晶格振动
第三章 晶格的振动
i [ q ( 2 n2 ) at ]Be it Ae it
原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。
长声学波代表原胞质心的振动。
2）光频支 2 2 cos qaA ( 2 M ) B 0 两种原子的振幅比：
2 A 2 M2 ( )2 B 2 cos qa
玻恩—卡门边界条件： 晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。 晶格振动的频率数等于晶体的自由度数
（振动模式数）
2. 一维单原子链的波矢数
N M x N 1 x1 i q ( N 1) a t i qa t Ae Ae i qna t x Ae n ei qNa 1 Nqa 2l 2l q Na
光学波代表原胞中两个原子的相对运动。
三、玻恩—卡门边界条件 1. 玻恩—卡门假设和主要结果 a. 由N个原子构成的原子链为无限长的原子 链上的一段，这里N=mM m—每个原胞的原子数，M—原胞数。 b. 把这N个原子组成的一维原子链看成一个 闭合环，它包含有限数目的原子，但实际 上第N+1个原子就是第1个原子。 只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就 局部看仍认为原子排列在一条直线上从而 得出结论。
0
U 1 2U 2 U ( x0 ) U ( x0 ) ( ) x0 x x0 ( 2 ) x0 x x0 ... x 2 x U 1 2U U ( x0 ) ( ) x0 ( 2 ) x0 2 ... x 2 x
2
mM
{(m M ) [m 2 M 2 2m M cos(2qa)] }
1 2
2. 振动方程及其试探解 类似于一维单原子链的讨论
固体物理学：第3章 晶格振动
2 2
21 2
cos
qa
1 2
光学支
2 o
1
m
2 1 m
1
2 1
2 2
21
2
cos
qa
2
声学支
2A
1
m
2 1 m
12 22 21 2 cos qa
1 2
三、色散关系
UESTC
ω
当 q=0
ωO
ωA = 0 ωo = 21 2
m
ωA
当
q=
a
a
o
q
a
A
21
m
o
2 2
m
四、格波数
q 2 m
Na
2
Na
m 0 , 1, 2
q
o
波矢q 的取值是分立的，相邻q的“距离”N2a
五、格波数
UESTC
此前研究的晶格原子集体的波动运动就是格波。
晶体中所有原子以相同的频率和振幅在 平衡位置附近作简谐振动，原子的运动状 态在晶体中以波的形式传播，这种简谐波 称为格波。
五、格波数
UESTC
3.1 一维单原子链的振动
一． 物理模型 二． 运动方程 三． 色散关系 四． 波恩-卡曼周期性边界条件 五． 格波数 六． 小结
UESTC
一、物理模型
UESTC
一维简单晶格的振动
平衡位置 振动时偏离 平衡位置
un ：第n个原子偏离平衡位置的位移 m ：原子质量
一、物理模型
UESTC
V (r) V (0) dV (r) r 1 d 2V (r) r2
UESTC
❖ 对于一维原子链，简约区中波数q的取值总
固体物理：第三章 晶格振动总结-
..
