镜像法1
第5讲：镜像法
2 2 s=⎡ ⎣ r + D − 2rD cos θ ⎤ ⎦
6.641 电磁场、电磁力和电磁运动 Markus Zahn 教授
第5讲 3/9
q ′2 ( R 2 + D 2 ) = q 2 ( b 2 + R 2 )
2 / RD / Rb + q′ 2 / cos / cos / θ = +q 2 / θ⇒
作用于球上的力
fX =
qq′ 4πε 0 ( D − b )
2
=
−q 2 R D ⎛ R2 ⎞ 4πε 0 ⎜ D − ⎟ D⎠ ⎝
q 4πε 0 D
2
=
4πε 0 ( D 2 − R 2 )
−q 2 RD
2
2. 绝缘球 [将另一个镜像电荷+q’=+qR/D 放到中心处] （零电荷）
Φ (r = R) =
0 0
6.641 电磁场、电磁力和电磁运动 Markus Zahn 教授
第5讲 4/9
Ⅲ. 演示4.7.1——架空导体在接地平面上感应的电荷
图4.7.2 架空导体在接地平面上的感应电荷 用探针测量。图中所示的分布是由（4.7.7） 预言的。
Hermann A.Haus和James R.Melcher赠送，经过允许。
1 2 1
2 2 2 ， s' = ⎡ ⎣b + r − 2rb cos θ ⎤ ⎦ 2 2 q − q′ ⎛ q ⎞ ⎛ q′ ⎞ Φ (r = R) = 0 ⇒ = ⇒⎜ ⎟ =⎜ ⎟ s s′ ⎝ s ⎠ ⎝ s′ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 q s′ = q′ s ⇒ q′ ⎡ ⎣ R + D − 2 RD cos θ ⎤ ⎦=q ⎡ ⎣b + R − 2 Rb cos θ ⎤ ⎦
镜像法1(中文)
这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此 称 为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。
依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原 来的边界条件。
关键：确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电 荷分布才有可能确定其镜像电荷。
(1)点电荷与无限大的导体平面
以一个镜像点电荷q代替边界的影响，使整个空间变 成
均匀的介电常数为的空间，则空间任一点P的电位
由q及q'共同产生，即
+ q q'
中= r 无限r'大导体平面的电位为零
电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分 完全相同。
电场线
等位线
体
* 根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等 于 导体表面上感应电荷的总电荷量。 * 上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因 为 在上半空间中，源及边界条件未变。
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜 像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须 引 入几个镜像电荷。
例如，夹角为n的导电劈需引入5个镜像电荷。
/g e :/ g
㊀/
/㊀ /㊉
兀 仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，
才可求出其镜像电荷。 为什么？
位于无限大的导体平面附近的线电荷，根据叠加 原理得知，同样可以应用镜像法求解。
.P/
•Pl
「Pl
电磁场课件 Part8--镜像法(1)
Topic # 8—镜像法(method ofimages)Part1n镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统n电轴~无限大接地导电平面系统的电场n电轴法 (广义镜像法)1n镜像法n定义The method of images is an analytical technique that involves replacing constantpotential surfaces with equivalent sources called image sources that generate the same fields.镜像法——用场域闭合边界外虚设的较简单的电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布以简化原问题的分析和计算。
场域闭合边界—一般为导体组成等位面2n镜像法n适用场合The conducting boundaries that can be modeled inthis way include infinite planes, spheres, infinitecylinders, and wedges.34n 点电荷~无限大的接地导板系统 n Background对于大地上方输电线、雷电形成的电场，可以典型化为最 基本的问题：无限大接地导体上方点电荷激发的电场问题+q2s DP (x,y,z )1s he 导板¥r 2 0j Ñ=5n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析—直接求解是否可能1. ? 不行，2. 已知场源分布，求3. 高斯定理？