2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷一及详细答案

2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷一

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．

1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）

A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3 2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）

A．B．C．0.3D．

3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）

A．到CD的距离保持不变B．位置不变

C．等分D．随C点移动而移动

4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）

A．2﹣1B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2

5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）

A．B．C．D．

6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）

A．6圈B．6.5圈C．7圈D．8圈

7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；

④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

8．（3分）如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（）

A．1B．C．2D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9．（3分）与是相反数，计算=_________．

10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=_________．

11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=_________．

12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为_________．

13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是_________．

14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是_________．

15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_________cm．

16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是_________cm．

三、解答题（72）

17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m 的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．

19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN 交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．

（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．

（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．

20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．

（1）求菱形的面积；

（2）求证：EF=MN；

（3）求r1+r2的值．

21．（15分）（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．

1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）

A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3

考点：解一元一次不等式组．

专题：计算题．

分析：先解不等式组，然后根据不等式的解集，得出m的取值范围即可．

解答：解：由x+7＜4x﹣2移项整理得：

﹣3x＜﹣9，

∴x＞3，

∵x＞m，

又∵不等式组的解集是x＞3，

∴m≤3．

故选C．

点评：主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求m的范围．

2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）

A．B．C．0.3D．

考点：特殊角的三角函数值．

分析：本题中直角三角形的角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC的度数，再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可．

解答：解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，

∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，

∴∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，

∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，

∴AC=AD，

又∵∠ABC=∠BAD=15°

∴BD=AD，

∵BC=1，

∴AD+DC=1，

设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），

∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，

解得：x=﹣3+2，

∴AC=（4﹣2）

=2﹣

故选B．