x m 2n1 x2n2 x2n 2 x2n1
x2n1 Aei t 2n1aq
2n+2
O A
x2n Bei t2naq
π
o
πq
2a
2a
2 {(m M ) m2 M 2 2mM cos 2aq}
mM
π q π
2a
2a
x x , 2n
2(n N )
三维晶格振动、声子
；
(3)设晶体由N个原子组成,共
有3N个频率为的振动。
E
3N
e kBT
1
1 2
德拜模型 (1)晶体视为连续介质,格波视 为弹性波； (2)有一支纵波两支横波；
(3)晶格振动频率在 0 ~ D 之间 (D为德拜频率)。
E
D 0
e kBT
1
1 2
(
)d
9N
3 D
2
爱因斯坦模型
CV
3 Nk Bf E
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目 或格波振动模式数目是否是一回事？
• 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨 论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中 的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近
似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效 成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动
长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W
b11W
b12 E
P b21W b22E
(1) ---黄昆方程 ( 2)
(1)式代表振动方程，右边第一项
b11W
为准弹性恢复力，
固体物理基础第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
晶格振动知识点总结
晶格振动知识点总结一、晶格振动的基本概念晶体是由离子、原子或分子按一定的周期性排列而成的，因此在晶体中存在着晶格振动。
晶格振动是晶体结构中原子或离子在平衡位置附近作微小振动的一种运动形式。
晶格振动可以分为纵波和横波，纵波是振动方向与传播方向相同的波，而横波是振动方向与传播方向垂直的波。
晶格振动的频率与波数有关，它的频率与相邻的格点的质量和弹性常数有关。
二、晶格振动的特性1. 波数和频率关系对于有限晶格系统，其振动频率与波数之间存在一定的关系。
波数是振幅不同节点之间的间距，而频率是振动的快慢。
在晶体中，振动频率与波数之间存在的关系叫做色散关系。
晶格振动的色散关系可以通过简正坐标的福利叶动力学理论来描述。
2. 声子声子是描述晶体中原子或分子的振动状态的一种粒子状态，它是晶格振动的量子，可以理解为晶格振动的激发态。
声子的能量和动量取决于晶体的结构和材料的属性。
声子的性质对于理解固体材料的热力学性质和电子输运等具有重要意义。
3. 热容晶体的热容是指在单位温度变化下单位质量的物质所吸收或释放的热量。
热容受到晶格振动的影响，由于晶格振动的激发使得晶体中的振动能量增加，从而导致热容的增加。
晶格振动的频率和振幅都会影响晶体的热容。
三、晶格振动的热力学性质1. 声子态密度声子态密度是描述声子激发的集中程度的参数，它是声子频率与波数的函数。
声子态密度与物质的热容、传热系数、热导率等热力学性质有密切关系。
2. 热导率热导率是描述物质传热能力的物理量，它受到晶格振动的影响。
晶体中的声子态密度和振动频率都会影响热导率，声子散射和声子声波会对热导率产生影响。
3. 热膨胀系数热膨胀系数描述了物质在温度变化下的线膨胀率。
晶格振动会对物质的热膨胀系数产生一定的影响，特别在低温下，晶格振动会对热膨胀系数的温度依赖性产生较大的影响。
四、晶体中的声子散射声子与声子之间的相互作用会导致声子的散射，导致声子输运的阻尼。
声子之间的散射包括晶格常数的不均匀性引起的声子散射、声子与晶格缺陷相互作用引起的声子散射以及声子与声子之间的散射等。
晶格振动模式密度
热力学
热容量
晶格振动模式密度可以影响固体 的热容量，通过分析晶格振动模 式密度，可以更准确地描述固体
热容量的变化规律。
热传导
晶格振动模式密度对热传导过程也 有重要影响，它决定了固体内部热 能传递的速率和方式。
相变
晶格振动模式密度在相变过程中扮 演着重要角色，可以影响相变温度 和相变过程中的能量变化。
根据晶体的结构和对称性，建立晶格模型 。
根据原子间的相互作用势，确定原子间的 相互作用。
3. 求解振动方程
4. 计算振动模式密度
根据晶格模型和原子间的相互作用，求解 晶体的振动方程。
根据求解得到的振动方程，计算晶体的振 动模式密度。
