专题4.1 指数与指数函数(精讲精析篇)(解析版)
高考数学复习指数与指数函数-重难点题型精讲(解析)
专题2.11 指数与指数函数-重难点题型精讲1．分数指数幂 （1)m na ＝n，a m (a >0，m ,n ∈N ＊，且n 〉1);m na＝1m na（a >0，m ，n ∈N ＊,且n 〉1);0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2）有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，（a r )s ＝a rs ，(ab ）r ＝a r b r ，其中a 〉0，b >0，r ,s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质（1）R 【思考】1。
如图所示是指数函数(1）y ＝a x ，(2）y ＝b x ,（3)y ＝c x ，(4）y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为________．提示 c 〉d >1〉a 〉b >02．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1）的图象和性质说明a x >1(a >0,a ≠1）的解集是否与a 的取值有关． 提示 当a >1时，a x >1的解集为｛x |x >0}；当0<a <1时，a x >1的解集为｛x ｜x <0｝．【题型1 指数幂的运算】【例1】(2020秋•荔湾区校级期中）化简下列各式．（1)（√23⋅√3）6﹣4•（1649）−12−√24•80.25﹣（2020）0；（2）√a 3b 2⋅√ab 23(a 14b 12)4⋅√a3(a ＞0，b ＞0）．【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质求解． 【解答过程】解：（1）原式=(213×312)6−4×(47)2×(−12)−214×814−1 ＝4×27﹣7−(2×8)14−1 ＝108﹣7﹣2﹣1 ＝98． （2)原式=a 32⋅b 22⋅a 16⋅b 26a⋅b2⋅a −13⋅b 13=a 53⋅b 43a 23⋅b 73＝ab ﹣1．【变式1—1】（2020秋•济宁期中）（1）计算：（94）12−（﹣9.6）0﹣（278）−23+(23)−2;（2)已知a 12+a−12=3，求a 2+a −2+1a+a −1+2的值．【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则即可求出；(2)根据完全平方公式即可求出． 【解答过程】解：（1）原式=32−1﹣（32）3×(−23)+94=32−1−49+94=8336， （2)∵a 12+a −12=3，∴a +a ﹣1＝（a 12+a −12）2﹣2＝7，∴a 2+a ﹣2＝(a +a ﹣1）2﹣2＝47，∴原式=47+17+2=489=163．【变式1-2】(2020秋•新泰市校级期中）化简求值：（请写出化简步骤过程）①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112；②1.5−13×(−76)0+814×√24+(√23×√3)6−√(−23)23．【解题思路】把根式化为分数指数幂,根据幂的运算法则计算即可． 【解答过程】解：①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112 =(0.43)−13−1+(−2)3×(−43)+（24）﹣0。
指数函数及其性质(解析版)
微专题15 指数函数及其性质【方法技巧与总结】知识点一、指数函数的图象及性质：x y a =01a <<时图象 1a >时图象图象性质①定义域R ，值域(0,)+∞②01a =，即0x =时，1y =，图象都经过()0,1点 ③x a a =，即1x =时，y 等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤0x <时，1x a >0x >时，01x a <<⑤0x <时，01x a <<0x >时，1x a >⑥既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论． （2）当01a <<时，x →+∞，0y →；当1a >时x →-∞，0y →． 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快． 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快． （3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称．知识点二、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）①x y a =，②x y b =，③x y c =，④x y d =，则：01b a d c <<<<<又即：,()0x ∈+∞时，x x x x b a d c <<<（底大幂大） ,0()x ∈∞－时，x x x x b a d c >>>（2）特殊函数2x y =，3x y =，1()2x y =，1()3x y =的图像：【题型归纳目录】题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性 题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题 题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题 题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合 【典型例题】题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性 例1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2x af x -=的图象关于直线2x =对称，则a ＝（ ）A ．1B ．2C ．0D ．-2【答案】B【解析】函数2xy =的图象关于y 轴对称，将函数2x y =的图象向右平移2个单位长度可得函数22x y -=的图象，所以函数22x y -=的图象关于直线2x =对称，故2a =．故选：B例2．（2022·福建·莆田二中高一期中）已知函数()21,24,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则22a c b c +++的取值范围为（ ）A ．()4,8B ．()4,16C ．()8,32D ．()16,32【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象，如图，当0x <时，()()21120,1x xf x =-=-∈，由图可知，()()()()0,1f a f b f c ==∈，即()40,1c -∈ 得34c <<，则8216c <<，由()()f a f b =，即2121a b-=-，得1221a b -=-，求得222a b +=，∴()()222222216,32a cb c c a b c +++=+=⨯∈，故选：D例3．（2022·全国·高一课时练习）若222log xx x >>，则x 的取值范围为（ ）A ．()3,4B ．()4,+∞C ．()0,2D ．()1,2【答案】D【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数2y x =，2x y =，2log y x =的图象如下图所示，数形结合可知：当12x <<时，222log xx x >>，x 的取值范围为()1,2.故选：D.变式1．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）已知()2102,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，，则方程()220()xf a a R --=∈的根个数可能是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】ABD【解析】令()221xt t -=≥-，在同一坐标系中作出函数()(1)y f t t =≥-和直线y a =的图象，分析()0f t a -=的根：①当1a >时，方程()0f t a -=有一个根1t ，且12t >，方程122xt -=，对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有2个根；②当a ＝1时，方程()0f t a -=有两个根11t =-，22t =，方程122xt -=，对应1个x ，方程222x t -=对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有3个根.③当0＜a ＜1时，方程()0f t a -=有三个根110t -<<，201t <<，312t <<，方程122xt -=，对应2个x ，方程222x t -=对应2个x ，方程322x t -=对应2个x ，故方程()220()x f a a R --=∈有6个根.④当a ＝0时，方程()0f t a -=有两个根10t =，21t =，方程122xt -=，对应2个x ，方程222x t -=对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有4个根.故选：ABD.变式2．（多选题）（2022·全国·高一期末）(多选)已知函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（ ）A ．a >1B ．0<a <1C ．b >1D ．0<b <1【答案】BD【解析】观察图象得，函数()x f x a b =-是单调递减的，因此，01a <<，图象与y 轴交点纵坐标0y 有：001y <<，而0x =时，1y b =-，于是得011b <-<，解得01b <<， 所以01a <<，01b <<.故选：BD变式3．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知函数()21xf x =-，实数a ，b 满足()()f a f b =()a b <，则（ ）A ．222a b +>B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<C ．222a b +=D ．0a b +<【答案】CD【解析】画出函数()21xf x =-的图象，如图所示．由图知1221a b -=-，则222a b +=，故A 错，C 对．由基本不等式可得22222222a b a b a b +=+>⋅=21a b +<，则0a b +<，故B 错，D 对．故选：CD ．变式4．（2022·全国·高一单元测试）函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【答案】92【解析】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ，又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()2112952212m n m n ⎛- +⋅= -⎝（当且仅当()2121m nm n -=-，即53m =，23n =时取等号），121m n ∴+-的最小值为92. 故答案为：92.变式5．（2022·江苏·高一专题练习）函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ，P 在幂函数()f x x α=的图象上，则(3)f =_______；【答案】27【解析】因为函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ， 所以由指数型函数性质得()2,8P ， 因为P 在幂函数()f x x α=的图象上 所以28α=，解得3α=，所以()3f x x =，()327f =.故答案为：27变式6．（2022·全国·高一课时练习）函数()120.58x y -=-的定义域为______．【答案】(),3-∞- 【解析】因为()120.580.58xxy -=-=-0.580x ->，则322x ->，即3x ->，解得3x <-，故函数()120.58x y -=-的定义域为(),3-∞-．故答案为：(),3-∞-.变式7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()2x f x a -[)2,+∞，则=a _________． 【答案】4【解析】由题意可知，不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，则220a -=，解得4a =， 当4a =时，由240x -≥，可得2242x ≥=，解得2x ≥，合乎题意. 故答案为：4.变式8．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )＝ax ＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围． 【解析】（1）由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0，1)，又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)； （2）()f x 的图象过点(2,0)，(0,2)-，所以2002a b a b ⎧+=⎨+=-⎩，解得3,3a b ==-， 所以()(3)3x f x =-，在同一个坐标系中，画出函数|()|y f x =和y m =的图象， 观察图象可知，当0m =或3m ≥时，两图象有一个交点， 若|()|f x m =有且仅有一个实数解，m 的范围是：0m =或3m ≥.题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题 例4．（2022·全国·高一专题练习）函数1423x x y +=++的值域为____. 【答案】()3,+∞ 【解析】令2(0)x t t =>，∴函数()1423x x y x R +=++∈化为()()222312(0)f t t t t t =++=++>，()3f t ∴>，即函数1423x x y +=++的值域为()3,+∞．故答案为：()3,+∞例5．（2022·全国·高一单元测试）函数221()2x xy -+=的值域为（ ）A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．(,2]-∞D ．(0,2]【答案】A【解析】函数221()2x x y -+=定义域为R ，222(1)11x x x -+=--+≤，又函数1()2x在R 上单调递减，则221(221)x x -+≥， 所以函数221()2x x y -+=的值域为1[,)2+∞.故选：A例6．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()4,+∞【解析】设()20,xt =∈+∞，由()212221x x xf x a +=+-+有两个零点， 即方程()2210t a t +-+=有两个正解，所以()21212Δ2402010a t t a t t ⎧=-->⎪+=->⎨⎪=>⎩，解得4a >，即()4,a ∈+∞， 故答案为：()4,+∞.变式9．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数113()934x xf x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________. 【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：375,44⎛⎤⎥⎝⎦．变式10．（2022·陕西渭南·高一期末）方程23x x k +=的解在()1,2内，则k 的取值范围是___________. 【答案】()5,10【解析】令()23,1,2xy x x =+∈，显然该函数为增函数，122315,23210+⨯=+⨯=，值域为()5,10，故510k <<. 故答案为：()5,10.变式11．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）函数()()420x xf x x --=+>的值域是______．【答案】()0,2【解析】令()20,1xt -∈=，则2y t t =+，因为函数2y t t =+在0,1上单调递增，所以()20,2y t t =+∈，故()f x 的值域为()0,2．故答案为：()0,2.变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f （x ）＝ax +b （a ＞0，a ≠1），其中a ，b 均为实数． (1)若函数f （x ）的图象经过点A （0，2），B （1，3），求函数()1y f x =的值域； (2)如果函数f （x ）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a +b 的值． 【解析】（1）函数f （x ）＝ax +b （a ＞0，a ≠1），其中a ，b 均为实数，函数f （x ）的图象经过点A （0，2），B （1，3），∴123b a b +=⎧⎨+=⎩，∴21a b =⎧⎨=⎩，∴函数f （x ）＝2x +1＞1，函数()1121xy f x ==+＜1． 又()1121x f x =+＞0，故函数()1y f x =的值域为（0，1）． （2）如果函数f （x ）的定义域和值域都是[﹣1，0]，若a ＞1，函数f （x ）＝ax +b 为增函数，∴1110b a b ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，求得a 、b 无解．若0＜a ＜1，函数f （x ）＝ax +b 为减函数，∴1011b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=-⎩，求得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴a +b 32=-．变式13．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()2422ax x f x ++=.(1)当1a =时，求()f x 的值域； (2)若()f x 有最大值16，求a 的值. 【解析】(1)当1a =时，()2422xx f x ++=.因为2t y =在R 上单调递增，且()2242222y x x x =++=+-≥-， 可得24221224x x ++-≥=，所以()2124f x -≥=， 故()f x 的值域为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.(2)令242t ax x =++，因为函数2t y =在其定义域内单调递增， 所以要使函数()f x 有最大值16，则242t ax x =++的最大值为4，故20,44424,22a a a a <⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+⨯-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得2a =-. 故a 的值为2-.变式14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点()2,16-． (1)求a ，并比较27()4f m +与1()4f m -的大小；(2)求函数224()xx g x a -+-=的值域．【解析】（1）由已知得：216a -=，解得14a =，所以()14xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()14xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，2227117()()2()04424m m m m m +--=-+=-+>，所以271()()44f m f m +<-；（2）因为2224(1)33x x x -+-=----≤，所以2243116444x x -+--⎛⎫⎛⎫≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故()g x 的值域是[64,)+∞； 变式15．（2022·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域、值域： (1)513x y -=(2)2231.2x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】(1)由函数解析式可知：15105x x -≥⇒≥，所以函数的定义域为：1|5x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭； 510x -≥，所以510331x -≥=，因此函数的值域为：[1,)+∞；(2)由函数的解析式可知：函数的定义域为R ，222323122x x xx y ---++⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为2223(1)44x x x -++=--+≤，所以223402216xx -++<≤=，因此函数的值域为：（0，16]. 变式16．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）设函数()()()10,1x xf x a k a a a -=-->≠是定义域R 的奇函数． (1)求k 值；(2)若()10f >，试判断函数单调性并求使不等式()()2210f x tx f x +++>在定义域上恒成立的t 的取值范围；(3)若()813f =，且()()222x xg x a a mf x -=+-在[)1,+∞上最小值为2-，求m 的值．【解析】（1）()f x 是定义域为R 的奇函数，()00f ∴=，即()110k --=，解得2k =；经检验成立 （2）因为函数()x xf x a a -=-（0a >且1a ≠），又()10f >，10a a∴->，又0a >， 1a ∴>，由于x y a =单调递增，x y a -=单调递减，故()f x 在R 上单调递增，不等式化为()()221f x tx f x +>--．221x tx x ∴+>--，即()2210x t x +++>恒成立，()2240t ∴∆=+-<，解得40t -<<；（3）由已知()813f =，得183a a -=，即23830a a --=，解得3a =，或13a =-（舍去），()()()()22233333333222x x x x x x x x g x m m ----∴=+----=+-，令()33x xt f x -==-，是增函数，1x ≥，()813t f ∴≥=，则()22282223y t mt t m m t ⎛⎫=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭，若83m ≥，当t m =时，2min 22y m =-=-，解得823m =<,不成立；若83m <，当83t =时，min 64162293y m =-+=-，解得258123m =<，成立； 所以2512m =． 题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题例7．