨯⨯⨯=，所以h =，所以点E 到平面AMC 的距离为，故B 正确；对于C ：因为//EB DC ，EB ⊄平面ADC ，DC ⊂平面ADC ，所以//EB 平面ADC ，若//EM 平面ACD ，且,,EB EM E EB EM ⋂=⊂平面AEB ，所以平面ACD //平面AEB ，与已知矛盾，故C 错误.对于D ：因为EC BC ⊥，所以△BCE 的外接圆圆心为EB 的中点，又因为AE EB ⊥，所以ABE △的外接圆圆心为AB 的中点M ，根据球的几何性质可得：四面体ABCE 的外接球心为M ，又E 为球上一点，在ABE △中，12EM AB ==，所以外接球半径R ME ==,所以四面体ABCE 的外接球表面积ππ542==R s ，故D 正确. 故选BD三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 必要不充分条件【解析】若//m n ，则由m α⊥，可知n α⊥，又n β⊂，故αβ⊥，若,m n αβ⊥⊂，αβ⊥，则m ，n 位置关系不确定.所以“αβ⊥”是“//m n ”的必要不充分条件.14.1000【解析】由圆台的表面积公式得花盆的表面积：22151520 1.522()1515()1000()0.1()2222S cm m ππ⎡⎤=+⨯+⨯-≈=⎢⎥⎣⎦,涂100个花盆需要油漆：0.1×100×100=1000（毫升）.答案：1000．15.3a 【解析】设三棱锥111A AB D -的高为h ，则)111221346A AB D hV h -=⨯=．又1111113211326A AB D B AA D a V V a a --==⨯=，所以36a =，所以h =，所以三棱锥111A AB D -． 16.1/2 【解析】如图为圆锥及其内切球的正视图，不失一般性，设圆锥底面圆半径为1，母线长为L ，内切球半径为R ，由相似关系，,1SO RL = ()221L R R L-+∴=，经整理得：211L R L -=+，故内切球表面积为211441L S R L ππ-==⋅+，圆锥的表面积为()21212S L L πππ=+⋅=+,()()()122414414821141L S S L L L -∴==≤=+-++-. 当且仅当L=3时取等.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.【解析】（1）证明：因为BC ∥AD ，BC ⊄平面PAD ．AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ．又因为平面PBC ∩平面PAD ＝ι，所以BC ∥ι （6分）（2）平行．如图，取PD 的中点E ，连接AE 、NE ， ∵N 是PC 的中点，E 是PD 的中点 ∴NE ∥CD ，且NE，∵CD ∥AB ，M 是AB 的中点∴NE ∥AM 且NE ＝AM ．所以四边形AMNE 为平行四边形，所以MN ∥AE ．又MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以MN ∥平面PAD ．（10分）18.【解析】证明：⑴在APC ∆中，因为,E F 分别是,PA AC 的中点，所以EF ∥PC ，又PC ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PBC ；⑵ 因为AB PB =，且点E 是PA 的中点，所以PA ⊥BE ；又PA PC ⊥，EF ∥PC ，所以PA EF ⊥，为BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，BE EF E ⋂=，PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面BEF .19.【解析】（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，连接PO 、EO ，因为PBD △为等边三角形，所以PO BD ⊥，因为底面ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，因为AC PO O =，所以BD ⊥平面PAC ，所以BD OE ⊥，因为平面EBD ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，因为E 为PC 中点，所以PA OE ∥，则PA ⊥平面ABCD ．（Ⅱ）因为2AB =，所以22BD =，22PD =，由（Ⅰ）知PA AB ⊥，得2AB AD PA ===，所以11142223323P ABD ABDV SPA -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，又E 为PC 的中点，所以11122223P BED E BPD C BPD P BCD P ABD V V V V V -----==⨯=⨯=⨯=． 20.【解析】证明：（1）连结A 1B ，交AB 1于O ，连结OD 1， ∵在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1 是A 1C 1中点，∴OD 1∥BC 1，∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1．（2）∵在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1中点， ∴BD ∥B 1D 1，∵BD ⊂平面AB 1D 1，B 1D 1⊂平面AB 1D 1， ∴BD ∥平面AB 1D 1，又BC 1∥平面AB 1D 1，BD ∩BC 1＝B ， BD 、BC 1⊂平面C 1BD ， ∴平面AB 1D 1∥平面C 1BD ．21.【解析】证明：（1）如图所示，取DA 的中点G ，连接FG ，GE ．∵F 为AC 的中点，∴GF ∥DC ，且GFDC ．又DC ∥BE ，CD ＝2BE ＝4，∴EB ∥GF ，且EB ＝GF ， ∴四边形BFGE 是平行四边形，∴BF ∥EG ． ∵EG ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，∴BF ∥平面ADE ．（2）取DE 的中点H ，连接AH ，CH ．∵△ADE 是边长为2的等边三角形， ∴AH ⊥DE ，且AH．在△DHC 中，DH ＝1，DC ＝4，∠HDC ＝60°根据余弦定理可得HC 2＝DH 2+DC 2﹣2DH •DCcos60°＝12+42﹣2×1×413，即HC．在△AHC 中，AH，HC，AC ＝4．所以AC 2＝AH 2+HC 2，即AH⊥HC ．因为AH ⊥DE ，AH ⊥HC ，且DE ⊂平面BCDE ，HC ⊂平面BCDE ，DE ∩HC ＝H ， ∴AH ⊥平面BCDE ．又AH ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCDE ． 22【解析】（1）证明：由SD ⊥面SAB ，AB ⊂面SAB ，11 所以SD ⊥AB ，又AB ∥CD ，所以CD ⊥SD ；（2）取SA 中点N ，连接ND ，NM ，则NM ∥AB ，且MN 12AB DC ==，AB ∥CD ，所以NMCD 是平行四边形，ND ∥MC ，且ND ⊂平面SAD ，MC ⊄平面SAD ，所以CM ∥面SAD ；（3）V S ﹣ABCD ：V S ﹣ABD ＝S ABCD ：S △ABD ＝3：2，过D 作DH ⊥AB ，交于H ，由题意得，BD ＝AD 2125+=在Rt △DSA ，Rt △DSB 中，SA ＝SB ()251=-=2．所以，133S ABD D SAB ABS V V DS S --==⋅⋅=，四棱锥S ﹣ABCD 的体积为：3332=．。