结果分析
振动模式密度的分布
振动模式的能量分布
分析计算得到的振动模式密度在晶格 中的分布情况，了解晶体的振动特性。
CHAPTER
材料科学
材料性质预测
晶格振动模式密度可用于预测材 料的物理性质，如热导率、弹性 常数等，有助于材料设计和优化 。
相变研究
通过研究晶格振动模式密度随温 度的变化，有助于理解材料的相 变行为，如金属向绝缘体的转变 等。
环境科学
污染物扩散
晶格振动模式密度可以影响气体在材料中的扩散系数，对于 理解污染物在环境中的传播和扩散具有重要意义。
光学
光的吸收和散射
晶格振动模式密度对光与物质相互作用过程中的吸收和散射有重 要影响，可以改变光的传播方向和强度。
光的折射和反射
晶格振动模式密度可以影响光的折射和反射，从而改变光在物质表 面的行为。
非线性光学效应
通过研究晶格振动模式密度，可以深入了解非线性光学效应的机制， 为新型光学材料和器件的开发提供理论支持。
第三章 晶格振动Ⅰ—声子
n-2 n-1 n n+1 n+2
xn-2
xn-1
xn
xn+1
xn+2
图3.1-1 一维原子链的振动
（3.1-1）
式中第一项为常数，第二项为零（因为在平 衡时势能取最小值）。当 δ 很小，即振动很 微弱时，势能展开式中可只保留到 δ 2 项，则 恢复力为 − dU = − d U δ = −βδ dr dδ （3.1-2） d U β = dr （3.1-3） 这叫做简谐近似。上式中的 β 称为恢复力常 数，又称为微观弹性模量或准劲度系数。 当 δ > 0 ，则恢复力为负，相互作用力为引力； 当 δ，则恢复力为正，相互作用力为斥力。 <0
vp =
是波长 λ 的函数，波长不同的格波传播速度不同，这 与可见光通过三棱镜时的情况相似，不同波长的光在 三棱镜中传播的速度不同，折射角就不同，从而导致 色散。所以称 ω 与 q的关系为色散关系，也称振动频 谱或振动谱。 此外，由式（3.1-8）或图3.1-2可以看出，当q → 0 ， sin 即波长很长时， (qa 2) ≈ qa 2，这时波速是常 数 v p = a β m，同时 u n−1 = u n = u n +1 即某一原子周围若干 原子都以相同的振幅和位相振动,当 q = ± π 即 sin(qa 时， 1 2) = ± a β 有最大值， ω ω max = 2 。
m
q
=
π m
sin λ
2πs 当波矢 q = a + q′ （其中s为任意整数），代入式
晶格震动与声子理论
晶格震动与声子理论晶格震动是在固体中传播的一种能量传递方式，它与固体的物理性质以及热学性质密切相关。
声子理论则是描述晶格震动的理论模型，通过声子理论可以深入理解固体的热导率、比热容等性质。
一、晶格震动的基本概念晶体是由多个离子或原子组成的周期性排列结构，通过共价键或者离子键相互连接。
在晶体结构中，原子相对位置是固定的，但是它们仍然能够发生小幅度的振动，也称为晶格震动。
晶格震动可以看作是晶体中原子粒子的一种集体运动，这种运动反映了晶体中粒子固有的势能曲线和受到的限制。
二、声子理论的基本原理声子是描述晶格振动的基本概念，也称为晶格振动子。
在声子理论中，晶体的振动被描述为一系列离散的模式，每个模式都有特定的频率和振幅。
声子理论可以用简谐振动模型来描述，即将晶体中的每个原子近似看作一个简谐振子。
根据经典力学，每个原子的振动可以用哈密顿量来描述，而哈密顿量由原子之间的相互作用势能确定。
声子的能量与频率之间存在关系，即E=hf，其中E为能量，h为普朗克常数，f为频率。
由此可见，声子的频率与晶体的化学成分、晶格结构及其形变等因素都有关系。
三、晶格震动对固体性质的影响晶格震动对固体性质的影响非常重要。
首先，声子的频率和波矢决定了固体的热导率。
声子在固体中的传播受到一些散射机制的影响，如声子-声子散射、声子-杂质散射、声子-晶格缺陷散射等。
这些散射过程会导致声子的传播速度减小，从而造成热阻力的增加。
其次，晶格震动对固体的比热容有着重要影响。
根据热力学理论，固体的比热容与其内部能量和自由度有关。
晶格震动可以激发固体中的原子或离子在空间中振动，增加了固体的自由度，从而增大了比热容。
另外，晶格震动还对固体的电子结构和光学性质等方面产生重要影响。
声子的振动会引起准粒子（如声子极化子）的激发，并且可以调控固体中的电子动量和波矢，从而影响固体的导电性和光学特性。
四、声子理论的应用声子理论在凝聚态物理、材料科学和固体电子学等领域都有广泛的应用。
固体物理晶格振动
3. 量子描述
1 3N 2 H = pi i2Qi2 2 i =1
根据经典力学写出的哈密顿量, 可以直接用来作为量子力学分 析的出发点, 只要把 pi 和 Qi 看作量子力学中的正则共轭算符
3N 1 2 2 2 2 i Qi (Q1 , Q2 ,, Q3 N ) 2 Qi i =1 2 = E (Q1 , Q2 ,, Q3 N )
