3-混合策略的纳什均衡

博弈论教学/混合策略的纳什均衡

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目录

■1 复习

■2 混合策略(Mixed strategy)

■2.1 举例/Example

■2.2 概念

■2.3 纯策略和混合策略

■2.4 混合策略的争议

■3 混合策略的纳什均衡

■3.1 基本概念

■3.2 混合策略纳什均衡的存在性/纳什定理

■3.3 学术争议与批评

■4 混合策略纳什均衡举例

■4.1 社会福利博弈Social Welfare Game

■4.1.1 博弈分析(方法1:收益无差异)

■4.1.2 博弈分析（方法2：图形分析法）

■4.1.3 博弈分析(方法3：导数(Derivative)极值法)

■4.2 普通例子

■4.3 审计博弈(Tax Game)

■4.4 激励的悖论[5]

■4.5 求解纳什均衡的一般方法

■5 多重纳什均衡

■5.1 多重纳什均衡举例

■5.1.1 夫妻之争

■5.1.2 制式问题

■5.1.3 市场机会博弈

■5.2 多重纳什均衡分析

■5.2.1 帕累托上策均衡（Pareto Dominated Equilibrium）

■5.2.1.1 帕累托最优Pareto optimality

■5.2.1.2 帕累托上策均衡(Pareto Dominated Equilibrium)

■5.2.1.3 举例分析

■5.2.2 风险上策均衡(Risk-dominant Equilibrium)

■5.2.3 聚点均衡(Focal Points Equilibrium)

■5.2.4 相关均衡

■5.2.5 抗共谋均衡(coalition-proof Nash equilibrium)■6 纳什均衡的意义

■7 作业

■8 参考文献

pure strategy）相对应。

混合策略：在博弈中，博弈方的策略空间为

，则博弈方i以概率分布随机在其

选策略中选择的“策略”，称为一个“混合策略”，其中，对

都成立，且。

混合策略扩展博弈：博弈方在混合策略的策略空间（概率分布空间）的选择看作

定义：在博弈中，假设是一个混合策略，如果

成立，则称是一个混合策略纳什均衡（

Equilibrium）。

如果对于局中人及其的每一个混合策略，局中人关于的期望盈利至少与局中人关于的期望盈利一样大，即则称混合策略组合是这个博弈的一个纳什均衡。

纳什定理：在一个由个博弈方构成的博弈中，如果

的战略空间都是有限集(对)，则该博弈至少存在一个纳什均衡（纯策略或者混合策略）。

设和为纳什均衡点，

，如果，则

如果，则对于任意的都是最大值；如果，则，上式取最大值。

同理，，可得，

两者的交点为(0.5,0.2)，如图所示。

图形分析方法

这个问题不存在纯策略的纳什均衡。

假设政府救济的概率为，流浪汉找工作的概率为，则

，

，让、分别对和求导数，并令，即，，可得，，最后政府的收益为，流浪汉的收益为

的概率为，博弈方

为，则对于博弈方采取何种策略，其收益是不变化

的（即其分别采取策略

，可得；同

理，可以求得；最后可得博弈方1的收益为，博弈方