第1章基本概念和静力学公理

四、合力矩定理 定理：合力对任一点的矩，等于各分力对同一点的矩 n 的矢量和 mO ( FR ) mO ( Fi )
i 1
[证] 以汇交力系为例 即：
FR F1 F2 Fn
z F3 Fn A r F1 FR F2
mO ( FR ) r FR r ( F1 F2 Fn ) r F1 r F2 r Fn mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fn )
KN.m
符号规定：力 F 使物体绕矩心作逆时针方向
转动时为正，顺时针转动时为负。
力矩的性质
1 力对O点的矩不仅仅取决于力F的大小，同时与矩心 的位置有关。
2 力F对O点的矩不会因为F在其作用线上移动而改变。 3 如果力F通过矩心O，则Mo(F)=0，此时力对物体 的作用效应为移动。 4 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。
Fy
Fx
x
Fxy b Fx
F
B A(x,y, z) a y
Fz
z
Fy
z
Fz Fyz b
y
Fy
3.力对点的矩与力对轴的矩的关系
i j k x y z Fx Fy Fz
M O (F ) r F
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
a
Fxy
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正 号，反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。
力对轴的矩的特点：
（1）力对轴的矩是代数量，逆时针为正，顺时针为负；
（2）力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内） ，力对该轴的矩为零；
（3）当力沿其作用线移动时,它对于该轴的矩不变。
力对轴的矩的解析表达式：
1.1m
FH
1m
M抗 M倾
所以当土墙不会绕A点倾倒
FG A
3m
FN
1.6m
1.4 力对点的矩和力对轴的矩
1.空间力对点的矩 空间的力对O点的矩取决于： （1）力矩的大小； （2）力矩的转向； （3）力矩作用面方位。
O A
M O (F )
B
F
h
在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。
（3）力沿坐标轴分解
x
F

O
Fxy
y
F Fx Fy Fz Fx i Fy j Fz k
大小： F
Fx2 Fy2 Fz2
Fz cos( F , k ) F
Fy Fx cos( F , i ) cos( F , j ) 方向余弦： F F
[例1] 已知:P=2000N, C点在Oxy平面内 求：力P对三个坐标轴投影
注意： ①不能将力沿其作用线从作用刚体移到另一刚体； ②力的可传性原理只适用于刚体，不适用于 变形体。 例如： 拉杆
FB A B FA
压杆
在考虑物体变形时，力失不得离开其作用点， 是固定矢量。
公理3
力的平行四边形法则
FR
作用于物体上同一点的两个力，可以 合成为作用于该点一个合力。合力的大小 和方向由这两个力为邻边所构成的平行四 边形的对角线来表示。
又∵ 二力平衡必等值、反向、共线，
∴ 三力 F1 , F2 , F3 必汇交，且共面。
FR
公理4
作用力和反作用力定律
两个物体相互作用的力总是同时存在，两力的大小 相等，方向相反，沿同一直线，分别作用在这两个物体 上。即两力等值、反向、共线、异体、且同时存在。
[例] 吊灯
注意：二力平衡公理与作用与反作用定律的区别
z
M O (F )
B
F
O
r
h
A(x,y,z ) y
x
若以r表示矩心O到力F作用点A的矢径，则矢量 r F 的大小为
r F 2 AOAB
方向也可由右手螺旋法则确定
M O (F ) r F 故 即：力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的 矢量积。
力对点的矩的解析表达式：
r xi yj zk, F Fx i Fy j Fz k
y
O
mO ( Fi )
i 1
n
M O ( FR ) M o ( F1 ) M o ( F2 )
x
M o ( Fn ) M O ( Fi )
n
mO ( F i) 将 mO ( FR ) i 1 得 n
mx ( F R )
i 1 n
n
向坐标轴投影，
x
m
i 1 n
作用于同一刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要与充分 条件是：这两个力大小相等 | F1 | = | F2 | 方向相反 F1 = –F2 作用在同一条直线上。
பைடு நூலகம்
说明： ① 对刚体来说，上面的条件是充要的
②对变形体来说，上面的条件只是必要条件
③二力杆：仅在两端两个力作用下平衡的刚体叫二力杆 （或二力体），不考虑自重。
二.空间力的投影和分解
（1）直接投影法（一次投影法）
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
（2）间接投影法（二次投影法）
z
Fx Fxy cos F sin cos Fy Fxy sin F sin sin Fz F cos
二力杆
例：图示结构
AB杆（二力杆）
AC杆（二力杆）
公理2
加减平衡力系原理
在作用于刚体的任意力系上，加上或减去任意一 个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。 推论1：力的可传性。 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体
内的任一点，而不改变该力对刚体的作用效应。
因此，对刚体来说，力作用的三要素为：大小，方向，作用线
FR
FR F1 F2
力三角形法则 推论2：三力平衡汇交定理
刚体受三力作用而平衡，若其中两力作 用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。（必共面， 在特殊情况下，力在无穷远处汇交——平行 力系。）
[证 ]
