初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题及答案 (10)

初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题

1．世界杯足球赛每个小组共有四个队参加比赛，采用单循环赛制（即每两个队之间要进行一场比赛），每场比赛获胜的一方得3分，负的一方得0分，如果两队战平，那么双方各得1分，小组赛结束后，积分多的前两名从小组出线．如果积分相同，两队可以通过比净胜球或其他如抽签等方式决定谁是第二名，确保有两支队伍出线．

（1）某队小组比赛后共得6分，是否一定从小组出线？

（2）某队小组比赛后共得3分，能从小组出线吗？

（3）某队小组比赛后共得2分，能从小组出线吗？

（4）某队小组比赛后共得1分，有没有出线的可能？

【分析】（1）假设四个球队分别为A、B、C、D，如四个球队的比赛结果是A战胜了B，D，而B战胜了C，D，C战胜了A，D，D在3场比赛中都输了，可知不能出线，则知不一定从小组出线；

（2）假如A在3场比赛中获得全胜，而B战胜了C，C战胜了D，战胜了B，这样，小组赛之后，A积9分，B、C、D都积3分，则可出线；

（3）假如A队三战全胜，B、C、D之间的比赛都战平，则有出线的可能；

（4）如果只得1分，说明他的3场比赛成绩是1平2负，而他负的两个球队的积分至少是3分，则可知必然被淘汰．

【解答】解：（1）不一定．

设四个球队分别为A、B、C、D，

如四个球队的比赛结果是A战胜了B，D，

而B战胜了C，D，C战胜了A，D，D在3场比赛中都输了，

这样，小组赛之后，ABC三个球队都得6分，D队积0分，

因此小组中的第三名积分是6分，

∴不能出线；

（2）有可能出线．

如A在3场比赛中获得全胜，而B战胜了C，C战胜了D，

D战胜了B，这样，小组赛之后，A积9分，B、C、D都积3分，

因此这个小组的第二名，一定是3分出线；

（3）有可能出线．

如A队三战全胜，B、C、D之间的比赛都战平，

这样这个小组的第二名的积分一定是2分，

自然有出线的可能．

（4）不可能出线．

如果只得1分，说明他的3场比赛成绩是1平2负，

而他负的两个球队的积分至少是3分，

他就不可能排到小组的前两名，必然被淘汰．

【点评】此题考查了排列组合知识应用，考查了学生的实际应用能力．解题的关键是结合实际举出例子．