2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷一及详细答案
2014-2015学年安徽省合肥168中高一(上)期末数学试卷
2014-2015学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. cos (−1560∘)的值为（ ） A.12 B.−12C.−√32D.√322. 已知函数f(x)={a ⋅2x ，x ≥0,2−x ，x <0,(a ∈R )若f[f(−1)]=1，则a = ( )A.12B.14C.1D.23. 下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是（ ） A.f (x)=x −|x| B.f(x)=|x| C.f(x)=x +1 D.f(x)=−x4. 下列函数中，是偶函数且在区间(0, +∞)上是减函数的为（ ） A.y =x 2 B.y =1xC.y =1x 2D.y =(12)x5. 已知α∈(π2, π)，sin α=35，则tan (α−π4)=( )A.−17 B.−7 C.7D.176. 已知向量a →=(1, 2)，b →=(1, 0)，c →=(3, 4)．若λ为实数，(a →+λb →)⊥c →，则λ=( ) A.12B.14C.−113D.−757. 函数f(x)=(x −a)(x −b)（其中a >b ）的图象如图所示，则函数g(x)=a x+b 的大致图象是（ ）A. B. C. D.8. 将函数y =sin (2x +π4)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是（ ） A.f(x)=cos x B.f(x)=sin x C.f(x)=sin 4x D.f(x)=cos 4x9. 设集合X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a >0，都存在x ∈X ，使得0<|x −x 0|<a ，称x 0为集合X 的聚点．用Z 表示整数集，则在下列集合中：①{nn+1|n ∈Z ，n ≥0}； ②{x|x ∈R, x ≠0}；③{1n |n ∈Z ，n ≠0}； ④整数集Z 以0为聚点的集合有（ ）A.①④B.②③C.①②④D.①③10. 偶函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且当x ∈[−1, 0]时，f(x)=cosπx 2−1，若函数g(x)=f(x)−log a x 有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(14，12)B.(15，13)C.(2, 4)D.(3, 5)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．已知集合M ={0, 1, 3}，N ={x|x =3a, a ∈M}，则M ∪N =________．函数f(x)=√1−x +lg (x +2)的定义域为________．已知向量a →，b →夹角为45∘，且|a →|=1，|b →|=√2，则|2a →−b →|=________．函数f(x)=A sin (ωx +φ)，(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)=________．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0, 1)，此时圆上一点P 的位置在(0, 0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(1, 1)时，OP →的坐标为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知a →=(√3sin x, 1)，b →=(cos x, 2)． （1）若a → // b →，求tan 2x 的值；（2）若f(x)=(a →−b →)⋅b →，求f(x)的单调递增区间．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →=x ⋅OA →+y ⋅OB →．（1）若BP →=PA →，求x ，y 的值；（2）若BP →=3PA →，|OA →|=4，|OB →|=2，且OA →与OB →的夹角为60∘时，求OP →⋅AB →的值．函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x ∈[0, 1]时，f(x)=3x −1．（1）求f(x)在[−1, 0]上的解析式；（2）求f(log 136)的值．已知函数f(x)=−x 2+2ax −2a +b ，且f(1)=0．（1）若f(x)在区间(2, 3)上有零点，求实数a 的取值范围；（2）若f(x)在[0, 3]上的最大值是2，求实数a 的值．设函数f(x)=sin (2x +φ)(0<φ<π)的图象的一条对称轴是x =π6．（1）求φ的值及f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值；（2）若f(α)=45，α∈[π4，π2]，求cos 2α的值．对于定义域为D 的函数y =f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[a, b]⊆D ，使f(x)在[a, b]上的值域为[a, b]；那么把y =f(x)(x ∈D)叫闭函数，且条件②中的区间[a, b]为f(x)的一个“好区间”．（1）求闭函数y =−x 3的“好区间”；（2）若[1, 16]为闭函数f(x)=m √x +n log 2x 的“好区间”，求m 、n 的值；（3）判断函数y =k +√x +1是否为闭函数？若是闭函数，求实数k 的取值范围．参考答案与试题解析2014-2015学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】此题暂无答案【考点】运用诱导于式化虫求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】演因斯理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函较绕肠由的判断与证明函数奇三性的判刺【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】同角正角测数解的当本关系两角和与表型正切公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】数量积常断换个平只存量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】指数表数层图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】空较虑定练目性质及运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】根的验河性及洗的个会判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面向量三量积州运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面向明的推标运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】此题暂无答案【考点】平面向量三量积州运算平面水因共线（平行）的坐似表阻【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面向量三量积州运算向明的月响分其几何意义向量的明角轮法则数量来表示冷个向让又夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数水因期性函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二次明数织性质导数求根数的最助【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正弦射可的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数单验家的性质函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
合肥168中学2014秋学期高一第一次月考答案
合肥168中学2014秋学期高一第一次阶段性测试语文试卷答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B D D C D C D C D 11、（1）蒙嘉替他事先向秦王进言，说：“燕王确实非常惧怕大王的威势，不敢出兵来抗秦。
诚、据得一分，状语前置一分，句意通顺一分。
（4分）（2）荆轲自己知道事情不能成功了，靠着柱子笑着，像箕一样张开两腿坐在地上，骂道：“事情不成功的原因，是想活生生地劫持你，一定要得到契约来回报燕太子呀？”就、箕、所以各得一分，判断句得一分，句意2分。
（6分）12、共五层，1-3计见秦王，4顾笑武阳，5-7秦廷搏击，8倚柱笑骂，9、被斩遇难。
（3分）13、机智、随机应变、能言善辩、英勇无畏、忠心。
并举出相应的实例。
（4分）14、略15、【答案】前两句为一幅画，着意表现平远的画面，诗人连用了两个“万里”，来描写清江的开阔绵长和天空的广阔无边，又连用了两个“一村”，来表现平野的广阔和村落的连续不断。
后两句中的另一幅画，作者则重点描写山川寂寥，点出的景物更疏少，只有渔翁、小舟和大雪，这和雪后四望皎然、茫茫一片的景色是完全吻合的。
作者用最精练的语言，用最俭省的笔墨，把诗情画意准确而生动地表现出来，可谓为山水传神写照。
(本题考查对诗歌意境的鉴赏能力。
作答时，要结合诗歌展开想象，用自己的语言再现画面。
)16【答案】象征手法，作者借渔翁形象表达心志。
渔翁是旷达的，他喝醉了酒睡着，也没有人唤醒他，安闲自在，无忧无虑，表现作者身处晚唐乱世而渴望超脱的心态。
(也可答为运用了白描手法，语言平易，但却景物鲜明，画意很浓。
文字虽然很短，却高度凝练，寓意深长。
)(象征手法可以将比较抽象的精神品质，化为具体的可以感知的形象，从而给读者留下深刻的印象；把不便于明说的意思含蓄地表达出来，赋予文章以深意，从而给读者留下咀嚼回味的余地。
)17、⑴江南的小巷让人从现实世界回溯到历史之境中⑵雨后的江南小巷让人心绪宁静，心境平和，让人暂离现实的纷繁，暂脱尘世烦扰。
2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷三
2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷三一、选择题（每小题4分，共40分）22D2．（4分）如图，正方形ABCD及正方形AEFG，连接BE、CF、DG．则BE：CF：DG等于（）：：3．（4分）如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）4．（4分）有10条不同的直线y=k n x+b n（n=1，2，3，…，10），其中k3=k6=k9，b4=b7=b10=0，则这10条直线的交5．（4分）设一元二次方程x2+6x+c=0的两根为98，99，在二次函数y=x2+6x+c中，若x取0，1，2，3， (100)6．（4分）若二次函数y=x2﹣（2p+1）x﹣3p在﹣1≤x≤1的范围内至少有一个x的值使y≥0成立，则p的取值范围7．（4分）观察图（1），容易发现图（2）中的∠1=∠2+∠3．把图（2）推广到图（3），其中有8个角：∠1，∠2，…，∠8．可以验证∠1=∠2+∠5+∠8成立．除此之外，恰好还有一组正整数x，y，z，满足2≤x≤y≤z≤8，使得∠1=∠x+∠y+∠z，那么这组正整数（x，y，z）=（）8．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD于点E，若AB=4，CD=3，则⊙O的半径为（）C．9．（4分）如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）．C D．10．（4分）若对于所有的实数x，恒为负数，且，则M的值为（）二、填空题：（每小题4分，共32分）11．（4分）若关于x的方程=3的解是非负数，则b的取值范围是_________．12．（4分）如图，在正九边形ABCDEFGHI中，若AB+AC=3，则对角线AE=_________．13．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，E为CD的中点，BE=6.5，梯形ABCD的面积为30，那么AB+BC+DA=_________．14．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB=BC=6，点E，F分别在边AB，BC上，AE=3，CF=1，P是斜边AC上的一个动点，则△PEF周长的最小值为_________．15．（4分）一个圆内接八边形相邻四条边长为1，另四条边长是2，则其面积为_________．16．（4分）如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在200个小伙子中，如果某人不亚于其他199人，就称他为棒小伙子，那么，200个小伙子中的棒小伙子最多可能有_________．17．（4分）如图，在△ABC中，已知D是边BC上一点，满足AD=AC，E是边AD的中点，满足∠BAD=∠ACE，若S△BDE=2，则S△ABC为_________．18．（4分）已知关于x的不等式组只有5个整数解，则t的取值范围是_________．三、解答题：（每题12分，共48分）19．（12分）如图，将▱OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知AB边所在直线的解析为：y=﹣x+4．（1）点C的坐标是（_________，_________）；（2）若将▱OABC绕点O逆时针旋转90°得OBDE，BD交OC于点P，求△OBP的面积；（3）在（2）的情形下，若再将四边形OBDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为x（0≤x≤8），与▱OABC重叠部分面积为S，试写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．20．（12分）（2013•滨湖区一模）如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，BF⊥AB交AD的延长线于点F，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长．21．（12分）某种乐器有10个孔，依次记作第1孔，第2孔，…，第10孔，演奏时，第n孔与其音色的动听指数D 之间满足关系式D=n2+kn+90，该乐器的最低动听指数为4k+106，求常数k的取值范围．22．（12分）若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷三参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）22D2．（4分）如图，正方形ABCD及正方形AEFG，连接BE、CF、DG．则BE：CF：DG等于（）：：×==∴==：3．（4分）如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）y y﹣（yy yy y y y，，，，组解：或或．4．（4分）有10条不同的直线y=k n x+b n（n=1，2，3，…，10），其中k3=k6=k9，b4=b7=b10=0，则这10条直线的交5．（4分）设一元二次方程x2+6x+c=0的两根为98，99，在二次函数y=x2+6x+c中，若x取0，1，2，3， (100)6．（4分）若二次函数y=x2﹣（2p+1）x﹣3p在﹣1≤x≤1的范围内至少有一个x的值使y≥0成立，则p的取值范围∴7．（4分）观察图（1），容易发现图（2）中的∠1=∠2+∠3．把图（2）推广到图（3），其中有8个角：∠1，∠2，…，∠8．可以验证∠1=∠2+∠5+∠8成立．除此之外，恰好还有一组正整数x，y，z，满足2≤x≤y≤z≤8，使得∠1=∠x+∠y+∠z，那么这组正整数（x，y，z）=（）8．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD于点E，若AB=4，CD=3，则⊙O的半径为（）C．CM==59．（4分）如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）．C D．MO=（AN=ND=，=．MN=．10．（4分）若对于所有的实数x，恒为负数，且，则M的值为（）配方，进而利用此式恒为负数，得出解：∵2）﹣∴二、填空题：（每小题4分，共32分）11．（4分）若关于x的方程=3的解是非负数，则b的取值范围是b≤3且b≠2．12．（4分）如图，在正九边形ABCDEFGHI中，若AB+AC=3，则对角线AE=3．13．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，E为CD的中点，BE=6.5，梯形ABCD的面积为30，那么AB+BC+DA=17．∴14．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB=BC=6，点E，F分别在边AB，BC上，AE=3，CF=1，P是斜边AC上的一个动点，则△PEF周长的最小值为+2．==2，EF===+2故答案为．15．（4分）一个圆内接八边形相邻四条边长为1，另四条边长是2，则其面积为．AK=BK=，，LK=LM=MN=KN=2+1××）=5+4．16．（4分）如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在200个小伙子中，如果某人不亚于其他199人，就称他为棒小伙子，那么，200个小伙子中的棒小伙子最多可能有200个．17．（4分）如图，在△ABC中，已知D是边BC上一点，满足AD=AC，E是边AD的中点，满足∠BAD=∠ACE，若S△BDE=2，则S△ABC为8．∴=2S18．（4分）已知关于x的不等式组只有5个整数解，则t的取值范围是25.5＜t≤27．解不等式﹣解不等式﹣tt的不等式组﹣三、解答题：（每题12分，共48分）19．（12分）如图，将▱OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知AB边所在直线的解析为：y=﹣x+4．（1）点C的坐标是（﹣4，4）；（2）若将▱OABC绕点O逆时针旋转90°得OBDE，BD交OC于点P，求△OBP的面积；（3）在（2）的情形下，若再将四边形OBDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为x（0≤x≤8），与▱OABC重叠部分面积为S，试写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．OP=BP=2=（x﹣x﹣=20．（12分）（2013•滨湖区一模）如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，BF⊥AB交AD的延长线于点F，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长．=，即可求出∴，即，．21．（12分）某种乐器有10个孔，依次记作第1孔，第2孔，…，第10孔，演奏时，第n孔与其音色的动听指数D 之间满足关系式D=n2+kn+90，该乐器的最低动听指数为4k+106，求常数k的取值范围．再利用对称轴的取值范围当当以及当的对称轴为）当）当）当在取值范围22．（12分）若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？最后一个人干了两人共干活时，平均每人干活根据题得，即（，，，。
安徽省合肥168中学14—15学年上学期高二期中考试数学(文)(附答案)
合肥一六八中学2014-2015学年第一学期高二年级期中考试数学(文科)试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里。
） 1. 下列命题正确的是( )A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 答案：D2. 已知点)0)(3,(>a a 到直线03:=+-y x l 的距离为1，则a 的值为( )A ．2B ．2±C ．12-D ．12+答案：A3. 设βα、是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( ) A ．若βαα⊥⊥,l ，则β⊂l B ．若βαα//,//l ，则β⊂l C ．若βαα//,⊥l ，则β⊥l D ．若βαα⊥,//l ，则β⊥l 答案：C4. 已知直线l ：01=++ny mx 平行于直线m ：0534=++y x ，且l 在y 轴上的截距为13，则n m ,的值分别为( )A ．4,3B ．－4,3C ．－4，－3D ．4，－3 答案：C5. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( ) A ．28＋65 B ．30＋6 5 C ．56＋12 5 D ．60＋ 125答案：B6.经过点P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为AEB CF A'B'C'V V 12第12题( ) A.x ＋2y －6＝0 B.2x ＋y －6＝0 C.x －2y ＋7＝0D.x －2y －7＝0答案：B7. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为( ) A.π344 B. π9484 C. π481 D. π16 答案：B8.已知10<<x ，10<<y ，则22222222)1()1()1()1(y x y x y x y x -+-++-+-+++的最小值为( )A.22B. 2C. 2D.8答案：A9．如图，在三棱柱'''ABC A B C -中，若E 、F 分别 为AB 、AC 的中点，平面''EB C F 将三棱柱分成体积 为1V 、2V 的两部分，那么12:V V 为（ ） A ．3：2 B ．7：5 C ．8：5 D ．9：5 答案：B10.设R m ∈，过定点A 的动直线0=+my x 和过定点B 的动直线03=+--m y mx 交于点),(y x P ，则||||PB PA +的取值范围是( ) A ．]52,5[ B ．]52,10[C ．]54,10[D ．]54,52[答案：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