（2022·全国·高一单元测试）若函数241()3x axf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围为_________．【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是实数集上的减函数，所以由复合函数的单调性可知，函数24y x ax =-+在区间()1,2上单调递减， 函数24y x ax =-+的对称轴为2x a =，且开口向下，所以有21a ≤， 解得a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．例8．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩在(),-∞+∞上单调递增的a 值_____________. 【答案】1（答案不唯一）【解析】因为()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩，当>x a 时()+121x g x -=在定义域上单调递增，当x a ≤时()()22+211x x g x x --==+-， 画出+121x y -=，2+2y x x -=的图象如下所示：要使函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增，由图可知当1a ≤时均可满足函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增； 故答案为：1（答案不唯一）例9．（多选题）（2022·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）函数2(65)1()()2x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（ ） A ．(3),-∞ B ．(3,5)C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】ACD【解析】由题意，函数1()2xy =在R 上单调递减，又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减， 结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.变式17．（2022·全国·高一单元测试）已知()()321,1,1xa x x f x a x ⎧-+≤=⎨>⎩是定义域为R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意，132001321a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，故230121a a a ⎧<⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得12,23a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：B变式18．（2022·全国·高一单元测试）若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．x y < B ．||||x y < C ．x y > D ．||||x y >【答案】A【解析】设函数()23x x f x -=-，因为函数2,3x x y y -==-都是实数集上的增函数， 所以函数()23x x f x -=-也是实数集上的增函数，由22332323()()x y x y x x y y f x y x y -----<-⇒-<-⇒<⇒<， 故选：A变式19．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数2435x x y -+-=的单调递减区间是（ ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】设243x x μ=-+-，在(,2]-∞单调递增，在[2,)+∞单调递减，5y μ=在(,)-∞+∞单调递增，根据“同增异减”可得，函数2435x x y -+-=的单调递减区间是[2,)+∞.故选：A.题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合例10．（2022·浙江温州·高一期中）已知函数()()21R 2x x f x x a-=∈+为奇函数；(1)求实数a 的值； (2)求()f x 的值域；(3)若关于x 的方程()()121001t f x b b ---=<<无实数解，求实数t 的取值范围．【解析】（1）由函数()212x xf x a -=+是定义域为R 的奇函数， 则()()f x f x -=-，即212122x x x x a a----=-++，即1221122x x x xa a --=-+⋅+， 所以122x x a a +⋅=+，即()()1210xa --=在R x ∈上恒成立，解得1a =；（2）由（1）得1a =，则()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++，又函数2x y =单调递增，且20x >， 所以211x +>，20221x<<+， 所以()11f x -<<，即函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由()()121001t f x b b ---=<<无实数解，即()121t f x b -=+无实数解，又()()22,2f x ∈-，所以112t b -+≤-或112t b -+≥， 即13t b -≤-（不成立），或11t b -≥， 又01b <<，所以10t -≤， 即1t ≤.例11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()240,12x xa a f x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()002420022a a a f a a a -+-===++，解得2a =，当2a =时，()2121x x f x -=+，此时()()21122112x xx x f x f x -----===-++，所以2a =时，()2121x x f x -=+是奇函数.所以2a =；（2）由（1）可得()2121221212121x x x xxf x -+-===-+++， 因为20x >，可得211x +>，所以10121x <<+， 所以22021x-<-<+， 所以211121x -<-<+， 所以函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由()220x mf x +->可得()22x mf x >-，即122221x x xm ->+-⋅，可得()()212122x xx m +->-对于()1,2x ∈恒成立， 令()211,3xt -=∈，则()()2121t t tt m t-=-++>，函数21y t t=-+在区间()1,3单调递增，所以221013133t t -+<-+=，所以103m ≥， 所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．例12．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数4()12xf x a a=-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)求不等式()22(4)0f x x f x ++->的解集.(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围.【解析】（1）由题意得：()40102f a =-=+，解得：2a =，142()112221x x f x +=-=-++， 任取12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()1212122121211111122222222222()112121212121212121x x x x x x x x x x x x f x f x +++++----=--+=-==++++++++因为12,x x R ∈，且12x x <，所以1211220x x ++-<，12210,210x x +>+>，所以()()()1221111222()02121x x x x f x f x ++--=<++，故()12()f x f x < 所以函数()f x 在R 上单调递增； （2）()22(4)0f x x f x ++->，即()22(4)f x x f x +>--，因为2()121x f x =-+为定义在R 上的奇函数， 所以()22(4)(4)f x x f x f x +>--=-，因为2()121x f x =-+为定义在R 上单调递增， 所以224x x x +>-， 解得：1x >或4x <-， 所以解集为：()(),41,-∞-+∞；（3）()()211121x g x kf x k ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭有零点， 当0k =时，()()11g x kf x =-=-，没有零点，不合题意，舍去； 当0k ≠时，即21121x k-=+有根， 其中当0x >时，21x >，212x +>，20121x<<+， 故()2()10,121x f x =-∈+， 又因为2()121x f x =-+在R 上为奇函数， 所以当0x <时，()2()11,021x f x =-∈-+， 且()00f =，所以2()121x f x =-+在R 上的值域为()1,1-， 故()()11,00,1k∈-⋃， 解得：()(),11,k ∈-∞-+∞，所以实数k 的取值范围为()(),11,k ∈-∞-+∞.变式20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且()()+22.x f x g x =(1)求()f x 与()g x 的解析式；(2)若对()1,2x ∀∈，不等式()()()2220f x m g x -++恒成立，求实数m 的最大值． 【解析】（1）由题意()()+22xf xg x = ①，所以()()22xf xg x --+-= ，函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数与奇函数， 所以()()()(),f x f x g x g x =--=-所以()()22xf xg x --= ②，由①②解得()222x xf x -+=，22()4x xg x --=；（2）对()1,2x ∀∈，不等式()()()2220f x mg x -++恒成立，即()22222222024x x x xm --+--++，令22x x t -=-，315,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222222x x t -+=+，不等式等价于()2222024t tm +-++在315,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以min 622m t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为60,0t t>>，所以6626t t t t+⋅= 当且仅当6t t =即3156,24t ⎛⎫= ⎪⎝⎭时取等号， 所以246,462m m +-，即m 的最大值为46 2.变式21．（2022·辽宁·高一阶段练习）设函数()()212x xk f x k -=+-⋅（x ∈R ，k ∈Z ）．(1)若()k f x 是偶函数，求实数k 的值；(2)若存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)（1）若()k f x 是偶函数，则()()k k f x f x -=，即()()212212x x x xk k --+-⋅=+-⋅，即()()()()221212122x x x x x xk k k ----=-⋅--⋅=--，则11k -=，即2k =．(2)（2）存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立， 即2422x x x m -⋅≤-+，则()242242212x x x x xm ----+≤=⋅+-，设2x t -=，因为12x ≤≤，所以1142t ≤≤， 所以()22422141x x t t --⋅+-=+-， 令()224125y t t t =+-=+-， 因为1142t ≤≤，所以当12t =时，函数取得最大值152144y =+-=，则54m ≤， 所以实数m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．变式22．（2022·河北沧州·高一期末）已知函数()22xxf x a -=+⋅为偶函数()a ∈R . (1)判断()f x 在[0,2]上的单调性并证明；(2)求函数()2()44x x g x mf x a -=-++⋅在[1,2]-上的最小值. 【解析】(1)()f x 为偶函数，()()f x f x ∴=-， 即2222x x x x a a --+⋅=+⋅，()()1212x x a a --⋅=-⋅，则10,1a a -==.所以()22x xf x -=+.()f x 在[0,2]为增函数,证明如下：任取1x ，2x ，且1202x x ≤<≤，()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+211212121211222222222x x x x x x x x x x +-=-+-=-+()()1212121212121212221212222122222x x x x x x x x x x x x x x x x ++++--⎛⎫=--=--=-⋅ ⎪⎝⎭，1202x x ≤<≤，12220x x ∴-<，12210x x +->， ()121212212202x x x x x x ++-∴-⋅<.即()()12f x f x <，∴()f x 在[0,2]上单调递增.(2)()()22244x x x xg x m --=-+++，令1222([1,2])2x x xx t x -=+=+∈-，结合题意及（1）的结论可知172,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ()22442222x x x x t --+=+-=-，22217()()22()22,4g x h t t mt t m m t ⎛⎫⎡⎤∴==--=---∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.①当174m ≥时，min 1725717()4162h t h m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭； ②当1724m <<时，2min ()()2h t h m m ==--； ③当2m ≤时，min ()(2)24h t h m ==-.综上，()2min24,2172,242571717,1624m m g x m m m m ⎧⎪-≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩.变式23．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2422ax x f x a ++=∈R ．当1a =时，()f x 的值域为______；若()f x 的最大值为16，则a 的值为______． 【答案】 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当1a =时，()2422xx f x ++=，设242t x x =++，则()2222t x =+-≥-，因为2x y =在R 上是增函数，所以24221224x x ++-≥=，即()14f x ≥，所以函数的值域是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；要使函数()f x 的最大值为16，则242t ax x =++的最大值为4，故2042444a a a <⎧⎪⎨⨯-=⎪⎩，解得2a =-．故答案为：1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；2-【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数()32,1,12,1,x x f x x x -⎧<-=⎨-≥-⎩若()()20f f a -+=，则实数=a （ ）A ．2-B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】由题知()()222422f --===-，()()20f f a -+=所以()4f a =-，因为1x <-时，()22xf x -=>，所以，1a ≥-， 所以()3124f a a =-=-，解得2a =.故选：B2．（2022·天津·高一期末）设x ∈R ，则“|2|<1x -”是“3<27x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|2|<1x -可知，1<2<1x --，即1<<3x ，根据指数函数性质，3x y =是R 上递增的指数函数，3<27x 即33<3x ，故<3x ，显然1<<3x 可推出<3x ，但反之不成立，故“|2|<1x -”是“3<27x ”的充分不必要条件. 故选：A3．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()133x f x =-，则()0f x ≥的解集为（ ）A ．[)[)1,01,∞-⋃+B ．[]1,1-C ．[][)1,01,-⋃+∞D ．[)(]1,00,1-【答案】C【解析】因为函数()f x 为R 上的奇函数， 所以()00f =，又当0x <时，()133xf x =-，当0x >时，0x -<，则()()133xf x f x --=-=-，所以0x >时，()1133xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则由()0f x ≥可得，011033x x >⎧⎪⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或01303x x <⎧⎪⎨-≥⎪⎩或0x =，解得1x ≥或10x -≤<或0x =，综上可得，不等式()0f x ≥的解集为[][)1,01,-⋃+∞． 故选：C ．4．（2022·全国·高一课时练习） 若存在正数x ，使得关于x 的不等式()31xx a -<成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．()0,+∞【答案】C【解析】由题意知13x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立，即13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立．令()13xf x x ⎛-⎫⎪⎝⎭=，显然()f x 在()0,+∞上单调递增，所以0x ∀>，()()01f x f >=-， 所以实数a 的取值范围是()1,-+∞． 故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）若实数x ，y 满足2022202320222023x y y x --+<+，则（ ） A ．1x y> B ．1x y< C ．0x y -< D ．0x y ->【答案】C【解析】令()20222023x xf x -=-，由于2022x y =，2023x y -=-均为R 上的增函数，所以()20222023x x f x -=-是R 上的增函数．因为2022202320222023x y y x --+<+，所以2022202320222023x x y y ---<-，即()()f x f y <，所以x y <，所以0x y -<． 故选：C ．6．（2022·全国·高一单元测试）在同一坐标系中，函数2y ax bx =+与函数xy b =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数x y b =的是指数函数，0b >且1b ≠，排除选项C ，如果0a >，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：b x a=-， 所以B 正确；对称轴在x 轴左侧，C 不正确； 如果0a <，二次函数有一个零点0bx a=->，所以D 不正确． 故选：B ．7．（2022·全国·高一专题练习）若2525x x y y ---≤-，则有（ ） A ．0x y +≥ B ．0x y +≤ C ．0x y -≤ D ．0x y -≥【答案】B【解析】构造函数()25x xf x -=-，易得函数()f x 单调递增，由2525x x y y ---≤-，可得()()f x f y ≤-，0x y x y ∴≤-⇒+≤， 故选：B.8．（2022·云南·昆明市官渡区第一中学高一阶段练习）已知函数()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩若()()22f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,1]- B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(,1]-∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时()3xf x -=单调递减，且()1f x ≥，当0x >时，3()f x x =-单调递减，且()0f x <，所以函数()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩在定义域上单调递减，因为()22()f a f a -≥-，所以22a a -≤-，解得21a -≤≤，即实数a 的取值范围为：[2,1]-. 故选：A. 二、多选题9．（2022·山东·青岛二中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()()1112x xa f x a a =->+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()g x 是偶函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()g x 的值域是{}1,0-【答案】ACD【解析】A 选项：()()()1211122121x x x x x x xa a a a f x a a a ---=-==+++，()()()112121x xxx a a f x a a -----==++，∴()()f x f x -=-， ∴()f x 为奇函数，故A 正确；B 选项：∵()()g x f x =⎡⎤⎣⎦∴()()11g f ⎡⎤=⎣⎦，()()11g f ⎡⎤-=-⎣⎦，∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x =--，∴()()11f f =--，∴()()11g g ≠-，故B 错误；C 选项：()()11111111112121221x x x x x xa a f x a a a a +-=-=-=--=-++++， ∵1a >，∴x a 为增函数，∴11xa +为减函数， ∴()1121xf x a =-+为增函数，故C 正确； D 选项：∵0x a >，∴11x a +>，∴111xa <+，∴()1122f x -<<． 