0 4 P qrj e = p E vd SE S · ò vv Ñ0 E S × 或 非单一媒质需要探索新的求解方法不通6n 点电荷~无限大的接地导板系统n 换一个角度考虑：考虑其边值问题20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 211221 10 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ7n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 12 |0S j = 0 | y n n E E e= = r r8n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 1 2 |0 S j = 0 | y n nE E e = = r r y =0的平面为等位面，且其电位为零9n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 22122210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 在正点电荷处取同样“大小”的面元S 2，可近似认为该 面元为等位面，于是：q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er10n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 比较边值问题一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场原问题22 0 () j Ñ= 在上半空间 1 220 ||=0S y j j = =0 |0t y E = = 22122 210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®®¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 21122110 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 二者完全一样（y =0平面对应导板表面）11n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 结论由唯一性定理可知，两者的解答 j =j 2注意适用区域：仅上半平面？为什么？计算导板上方的电场时，可以把导板上的感应电荷的影响 用一置于对称位置上的集中电荷等效由于引入的电荷位于原电荷对导板的镜像处—镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统 n计算模型—原问题De导体j = x1ryo(,,0)P x yq+h1213n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 计算模型—镜像法模型场中电场分布,等效于引入镜 像电荷q ，撤去 导板，整个空 间充满同一种 电介质的电场。
电动力学镜像法课件
03
理论框架完善
未来研究将进一步完善镜像法的理论框架，建立更严谨的数学和物理基
础，为解决复杂问题提供更有力的工具。
镜像法在其他领域的应用前景
光学领域
镜像法在光学领域有广泛的应用前景，如光子晶体、光子器件的 设计与模拟等。
生物医学工程
镜像法可用于模拟生物组织的电磁特性，为医学成像和诊断提供技 术支持。
镜像法在静电场中主要用于解决导体表面的电荷分布和电场分布问题。
详细描述
当一个带电体放置在导体附近时，导体表面的电荷分布会受到带电体的影响。通 过应用镜像法，可以计算出导体表面的电荷分布和电场分布，从而进一步分析带 电体与导体之间的相互作用。
镜像法在静磁场中的应用
总结词
镜像法在静磁场中主要用于解决磁力线和磁感应强度分布问题。
详细描述
电动力学在许多领域都有重要的应用。例如，无线通信依赖于电磁波在空间的传播，雷达通过发射电磁波并检测 其反射来探测目标，电子显微镜利用电磁场来控制电子束的传播和成像。此外，电动力学还在电力传输、电磁兼 容性、粒子加速器等领域有广泛应用。
03 镜像法在电动力学中的应用
镜像法在静电场中的应用
总结词
镜像法的计算步骤
确定原问题和镜像模型
根据实际问题，确定需要求解的原问 题和对应的镜像模型。
建立等效关系
根据镜像法的数学模型，建立镜像电 荷或镜像边界与原电荷或原边界之间 的等效关系。
求解等效问题
利用等效关系，求解等效的静电场或 静磁场问题。
计算结果分析
对计算结果进行分析，得出原问题的 解。
镜像法的计算实例
电动力学镜像法课件
目录
Contents
• 镜像法简介 • 电动力学基础 • 镜像法在电动力学中的应用 • 镜像法的计算方法 • 镜像法的优缺点分析 • 镜像法的发展前景
镜像法的原理及其应用
镜像法的原理及其应用1. 引言镜像法是一种重要的解决问题的方法，其原理基于对称性和等效性的思想。
本文将介绍镜像法的基本原理及其在不同领域的应用。
2. 镜像法的原理镜像法的基本原理是利用问题的对称性和等效性，在问题的解决过程中引入一个与原问题同构的镜像问题，通过求解镜像问题得到原问题的解。
镜像法的原理可以简单概括为以下步骤： 1. 找到问题的对称性或等效性，确定问题的镜像点、镜像面等； 2. 构造一个与原问题同构的镜像问题，即将原问题的几何形状、边界条件等通过对称性或等效性进行镜像变换； 3. 在求解镜像问题的过程中，得到了原问题的解； 4. 将镜像问题的解经过镜像变换得到原问题的解。
3. 镜像法的应用领域3.1 物理学在物理学领域中，镜像法常用于解决电磁场、光学、热传导等问题。
例如，在求解电磁场分布时，可以通过选取适当的镜像面，利用镜像法简化问题的求解过程。
在光学中，利用镜像法可以确定光的反射、折射等现象。
此外，热传导问题的求解中也可以应用镜像法。
