载流子的漂移扩散,爱因斯坦关系式
5.3 非平衡载流子的扩散运动与爱因斯坦关系
5.3 载流子的扩散运动与爱因斯坦关系式n 适当波长的光照射样品的一侧，引起非平衡载流子由表面向内部扩散。
n 扩散运动是非平衡载流子的主要运动形式之一。
均匀掺杂的半导体，处于热平衡状态时，不产生扩散运动。
1. 一维平面扩散空穴扩散系数，表示在单位浓度梯度下，单位时间内通过单位面积的空穴数目；反映了非平衡少子扩散能力的强弱； 负号表示扩散由高浓度向低浓度方向进行。
()()p pd p x S x D dx∆=-扩散流密度空穴扩散流密度：扩散定律——单位时间由于扩散通过垂直于x 轴单位面积的载流子数。
（1）稳态扩散方程()()pp τx Δp dx x Δp d D =22空穴的积累率等于复合率：积累率复合率稳态扩散方程在恒定光照下，非平衡载流子的分布不随时间变化，形成稳定分布，这种情况称为稳定扩散。
()()()()2p p p p2Δx S x S x Δx dS x d Δp x limD Δxdxdx→-+=-=空穴的积累率为：p p p τD L =（2）稳态扩散方程的解，系数A 和B 要根据边界条件确定。
()ppL x L x BeAex Δp +=-①样品足够厚Δp (∞)→0Δp (0)=(Δp )0边界条件：解出：A=(Δp )0B =0()()pL x eΔp x Δp -=0空穴扩散长度非平衡载流子浓度浓度由降低到所经过的距离。
()0p ∆()ep 0∆反映了非平衡载流子因扩散而深入样品的平均距离。
空穴的扩散流密度：()()()pp ppD d p x S x D p x dxL ∆∆=-=具有速度的量纲称为空穴的扩散速度()ep 0∆pL可得到：②样品厚度为W ，且在另一端全部抽出若p W L <<()()01x Δp x p W ∆⎛⎫≈- ⎪⎝⎭()()()000p p p W ∆=∆⎧⎪⎨∆=⎪⎩边界条件：当样品厚度很薄时，非平衡载流子在样品内呈线性分布。
则:()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∆=∆p p L W L x W p x p sh sh 0扩散流密度：()()()p p p pD d p x S x D p S dxW∆∆=-==在晶体管结构中，基区宽度比扩散长度小得多，从发射区注入基区的非平衡载流子在基区的分布近似符合上述结果。
半导体器件物理-载流子输运现象
载流子漂移
电阻率的测量
最常用的方法为四探针法，如图，其中探针间的距离相等，一个从恒定电
流源来的小电流 I，流经靠外侧的两个探针，而对于内侧的两个探针 间，测量其电压值V。就一个薄的半导体样品而言，若其厚度为W， 且W远小于样品直径d，其电阻率为
V W CF ( cm). I
其 中 CF 表 示 校 正 因 数 （correction factor）.校正 因数视 d/s 比例而定，其 中s为探针的间距。当 d/s>20，校正因数趋近于 4.54.
载流子漂移
电导率(conductivity)与电阻率(resistivity)： 电导率与电阻率互为倒数，均是描述半导体导电性能的基 本物理量。电导率越大，导电性能越好。 半导体的电导率由以下公式计算：
q n n p p
1 . q(nn p p ) 1
p , Dp
20 10 5
1018 1019
1020
100
扩散系数/(cm 2 s -1 )
电子及空穴的迁移率皆随 着杂质浓度的增加而减少， 并于最后在高浓度下达到一 个最小值；
p , Dp
10
15
2 1
10
16
10
17
10000
GaAs
200
扩散系数/(cm 2 s -1 )
迁移率在低杂质浓度下达 到一最大值，这与晶格散射 所造成的限制相符合；
2000
50 Si
迁移率/[cm2 (V S ) 1 ]
10 5
200 100 50 10 20
14
迁移率/[cm2 (V S )
100
50
电子的迁移率大于空穴的 迁移率，而较大的电子迁移 率主要是由于电子较小的有 效质量所引起的。
半导体物理第五章教材
➢ 光照停止时，半导体中仍然存在非平衡载流子。由于电子 和空穴的数目比热平衡时的增多了，它们在热运动中相遇 而复合的机会也将增大。这时复合超过了产生而导致一定 的净复合，非平衡载流子逐渐消失，最后恢复到平衡值， 半导体又回到了热平衡状态。
13
思考题
1. 掺杂、改变温度和光照激发都可以改变半导体的 电导率，试从三者的物理过程说明其区别。
nt0 Nt f(Et)1expNEttk0TEF 45
用半导体的光磁电效应的原理，该方法适合于测量短的寿 命，在砷化镓等Ⅲ-Ⅴ族化合物半导体中用得最多； ✓还有扩散长度法、双脉冲法及漂移法等。
不同的材料寿命很不相同。纯度和完整性特别好硅、锗 材料，寿命分别可达103μs、104μs；砷化镓的寿命极短，约为 10-5～10-6μs，或更低。即使是同种材料，在不同的条件 下，寿命也可在—个很大的范围内变化。
电子在导带和价 带之间的直接跃 迁，引起电子和 空穴的直接复合
电子和空穴通过 禁带的能级(复合 中心)进行复合
27
28
二、非子复合时释放能量的方式
非平衡载流子复合时释放能量的方式有三种： ➢ 发射光子：伴随着复合，将有发光现象，常称为发光复合
或辐射复合； ➢ 发射声子：载流子将多余的能量传给晶格，加强晶格的振
nt0 Nt f(Et)1expNEttk0TEF
41
n1 Nc expEtk0TEc
费米能级EF与复合中 心能级Et重合时导带
的平衡电子浓度
srnNcexpEtk 0TEcrnn1 Gn snt
内在 联系
Gn rnn1nt
42
(二) 空穴俘获与发射
1.俘获空穴 电子由复合中心能级Et落入价带与空穴复合，或者说复合
半导体物理爱因斯坦关系式推导
半导体物理爱因斯坦关系式推导英文版Derivation of Einstein's Relation in Semiconductor Physics In the realm of semiconductor physics, Einstein's relation plays a pivotal role in describing the relationship between diffusion and drift currents in semiconductors. Derived from the laws of thermodynamics and statistical mechanics, this relationship provides a fundamental understanding of charge carrier transport in semiconductors.To derive Einstein's relation, we first consider the diffusion process of charge carriers within a semiconductor. Diffusion is the random movement of particles from regions of high concentration to regions of low concentration, driven by concentration gradients. In semiconductors, this movement is primarily governed by the