安徽省合肥168中20142015学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
安徽省合肥168中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）cos（﹣1560°）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．2．（5分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1D．23．（5分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=|x| B．f（x）=x﹣|x| C．f（x）=x+1 D．f（x）=﹣x4．（5分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2C．D．5．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣C．7D．6．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，，则λ=（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b 的大致图象是（）A．B．C．D．8．（5分）将函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=sin4x D．f（x）=cos4x9．（5分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④10．（5分）偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（2，4）D．（3，5）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N=．12．（5分）函数f（x）=的定义域为．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．15．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（1，1）时，的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知=（sinx，1），=（cosx，2）．（1）若∥，求tan2x的值；（2）若f（x）=（﹣）•，求f（x）的单调递增区间．17．（12分）如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，．（1）若，求x，y的值；（2）若，，，且与的夹角为60°时，求的值．18．（12分）函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；（2）求的值．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）=0．（1）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的值．20．（13分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x=．（1）求φ的值及f（x）在区间上的最大值和最小值；（2）若f（α）=，，求cos2α的值．21．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f（x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．安徽省合肥168中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）cos（﹣1560°）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：cos（﹣1560°）=cos（1560°）=cos（360°×4+120°）=cos120°=cos（180°﹣60°）=﹣cos60°=﹣．故选：A．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（5分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1D．2考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件代入计算即可．解答：解：∵f[f（﹣1）]=1，∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．点评：本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．3．（5分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=|x| B．f（x）=x﹣|x| C．f（x）=x+1 D．f（x）=﹣x考点：进行简单的演绎推理．专题：计算题．分析：分别根据函数解析式求出f（2x）与2f（x），看其是否相等，从而可得到所求．解答：解：f（x）=|x|，f（2x）=|2x|=2|x|=2f（x），故满足条件；f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2（x﹣|x|）=2f（x），故满足条件；f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2（x+1）=2f（x），故不满足条件；f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2（﹣x）=2f（x），故满足条件；故选C点评：本题主要考查了进行简单的演绎推理，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．4．（5分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2C．D．考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：本题利用函数的单调性和奇偶性定义判断选项中的函数是否符合条件，得到本题结论．解答：解：选项A，∵f（x）=，f（﹣x）==﹣f（x），∴y=是奇函数，不合条件；选项B，y=x2在（0，+∞）单调递增，不合条件；选项C，∵，f（﹣x）=，∴f（x）是偶函数，在区间（0，+∞）上是减函数，符合条件；选项D，∵，f（﹣x）=（）﹣x=2x，∴不是偶函数，不符合条件．故答案为：C．点评：本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性，本题难度不大，属于基础题．5．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣C．7D．考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：根据同角三角函数关系先求出cosa，然后根据tana=求出正切值，最后根据两角差的正切函数公式解之即可．解答：解：∵a∈（，π），sina=，∴cosa=﹣，则tana===﹣∴tan（a﹣）===﹣7故选A．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系，以及两角差的正切函数，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．6．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，，则λ=（）A．B．C．D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的数乘和加法运算求出的坐标，然后根据运用数量积等于0求解λ的值．解答：解：因为向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），所以，所以，因为，所以11+3λ=0，所以．故选D．点评：本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了计算能力，是基础题．7．（5分）函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b 的大致图象是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）的图象确定a，b的取值范围，结合指数函数的图象进行判断即可．解答：解：由f（x）的图象可知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数g（x）为减函数，且g（0）=1+b＜0，故选：A点评：本题主要考查指数函数的图象的识别和判断，根据一元二次函数的图象确定a，b的取值范围是解决本题的关键．8．（5分）将函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=sin4x D．f（x）=cos4x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型；计算题．分析：函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，求出函数的表达式，然后平移求出函数解析式．解答：解：函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sin，再向右平移个单位，得到y=sin=sinx故选A点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，注意三角函数的平移原则为左加右减上加下减．9．（5分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④考点：空集的定义、性质及运算．专题：压轴题；新定义．分析：由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．解答：解：①中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a∴0是集合的聚点④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故选A点评：本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义﹣﹣集合的聚点的含义，是解答本题的关键．10．（5分）偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（2，4）D．（3，5）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，函数f（x）的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，函数f（x）是周期为2，函数y=f（x）的图象和函数y=log a x有的图象有且仅有3个交点，数形结合可得，由此求得a的范围．解答：解：∵偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），故函数的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，故函数f（x）是周期为2．由当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，可得函数f（x）的图象，如图所示：由题意可得，函数y=f（x）的图象和函数y=log a x有的图象有且仅有3个交点，故有，求得＜a＜，故选：A．点评：本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N={0，1，3，9}．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意求出集合N，然后直接利用并集运算得答案．解答：解：∵M={0，1，3}，∴N={x|x=3a，a∈M}={0，3，9}，则M∪N={0，1，3，9，}．故答案为：{0，1，3，9}．点评：本题考查了并集及其运算，是基础的计算题．12．（5分）函数f（x）=的定义域为（﹣2，1]．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据二次根式的定义可知1﹣x≥0且根据对数函数定义得x+2＞0，联立求出解集即可．解答：解：因为f（x）=，根据二次根式定义得1﹣x≥0①，根据对数函数定义得x+2＞0②联立①②解得：﹣2＜x≤1故答案为（﹣2，1]点评：考查学生理解函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围．会求不等式的解集．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意，先求出，再计算即可．解答：解：∵向量夹角为45°，且，∴=4﹣4•+=4×12﹣4×1×cos45°+=2，∴=；故答案为：．点评：本题考查了求平面向量的模长运算问题，是基础题．14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（0）的值．解答：解：由函数的图象可得A=，•T=﹣=•，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，故f（x）=sin（2x+），∴f（0）=sin=，故答案为：．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．15．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（1，1）时，的坐标为（1﹣sin1，1﹣cos1）．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：设滚动后的圆的圆心为C并设∠BCP=θ，求出⊙C的方程和参数方程，由题意求出角θ，再由三角函数的诱导公式，化简可得P为（2﹣sin2，1﹣cos2），即可求出的坐标．解答：解：设滚动后的圆的圆心为C，切点为A（2，0），连接CP过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于B（2，1），设∠BCP=θ∵⊙C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（1+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（1，1）∴∠ACP=1，可得θ=+1，可得cosθ=cos（﹣1）=﹣sin1，sinθ=sin（﹣1）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（1﹣sin2，1﹣cos2），所以的坐标是（1﹣sin1，1﹣cos1），故答案为：（1﹣sin1，1﹣cos1）．点评：本题根据半径为1的圆的滚动，求一个向量的坐标，考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知=（sinx，1），=（cosx，2）．（1）若∥，求tan2x的值；（2）若f（x）=（﹣）•，求f（x）的单调递增区间．考点：平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量共线定理、倍角公式即可得出；（2）利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=（﹣）•=﹣=﹣，再利用正弦函数的单调性即可得出．解答：解：（1），∴；∴．（2）f（x）=（﹣）•=﹣==﹣2==﹣，令．所以f（x）的单调递增区间是．点评：本题考查了向量共线定理、倍角公式、数量积运算性质、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（12分）如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，．（1）若，求x，y的值；（2）若，，，且与的夹角为60°时，求的值．考点：平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则；数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：（1），据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，利用平面向量基本定理求出x，y的值（2）利用向量的运算法则将用表示，利用向量数量积的运算律将用的模及它们的数量积表示求出值．解答：解：（1）∵，∴，即，∴，即，（2）∵，∴，即∴∴，==点评：本题考查向量的加法、减法的运算法则；向量的数量积及其运算律；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，从而将未知向量的数量积，用已知向量的数量积表示．18．（12分）函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；（2）求的值．考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数周期性的性质即可求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；（2）利用函数的周期性和奇偶性的性质将变量进行转化即可求的值．解答：解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数则，x∈[﹣1，0]．（2），∵1﹣log32∈[0，1]，∴，即．点评：本题主要考查函数值的计算以及函数解析式的求解，根据函数奇偶性和周期性的性质，是解决本题的关键．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）=0．（1）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的值．考点：二次函数的性质；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（1）=0可得b=1，由f（x）在区间（2，3）上有零点，结合二次函数的图象和性质，可得，解得实数a的取值范围；（2）根据二次函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+1的图象开口方向朝上，对称轴为x=a，分类讨论[0，3]与对称轴位置关系，进而结合f（x）在[0，3]上的最大值是2，可求实数a的值解答：解：（1）∵函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，由f（1）=0，得﹣1+2a﹣2a+b=0，解得：b=1．…（2分）又f（x）在区间（2，3）上有零点，且f（x）的一个零点是1；所以，．…（6分）（2）∵f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+1的图象开口方向朝上，对称轴为x=a．①当a≤0时，f max=f（0）=﹣2a+1=2，则；②当0＜a＜3时，，则，或（舍去）；③当a≥3时，f max=f（3）=4a﹣8=2，则（舍去）；综上：或．…（12分）点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．20．（13分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x=．（1）求φ的值及f（x）在区间上的最大值和最小值；（2）若f（α）=，，求cos2α的值．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据函数的对称轴即可求φ的值及f（x）在区间上的最大值和最小值；（2）根据f（α）=，，利用两角和差的余弦公式即可求cos2α的值．解答：解：（1）f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是．故，k∈Z又0＜φ＜π，故．…（3分）所以，．即f（x）在区间上的最大值是1，最小值是．…（7分）（2）由已知得，，所以，=…（13分）点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数值的计算，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键．21．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f（x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据“好区间”的定义即可求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）根据若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，建立方程组关系即可求m、n的值；（3）根据闭函数的定义，进行验证即可得到结论．解答：解：（1）∵y=﹣x3是减函数，∴故闭函数y=﹣x3的“好区间”是[﹣1，1]．…（3分）（2）①若f（x）是[1，16]上的增函数，则∴此时是[1，16]上的增函数，故符合题意．②若f（x）是[1，16]上的减函数，则∴此时．因为，所以在区间[1，16]上不是减函数，故不符合题意．综上：…（8分）（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]⊆[﹣1，+∞），满足；故方程f（x）=x在区间[﹣1，+∞）上有两不相等的实根．由得令则x=t2﹣1，方程可化为t2﹣t﹣k﹣1=0，且方程有两不相等的非负实根；令g（t）=t2﹣t﹣k﹣1，则…（14分）点评：本题主要考查与函数有关的新定义问题，考查学生的理解和应用能力，综合性较强，难度较大．。