3.2 工程学在工程学领域中，镜像法可以应用于结构力学、流体力学、电磁学等问题的求解。
例如，通过选择适当的镜像面，可以简化结构中的应力分析。
在流体力学中，利用镜像法可以确定流体的流动模式和流场分布。
而在电磁学中，镜像法常用于解决电磁场的边界条件问题。
3.3 生物学在生物学领域中，镜像法可以用于模拟和研究生物体的形态和行为。
例如，在昆虫研究中，利用镜像法可以分析昆虫的对称性和功能。
此外，镜像法还可以应用于研究生物体的运动和行为模式等方面。
3.4 数学镜像法在数学领域中有广泛的应用，特别是在几何学和微分方程的求解中。
例如，在几何学中，镜像法常用于求解对称形状的问题。
而在微分方程的求解中，通过引入镜像变量，可以将原方程转化为镜像方程，从而简化求解过程。
4. 镜像法的优缺点4.1 优点•镜像法能够将复杂的问题转化为对称的简化问题，简化了问题的求解过程；•镜像法的应用范围广泛，可以解决多个学科领域的问题；•镜像法的思想深入人心，具有普适性和可操作性。
镜像法原理
镜像法原理镜像法，又称镜像原理，是物理学中的一种重要原理，它在光学、电磁学、流体力学等领域都有着广泛的应用。
镜像法的基本原理是通过假想一个镜像，来简化问题的求解，从而使得问题的求解变得更加容易和直观。
镜像法的应用可以大大简化问题的求解过程，提高问题的解决效率。
下面我们将详细介绍镜像法的原理及其在不同领域的应用。
首先，我们来介绍镜像法在光学中的应用。
在光学中，镜像法被广泛应用于光学成像问题的求解。
例如，在平面镜成像问题中，我们可以通过假想一个虚拟的物体，将实际物体和虚拟物体关于镜面的位置进行对称，从而得到虚拟物体的像的位置。
这样一来，我们就可以利用镜像法来简化平面镜成像问题的求解过程，大大提高问题的求解效率。
其次，镜像法在电磁学中也有着重要的应用。
在电磁学中，镜像法被广泛应用于求解导体表面的电场分布问题。
通过假想一个虚拟的镜像电荷，将实际电荷和虚拟电荷关于导体表面进行对称，从而得到虚拟电荷在导体表面的电场分布。
这样一来，我们就可以利用镜像法来简化导体表面的电场分布问题的求解过程，提高问题的解决效率。
此外，镜像法还在流体力学中有着重要的应用。
在流体力学中，镜像法被广泛应用于求解流体与固体边界的流动问题。
通过假想一个虚拟的镜像流体，将实际流体和虚拟流体关于固体边界进行对称，从而得到虚拟流体在固体边界的流动情况。
这样一来，我们就可以利用镜像法来简化流体与固体边界的流动问题的求解过程，提高问题的解决效率。
总的来说，镜像法是一种非常重要的物理原理，它在光学、电磁学、流体力学等领域都有着广泛的应用。
通过假想一个镜像，镜像法可以简化问题的求解过程，提高问题的解决效率。
因此，掌握镜像法的原理及其在不同领域的应用对于物理学和工程学领域的学习和研究都具有着重要的意义。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解镜像法的原理及其应用。
镜像法
p v R
则区域2中任一点的电位为：
2
q q
4π 2 R
q q
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位的边界条件：
1
1
设想用镜像电荷 代替界面上极化 电荷的作用，并 使镜像电荷和点 电荷共同作用， 满足界面上的边
界条件。
当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
介质1中任一点的电位为：
1
q q
4π1R 4π1R
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
当待求区域为介质2所在区域时，
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。
q q 4R 4R
故对z=0平面上任意点有R R R0 :
于是，
q 4
1 R
1 R
q 4
q q 0 4 R0
1
x2 y2 (z h)2
电位的法向导数
n
s
f2 s
一、二类边界条件的 线性组合，即
n
s2
f4 s
电磁场
一、静电场边值问题及其分类
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 边值问题的分类----根据场域边界条件的不同
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值 s f1s
（第一类）
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 （第二类）
U0
O
ax
第3章 静电场及其边值问题的解法
镜像法1(双语)
image position, while the entire space becomes homogeneous with
permittivity , then the source of electric potential at any point P
will be due to the charges q and q',
We can also prove the claim by making use of the relationship between the density of the charge and the electric field intensity or the derivative of the electric potential on the conducting surface.
q 4π
r
q 4 π
r
Considering the electric potential of an infinite conducting plane is zero, we have q q.