interaction of charge carriers with the lattice atoms, resulting in a diffusive flux of charge carriers.The diffusive flux, Jd, is proportional to the gradient of the charge carrier concentration, n, and is given by:Jd = -D * grad(n)where D is the diffusion coefficient, which characterizes the rate of diffusion.Next, we consider the drift current, which is the directed movement of charge carriers due to an applied electric field. The drift velocity, vd, is related to the electric field, E, by: vd = μ * Ewhere μ is the mobility, w hich quantifies the response of charge carriers to the electric field.The drift current density, Jd, is then given by:Jd = n * q * vdwhere q is the charge of the charge carrier.Now, considering both diffusion and drift simultaneously, we can express the total current density, J, as:J = Jd (diffusion) + Jd (drift)Substituting the expressions for Jd from earlier, we get:J = -D * grad(n) + n * q * μ * EFrom thermodynamics, we know that the entropy production rate, Σ, is related to the current density a nd the gradients of thermodynamic forces. In the context of charge carrier transport, the entropy production rate can be expressed as:Σ = J / T * grad(μ/T)where T is the temperature and μ is the chemical potential.Combining the expressions for J and Σ, and using the laws of thermodynamics, we can derive Einstein's relation:D = (μ * T) / qThis relationship establishes a direct link between the diffusion coefficient, D, and the mobility, μ, providing a fundamental understanding of charge carrier transport in semiconductors. Einstein's relation is a cornerstone in semiconductor physics, enabling us to gain insights into the behavior of charge carriers and their interaction with the semiconductor lattice.中文版半导体物理中的爱因斯坦关系式推导在半导体物理中，爱因斯坦关系式在描述半导体中扩散电流和漂移电流之间的关系方面起着关键作用。
半导体器件作业有答案
1．半导体硅材料的晶格结构是（A 金刚石B闪锌矿C 纤锌矿2．下列固体中，禁带宽度Eg最大的是（ C ）Ａ金属Ｂ半导体Ｃ绝缘体3．硅单晶中的层错属于（C）Ａ点缺陷Ｂ线缺陷Ｃ面缺陷4．施主杂质电离后向半导体提供（ B ），受主杂质电离后向半导体提供（ A ），本征激发后向半导体提供（ A B ）。