又∵()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，∴()g x 的值域为{}1,0-，故D 正确． 故选：ACD ．10．（2022·河南南阳·高一期中）不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．{}3,4x ∈ B ．0x ≤C ．1x ≥D ．02x ≤≤【答案】AB【解析】令20x t =>，所以，不等式()()3242787170x x t t t t +-+=-+=--≥，解得7t ≥或01t <≤所以，27x ≥或021x <≤，解得2log 7x ≥或0x ≤， 所以，不等式34270x x +-+≥的解集为(][)2,0log 7,-∞+∞，因为所求的是不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件， 故只需满足是(][)2,0log 7,-∞+∞真子集即可，所以，只有AB 选项满足，CD 选项不满足. 故选：AB11．（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在[]1,1-上的函数()2943x xf x =-⋅+⋅，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的单调递减区间是[]0,1B ．()f x 的单调递增区间是[]1,1-C ．()f x 的最大值是()02f =D ．()f x 的最小值是()16f =-【答案】ACD【解析】设3x t =，[]1,1x ∈-，则3x t =是增函数，且1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又函数()2224212y t t t =-+=--+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,3上单调递减，因此()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，故A 正确，B 错误；()()max 02f x f ==，故C 正确；()1019f -=，()16f =-，因此()f x 的最小值是6-，故D 正确． 故选:ACD ． 三、填空题12．（2022·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 对于R 上任意两个不相等实数12,x x ，不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[)4,8【解析】若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩对于R 上任意两个不相等实数12,x x ， 不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则函数()f x 在R 上单调递增，则1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得：48a ≤<，故实数a 的取值范围为[)4,8, 故答案为：[)4,8．13．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数()()10x f x a x -=≥的图象经过点1(2,),2其中0a >且1a ≠，则函数()(0)y f x x =≥的值域是________． 【答案】(]02，【解析】因为()()10x f x a x -=≥的图象经过点1(2,),2所以2112a -=，解得12a =，则()()1102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，所以11x -≥-，所以12102x -⎛⎫< ⎝⎭≤⎪，即函数()(0)y f x x =≥的值域是(]02，， 故答案为：(]02，14．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数()142f x x x =+-．若存在()2,x ∈+∞，使得()42a a f x ≤-成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】[2,)+∞【解析】因为()2,x ∈+∞，所以20x ->， 所以()1144(2)822f x x x x x =+=-++-- 124(2)8122x x ≥-⋅=-， 当且仅当14(2)2x x -=-，即52x =时取等号，所以min ()12f x =，因为存在()2,x ∈+∞，使得()42a af x ≤-成立， 所以()min 42a af x ≤-，即1242a a ≤-，所以()222120a a --≥，即23a ≤-（舍去），或24a ≥，得2a ≥，所以a 的取值范围为[2,)+∞， 故答案为：[2,)+∞15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()()22133xa x f x +-+=在(),1-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】因为3x y =是R 上的增函数，()2213y x a x =+-+在21,2a -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，所以，根据复合函数单调性，要使()f x 在(),1-∞上单调递减，需2112a --≥，解得12a ≤-，所以，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭16．（2022·全国·高一课时练习）若函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是______． 【答案】35,46⎛⎤⎥⎝⎦【解析】函数11x y a -=-（0a >，且1a ≠）的图象是将函数x y a =（0a >，且1a ≠）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，故函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()1,0．当01a <<时，结合函数()f x 的图象：若函数()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤．当1a >时，结合函数()f x 的图象：若()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()1321232112a a a a ⎧⎪>⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，无实数解． 综上，实数a 的取值范围为35,46⎛⎤⎥⎝⎦．解法二： 若()32112a a x -<<<，则110x a -->，所以()11x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，不符合题意；当01a <<时，函数1x y a -=在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数1()1x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则110x a -->在区间()321,2a a -⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤．故实数a 的取值范围是35,46⎛⎤ ⎥⎝⎦．故答案为：35,46⎛⎤⎥⎝⎦.四、解答题17．（2022·山东·青岛二中高一期中）已知函数()()2,R f x x bx c b c =++∈，且()0f x ≤的解集为[]1,2-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()()21mf x x m >--（其中0m>）；(3)设()()232xf xg x --=，若对任意的1x ，[]21,2x ∈，都有()()12g x g x t -≤，求t 的取值范围.【解析】（1）由()0f x ≤的解集为[1,2]-可得1,2-是方程20x bx c ++=的两个根，所以122b c -+=-⎧⎨-=⎩，解得1,2b c =-=-，所以2()2f x x x =--； （2）()()21mf x x m >--，化简有()222(1)m x x x m -->--即()2220mx m x -++>，可整理得()()()2100mx x m -->>， ①当2m =时，21m=，不等式的解集为()(),11-∞⋃+∞，； ②当02m <<时，21m>，不等式的解集为()2,1,m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；③当2m >时，21m<，不等式的解集为()2,1,m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（3）由题意，()()21322xx f x g x ---==，对任意的[]12,1,2x x ∈，都有12|()()|g x g x t -≤， 则当[]1,2x ∈时，max min ()()g x g x t -≤，因为当[]1,2x ∈时，()g x 单调递增，所以()max 22()g x g ==，()0min 1()21g x g ===，所以max min 2)1(1()g x g x =--=， 所以1t ≥，即t 的取值范围为[)1,+∞18．（2022·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数()f x 对任意的实数,m n 都有()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x >时，有()1f x >．(1)求证：()f x 在R 上为增函数；(2)若()()923292x x xf f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】（1）设12x x <，令2m n x +=，1n x =，()()()22111f x f x x f x ∴=-+-， 则()()()21211f x f x f x x -=--；210x x ->，()211f x x ∴->，()()210f x f x ∴->，()f x ∴在R 上为增函数.（2）由题意得：()()()92329392312x x x x x f f k f k -⋅+⋅-=⋅-⋅-+>，()39231x x f k ∴⋅-⋅->，令0m n ==，则()()0201f f =-，解得：()01f =，()f x 为R 上的增函数，39230x x k ∴⋅-⋅->，3923x x k ∴<⋅-⋅，令31x t =≥，设()()2321g t t t t =-≥，()()min 11g t g ∴==，1k ∴<，即实数k 的取值范围为(),1-∞.19．（2022·福建省福州高级中学高一期末）已知函数()421x x f x k =+⋅+，()421x x g x =++． (1)若对于任意的R x ∈，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围； (2)若()()()f x h xg x =，且()h x 的最小值为2-，求实数k 的值． 【解析】（1）由()0f x >，得4210x xk +⋅+>恒成立，所以22x x k ->--对于任意的R x ∈，恒成立，因为()22222222x x x x x x -----=-+≤-⋅-，当且仅当22x x -=，即=0x 时取等号， 所以2k >-，即实数k 的取值范围为(2,)-+∞（2）()421221()111()421421212x x x x x x x x x x f x k k k h x g x +⋅+⋅--===+=+++++++，令1121221322x xx xt =++≥⋅=，当且仅当122x x =，即=0x 时取等号，则11(3)k y t t-=+≥， 当1k 时，11(3)k y t t -=+≥为减函数，则21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦无最小值，舍去， 当=1k 时，=1y 最小值不是2-，舍去， 当1k <时，11(3)k y t t -=+≥为增函数，则2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，最小值为223k +=-，解得=8k -，综上，=8k -20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ．(1)求a b +的值；(2)当3x ≤-时，函数11xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，求实数t 的取值范围．【解析】（1）∵函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ，∴319ba ba =⎧⎨=⎩∴29a =，∴3a =-（舍）或3a =，13b =，∴103a b +=； （2）由（1）得当3x ≤-时，函数133xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方， 即当3x ≤-时，不等式13203xx t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，亦即当3x ≤-时，min 1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．设()()13233xg x x x ⎛⎫=+-≤- ⎪⎝⎭，∵13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，2y x =-在(],3-∞-上单调递减，∴()1323xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，∴()()min 336g x g =-=， ∴36t <．。
决战2020年高考数学(理)函数与导数专题： 指数与指数函数(解析版)
函数与导数函数 指数与指数函数一、具体目标：指数函数（1） 了解指数函数模型的实际背景.（2） 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3） 理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4） 体会指数函数是一类重要的函数模型.二、知识概述： 根式和分数指数幂 1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质(注意逆用) (1),(,,0)rsr sa a a r s Q a +⋅=∈>(2),(,,0)r s r s a a a r s Q a -÷=∈>【考点讲解】(3)(),(,,0)r s rs a a r s Q a =∈>．(4)(),(,0,0)s s sab a b s Q a b =∈>> 2.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质：a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x <0时，y >1； 当x >0时，0<y <1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数3. 指数型函数有如下的性质： 形如. ()(0,1)f x y a a a >≠＝一类函数，有如下结论：（1）()(0,1)f x y aa a >≠＝的定义域、奇偶性与()f x 的定义域、奇偶性相同；（2）先确定()f x 的值域，再利用指数函数的单调性，确定()(0,1)f x y a a a >≠＝的值域；（3）()(0,1)f x y aa a >≠＝的单调性具有规律“同增异减”，即(),u u f x y a ==的单调性相同时，()(0,1)f x y a a a >≠＝是增函数，(),u u f x y a ==的单调性不同时，()(0,1)f x y a a a >≠＝是减函数.【真题分析】1.【2019优选题】若4a 2－4a ＋1＝3（1－2a ）3，则实数a 的取值范围是________．【解析】左边＝（2a －1）2＝||2a －1，右边＝1－2a, 即||2a －1＝1－2a, ∴2a －1≤0，解得a ≤12.【答案】⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a ≤122.【2019优选题】计算14030.75333264()(2)162---⎡⎤--++⎣⎦= . 【解析】化简:4164164331==-，1612])2[(4343==--，81161161161643434375.0====--，原式=11191416816-++=-.【答案】916-3.【2019优选题】若x ,x-1122为方程x 2－3x ＋a ＝0的两根，则-33222232x x x x -+-=+-________． 【解析】因为-1122x ,x 为方程x 2－3x ＋a ＝0的两根，所以-11223x x ,+=所以3322x x-+=()111221x x x x --⎛⎫+⋅+- ⎪⎝⎭2111122223x x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝3×(32－3)＝18，x 2＋x -2＝()212x x-+-x x -⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22112222＝(32－2)2－2＝47，所以33222232x x x x --+-=+-18314723-=-.【答案】134.【2018优选题】函数y ＝(a 2－5a ＋5)a x 是指数函数，则a 的值为________．【解析】∵函数y ＝(a 2－5a ＋5)a x 是指数函数，∴a 2－5a ＋5＝1，解得a ＝1或a ＝4.又∵指数函数y ＝a x 的底数a 需满足a >0且a ≠1，∴a ＝4. 【答案】45.【2018优选题】函数y ＝a x +2－2(a ＞0，且a ≠1)的图像恒过点(m ，n )，则2m n a -=_______．【解析】令x ＋2＝0，则x ＝－2, y ＝a x +2－2＝a 0－2＝－1，∴函数y ＝a x +2－2的图像恒过点(－2，－1)，即m ＝－2，n ＝－1，∴m-n-a a a +===22201.【答案】16. 【2015山东，5分】已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1) 的定义域和值域都是[]－1，0，则a ＋b ＝________． 【解析】当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在定义域上是增函数，∴f (0)为函数最大值，f (－1)为函数最小值，∴1110b a b -+=-⎧⎨+=⎩,,无解，不符合题意，舍去；当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在定义域上是减函数，∴f (－1)为函数最大值，f (0)为函数最小值，∴1110b a b -+=-⎧⎨+=⎩,,解得b ＝－2，a ＝12，∴a ＋b ＝－32.【答案】－327.【2019优选题】若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)【解析】∵2x (x －a )<1，∴x －a <12x .∵存在正数x 使2x (x －a )<1成立，即存在正数x 使x －a <12x 成立，即存在正数x 使函数y ＝x －a 的图像在函数y ＝12x 的图像的下方．在坐标系中画出图像，如下图：由图像可知当－a <1，即a >－1时，存在正数x 使2x (x －a )<1成立． 【答案】D8. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<．故选B ． 【答案】B9.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则（ ） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ；由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确.故选C ． 【答案】C10.【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【答案】D11.【2019优选题】比较大小：(Ⅰ)a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1435-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝1434-⎛⎫⎪⎝⎭，则它们的大小关系是________．(Ⅱ)a ＝(－3)3，b ＝-125，c ＝.π03，则它们的大小关系是________．(Ⅲ) 53532a ,b ,c ===，则它们的大小关系为________．【解析】：(Ⅰ) 113433,55a b --⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ， 函数y ＝⎝⎛⎭⎫35x为减函数,11433355--⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭315⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴a >b >1.14110441434555154434b c ---⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭===>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∵， ∴b >c ，∴a >b >c .(Ⅱ)∵a ＝(－3)3<0，0<b ＝125-<50＝1, c ＝π0.3>π0＝1，∴a <b <c .(Ⅲ)∵53532a ,b ,c ===，∴101021055525a (),c ====(2)10＝25＝32，∴a 10<c 10，∴a <c .∵b 6＝(33)6＝32＝9，c 6＝(2)6＝23＝8，∴b 6>c 6，∴b >c .综上，a <c <b . 【答案】(Ⅰ)a >b >c (Ⅱ)a <b <c (Ⅲ)a <c <b12.【2016高考江苏卷】已知函数()(0,0,1,1)xxf x a b a b a b =+>>≠≠. 设12,2a b ==.（1）求方程()2f x =的根； （2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。
4.2 指数函数(精练)(解析版) -人教版高中数学精讲精练(必修一)
x
2
1 ，故值域为 y
|
0
y
1
.