The distribution of the electric field lines and the equipotential
（ 1 ） A point electric charge and an infinite conducting
plane
q
P r
Dielectric Conductor
P r
q
h
r Dielectric
h
Dielectric
q
The effect of the boundary is replaced by a point charge at the
镜像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
大学电磁场与电磁波第二章2.8镜像法
E
=
q 4πε0
1 (r2
er
−
R dr12
er1
+
R dr2 2
er2
)
不接地导体球面上的正负感应电荷的 绝对值等于镜像电荷 q′吗? 为什么？
图2.8.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图
补充题： 试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置?
图2.8.8 点电荷对导体球面的镜像
=
qh
(h
2
1 + x2 )1/
2
∞
0
= −q
2. 导体球面镜像 设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。
1) 边值问题：
∇2ϕ = 0 （除q点外的导体球外空间)
ϕ =0 r →∞
ϕ
=0
导球面
2) 设镜像电荷 − q′位于球内,球面上任一点电位为
ϕp
=q
4πε
r
− q' = 0
2
sin
θ
=
q'' 4πε2r
2
sin
θ
q + q' = q'' ε1 ε1 ε2 q − q'= q''
q' = ε1 − ε 2 q ε1 +ε2
和
q' ' = 2ε2 q ε1 +ε2
•ε1中的电场是由q与q' 共同产生，其有效区在上半空间，q'是等效替代极化电荷的
影响。
•ε 2中的电场是由 q'决' 定，其有效区在下半空间，q''是等效替代自由电荷与极化电荷
镜像法1习题解答
2.14 镜像法1习题解答1. 关于镜像法，下列陈述错误的是( )A. 镜像法的实质是以一个或多个位于场域边界外虚设的镜像电荷代替实际边界上未知的较为复杂的电荷分布B. 镜像电荷的引入必须维持原问题边界条件不变C. 镜像电荷的引入将原来具有边界的非均匀媒质空间变换成无限大均匀媒质的空间，其解答在整个无限大均匀媒质空间均成立D. 镜像法的理论基础是唯一性定理解析：本题考查对镜像法原理的理解，基本知识点习题难度：易镜像电荷的引入将原来具有边界的非均匀媒质空间变换成无限大均匀媒质的空间，其解答只在原来求解区域有效。
2. 在无限大接地导体平面两侧各有一点电荷1q 和2q ，与导体平面的距离均为d 。
若1q 所在区域的电位为1 ，2q 所在区域的电位为2 ，则下列陈述正确的是( )A. 110114πq r ，其中1r 为场点到1q 的距离 B. 11012114πq r r，其中1r 为场点到1q 的距离，2r 为场点到1q 的镜像电荷的距离 C. 1210102114π4πq q r r ，其中1r 为场点到1q 的距离，2r 为场点到2q 的距离 D. 11012114πq r r，其中1r 为场点到1q 的距离，2r 为场点到1q 的镜像电荷的距离 解析：本题考查无限大导体平面的镜像法习题难度：中无限大接地导体平面形成静电屏蔽，故两个电荷所形成的场互不影响。
11012114πq r r，其中1r 、2r 分别为场点到1q 和镜像电荷1q 的距离。
3. 如图所示，有一点电荷q 位于两个互相垂直的半无限大接地导体板所围成的直角内，它到两个平面的距离分别为a 和b ，应用镜像法分析点电荷所在区域的电位，则下列陈述正确的是( )A. 有一个点电荷，位于点N 处，电量为qB. 有两个点电荷，分别位于点M 和点N 处，电量均为qC. 有三个点电荷，分别位于点M 、点N 和点P 处，点M 和点P 处电量均为q ，点N 处电量为qD. 有三个点电荷，分别位于点M 、点N 和点P 处，点M 和点N 处电量均为q ，点P 处电量为q解析：本题考查无限大导体平面镜像法的应用习题难度：难移去导体1S ，将左半空间换成与第一象限相同的介质空间，为保证1S 处的边界条件不变，需在M 点处放置镜像电荷q ；移去导体2S ，将下半空间换成与第一象限相同的介质空间，为保证2S 处的边界条件不变，需在N 点处放置镜像电荷q ；M 点处的镜像电荷会破坏2S 的边界条件，P 点处的镜像电荷会破坏1S 的边界条件，因此还需在N 点处放置镜像电荷q ，以保证原边界条件均不变。
镜像法-高中物理竞赛讲义
与
是相似三角形，即
，于是球外任意一点的电位为
(4.4.3.6)
采用球坐标，取原点为球心 O 点，z 轴与 轴重合，则球外任一点
处
有
(4.4.3.7)
这样可求得电场 的分量为
(4.4.3.8)
r=a 时球面上的感应电荷密度1)
（1）点电荷对不接地、净电荷为零的导体球的镜像。 （2）点电荷对不接地、净电荷不为零的导体球的镜像。 （3）接地球形空腔内电荷的镜像
《镜像法》4，15
平行导线间单位长度电容： (4.4.2.10)
其中
小天线的镜像
与地面的小天线，长度为 l ，离地高度为 h 。 用位于地面下方 h 处的镜像小天线代替地面上的感应电荷，边界条件 维持不变。 与自由空间的天线比较，当天线离平面很近时，若天线与平面平行， 辐射功率为零，若天线与平面垂直，辐射功率增强。若天线与平面倾斜放置，则 辐射功率的变化与倾斜角度有关。具体辐射功率的计算请参看天线辐射（超链）， 此处仅给出思路和结论。
点电荷对相交接地平面的镜像
条件：两相交接地平面夹角为 镜像电荷：2n-1 个。
，n=1,2,3…
若两相交接地平面夹角不满足上述条件，则镜像电荷为无
穷多个。
点电荷对介质平面的镜像
图 4.4.5 点电荷对相交接地地面 的镜像
1 区和 2 区为不同介质，求解时要分区域考虑。
求解区 1 的场：在区 2 置镜像电荷 。求解区 2 的场：在区 1 置镜
像
与地面平行的均匀双线传输线， 半径为 a，离地高度为 h，导线间距离为 d，导线一带正电荷+ ，导线二带负电荷-
。
用位于地面下方 h 处的镜像双 导线代替地面上的感应电荷，边界条件维
电磁场镜像法
§18 镜像法一、镜像法1.定义:就是解静电场问题得一种间接方法,它巧妙地应用唯一性定理,使某些瞧来棘手得问题很容易地得到解决。
该方法就是把实际上分区均匀媒质瞧成就是均匀得,对于研究得场域用闭合边界处虚设得简单得电荷分布,代替实际边界上复杂得电荷分布来进行计算。
即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足得泊松方程,而就是在不改变求解区域电荷分布及边界条件得前提条件下,用假想得简单电荷分布(称为镜像电荷)来等效地取代导体面域(电介质分界面)上复杂得感应(半极化)电荷对电位得贡献,从而使问题得求解过程大为简化。
2.应用镜像法应主意得问题应主意适用得区域,不要弄错。
在所求电场区域内:①不能引入镜像电荷;②不能改变它得边界条件;③不能改变电介质得分布情况;④在研究区域外引入镜像电荷,与原给定得电荷一起产生得电荷满足所求解(讨论)得边界条件;⑤其求得得解只有在所确定得区域内正确且有意义。
3.镜像法得求解范围应用于电场与电位得求解;也可应用于计算静电力;确定感应电荷得分布等。
二、镜像法应用解决得问题一般就是边界为平面与球面得情况1.设与一个无限大导电平板(置于地面)相距远处有一点电荷,周围介质得介电常数为,求解其中得电场。
解:在电介质中得场,除点电荷所引起得场外,还应考虑无限大导电平板上得感应电荷得作用,但其分布不知(未知),因此无法直接求解。
用镜像法求解该问题。
对于区域,除所在点外,都有以无限远处为参考点在边界上有: 即边界条件未变。
由唯一性定理有对于大场不存在推广到线电荷得情况,对于无限长线电荷也适合上述方法求解。
例115、P54求空气中一个点电荷在地面上引起得感应电荷分布情况。
解:用镜像法求解P点:,感应电荷密度, (大地)点电荷例1-16P55解:用镜像法,如图所示,边界条件2.镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时得电场问题。
解:应用镜像法求解区域如图b,如图c设中电位为,中电位为满足条件:在中除所在点外,有,在中在两种媒质分界面上应有,由有与两个镜像电荷来代替边界得极化电荷若q为得线电荷则有:3.点电荷对金属面得镜像问题点电荷与接地金属球得问题①与得电场中,求电位为零得等位面。
镜像法的基本原理和要义
镜像法的基本原理和要义一、引言镜像法是一种常用的思维方法，通过对问题或事物进行镜像对称、镜像映射，从而发现新的解决方案或视角。
本文将介绍镜像法的基本原理和要义。
二、什么是镜像法镜像法是指通过将问题或事物进行镜像对称或镜像映射，找到新的视角或解决方案的思维方法。
它可以帮助我们突破传统思维模式的限制，从而发现新的问题解决方法。
三、镜像法的基本原理1. 镜像对称镜像对称是指通过沿着某个轴线将问题或事物进行对称，从而得到与原问题或事物相似但是又不同的情况。
通过对这种镜像对称的情况进行分析，我们可以得到新的解决思路或视角。
2. 镜像映射镜像映射是指将问题或事物进行映射到另一个平面或领域，从而得到一种新的视角或解决方案。
通过这种映射，我们可以将原问题转化为另一种形式的问题，从而找到新的解决思路。
四、镜像法的要义1. 打破思维定势镜像法可以帮助我们打破传统思维模式的限制，从而找到新的解决方案。
通过将问题进行镜像对称或镜像映射，我们可以发现原来未曾注意到的问题或解决思路。
2. 提供新的视角镜像法可以帮助我们从不同的角度来看待问题或事物，从而提供新的视角。
通过这种新的视角，我们可以发现问题的本质或者找到解决问题的新方法。
3. 激发创新思维镜像法可以激发我们的创新思维，帮助我们发现不同寻常的解决方案。
通过将问题进行镜像对称或镜像映射，我们可以将问题转化为其他领域的问题，从而借鉴其他领域的解决方法。
4. 发现问题的本质镜像法可以帮助我们发现问题的本质。
通过将问题进行镜像对称或镜像映射，我们可以将问题简化为更基本的形式，从而找到问题的本质所在。
五、应用实例1. 设计问题在设计问题中，可以使用镜像法来寻找创新的设计方案。
通过将设计进行镜像对称或镜像映射，可以发现不同的设计视角或解决方法。
2. 企业经营问题在企业经营问题中，可以使用镜像法来寻找新的经营思路或解决方案。
通过将问题进行镜像对称或镜像映射，可以发现新的市场机会或经营策略。
镜像法的基本原理及应用
镜像法的基本原理及应用镜像法是一种解决物理问题的数学方法，它通过寻找与给定问题几何形状相对称的新形状来简化问题。
在这个方法中，假设存在一个虚拟的“镜像界面”，物体在这个界面上的镜像与真实物体具有相同的性质。
通过在镜像界面上求解问题，再利用对称性的关系，可以得到关于真实物体的相应结果。
镜像法的基本步骤如下:1. 首先，根据问题情境和给定条件，选择合适的镜像面。
在对称模型中，这个面是一个现实界面或几何界面。
2. 然后，将问题中的物体和场景镜像到镜像界面上。
这个镜像是以对称中心为轴进行的，可以得到沿对称中心的轴对称图像。
3. 通过利用对称性质，将问题转化为在镜像界面上求解的几何形状问题。
这可以通过使用相同的数学工具和方法来完成。
4. 最后，根据镜像结果，将得到的结果重新映射到真实问题中。
镜像法有广泛的应用。
以下是几个例子：1. 电磁学中的镜像法：在静电场和静磁场中，可以使用镜像法来处理具有对称边界条件的问题。
例如，在一个均匀导体球面上带有电荷的问题中，可以使用以球心为中心的球面作为镜像面。
通过镜像法，可以简化问题，将球面之外的问题转化为球面上的点电荷问题。
2. 流体力学中的镜像法：在液体或气体流动的问题中，可以使用镜像法来处理与边界有关的问题。
例如，在一个有无限大平板边界的流动问题中，可以将平板看作是无限多个镜像边界的结果。
这样，可以得到一个对称问题的解，然后利用超级位置法或镜像法将结果映射回到真实的边界条件。
3. 固体力学中的镜像法：在弹性和塑性力学中，也可以使用镜像法来简化问题。
例如，在一个构件上施加了对称边界条件的力，可以通过镜像边界上施加相应的约束力，将真实问题转化为对称模型上的问题。
这种方法可以简化弹性和塑性力学问题的求解过程。
除了上述几个应用，镜像法还可以在电动力学、热传导、光学等领域中找到广泛的应用。
镜像法的优点是可以简化问题求解的过程，特别是在具有对称性的情况下，可以减少计算的复杂性。
第8讲镜像法
q'
d' d
q a q, d a2
d
d
a
q′
+
a q″
q q a q，d 0 d
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
3、点电荷位于不接地导体球面外
结论：不接地导体球外存在点电荷 q时，其镜像电荷为：
q a q, d a2
d
d
q q a q，d 0 d
球外任意点的电位为
1 ( q q q) 40 R R r
特点：
• 在介质分界面上存在极化电荷分布 • 空间中任一点的电场由点电荷与极化电
荷共同产生。
z
q
1 h x
2
图1 点电荷与电介质 分界平面
问题：如何确定镜像电荷？
第八讲 镜像法
五、无限大介质分界平面的镜像
1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像
➢ 计算上半空间中的电位 由镜像法，镜像电荷须位于下半空间
➢ 球壳内的电位函数为
d’
q
1
a
(r a)
4π0 r2 d 2 2rd cos d r2 (a2 d )2 2r(a2 d ) cos
➢ 球壳内表面感应电荷面密度为
S
0
r
ra
4πa(a2
q(a2 d 2)
d 2 2ad cos )3 2
➢ 球壳内表面的总感应电荷为
qin
由 a 时， 0
C l ln d
？
2 a
故
l ln d 2 2 a 4 2da 2cos
2 a2 2 a2d 2 2da2 cos
导体圆柱面上的感应电荷面密度
S
a
l (d 2 a2 ) 2 a(a2 d 2 2ad
4.3 镜像法1
表面吻合。
总结：
（1）镜像电荷与原电荷异号。 可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表 面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量 应该等于这些感应电荷的总电量。
（2）用镜像电荷等效感应电荷后，不改变原来的电场分布，即原电力线
和等位线分布不变。 （3）镜像法只适用于不包括镜像电荷所在的区域，如本题为导体上 方。 半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为 在上半空间中，源及边界条件未变。
1
思考题： （1）若导体球不接地，求球外的电场分布。 （2）若将点电荷放置在接地导体球形空腔内，距球心d2处，求 空腔内的电场。
若导体球不接地，则位于点电荷一侧的导
P a r 2 o d q
2
r1
体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面
q
上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应 电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球， 若引入上述的镜像电荷 q‘ 后，为了满足电荷守
考虑到无限大导体平面的电位为零，求得
s 0 Ez 0 z
h z z 0
q q
2
qh 2 x y h
2 2
3
2
dS q
s
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
部分完全相同。
z
电场线
等位线
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体
解：由镜像法可得，l1的镜像电荷 a 位于l 2的反演点 d2 处。 d d
2 2 1
P a r2
r1 P2 d1
l 1
线电荷 l1 产生电位为： 1 1 l1 ln 2 0 r1
电磁场镜像法知识分享
电磁场镜像法知识分享电磁场镜像法§1-8 镜像法⼀、镜像法1. 定义：是解静电场问题的⼀种间接⽅法，它巧妙地应⽤唯⼀性定理，使某些看来棘⼿的问题很容易地得到解决。
该⽅法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的，对于研究的场域⽤闭合边界处虚设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进⾏计算。
即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满⾜的泊松⽅程，⽽是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，⽤假想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体⾯域（电介质分界⾯）上复杂的感应（半极化）电荷对电位的贡献，从⽽使问题的求解过程⼤为简化。
2. 应⽤镜像法应主意的问题应主意适⽤的区域，不要弄错。
在所求电场区域内：①不能引⼊镜像电荷；②不能改变它的边界条件；③不能改变电介质的分布情况；④在研究区域外引⼊镜像电荷，与原给定的电荷⼀起产⽣的电荷满⾜所求解（讨论）的边界条件；⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。
3. 镜像法的求解范围应⽤于电场E 和电位?的求解；也可应⽤于计算静电⼒F ；确定感应电荷的分布(),,ρστ等。
⼆、镜像法应⽤解决的问题⼀般是边界为平⾯和球⾯的情况1. 设与⼀个⽆限⼤导电平板（置于地⾯）相距h 远处有⼀点电荷q ，周围介质的介电常数为ε，求解其中的电场E 。
解：在电介质ε中的场E ，除点电荷q 所引起的场外，还应考虑⽆限⼤导电平板上的感应电荷的作⽤，但其分布不知（σ未知），因此⽆法直接求解。
⽤镜像法求解该问题。
对于ε区域，除q 所在点外，都有20??= 以⽆限远处为参考点()0θ?= 在边界上有：044q qrrπεπε+--=+=+= 即边界条件未变。
由唯⼀性定理有11444q q q r r r r ?πεπεπε+-+-??=-=-对于⼤场E 不存在()0E =推⼴到线电荷τ的情况，对于⽆限长线电荷也适合上述⽅法求解。