安徽省合肥168中2014-2015学年高二下学期期末数学(文)试卷 Word版含解析
安徽省合肥168中2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．设x∈R，“复数z=（1﹣x2）+（1+x）i为纯虚数”是“lg|x|=0”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（） A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b 3．已知x与y之间的几组数据如下表： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 假设根据上表数据所得线性回归方程为=x+，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为y=bx+a，则与b，与a的大小为（） A．＞b，＞a B．＞b，＜a C．＜b，＞a D．＜b，＜a 4．△ABC中，若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是（） A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定 5．动圆M经过双曲线x2﹣=1的左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的轨迹方程是（） A．y2=8x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=﹣4x 6．设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（） A．B．C．D． 7．已知实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m等于（） A．0 B． 6 C．7 D．8 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 9．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（9）+f（10）=（） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D． 1 10．定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数： ①y=x3﹣x2+x﹣2；②y=2x﹣（sinx+cosx）；③y=ex+1；④f（x）=其中是“Z函数”的个数为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11．命题“对?x≥0，都有x2+x﹣1＞0”的否定是． 12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为． 13．已知实数x，y满足x2+y2﹣xy=1，则x+y的最大值为． 14．已知正数a，b，对任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2恒成立，则实数x的取值范围是． 15．下列说法中 ①若=，则点O是△ABC的重心 ②若点O满足：，则点O是△ABC的垂心． ③若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的内心． ④若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的重心． ⑤若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的外心． 其中正确的是． 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B=，BC=1． （Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC=，求角A的大小； （Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长． 17．安徽省文科2015届高考数学试题考生一致认为比较简单，从而好成绩的取得不仅与知识掌握程度有关更与细节的把握程度有关（非知识错误）！学校就数学学科考试上是否有失误从本届文科毕业生中随机调查了100人，其中男生36人，有失误的学生中男生14人，女生16人． （1）问：你有多大的把握认为细节的把握程度与性别有关？ （2）为了进一步调查考试中易犯哪些非知识错误，现用分层抽样的方法从100人中抽取样本容量为10的样本，求从这10人中任取两人，恰有一人犯有非知识错误的概率． 附：（1）临界值表： p（k2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879 10.828 （2）K2=． 18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点． （Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1； （Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D； （Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由． 19．已知f（x）=+nlnx（m，n为常数），在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0． （Ⅰ）求f（x）的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若?x∈[，1]，使得对?t∈[，2]上恒有f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2成立，求实数a的取值范围． 20．数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=（n≥2）． （1）求a2的值； （2）求数列{Sn}的通项公式； （3）设f（n）=，若存在正数k，使f（n）≥k对一切n∈N*都成立，求k的最大值． 21．在平面直角坐标系xoy中，已知点P（0，1），Q（0，2），椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T．求证：点T 在椭圆C上． 安徽省合肥168中2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．设x∈R，“复数z=（1﹣x2）+（1+x）i为纯虚数”是“lg|x|=0”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑． 分析：根据充分必要条件的对于进行判断即可． 解答：解：若复数z=（1﹣x2）+（1+x）i为纯虚数， 则，解得：x=1， ∴lg|x|=lg1=0，是充分条件， 若lg|x|=0，则：x=±1， x=1时，复数z是纯虚数， x=﹣1时，z=0，不满足条件，不是必要条件， 故选：A． 点评：本题考查了充分必要条件，考查复数的定义，是一道基础题． 2．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（） A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b 考点：对数值大小的比较． 专题：函数的性质及应用． 分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 解答：解：∵a=20.5＞1，0＜b=logπ3＜1，c=log2sin＜0， ∴a＞b＞c． 故选：C． 点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题． 3．已知x与y之间的几组数据如下表： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 假设根据上表数据所得线性回归方程为=x+，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为y=bx+a，则与b，与a的大小为（） A．＞b，＞a B．＞b，＜a C．＜b，＞a D．＜b，＜a 考点：线性回归方程． 专题：概率与统计． 分析：利用数据求出回归直线方程的系数，利用数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程y=bx+a，比较可得结论． 解答：解：由题意可知n=4，===4.5，===3.5， 则==，==3.5﹣0.7×4.5=0.35， 过（4，3）和（5，4）的直线方程为：， 即y=x﹣1，则b=1，a=﹣1， 则＜b，＞a， 故选：C． 点评：本题考查线性回归方程的求解，以及由两点求直线方程的应用，比较基础． 4．△ABC中，若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是（） A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定 考点：三角形的形状判断． 专题：解三角形． 分析：由正余弦定理结合已知条件可得角C为锐角，但A、B两角不确定，无法判断三角形的形状． 解答：解：∵sin2A+sin2B＞sin2C， ∴由正弦定理可得a2+b2＞c2， ∴cosC=＞0， ∴角C为锐角， 但A、B两角不确定，故无法判断三角形的形状， 故选：D 点评：本题考查三角形形状的判断，属基础题． 5．动圆M经过双曲线x2﹣=1的左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的轨迹方程是（） A．y2=8x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=﹣4x 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：求出双曲线的左焦点（﹣2，0），设M（x，y），动圆的半径为r，运用直线和圆相切的条件d=r，以及圆的半径的定义，列出方程，化简即可得到M的轨迹方程． 解答：解：双曲线x2﹣=1的左焦点为（﹣2，0）， 设M（x，y），动圆的半径为r， 由动圆M与直线x=2相切，可得|x﹣2|=r， 又动圆M经过双曲线的左焦点， 则=r， 即有=|x﹣2|， 两边平方，化简可得y2=﹣8x． 故选B． 点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查轨迹方程的求法：直接法，运用直线和圆相切的条件和圆的定义是解题的关键，考查化简的运算能力，属于基础题． 6．设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（） A．B．C．D． 考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质． 分析：先由等比中项的性质求得a3，再利用等比数列的通项求出公比q及首项a1，最后根据等比数列前n项和公式求得S5． 解答：解：由a2a4=a32=1，得a3=1， 所以S3==7， 又q＞0，解得=2，即q=． 所以a1==4， 所以=． 故选B． 点评：本题考查等比中项的性质、等比数列的通项公式及前n项和公式． 7．已知实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m等于（） A．0 B． 6 C．7 D．8 考点：简单线性规划的应用． 专题：计算题． 分析：由目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，我们可以画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值． 解答：解：画出x，y满足的可行域如下图： 可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值， 故， 解得， 代入x﹣y=﹣2得 故选：D 点评：如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值． 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 考点：循环结构． 专题：算法和程序框图． 分析：框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值． 解答：解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1， 输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2； 判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3； 判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4； 判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5． 此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足， 即5＞n满足，所以正整数n的值应为4． 故选：B． 点评：本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题． 9．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（9）+f（10）=（） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D． 1 考点：函数奇偶性的性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论． 解答：解：∵f（x+2）为奇函数， ∴f（﹣x+2）=﹣f（x﹣2）， ∵f（x）是偶函数， ∴f（﹣x+2）=f（x﹣2）=﹣f（x﹣2）， 即f（x+4）=﹣f（x）， f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x）， 则f（9）=f（1）=1， f（10）=f（2）， 当x=0时，由f（﹣x+2）=﹣f（x﹣2）， 得f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（2）， 即2f（2）=0， 则f（2）=0， ∴f（9）+f（10）=0+1=1， 故选：D． 点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键． 10．定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数： ①y=x3﹣x2+x﹣2；②y=2x﹣（sinx+cosx）；③y=ex+1；④f（x）=其中是“Z函数”的个数为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考点：函数的概念及其构成要素． 分析：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f （x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论． 解答：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f （x2）+x2f（x1）恒成立， ∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立， 即函数f（x）是定义在R上的增函数． ①y=﹣x3﹣x2+x﹣2；y'=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，则函数在定义域上单调递增． ②y=2x﹣（sinx+cosx）；y'=2﹣（cosx﹣sinx）=2+sin（x﹣）＞0，函数单调递增，满足条件． ③y=ex+1为增函数，满足条件． ④f（x）=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件． 故选C． 点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键． 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11．命题“对?x≥0，都有x2+x﹣1＞0”的否定是?x≥0，都有x2+x﹣1≤0． 考点：命题的否定． 专题：简易逻辑． 分析：根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可． 解答：解：命题为全称命题， 则命题的否定为：?x≥0，都有x2+x﹣1≤0， 故答案为：?x≥0，都有x2+x﹣1≤0 点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为8﹣π． 考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：由三视图知几何体为正方体在相对的两个顶点处分别挖去两个个圆柱，根据三视图的数据求出正方体的棱长、圆柱的高和底面上的半径，代入体积公式计算即可． 解答：解：由三视图可知，该几何体为正方体在相对的两个顶点处分别挖去两个个圆柱， 由三视图中的数据可得：正方体的棱长为2，圆柱的高为2，圆柱底面的半径都是1， ∴几何体的体积V==8﹣π， 故答案为：8﹣π． 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力． 13．已知实数x，y满足x2+y2﹣xy=1，则x+y的最大值为2． 考点：基本不等式． 专题：不等式的解法及应用． 分析：利用基本不等式的性质即可得出． 解答：解：∵x2+y2﹣xy=1， ∴（x+y）2=1+3xy， 化为（x+y）2≤4， ∴x+y≤2， ∴x+y的最大值为2． 故答案为：2． 点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 14．已知正数a，b，对任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2恒成立，则实数x的取值范围是x≤﹣1或x≥2． 考点：函数恒成立问题． 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析：法一：通过因式分解，原不等式可化简为x2﹣x﹣（a+b）＞0，问题可化为x2﹣x＞（a+b）max；法二：构造函数h（t）=﹣t2+（x2﹣x）t，由题意可知h（t）=﹣t2+（x2﹣x）t在（0，1）单调递增，借助二次函数的性质可得关于x的不等式． 解答：解法一：化简ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2， 得（a﹣b）x2﹣（a﹣b）x﹣（a2﹣b2）＞0， ∵a＞b，∴x2﹣x﹣（a+b）＞0， 又a，b∈（0，1），∴x2﹣x≥2，解得x≤﹣1或x≥2． 故答案为：x≤﹣1或x≥2． 法二：ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2可化为a（x2﹣x）﹣a2＞b（x2﹣x）﹣b2， 令h（t）=﹣t2+（x2﹣x）t， ∵对任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2恒成立， ∴h（t）=﹣t2+（x2﹣x）t在（0，1）单调递增， ∴对称轴t=，解得x≤﹣1或x≥2， 故答案为：x≤﹣1或x≥2． 点评：本题考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力，法一转化为了函数最值解决，而法二则通过构造函数转化为函数的单调性处理，细心观察式子的特点并能合理转化是解题关键． 15．