8．（2021·黑龙江·绥化市第一中学高一期中）已知函数 f x 4x a 2x 3 ， a R ．
(1)当 a 4 ，且 x 0, 2 时，求函数 f x 的值域；
(2)若函数 f x 在0, 2 的最小值为1，求实数 a 的值；
【答案】(1)1,3 (2) a 2 2
③
y
2
x
是指数函数；
④ y xx 的底数是 x 不是常数，不是指数函数；
⑤
y
3
1 x
的指数不是自变量
x
，不是指数函数；
1
⑥ y x3 是幂函数．
故答案为：③
9．（2021·全国·高一专题练习）函数 y a2 5a 5 ax 是指数函数，则 a 的值为________．
【答案】 4
f
x
ax2 2x ,
a
1 x
x 1
3a,
x
1 的最小值为
2，则实数
a 的取值范围是______.
【答案】1,
【解析】由题意，函数
f
x
ax2 2x ,
a 1 x
x 1
3a, x
1 的最小值为
2
，
因为函数 f x 在[1, ) 上为增函数，可得 x 1时，函数 f x 有最小值为 2 ，
则当 x (,1) 时，函数 f x 2 ， min
）
A． c a b
B． c b a
【答案】A
1
2
【解析】
b
1 4
3
1 2
3
，
C． b c a
指数以及指数函数的整理讲义经典-（含答案）
指数以及指数函数的整理讲义经典-（含答案）指数与指数函数⼀、指数（⼀）n 次⽅根：1的3次⽅根是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．以上都不对 2、若4a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≥2且a ≠4C ．a ≠2D ．a ≠4（⼆）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,??<-≥==0,0,a a a a a a n n1．下列各式正确的是( )＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝12、.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成⽴的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <0 4、求下列式⼦(1)．334433)32()23()8(---+-(2)223223--+132811621258---????；；；243的结果为 A 、5B 、5C 、－5D 、－53、把下列根式写成分数指数幂的形式：（1）32ab （2）()42a -（3）3432x x x（四）、实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）sr r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( )A ．a m a n ＝a mnB ．(a m )n ＝am ＋nC ．a m b n ＝(ab )m ＋nD ．(b a )m＝a －m b m2、若0,x >则13111424（2x +3）(2x -3)-4x ＝ .3．计算－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－＋|－|12＝________.题型⼀： 1、求值：（1-；（22、已知*N n ∈，化简()()()()=+++++++++----11111233221n n Λ_____。
2021高考数学复习专题指数与指数函数(精讲)
指数与指数函数精讲【核心素养分析】1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型。
5.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。
【重点知识梳理】 知识点一 根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.知识点二 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q. 知识点三 指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质【特别提醒】1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .2.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大. 【典型题分析】高频考点一 指数幂的运算例1.【2020·全国Ⅲ卷文数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69【方法技巧】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 【变式探究】（2020·四川棠湖中学模拟）⎝⎛⎭⎫－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0＝________． 高频考点二 指数函数的图像及其应用例2.（2020·广西柳州高级中学模拟） 函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．【变式探究】（2020·浙江余姚中学模拟）函数y ＝a x －b (a ＞0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围是________．高频考点三 比较指数式的大小例3．【2020·天津卷】设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；【变式探究】（2020·安徽马鞍山二中模拟）已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a高频考点四 解简单的指数方程或不等式例4.（2020·山东日照一中模拟）方程4x ＋|1－2x |＝11的解为________【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；【变式探究】（2020·山东济南外国语学校模拟）已知函数f (x )＝a ＋14x ＋1的图象过点⎝⎛⎭⎫1，－310，若－16≤f (x )≤0，则实数x 的取值范围是________．高频考点五 指数函数性质的综合应用例5.（2020·福建泉州五中模拟）已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值；243－＋ax x(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。
《指数函数》经典讲义(完整版)
指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===- 等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且． （1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析：（1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f （x ）是奇函数． （3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n ﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．11。
(完整word版)指数及指数函数知识点及习题
指数及指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 结论：当n 是奇数时，a a n n =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·sr r aa += ),,0(Q s r a ∈>；（2）rssr a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）srra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．（一）指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义 ○2 注意指数函数的底数的取值范围，底数为什么不能是负数、零和1．（二）指数函数的图象和性质注意内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．指数函数的图象如右图：4图象特征函数性质1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +函数图象都过定点（0，1） 1a 0=自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 1a ,0x x >> 1a ,0x x <>在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 1a ,0x x <<1a ,0x x ><图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；指数与指数函数练习题一、选择题：1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ） A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2a3、若1,0a b ><,且b b a a -+=则b b a a --的值等于（ ）A 、6B 、2±C 、2-D 、24、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A 、1>a B 、2<a C、a <、1a <<5、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x +=的是( )A 、 1(1)2x +B 、14x + C 、2x D 、2x -6、已知01,1a b <<<-,则函数xy a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限7、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ）A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]n a b -D 、(1%)na b -8、若103,104x y ==，则10x y -= 。
【人教版】中职数学(基础模块)上册：4.1《指数与指数函数》优秀教案
指数函数Module 1HobbiesUnit 1 What’s your hobby?一、兴趣爱好的词组：1.play computer games玩电脑游戏2.play music玩音乐3. collect stamps 集邮4.keep pets养宠物5.make model ships做轮船模型6. read books读书7.take photos 照相8.make cakes做蛋糕9. plant trees种树10. grow flowers种花11.listen to music听音乐12. singing,唱歌13.dancing跳舞14.drawing画画15.play the piano弹钢琴16.play chess下棋17. play basketball 打篮球…二、课文短语：1.make model ships 做轮船模型2.love making 喜欢制作3.more than 20 ships 超过20艘轮船4.collect stamps 集邮5.keep pets 养宠物6. Three birds 三只鸟7.play music 玩音乐8. every day 每天9.read books 读书10. every night 每天晚上11.play computer games 玩电脑游戏12.about 50 games 大约50个游戏13.take photos 照相14.during my holiday 在我的假期里三、句型:1. What’s your hobby?2. Do you like…?Yes, I do. / No, I don’t.3. I love/like…I like/love dancing .4. I enjoy …I enjoy listening to music.5. My (favourite) hobby is …6. …is my (favourite) hobby.7. Is your hobby keeping pets?Yes, it’s. / No, it isn’t.Unit 2 His hobby is drawing一、课文短语：1.a great painter 一个伟大的画家2.draw cartoons 画漫画3.coloured pencils 彩色的铅笔4.his pet dog 他的宠物狗5.in the sky 在天空中6.birthday cards 生日卡片7.for his friends 给他的朋友们8.on their birthday 在他们的生日9.interesting people 有趣的人物10.beautiful places 美丽的风景11.in every room 在每一个房间12.in her house 在她的房子里13.二、句型：14.1. What’s Mike’s hobby?His hobby is …15.2. When does Mike usually draw? Mike通常在什么时候画画？He usually draws ….16.3. What does Mike give his friends for their birthday?17.4. What present does Amy give to T om?18.5. What does she want to do when she grows up?She wants to be a writer.19.三、重点精析：20.1. grow up 成长，长大want to do…想要做…21.如：When Lucy grows up she wants to be an English teacher.22.当露丝长大后，她想成为一名英语教师。
专题14 指数函数(讲)(解析版)
《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A 版必修第一册）》专题14指数函数（讲）知识点课前预习与精讲精析1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量.[知识点拨]指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x ；(3)系数：a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质如下表所示：a ＞10＜a ＜1图象性质定义域R 值域(0，＋∞)过定点过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1单调性在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性非奇非偶函数[知识点拨](1)a >1是“一撇”，0<a <1是“一捺”；(2)图象位于x 轴上方；(3)当x ＝0时，y ＝1；(4)在y 轴右侧，a 越大，图象越高，即逆时针方向，底数依次增大．3．比较幂的大小比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．4．有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域形如y ＝a f (x )的函数的定义域就是f (x )的定义域．求形如y ＝a f (x )的函数的值域，应先求出u ＝f (x )的值域，再由单调性求出y ＝a u 的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论．求形如y ＝f (a x )的函数的值域，要先求出u ＝a x 的值域，再结合y ＝f (u )确定出y ＝f (a x )的值域．(2)判断复合函数的单调性令u ＝f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，那么复合后的函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f (x )与f (－x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．1．若指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点()3,8，则()142f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭______.【答案】【解析】由题知()338f a ==，解得2a =，()2x f x ∴=，因此，()14214222f f ⎛⎫⋅=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为.2．若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上最大值是最小值的2倍，则a =______.【答案】2或12【解析】当01a <<时，函数()x f x a =为R 上的减函数，故()()122f f =，即22a a =，解得12a =.当1a >时，函数()xf x a =为R 上的增函数，故()()221f f =，即22a a =，解得2a =.故a 的值为2或12.故填：2或12.3．指数函数f（x）=（a﹣1）x在R 上是增函数，则a 的取值范围是_____．【答案】（2，+∞）【解析】∵指数函数f（x）=（a﹣1）x 在R 上是增函数，∴a﹣1＞1，即a＞2，故a 的取值范围是（2，+∞），故答案为（2，+∞）．4．已知函数()3x f x a -=+的图像经过第二、三、四象限，()()(1)g a f a f a =-+，则()g a 的取值范围是_______．【答案】(2,)+∞【解析】因为函数()3x f x a -=+的图像经过第二、三、四象限，所以()00310f a a -=+=+<，解得：1a <-又()()12()()(1)3333a a a g a f a f a a a -+--⎡⎤=-+=+-+=⨯⎣⎦又1a <-，所以1a ->，所以()33,a -∈+∞所以()232,3a -⨯∈+∞，所以()g a 的取值范围是()2,+∞5．已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________．【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】∵a 2＋a ＋2＝217()124a ＋+>，∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 为R 上的增函数．∴x >1－x ，即12x >.x 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.典型题型与解题方法重要考点一：指数函数的概念【典型例题】已知函数2()(1)(1)x f x a a a =+-+为指数函数，则a =.【答案】1【解析】函数()()()211x f x a a a =+-+为指数函数，21110a a a ⎧+-=∴⎨+>⎩解得1a =【题型强化】下列函数是指数函数的是________(填序号)．