立体几何小题精选

立体几何小题精选
1. 一条铁链上有10个环，每个环都可以通过一根木棍穿过，
每根木棍能穿过的环数不限。

现在，你需要将这10个环连接
起来，使得链条成为一个闭环。

请问，最少需要几根木棍？
答案：最少需要9根木棍。

首先可以将第一个环穿上一根木棍，然后将这根木棍的另一端穿过第二个环，依此类推，直到第九个环。

然后将第九个环和第十个环通过第一根木棍连接起来，形成闭环。

2. 一个长方体的边长为2cm，从这个长方体的一个角剪去一个小立方体，边长为1cm。

请问，剩下的立方体体积是多少？
答案：剩下的立方体体积为7cm³。

原长方体的体积为8cm³，
剪去的小立方体体积为1cm³，所以剩下的立方体体积为8cm³- 1cm³ = 7cm³。

3. 在一个正方体的八个顶点上贴上八个相等的小立方体，八个小立方体的底面都与正方体的底面相切，顶面都与正方体的顶面相切。

请问，这八个小立方体的体积之和等于正方体的体积的多少倍？
答案：这八个小立方体的体积之和等于正方体体积的4倍。

正方体的体积为边长的立方，假设正方体边长为1，那么正方体
的体积为1³ = 1。

而每个小立方体的体积为 (1/2)³ = 1/8，所以
八个小立方体的体积之和为 8 × (1/8) = 1。

所以这八个小立方
体的体积之和等于正方体的体积的4倍。

高级中学立体几何练习进步题(根据历年高考题改编)

立体几何复习精选一．选择10 1模5．已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件三．大题18．如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=o，45BDC ∠=o，ADP BAD △∽△．（1）求线段PD 的长；（2）若11PCR=，求三棱锥P ABC-的体积．CPAB图5D09 1模如图4，A A 1是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点， 12AA AB ==．（1）求证：BC ⊥平面AC A 1；（2）求三棱锥1A ABC -的体积的最大值．18在长方体1111112,ABCD A B C D AB BC A C -==中，过、、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为403。