下列说法中 ①若=，则点O是△ABC的重心 ②若点O满足：，则点O是△ABC的垂心． ③若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的内心． ④若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的重心． ⑤若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的外心． 其中正确的是①②③④． 考点：向量的线性运算性质及几何意义． 专题：平面向量及应用． 分析：①若=，取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形，由于=，即可判断出正误； ②设，，，则=，=，=．由已知可得：+=+=，化为==，利用向量垂直与数量积的关系即可判断出正误． ③由已知化为=λ，可知点P一定在∠BAC的平分线上，即可判断出正误． ④由已知可得：=λ，设D为边BC的中点，根据正弦定理：，因此与共线，而与共线，即可判断出正误． ⑤由已知可得：=λ，?=+=0，可得，即可判断出正误． 解答：解：①若=，取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形，∴=，∴A，O，D三点共线，且||OA=2|OD|，∴点O是三角形ABC的重心，正确； ②设，，，则=，=，=．∵点O满足：，∴+=+=，化为==，∴，，，则点O是△ABC的垂心，正确．则点O是△ABC的垂心． ③若动点P满足，∴=λ，因此点P一定在∠BAC的平分线上，∴点P的轨迹一定过△ABC 的内心，正确． ④若动点P满足，∴=λ，设D为边BC的中点，根据正弦定理：，即=，∴与共线，而与共线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心． ⑤若动点P满足，∴=λ，∵?=+=0， ∴，因此点P的轨迹一定过△ABC的垂心，故不正确． 故答案为：①②③④． 点评：本题综合考查了向量的运算性质、数量积运算性质、三角形的重心垂心内心外心等判定定理与性质定理、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B=，BC=1． （Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC=，求角A的大小； （Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长． 考点：正弦定理． 专题：解三角形． 分析：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得到∠BDC，又由DA=DC，即可得到∠A； （Ⅱ）由于△BCD面积为，得到 ?BC?BD?sin=，得到BD，再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC?BD?cos ，再由DA=DC，即可得到边AB的长． 解答：解：（Ⅰ）在△BCD中，B=，BC=1，DC=， 由正弦定理得到：， 解得sin∠BDC==， 则∠BDC=或．△ABC是锐角三角形，可得∠BDC=． 又由DA=DC，则∠A=． （Ⅱ）由于B=，BC=1，△BCD面积为， 则?BC?BD?sin=，解得BD=． 再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC?BD?cos=1+﹣2××=， 故CD=， 又由AB=AD+BD=CD+BD=， 故边AB的长为：． 点评：本题考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，属于中档题． 17．安徽省文科2015届高考数学试题考生一致认为比较简单，从而好成绩的取得不仅与知识掌握程度有关更与细节的把握程度有关（非知识错误）！学校就数学学科考试上是否有失误从本届文科毕业生中随机调查了100人，其中男生36人，有失误的学生中男生14人，女生16人． （1）问：你有多大的把握认为细节的把握程度与性别有关？ （2）为了进一步调查考试中易犯哪些非知识错误，现用分层抽样的方法从100人中抽取样本容量为10的样本，求从这10人中任取两人，恰有一人犯有非知识错误的概率． 附：（1）临界值表： p（k2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879 10.828 （2）K2=． 考点：独立性检验的应用． 专题：应用题；概率与统计． 分析：（1）列出2×2列联表，计算k2，与临界值比较，即可得出结论； （2）确定基本事件的个数，即可求出从这10人中任取两人，恰有一人犯有非知识错误的概率． 解答：解：（1）2×2列联表为 有失误没有失误合计 男生14 22 36 女生16 48 64 合计30 70 100 k2=≈2.12＞2.072， 故有85%的把握认为细节的把握程度与性别有关； （2）从这10人中任取两人，基本事件45，从这10人中任取两人，非知识错误3人，满足要求21个， 故从这10人中任取两人，恰有一人犯有非知识错误的概率为． 点评：本题考查独立性检验知识，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点． （Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1； （Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D； （Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由． 考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（Ⅰ）充分利用正三棱柱的性质得到CC1⊥底面ABC，得到CC1⊥BD，只要再证明BD垂直于AC即可； （Ⅱ）连接B1C交BC1于O，连接OD，D为AC 中点，得到AB1∥OD，利用线面平行的判定定理可得； （Ⅲ）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；只要利用线面垂直的判定定理和性质定理证明． 解答：（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形， ∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥底面ABC， ∵BD?底面ABC，∴CC1⊥BD， 又底面为等边三角形，D为线段AC的中点． ∴BD⊥AC， 又AC∩CC1=C， ∴BD⊥平面ACC1A1； （Ⅱ）证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，如图 则O为B1C的中点， ∵D是AC的中点，∴AB1∥OD， 又OD?平面BC1D，OD?平面BC1D ∴直线AB1∥平面BC1D； （Ⅲ）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上； 证明如下：过C作CE⊥C1D交线段C1D与E， 由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACC1A1， 而CE?平面ACC1A1，所以BD⊥CE， 由CE⊥C1D，BD∩C1D=D， 所以CE⊥平面BC1D， DM?平面BC1D， 所以CE⊥DM． 点评：本题考查了线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理的运用证明线线垂直，熟练运用定理是关键． 19．已知f（x）=+nlnx（m，n为常数），在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0． （Ⅰ）求f（x）的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若?x∈[，1]，使得对?t∈[，2]上恒有f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2成立，求实数a的取值范围． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的定义域及其求法；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用． 分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义求得m，n的值，根据对数函数的定义得到函数定义域； （Ⅱ）f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1，只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对任意的上恒成立，构造函数m（t），利用导数求出m（t）的最大值，即可求得结论． 解答：解：（Ⅰ）由可得， 由条件可得， 把x=﹣1代入x+y=2可得，y=1， ∴，∴m=2，， ∴，（0，+∞）； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上单调递减， ∴f（x）在上的最小值为f（1）=1， 故只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对任意的上恒成立， 令m（t）=， 易求得m（t）在单调递减，[1，2]上单调递增， 而，， ∴2a≥m（t）max=g（2） ∴，即a的取值范围为． 点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，属于中档题． 20．数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=（n≥2）． （1）求a2的值； （2）求数列{Sn}的通项公式； （3）设f（n）=，若存在正数k，使f（n）≥k对一切n∈N*都成立，求k的最大值． 考点：数列递推式；数列的求和． 专题：点列、递归数列与数学归纳法． 分析：（1）通过an=（n≥2）直接代入计算即可； （2）利用an=Sn﹣Sn﹣1代入an=（n≥2），整理得数列{}是以=1为首项、以2为公差的等差数列，进而计算即得结论； （3）通过化简可知=＞1，问题转化为fmin（n）≥k，进而计算可得结论． 解答：解：（1）∵a1=1，an=（n≥2）， ∴a2=， 解得； （2）∵当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1， ∴Sn﹣Sn﹣1=， ∴（Sn﹣Sn﹣1）（2Sn﹣1）=2， ∴Sn﹣1﹣Sn=2SnSn﹣1， ∴﹣=2， 即数列{}是以=1为首项、以2为公差的等差数列， ∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1， ∴Sn=； （3）∵Sn=，f（n）=， ∴=====＞1， ∴f（n）在n∈N*上递增， 要使f（n）≥k恒成立，只需fmin（n）≥k， ∵fmin（n）=f（1）=， ∴0＜k≤， ∴kmax=． 点评：本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 21．在平面直角坐标系xoy中，已知点P（0，1），Q（0，2），椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T．求证：点T在椭圆C上． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（Ⅰ）利用椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离可知b=，利用e2==可知a=2，进而可得结论； （Ⅱ）通过设点M（x0，y0）、N（﹣x0，y0）、T（x，y），联立直线PM、QN的方程得x0=、y0=，通过将点M、N坐标代入椭圆C方程、化简即得结论． 解答：（Ⅰ）解：∵椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离， ∴b==， 又∵e2===， ∴a=2， ∴椭圆C的方程为：； （Ⅱ）证明：依题意可设点M（x0，y0）、N（﹣x0，y0）、T（x，y）， 则直线PM的方程为：y=x+1， 直线QN的方程为：y=﹣x+2， 联立直线PM、QN的方程，得：x0=，y0=， ∵点M、N均在椭圆C上， ∴， ∴， 整理得：+=（2y﹣3）2， ∴+﹣12y+8=4y2﹣12y+9， 即， ∴点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上． 点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
安徽省合肥168中学2014届高三数学最后一卷试题 文 新人教A版
安徽省合肥168中学2014届高三最后一卷 文科数学试题一选择题（50分）1. 若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为A ．0或2B ．2C ．0D ．1或22．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的弹道导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取的5枚导弹的编号可能是A ．5,10,15,20,25B ．3,13,23,33,43C ．1,2,3,4,5D ．2,4,6, 16 ,32 3．“m=-1"是“直线mx+（2m －l ）y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 10:S 5＝1:2，则S 15:S 5为 A ． 1:2 B ． 1:3 C ． 2:3 D ． 3:4 5.命题‘‘若a ，b ，c 成等比数列，则2b ac =”的逆否命题是(A)若a ，b ，c 成等比数列，则2b ac ≠ (B)若a ，b ，c 不成等比数列，则2b ac ≠ (C)若2b ac =，则a ，b ，c 成等比数列 (D)若2b ac ≠，则a ，b ，c 不成等比数列6．已知A ，B 是单位圆上的动点，且O ，则OA uu r ·AB uu u r=A ．BC ．32-D ．327．函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)（ω＞0，－π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ） A ．2，－π3 B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π38．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为ABC D 9. 若32()132x a f x x x =-++函数在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点,则实数a 的取值范围是( ) A.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．设P 是双曲线2214y x -=上除顶点外的任意一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，△12PF F 的内切圆与边12F F 相切于点M ，则12F M MF ⋅=A ．5B ．4C ．2D ．1 二．填空题（25分）11．某一个班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是12.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的i 值为13.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =14. 已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤+-042042k y x y y x ，且目标函数y x z +=3的最小值为1-，则实常数=k/分 频率15．给出下列四个命题： （1）“cos α=”是“52,6k k z παπ=+∈”的必要不充分条件； （2）终边在y 轴上的角的集合是{a|a=Z k k ∈π,2|. （3） 函数)32sin(π-=x y 的一个单调增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-125,12ππ； （4）设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是()'00f =（5）.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个长度单位其中真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 三．解答题（75分）16. （本小题满分12分）在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c，且4b . （1）求sinB 的值；（2）若,,a b c 成等差数列，且公差大于0，求-cosA cosC 的值. 17.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1,AB AC AC AA ⊥=，E 、F 分别是棱1BC CC 、的中点.（Ⅰ）求证：AB ⊥平面AA 1 C 1C ；（Ⅱ）若线段AC 上的点D 满足平面DEF //平面1ABC ，试确定点D 的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF ⊥A 1C.18（本小题满分12分）已知正项数列}{n a 中，t a =1，其前n 项和为n S ，满足12+⋅=n n n a a S（1）如果数列}{n a 为等差数列，求t 的取值，并求出数列}{n a 的通项公式 （2）如果数列}{n a 为单调递增数列，求t 的取值范围。
2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷一及详细答案
2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷一一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）． 1．（3分）若不等式组的解集是x ＞3，则m 的取值范围是（ ）2．（3分）如图，在△ABC 中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（ ）． C ．3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ）4．（3分）已知y=+（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）25．（3分）（2010•泸州）已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）．CD ．6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）8．（3分）如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（）C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）与是相反数，计算=_________．10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=_________．11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=_________．12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB 上任一点，则PC+PD的最小值为_________．13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是_________．14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S 的最小值是_________．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_________cm．16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是_________cm．三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．21．（15分）（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）不等式组2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）．C．AC=AD（（，AC=（）3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）2y=两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最+×，当5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）．C D．6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）l=（7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）=1，代入得（﹣8．（3分）如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（）C．=，AB=3，三角形r=二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）与是相反数，计算=．a+解：∵|∴|=0=0=3a+2+=3+2（+∴=故答案为：10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=﹣2．，≈A=+1+1+1﹣11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=．MN=ABMN=AB故答案是12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB 上任一点，则PC+PD的最小值为3．弦的关系可知=由=120R=∵∴=80∴∵∴+=100=2×=313．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是 5.5．=5.514．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是．（，[﹣﹣=．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是cm．x=PQ=16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是1cm．圆锥的高为=2R=2﹣﹣+4三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．，得，或AB=3）或（），﹣3+﹣，）或（18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．∵RGB=，﹣m﹣m，移动的路径是弧，弧长是：=m47+=60+2+（19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．，利用平行线分线段成比例定理得到，从而得到∴，∴20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．边长为倍即可得到菱形的面积×6=54BE=O E=BG=﹣r DN=DH=6﹣﹣（r++（边长为×BE=rBG=DM=DG=6﹣DN=DH=6﹣MN=DM+DN=12（r+6r+6（﹣（这个点与圆心的连线平分两切线的夹角；掌握菱形的性质，记住等边三角形的面积等于边长平方的21．（15分）（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．（（=，∴）﹣=2（•±+2∴∴（（EC=。