①y ＝4x ；②y ＝x 4；③y ＝(－4)x ；④y ＝4x 2.【答案】①【解析】形如(0x y a a =>且1a ≠)的函数，叫指数函数.由指数函数定义，只有①是指数函数；②y ＝x 4是幂函数；③y ＝(－4)x ，由于底数4(0,1)(1,)-∉+∞ ，所以③不是指数函数；④y ＝4x 2不是指数函数.故答案为：①【收官验收】已知指数函数图像经过点(1,3)p -，则(3)f =_____.【答案】127【解析】设指数函数为()x f x a =（0a >且1a ≠），由题意得13a -=，解得13a =，所以1()()3x f x =，故311(3)()327f ==．答案：127．【名师点睛】判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a ＞0，a ≠1)这一结构形式．重要考点二：指数函数的图象【典型例题】如图，是指数函数①x y a =、②x y b =、③x y c =、④x y d =的图象，则（）A ．1a b c b<<<<B ．1b a d c <<<<C ．1a b c d<<<<D ．1a b d c<<<<【答案】B【解析】∵当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，由图可知x y c =、x y d =为增函数，则,c d 大于1.x y a =、x y b =为减函数，则a b ，大于0小于1.当1x =时，对应的函数值依次为①y a =、②y b =、③y c =、④y d =，由图知，当1x =时，对应函数值由下到上依次是②①④③，得1b a d c <<<<，所以正确选项为B故选:B ．【题型强化】函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】①当1a >时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于1a >，则A 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)xy a a a a =->≠过点(1,0)，故B 错误；②当01a <<时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数xy a =的图象向下平移a 个单位，由于01a <<，则D 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故C 正确；故选：C【收官验收】在同一直角坐标系中，函数()a f x x =与()x g x a -=在[)0,+∞上的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()a f x x =为幂函数，()1()-==x x g a a x 为指数函数A.()1(-==x x g a a x 过定点(0,1)，可知101<<a ，1a ∴>，()a f x x =的图象符合，故可能.B.()1(-==x x g a a x 过定点(0,1)，可知101<<a ，1a ∴>，()a f x x =的图象不符合，故不可能.C.()1(-==x x g a a x 过定点(0,1)，可知11a>，01a ∴<<，()a f x x =的图象不符合，故不可能.D.图象中无幂函数图象，故不可能.故选：A【名师点睛】指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．重要考点三：指数函数中忽视对底数的分类讨论致误【典型例题】已知函数()(),1xf x a a =>在区间[]1,2上的最大值比最小值大2，求实数a 的值.【答案】2【解析】函数()(),1x f x a a =>∴函数()f x 在[]1,2单调递增即()()2max 2f x f a ==，()()min 1f x f a ==又 函数()(),1x f x a a =>在区间[]1,2上的最大值比最小值大2.∴()()2212f f a a -=-=，解得2a =或1a =-（舍去）综上所述：2a =【题型强化】已知函数()x f x a=(0a >，且)1a ≠的图象经过点()24，．（1）求a 的值；（2）若2131x x a a +-<，求x 的取值范围．【答案】（1）2a =（2）()2,+∞【解析】（1）∵()x f x a =(0a >，且)1a ≠的图象经过点()24，∴24a =,由0a >，且1a ≠可得2a =（2）由（1）得2a =若2131x x a a +-<,代入2a =可得213122x x +-<由指数函数的单调性可知满足2131x x +<-解得2x >,即()2,x ∈+∞【收官验收】已知函数(0,1)x y a a a =>≠在区间[1,2]上的最大值比最小值大3a ，求实数a 的值.【答案】43a =或23【解析】1a >时，x y a =是增函数，则23a a a -=，解得43a =（0a =舍去）；01a <<时，x y a =是减函数，则23a a a -=，解得23a =（0a =舍去）．综上，43a =或23．重要考点四：指数型函数图象过定点问题【典型例题】函数1()3x f x a -=+的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是______．【答案】(1,4)【解析】()13x f x a -=+由x y a =向右平移1个单位，向上平移3个单位得到，x y a =过定点()0,1，则()13x f x a -=+过定点()1,4.【题型强化】函数223x y a =+﹣（0a ＞且1a ≠）的图象恒过定点_______________.【答案】()14，【解析】根据题意，数223x y a -=+中，令220x -=，解可得1x =，此时22134f a -=+=（），即函数的图象恒过定点14（，），故答案为：14（，）.【收官验收】已知函数1()4x f x a -=+（其中0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 坐标是_________.【答案】(1,5)【解析】解：令10x -=，此时1x =，101x a a -==，此时()15f =，所以图象恒过()1,5P .故答案为:(1,5).【名师点睛】指数型函数过定点的求法：求指数型函数图象所过的定点，只要令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图象所过的定点．重要考点五：指数型函数的定义域与值域【典型例题】设()2121x f x =-+.（1）求()f x 的值域；（2）证明()f x 为R 上的增函数.【答案】（1）()1,1-；（2）证明见解析.【解析】（1）因为20x >，所以20221x <<+，所以211121x -<-<+，即()f x 的值域为(1,1)-；（2）任取1x 、2x ，且12x x <．则21212121222(22)()()1102121(21)(21)x x x x x x f x f x --=--+=>++++所以21()()f x f x >所以()f x 为R 上的增函数【题型强化】求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.（1）()f x =（2）121()3xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）223()2x x f x --+=；（4）121()1,[2,3]933x x f x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）定义域：(,2]-∞-，值域：[0,1)，减区间：(,2]-∞-；（2）定义域：(,2)(2,)-∞⋃+∞，值域：(0,1)(1,)⋃+∞，减区间：(,2)-∞和(2,)+∞；（3）定义域：R ，值域：(0,16]，增区间：(,1]-∞-，减区间：[1,)-+∞；（4）值域8,769⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间：[2,1]-，增区间：[1,3]【解析】（1）由2130x +-≥得2x -≤，所以定义域为(,2]-∞-，又230x +>，所以20131x +≤-<，01y ≤<，所以值域中[0,1)，213x u +=-在R 上是减函数，所以()f x =的减区间是(,2]-∞-；（2）由20x -≠得2x ≠，所以定义域是(,2)(2,)-∞⋃+∞，又102x ≠-，所以值域是(0,1)(1,)⋃+∞，12u x=-在(,2)-∞和(2,)+∞上都是增函数，所以121()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的减区间是(,2)-∞和(2,)+∞；（3）定义域是R ，又2223(1)44x x x --+=-++≤，所以值域中(0,16]，2(1)4u x =-++在(,1]-∞-上递增，在[1,)-+∞上递减，所以223()2xx f x --+=的增区间(,1]-∞-，减区间是[1,)-+∞；（4）定义域是[2,3]-，令1()3xt =，由[2,3]x ∈-，所以1[,9]27t ∈，222181()339y t t t =-+=-+，所以876]9y ≤≤，值域8,769⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又222181()339y t t t =-+=-+在11[,273上递减，在1[,9]3上递增，而1(3x t =是减函数，所以121()1,[2,3]933xxf x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的减区间是[2,1]-，增区间[1,3]．【收官验收】求下列函数的定义域、值域.（1）y ＝313xx+；（2）y ＝4x －2x ＋1.【答案】（1）定义域为R ；值域为(0，1)；（2）定义域为R ；值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）∵对一切x ∈R ，3x ≠－1；∴函数的定义域为R；∵y ＝13113x x+-+＝1－113x +；又∵3x >0，1＋3x >1；∴0<113x +<1，∴－1<－113x+<0；∴0<1－113x+<1，∴值域为(0，1).（2）函数的定义域为R ；y ＝(2x )2－2x＋1＝122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＋34；∵2x >0，∴2x ＝12，即x ＝－1时，y 取最小值34；同时y 可以取一切大于34的实数；∴值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【名师点睛】1.函数单调性在求函数值域中的应用(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则f (a )≤f (x )≤f (b )，值域为[f (a )，f (b )]．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则f (a )≥f (x )≥f (b )，值域为[f (b )，f (a )]．2．函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同．(2)值域．①换元，令t ＝f (x )；②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ；③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．重要考点六：幂式大小的比较【典型例题】设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是（）A ．a b c ＜＜B ． a c b ＜＜C ．b a c ＜＜D ．b c a＜＜【答案】C 【解析】由0.6xy =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C .【题型强化】若a <0，则0.5a,、5a 、5－a 的大小关系是（）A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a <0.5a【答案】B 【解析】因为0a <，故可得0.51a >，50.21a a -=>，51a <；再结合指数函数的图像关系，则0.20.5a a >.故50.55a a a ->>.故选：B.【收官验收】已知0.60.3a =，0.50.3b =，0.50.4c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】根据函数0.3x y =单调递减知：0.60.503..03a b <==；根据函数0.5y x =单调递增知：0.50.503.4.0c b =<=，故c b a >>.故选：D .【名师点睛】比较指数式的大小应根据所给指数式的形式，当底数相同时，运用单调性法求解；当底数不同时，利用一个中间量做比较进行求解．或借助于同一坐标系中的图象求解．重要考点七：指数型函数的奇偶性【典型例题】设函数()xxf x a mb =+，其中,,a m b ∈R ．（1）若2a =，12b =且()f x 为R 上偶函数，求实数m 的值；（2）若4a =，2b =且()f x 在R 上有最小值，求实数m 的取值范围；（3）() 0,1a ∈， 1b >，解关于x 的不等式()0f x >．【答案】（1）1m =；（2）0m <；（3）答案见解析.【解析】解：（1）()122xxf x m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()1121222m f f m =+=-=+，所以1m =，检验，此时()122x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()122xx f x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以()()f x f x -=，()f x 为偶函数；（2）()4·2xxf x m =+，令20x t =>，则()2g t t mt =+在()0,∞+上有最小值，所以02m->，得0m <；（3）()0xxf x a mb =+>，所以xxa mb >-，所以xx x a a m b b ⎛⎫=>- ⎪⎝⎭，因为()0,1a ∈，1b >，所以()0,1ab∈．①0m -≤，即0m >，解集为R ；②0m ->，即0m <，解集为(),log a b m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【题型强化】已知定义域为R 的函数2()2xx b f x a-=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）用定义证明()f x 在(,)-∞+∞上为减函数；（3）若对于任意t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围．【答案】（1）1a =，1b =；（2）证明见解析；（3）1(,)3-∞-.【解析】解：（1）()f x 为R 上的奇函数，(0)0f ∴=，可得1b =又(1)f f -=- （1）∴11121222a a----=-++，解之得1a =经检验当1a =且1b =时，12()21xx f x -=+，满足()()f x f x -=-是奇函数．（2）由（1）得122()12121x x x f x -==-+++，任取实数1x 、2x ，且12x x <则21121212222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++12x x < ，可得1222x x <，且12(21)(21)0x x ++>12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >，函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数；（3）根据（1）（2）知，函数()f x 是奇函数且在(,)-∞+∞上为减函数．∴不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，即222(2)(2)(2)f t t f t k f t k -<--=-+也就是：2222t t t k ->-+对任意的t R ∈都成立．变量分离，得232k t t <-对任意的t R ∈都成立，2211323()33t t t -=-- ，当13t =时有最小值为13-13k ∴<-，即k 的范围是1(,3-∞-．【收官验收】已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =；1b =（2）13k <-【解析】（1）因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00=f ，即102ba-+=+，解得1b =.从而有121()2x x f x a +-+=+.又由()()11f f =--知1121241a a-+-+=-++，解得2a =.经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意（2）由（1）知12111()22221x x xf x +-+==-+++，由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+.因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t R ∈有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-.重要考点八：指数型函数的单调性【典型例题】（1）求函数261712x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的单调区间；（2）求函数21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间．【答案】（1）单调递增区间为(),3-∞，单调递减区间为()3,+∞（2）单调递增区间为()2,-+∞，单调递减区间为(),2-∞-。
人教版中职数学基础模块上册41指数与指数函数1课件ppt
的图象．
y
y=( 1 )x
2
9
8
y=2x
7
描
6
5
点
4
3
2 1
-3 -2 -1 O 1 2 3
x
作函数
y＝3
x
与函数
y＝(
1
3
)x
的图象．
y
y=(
1 3
)x
y=( 1 )x
9
2
8
7
6
5
4 3
2 1
-3 -2 -1 O
y=3x y=2x
1 23
x
函数 y＝a x（a＞0 且 a ≠ 1，x R）图象与性质
所以 3x ≥ 3 ， 所以 x ≥ 1 ， 所以函数的定义域为 [ 1 ，＋∞ )．
练习3 求函数 y＝ 2x 4 的定义域．
1. 指数函数的定义. 2. 指数函数图象与性质.
3. 指数函数图象与性质的应用
比较大小 求函数的定义域
1．书面作业：
必做题：教材P102 ，练习 A 组第 2 题；
选做题：教材P102，练习 B 组第 2 题．
2．上机操作：
在同一坐标系中画出函数
y ＝ 10x 与
y
＝
(
1
10
)x
的图象，并指数这两个函数各有什么性质以及
它们的图象关系 ( 操作步骤参照教材P 176 )．
Thanks！
O 2.5 3 x
请同学们用函数的图象来验证一下答案是否正确！
（2）考察函数 y＝0.8x，它在实数集上是减函数，
因为 －0.1＞－0.2，所以 0.8－0.1 ＜0.8－0.2.