方程的一般解： un = Aj e
j
i j t naq j
=
1 Nm
Q q, t einaq
q
Q(q, t ) = Nm A j e
i j t
线性变换系数正交条件：
1 N
e
n
ina q q
= q , q
系统的总机械能化为(详细推导过程见后面附录部分)
处理小振动问题时往往选用 位移矢量u (t) 的 3N 个分量 n 与平衡位置的偏离为宗量 写成ui (i=1,2,…,3N)
N 个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级 数
V 1 3 N 2V V = V0 ui 2 i , j =1 ui u j i =1 ui 0
q=
2π s Na
晶格振动波矢只能取分立的值, 即是量子化的. 为了保证un的单值性, 限制q在一个周期内取值
< q
N N , 0, 1, 2, , 1), ( 2), ( 3), 1, 2 2
N N <s 2 2
2π q= s Na 波矢q也只能取 N 个不同的值, 即
1 2 晶体链的动能： T = mun 2 n 1 2 晶体链的势能： U = un un 1 2 n 1 1 2 2 系统的总机械能： H = mun un un1 2 n 2 n
晶格振动模式
2 (m M )
(q)
mM
2
m
2
q
M
2a
2a
0
2a
q
2a
称为一维复式晶格的 第一布里渊区
一维复式晶格的色散关系曲线
即一维复式晶格的倒格子原胞
如m<M，色散关系中存在频隙
周期性边界条件：一维双原子链由N个原胞组成，
每个原胞中含有两个不同的基，将若干个相同的
布拉菲晶格： xn Aei(qnat)
复式晶格：
x2n Aei(q2nat )
x Be 2n1
i[q(2n1)at ]
一组确定的q, 决定一种格波，或振动模式。
每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是
表示整个晶体所有原子都参与的频率 ，初相位
的振动，也称为一个振动模式。
有N个原子组成的晶体，一共有3N组特解，即有3N 种不同频率的间歇振动，也即有3N个振动模式。
晶体中原子的实际振动由运动方程的一般解表示
方程的一般解可表示为特解的线性叠加
3N
qk AklSin(lt l ) k 1,2,,3N l 1
模式，即代表一种格波。
例如：
q,
1 2
a
,
2
m
长波极限， ,q 0 整个晶格象刚体一样作整体运
动,因而恢复力为0,故 0 2a, q 邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢
a 复力和频率取极大值
二、周期性边界条件
考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成，另有 无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长 的一维原子链，各段相应原子运动情况相同。
固体物理学中的晶格振动
固体物理学中的晶格振动晶格振动是固体物理学中一个重要的研究课题，涉及到材料的结构、热力学性质以及电子传输等多个方面。
晶格振动指的是晶体中原子的振动行为，这种振动是由原子间的相互作用引起的，形成了固体的稳定结构。
晶格振动的研究与材料的热传导性能密切相关。
晶格结构中的原子通过弹性束缚力相互作用，形成了周期性的振动。
这些振动可以看作是一连串的微小位移，沿着晶格的方向传播。
振动的传播速度和强度影响了材料的导热性能。
热导率是材料导热性能的一个重要指标，与晶格振动密切相关。
因此，研究晶格振动对于理解热传导机制以及开发高效热电材料具有重要意义。
晶格振动还涉及到材料的光学性质。
尤其是在光电子学和半导体器件中，晶格振动的研究对于理解材料的光学响应和能带结构具有重要意义。
晶格振动可以通过散射实验来研究，如X射线散射和中子散射等技术。
借助于这些实验手段，研究人员可以探测晶格振动的频率、强度以及耦合效应。
晶格振动的理论基础是固体物理学中的晶格动力学理论。
根据这个理论，晶格振动可以视为离散的荷质点在周期势场中的运动。
通过数学方法可以得到晶格振动的频率和振动模式等信息。
晶格动力学理论也可以用来解释晶格振动的热力学性质，如热容和热膨胀等。
从实际研究的角度来看，现代固体物理学中涌现了许多晶格振动的相关研究领域。
一个重要的研究方向是声子学，它研究的是固体中的声子，即晶格振动的量子态。
声子学的实验技术既包括晶格振动的散射实验，也包括通过激光和超导器件等手段产生和探测声子的方法。
另一个研究领域是热声学，它研究的是晶格振动和热传导之间的相互作用。