（1）证明：直线1A B ∥平面11CDD C ; （2）求棱1A A 的长;（3）求经过11A C 、、B 、D 四点的球的表面积。

10 1模ABCD E图517．（本小题满分14分）如图6，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且3AE =，6AB =．（1）求证：AB ⊥平面ADE ；（2）求凸多面体ABCDE 的体积．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ．（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（2）求点O 到平面ABM 的距离．B18．解：（1）BD Q 是圆的直径90BAD ∴∠=o，又ADP BAD △∽△，AD DP BA AD ∴=，22234(sin 60)431(sin 30)22R AD BD DP R BA BD R ⨯====⨯o o；（2）在Rt BCD △中，cos 452CD BD R ==o2222229211PD CD R R R PC +=+==QPD CD ∴⊥，又90PDA ∠=o PD ∴⊥底面ABCD211321231sin(6045)22222224ABC S AB BC R R R ⎛⎫+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭o o g g △ 三棱锥P ABC -的体积为2311313133344P ABC ABC V S PD R R R -++===g g g g △（1）证明：∵C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，且AB 为底面圆的直径，∴BC AC ⊥． …… 2分 ∵1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1BC AA ⊥. …… 4分 ∵⊂=11,AA A AC AA I 平面AC A 1,⊂AC 平面AC A 1, ∴BC ⊥平面1A AC ． …… 6分（2）解法1:设AC x =,在Rt △ABC 中，2224BC AB AC x =--0＜x ＜2)，故111111332A ABC ABC V S AA AC BC AA -∆=⋅=⨯⋅⋅2143x x =-0＜x ＜2),即1222221114(4)(2)4333A ABC V x x x x x -=-=---+ ∵202,04x x <<<<,∴当22x =，即2x 1A ABC -的体积的最大值为32．解法2: 在Rt △ABC 中，4222==+AB BC AC , BC AC A A A A S V ABC ABC A ⨯⨯⨯⨯=⋅=-213131111∆ BC AC ⨯⨯=312312AB ⨯= 32=. 当且仅当BC AC =时等号成立，此时2==BC AC ∴三棱锥ABC A -1的体积的最大值为32.（1）证法1：如图，连结1D C ，∵1111ABCD A B C D -是长方体， ∴11A D BC P 且11A D BC =．∴四边形11A BCD 是平行四边形． ∴11A B D C P ．∵1A B ⊄平面11CDD C ，1D C ⊂平面11CDD C ，∴1A B P 平面11CDD C ．（2）解：设1A A h =，∵几何体111ABCD AC D -的体积为403， ∴1111111111403ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=即11114033ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=，即11402222323h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得4h =．∴1A A 的长为4．（3）如图，连结1D B ，设1D B 的中点为O ，连11OA OC OD ，，，∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴11A D ⊥平面1A AB ． ∵1A B ⊂平面1A AB ，∴11A D ⊥1A B ．∴1112OA D B =．同理1112OD OC D B ==． ∴11OA OD OC OB ===．∴经过1A ，1C ，B ，D 四点的球的球心为点O ．∵2222222111124224D B A D A A AB =++=++=．∴()2221144242D B S OB D B ππππ⎛⎫=⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭球．故经过1A ，1C ，B ，D 四点的球的表面积为24π． 10-11）证明：∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AE ⊥CD ．在正方形ABCD 中，CD AD ⊥， ∵AD AE A =I ，∴CD ⊥平面ADE ． ∵AB CD P ， ∴AB ⊥平面ADE ．A BCD E FABCDE最后：（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.（3）因为O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M ，则|DM|就是D 点到平面ABM 距离.因为在Rt △PAD 中，4PA AD ==，PD AM ⊥，所以M 为PD 中点，22DM =，则O 点到平面ABM 的距离等于2。

高中数学立体几何小题100题(含答案与解析)

