高中数学幂函数的定义练习及答案

高中数学幂函数的定义练习及答案

题型一：幂函数的定义

【例1】 下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）

A ．3x y -=

B ．3-=x y

C ．32x y =

D ．13-=x y

【考点】幂函数的定义 【难度】1星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】 形如(01)x y a a a =>≠且的函数叫做幂函数，答案为B ．

【答案】B

【例2】 11．函数的定义域是 .

【考点】幂函数的定义 【难度】1星

【题型】填空

【关键词】无 【解析】

【答案】

【例3】 如果幂函数()f x x α=

的图象经过点，则(4)f 的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 1

2

【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】D

【例4】 幂函数()y f x =的图象过点1

(4,)2

，则(8)f 的值为 .

【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】

典例分析

【例5】 下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.

A.12

y x = B. 4

y x = C. 2

y x -= D.13

y x =

【考点】幂函数的定义 【难度】1星

【题型】选择

【关键词】无 【解析】 【答案】B

【例6】 下列命题中正确的是

（ ）

A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线

B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点

C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数

D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限

【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】选择

【关键词】无

【解析】 A 错，当0α=时函数y x α

=的图象是一条直线（去掉点（0，1））；B 错，如幂函数1

y x -=的

图象不过点（0，0）；C 错，如幂函数1

y x -=在定义域上不是增函数；D 正确，当0x >时，0x α>．

【答案】D

【例7】 函数2

221

(1)m

m y m m x --=--是幂函数，求m 的值.

【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答

【关键词】无 【解析】 幂函数需要保证系数为1，同时指数为有理数，从此两个条件入手，可以得到关于m 的等式

和不等式，从而解出m 的值. ∵2

221

(1)m

m y m m x --=--是幂函数，

∴函数可以写成如下形式a y x =(a 是有理数) ∴211m m --=，解得121,2m m =-= 当11m =-时，211212m m Q --=∈

22m =时，222211m m Q --=-∈

∴m 的值域为-1或2.

【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检验a 是有理数. 【答案】-1或2

【例8】 求函数1

302

(3)y x x x -=+--的定义域.

【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要保证每一个函数都有意义，即分母不

为0、被开方数大于等于0.

使函数有意义，则x 必须满足0030x x x ≥⎧⎪

≠⎨⎪-≠⎩

，

解得：0x >且3x ≠

即函数的定义域为{|0,3}x x x >≠且.

【答案】{|0,3}x x x >≠且

【例9】 函数1

2

24

(42)

(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，

则实数m 的取值范围是（ ）．

Ａ．1

2)，

Ｂ．1

)+，∞ Ｃ．(22)-，

Ｄ．(11--+ 【考点】幂函数的定义

【难度】2星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】 要使函数1

2

24

(42)

(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，可转化为

2420mx x m +++>对一切实数都成立，即0m >且244(2)0m m ∆=-+<

．解得1m >．

故选（Ｂ） 【答案】Ｂ

【例10】 讨论幂函数a y x =(a 为有理数)的定义域. 【考点】幂函数的定义 【难度】2星

【题型】解答

【关键词】无

【解析】 (1)若*a N ∈，则x ∈R ，这是函数的定义域为R .

(2)若a ∈{负整数} {0}U ，则(,0)(0,)x ∈-∞+∞U ，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U (3)若n

a m

=

*(,,,)m n N m n ∈且互质，则： ①m 是偶数，x R -∈，这是函数的定义域是R -； ②m 是奇数，x R ∈，这时函数的定义域为R

(4)若n

a m

=-*(,,,)m n N m n ∈且互质，则：

①m 是偶数，x R +∈，这是函数的定义域是R +；

②m 是奇数，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞⋃+∞.

【答案】(1)若*a N ∈，则x ∈R ，这是函数的定义域为R .

(2)若a ∈{负整数} {0}U ，则(,0)(0,)x ∈-∞+∞U ，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U

(3)若n

a m

=

*(,,,)m n N m n ∈且互质，则： ①m 是偶数，x R -∈，这是函数的定义域是R -； ②m 是奇数，x R ∈，这时函数的定义域为R

(4)若n

a m

=-*(,,,)m n N m n ∈且互质，则：

①m 是偶数，x R +∈，这是函数的定义域是R +；

②m 是奇数，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞⋃+∞.