请同学们用计算器验证一下答案是否正确！
指数与指数函数知识点及题型归纳总结
指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R )；(2)mm n n a a a-=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R )；(4)(ab )m =a m b m (m ∈R )；(5)pp a a-=1(p ∈Q ) (6)mm n n a a =(m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1 0<a <1图象(1)定义域：R (1)定义域：R 值域(2)值域：(0,+∞) (2)值域：(0,+∞) (3)过定点(0,1)(3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数. (4)在R 上是减函数. (5)0<y <1⇔x >0y =1⇔x =0 y >1⇔x <0(5)0<y <1⇔x <0y =1⇔x =0 y >1⇔x >0题型归纳及思路提示题型1指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2，b =4()()a a b b ab a b b+÷+--223333311的值； (2)若x x -+=11223，x x x x --+-+-33222232的值； (3)设nna --=11201420142(n ∈N +)，求()n a a +21的值.分析：利用指数运算性质解题.===.当a=2，b=4，原式===12.(2)先对所给条件作等价变形：()x x x x--+=+-=-=11122222327，()()x x x x x x---+=++-=⨯=33111222213618，x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.故x xx x--+--==+--3322223183124723.(3)因为n na--=11201420142，所以()n na-++=11222014201412，n n n nna---+--=-=111112014201420142014201422.所以)na-=12014.变式1 设2a=5b=m，且a b+=112，则m=( ).A. B. 10 C. 20 D. 100二、指数方程例2.49 解下列方程(1)9x-4⋅3x+3=0；(2)()()x x⋅=29643827；分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x=(3x)2；对于()()x x⋅2938，对其底进行化简运算. 解析：(1)9x-4⋅3x+3=0⇒(3x)2-4⋅3x+3=0，令t=3x(t>0)，则原方程变形为t2-4t+3=0，得t1=1，t2=3，即x=131或x=233，故x1=0，x2=1.故原方程的解为x1=0，x2=1.(2)由()()x x⋅=29643827，可得()x⨯=33294383即()()x=33443，所以()()x-=33344，得x=-3.故原方程的解为x=-3.变式1方程9x-6⋅3x-7=0的解是________.变式2 关于x 的方程()x aa+=-32325有负实数根，则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式例2.50若对x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：利用指数函数的单调性转化不等式.解析：因为函数y =2x 是R 上的增函数，又因为x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，即对∀x ∈[1,2]，不等式x +m >1恒成立⇔函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1，而y =x +m 在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m ，所以1+m >1，即m >0.所以实数m 的取值范围是{m |m >0}.变式1 已知对任意x ∈R ，不等式()x mx m x x -+++>22241122恒成立，求m 的取值范围.变式2 函数()xf x x -=-21的定义域为集合A ，关于x 的不等式ax a x +<222(x ∈R)的解集为B ，求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围.题型2 指数函数的图像及性质 思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像 例2.51 函数()x bf x a-=的图象如图2-14所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( ).A. a >1，b <0B. a >1，b >0C. 0<a <1，0<b <1D. 0<a <1，b <0 分析：考查指数函数的图象及其变换.解析：由图2-14可知0<a <1，当x =0时，b a -∈(0,1)，故-b >0，得b <0，故选D. 评注：若本题中的函数变为()xf x a b =-，则答案又应是什么？由图2-14可知ƒ(x )单调递减，即0<a <1，函数y =a x 的图像向下平移得到xy a b =-的图像，故0<b <1，故选C. 变式1 若函数y =a x +b -1(a >0且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ). A. 0<a <1且b >0 B. a >1且b >0 C. 0<a <1且b <0 D. a >1且b <0 变式2 (2012四川理5)函数x y a a=-1(a >0，a ≠1)的图象可能是( ).变式3 已知实数a ，b 满足()()a b =1123，下列5个关系式：①0<b <a ，②a <b <0，③0<a <b ，④b <a <0，⑤a =b =0.其中不可能．．．成立的有( ). A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个例2.52 函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点_________. 分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a 0=1.解析：因为函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(0,1)，又函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像是由函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点(-1,1). 变式1 函数ƒ(x )=a x +1(a >0且a ≠1)的图像过定点________. 变式2 函数ƒ(x)=ax+x-2的图像过定点________.变式3 ƒ(x )=x a -1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0(m ,n >0)上，则m n+11的最小值为________.二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))例2.53 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是_______. 分析：本题考查指数函数的单调性.解析：当0<a <1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上最大值为a ，最小值为a 2，则a a a -=22，得a a =22，又0<a <1，所以a =12； 当a >1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递增，故在[1,2]上最大值为a 2，最小值为a ，那么a a a -=22，得aa =232，又a >1，所以a =32. 综上所述，a 的值是12或32.评注：函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)，不论0<a <1还是a >1都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得. 所以||a a a -=22，解得a =12或a =32. 变式1 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在区间[a ,a +2]上的最大值是最小值的3倍，则a =_____.变式2 定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1，已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ]，值域为[1,2]，则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.变式3 若y =3|x |(x ∈([a ,b ])的值域为[1,9]，则a 2+b 2-2a 的取值范围是( ).A. [2.4]B. [4,16]D. [4,12]例2.54 函数xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是________.分析：复合函数xx y a --+=+248145内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.解析：因为u =-4x 2-8x +1=-4(x +1)2+5在[-1,+∞)上单调递减，在(-∞,-1]上单调递增，且y =a x (0<a <1)是减函数，所以xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是[-1,+∞).变式1 函数()f x 1________.变式2 求函数()()()x x f x =-+11142(x ∈[-3,2])的单调区间及值域.变式3 已知0≤x ≤2，求函数x xa y a -=-⋅++1224212的最大值和最小值.变式4 设函数y =ƒ(x )在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数(),(),k f x f x k ⎧=⎨⎩()()f x kf x k ≤>，取函数ƒ(x )=2-|x |，当k =12时，函数ƒk (x )的单调增区间为( ). A. (-∞,0] B. [0,+∞) C. (-∞,-1] D. [1,+∞)变式5 若函数||()x y m -=+112的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.变式6 已知函数()||x f x -=-21，x ∈R ，若方程ƒ(x )=a 有两个不同实根，则a 的取值范围是__________. 题型3 指数函数中的恒成立问题 思路提示(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.例2.55 设()x x f x a =++⋅124(x ∈R)，当x ∈(-∞,-1]时，ƒ(x )的图象在x 轴上方，求实数a 的取值范围. 分析：本题等价于当x ≤1时，x x a ++⋅124>0恒成立.分离自变量x 与参变量a ，转化为求解函数的最值. 解析：因为当x ∈(-∞,1]时，ƒ(x )的图像在x 轴上方，所以对于任意x ≤1，x x a ++⋅124>0恒成立，即x x a +>-214(x ≤1)恒成立.令()()()x x x x u x +=-=--2111424(x ≤1)，a >u (x )max ，x ∈(-∞,1].因为()x y =12，()x y =14均是减函数，所以u (x )在(-∞,1]上单调递增，故当x =1时，max ()()u x u ==-314，故a >-34.故实数a 的取值范围为(-34,+∞).变式1 已知函数()()x x af x a a a -=--21(a >0且a ≠1). (1)判断函数ƒ(x )的奇偶性； (2)讨论函数ƒ(x )的单调性；(3)当x ∈[-1,1]时，ƒ(x )≥b 恒成立，求实数b 的取值范围. 变式2定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1） 求a,b 的值.（2） 若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 变式3 已知函数1()22x xf x =-，若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.最有效训练题1.函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A a=1或a=2B a=1C a=2D 0a >且1a ≠ 2.设0.90.48 1.512314,8,()2y y y -===，则（ ）A 312y y y >>B 213y y y >>C 123y y y >>D 132y y y >>3.设函数()f x 定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（ ）A 132()()()323f f f <<B 231()()()323f f f <<C 213()()()332f f f <<D 321()()()233f f f <<4. 函数()22xxf x -=-是（ ） A 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递增 B 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 C 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增 D 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减.5.若关于x 的方程9(4)340xxa ++•+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A (,8)[0,)-∞-+∞ B (,4)-∞- C [8,4)- D (,8]-∞-6.函数221(0)(1)(0)(){ax ax x a e x f x +≥-<=在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）A (,(1,2]-∞B [1)[2,)-+∞C （1）D )+∞7.不等式2223330x x a a •-+-->，当01x ≤≤时，恒成立，则实数a 的取值范围为 .8. 函数1(2y =的单调递增区间是 .9.已知关于x 的方程923310x x k -⨯+-=有两个不同实数根，则实数k 的取值范围为 .10. 偶函数()f x 满足 (1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()f x x =，则关于x 的方程1()()10xf x =，在[0,2014]x ∈上的解的个数是 .11.已知函数()xf x b a =⋅（其中a,b 为常数且0,1)a a >≠的图像经过点A （1,6），B （3,24）. （1）确定()f x .（2）若不等式11()()0x x m a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为h(a). (1)求h(a);(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①3m n >>；②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为22[,]n m .若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由.。
专题4.2 指数函数(解析版)
专题4.2指数函数1、指数函数的概念：一般地，函数xy a 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即a>0且a≠12、指数函数的图象和性质0<a<1a>1定义域R,值域（0，+∞）(2)在R上是增函数注意：指数增长模型：y=N(1+p)x指数型函数：y=ka x3考点：（1）a b=N,当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的异侧。
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。
掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
（4）分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a ，用x=1去截图象得到对应的底数。
一、单选题1．若函数()21xy m m m =--⋅是指数函数，则m 等于（）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．12【答案】C【解析】由题意可得21101m m m m ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2m =.故选：C.2．函数11x y a -=+，（0a >且1a ≠）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】解：令10x -=，解得1x =，所以当1x =时，10112x y a a -=+=+=，所以函数11x y a -=+过定点()1,2.故选：B3．若函数()22x xf x a x -=+⋅-为R 上的奇函数，则实数a 的值为（）A ．1-B ．2-C ．1D ．2【答案】A【解析】函数()22x xf x a x -=+⋅-为R 上的奇函数,故()010f a =+=，得1a =-，当1a =-时，()22x xf x x --=-满足()()f x f x -=-，即此时()22x xf x x --=-为奇函数，故1a =-，故选：A4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，()2x f x =，则()2021f -=（）A ．2B ．－2C ．0D【答案】B【解析】由题意，()f x 的周期为4，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2021)(2021)(45051)(1)2f f f f -=-=-⨯+=-=-．故选：B ．5．已知f (x )=22,5(3),5x x x f x x ⎧-≥⎨+<⎩，则f (4)+f (-4)=（）A ．63B ．83C ．86D ．91【答案】C【解析】依题意，当x <5时，f (x )=f (x +3)，于是得f (-4)=f (-1)=f (2)=f (5)，f (4)=f (7)，当x ≥5时，f (x )=2x -x 2，则f (5)=25-52=7，f (7)=27-72=79，所以f (4)+f (-4)=86.故选：C6．函数()()32sin 1x xe x xf x e -=+的图象大致为（）A ．BC．D【答案】A【解析】由题意，得()()332sin sin 1x x x xe x x x xf x e e e---==++，所以()()3sin x x f x x e e x f x --+==-+-，所以()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B ，D ．又因为33ππππ6666ππ1πsin π662606f e ee e--⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪⎝⎭++，()()32π2πsin 2π2π2π0f e e--=<+，所以排除C ．故选：A7．若221333111,,252a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ､b ､c 的大小关系是（）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c a b<<D ．c b a<<【答案】A【解析】因为23y x =在(0,)+∞上单调递增，且1125>，所以22331125⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b >，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且2133>，所以21331122⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c a >，所以c a b >>，即b a c <<故选：A 8．设函数()f x 对任意的x ∈R ，都有()()f x f x -=，()()2f x f x -=-，且当[]1,0x ∈-时，()2x f x =，则()2022f =（）A ．1-B ．1C ．12D ．12-【答案】A【解析】由()()2f x f x -=-得()()()222+-=-+=f x f x f x ，所以()()()42-+=+=-f x f x f x ，即()()4f x f x +=，所以()f x 的周期为4，()()()2022505422=⨯+=f f f ，由()()2f x f x -=-得()()022221-=-==f f ，所以()21f =-.故选：A.9．()f x 是定义域为R 的函数，且2()f x x -为奇函数，()2x f x +为偶函数，则(2)f 的值是（）A ．178B ．174C ．478D ．474【答案】A【解析】由题意，222()((()))f x x x f x f x x =--=----，即2()()2f x f x x -+=，(22))(x x f x f x -=++-，即()22()x x f x f x --=--，所以22(2)22x x f x x -=+-，可得2112)2(x x f x x ----=+，故2212122217(2)8f ----==+.故选：A.10．若2||()2x f x x =+，则下列关系式一定成立的是（）A ．()(3)()f f f e π>->B ．(3)()()f f f e π->>C ．()(3)()f e f f π>->D ．()()(3)f e f f π>>-【答案】A【解析】由2||()2x f x x =+可知：()()f x f x -=，()f x ∴为偶函数，又2222,0()22,0x xxx x f x x x x -⎧+≥=+=⎨+<⎩,知()f x 在(,0]-∞上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，故()(3)(3)(e)f f f f π>=->，故选：A.11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21xf x x =+-，则不等式()12f x -<的解集为（）A ．()0,2B ．(),2-∞C ．()2,+∞D ．()(),02,-∞+∞【答案】A【解析】当0x ≥时，()21xf x x =+-，则()f x 在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 是R 上的偶函数，且(1)2f =，因此，()()()121111f x f x f x -⇔-⇔-<，解得02x <<，所以不等式()12f x -<的解集为()0,2.故选：A12．已知函数()22,12,1xx ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[]1,3C ．[)3,+∞D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【解析】∵()22,12,1x x ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，∴21122a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩，解得13a ≤≤.故选：B.13．函数1()(2f x =）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．12⎤⎥⎝⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】依题意，210x x -++≥，解得：1122x ≤≤，即()f x 定义域为11[,]22，令u =，则函数u =在11[]22上单调递增，在11[,]22上单调递减，而函数1()2u y =在R 上单调递减，因此，()f x 在151[]22上单调递减，在11[,]22上单调递增，所以函数1()(2f x =1[2.