安徽省合肥168中、合肥六中2014-2015学年高一数学下学期期末试卷(含解析)
专题：解三角形．分析：〔1〕在△ POC中，根据，OP=2，OC=1，利用余弦定理求得PC的值．（2〕解法一：利用正弦定理求得CP和OC的值，记△POC的面积为S〔θ〕，那么，利用两角和差的正弦公式化为，可得时， S〔θ 〕取得最大值为．解法二：利用余弦定理求得223OC?PC≤4，所以OC+PC+OC?PC=4，再利用根本不等式求得，再根据 OC=PC求得△ POC面积的最大值时θ的值．解答：解：〔 1〕在△ POC中，， OP=2， OC=1，由2．得 PC+PC﹣3=0，解得〔 2〕解法一：∵ CP∥OB，∴，在△ POC中，由正弦定理得，即，∴．又，∴．记△ POC的面积为S〔θ〕，那么======，∴时， S〔θ〕取得最大值为．解法二：22，即 OC+PC+OC?PC=4．2 2又OC+PC+OC?PC≥3OC?PC，即 3OC?PC≤4，当且仅当 OC=PC时等号成立，-15-所以，∵ OC=PC，∴时， S〔θ〕取得最大值为．点评：此题主要考察两角和差的正弦公式，正弦定理、余弦定理、根本不等式的，属于中档题．22．〔 12 分〕〔2021 春?XX校级期末〕{a n} 、 {b n} 都是各项均为正数且公差不为0 的等差数列，满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1〔 n∈ N*〕．〔 1〕求证：数列 {a n} 有无穷多个，而数列{b n} 惟一确定；〔 2〕设 a n+1=，s n=b1+b2+b3+⋯+b2n﹣1+b2n，求证：2＜＜6．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：〔 1〕通过将n1n12n n+1n+1 n n+1*〕，计a =a +〔 n﹣1〕 d，b =b +〔 n﹣ 1〕 d代入 a b +a b =2na〔 n∈N算即得结论；〔 2〕一方面通过 a﹣ a 计算可得 a ＜ a，放缩可得2n＜ b+b ，进而有 S =＞2[1+3+⋯+ n+1n nn+1n+1n n〔 2n﹣1〕] ，另一方面通过 a n b n+1=〔 2n﹣ b n〕?a n+1＞ 0，a n+1＞ 0，可得 S n=＜ 2〔1+2+⋯+2n〕，计算可得结论．解答：证明：〔1〕设{a n}、{b n}公差分别为d1、 d2〔 d1d2≠0〕，则a n=a1+〔n﹣ 1〕 d，b n=b1+〔 n﹣ 1〕 d2，*代入 a n b n+1+a n+1b n=2na n+1〔 n∈N 〕，可得 [a 1 +〔n﹣ 1〕 d1 ][b 1+nd2]+ 〔 a1+nd1〕 [b 1+〔 n﹣1〕 d2]=2n 〔a1+nd1〕是个恒等式，可得，解得，可得 a n=na1， b n=n．∴a1 可取无穷多个正实数，可得数列{a n} 有无穷多个，而数列{b n} 惟一确定；〔 2〕∵a n+1=，-16-∴a n+1﹣a n=a n+1=﹣a n=＞0，∴a n＜a n+1，∴a n b n+1+a n+1b n=2na n+1＜a n+1b n+1+a n+1b n，∴2n＜ b n+1+b n．∴S n==〔 b1+b2〕 +〔 b3+b4〕+⋯+〔 b2n﹣1+b2n〕＞ 2[1+3+⋯+〔 2n﹣ 1〕 ]=2n 2．又a n b n+1=〔 2n﹣ b n〕?a n+1＞ 0， a n+1＞ 0，∴2n﹣ b n＞0．∴S n=＜2〔1+2+⋯+2n〕=2n〔1+2n〕=4n2+2n，∴S n∈〔2n2，4n2+2n〕，∴2＜＜ 4+ ≤6．∴．点评：此题是一道关于数列的综合题，考察运算求解能力，考察分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．-17-。
自主招生考试数学试卷及参考答案
自主招生考试数学试卷及参考答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22第2自主招生考试 数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。
2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。
试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。
做在试题卷上无效。
3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。
4．答题过程不准使用计算器。
祝你成功!一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< C S S S 132<<D S S S 123==3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是33第5A π－1B π－2C 121-πD 221-π4．由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>－3,则m 的取值范围是A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB <BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是 A 0 B 1 C 2 D 36．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3),A （x 1，y 1）B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2,且x 1+x 2=1－a,则A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． 二次函数y ＝ax 2+(a －b ）x —b 的图象如图所示，44那么化简222||a ab b b -+-的结果是______▲________.8． 如图所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔA JI =1， 则S 正方形ABCD = ▲9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 ▲ 张 （2）第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张（3）从第1个图案到第100个图案，总共有白色纸片 ▲ 张第10题 第7题第8题5511.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= ▲12．阅读下列证明过程： 已知，如图四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答： ▲ ． (2)作DE ∥AB 的目的是： ▲ ．(3) 判断四边形ABED 为平行四边形的依据是： ▲ ． (4)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是 ▲ ．(5)若题设中没有AD ≠BC ，那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗为什么 答 ▲ ．自主招生考试第11题第12题66数学标准答案一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． ______－1__________ 8． 256 9． 57610．（1） 13 （2） 3n+1 （3） 15250 11. a b12．(1)没有错误 (2)为了证明AD ∥BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义 (5) 不一定，因为当AD ＝BC 时，四边形ABCD 是矩形 三、解答题（本题共5小题，共60分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）13.（本小题10分）某公园门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。
2014-2015年安徽省合肥168中、合肥六中高一下学期数学期末试卷与解析PDF
C．1
D． ）
12． （5 分） 若等差数列{an}满足 a12+a102=10， 则 S=a10+a11+…+a19 的最大值为 （ A．60 B．50 C．45 D．40
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卷相应 位置． 13． （5 分）已知函数 y= 则该函数为偶函数的概率为 ，其中 m，n 是取自集合{1，2，3}的两个不同值， ．
19． （12 分）一个盒子中装有 4 张卡片，每张卡片上写有 1 个数字，数字分别是 1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片． （I）若一次从中随机抽取 3 张卡片，求 3 张卡片上数字之和大于或等于 7 的概 率； （Ⅱ）若第一次随机抽取 1 张卡片，放回后再随机抽取 1 张卡片，求两次抽取的 卡片中至少一次抽到数字 2 的概率． 20． （12 分）已知 {an}，{bn}均为等差数列，前 n 项和分别为 Sn，Tn． （1）若对 n∈N*，有 （2）若平面内三个不共线向量 ，求 的最大值． 满足 ，且 A，B，
A．k＞4
B．k＞5
C．k＞6D．k＞7 满足 ，且 ，则 在 方向上
4． （5 分）已知向量 的投影为（ A．3 ）
B．﹣3 C．
D．
5． （5 分）已知函数 f（x）=2x 与 g（x）=x3 的图象交于 A（x1，y1） 、B（x2，y2） 两点，其中 x1＜x2．若 x2∈（a，a+1） ，且 a 为整数，则 a=（ A．7 B．8 C．9 D．10 ）
2014-2015 学年安徽省合肥答案与试题解析
一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四 个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1． （5 分）若数列{an}的通项公式是 an=2×（﹣3）n，则该数列是（ A．公比为﹣3 的等比数列 B．公比为 2 的等比数列 C．公比为 3 的等比数列 【解答】解：当 n≥2 时， 则数列{an}是公比为﹣3 的等比数列， 故选：A． D．首项为 2 的等比数列 为常数， ）
2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷二及详细答案
2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷二参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，共10个小题，满分30分）2222．（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）C．ab+bc+ac=ab+bc+ac=；++．3．（3分）设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的中可知﹣．22，即的值即可．M===24326．（3分）已知坐标原点O和点A（2，﹣2），B是坐标轴上的一点，若△AOB是等腰三角形，则这样的点B一共7．（3分）如图：有六个面积为1的正方形组成的长方形，其中有A、B、C、D、E、F、G 7个点，以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有（）9．（3分）有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之﹣﹣﹣）10．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（）D．二、填空题（每小题6分，满分42分）11．（6分）（2012•驻马店二模）如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分别为a、b、c，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于76．（（（16+×12．（6分）Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA和sinB是方程的两个根，则k=﹣．sinA+sinB=是方程sinA+sinB=，﹣．13．（6分）在△ABC中，AC=2，D是AB的中点，E是CD上一点，，若，则BC=2．ED= CE=ED=CE=CE=∴CD=CD=ABa=×=2BC=14．（6分）方程的解为．+3x2=6xx=x=时：原方程的左边x=是原方程的解．故答案为15．（6分）在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．边形的对角线有n=关键是掌握多边形的对角线与正多边形边数的关系16．（6分）若正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，例如6、8、10都是奇异数，那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999这10个正整数中奇异数有8个．17．（6分）如图，MN是半圆O的半径，A是半圆的一个三等分点，B是的中点，P是直径MN上的点，若AP+PB 的最小值为厘米，则圆的半径r=2厘米．B=2，的中点，三、解答题（每小题16分，满分48分）18．（16分）（2012•仪陇县模拟）已知二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象如图所示．（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C 三点，求扇形MAC的面积；（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．点纵坐标的AB=﹣（﹣AC==AM==R=，π∴（舍去），﹣）（，﹣19．（16分）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（m•n+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．①②20．（16分）已知△ABC是圆O的内接三角形，∠BAC的平分线交BC于F交圆O于D，DE切圆O于D交AC的延长线于E，连BD，若BD=3，DE+EC=6，AB：AC=3：2，求BC的长．∴BD=DC=3∴∴∴∴∴∴AD=6DF=∴BC=．的长为。
安徽省合肥168中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷
2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=（）A． 1 B．﹣ C． 1或0 D．﹣或2．已知圆C：x2+2x+y2=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）A． x﹣y+1=0 B． x﹣y﹣1=0 C． x+y﹣1=0 D． x+y+1=03．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（）A．π B．（12+4）π C．π D．（13+4）π4．下面说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”B．实数x＞y是x2＞y2成立的充要条件C．设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q”也为假命题D．命题“若cosα≠1，则α≠0”的逆否命题为真命题5．若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（ C ）A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个6．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，若异面直线AB1与BC1所成的角为60°，则该三棱柱的侧棱长为（）A． 2或 B． C． D． 27．已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（）A． a＞1 B． 1≤a≤2 C． a＞2 D．无解8．已知抛物线y=x2﹣1上的一定点B（﹣1，0）和两个动点PQ、，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） B． [﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3]∪[1，）∪（，+∞） D． [1，+∞）9．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．10．过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l 与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A． B． C． 1 D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．12．已知双曲线的方程为﹣x2=1，点A的坐标为（0，﹣），B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为．13．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为•14．已知平面内一点P∈{（x，y）|（x﹣2cosα）2+（y﹣2sinα）2=16，α∈R}，则满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是．15．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l 的距离，记作d（P，l）①若点P（1，1），线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5），则d（P，l）=；②设l是长为2的定线段，则集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积为4；③若A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x=0}；④若A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1），D（0，1），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x2﹣y2=0}．其中正确的有．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内）16．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求△ABC的面积．17．如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥C﹣BGF的体积．18．已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）．（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并求出切线方程；（2）若a=，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直．①求四边形ABCD面积的最大值；②求|AC|+|BD|的最大值．19．椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．（1）求椭圆T的离心率；（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：++为定值．20．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E为CD上一点，且DE=1，EC=2，现沿BE折叠使平面BCE⊥平面ABED，F为BE的中点．图2所示．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）能否在边AB上找到一点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为？若存在，试确定点P的位置，若不存在请说明理由．21．椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆E的方程；（2）已知直线l过点M（﹣，0）且与开口向上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直线l与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于D点，若=λ，=μ，且λ+μ=﹣4，求抛物线C的标准方程．2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=（）A． 1 B．﹣ C． 1或0 D．﹣或考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：利用直线与直线垂直，两直线中x、y的系数积之和为0的性质求解．解答：解：∵两直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，∴a（2a﹣1）﹣a=0，解得a=1或a=0．故选：C．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意直线与直线垂直的性质的合理运用．2．已知圆C：x2+2x+y2=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）A． x﹣y+1=0 B． x﹣y﹣1=0 C． x+y﹣1=0 D． x+y+1=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由与l1垂直的直线l2平分该圆，得到l2的斜率k=﹣1，且过圆心C（﹣1，0），由此能求出直线l2的方程．解答：解：∵圆C：x2+2x+y=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，∴l2的斜率k=﹣1，且过圆心C（﹣1，0），∴l2的方程为：y=﹣（x+1），整理，得x+y+1=0．故选：D．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（）A．π B．（12+4）π C．π D．（13+4）π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和圆台的组合体，结合圆柱和圆台的相关面积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和圆台的组合体，圆台的上底面半径，即圆柱的底面半径为：，圆台的下底面半径为，圆柱的高为1，圆台的高为2，故圆台的母线长为：=，该几何体的表面积相当于圆台的表面积与圆柱侧面积的和，故S=+=π，故选：A．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．4．下面说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”B．实数x＞y是x2＞y2成立的充要条件C．设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q”也为假命题D．命题“若cosα≠1，则α≠0”的逆否命题为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；简易逻辑．分析：由命题的否定的形式，即可判断A；运用充分必要条件的定义，即可判断B；运用复合命题的真假和真值表，即可判断C；运用原命题和逆否命题互为等价命题，即可判断D．解答：解：对于A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1＜0”，则A错误；对于B．实数x＞y不能推出x2＞y2，反之，也不能推出，则为既不充分也不必要条件，则B 错误；对于C．设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，￢p，￢q均为真命题，￢p∧￢q”为真命题，则C错误；对于D．命题“若cosα≠1，则α≠0”的逆否命题为”“若α=0，则cosα=1”为真命题，则D正确．故选D．点评：本题考查命题的否定、充分必要条件的判断、复合命题的真假以及四种命题的关系，考查判断推理能力，属于基础题和易错题．5．若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（ C ）A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：根据垂直于同一直线的两平面平行，判断①是否正确；根据垂直于同一平面的两平面位置关系部确定来判断②是否正确；借助图象，分别过两平行线中一条的二平面位置关系部确定，判断③的正确性；利用线线平行，线面平行，面面平行的转化关系，判断④是否正确．解答：解：当α、β不平行时，不存在直线a与α、β都垂直，∴a⊥α，a⊥β⇒α∥β，故①正确；对②，γ⊥α，γ⊥β，α、β可以相交也可以平行，∴②不正确；对③，∵a∥b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α时，α、β位置关系不确定，∴③不正确；对④，∵异面直线a，b．∴a过上一点作c∥b；过b上一点作d∥a，则 a与c相交；b与d相交，根据线线平行⇒线面平行⇒面面平行，∴④正确．故选C点评：本题考查面面平行的判定．通常利用线线、线面、面面平行关系的转化判定．6．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，若异面直线AB1与BC1所成的角为60°，则该三棱柱的侧棱长为（）A． 2或 B． C． D． 2考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，分别取AB，B1C1，A1B1，BB1的中点为E，F，G，H，设出正三棱柱的高，然后通过解三角形求得答案．解答：解：如图，分别取AB，B1C1，A1B1，BB1的中点为E，F，G，H，连接EF，EH，FH，EG，FG，设正三棱柱的高为2h，又底面边长为2，则，．在三角形EHF中，由余弦定理可得：EF2=EH2+FH2﹣2EH•FH•cos120°，则，解得：h=．∴正三棱柱的高为．故选：D．点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了异面直线所成角的概念，考查了余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．7．已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（）A． a＞1 B． 1≤a≤2 C． a＞2 D．无解考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可得命题p与q必然一真一假，解答：解：命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，当a=0时，函数f（x）的定义域不为R；当a≠0时，由题意可得：，解得a＞2．命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立，当a＞0时，可得x（a2x+2a﹣2）＞0，当a≥1时，上述不等式对一切正实数x均成立；当0＜a＜1时上述不等式不满足对一切正实数x均成立，舍去；同理当a≤0时，上述不等式不满足对一切正实数x均成立．可得：实数a的范围是a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与q必然一真一假，∴或，解得1≤a≤2．则实数a的取值范围为1≤a≤2．故选：B．点评：本题考查了简易逻辑的判定、对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知抛物线y=x2﹣1上的一定点B（﹣1，0）和两个动点PQ、，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） B． [﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3]∪[1，）∪（，+∞） D． [1，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设P，Q的坐标，利用BP⊥PQ，可得斜率之积为﹣1，从而可得方程，再利用方程根的判别式大于等于0，注意检验t=﹣1的情况，即可求得Q点的横坐标的取值范围．解答：解：设P（t，t2﹣1），Q（s，s2﹣1）∵BP⊥PQ，∴•=﹣1，即t2+（s﹣1）t﹣s+1=0，∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点，∴必须有△=（s﹣1）2+4（s﹣1）≥0．即s2+2s﹣3≥0，解得s≤﹣3或s≥1．由t=﹣1，代入t2+（s﹣1）t﹣s+1=0，可得t=，此时P，B重合，则有s≠．∴Q点的横坐标的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，）∪（，+∞）．故选C．点评：本题重点考查取值范围问题，解题的关键是利用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1构建方程，再利用方程根的判别式大于等于0进行求解．9．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P 这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l 与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A． B． C． 1 D．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由点H在椭圆上，知H（3cosθ，2sinθ），由过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cos θ）x+（2sinθ）y=2，由此能求出△POQ面积最小值．解答：解：∵点H在椭圆上，∴H（3cosθ，2sinθ），∵过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，∴P（，0），Q（0，），∴△POQ面积S==×，∵﹣1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=1时，△POQ面积取最小值．点评：本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．12．已知双曲线的方程为﹣x2=1，点A的坐标为（0，﹣），B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为+3 ．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点D的坐标为（0，），则点A，D是双曲线的焦点，利用双曲线的定义，可得|MA|﹣|MD|=2a=4．于是|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，再利用|BD|≥|CD|﹣r即可．解答：解：设点D的坐标为（0，），则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|﹣|MD|=2a=4．∴|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，又B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，则圆的圆心为C（，0），半径为1，故|BD|≥|CD|﹣1=﹣1=﹣1，从而|MA|+|MB|≥4+|BD|≥+3，当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为+3．故答案为：+3．点评：熟练掌握双曲线的定义和性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键．13．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为•考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；转化思想．分析：在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长．解答：解：设球的半径为r，由正四面体的体积得：，所以r=，设正方体的最大棱长为a，所以，，a=故答案为：点评：本题是中档题，考查正四面体的内接球的知识，球的内接正方体的棱长的求法，考查空间想象能力，转化思想，计算能力．14．已知平面内一点P∈{（x，y）|（x﹣2cosα）2+（y﹣2sinα）2=16，α∈R}，则满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是32π．考点：圆方程的综合应用．专题：计算题．分析：先根据圆的标准方程求出圆心和半径，然后研究圆心的轨迹，根据点P在平面内所组成的图形是一个环面进行求解即可．解答：解：（x﹣2cosα）2+（y﹣2sinα）2=16，则圆心为（2cosα，2sinα）半径为4∴圆心为以（0，0）为圆心，半径为2的圆上动点∴满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积即36π﹣4π=32π故答案为：32π点评：本题主要考查了圆的参数方程，题目比较新颖，正确理解题意是解题的关键，属于中档题．15．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l 的距离，记作d（P，l）①若点P（1，1），线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5），则d（P， l）=；②设l是长为2的定线段，则集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积为4；③若A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x=0}；④若A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1），D（0，1），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x2﹣y2=0}．其中正确的有①③④．考点：集合的表示法．专题：综合题；集合．分析：①根据所给的是一条线段，点到线段的距离不一定使用点到直线的距离公式得到，二是需要观察过点做垂线，垂足是否落到线段上，结果不是落到线段上，所以用两点之间的距离公式．②由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，做出面积．③④根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果．解答：解：①点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）是点P到（3，0）的距离，d（P，l）=，故①正确；②由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，∴S=22+π=4+π，故②错误；③A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．利用两点式写出两条直线的方程，AB：x=1，CD：x=﹣1，到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l1）=d（P，l2）}，根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，∴到两条直线距离相等的点的集合是y轴，故③正确．④A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1），D（0，1），线段l1：y=0，l2：x=0，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x2﹣y2=0}，故④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查点到直线的距离公式，考查两点之间的距离公式，考查利用两点式写直线的方程，考查点到线段的距离，本题是一个综合题目．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内）16．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求△ABC的面积．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由方程组，得顶点A（﹣1，0），从而AC所在的直线方程为y=﹣（x+1），BC所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），进而求出顶点C的坐标为（5，﹣6）和点A到直线BC的距离，由此能求出△ABC的面积．解答：解：由方程组，解得顶点A（﹣1，0）．…（2分）又AB的斜率为k AB=1，且x轴是∠A的平分线，故直线AC的斜率为﹣1，AC所在的直线方程为y=﹣（x+1）．…（6分）已知BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，故BC的斜率为﹣2，BC所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1）．…（8分）解方程组，得顶点C的坐标为（5，﹣6）．…（10分）∴|BC|=4，点A到直线BC的距离d==，∴．…（12分）点评：本题考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线方程的性质的合理运用．17．如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥C﹣BGF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由题意可得G为AC中点，再由已知可得F是EC中点，连接FG，由三角形中位线性质可得FG∥AE，再由线面平行的判定得答案；（2）把三棱锥C﹣BGF的体积转化为G﹣BFC的体积，然后通过解三角形求得三棱锥G﹣BFC 的底面积和高，则三棱锥的体积可求．解答：（1）证明：如图，由题意可得G是AC的中点，连接FG，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点，在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD；（2）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，由题可得AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE．∵G是AC的中点，F是CE中点，∴AE∥FG且FG=，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE，∴Rt△BCE中，BF=，∴，∴=．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．18．已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）．（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并求出切线方程；（2）若a=，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直．①求四边形ABCD面积的最大值；②求|AC|+|BD|的最大值．