立体几何小题100例一、选择题1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（）A ．5B ．4C ．42．5【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面11AA D D ,2244()52PE =+=选D考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,217BD cm CD cm ==，则这个二面角的度数为（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 【答案】B 【解析】试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,BD AC θ<>=，因为CD DB BA AC =++，所以22222()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅CA DB而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ⋅=⋅=所以2222||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-⋅即222417468286cos θ⨯=++-⨯⨯所以1cos 2θ=，而[0,]θπ∈，所以60θ=︒，故选B. 考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是（）112222侧视图俯视图主视图A ．343cmB ．383cmC ．33cmD ．34cm【答案】B ．【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积382231312=⨯⨯==Sh V ．考点：空间几何体的体积计算．4．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（）【答案】A 【解析】试题分析：设AC 与BD 交于点O ,连接OP .易证得BD ⊥面11ACC A ,从而可得BD OP ⊥.设正方体边长为1,在1Rt ACC ∆中126cos 33C AC ∠==.在AOP ∆中 22OA =,设(),03AP x x =≤≤,由余弦定理可得2222226231222362OP x x x x ⎛⎫=+-⋅⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,所以223162OP x x =-+.所以()22231262f x x x =-+.故选A. 考点：1线面垂直,线线垂直;2函数图象.5．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1， ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）当且仅当x=12时，四边形MENF 的面积最小；（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；（4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数；以上命题中假命题．．．的序号为（） A ．（1）（4） B ．（2） C ．（3） D ．（3）（4）【答案】C 【解析】试题分析：（1）由于AC EF //，B B AC BD AC '⊥⊥,，则D D B B ''⊥平面AC ，则D D B B EF ''⊥平面，又因为EMFN EF 平面⊂，则平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）由于四边形MENF 为菱形，MN EF S MENF ⋅=21，2=EF ，要使四边形MENF 的面积最小，只需MN 最小，则当且仅当21=x 时，四边形MENF 的面积最小；（3）因为1)21(2+-=x MF ，1)21(4)(2+-=x x f ，)(x f 在]1,0[上不是单调函数；（4）NE C F EC M F MENF C V V V '-'--'+=，ME C S '∆=41121=⋅'E C ，F 到平面ME C '的距离为1，1214131=⋅='-ME C F V ，又41121=⋅'⋅='∆E C S NE C ，1214131=⋅='-NE C F V ，61)(=x h 为常函数.故选（3）考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（）（A）4 （B ）4 （C ）4 （D ）34【答案】D. 【解析】试题分析：连接B A 1；11//CC AA ,AB A 1∠∴是异面直线AB 与1CC 所成的角或其补角；在1ADA Rt ∆中，设11=AA ，则21,231==D A AD ；在1BDA Rt ∆中，2121=B A ；在1ABA ∆中，431122111cos 1=⨯⨯-+=∠AB A ；即面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为34. 考点：异面直线所成的角.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A ．π312B ．π12C ．π34D ．π3 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D. 考点：由三视图求外接球的表面积.8．如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是（）A ．11DC D P ⊥B ．平面11D A P ⊥平面1A APC ．1APD ∠的最大值为90 D ．1AP PD +22+ 【答案】C 【解析】试题分析：111DC D A ⊥ ，11DC B A ⊥，1111A B A D A = ，⊥∴1DC 平面11BCD A ，⊂P D 1平面11BCD A 因此P D DC 11⊥，A 正确；由于⊥11A D 平面11ABB A ，⊂11A D 平面P A D 11，故平面⊥P A D 11平面AP A 1 故B 正确，当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，C 错；将面B AA 1与面11BCD A 沿B A 1展成平面图形，正视图侧视图俯视图线段1AD 即为1PD AP +的最小值，利用余弦定理解221+=AD ，故D 正确，故答案为C ．考点：棱柱的结构特征． 9．下列命题中，错误的是（）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两条直线不一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行于平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线【答案】B 【解析】试题分析: 由直线与平面的位置关系右知A 正确;平行于同一个平面的两条直线可以相交、平行或异面，故B 错，所以选B.考点:直线、平面平行与垂直的判定与性质.10．已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）【答案】A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图11．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC ，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4．设其外接球的球心为O ，O 点必在高线PE 上，外接球半径为R ，则在直角三角形BOE 中，BO 2=OE 2+BE 2=（PE-EO ）2+BE 2，即R 2=（4-R ）2+（32）2，解得：R=174，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力12．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）【答案】C 【解析】试题分析：因为37411>，所以1A E 延长交11D C 于F ，过F 作FM 垂直DC 于.M 在矩形1AA FM 中分析反射情况：由于35105AM =>，第二次反射点为1E 在线段AM 上，此时153E M =,第三次反射点为2E 在线段FM 上，此时24E M =,第四次反射点为3E 在线段1AF 上,由图可知，选C.考点：空间想象能力13．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r , 则2286862r r r -+-+⇒=,故选B. 考点：三视图内切圆球三棱柱14．已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 A ．14 B ．24 C ．34 D ．12【答案】B. 【解析】试题分析：如图作BE β⊥于E ，连结AE ，过A 作AG ∥CD ，作EG AG ⊥于G ，连结BG ，则.BG AG ⊥设2AB a =．在ABE ∆中，60,90,2,.BAE AEB AB a AE a ∠=︒∠=︒=∴=在Rt AEG ∆中，29045,90,cos 45.2GAE CAG AGE AG a a ∠=︒-∠=︒∠=︒∴=︒=在Rt ABG∆中，222cos 24AG BAG AB a ∠===∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24，故选B ．βαElBDACG考点：1.三垂线定理及其逆定理；2. 空间角（异面直线所成角）的计算．15．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ∆，所以21=S ，设D 在平面yoz 、zox 平面上的投影分别为2D 、1D ，则ABC D -在平面yoz 、zox 上的投影分别为2OCD ∆、1OAD ∆，因为)2,1,0(1D ，)2,0,1(2D ，所以212=-S S ，故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.16．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（） A ．13B 523 D ．23【答案】B【解析】试题分析：解：因为90,DPE DPF ∠=∠=所以,DP PE DP PF ⊥⊥又因为PE ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,且PE PF P =,所以DP ⊥平面PEF在PEF ∆中，22223151,,1222PE PF EF EB BF ⎛⎫===+=+= ⎪⎝⎭所以222351222cos 33212EPF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,225sin 133EPF ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭ 所以11355sin 122234PEF S PE PF EPF ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 115523346PEF P DEF D PEF V V DP S ∆--==⋅⋅=⨯⨯=三棱锥三棱锥所以应选B.考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的体积.17．高为的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离．解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为：=故选A点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．18．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2aB ．5aC ．aD ．3a【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式2222cos EF d m n mn θ=++± ，对于本题中，d a =，m a =，2n =，60θ=，故()222222cos 602CD a a a a a a =++-⋅⋅⋅=．考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．19．长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则对角线的长是（）．Ａ．14 B ．4 C ．32 D ．23【答案】B【解析】试题分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度．考点：长方体的结构特征，面积和棱长的关系.20．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ , 由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF 与面MPQ 不垂直，所以选项C 是正确的；因为//EF l ，M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l 是唯一的，故选项D 不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．21．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D【解析】试题分析：由于',A G DE FG DE ⊥⊥．所以DE ⊥平面'A FG ．经过点'A 作平面ABC 的垂线垂足在AF上．所以A 选项正确．由A 可知B 选项正确．当平面'A DE 垂直于平面BCDE 时，三棱锥EFD A -'的体积最大，所以C 正确．因为BD EF ，设2AC a =．所以'EF A E a ==，当'2A F a =时，32'(')2a A G GF A G GF a <+==．所以异面直线E A '与BD 可能垂直．所以D 选项不正确．考点：1．线面位置关系．2．面面的位置关系．3．体积公式．4．异面直线所成的角．5．空间想象力．22．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ ,由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；EF l，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l是唯一的，故选因为//项D不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．23．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为，选A．24．如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.则棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值是（）A. 2:1B. 1:1C. 1:2D. 1:3【答案】C【解析】设AB ＝a.由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝.易证PQ ⊥面DCQ ，而PQ ＝，△DCQ 的面积为，所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1:1，选C.25．正四面体ABCD ，线段AB //平面α，E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，则线段AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是（）A ． [0，22]B ．[22，1]C ．[21，1] D ．[21，22] 【答案】B【解析】试题分析：如图，取AC 中点为G ，结合已知得GF //AB ，则线段AB 、EF 在平面α上的射影所成角等于GF 与EF 在平面α上的射影所成角，在正四面体中，AB ⊥CD ，又GE //CD ，所以GE ⊥GF,所以222GF GE EF +=，当四面体绕AB 转动时，因为GF //平面α，GE 与GF 的垂直性保持不变，显然，当CD 与平面α垂直时，GE 在平面上的射影长最短为0，此时EF 在平面α上的射影11F E 的长取得最小值21，当CD 与平面α平行时，GE 在平面上的射影长最长为21，11F E 取得最大值22，所以射影11F E 长的取值范围是 [21，22]，而GF 在平面α上的射影长为定值21，所以AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是[22，1].故选B 考点：1线面平行；2线面垂直。