A 空穴B 电子5．砷化镓中的非平衡载流子复合主要依靠（ A ）A 直接复合B 间接复合C 俄歇复合6．衡量电子填充能级水平的是（ B ）Ａ施主能级Ｂ费米能级Ｃ受主能级 D 缺陷能级7．载流子的迁移率是描述载流子（ A ）的一个物理量；载流子的扩散系数是描述载流子（ B ）的一个物理量。
A 在电场作用下的运动快慢B 在浓度梯度作用下的运动快慢－38．室温下，半导体Si 中掺硼的浓度为1014cm －3，同时掺有浓度为 1.1 ×1015cm－3的磷，则电子浓度约为（B ），空穴浓度为（ D ），费米能级（G）；将该半导体升温至570K，则多子浓度约为（ F ），少子浓度为（F），费米能级（I ）。
（已知：室温下，－3ni ≈1.5 × 1010cm－3，570K 时，－3 ni ≈2× 1017cm－3)A 1014cm－ 3 －3B 1015cmC 1.1－3× 1015cm D 2.25 × 105cmE 1.2 × 1015cm －3F 2 ×1017cm －3 G 高于 Ei H 低于 Ei I 等于 Ei 9． 载流子的扩散运动产生（ C ）电流，漂移运动产生（ A ）电流。
A 漂移 B隧道 C 扩散10. 下列器件属于多子器件的是（B D ） Ａ 稳压二极管 Ｂ 肖特基二极管 Ｃ 发光二极管 D 隧道二极管11. 平衡状态下半导体中载流子浓度 n0p0=ni2 ，载流子的产生率等于复合率，而当 np<ni2 时，载 流 子的复合率（ C ）产生率Ａ 大于 Ｂ 等于 Ｃ 小于12. 实际生产中，制作欧姆接触最常用的方法是（ A ）Ａ 重掺杂的半导体与金属接触 Ｂ 轻掺杂的半导体与金属接触13．在下列平面扩散型双极晶体管击穿电压中数值最小的是 （ C ）A BVCEOB BVCBOC BVEBO14．MIS 结构半导体表面出现强反型的临界条件是（ B ）。
载流子的漂移扩散爱因斯坦关系式
公式推导
当v增大到一定值时，a=0，此时载流子做匀速运动，速度不再增大。
根据以上推导，得到爱因斯坦关系式：v=u√(2kT/m)，其中v为载流子速度，u为电 场迁移率，T为温度。
公式含义
爱因斯坦关系式表明了载流子 在电场中的运动速度与温度和
迁移率的关系。
当温度升高时，载流子速度 增大；当迁移率增大时，载
流子速度也增大。
该公式是半导体物理中的基本 公式之一，对于研究半导体器 件的性能和应用具有重要意义。
公式应用
1
爱因斯坦关系式可以用于计算半导体器件中的电 流和电压关系。
2
通过测量不同温度下的电流和电压数据，可以计 算出迁移率和温度系数等重要参数。
浓度
载流子浓度对漂移扩散的影响主要体现在费米能级和能级填 充上。在低浓度时，费米能级附近的能级较少，载流子容易 达到较高的漂移速度。
随着浓度的增加，费米能级附近的能级增多，载流子的平均 自由程减小，漂移速度降低。同时，浓度还影响扩散系数的 大小，浓度越高，扩散系数越大。
电场
电场对载流子漂移扩散的影响主要体现在电场对载流子的加速作用上。在电场的作用下，载流子获得加速度，导致其漂移速 度增加。
新理论的发展
要点一
量子力学与半经典理论的结合
在研究具有复杂能带结构的材料时，将量子力学与半经典 理论相结合，可以更准确地描述载流子的行为，为载流子 漂移扩散的研究提供更可靠的理论基础。
要点二
多尺度模拟方法
随着计算机技术的发展，多尺度模拟方法逐渐成为研究复 杂电子器件的有力工具，通过模拟不同尺度下的载流子行 为，可以更全面地理解载流子的漂移扩散过程。
半导体材料特性-爱因斯坦关系式
爱因斯坦关系式(Einstein relation) ：
半导体材料特性
将上述两式统一起来，即：
此式即为统一的爱因斯坦关系
半导体材料Байду номын сангаас性
爱因斯坦关系式(Einstein relation) ：
例：少数载流子（空穴）与某一点注入一个均匀的N型半导体中，施加一个50V/cm的电场于其样品上，且电场在100μs内将这些少数载流子移动1cm，求少数载流子的漂移速度及扩散系数。
注意：这里没有考虑少子空穴的扩散
爱因斯坦关系式-感生电场
半导体材料特性
就一维空间情形，能量均分的理论可写为
利用上式和
爱因斯坦关系式(Einstein relation) ：
及
可得
即
意义：它把描述半导体中载流子扩散及漂移运输特征的两个重要常数(扩散系数及迁移率)联系起来。
导出：