∵ F1 , F2 , F3 为平衡力系， ∴ FR , F3 也为平衡力系。
例 桥梁的自重，沿整个桥梁连续分布； 水坝的静水压力，沿高度线性变化。 4.力的单位： 国际单位制：牛顿(N) ；千牛顿(kN )
5 .力的表示：用一个有向线段来表示。
F
A
因此，力是矢量，矢量的模表示力的 大小；矢量下的作用线方位加上箭头表示 力的方向；矢量的始端（或末端）表示力
的作用点。
力系：是指作用在物体上的一群力。等效力系 二.平衡 是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀
负
2、投影与分力是不同的概念 ，投影只有大小和正负，是个 标量。 力在轴上的投影是标量
【例2-1】已知F1=100N，F2=50N，F3=60N，F4=80N，各力 方向如图所示。试分别求出各力在x轴和y轴上的投影。
F1x F1 cos30 100 0.866 86.6N
F1y F1 sin30 100 0.5 50N
i j k MO ( F ) r F x y z Fx Fy Fz ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k MO ( F ) MO ( F )x i MO ( F )y j MO ( F )z k
M O (F )x ( yFz zFy ) M O (F )y ( zFx xFz ) M O (F )z ( xFy yFx )
MO(F)
定点矢量
2.力对轴的矩 力F对z 轴的矩定义为： z A O x h b y F B
M z (F ) M O (Fxy ) Fxy h 2 AOab
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动 效果的度量，是一个代数量，其绝 对值等于力在垂直于该轴平面上的 投影对于轴与平面交点的矩。
速直线运动的状态。
一般工程技术问题取地球为惯性参考系。
平衡力系：使物体处于平衡状态的力系称为平衡力系。
三.刚体
就是在力的作用下，大小和形状都不变的物体。 或者是指在力或力系作用下任意两点间的距离始终不变的物体。
1.2
静力学公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被 反复的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论 公里1：二力平衡公理
( Fi ) ( Fi )
my ( F R ) mz ( F R )
m m
i 1
y
z
( Fi )
定理：合力对任一轴的矩，等于各分力对同一轴的矩 的代数和
合力矩定理不仅对汇交力系成立，而且对一般力系 也成立。
例题2 已知：F、 a、b、、, 求:MO(F) 。 解：(1) 直接计算
F2 x F2 3/ 5 50 0.6 30N
F2 y F2 4/ 5 50 0.8 40N
F3 x 0
F3 y F3 60N
F4 x F4 cos135 80 0.707 56.56N
F4 y F4 sin135 80 0.707 56.56N
解：建立坐标系
Pz P sin 45 Pxy P cos45 Px P cos45 sin 60 Py P cos45 cos60
三、合力投影定理
合力投影定理：
合力 FR 在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投
影的代数和。
即：
Fnx Fix FRy F1 y F2 y Fny Fiy FRx F1x F2 x
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
★ 力对点的矩矢在通过该点 的某轴上的投影，等于力对 该轴的矩。
M O (F )x M x (F ) M O (F )y M y (F ) M O (F )z M z (F )
例 已知挡土墙重 FG 75KN ，铅垂土压力 FN 120KN ， 水平土压力 FH 90KN 。试分析挡 土墙是否会绕A点倾倒。 解： M 倾 M A ( FH ) 901.6 144 KNm
M 抗 M A ( FG ) M A ( FN ) 751.1 120 (3 1) 322.5 KNm
FRx ac, F1x ab, F2 x bd, F3 x de F4 x ec ce, 且ab bd de - ce ac
1.4 力对点的矩和力对轴的矩
一、平面状态下力对点之矩 力对点的矩简称为 力 矩
Mo (F)=± Fd O —— 矩心 d —— 力臂 力对点的矩是代数量。 力矩的单位是：N.m
F与F ; P与P 是作用力与反作用力
P与F
是一对平衡力
公理5
刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体
视为刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
公理5告诉我们：处于平 衡状态的变形体,可用刚 体静力学的平衡理论。
1.3力在坐标轴上的投影 一、力在直角坐标轴上的投影 说明： 1、正负号规定：从起点垂足a 到终点的垂足b连线方向与轴 正向一致，投影为正；反之为
第1 篇 静力学
静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件的科 学。 静力学的研究内容： 1、物体的受力分析 2、力系的简化 3、建立各种力系的平衡条件
1.1 基本概念
一、力的概念 1．定义： 力是物体间相互的机械作用,这种作用使物体 的运动状态发生改变和变形状态发生改变。 2. 力的效应： ①运动效应(外效应) ,②变形效应(内效应) 3. 力的三要素： 大小，方向，作用点。 集中力 分布力 例 汽车通过轮胎作用在桥面上的力。
F Fx Fy Fz Fx i Fy j Fz k
M z ( F ) M O ( Fxy ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) xFy yFx
z
Fz F
A(x,y,z ) B
Fy
Fx
O y a
y x
x O
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx