曲柄滑块机构运动规律实验报告

2
(1.5)
同样，基于关系式
l sin r sin
我们有摆角的表达式
(1.6)
arcsin sin l
r

(1.7)
式（1.6）对 t 求导，
l cos
d d r cos r cos dt dt
可得
d r cos dt l cos
相应的近似角速度为
d 1 r cos dt l
(1.21)
r d 2 r3 或 cos 3 sin 2 cos （ 1.22） dt l 2 l
近似角加速度为
d 2 1 2 r sin dt 2 l
（ 1.23）
或
d 2 2 r3 2 r sin (sin 3 sin 2 cos ) （ 1.24） 2 3 dt 2l l
可简化为
(1.11)
d 2 r 2sin (l 2 - r 2 ) dt 2 l 3 3l r 2 sin 2 2
以 b1，b2 代表角速度近似值，以 a2，a3 代表角加速度近似值，再编制 MATLAB 的 M 文 件吗 m1_2.m;
究中，确实经常使用着这个方法。 四、近似模型 将位移表达式（1.1）改写为
r 2 x r cos l 1 sin l2
2
1 2
一般而言，
r2 l2
是远比 1 小的数，于是利用
(1 ) a 1 a , 1
得到滑块位移的近似模型为
表 1.1 从表 1.1 可知，用角加速度的近似公式计算，近似公式（1.24）得到的结果普遍比近似公 式（1.23）得到的结果要好，而且各个点都比较接近于实际值。
2、 利用 （1.12） 式， 对摆角的角速度 （1.10） 式和角加速度(1.11)式进行简化， 将结果与 （1.21） -（1.24)式进行比较，并与上题的计算结果相比较 已知
2
(1.17)
对摆角β可以利用幂级数展开的 Maclaurin 公式
arcsin
得到摆角的近似模型。粗略一些，可以取
3
6
, 1
(1.18)
1 sin
而必要时，可以取
r l
(1.19)
r r3 2 sin 3 sin 3 l 6l
(1.20)
（图 1.1）
记住柄 OQ 的长为 r，连杆 QP 的长为 l.当曲柄绕固点 O 以角速度ω旋转时,由连杆带动 滑块 P 在水平槽内做往复直线运动。假设初始时刻曲柄的端点 Q 位于水平段 OP 上，曲柄 从初始位置起转动的角度为θ，而连杆 QP 与 OP 的锐夹角为β（称为摆角）。在机械设计 中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律，确切的来说，要研究滑块的位移、速度和加速 度关于θ角的函数关系，摆角β及角速度和角加速度关于θ的函数关系，进而 （1）求出滑块的行程 s（即滑块往复运动时左右极限位置间的距离）； （2）求出滑块的最大和最小加速度（绝对值），以了解滑块在水平方上的作用力； （3）求出β的最大和最小角的加速度(绝对值），以了解连杆转动惯量对滑块的影响。 在求解上述问题时，我们假定 r=100nm,l=3r=300nm,ω=240 转/min. 三、数学模型 取 O 点为坐标原点，OP 方向为 x 轴正方向，P 在 x 轴上坐标为 x，那么可用 x 表示滑块位 移，利用三角关系，立即得到
(1 ) a 1 a , 1
(1.12)
d r cos dt l 2 r 2 sin 2
可简化为
(1.10)
d r cos dt l r 2 sin 2 2l
d 2 r 2 sin (l 2 r 2 ) 3 dt 2 2 2 2 (l r sin ) 2
x r cos l 2 r 2 sin 2
(1.1)
t dt
dx

dx d dx d dt d
(1.2)
dx r 2 sin cos r sin d l 2 r 2 sin 2
于是滑块的速度
(1.3)
v
dx dx d dx dt d dt d
和近似加速度
(1.14)
a1
d1 r 2 r cos cos 2 dt l
(1.15)
这里速度和加速度是直接对近似位移模型求导得来，而不是对 v 和 a 的精确表达式（1.4） 和（1.5）的近似。当然，我们也可以直接从滑块速度的解析式（1.4）进行近似。仍利用公
由此再得
1.8
d sin cos cos sin d r dt 2 2 dt l cos
2

(1.9)
利用（1.6），不难由上两式导出
d r cos dt l 2 r 2 sin 2
(1.10)
d 2 r 2 sin (l 2 r 2 ) 3 dt 2 2 2 2 (l r sin ) 2
(1.4)
Байду номын сангаас
r cos r sin 1 l 2 r 2 sin 2
进而，可以得到滑块的加速度为
a
d d dt d
r (l 2 cos 2 r 2 sin 4 ) r cos 3 2 2 2 2 ( l r sin )
(1.11)
至此，我们得到了滑块位移 x 和连杆摆角β运动规律中有关变量依赖θ的表达式。 虽然我们已经得到了有关变量的解析式， 但是要求出问题的解并非十分简单。 由于滑块加 速度和摆角角加速度的函数表达式（1.5）和（1.11）相当复杂，从这两个式子来了解这两个 量并不方便，而要用它们进一步求出极值则更加不易。 由于数学模型本身是对实际问题的抽象， 从而也必定有某种简化和忽略。 即使我们得到了 问题的解析形式解，一般说来，它仍然是对实际情况的近似。为了方便起见，对较为复杂的 解析模型进行近似处理常常是必要的。事实上，在曲柄连杆结构（以及不少工程问题）的研
(1.12)
r2 x1 r cos l sin 2 2l
从而有相应的近似速度
(1.13)
dx1 dx1 d r2 1 r sin sin 2 dt d dt 2 l
r r sin sin 2 2l
五、实验任务 1 试用摆角的加速度的三种的三种表达式，即（1.11）、（1.23）、（1.24），取步长为 ，r, l,ω的值如前，计算当θ属于【0，π】变化时角加速度的值，并以列表加以比较。
12
已知
d 2 r 2 sin (l 2 r 2 ) 3 dt 2 2 2 2 (l r sin ) 2
学 生 实 验 报 告
实验课程名称： 数学实验
实 验 内 容：
曲柄滑块机构的运动规律
学 生 姓 名
徐洲舟
学
号
1312211108
提 交 时 间：
评分标准:
写作 20%
2015 年
03 月
30 日
理论推导 30%
程序 20%
结果分析 20%
特色 10%
成
绩 许建强
指导教师
曲柄滑块机构的运动规律
一．实验目的 本实验主要涉及微积分中对函数特性求导法的研究，通过实验复习函数、Taylor 公式和其 他有关知识。着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研究函数的方法。 二．实际问题 曲柄滑机构是一种常用的机械结构， 它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复远动， 是 压气机，冲床、活塞式水泵等机械的主结构。图 1.1 为其示意图。


r cos l
r2 2 1 sin 2l 2
(1.16)
r sin 2 r 3 sin 2 sin 2 r sin 2l 4l 3
从（1.16）出发，又可得近似加速度
r cos2 r 3 (sin2 2 2sin2 cos2） a2 r cos 3 l 4l
(1.11)
d 2 1 r 2 sin 2 dt l
（ 1.23）
且 r=100nm l=3r=300nm ω=240 转/min. 以 a 代表角加速度实际值，以 a1，a2 代表角加速度近似值利用公式（1.11）、（1.23）、 （1.24）编制 MATLAB 的 M 文件吗 m1_1.m; function m1_1(t) ..............................................................................................................建立函数变量 r=100;l=300;w=240/60*2*pi; ...............................................................................................................赋值已知条件 a=-r*w^2*sin(t).*(l^2-r^2)./((l^2-r^2*sin(t).^2).^(3/2)) .....................................................................................................编写角加速度公式方程 a1=-w^2*r/l*sin(t) .............................................................................................编写近似角加速度公式方程一 a2=-w^2*(r/l*sin(t)+r^3/(2*l^3).*(sin(t).^3-sin(2*t).*cos(t))) .................................................................................................编写近似角加速度公式方程二 然后在命令窗口输入 m1_1([0:pi/12:pi]) 可得如表 1.1 所列出的一些相应数据； θ/rad 0 1π/12 2π/12 3π/12 4π/12 5π/12 6π/12 7π/12 8π/12 9π/12 10π/12 11π/12 π a(θ/s^2) 0 -48.9857 -97.6175 -144.1871 -184.6798 -213.0328 -223.3237 -213.0328 -184.6798 -144.1871 -97.6175 -48.9857 -0.0000 a1(θ/s^2) 0 -54.4948 -105.2758 -148.8824 -182.3430 -203.3772 -210.5516 -203.3772 -182.3430 -148.8824 -105.2758 -54.4948 -0.0000 a2(θ/s^2) 0 -49.0482 -97.9650 -144.7468 -184.8755 -212.4053 -222.2489 -212.4053 -184.8755 -144.7468 -97.9650 -49.0482 -0.0000