半导体材料特性
同样，根据空穴电流密度为零也可以得到：
半导体材料特性
总传导电流密度 半导体中四种独立的电流：电子的漂移及扩散电流；空穴的漂移及扩散电流。 总电流密度为四者之和：
漂移电流：相同的电场下，电子电流与空穴电流的方向相同。
扩散电流：相同的浓度梯度下，电子电流与空穴电流的方向相反。
在半导体中，电子和空穴的扩散系数分别与其迁移率有关
半导体材料特性
例：假设T=300K，一个n型半导体中，电子浓度在0.1cm的距离中从1×1018cm-3至7×1017cm-3作线性变化，计算扩散电流密度。假设电子扩散系数Dn=22.5cm2/s。
解： 根据相关公式，得扩散电流密度为
半导体材料特性
杂质浓度分布与爱因斯坦关系 前面讨论的都是均匀掺杂的半导体材料，在实际的半导体器件中，经常有非均匀掺杂的区域。 热平衡状态下：非均匀掺杂将导致在空间的各个位置杂质浓度不同，从而载流子浓度不同，形成的载流子浓度梯度将产生扩散电流，并且由于局域的剩余电荷（杂质离子）存在而产生内建电场。 内建电场形成的漂移电流与扩散电流方向相反，当达到动态平衡时，两个电流相等，不表现出宏观电流，从而造成了迁移率和扩散系数之间的关联——爱因斯坦关系。
离子导电的能斯特——爱因斯坦方程的
我们知道电流是指单位时间内通过已知 截面的电量，电流密度是指单位时间、 单位面积上通过的电流（电荷量）。 则电流密度：
I J = = nqv = σE S
式中：n——单位体积内载流子数 v——每一载流子的漂移速度 q——每一载流子的电荷量
在无机材料物理化学中得知扩散通量是指 单位时间、单位面积上溶质扩散的量 （或在单位时间内通过单位面积的原子数目）。 扩散通量为：
由上得：
nDq ∂V ∂V Jj = −σ =0 kT ∂X ∂x
2
就可得：
nq σ =D kT
2பைடு நூலகம்
此式即为能斯脱-爱因斯坦方程。 此方程建立了离子电导率与扩散系数的联系， 是一个重要公式。
∂V J 2 = σE = ∂x
式中 V——电位
则总电流密度为：
∂n ∂V J j = J1 − J 2 = − Dq −σ ∂x ∂x
根据BoltZmann分布规律建立下式：
qV n = n 0 exp（ − ） kT
则浓度梯度为：
∂n qn ∂V =− ∂x kT ∂x
式中 q ——电荷； V ——电位； n 0 ——常数。
式中：“
−”——表示原子流动方向与梯度方向相反; D ——扩散系数，即单位浓度梯度时，扩散通过
∂n J = −D ∂x
单位截面面积的扩散速度; ∂n ——浓度梯度。 ∂x
如果在扩散通量表达式中，乘上质点的 电荷量，则得由于载流子离子浓度梯度 所形成的电流密度为：
∂n J1 = − Dq ∂x
由于电场作用所产生的电流密度为：
5.6 载流子的扩散运动(雨课堂课件)
The end
拉普拉斯方程在球坐标系中的表达式
1 r2
r 2 r
u r
1
r 2 sin
s in
u
r
2
1 sin
2
2u
2
0...9.1.1
z
r
y
x
二阶常系数齐次线性微分方程的解
y py qy 0
特征方程r 2 pr q 0的两根r1 , r2 微分方程的解
两个不相等的实根r1, r2
因此，单位时间单位体积内由于扩散积累的空穴数为
dSp x
dx
又因为
dp x
S p Dp dx
所以，单位时间单位体积内由于扩散积累的空穴数为
dSp
dx
x
Dp
d
2p
dx2
x
（5-80）
一、非平衡载流子的扩散运动、扩散电流—浓度梯度
➢ 单位时间单位体积内由于复合而消失的空穴数： p x
其中 是非平衡载流子平均寿命。
研究对象：均匀掺杂的n型半导体中的非平衡少子Δp
扩散运动：表面光照，表面处
产生非平衡载流子(Δn, Δp)，浓度
不均匀，引起扩散。一维
目标：非平衡载流子的变化规 律；扩散运动产生的电流
一维
图5-13 非平衡载流子的扩散
一、非平衡载流子的扩散运动、扩散电流—浓度梯度
(1) 非平衡少数载流子-空穴的扩散运动
两个不相等的实根r1, r2
y c1er1x c2er2x
两个相等的实根r1 r2
y c1 c2 x er1x
一对共轭复根r1,2 i
y ex c1 cos c2 sin
一、非平衡载流子的扩散运动、扩散电流—浓度梯度
einstein关系推导
einstein关系推导Einstein关系推导Einstein关系是描述载流子在半导体材料中运动的重要关系之一。
它是由阿尔伯特·爱因斯坦在1905年提出的，通过对载流子的热运动和受力情况的研究，揭示了电子在半导体中的传导机制。
