李亚普诺夫法稳定性分析

第3章李亚普诺夫法稳定性分析

第1节基本概念

1．系统的平衡状态

设系统的齐次状态方程为

x=

f

),

(t x

若存在状态e x，对所有t都满足0

),

x e

x

f

(=

=t

，则称e x为系统的平衡状态。

一个系统，不一定都存在平衡状态；如存在，也不一定唯一；多个平衡状态，可能连续，也可能孤立。一般只研究孤立平衡状

态。 一般地，0≠e x ，此时可通过平移变换e x x x =-使(,)x f x t =的平衡点0e x =。故一般只研究0=e x （原点）处的稳定性。 一般地，认为0t t =时刻扰动消失，此时系统初始状态为0e x x ≠。 2．系统的稳定性 系统受到扰动后其状态将偏离原平衡状态e x 。系统稳定性表示扰动消失后系统在平衡状态（原e x 或新e x ）下继续工作的能力。 稳定性是系统的一种内部属性，可采用齐次状态方程),(t x f x = 通过00≠x ，0t t ≥的自由运动进行研究。

稳定性是针对平衡点而言的。

对0≠A 的线性定常系统，只有一个平衡点=0e x ，平衡点的稳定性与系统稳定性是统一的。

对多平衡点系统，不同的平衡点可能具有不同的稳定性，不存在统一的系统稳定性问题，必须逐一分析各平衡点的稳定性。3．李亚普诺夫关于稳定性的定义

状态x到e x的距离（欧几里德范数）：

2/1

2

2

1

1

]

)

(

)

[(ne

n

e

e

x

x

x

x

x

x-

+

+

-

=

-

ε

≤

-e x

x称为e x的邻域（以e x为中心、ε为半径的超球体)

(ε

s

x∈）。

李亚普诺夫关于稳定性的定义：

对任意实数0

>

ε，总存在0

)

,

(

>

t

ε

δ

。当δ

<

-e x

x0时，系统),

(t x

f

x=

自0x出发的状态轨迹)(t x（

t

t≥）：

１）若满足ε

≤

-

∞

→

e

t

x

x

lim，称系统在e x处李亚普诺夫稳定；

２）若满足0

lim=

-

∞

→

e

t

x

x，称系统在e x处渐近稳定；

３）对任意0x

都满足0lim =-∞

→e t x x ，称系统在e x 处大范围渐近稳定； ４）如e x 不是李亚普诺夫稳定或渐近稳定的，则称其是不稳定的。

满足渐近稳定的最大范围称为吸引域。

大范围渐近稳定的必要条件是系统只有一个平衡点。 若0),(0>t εδ与0t 无关，称e x 是一致稳定的。

4、其他类型的稳定性定义

BIBO 稳定性，完全稳定性等。

第2节 李亚普诺夫第二法（直接法）稳定性定理

1．标量函数的定号性

设)(x V 为标量函数，且当0=x ，0)(≡x V 。若对任意Ω∈≠0x （原点附近）： 如0)(>x V （0)(

设n n R P ⨯∈，t P P =，则

x P x x V t =)(∑∑===n i n j j i ij x x p 11j i n j n i i j i ij n i i ii x x p x p ∑+∑==-

=>==,1,1122

称为二次型标量函数，)(x V 的定号性与P 的定号性相一致。

P 的定号性可有赛尔维斯特准则确定：

设),,2,1(n i i =∆为P 的各阶主子行列式，即

,111p =∆,,222112

112 p p p p =∆，P n =∆

则

若),,2,1(0n i i =>∆，则0>P ；

若)1,,2,1(0-=≥∆n i i ，0=∆n ，则0≥P ；

若,0<∆为奇数i ,0>∆为偶数i 则0

若,0≤∆为奇数i ,0≥∆为偶数i 0=∆n ，则0≤P 。

2．直接法稳定性定理 设对)

,(t x f x = （0>t ）的0=e x ，在其某邻域内存在0),(>t x V ，且其沿状态轨迹关于时间的导数为),(t x V

，则有 （1）若0),(>t x V

，e x 不稳定； （2）若0),(≤t x V

，e x 李亚普诺夫稳定； （3）若0),(

，或0),(≤t x V 但对e x x ≠∀),(t x V 不恒等于0，则e x 渐近稳定；且当∞→x 时∞→),(t x V ，则e x 大范围渐近稳定。

此时的),(t x V 称为李亚普诺夫函数，记为),(*t x V 。

说明：

（1）),(t x V 仅表示e x 某邻域内局部运动的稳定性。

（2）对非线性系统，没有构造),(*t x V 的通用的方法，这是李氏直接法应用的困难所在。

（3）对稳定的平衡点，也可能一时找不到),(*t x V ，找不到),(*

t x V 也不能据此判定其不稳定。 （4）对稳定的平衡点，其),(*t x V 不是唯一的。

（3）对物理系统，),(t x V 可以理解为能量函数，),(t x V

则表示能量沿状态轨迹的变化速率。对渐近稳定的e x ，在e x 处),(t x V 取极小值。对一般系统，),(t x V 可视为广义能量函数。

例：R-L 电路稳定性分析。取i x =，系统状态方程为x L

R x -= 。