热声学研究的对象是晶体中热激励所引起的声学振动，从而揭示了热力学和声学性质之间的联系。
此外，也有一些新颖的研究方向在固体的晶格振动领域获得了突破性的进展。
例如，超导态材料中的相场调控、拓扑绝缘体中的表面声子等。
这些研究不仅提供了新的理论认识，也为应用领域的发展提供了基础。
总的来说，固体物理学中的晶格振动是一个广泛而具有深度的研究领域。
晶格振动
该结果还表示：只要ω和q 满足上述关系，试解就是联立方程 的解。通常把ω和 q 的关系称作色散关系。
解的物理意义： 格波 nq Aeitnaq
原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距 2 的
整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。
晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过
Dulong-Petit 定律
cV
E T
V
3N AkB
f (T ),(E
3N AkBT )
认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到 20世纪初才由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什 么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子 振动的研究，1912年玻恩(Born，1954年 Nobel物理学奖获得者) 和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使 用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发 表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的 说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye 模型不足，所以1935年Blackman才重新利用Born和Von-Karman 近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先 生在晶格振动研究上成就突出，特别是1954年和Born共同写作 的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作。
2.1 晶格振动的经典理论
一. 一维单原子链的晶格振动 二. 一维双原子链的晶格振动 三. 三维晶体中原子的振动 四. 态密度函数 五. 近似条件与使用范围
参考：
黄昆书 3.2－3.4节（p82-103） 3.8节（p132-137)
晶格振动的简正模式
晶格振动的简正模式
晶格振动是固态物质中晶体结构中的原子或离子相互作用导致的周期性振动。
晶格振
动可以通过简正模式来描述，简正模式是晶格振动中的最基本振动模式。
在晶格振动中，不同的原子或离子可能以不同的方式振动，而简正模式描述的是这些
振动模式。
简正模式通常用数学表达式表示，可以由谐振子的振动模式推导而来。
以一个具有周期性晶体结构的一维链格子为例，假设每个格点上的原子质量相同，我
们可以推导出以下的简正模式：
1. 长度振动模式：晶格链上的每个原子在与相邻原子的相互作用下，沿着链的方向
上来回振动。
这个模式描述了晶体中的声波。
2. 横向振动模式：晶格链上的每个原子在与相邻原子的相互作用下，垂直于链的方
向上振动。
这个模式描述了晶体中的光学波。
3. 弯曲振动模式：晶格链上相邻原子之间的键角度发生变化，导致整个链弯曲振动。
这个模式描述了晶体中的扭曲波。
4. 涨落振动模式：晶格链上的原子以相反的方向进行不规则的涨落振动。
这个模式
描述了晶体中的热涨落。
这些简正模式描述了晶格振动的基本特性，同时还可以进一步推广到二维和三维的晶
体结构中。
这些简正模式的分析可以帮助我们理解晶格振动的性质，从而研究和设计新型
材料的热学、声学和光学性质。
固体物理学中的晶格振动
固体物理学中的晶格振动在固体物理学中，晶格振动是一个重要而有趣的研究领域。
晶格振动指的是晶体中原子或离子在其平衡位置附近发生的微小振动。
这种振动是由于原子或离子之间的相互作用而产生的。
晶格振动广泛应用于各种领域，如材料科学、固体力学和纳米技术等。
本文将介绍晶格振动的基本原理和应用。
晶格振动的基本原理是基于区域平衡理论。
根据这个理论，晶体中的每个原子或离子都处于一个平衡位置，附近的原子或离子对其施加一个平衡力。
当原子或离子受到微小扰动时，平衡力会使其回到平衡位置，并且会引起周围原子或离子的扰动。
这种扰动会在整个晶体中传播，形成晶格振动。