Einstein关系的推导基于两个假设：热平衡和稳态条件。
热平衡是指在系统中不存在净热流，即热量的输入和输出相等。
稳态条件是指系统中的各种物理量，如温度、电流密度等，在空间和时间上都保持不变。
在半导体材料中，电子和空穴是主要的载流子。
根据Einstein关系的推导，我们可以得到以下几个重要结果。
爱因斯坦关系指出了载流子的迁移率与扩散系数之间的关系。
迁移率是指载流子在电场的作用下移动的速度与电场强度之比。
扩散系数是指载流子在浓度梯度的作用下移动的速度与浓度梯度之比。
根据Einstein关系的推导，迁移率与扩散系数之间存在一个简单的线性关系，即迁移率等于扩散系数乘以载流子的电荷量。
这个关系对于研究半导体材料的电子迁移和扩散过程非常重要。
爱因斯坦关系还揭示了载流子的扩散和电导率之间的关系。
电导率是指单位体积内的电流密度与电场强度之比。
根据Einstein关系的推导，电导率等于扩散系数乘以载流子的电荷量和迁移率之积。
这个关系告诉我们，载流子的扩散和电导率是密切相关的，它们共同决定了半导体材料的电导性能。
爱因斯坦关系还对半导体材料的热导率和电导率之间的关系进行了推导。
热导率是指单位体积内的热流密度与温度梯度之比。
根据Einstein关系的推导，热导率等于电导率乘以载流子的电荷量和迁移率之积。
这个关系告诉我们，载流子的迁移率和电荷量对于半导体材料的热导率也有重要影响。
总结起来，Einstein关系的推导揭示了载流子在半导体材料中运动的一系列重要规律。
它们之间存在着简单而严谨的数学关系，这些关系对于理解和应用半导体材料的电子和热传导过程具有重要意义。
通过对Einstein关系的研究，我们可以更好地理解半导体材料的物理性质，为半导体器件的设计和应用提供理论基础。
【高中物理】优质课件：载流子的扩散运动 爱因斯坦关系
亚铁磁性
亚铁磁性物质存在与铁磁性物质相似的宏观磁性：居里温度以下， 存在按磁畴分布的自发磁化，能够被磁化到饱和，存在磁滞现象； 在居里温度以上，自发磁化消失，转变为顺磁性。
典型的亚铁磁性物质为铁氧体。铁氧体是一种氧化物，含有氧化 铁和其他铁族或稀土族氧化物等主要成分。
铁氧体的特点： （1）通常采用陶瓷烧结工艺制备， （2）基本是离子化合物，物质的磁性来源于所含离子的磁性， （3）所含的金属离子磁距不可能全部为平行取向。
高中物理
载流子的扩散运动 爱因斯坦关系
载流子的扩散运动 爱因斯坦关系
一、载流子的扩散运动
扩散是因为无规则热运动而引起的粒子从浓度高处向浓度低处 的有规则的输运，扩散运动起源于粒子浓度分布的不均匀。
均匀掺杂的n型半导体中，因为不存在浓度梯度，也就不产生扩 散运动，其载流子分布也是均匀的。
如果以适当波长的光照射该样品的一侧，同时假定在照射面的 薄层内光被全部吸收，那么在表面薄层内就产生了非平衡载流 子，而内部没有光注入，这样由于表面和体内存在了浓度梯度， 从而引起非平衡载流子由表面向内部扩散。
一维情况下非平衡载流子浓度为Δp(x)，在x方向上的浓度梯度 为dΔp(x)/dx。如果定义扩散流密度为S单位时间垂直通过单位面积 的粒子数，那么S与非平衡载流子的浓度梯度成正比。
设空穴的扩散流密度为Sp，则有下面所示的菲克第一定律
dpx
Sp Dp dx
Dp为空穴扩散系数，它反映了存在浓度梯度时扩散能力的强弱， 单位是cm2/s，负号表示扩散由高浓度向低浓度方向进行。
如果光照恒定，则表面非平衡载流子浓度恒为(Δp)0，因表面 不断注入，样品内部各处空穴浓度不随时间变化，形成稳定分布，
称为稳态扩散。
第三章载流子的输运
作
业
1。计算施主杂质浓度分别为1016cm-3， 1018cm-3,1019cm-3的硅在室温下的费米能 级，并假定杂质是全部电离。再用算出的 费米能级核对一下上述假定是否在每一种 情况下都成立。计算时，取施主能级在导 带底下面0.05eV处。 2。
重
点
半导体、N型半导体、P型半导体、本征半导体、 半导体、 型半导体、 型半导体、本征半导体、 型半导体 型半导体 非本征半导体 载流子、电子、空穴、平衡载流子、 载流子、电子、空穴、平衡载流子、非平衡载流 子、 能带、导带、价带、 能带、导带、价带、禁带 费米能级、费米分布函数、 费米能级、费米分布函数、玻尔兹曼分布函数 掺杂、施主、 掺杂、施主、受主 输运、漂移、扩散、产生、 输运、漂移、扩散、产生、复合