立体练习题和答案

立体练习题和答案立体几何是高中数学中的一个重要分支，它涉及到空间中的点、线、面以及它们之间的关系。

以下是一些立体练习题以及相应的答案，供学生练习和参考。

练习题1：空间直线与平面的位置关系题目：在空间直角坐标系中，直线l1过点A(1, 2, 3)且与向量\( \vec{a} = (4, -1, 2) \)平行，直线l2过点B(-1, 1, 0)且与向量\( \vec{b} = (1, 2, -1) \)平行。

求证l1与l2平行。

答案：首先，我们可以写出直线l1和l2的参数方程。

对于直线l1，参数方程为：\[ x = 1 + 4t, \quad y = 2 - t, \quad z = 3 + 2t \]对于直线l2，参数方程为：\[ x = -1 + t, \quad y = 1 + 2t, \quad z = -t \]由于直线l1与向量\( \vec{a} \)平行，直线l2与向量\( \vec{b} \)平行，我们可以比较它们的向量方向。

直线l1的方向向量为\( \vec{a} \)，直线l2的方向向量为\( \vec{b} \)。

由于\( \vec{a} = 4\vec{b} \)，这表明l1和l2的方向向量是成比例的，因此l1与l2平行。

练习题2：空间多面体的体积题目：一个正四面体的顶点坐标分别为A(1, 0, 0)，B(-1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，D(0, -1, √3)。