故选：C14．已知函数()1424x x f x +=-+，[]1,1x ∈-，则函数()y f x =的值域为（）．A ．[)3,+∞B ．[]3,4C ．133,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 依题意，函数()2)(2224x xf x =-⨯+，[]1,1x ∈-，令2x t =，则2x t =在[]1,1x ∈-上单调递增，即122t ≤≤，于是有2224(1)3y t t t =-+=-+，当1t =时，min 3y =，此时0x =，min ()3f x =，当2t =时，max 4y =，此时1x =，max ()4f x =，所以函数()y f x =的值域为[]3,4.故选：B15．函数2()f x x x =-，+1()42x x g x m =-+，若对1[1,2]x ∀∈，都存在2[1,1]x ∈-，使()()12f x g x >成立，则m 的取值范围是（）A ．0m <B ．1m <C ．2m <D ．3m <【答案】B【解析】若对1[1,2]x ∀∈，都存在2[1,1]x ∈-，使()()12f x g x >成立，则需()()min min >f x g x ，又2()f x x x =-，[1,2]x ∈，所以()()2min 1110f x f =-==，令2x t =，因为[1,1]x ∈-，所以1[,2]2t ∈，所以()2()211g x t t m g m =-+≥=-，所以0>1m -，解得1m <，则m 的取值范围是1m <，故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．二、多选题16．已知函数()33x xf x -=-，则（）A ．()f x 的值域为RB ．()f x 是R 上的增函数C ．()f x 是R 上的奇函数D ．()f x 有最大值【答案】ABC【解析】()()30,x g x ∞=∈+，而()()3,0xh x ∞-=-∈-，所以()33x x f x -=-值域为R ，A 正确，D 错误；因为()3x g x =是递增函数，而()3x h x -=-是递增函数，所以()33x xf x -=-是递增函数，B正确；因为定义域为R ，且()()33x xf x f x --=-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，C 正确；故选：ABC17．已知函数13()13xxf x -=+，则下列结论正确的有（）A ．()f x 的图象关于坐标原点对称B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 的最大值为1D ．()f x 在定义域上单调递减【答案】AD【解析】因为1331()()1331x x x x f x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A 正确；因为131(1)132f -==-+，1113(1)1213f --==+，(1)(1)f f ≠-，所以()f x 不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故不B 正确；因为3122()13131x x xf x +-=-=-+++，又30x >，所以311x +>，所以20231x <<+，所以()(1,1)f x ∈-，故C 不正确；因为3122()13131x x xf x +-=-=-+++，且3x y =为增函数，所以()f x 在定义域(,)-∞+∞上单调递减，故D 正确.故选：AD18．下列结论中，正确的是（）A ．函数12x y -=是指数函数B ．函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是()1,+∞C ．若(0,1)m n a a a a >>≠则m n>D ．函数2()3(0,1)x f x a a a -=->≠的图像必过定点(2,2)-【答案】BD【解析】由指数函数定义得函数12x y -=不是指数函数，A 错；函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭中，222(1)1u x x x =-+=--+，在(,1)-∞上递增，在(1,)+∞上递减，因此函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是()1,+∞，B 正确；01a <<时，由m n a a >得m n <，C 错；函数2()3(0,1)x f x a a a -=->≠中，由20x -=得2x =，(2)2f =-，即函数()f x 图象过点(2,2)-，D 正确．故选：BD ．19．已知函数21()21x xf x -=+，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为(1,1)-C ．函数()f x 的图象关于y 轴对称D ．函数()f x 在R 上为增函数【答案】ABD【解析】A ：因为20x >，所以函数()f x 的定义域为R ，因此本选项结论正确；B ：212()12121x x xf x -==-++，由12220211012011212121x xx x x >⇒+>⇒<<⇒-<-<⇒-<-<+++，所以函数()f x 的值域为(1,1)-，因此本选项结论正确；C ：因为2112()()2112x xxxf x f x -----===-++，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y 轴对称，因此本选项说法不正确；D ：因为函数21x y =+是增函数，因为211x y =+>，所以函数221x y =+是减函数，因此函数2()121x f x =-+是增函数，所以本选项结论正确，故选：ABD20．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 为偶函数，且()()2x f x g x +=，则下列说法正确的是（）A ．()()f g x 为偶函数B ．()00g =C ．()()22f xg x -为定值D ．()()2,02,0x xx f x g x x -⎧≥+=⎨<⎩【答案】ACD【解析】()()2xf xg x +=令x 为x -得()()2x f x g x --+-=即()()2xf xg x --+=解得()222x x g x -+=，()222x xf x --=对于A.()()()()f g g x x f -=，故()()f g x 为偶函数对于B.()01g =，故B 错C.()()22222222122x x x x f x g x --⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎝⎭-=⎭，故C 对D.当0x ≥时，()222x x f x --=，()()2222222x x x xxf xg x ---++=+当0x <时，()222x x f x --=，()()2222222x x x xxf xg x ----++=()()2,02,0x xx f x g x x -⎧≥+=⎨<⎩故D 对故选：ACD三、填空题21．已知函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()()211f a f a +>-，则实数a 的取值范围是___.【答案】(),2-∞-【解析】：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和3y x =-在R 上都是单调递减，()312xf x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭在R 上单调递减，∴由()()211f a f a +>-，可得211a a +<-，解得2a <-，即(),2a ∈-∞-．故答案为：(),2-∞-22．已知函数()()12xf xg x =+-为定义在R 上的奇函数，则()()()012g g g ++=____.【答案】72或3.5【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x =--，特别地，当0x =时，得到()00f =．由()()12xf xg x =+-取0x =，所以()()011f g =-，所以()11g =．再分别令1x =-和1x =，得()()1102f g --=-，()()122f g =-，两式相加得()()()()1110222f f g g --+=-+-，且()()110f f -+=，则()()02g g +52=，所以()()()012g g g ++=57122+=．故答案为：72.23．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()2xf x =，则()9f -=___________.【答案】2-【解析】：因为()()4f x f x +=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又因()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()9912f f f -=-=-=-.故答案为：2-.24．设不等式()44210x x xm -++≥对于任意的[]0,1x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是_______．【答案】1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】：由()44210x x x m -++≥，得()4214x x xm ++≤，即4111421124x x x x xm ≤=++++，[]0,1x ∈，11,122x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，则221111371,3222244x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤++=++∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，114,1137124x x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦++，则13m ≤，即1,3m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦．故答案为：1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦四、解答题25．已知定义在()1,1-上的奇函数()f x ．在()1,0x ∈-时，()22x xf x -=+．(1)试求()f x 的表达式；(2)若对于()0,1x ∈上的每一个值，不等式()241x xt f x <⋅⋅-恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】(1)()()()221,000220,1x x x x x f x x x --⎧+∈-⎪==⎨⎪--∈⎩(2)0t ≥【解析】(1)：()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，()00f ∴=，因为在()1,0x ∈-时，()22x xf x -=+，设()0,1x ∈，则()1,0x -∈-，则()()()22x xf x f x -=--=-+，故()()()221,000220,1x x x x x f x x x --⎧+∈-⎪==⎨⎪--∈⎩.(2)：由题意，()241x x t f x <⋅⋅-可化为()22241x x x xt --<⋅⋅--化简可得4141x x t -+>+，令()41214141x x xg x -+==-+++，()0,1x ∈，因为41x y =+在定义域()0,1上单调递增，2y x=在()2,5上单调递减，所以()g x 在()0,1上单调递减，()()0201041g x g ∴<=-+=+，故0t ≥．26．已知函数()()()313x xf x m m R -=--∈是定义域为R 的奇函数.(1)若集合(){}|0A x f x =≥，|0x m B x x m -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，求A B ；(2)设()()22332x xg x af x -=+-，且()g x 在[)1,+∞上的最小值为-7，求实数a 的值.【答案】(1){}|02A B x x =≤<(2)3a =【解析】(1)解：因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，可得2m =，当2m =时，()33x x f x -=-，所以()33x xf x --=-，()()f x f x -=-，所以()33x x f x -=-为奇函数，所以2m =；由()0f x ≥，得1303xx -≥，即23103x x -≥，因为30x >，所以2310x -≥，所以0x ≥，即{}|0A x x =≥；由0x mx m-<+，且2m =，得()()220x x -+<，即22x -<<，所以{}|22B x x =-<<，所以{}|02A B x x =≤<；(2)因为()()2233233x x x xg x a --=+--，()()2332332x x x x a --=---+，令33x x t -=-，因为1≥x ，所以83t ≥，所以()()()22282223g x t t at t a a t ϕ⎛⎫==-+=-+-≥ ⎪⎝⎭，当83a >时，()t ϕ在8,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在[),a +∞上为增函数，所以()()2min 2t a a ϕϕ==-，即()2min 2g x a =-，所以227a -=-，解得3a =，或3a =-（舍去）；当83a ≤时，()t ϕ在8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，所以()min 88216393at ϕϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即()min 821693a g x =-，所以8216793a -=-，解得1458483a =>（舍去），所以3a =.27．已知定义在[]2,2-上的奇函数()f x ，当[]2,0x ∈-时，函数解析式为()()193x x f x a a -=+⋅∈R ．(1)求a 的值，并求出()f x 在[]2,2-上的解析式；(2)若对任意的(]0,2x ∈，总有()22f x t t ≥-，求实数t 的取值范围．【答案】(1)-3，()93,2039,02x x x xx f x x --⎧--≤≤=⎨-<≤⎩；(2)[]0,2.【解析】(1)根据题意，()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，则有()00=f ，当[]2,0x ∈-时()193x x f x a -=+⋅，则()10103f a =+=，解得：3a =-，当[]2,0x ∈-时，()93x xf x =-，设(]0,2x ∈，则[)2,0x -∈-，则()93x xf x ---=-，又()f x 为奇函数，所以()()39x xf x f x --=--=-，综上，()93,2039,02x x x xx f x x --⎧--≤≤=⎨-<≤⎩，(2)由（1），(]0,2x ∈时，()2113933xxx x f x --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，设13x m =，则119m ≤<，则原函数可化为：()221124m m m m ϕ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，由18981ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10ϕ=知：()0f x >在(]0,2上恒成立，要使()22f x t t ≥-在(]0,2x ∈上恒成立，只需220t t -≤，解得：02t ≤≤，所以t 的取值范围为[]0,2．28．已知函数()1221xx f x -=+.(1)求()()22f f -+的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)若()()24221x a g x f x a ⎡⎤=-+⎣⎦+，且对任意的1x 、2x ∈R ，都有()()123g x g x -<，求实数a 的取值范围.【答案】(1)0；(2)()1,1-；(3)11a ≤.【解析】(1)：()()22221112121433422012121415514f f -------+==+=-=++++.(2)解：()()212212121x x x f x -++==-++.20x >，则211x +>，则20221x<<+，所以，211121x-<-<+，∴函数()f x 的值域为()1,1-.(3)解：()()()()()2224222122121x x a g x f x a f x a f x af x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+=--=- ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦++⎝⎭，令()t f x =，则()()22g x h t t at ==-，()1,1t ∈-，函数()h t 的对称轴为直线t a =.①当1a ≥时，函数()h t 在()1,1-上单调递减，()()()()12113g x g x h h ∴-<--≤，()()12123a a ∴+--≤，解得34a ≤，此时a 的取值不存在；②当1a ≤-时，函数()h t 在()1,1-上单调递增，()()()()12113g x g x h h ∴-<--≤，()()12123a a ∴--+≤，解得34a ≥-，此时a 的取值不存在；③当11a -<<时，函数()h t 在()1,a -上单调递减，在(),1a 上单调递增，()()()()121g x g x h h a ∴-<--，且()()()()121g x g x h h a -<-，所以，()()()()2211231123h h a a a h h a a a ⎧--=++≤⎪⎨-=-+≤⎪⎩，解得11a ≤≤，此时11a -≤.综上，实数a 的取值范围为11a ≤≤.29．设函数()()2x xf x a k a -=-+（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若()312f =，()()222x xg x a a mf x -=+-，且当[)1,x ∞∈+时，()0g x ≥恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)1-(2)1712m ≤【解析】(1)函数()()2x xf x a k a -=-+（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数,则()()()0002120f a k a k =-+=-+=，所以1k =-，又1k =-时，()x xf x a a -=-，对任意的R x ∈，都有()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-成立，满足题意，所以1k =-；(2)由（1）知，()x xf x a a -=-，且()312f =，所以，()1312f a a =-=，所以，2a =或12a =-（舍），()()()()22222222222222x x x x x xx x g x m m ----=+--=---+令()221x xt x -=-≥，则32t ≥，由当[)1,x ∞∈+时，()0g x ≥恒成立，得2220t mt -+≥在32t ≥时恒成立，则22m t t ≤+在时32t ≥恒成立，又2y t t =+在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以，1726m ≤，所以，1712m ≤.。
最新教案：指数与指数函数(含解析)
指数与指数函数一、根式 1．根式的概念2．两个重要公式(1)n a n＝⎩⎨⎧a ， n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0)， n 为偶数；(2)(n a )n ＝a (注意a 必须使na 有意义)． 二、有理数指数幂1．幂的有关概念(1)正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(2)负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q)；(2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)． 三、指数函数的图象和性质[基础自测]1．[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：选B 原式＝(26)12－1＝7.2．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A ∵1－2x ≥0，∴2x ≤1，∴x ≤0. 3．已知函数f (x )＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,4)D ．(4,0)解析：选A 当x ＝1时，f (x )＝5.4．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a 的值为________． 解析：∵a 2－3a ＋3＝1，∴a ＝2或a ＝1(舍)． 答案：25．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)[例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5；(2)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋3748. [自主解答] (1)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. 总结：指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．变式练习1．计算：(1)(0.027)－13－⎝⎛⎭⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0； (2)⎝⎛⎭⎫14－12·(4ab －1)30.1－2(a 3b －3)12.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫271 000－13－(－1)－2⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫25912－1 ＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝412·432100·a 32·a －32·b 32·b －32＝425a 0·b 0＝425.[例2] 函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )[自主解答] 法一：令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a >1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，且过(1,0)，排除选项A 、B ； 当0<a <1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，因为0<a <1，故排除选项D. [答案] C总结：1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．变式练习2．(1)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________．解析：(1)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝2－x ，∴它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称． (2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解． 答案：(1)A (2)1[例3] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a.则函数f (x )的单调递增区间为________，单调递减区间为________．