在固体物理中，把晶格振动看作格波，格波分 为升学波（频率低）和光学波（频率高）。 频率为va的格波，它的能量只能是量子化 的，把格波的能量子称为声子。 电子或空穴被晶格散射，就是电子和声子 的碰撞，且在这个相互作用的过程中遵守能量 守恒和准动量守恒定律。
1 E = (n + )hν a 2
影响迁移率的因素： 影响迁移率的因素： 有效质量
∫ ρ (x )dx
s
电荷 密度 ρ(x)
载流子（ 可动的 －载流子（n,p) 电离的施主、 固定的 －电离的施主、受主
+
ρ = q (N
D
−N
−
A
+ p−n
)
电流连续方程
可动载流 子的守恒
电子： 电子： ∂n = 1 ∇ j + (G − R ) n
∂t
热平衡时： 热平衡时： 产生率＝ 产生率＝复合率
直接复合间接复合表面复合俄歇复合过剩载流子的扩散过程扩散长度扩散长度llnn和和llpp1212泊松方程高斯定律高斯定律描述半导体中静电势的变化规律静电势由本征费米能级e能带向下弯静电势增加方程的形式1电荷密度载流子np固定的电离的施主受主方程的形式2电流连续方程热平衡时
载流子的迁移率、扩散系数和Einstein关系
载流子的迁移率、扩散系数和Einstein关系2009-11-02 20:25:18| 分类：微电子物理| 标签：|字号大中小订阅作者：Xie M. X. (UESTC，成都市)* 载流子的迁移率μ是表征载流子在电场作用下加速运动快慢的一个物理量，等于单位电场作用下的漂移速度：μ=vd/E [cm2/V-s]，E为电场[V/cm]，vd为平均漂移速度[cm/s]。
载流子迁移率的大小决定于在运动过程中遭受散射的情况：μ=qt/m*，t是散射时间（等于散射几率的倒数，在简单情况下就是平均自由时间），m*是有效质量，q为电子电荷。
注意：由于载流子的平均漂移速度是定向运动，是一它总是小于混乱的热运动速度（室温下载流子的热运动速度大约为107cm/s）。
浓度为n、迁移率为μ的电子，在电场E作用下，所产生的漂移电流密度为:j=nqμE，即漂移电流密度与载流子浓度成正比。
因此，多数载流子对漂移电流的贡献是主要的。
* 载流子的扩散系数D是表征载流子在浓度梯度驱动下、从高浓度处往低浓度处扩散运动快慢的一个物理量，等于单位浓度梯度作用下的粒子流密度，单位为[cm2/s]。
扩散系数为D的电子，在浓度梯度为dn/dx的驱动下，所产生的扩散电流密度为:j=qD(dn/dx)，即扩散电流密度与载流子浓度梯度成正比，而与载流子浓度本身的大小无关。
因此，即使是少数载流子，只要它具有较大的浓度梯度，则也可以尝试较大的电流。
* Einstein关系:因为载流子的迁移率和扩散系数都是表征载流子运动快慢的物理量，所以迁移率和扩散系数之间存在有正比的关系——Einstein关系。
载流子按能量分布的规律不同，则将得到不同的Einstein关系。
对于非简并半导体，载流子遵从Boltzmann分布，即可得到简单的Einstein 关系：D=(kT/q)μ；但是对于简并半导体，载流子遵从Fermi-Dirac分布，则将得到比较复杂的Einstein关系。
东南大学电子工程物理基础4.6 载流子的扩散
结论：由表面注入的非平衡载流子深入样品的平均距 离，在电场很强时为牵引长度，而电场很弱时为扩散 长度。
3 在一块均匀的半导体材料中，用适当频率的光脉冲照射其局 部区域，请分别写出没有外场和加外场时，非平衡载流子在光 脉冲停止后的运动方程。
dx
p
p x
p
p
gp
此时连续性方程变为
Dp
d 2p dx2
p
dp dx
p
p
0
方程的通解为： p Ae1x Be2 x
1，2 Lp ( )
L2p ( ) 4L2p
2 L2p
1 ~“” 2 ~“”
其中
Lp ( ) p p ——空穴的牵引长度
空穴在寿命时间内所漂移的距离
p Ae1x Be2x
Dp
dp0 (x) dx
p（0 x）p
Dp
dp0 (x) dx
Ev qV ( x)EF
p0 (x) Nve k0T
dp0 (x) dx
p0 (x)
q k0T
(
dV x)
dx
最后得
dp0 (x) dx
p0 (x)
q k0T
Dp k0T
p q
同理
dV
dx
Dn k0T
n q
三.载流子的完整运动
1 x
lim Sn x Sn x x dSn x
x 0
x
dx
在x附近，单位时间、单位体积中积累的电子数——积累率
稳态时，积累=损失
dSn x nx
dx
n
那么
Dn
d 2nx
dx2
nx
n
稳态扩 散方程
Dn
d 2nx
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？