求此正四面体的体积。

答案：首先，我们可以计算出正四面体的边长。

由于A和B的坐标只在一个轴上不同，它们之间的距离是2。

同理，C和D，以及B和D之间的距离也是2。

接下来，我们可以利用四面体的高来计算体积。

高h可以通过向量\( \vec{AB} \)和\( \vec{CD} \)的点积来求得，因为\( \vec{AB} \)和\( \vec{CD} \)垂直。

计算得到：\[ h = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CD}|}{|\vec{AB}|} =\frac{|-1 - 0 + 0 - 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \sqrt{3} \]正四面体的体积V可以通过公式V = \(\frac{1}{3}\) * 底面积 * 高来计算。

突破立体几何题的难题的高质量练习题

突破立体几何题的难题的高质量练习题立体几何是数学中的一个重要分支，涉及到空间中各种几何形状的计算和分析。

解决立体几何题目是许多学生的难点，但通过高质量的练习题，可以帮助学生突破这一难题。

本文将提供一些高质量的立体几何练习题，旨在帮助学生巩固理论知识并提高解题能力。

练习题一：体积计算1. 一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm和5cm，求其体积。

2. 一个圆柱体的高为6cm，底面积为12π cm²，求其体积。

3. 一个球的半径为7cm，求其体积。

4. 一个圆锥的高为8cm，底面积为16π cm²，求其体积。

练习题二：表面积计算1. 一个正方体的边长为3cm，求其表面积。

2. 一个圆柱体的高为5cm，底面半径为2cm，求其表面积。

3. 一个球的半径为10cm，求其表面积。

4. 一个圆锥的高为12cm，底面半径为3cm，求其表面积。

练习题三：相交关系计算1. 一个立方体的边长为6cm，一个正方体的边长为4cm。

问这两个立体体积之比是多少？2. 一个圆柱体的高为8cm，底面半径为3cm，一个球的半径为5cm。

问这两个立体表面积之差是多少？3. 一个正方体的边长为2cm，一个球的半径为4cm。

问这两个立体体积之和是多少？4. 一个圆锥的高为10cm，底面半径为4cm，一个正方体的边长为6cm。

问这两个立体表面积之和是多少？练习题四：立体体积比较1. 一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm和5cm，一个正方体的边长为4cm，哪个立体的体积更大？2. 一个圆柱体的高为6cm，底面半径为3cm，一个球的半径为5cm，哪个立体的体积更大？3. 一个长方体的长、宽、高分别为6cm、8cm和10cm，一个圆柱体的高为8cm，底面半径为3cm，哪个立体的体积更大？4. 一个球的半径为7cm，一个圆锥的高为8cm，底面半径为4cm，哪个立体的体积更大？通过上述练习题，学生可以全面巩固立体几何的理论知识，提升解题能力。