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）代入M，解方程可得a，由切线的性质，可得切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）①运用弦长公式，由四边形的面积公式可得S ABCD=|AC|•|BD|，结合重要不等式，即可得到最大值；②运用弦长公式可得|AC|+|BD|，平方后结合基本不等式，即可得到最大值．解答：解：（1）由条件知点M在圆O上，所以1+a2=4，则a=，由a＞0，则a=，点M为（1，），k OM=，切线的斜率为﹣，此时切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0；（2）设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2，则d12+d22=|OM|2=3，于是|AC|=2，|BD|=2，①S ABCD=|AC|•|BD|=2•≤4﹣d12+4﹣d22=8﹣3=5，当且仅当d1=d2=时取等号，即四边形ABCD面积的最大值为5；②|AC|+|BD|=2+2，则（|AC|+|BD|）2=4（4﹣d12+4﹣d22+2•）=4（5+2）=4（5+2）因为2d1d2≤d12+d22=3，所以d12d22≤，当且仅当d1=d2=时取等号，所以≤，所以（|AC|+|BD|）2≤4（5+2×）=40，所以|AC|+|BD|≤2，即|AC|+|BD|的最大值为2．点评：本题考查直线和圆相交的性质，主要考查弦长公式的运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．19．椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）．△ABC 的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．（1）求椭圆T的离心率；（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：++为定值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出椭圆T的方程，由椭圆定义求得a，则椭圆的离心率可求；（2）由（1）求出椭圆T的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），由A，B在椭圆上，把A，B坐标代入椭圆方程，两式相减得到，同理，，作和后证得答案．解答：（1）解：设椭圆T的方程为，由题意知：左焦点为F′（﹣2，0），∴2a=|EF|+|EF′|=，解得：．故椭圆T的离心率为；（2）证明：由（1）知椭圆T的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），由：，，两式相减，得到（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0．∴，即，同理，．∴，又∵直线OM、ON、OP的斜率之和为0，∴++=0为定值．点评：本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，试题在平面几何中的三角形中位线定理、初中代数中的等比定理和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口，是中档题．20．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E为CD上一点，且DE=1，EC=2，现沿BE折叠使平面BCE⊥平面ABED，F为BE的中点．图2所示．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）能否在边AB上找到一点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为？若存在，试确定点P的位置，若不存在请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AE⊥平面BCE；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可得到结论．解答：（1）证明：在直角梯形ABCD中易求得AB=2，AE=，BE=…（2分）∴AE2+BE2=AB2，故AE⊥BE，且折叠后AE与BE位置关系不变…（4分）又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，∴AE⊥面BCE…（6分）（2）解：∵在△BCE中，BC=CE=2，F为BE的中点∴CF⊥BE又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，∴CF⊥面ABED，故可以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则A（，，0），C（0，0，），E（0，，0），易求得面ACE的法向量为=（0，，1）…（8分）假设在AB上存在一点P使平面ACE与平面PCF，所成角的余弦值为，且，（λ∈R），∵B（0，，0），∴=（﹣，，0），故=（﹣λ，λ，0），又=（，，﹣），∴=（（1﹣λ），（2λ﹣1），﹣），又=（0，0，），设面PCF的法向量为=（x，y，z），∴，即，令x=2λ﹣1得=（2λ﹣1，（λ﹣1），0）…（10分）∴|cos＜＞|=||==，解得…（12分）因此存在点P且P为线段AB上靠近点B的三等分点时使得平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为．…（13分）点评：本题主要考查空间线面垂直的判定以及空间二面角的计算和应用，建立空间坐标系利用向量法是解决本题的关键．21．椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆E的方程；（2）已知直线l过点M（﹣，0）且与开口向上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直线l与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于D点，若=λ，=μ，且λ+μ=﹣4，求抛物线C的标准方程．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用离心率计算公式、以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，求出a，b，即可求椭圆E的方程；（2）设抛物线C的方程为y=ax2（a＞0），直线与抛物线C切点为N（x0，ax02）．利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而得到切线方程，即可得到切点N，进一步简化切线方程，把直线l的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用已知向量关系式=λ，=μ，且λ+μ=﹣4，即可得到a及抛物线C的标准方程．解答：解：（1）由题意知e==，，即a=b…（1分）又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，∴b==1，…（2分）∴a=，故椭圆的方程为…（4分）（2）设抛物线C的方程为y=ax2（a＞0），直线l与抛物线的切点为N（x0，ax02）∵y′=2ax，∴切线l的斜率为2ax0，∴切线方程为y﹣ax02=2ax0（x﹣x0），∵直线l过点M（﹣，0），。
安徽省合肥一六八中学2013-2014学年高一下学期期末中考试数学试题
安徽省合肥⼀六⼋中学2013-2014学年⾼⼀下学期期末中考试数学试题安徽省合肥⼀六⼋中学2013-2014学年⾼⼀下学期期末中考试数学试题⼀、选择题(本⼤题共10个⼩题，每⼩题5分，共50分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的)1、数列2，5，8，11，…，则23是这个数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项2、已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于 ( )．A 、60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°3、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（）．A ．245B ．12C ．445D ．64、在△ABC 中，若4:3:2sin :sin :sin =C B A 则A cos 的值为( )A 、87B 、65C 、21D 、31-5、已知数列{an}⾸项为1，且满⾜n n a n n a 11+=+，那么an 等于 ( ) A 、n B 、1+n C 、n n 1+ D 、1+n n6、已知△ABC 的三个内⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若asinAsinB ＋bcos2A ＝2a ，则b a的值为( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3 D. 27、等差数列{an}中a1>0，S5＝S8，则当Sn 取最⼤值时n 的值是( )A ．6B ．7C ．6或7D ．不存在8、如图，从地⾯上C ，D 两点望⼭顶A ，测得它们的仰⾓分别为45°和30°，已知CD ＝100⽶，点C 位于BD 上，则⼭⾼AB 等于( )A ．100⽶B ．C ．⽶D ．1)⽶9、定义：称n p1＋p2＋…＋pn为n 个正数p1，p2，…，pn 的“均倒数”，若数列{an}的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{an}的通项公式为( ) A ．2n －1 B ．4n －3 C ． 4n －1 D ．4n －510、已知数列{}n a ，{}n b ，它们的前n 项和分别为n A ，n B ，记n n n n n n n b a A b B a c -+=（*∈N n ），则数列{}n c 的前10项和为（）A 、1010B A + B 、)(211010B A +C 、1010B A ?D 、1010B A ?⼆、填空题(本⼤题共5个⼩题，每⼩题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11、2－1与2＋1的等⽐中项是________．12、在△ABC 中，若10103cos =A ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝______.13、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若n a n 2sin π=，则2014S 的值为14、三⾓形⼀边长为14，它对的⾓为60°，另两边之⽐为8：5，则此三⾓形⾯积为_ ___．15、等⽐数列{an}的公⽐为q ，其前n 项的积为Tn ，并且满⾜条件a1>1，a99a100－1>0，a99－1a100－1<0.给出下列结论：①01成⽴的最⼤⾃然数n 等于198.其中正确的结论是__ _．(填写所有正确的序号)三、解答题(本⼤题共6个⼩题，共75分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤)16、(本⼩题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是⾓A 、B 、C 的对边长，已知a2－c2＝b2－bc ，求：(1)⾓A 的⼤⼩；(2)若4,2=+=c b a ，求c b ,的⼤⼩．17、（本题共12分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，满⾜35,473==S a ；n T 是数列{}n b 的前n 项和，满⾜：)(22*∈-=N n b T n n 。
合肥168中学自主招生考试数学试题(1)
2010年科学素养测试数 学 试 题【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为120分，共17题；建议用时90分钟。
一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、计算28-= .2、分解因式：)1()1(---y y x x = .3、函数114-+-=x x y 中，自变量x 的取值范围是 . 4、已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为1，则数据10x 1＋5，10x 2＋5，…，10x n ＋5的方差为 .5、函数x x y 322+--=的图像与坐标轴的三个交点分别为（a , 0）(b , 0)（0, c )，则a+b+c 的值等于 .6、在同一平面上，⊙1O 、⊙2O 的半径分别为2和1，1O 2O ＝5，则半径为9且与⊙1O 、⊙2O 都相切的圆有 个．7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm 和4 cm ，则斜边长为 cm .8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：则第10个图案中有白色地面砖 块.9、将函数2x y =的图像平移，使平移后的图像过C （0，-2），交x 轴于A 、B 两点，并且△ABC 的面积等于4，则平移后的图像顶点坐标是 .10、如图，平行四边形ABCD 中，P 点是形内一点，且△P AB 的面积等于8 cm 2，△P AD 的面积等于7 cm 2，，△PCB 的面积等于12 cm 2，则△PCD 的面积是 cm 2.（第10题图） （第11题图）11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体，其主视图与左视图均为如图所示的3 × 3的方格，问该几何组合体至少需要的小正方体个数是 . 12、正△ABC 内接于⊙O ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，延长DE 交⊙O 与F , 连接BF 交AC 于点P ,则=PAPC.二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）13、已知（a+b ）∶(b +c )∶(c +a )=7∶14∶9求：① a ∶b ∶c② bcc ab a +-2214、一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上同时同向行驶,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车之间，走了1分钟,小轿车追上了货车;又走了6分钟,小轿车追上了客车.再过8分钟,货车追上了客车.设出发时客车与货车的距离为a ，货车与小轿车的距离为b ,求a : b 的值15、在Rt△ABC中，斜边AB＝5厘米，BC＝a厘米，AC＝b厘米，a＞b，且a、b是方程2(1)40x m x m--++=的两根，⑴求a和b的值；⑵△A'B'C'与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC固定不动，将△A'B'C'以1厘米/秒的速度沿BC所在的直线向左移动.ⅰ)设x秒时△A'B'C'与△ABC的重叠部分的面积为y平方厘米（y＞0），求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围；ⅱ)几秒时重叠部分的面积等于38平方厘米？AB CMA'B'C'16、已知A （5，0），点B 在第一象限内，并且AB 与直线l :x y 43=平行，AB 长为8. （1）求点B 的坐标. （2）点P 是直线l :x y 43=上的动点，求△P AB 内切圆的最大面积.17、已知半径为r的⊙O与半径为R的⊙2O外离，直线DE经过1O切⊙2O于点E并交⊙1O1于点A和点D, 直线CF经过O切⊙1O于点F并交⊙2O于点B和点C, 连接AB、CD,2（1）[以下ⅰ）、ⅱ）两小题任选一题]ⅰ) 求四边形ABCD的面积ⅱ) 求证：A、B、E、F（2）求证：AB//DC。
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2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷一一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3 2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）A．B．C．0.3D．3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．等分D．随C点移动而移动4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）A．2﹣1B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣25．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．6圈B．6.5圈C．7圈D．8圈7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．（3分）如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（）A．1B．C．2D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）与是相反数，计算=_________．10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=_________．11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=_________．12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为_________．13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是_________．14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是_________．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_________cm．16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是_________cm．三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m 的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN 交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．21．（15分）（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：先解不等式组，然后根据不等式的解集，得出m的取值范围即可．解答：解：由x+7＜4x﹣2移项整理得：﹣3x＜﹣9，∴x＞3，∵x＞m，又∵不等式组的解集是x＞3，∴m≤3．故选C．点评：主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求m的范围．2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）A．B．C．0.3D．考点：特殊角的三角函数值．分析：本题中直角三角形的角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC的度数，再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可．解答：解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，∴∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，∴AC=AD，又∵∠ABC=∠BAD=15°∴BD=AD，∵BC=1，∴AD+DC=1，设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，解得：x=﹣3+2，∴AC=（4﹣2）=2﹣故选B．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，解答此题的关键是构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求（已知）非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求（已知）锐角三角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．等分D．随C点移动而移动考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：探究型．分析：连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，所以有OP∥CD，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．解答：解：连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OP∥CD，又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．