晶格振动有两种基本类型：声子振动和光子振动。
声子振动是通过晶体中的弹性介质传播的机械波。
它的频率和波矢由晶体的结构确定。
光子振动是通过晶体中的电磁介质传播的电磁波。
它的频率和波矢由晶体的电子结构和禁带结构决定。
晶格振动在材料科学中有广泛的应用。
例如，在合金的研究中，了解晶格振动对合金的力学性能和热学性能的影响非常重要。
通过研究晶格振动，可以预测合金的热膨胀性质、热导率和声速等。
这对于材料的设计和制备具有重要意义。
此外，晶格振动还在固体力学中起着重要作用。
晶格振动对晶体的弹性性能和声学性能有直接影响。
通过研究晶格振动，可以预测晶体的弹性恢复和声学传播特性，这对于材料的强度和稳定性分析非常重要。
晶格振动在纳米技术中也发挥了关键作用。
由于纳米材料的尺寸非常小，其表面与体积之比很大，晶格振动对它们的性质有显著影响。
例如，纳米材料的热导率会因为晶格振动的限制而降低。
这一特性被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。
尽管晶格振动在许多领域中都起着关键作用，但要准确地描述和理解它仍然具有挑战性。
由于晶格振动是一个多粒子系统，需要考虑到多个原子或离子之间的相互作用和非线性效应。
因此，研究晶格振动需要使用复杂的数学模型和计算方法。
总之，晶格振动在固体物理学中是一个重要的研究领域。
通过研究晶格振动，我们可以更好地理解晶体的性质和行为，并在材料科学、固体力学和纳米技术等领域中应用这一知识。
晶格振动和声学性质
晶格振动和声学性质晶格振动是固体内部原子或离子在平衡位置附近的微小振动。
对于晶体的原子结构，晶格振动以其特有的方式影响着固体的声学性质。
本文将探讨晶格振动及其与声学性质之间的关系，从宏观和微观两个方面进行论述。
1. 晶格结构与声学性质晶格是固体中的重要特征，不同晶体具有不同的晶格结构。
晶格结构对固体的声学性质有着重要影响。
以晶格的周期性为基础，晶格振动催生了固体中的声波。
不同晶格结构对声波传播的方式有直接影响。
例如，立方晶格的声子（晶格振动的量子）传播具有宏观的各向同性，而非立方晶格则可能出现固有各向异性。
这种固有各向异性导致了一些晶体在不同方向上的声传播速度不同。
另外，晶格的周期性还使得一些声波在晶体中遇到晶格点时会受到散射，从而使声波的传播发生衰减和反射。
这种声波散射现象决定了固体的声学减振性能和反射性能。
对于不同结构和性质的晶体，其声学性质也会有所差异。
2. 晶格振动的本质和类型晶格振动是固体中原子或离子的协同振动，涉及到能量的传递和相互作用。
晶格振动可以分为光学振动和声学振动两类。
光学振动是指由同一单元晶胞中的原子或离子发生的反相振动。
相邻晶胞之间的原子或离子以相同方式振动，形成特定的波动模式。
光学振动与固体中的电磁波相互作用，从而导致红外吸收和散射。
这种振动方式通常在高频段出现。
声学振动则是指相邻晶胞中的原子或离子发生的共振振动。
振动模式是相位一致的，因此能够引起固体中的声波传播。
声学振动通常分为纵波和横波。
纵波是沿晶格振动方向传播的压缩波，而横波则是垂直于振动方向的剪切波。
声学振动在固体中的传播速度与固体的密度和弹性常数相关。
不同类型的晶格振动对固体的声学性质产生不同的影响。
光学振动通常与红外光谱相关，可以帮助我们理解物质的分子结构和化学键。
声学振动则关系着固体的声速、声传播特性和机械性质。
3. 晶格振动与声学性质测量通过测量固体中的晶格振动，可以了解固体的声学性质。
一种常见的方法是使用光学技术进行红外光谱测量。
固体物理--第三章 晶格振动
三、周期性边界条件 周期性边界条件：
N n n
e
iNaq
1
2 q h Na
q的分布密度：
h =整数， N：晶体链的原胞数
Na L q const. 2 2
{
简约区中q的取值总数 ＝ q
2 N ＝晶体的原胞数 a 晶格振动的格波总数＝2N＝晶体的自由度数
2 1
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）
简约区：
a
q
a
π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中 找到唯一一个q，使之满足：
2 q q G a
G 为倒格矢
二、光学波和声学波的物理图象 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
n m M n q0
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这 种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。
对于单声子过程（一级近 似），电磁波只与波数相同的格
(q)