立体几何小题练习进步

，从这三个集合中各取一个元素构成空间直6．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1,O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A 的三个面相切，球O2 与正方体共顶点B1 的三个面相切,则两球在正方体的面AA1C1C 上4C.32D.3cm ），则该棱锥的体积是8D．3角坐标系上的坐标，A.6B.32则确定的不同点的个数为（C.33D.34的正投影是（）5．已知集合8 3是两个不同的平面，则下面四个命题中错误．．的是（）． A ．若 a b ， a ，b，则 b// B ．若 ab ， a，b，则D ．若 a/ / ，，则 a8．在正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， M 是棱DD 1的中点，点 O 为底面 ABCD 的中心， P 为棱 A 1B 1上任一点，则异面直线 OP 与 AM 所成的角的大小为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120 °9 ．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84 ，则圆台较小底面的半径为（）A. 7 B . 6 C . 5 D. 310 ．在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ ABC=60 O，将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD=1 ，则三11 ．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（A ．37．设 a ，b 是两条不同的直线， C ．若 a，则 a// 或 a棱锥 B-ACD 的体积为为（）2 A. 1 B. 2 C.12126D.B ．C．6 2 2 6 D．6 2 212 ．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）.8313 ．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（14 ．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1 l2，l2//l3，定正确的是（）A．l1 l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定15 ．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形A）18 3 （B）36 3 （C）12 3D）24 3A．16B．48A.B. 3l3 l4 ，则下列结论一B．l1//l2则该几何体的表面C ． 60D ．9616 ．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（17 ．利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；A ．若m n,n ，则 mB ．若 m//， // ，则 m//C．若m,n//m ，则 nD ．若 m// ， n// ，则 m// n20 ．（理科）异面直线 a ，b 成 80 °角，P 为 a ，b 外的一个定点，若过 P 有且仅有 2 条直线与 a ，b 所成的角相等且等于α，则角α属于集合（）A． {α|40 °< α<50 °} B ． {α|0 °< α<40 °}C ．{α|40 °< α<90 °}D ．{α|50 ° < α<90 °}21 ．设 b,c 表示两条直线， ,表示两个平面，则下列结论正确的是A ．若b ,c ∥ 则 b ∥cB．若b,b ∥c 则c ∥C．若c ∥ , 则 cD．若c ∥ ,c则以上结论正确的是（）A．①② B ． ① C ． ③④ D． ①②③④rrrr18 ．已知向量 a = (s 1,0, 2s)，b= (6,2t1,2)，a/ /b ，则 s 与 t 的值分别为（）A．11 ,B ． 5 , 2C ．1, 1D5 , 252 5219 ．设 m,n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）C ． 25D ． 27②正方形的直观图一定是菱形；④菱形的直观图一定是菱形22 ．已知两条不同的直线l,m 和两个不同的平面, ，有如下命题：①若l,m,l / / ,m/ /，则// ；②若l,l / /,m，则l / /m；③若,l，则l // ，其中正确命题的个数是（）A．3B．2C．1D．023 ．半径为2的球面上冇P,M,N,R 四点，且PM,PN,PR 两两垂直，则的最大值为A. 8B. 12C. 16D. 2 424 ．四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）Ａ．29 B ．5 C．13 D．2 225 ．如图所示，某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形，俯视图是正方形，则该几何体的外接球的体积是（）A. B.26 ．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（）27 ．某长方体的三视图如右图，长度为10 的体对角线在正视图中的投影长度为6 ，在侧视图中的投影长度为5 ，则该长方体的全面积为( )正视图侧视图俯视图A. 3 5 2B. 6 5 4C.6D.10uuur uuur 28 ．设O－ABC是四面体，G1是△ABC 的重心，G是OG 1上的一点，且OG ＝3GG1，若OG ＝x OAuuru uuur＋y OB ＋z OC ，则(x，y，z)为( )A. ( 14 , 14 , 14)B. (43,43,43)4 4 4 4 4 4C. ( 13 , 31 , 13 )D. (32, 32,32)3 3 3 3 3 329 ．根据下列三视图(如下图所示)，则它的体积是(是三个不重合的平面，m,n 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是(A．3A．a B．3aaC． D ．34a330 ．设，则B．若m ，则m nC．若m ，则m ∥D．若m ,n ,则m∥n31 ．在矩形从CD 中，从= ,BC = ，且矩形从CD 的顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若3四棱锥O -ABCD 的体积为8 ，则球O 的半径R=(A)3 (B)37 ．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )(C) (D)432 ．如图( 1 )所示，长方体 AC 1沿截面 A 1C 1MN 截得几何体 DMN - D 1 A 1C 1 ，它的正视图、侧视图均为图( 2 )所示的直角梯形，则该几何体的表面积为(33 ．某几何体的正视图与俯视图如图所示，侧视图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 ( )A.20B.4 C ．6 D ．4 3334 ．设平面、，直线 a 、b ，a ，b，则“ a// ，b// ”是“ // ”的( )35 ．某几何体的三视图如图所示 ,它的体积为 ((A)72 π (B)48 π (C)30 π (D)24 π36 ．长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是( )A ．20 2B ．25 2C ．200D ． 5029+3 15A ．B ．25+3 15C ．29+3 3325+3 33 D ．2A.充分不必要条件C.