晶格振动

M 2 2
0
2 cos aq
4 2 cos 2 aq mM 4 2(m M ) 2 4 2 0
mM 4 2(m M ) 2 4 2 (1 cos 2 aq) 0
2 1 {2(m M ) [2(m M ) ]2 4mM4 2 (1 cos2 aq)}
m 2 ( 2 eiaq eiaq )
m 2 [2 (cos aq i sinaq) (cos aq i sinaq)]
(2 2cos aq) 4 sin2 aq
2
2
aq
sin
m2
2.色散关系
当
q


a
,
max

2
2
2
整数
q 2π s Na
s ( N 1),( N 2),( N 3), ,1, 0,1, 2, , N (共N个值)
2
2
2
2
波矢 q

2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分立的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
4. 长波极限: q 2π 0
(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。)
得:
f nk


d2u dr 2

r0
xnk

nk
xnk
fn nk xn xk
nk


d2u dr 2

r0
弹性恢复力系数
k
原子的振动方程:
m
..
xn


nk xn

xk

k
n k a r0
例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原
子质量为m，恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。
解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:
..
m xn xn xn1 xn xn1
xn Aeitnaq
将试探解代入振动方程得色散关系:
r0
xnk

1 2

d3u dr 3

r0
xn2k

f nk

du dr


d2u dr 2

r0
xnk

1 2

d3u dr 3

r0
xn2k

振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（r）二次方以上的
高次项，只保留到(r)2项---简谐近似。
2n-2
2n-1
2n
2n+1
2n+2

M
m
质量为M的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、···
质量为m的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、···
x2n-2
x2n-1
x2n
x2n+1
x2n+2
(2)方程和解
m
..
xn


nk xn

xk

k
若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
..
2m M
1 {2(m M ) 2 (m M )2 4mM(1 cos2 aq)}
2m M
{(m M ) m 2 M 2 2mM 4mM cos2 aq}
mM
{(m M ) m 2 M 2 2mM cos 2aq}
mM
(1)色散曲线
为aq。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关
系,即原子的振动形成了波，这种波称为格波。
将试探解代入振 动方程得振动频率:
2
aq
sin
Fra Baidu bibliotek
m2
色散关系 (晶格振动谱) 推导略
..
m xn 2xn xn1 xn1
给出试探解: xn Aei t naq
第三章 晶格振动
❖一维晶格振动 ❖三维晶格振动、声子 ❖长波近似 ❖确定晶格振动谱的实验方法 ❖晶体比热 ❖晶体的非简谐效应
第一节 一维晶格的振动
本节主要内容: 3.1.1 一维单原子链的振动 3.1.2 一维双原子链(复式格子)的振动
§3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为 a，原子质量为m。
故取 π q π
a
a
π a
o
πa
简约布里渊区
3. 玻恩---卡门周期性边界条件及波矢q的取值
(1)玻恩---卡门周期性边界条件
设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接， 各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。
晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中 原胞的个数 ）后，其振动情况复原。由N个原胞组成的单原
xn Aeitnaq
2 sin aq
m2

2 m
πq π
a
a
xn xnN
π a
o
πa
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解
(1) 模型:一维无限长原子链，原子质量为m和M，且m<M。 相邻原子间距均为a，恢复力系数为。 (晶格常量为2a )
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
Vp q

vp a m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q

vp a m
由连续介质波
弹性模量
的传播速度： v p 介质密度
q 2π a

vp a m
在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视 为弹性波。

2 o


mM
m M
m2
M2

2mM
cos2aq
1 2



2 A


mM
m

M
m2
M2
2mM
cos2aq
1 2


(q) (q) (q π) q
..
x M 2n x2n1 x2n1 2 x2n
..
m x 2n1 x2n2 x2n 2 x2n1
x2n1 Aeit 2n1aq
x2n Beit2naq
其他原子位移可按下列原则得出:
(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅 不同。
(2)振动方程和解
平衡时，第k个原子与第n个原子相距 n k a r0
u(r)为两个原子间的互作用势能，平衡时为 u(r0 ) ，
t时刻为 u(r) u(r0 r)
u(r) u(r0 r)