迁移率
2、爱因斯坦关系(n型半导体为例)
2.1 浓度梯度引起内建电场 热平衡状态 掺杂不均匀的n型半导体 n0(x)梯度引起扩散电流 电中性条件被破坏，引起 内建电场 考虑漂移电流 n=n0(x)
电子（空穴）扩散电流密度
电子（空穴）漂移电流密度
dn0 ( x) （ J n） 扩 qDn dx dp0 ( x) （J p） 扩 qD p dx
(5-117) (5-118)
dn0 ( x) n0 ( x) n Dn dx
(5-119)
注意: 当半导体内部出现电场时，半导体内各处电 势不相等,是x函数，写为V(x),则
dV ( x ) dx
(5-120)
在考虑电子能量时，必须计入附加的静电势 能（-qV（x））。
对于非简并半导体，导带底的能量是变化的
求导得
dn0 ( x) EF qV ( x) Ec q dV ( x) N c exp[ ] dx k0T k0T dx q dV ( x) n0 ( x) k0T dx
(5-122)
将(5-120) (5-122)代入(5-119)得到 n0 ( x) n Dn
dV ( x) q dV ( x) n0 ( x) n ( ) Dn n0 ( x) dx k0T dx
EC(x)=EC(0)+(-q)V(x)
电子的浓度
Ec EF n0 ( x) N c exp( ) k0T
Ec qV ( x) EF n0 ( x) N c exp( ) k0T
EF qV ( x) Ec n0 ( x) N c exp[ ] k0T
(5-121)
子不同的速度和能量，但由于晶格的作用，在比
寿命短的多的时间内就达到了平衡。
归纳：
1、该关系适合于平衡，非平衡非简并情况； 2、非均匀载流子浓度会引起扩散；
3、由于载流子的扩散会导致自建场；
4、有电场存在则能带发生变化； 5、非简并情况下
Dn K 0T n p q Dp
由爱因斯坦关系式，已知的迁移率数据，可以得 到扩散系数。 k0T/q=(1/40)V， Si:μn=1400cm2/(V· s),μp=500cm2/(V· s) Dn=35cm2/s，Dp=13cm2/s。 Ge:μn=3900cm2/(V· s),μp=1900cm2/ (V· s) Dn=97cm2/s，Dp=47cm2/s。
(5-113)
(5-114)
J n） （ 漂 qn0 ( x ) n J ） qp ( x) （ 0 p P 扩
(5-115)
(5-116)
平衡时，不存在宏观电流，因此电场的方向必然 使反抗扩散电流，是平衡时电子的总电流和空穴的 总电流分别为0。
J n ( J n ) 漂 ( J n )扩 0 J p ( J p ) 漂 ( J p )扩 0
空穴漂移电流密度为
(5-109)
( J p )漂 q p0 p p qpp
(5-110)
漂移电流：电子、空穴电流都与电流方向一致
图示n型的均匀半导体，x方向加一均匀电场，表面处光 注入非平衡载流子。
少数载流子空穴电流密度为
dp J p ( J p )漂 （J p )扩 qp p qD p dx
利用爱因斯坦关系，可得半导体中总电流密度为
k0T dp k0T dn J J p J n qp p q dx qn n q dx
（5-125）
对于非均匀半导体，平衡载流子浓度随x而变化：
k0T dp k0T dn J qp p q n n q dx q dx
电子电流密度为
(5-111)
dn J n ( J n ) 漂 ( J n )扩 qn n qDn dx
(5-112)
通过对非平衡载流子的漂移运动和扩散运动的讨
论，明显看出，迁移率是反映载流子在电场作用下运
动难易程度物理量，而扩散系数反映存在浓度梯度时
载流子运动难易程度。
扩散系数
主讲人
1、载流子的漂移运动
• 若半导体中非平衡载流子浓度不均匀，同 • 时又有外加电场的作用，载流子要同时做
扩散运动 扩散电流
漂移运动
漂移电流
半 导 体 总 的 电 流
除了平衡载流子以外，非平衡载流子对漂移电流有贡献。
外加电场，电子漂移电流密度为
( J n )漂 qn0 nn qnn
得到
dn0 ( x) dx
Dn
k 0T n q
(5-123)
Dp k 0T q p Dn k 0T q n
非简并情况下，爱 因斯坦关系式
注：虽然D， μ 的关系是针对平衡载流子推导出 来的，但实验证明对非平衡载流子同样成立，因
为6）
这就是半导体中同时存在扩散运动和漂移运动 时的电流密度方程式。