=c0q +
+(0)
波相互作用。如果它们具有相同
的形式在整个晶体中传播，称为格波。
q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。 2 则 q 与 q描述同一晶格振动状态 若 q q a
1 4a
例：
q1
q2
2
1
2 a
5
4
2
2a 5
2a
2
2 q2 q1 a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
第三章晶格振动
2
aq
sin
m
2
2.色散关系
当
q
a,max源自2;m当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
2π / a
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q, q 2π s ( s为整数), a
m
M
m 2
M
2
2m M
4m M(aq) 2
1 2
mM
mM
m
M
m
M 1
4m M
m M 2
(aq)
2
1
2
mM
m
M m M 1
2m M
m M 2
(aq)2
mM
2mM
m M
(aq)
2
A
2
aq mM
vpq
2
vp
a mM
(2)相邻原子的振幅之比
2 cosaqA M 2 2 B 0 m 2 2 A 2 cosaqB 0
在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。
例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为m，恢复力 常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。
解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:
..
m xn xn xn1 xn xn1
xn Aei t naq
将试探解代入振动方程得色散关系:
子间的振动相互间都存在着固定的位相关系,即原子的振动形成了波，这种波称为格
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原
子质量为m，恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。
解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:
..
m xn xn xn1 xn xn1
xn Aeitnaq
将试探解代入振动方程得色散关系:
;
m
当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q , q 2π s ( s为 整 数), a
2
2
整数
q 2π s Na
s ( N 1),( N 2),( N 3), ,1, 0,1, 2, , N (共N个值)
2
2
2
2
波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分立的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
4. 长波极限: q 2π 0
2
aq
sin
m
2
由玻恩---卡门周期性边界条件:
x1 x1 N
eiNaq 1
S为整数
Naq 2π s
q 2π s 5a
πq π
a
a
5<s 5
2
2
5<s 5
2
2
s 2, 1, 0, 1, 2
q 4π , 2π ,0, 2π , 4π 5a 5a 5a 5a
m 2 ( 2 eiaq eiaq )
m 2 [2 (cos aq i sinaq) (cos aq i sinaq)]
(2 2cos aq) 4 sin2 aq
2
2
aq
sin
m2
2.色散关系
当
q
a
,
max
2
第n-2个原子
第n-1个原子 第n个原子
第n+1个原子 第n+2个原子
a
Xn-2
Xn-1
Xn
Xn+1
Xn+2
第n-2个原子
第n-1个原子 第n个原子
第n+1个原子 第n+2个原子
a
Xn-2
Xn-1
Xn
Xn+1
Xn+2
用xn和xk分别表示序号为n和k的原子在t时刻偏离平衡位置的
位移，用xnk= xn-xk表示在t时刻第n个和第k个原子的相对位移。
(q) (q)
且
i t na ( q 2π s )
xn (q) Ae
a xn ( q )
a
4a
a
4a 5
x
当 q , q 2π s ( s为 整 数), a
且 xn( q ) xn( q )
(q) (q)
m
r0
(
r
)2
1 6
d3u dr 3
r0
(
r
)3
x nk