故选B．点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理的推论．4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）A．2﹣1B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2考点：函数最值问题．分析：首先把y=+两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最后求差．解答：解：∵y=+，∴y2=4+2=4+2×，∵1≤x≤5，当x=3时，y的最大值为2，当x=1或5时，y的最小值为2，故当x=1或5时，y取得最小值2，当x取1与5中间值3时，y取得最大值，故y的最大值与最小值的差为2﹣2，故选D．点评：本题主要考查函数最值问题的知识点，解答本题的关键是把函数两边平方，此题难度不大．5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）K1+478～K1+5888段左侧片石混凝土挡土墙第1部分A．B．C．D．考点：线段的性质：两点之间线段最短；几何体的展开图．专题：压轴题；动点型．分析：此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．解答：解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．故选D．点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．6圈B．6.5圈C．7圈D．8圈考点：直线与圆的位置关系．分析：根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转6圈，这样得到它回到原出发位置时共转了7圈．解答：解：圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，∵等边三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，∴圆转了6圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了6+1=7圈．故选C．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，弧长公式：l=（n为圆心角，R为半径）；也考查了旋转的性质．7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：图表型．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，错误；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），正确．③④⑤正确．故选B．点评：考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．8．（3分）如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（）A．1B．C．2D．考点：三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质．分析：过P点作正△ABC的三边的平行线，可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，于是求出三角形ABC的面积，进而求出等边三角形的边长和高，再根据等边三角形的内切圆的半径等于高的三分之一即可求出半径的长度．解答：解：如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，又知S△AFP+S△PCD+S△BPE=，故知S△ABC=3，S△ABC=AB2sin60°=3，故AB=2，三角形ABC的高h=3，△ABC的内切圆半径r=h=1．故选A．点评：本题主要考查等边三角形的性质，面积及等积变换，解答本题的关键是过P点作三角形三边的平行线，证明黑色部分的面积与白色部分的面积相等，此题有一定难度．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）与是相反数，计算=．考点：二次根式有意义的条件；非负数的性质：绝对值．专题：计算题．分析：根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a+的值，再配方开平方即可得解．解答：解：∵与|3﹣a﹣|互为相反数，∴+|3﹣a﹣|=0，∴3﹣a﹣=0，解得a+=3，∴a+2+=3+2，根据题意，a＞0，∴（+）2=5，∴+=．故答案为：．点评：本题考查了二次根式有意义的条件，非负数的性质，求出a+=3后根据乘积二倍项不含字母，配方是解题的关键．10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=﹣2．考点：取整计算．专题：计算题．分析：先根据零指数幂和分母有理化得到A=﹣，而≈1.732，然后根据[x]表示不超过x的最大整数得到，[A]=﹣2．解答：解：∵A=++1=++1=+1=+1=﹣1﹣+1=﹣，∴[A]=[﹣]=﹣2．故答案为﹣2．点评：本题考查了取整计算：[x]表示不超过x的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂．11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=．考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：计算题；证明题．分析：连接MN，设△MON的面积是s，由于M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，易知MN是△ABC的中位线，那么MN∥AB，MN=AB，根据平行线分线段成比例定理可得△MON∽△BOA，于是OM：OB=MN：AB=1：2，易求△BON的面积是2s，进而可知△BMN的面积是3s，再根据中点性质，可求△BCM的面积等于6s，同理可求△ABC的面积是12s，从而可求S△BON：S△ABC．解答：解：连接MN，设△MON的面积是s，∵M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB，MN=AB，∴△MON∽△BOA，∴OM：OB=MN：AB=1：2，∴△BON的面积=2s，∴△BMN的面积=3s，∵N是BC的中点，∴△BCM的面积=6s，同理可知△ABC的面积=12s，∴S△BON：S△ABC=2s：12s=1：6，故答案是．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，解题的关键是连接MN，构造相似三角形．12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为3．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：探究型．分析：先设圆O的半径为r，由圆O的面积为3π求出R的值，再作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，由圆心角、弧、弦的关系可知==80°，故BC′=100°，由=20°可知=120°，由OC′=OD可求出∠ODC′的度数，进而可得出结论．解答：解：设圆O的半径为r，∵⊙O的面积为3π，∴3π=πR2，即R=．作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，∵的度数为80°，∴==80°，∴=100°，∵=20°，∴=+=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD的最小值为3．故答案为：3．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出点C关于直线AB的对称点是解答此题的关键．13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是 5.5．考点：中位数．分析：首先列举出所有数据的和，进而利用已知求出a，b的值，再利用中位数是一组数据重新排序后之间的一个数或之间两个数的平均数，由此即可求解．解答：解：根据从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，可以得出所有可能：1+2=3，1+3=4，1+5=6，1+7=8，1+8=9，2+3=5，2+5=7，2+7=9，2+8=10，3+5=8，3+7=10，3+8=11，5+7=12，5+8=13，7+8=15，它们和中所有不同数据为：3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15，故是2的倍数的个数为a=5，是3的倍数的个数为b=5，则样本6、5、5、9按大小排列为：5，5，6，9，则这组数据的中位数是：=5.5，故答案为：5.5．点评：此题考查了列举法求所有可能以及中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是．考点：两条直线相交或平行问题．分析：首先用k表示出两条直线与坐标轴的交点坐标，然后表示出围成的面积S，根据得到的函数的取值范围确定其最值即可．解答：解：y=kx+2k﹣1恒过（﹣2，﹣1），y=（k+1）x+2k+1也恒过（﹣2，﹣1），k为正整数，那么，k≥1，且k∈Z如图，直线y=kx+2k﹣1与X轴的交点是A（，0），与y轴的交点是B（0，2k﹣1）直线y=（k+1）x+2k+1与X轴的交点是C（，0），与y轴的交点是D（0，2k+1），那么，S四边形ABDC=S△COD﹣S△AOB，=（OC•OD﹣O A•OB），=[﹣]，=（4﹣），=2﹣又，k≥1，且k∈Z，那么，2﹣在定义域k≥1上是增函数，因此，当k=1时，四边形ABDC的面积最小，最小值S=2﹣=．点评：本题考查了两条指向相交或平行问题，解题的关键是用k表示出直线与坐标轴的交点坐标并用k表示出围成的三角形的面积，从而得到函数关系式，利用函数的知识其最值问题．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是cm．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，根据折叠及矩形的性质，用含x的式子表示Rt△EGQ 的三边，再用勾股定理列方程求x即可．解答：解：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，由折叠及矩形的性质可知，EQ=PQ=x，QG=PD=3，EG=x﹣2，在Rt△EGQ中，由勾股定理得EG2+GQ2=EQ2，即：（x﹣2）2+32=x2，解得：x=，即PQ=．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是1cm．考点：圆柱的计算；二次函数的最值；圆锥的计算．专题：压轴题．分析：易得扇形的弧长，除以2π也就得到了圆锥的底面半径，再加上母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高，利用相似可求得圆柱的高与母线的关系，表示出侧面积，根据二次函数求出相应的最值时自变量的取值即可．解答：解：扇形的弧长=4πcm，∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm，∴圆锥的高为=2cm，设圆柱的底面半径为rcm，高为Rcm．=，解得：R=2﹣r，∴圆柱的侧面积=2π×r×（2﹣r）=﹣2πr2+4πr（cm2），∴当r==1cm时，圆柱的侧面积有最大值．点评：用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长；圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形；相似三角形的相似比相等及二次函数最值相应的自变量的求法等知识．三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得c=b+1，联立抛物线y=﹣x2+bx+b+1与直线y=7﹣2x，转化为关于x的二元一次方程，令△=0求b的值即可；（2）直线y=﹣x+3与（1）中抛物线求A、B两点坐标，根据抛物线解析式求对称轴，根据线段AB为等腰三角形的腰或底，分别求Q点的坐标．解答：解：（1）把点C（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c中，得﹣1﹣b+c=0，解得c=b+1，联立，得x2﹣（b+2）x+6﹣b=0，∵抛物线与直线只有一个交点，∴△=（b+2）2﹣4（6﹣b）=0，解得b=﹣10或2，∵c=b+1＞0，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）存在满足题意的点Q．联立，解得或，则A（0，3），B（3，0），由抛物线y=﹣x2+2x+3，可知抛物线对称轴为x=1，由勾股定理，得AB=3，当AB为腰，∠A为顶角时，Q（1，3+）或（1，3﹣）；当AB为腰，∠B为顶角时，Q（1，）或（1，﹣）；当AB为底时，Q（1，1）．故满足题意的Q点坐标为：（1，3+）或（1，3﹣）或（1，）或（1，﹣）或（1，1）．点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求出抛物线解析式，根据等腰三角形的性质，分类求Q点的坐标．18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m 的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：作出圆与BA，BC相切时圆心的位置G，与CD相切时圆心的位置P，与CD相切时圆心的位置I，分别求得各段的路径的长，然后求和即可．解答：解：当圆心移动到G的位置时，作GR⊥AB，GL⊥BC分别于点R，L．∵，∴∠CBF=30°，∴∠RGB=15°，∵直角△RGB中，tan∠RGB=，∴BR=GR•tan∠RGB=2﹣，则BL=BR=2﹣，则从M移动到G的路长是：AB﹣BR﹣1=50﹣（2﹣）﹣1=47+m，BC=2×5=10m，则从G移动到P的位置（P是圆心在C，且与BC相切时圆心的位置），GP=10﹣BL=10﹣（2﹣）=8+m；圆心从P到I（I是圆心在C，且与CD相切时圆心的位置），移动的路径是弧，弧长是：=m；圆心从I到N移动的距离是：6﹣1=5m，则圆心移动的距离是：（47+）+（8+）+5+=60+2+（m）．点评：本题考查了弧长的计算公式，正确确定圆心移动的路线是关键．19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN 交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．考点：相似形综合题．分析：（1）利用正方形的性质得到AD∥BC，DC∥AB，利用平行线分线段成比例定理得到，，从而得到，然后再利用AB=BC即可得到CE=DF；（2）首先证得△ADF≌△DCE，从而得到∠DAF=∠FDE，再根据∠DAF+∠ADE=90°得到AF⊥DE，同理可得FB⊥AE，进而得到H为△AEF的垂心．解答：解：（1）CE=DF；证明：∵正方形ABCD∴AD∥BC，DC∥AB∴，（∴∴又AB=BC∴CE=DF；（2）垂心．在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠DAF=∠FDE，∵∠DAF+∠ADE=90°，∴AF⊥DE，同理FB⊥AE．H为△AEF的垂心．点评：本题考查了相似形的综合知识，本题是一道开放性问题，正确的猜想是进一步解题的方向和基础，非常重要．20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．考点：圆的综合题．专题：综合题．分析：（1）由于菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，根据菱形的性质得到ADC和△DBC都是等边三角形，利用等边三角形的面积等于边长平方的倍即可得到菱形的面积=2S△DBC=2××（6）2=54；（2）由于PM与PE都是⊙O1的切线，PN与PF都是⊙O2的切线，根据切线长定理得到PM=PN，PN=PE，则PM﹣PN=PE﹣PB，即EF=MN；（3）由于BE与BG都是⊙O1的切线，根据切线的性质和切线长定理得到BE=BG，∠O2BE=∠O2BG，O2E⊥BE，而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°，于是有∠O2BE=60°，∠EO2B=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到BE=O2E=r2，则BG=r2，DM=DG=6﹣r2，同理可得CF=r1，DN=DH=6﹣r1，则MN=DM+DN=12﹣（r1+r2），而EF=EB+BC+CF=r2+6+r1=6+（r1+r2），利用EF=MN可得到关于（r1+r2）的方程，解方程即可．解答：（1）解：∵菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，∴△ADC和△DBC都是等边三角形，∴菱形的面积=2S△DBC=2××（6）2=54；（2）证明：∵PM与PE都是⊙O2的切线，∴PM=PE，又∵PN与PF都是⊙O1的切线，∴PN=PF，∴PM﹣PN=PE﹣PB，即EF=MN；（3）解：∵BE与BG都是⊙O2的切线，∴BE=BG，∠O2BE=∠O2BG，O2E⊥BE，而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°，∴∠O2BE=60°，∠EO2B=30°，∴BE=O2E=r2，∴BG=r2，∴DM=DG=6﹣r2，同理可得CF=r1，DN=DH=6﹣r1，∴MN=DM+DN=12﹣（r1+r2），∵EF=EB+BC+CF=r2+6+r1=6+（r1+r2），而EF=MN，∴6+（r1+r2）=12﹣（r1+r2），∴r1+r2=9．点评：本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，并且这个点与圆心的连线平分两切线的夹角；掌握菱形的性质，记住等边三角形的面积等于边长平方的倍以及含30°的直角三角形三边的关系．21．（15分）（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值；（2）求出B、C、E点的坐标，进而求得△BCE的面积；（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点，如答图1所示；（4）本问需分两种情况进行讨论：①当△BEC∽△BCF时，如答图2所示．此时可求得m=+2；②当△BEC∽△FCB时，如答图3所示．此时可以得到矛盾的等式，故此种情形不存在．解答：解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，∴B（﹣2，0），C（4，0）在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．∴S△BCE=BC•OE=6．（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE的长度）．设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）．（4）分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．则，∴BC2=BE•BF．由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°，作FT⊥x轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°，∴BT=TF．∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x+2＞0，∵x＞0，∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．此时BF==2（m+1），BE=，BC=m+2，又∵BC2=BE•BF，∴（m+2）2=•（m+1），∴m=2±，∵m＞0，∴m=+2．②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．则，∴BC2=E C•BF．∵△BEC∽△FCB∴∠CBF=∠ECO，∵∠EOC=∠FTB=90°，∴△BTF∽△COE，∴，∴可令F（x，（x+2））（x＞0）又∵点F在抛物线上，∴（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∴x=m+2，∴F（m+2，（m+4）），EC=，BC=m+2，又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=•整理得：0=16，显然不成立．综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2．点评：本题涉及二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称﹣最小路径问题等重要知识点，难度较大．本题难点在于第（4）问，需要注意分两种情况进行讨论，避免漏解；而且在计算时注意利用题中条件化简计算，避免运算出错．学会低调，取舍间必有得失，不用太计较。