例1-15. P54求空⽓中⼀个点电荷q 在地⾯上引起的感应电荷分布情况。
EM第29讲镜像法(1)
Research Institute of RF & Wireless Techniques电磁场与电磁波Electromagnetic fields and electromagnetic waves第29讲镜像法黄惠芬华南理工大学电子与信息学院射频与无线技术研究所TEL: 89502331Email:huanghf@Research Institute of RF & Wireless TechniquesSo u t h C h i n a U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y第29讲内容前言导体平面镜像Research Institute of RF & Wireless TechniquesS o u t h C h i n a U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y29.1 前言镜像法:(1)求解边值问题的一种方法，它巧妙地应用唯一性定理。
(2)在待求场域的区域以外，在适当的位置上人为地设置一些简单电荷(或电流) 可在保持原边界条件不变的情况下，把求解有限区域的边值问题转换为在无边界的无限大均匀媒质中的求解问题。
这些人为设置的、代替边值作用的等效电荷(或电流)称为镜 像电荷(或电流)。
Research Institute of RF & Wireless TechniquesSo u t h C h i n a U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y确定镜像电荷(或电流)的理论根据：唯一性定理。
一是待求场区域的解在原区域满足的泊松方程或拉普拉斯方程保持不变，即原有场源(电荷或电流)的分布不变，故镜像电荷(或电流)只能设置在待求场域外；二是镜像电荷以保持原问题边界条件不变。
由人为设置的镜像源与原待求场域内的实际场源共同决定的场解。
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求解区域的三个不变
即 2 不变
电荷分布不变 介质分布不变
微分方程不变 边界条件不变
解唯一
二、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
分析：边值问题 区域1 ：(z 0)
z M (x, y, z)
21 0 除点 (0,0, d ) 外 1 z 0 0 1 r 0
区域2 ：(z 0)
(0,0, d ) q
镜像法1
➢ 本节的研究目的
电磁场的一种间接分析方法 — 镜像法
➢ 本节的研究内容
一、镜像法原理 二、点电荷对无限大接地导体平面的镜像 三、点电荷对接地导体球表面的镜像 四、点电荷对无限大电介质分界面的镜像
一、镜像法原理
镜像法基本思想：将待求场区域边界上的感应电荷（束 缚电荷）分布用一些该区域外，而且能保证边界条件不 变的集中虚设电荷来代替，用这些虚设电荷（镜像电荷） 与原电荷共同计算场分布。此法的正确性由唯一性定理 来保证。
22 0 2 z 0 0
二、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
分析： 1
1
4 R
q
1
4
q R
01
02
R1 x2 y2 (z d )2 R2 x2 y2 (z+d)2
z M (x, y, z)
(0,0, d ) q
R1 R2
由边界条件不变确定 q
1 z 0 0
q q
q(0, 0, d )
求解区域的三个不变
即 2 不变
电荷分布不变 介质分布不变
微分方程不变 边界条件不变
解唯一
一、镜像法原理
镜像法基本思想：将待求场区域边界上的感应电荷（束 缚电荷）分布用一些该区域外，而且能保证边界条件不 变的集中虚设电荷来代替，用这些虚设电荷（镜像电荷） 与原电荷共同计算场分布。此法的正确性由唯一性定理 来保证。
二、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
解：
1
1
4 0
q
1
x2 y2 (z d)2 4 0
q x2 y2 (z+d)2
思考：导体表面的电荷分布密度 ?
1
0 n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z0
1
0 z
z0
2(x2
qd y2
d 2 )3/2
z (0,0,d ) q
M (x, y, z)