u(r )
u(r0 )
1 2
d2u dr 2
r0
xn2k
1 6
d3u dr 3
r0
xn3k
第 n个与第 k个原子间的相互作用力:
f nk
du dr
d2u dr 2
第三章 晶格振动
❖一维晶格振动 ❖三维晶格振动、声子 ❖长波近似 ❖确定晶格振动谱的实验方法 ❖晶体比热 ❖晶体的非简谐效应
第一节 一维晶格的振动
本节主要内容: 3.1.1 一维单原子链的振动 3.1.2 一维双原子链(复式格子)的振动
§3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为 a，原子质量为m。
2 sin aq
m
2
1 2
m
sin
2π 5
, 21
2
sin
m
π 5
, 3
0,4
2
,5
1
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
m xn xn xn1 xn xn1
M 2 2
0
2 cos aq
4 2 cos 2 aq mM 4 2(m M ) 2 4 2 0
mM 4 2(m M ) 2 4 2 (1 cos 2 aq) 0
2 1 {2(m M ) [2(m M ) ]2 4mM4 2 (1 cos2 aq)}
(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。)
得:
f nk
d2u dr 2
r0
xnk
nk
xnk
fn nk xn xk
nk
d2u dr 2
r0
弹性恢复力系数
k
原子的振动方程:
m
..
xn
nk xn
xk
k
n k a r0
m Ae 2 i[ t(2n1)aq ] {Bei[ t(2n2)aq] Bei( t2naq ) 2 Aei[ } t(2n1)aq]
m 2 A eiaq eiaq B 2 A
上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程；
为aq。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关
系,即原子的振动形成了波，这种波称为格波。
将试探解代入振 动方程得振动频率:
2
aq
sin
m2
色散关系 (晶格振动谱) 推导略
..
m xn 2xn xn1 xn1
给出试探解: xn Aei t naq
2 o
mM
m M
m2
M2
2mM
cos2aq
1 2
2 A
mM
m
M
m2
M2
2mM
cos2aq
1 2
(q) (q) (q π) q
2m M
1 {2(m M ) 2 (m M )2 4mM(1 cos2 aq)}
2m M
{(m M ) m 2 M 2 2mM 4mM cos2 aq}
mM
{(m M ) m 2 M 2 2mM cos 2aq}
mM
(1)色散曲线
mM
2 o
mM
m
M
m2
M2
2m
M
cos2aq
1 2
2 A
mM
m M
m2
M2
2mM cos2aq
12
0(+)-----光学支格波， A(-)-----声学支格波 推导略
2 cos aq m 2 2
.
xn
iAei t naq
..
xn
( i
)2
Aei t naq
2 Aeit naq
m A 2eit naq
2 Aeiwt naq Aeit n1aq Aeit n1aq
x2n1 Aei t 2n1aq
x2n Bei t 2naq
2.色散关系
M Be 2 i( t2naq ) { Aei[ t(2n1)aq] Aei[ t(2n1)aq] 2Bei( t2naq ) }
M 2B eiaq eiaq A 2 B
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
Vp q
vp a m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
vp a m
由连续介质波
弹性模量
的传播速度： v p 介质密度
q 2π a
vp a m
在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视 为弹性波。
(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
x2n1 Aeit 2n1aq
x Be 2n2
[t ( 2n2 )aq]
..
x M 2n x2n1 x2n1 2 x2n
..
m x 2n1 x2n2 x2n 2 x2n1
只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：
..
m xn xn xn1 xn xn1
..
m xn 2xn xn1 xn1