充要条件 B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A．28 6 5 B．60 12 5C．56 12 5 D．30 6 538 ．（2015 秋? 河池期末）下列结论判断正确的是（）A ．任意三点确定一个平面B．任意四点确定一个平面C．三条平行直线最多确定一个平面D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB 与CC1异面39 ．（理科）正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E为 A1C1的中点，则直线 CE垂直于（）A、直线 ACB、直线 A1AC、直线 A1D1 D 、直线 B1D140 ．已知球的半径为R，则半球的最大内接正方体的边长为（）2 A．R B．6 R6 C．RD ．( 2 1)R22341 ．在三棱锥P ABC 中，侧面PAB 、侧面PAC 、侧PBC 两两互相垂直，且PA:PB:PC 1:2:3 ，设三棱锥P ABC 的体积为V1 ，三棱锥P ABC 的外接球的体积为V2，则V2（）7 14 11A ．B．337 7 8C． D ．3342 ．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积为AB37 ．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )46 ．已知不同直线 m 、 n 和不同平面，给出下列命题：45 ．点 A ，B ，C ，的表面积为A ． 7 B ．14D 均在同一球面上，且 AB ，AC ，AD 两两垂直，且 AB 1， AD 3 ，则该球7C ． 2D ． 7 141 24 A. B. C. 1 D. 33 3 43 ．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径 .“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V ，求其直径 d 的一个近似公式d ( V )3 ，人们还用过一些类似的近似公式，根据9精确的一个是( )16 13 A ． d ( V)39 3.14159L 判断，下列近似公式中最 B ． d (1211V)3C ． d (300V)3 157 1D ． d (2V)344 ．如图，在正三棱锥 A —BCD 中，点 E 、F 分别是 AB 、BC 的中点， EF DE .若BC a ，则 A — BCD 的体积为23 A ． a 24B ．23 a 12 33 C ．a 24 33 D ． a 12俯视图47 ．设和是两个不重合的平面，给出下列命题：①若外一条直线l 与内一条直线平行，则l //②若内两条相交直线分别平行于内的两条直线，则//③设I l ，若内有一条直线垂直于l ，则；④若直线l 与平面内的无数条直线垂直,则l .上面的命题中，真命题的序号是（）A. ①③B. ②④C. ①②D. ③④48 ．用一些棱长是1 cm 的小正方体堆放成一个几何体，其正视图和俯视图如图所示，则这个几何体的体积最多是（）49 ．已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是．（填所有真命题的序号）①若l∥α，l∥β，则α∥β ② 若α⊥β，l∥α，则l⊥β③若l∥α，α∥β，则l ∥β④ 若l⊥α，l// β，则α⊥βA．AC⊥BEB ．EF∥平面 ABCDC．三棱锥 A-BEF 的体积为定值D ．异面直线 AE， BF所成的角为定值// m//n mm//②m//n//③nm,n 异面④m// m 其中错误的命题有（）个A．1 B．2 C．3 D ．4A．6 cm B．7 cm 3C．8 cm 3D．9 cm50 ．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1 上有两个动点E，F 且EF＝则下列结论中错误的是（）．51 ．如右图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为52 ．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h ＝__________ cm.54．已知A(2, 2,4) , B(2, 5,1)，C(1, 4,1) ，则直线AB与直线BC的夹角为 _____________________ 55 ．侧棱长为2 3的正三棱锥V—ABC中，AVB BVC CVA 40o，过A作截面AEF，则截面三角形AEF 周长的最小值是 __________________56 ．已知某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，其中正(主)视图、侧(左)视图都是等腰直角三角形，则这个几何体的体积是.53 ．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是2，正视图、侧视图57 ．（本小题满分12 分）如图甲，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，，点M、N 分别在AB、CD 上，且MN ⊥ AB ，MC ⊥CB，BC ＝2，MB＝4，现将梯形ABCD 沿MN 折起，使平面AMND 与平面MNCB 垂直（如图乙）2）当DN 的长为何值时，二面角D －BC－N 的大小为6？58 ．已知直线l1 : y ax 2a 与直线l2 :ay （2a 1）x a ,若l1/ /l2 ，则a= ____________________________ ；若l1 l2则a = ___________________________ ．_159 ．如图，等腰梯形ABCD中, AB AD DC BC 1，现将三角形ACD 沿AC 向上2折起，满足平面ABC 平面ACD ，则三棱锥D ABC 的外接球的表面积为 _____________________ ．60 ．某四棱锥的三视图如右图所示，则该四棱锥的体积为1）求证：AB∥平面DNC ；参考答案1．A【解析】可以是一个正方体上面一个球，也可以是一个圆柱上面一个球．2．C【解析】试题分析：由于根据三视图的特点可知，该几何体是一个简单的组合体，上面是四棱锥，下面是圆柱体，且棱锥的底面为正方形，边长为2，高为3 ，圆柱体的底面的半径为1，高位2，因此可知其体积为V 2 3 2 2 ，故选A.33考点：本试题考查了空间几何体体积的知识。

立体几何专项训练

立体几何专项训练
立体几何是数学领域中的一个重要分支，主要研究三维空间中图形的性质、位置关系以及度量等问题。

为了加深对立体几何的理解，我们需要进行一系列的专项训练。

以下是一些关于立体几何的专项训练题目，旨在帮助学生提高解题能力和空间想象力。

一、基础训练
已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求其表面积和体积。

已知一个正方体的棱长为a，求其表面积和体积。

已知一个球的半径为r，求其表面积和体积。

二、进阶训练
已知一个长方体的三个面的面积分别为S1、S2、S3，求其体积。

已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，求其表面积和体积。

已知一个圆柱的底面半径为r，高为h，求其表面积和体积。

三、拓展训练
在一个正方体中，从一个顶点出发，沿着正方体的棱走，求最多能走过几条棱。

在一个正方体中，从一个顶点出发，沿着正方体的面走，求最多能走过几个面。

在一个球内，放入n个等大的小球，求这些小球的最大半径。

通过以上训练，可以帮助学生熟悉立体几何的基本概念和性质，提高解题能力和空间想象力。

同时，也可以引导学生深入思考，拓展思路，为后续的数学学习打下坚实的基础。

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