u(r0
)


du dr

r0

r

1 2

d2u dr 2

只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：
..
m xn xn xn1 xn xn1
..
m xn 2xn xn1 xn1
给出试探解： xn Aeitnaq
x Aei[t( n1 )aq] n1
原子都以同一频率，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差
2 cos aqA M 2 2 B 0 m 2 2 A 2 cos aqB 0
若A，B不全为零，必须其系数行列式为零，即:
2 cos aq M 2 2
0
m 2 2 2 cosaq
2 {(m M ) m 2 M 2 2mM cos 2aq }
(q) (q)
且
i t na ( q 2π s )
xn (q) Ae
a xn ( q )
a
4a
a
4a 5
x
当 q , q 2π s ( s为 整 数), a
且 xn( q ) xn( q )
(q) (q)
m
x2n1 Aei t 2n1aq
x2n Bei t 2naq
2.色散关系
M Be 2 i( t2naq ) { Aei[ t(2n1)aq] Aei[ t(2n1)aq] 2Bei( t2naq ) }
M 2B eiaq eiaq A 2 B
.
xn

iAei t naq
..
xn

( i
)2
Aei t naq
2 Aeit naq
m A 2eit naq
2 Aeiwt naq Aeit n1aq Aeit n1aq
子链，由玻恩---卡门周期性边界条件: xn xn N
(2)波矢q的取值 对于一维布拉维晶格(原胞标数与原子标数相同):
xn xnN
Aei t naq Aei[t ( n N )aq]
eiNaq 1
π q π
a
a
Naq 2π s
N s N
M x 2n x2n x2n1 x 2n x2n1
x2n1 x2n1 2 x2n
..
x m 2n1 x2n1 x2n2 x 2n1 x2n
x2n2 x2n 2 x2n1
(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
x2n1 Aeit 2n1aq
x Be 2n2
[t ( 2n2 )aq]
..
x M 2n x2n1 x2n1 2 x2n
..
m x 2n1 x2n2 x2n 2 x2n1
mM

2 o


mM
m

M
m2

M2

2m
M
cos2aq
1 2


2 A


mM
m M
m2

M2
2mM cos2aq
12
0(+)-----光学支格波， A(-)-----声学支格波 推导略
2 cos aq m 2 2
2
aq
sin
m
2
由玻恩---卡门周期性边界条件:
x1 x1 N
eiNaq 1
S为整数
Naq 2π s
q 2π s 5a
πq π
a
a
5<s 5
2
2
5<s 5
2
2
s 2, 1, 0, 1, 2
q 4π , 2π ,0, 2π , 4π 5a 5a 5a 5a
第n-2个原子
第n-1个原子 第n个原子
第n+1个原子 第n+2个原子
a
Xn-2
Xn-1
Xn
Xn+1
Xn+2
第n-2个原子
第n-1个原子 第n个原子
第n+1个原子 第n+2个原子
a
Xn-2
Xn-1
Xn
Xn+1
Xn+2
用xn和xk分别表示序号为n和k的原子在t时刻偏离平衡位置的
位移，用xnk= xn-xk表示在t时刻第n个和第k个原子的相对位移。
2 sin aq
m
2
1 2

m
sin
2π 5
, 21

2
sin
m
π 5
, 3

0,4

2
,5

1
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
m xn xn xn1 xn xn1
;
m
当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。

m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q , q 2π s ( s为 整 数), a
m Ae 2 i[ t(2n1)aq ] {Bei[ t(2n2)aq] Bei( t2naq ) 2 Aei[ } t(2n1)aq]
m 2 A eiaq eiaq B 2 A
上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程；
r0
(
r
)2

1 6

d3u dr 3

r0
(
r
)3




x nk
u(r )

u(r0 )
1 2

d2u dr 2

r0
xn2k

1 6

d3u dr 3

r0
xn3k

第 n个与第 k个原子间的相互作用力:
f nk

du dr


d2u dr 2