[自主解答] 令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， 又y ＝⎝⎛⎭⎫23t 是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)． [答案] (－∞，0] [0，＋∞)在本例条件下，若f (x )的最大值等于94，则a ＝______.解析：由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2， 从而a ＝2. 答案：2总结：求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．变式练习1．(1)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a(2)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：(1)由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .(2)结合函数图象求解．因为y ＝e u 是R 上的增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，只需u ＝|x －a |在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a ≤1.答案：(1)A (2)(－∞，1]课后练习A 组1．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1D ．y ＝1－2x解析：选B ∵1－x ∈R ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫131－x 的值域是正实数集．2．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：选B 由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3， 两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.3．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：选B ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，∴根据分段函数即可画出函数图象．4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x－2在[2,4]上是增函数，可知C 正确．5．设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) A ．f (－2)>f (－1) B ．f (－1)>f (－2) C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)解析：选A ∵f (2)＝4，∴a－|2|＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－|x |＝2|x |，∴f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x是增函数，∴x <0时，f (x )是减函数，∴f (－2)>f (－1)．6．若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析：选D 因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1，解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12；解2m ＋1>m 2＋m －1，即m 2－m －2<0，得－1<m <2. 综上所述，m 的取值范围是5－12≤m <2. 7.⎝⎛⎭⎫32－13×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－ ⎝⎛⎭⎫－2323＝________.解析：原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 答案：28．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 答案：m >n9．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)且f (1)＝9.则f (x )的单调递减区间是________．解析：由f (1)＝9得a 2＝9，∴a ＝3.因此f (x )＝3|2x－4|，又∵g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]，∴f (x )的单调递减区间是(－∞，2]． 答案：(－∞，2]10．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2；(2)y ＝ 32x －1－19.解：(1)显然定义域为R.∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， 且y ＝⎝⎛⎭⎫12x为减函数． ∴⎝⎛⎭⎫122x －x 2≥⎝⎛⎭⎫121＝12.故函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. (2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2， 即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞， 由上可知32x －1－19≥0，∴y ≥0.即函数的值域为[0，＋∞)．11．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.12．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值． 解：由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1， ∴M ＝{x |x ＞3，或x ＜1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎫2x －162＋2512. ∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2， ∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．B 组1．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定解析：选A 由题意知a >1，又f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)． 2．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.解析：画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图)， 由图象可知，a <0，b 的符号不确定，c >0.故①②错；∵f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|， ∴|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1， 故2a ＋2c <2，④成立； 又2a ＋2c >22a ＋c ，∴2a ＋c <1，∴a ＋c <0，∴－a >c ，∴2－a >2c ，③不成立．答案：④3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3， 令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1. 即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.。
高中数学第四章 指数函数与对数函数之指数函数(精讲)(必修第一册)(教师版含解析)
4.2指数函数思维导图常见考法考点一 指数函数的判断【例1-1】(2019·河北桥西.邢台一中高一月考)下列函数中指数函数的个数是( )①23x y =⋅ ②13x y += ③3xy = ④()21xy a =-(a 为常数，12a >，1a ≠) ⑤3y x = ⑥4xy =- ⑦()4xy =-A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数； 对②：其指数为1x +，不是x ，故不是指数函数； 对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数； 对⑤：是幂函数，不是指数函数；对⑥：指数式的系数为-1，不是1，故不是指数函数；对⑦：指数的底数为-4，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是； 综上，是指数函数的只有③④，故选：B.【例1-2】(2019·河南中原.郑州一中高一开学考试)函数f (x )=(a 2﹣3a +3)a x 是指数函数，则a 的值为( ) A ．1 B ．3C ．2D ．1或3【答案】C【解析】因为函数f (x )=(a 2﹣3a +3)a x 是指数函数，故可得2331a a -+=解得1a =或2a =， 当1a =时，不是指数函数，舍去.故选：C.【举一反三】1．(2019·山东高三学业考试)函数()2xy a a =-是指数函数，则( )A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠【答案】C【解析】因为函数()2xy a a =-是指数函数所以21a -=，0a >且1a ≠，解得3a =.故选：C.2．(2019·呼和浩特开来中学高一期中)若函数1()(3)2xf x a a =-⋅是指数函数,则1()2f 的值为( ) A ．2 B ．-2C ．22-D ．22【答案】D【解析】∵函数f (x )＝(12a ﹣3)•a x 是指数函数，∴12a ﹣3＝1，a ＞0，a ≠1，解得a ＝8， ∴f (x )＝8x ，∴f (12)8==22，故选：D ．3．(2019·辽宁葫芦岛.高一月考)下列函数不是指数函数的是( ) A ．12x y += B ．3x y -= C ．4x y = D ．32x y =【答案】A【解析】指数函数是形如xy a =(0a >且1a ≠)的函数.对于A ：1222x x y +==⨯，系数不是1，所以不是指数函数；对于B ：133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭，符合指数函数的定义，所以是指数函数； 对于C ：4xy =，符合指数函数的定义，所以是指数函数； 对于D ：382x x y ==，符合指数函数的定义，所以是指数函数.故选：A.考点二 定义域和值域【例2-1】(2020·全国高一课时练习)求下列函数的定义域和值域：只有形如(0,1)xy a a a =>≠的函数才是指数函数，系数等于1(1)142x y -=；(2)23xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(3)22312x x y --⎛⎫=⎪⎝⎭.【答案】(1)定义域{|4}x x ≠，值域为{|0y y >且1}y ≠； (2)定义域{|0}x x =，值域{|1}y y =；(3)定义域R ，值域(]0,16【解析】(1)要使函数式有意义，则40x -≠，解得4x ≠.所以函数142x y -=的定义域为{|4}x x ≠.因为104x ≠-，所以1421x -≠，即函数142x y -=的值域为{|01}y y y >≠，且.(2)要使函数式有意义，则||0x -，解得0x =，所以函数23xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为{|0}x x =.因为0x =，所以022133x-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数23xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为{|1}y y =.(3)函数的定义域为R .因为2223(1)44x x x --=--≥-，所以2234111622x x ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 又223102x x --⎛⎫>⎪⎝⎭，所以函数22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,16.【例2-2】(2018·湖南开福.长沙一中高一月考)若函数421x x y a =+⋅+的值域为[0，+∞)，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】(﹣∞，﹣2]【解析】设()421x x g x a =+⋅+，若函数421x x y a =+⋅+的值域为[0，)+∞，则等价于[0，)+∞是()g x 值域的子集，2()421(2)21x x x x g x a a =+⋅+=+⋅+，设2x t =，则0t >，则2()1y h t t at ==++，(0)10h =>，∴当对称轴02at =-，即0a 时，不满足条件． 当02at =->，即0a <时，则判别式△240a =-，即022a a a <⎧⎨-⎩或，则2a -， 即实数a 的取值范围是(-∞，2]-.故答案为：(-∞，2]-【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)求下列函数的定义域和值域； (1)12x y +=；(2)12x y =-；(3)2xy =.【答案】(1)定义域为R ，值域为(0,)+∞；(2)(,0]-∞，[0,1)；(3)[0,)+∞，[1,)+∞.【解析】(1)12x y +=的定义域为R ，值域为(0,)+∞.(2)由120x -≥知0x ，故12x y =-的定义域为(,0]-∞；由0121x -<知0121x -<，故12x y =-的值域为[0,1).(3)2xy =的定义域为[0,)+∞；由0x 知21x，故2x y =的值域为[1,)+∞.2．(2020·全国高一课时练习)求下列函数的定义域与值域.(1)112xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)1(0,1x x a y a a -=>+且1)a ≠ (3)110.3;x y -= (4)513.x y -=【答案】(1)定义域为[0,)+∞；值域为[0,1)；(2)定义域为R ；值域为(－1，1)；(3)定义域为{1}xx ≠∣；值域为{0yy >∣且1}y ≠；(4)定义域为15x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣；值域为{1}yy ≥∣. 1.对于y ＝af (x )这类函数，①定义域是指使f (x )有意义的x 的取值范围． ②值域问题，应分以下两步求解： ⅰ由定义域求出u ＝f (x )的值域；ⅱ利用指数函数y ＝a u的单调性或利用图象求得此函数的值域． 2.对于y ＝(a x )2＋b ·a x＋c 这类函数， ①定义域是R.②值域可以分以下两步求解： ⅰ设t ＝a x，求出t 的范围；ⅱ利用二次函数y ＝t 2＋bt ＋c 的配方法求函数的值域．【解析】(1)1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得：0x ≥， ∴原函数的定义域为[0,)+∞，令11(0)2xt x ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，则01,01t t ≤<∴≤<∴原函数的值域为[0,1) (2)原函数的定义域为R.设x a t =，则(0,)t ∈+∞，11221111t t y t t t -+-===-+++， 0,11t t >∴+>，1201,2011t t -∴<<∴-<<++，21111t ∴-<-<+，即原函数的值域为(1,1)-.(3)由10x -≠得1x ≠，所以函数定义域为{|1}x x ≠，由101x ≠-得1y ≠， 所以函数值域为{|0y y >且1}y ≠.(4)由510x -≥得15x ≥，所以函数定义域为15xx ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣，由510x -≥得1y ≥，所以函数值域为{1}y y ≥∣.3．(2020·河北新华.石家庄二中高二期末)若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ，则a 的取值范围为( ) A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B【解析】当1x <时，()1,212xf x ⎛⎫∈+∞⎛ ⎪⎝⎫= ⎪⎭⎭⎝当1≥x 时，()114,4xf x a a a ⎛⎤∈+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ⎥⎝⎦ 函数()f x 的值域为(),+∞a 114212a a ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，即11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B4．(2020·云南五华.昆明一中高三其他(理))设函数211y x=-的定义域为A ，函数12x y -=的值域为B ，则A B =( )A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,1-D ．[]1,1-【答案】A【解析】函数定义域满足：210x ->，即11x -<<，所以{}11A x x =-<<， 函数12x y -=的值域{}0B y y =>，所以()0,1AB =，故选：A.5．(2019·湖南高一期中)若函数2411()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值3，则实数a 的值为( ) A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】由于函数2411()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值3，所以0a >，且当422x a a-=-=时，()f x 取得最大值为2224411412113333a a a aaf a ⎛⎫⋅-⋅+-+ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故4411,2,2a a a-===.故选：D 考点三 指数函数性质【例3】(1)(2020·贵溪市实验中学高二期末(文))若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3(2)(2019·湖南岳阳楼.岳阳一中高一期中)已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( ) A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)(3)(2019·湖北襄阳)如果1111222ba⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么( )A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a <<【答案】(1)B(2)B(3)C【解析】(1)函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．(2)可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a-<，整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-．故选B.(3) 根据函数()1()2x f x =在R 是减函数，且1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以10b a >>>，所以a a b a b a <<，故选C.【举一反三】1．(2019·浙江南湖.嘉兴一中高一月考)函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数的区间是( )A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞11.指数函数性质记忆口诀指数增减要看清，抓住底数不放松； 反正底数大于0，不等于1已表明； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(0,1)点． 2.比较幂值大小的三种类型及处理方法【答案】C【解析】∵13uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，222(1)1u x x x =-+=--+在(,1]-∞上递增，在[1,)+∞上递减，∴函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的增区间是[1,)+∞．故选：C ．2．(2019·浙江柯城.衢州二中高三一模)已知定义在R 上的函数()||32x m f x -+=+m 为实数)为偶函数，记()0.2log 3a f =，()5log b f e =，()c f m π=+，则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】B 【解析】()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，||||3232x m x m --+-+∴+=+，||||x m x m ∴-+=+；0m ∴=；||()32x f x -∴=+；()f x ∴在[0，)+∞上单调递减，并且0.25(|log 3|)(log 3)a f f ==，5(log )b f e =，()()c f m f ππ=+= 550log log 3e π<<<c a b ∴<<．故选：B ．3．(2020·浙江高一课时练习)设0.914y =，0.4828y =， 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( ) A ．312y y y >> B ．213y y y >> C ．123y y y >>D ．132y y y >>【答案】D 【解析】 1.50.920.91.80.4830.481.441.35121422,22282,y y y -⨯⨯⎛⎫======⎝== ⎪⎭，因为函数2xy =在定义域上为单调递增函数，所以132y y y >>．故选：D ．4．(2020·永安市第三中学高二月考)若关于x 的方程()94340xxa ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(,8][0,)-∞-+∞B ．(),4-∞-C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-【答案】D【解析】由9(4)340x xa ++⋅+=，得443(4)0,(4)3433xxx x a a +++=∴-+=+≥(当且仅当32x =时等号成立)，解得8a ≤-故选D5(2020·上海高一课时练习)已知函数2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则该函数的单调递增区间是__________.【答案】(,1]-∞-【解析】由题得函数的定义域为R . 设2122,()2uu x x v =++=，函数222,u x x =++在∞(-,-1]单调递减，在[1,)-+∞单调递增，函数1()2uv =在其定义域内单调递减，所以2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在∞(-,-1]单调递增，在[1,)-+∞单调递减.故答案为：(,1]-∞-.6．(2020·上海普陀.曹杨二中高一期末)函数12x y =-的单调递增区间为________ 【答案】(,0]-∞【解析】函数12,010221,1x x xy x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭=⎩-，根据指数函数单调性可得，函数在(,0]-∞单调递增，在0,单调递减，所以函数12xy =-的单调递增区间为(,0]-∞.故答案为：(,0]-∞ 7．(2020·全国高一课时练习)比较下列各题中的两个值的大小． (1)0.10.8-，0.21.25；(2)1ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭，1； (3)30.2-，()0.23-.【答案】(1)0.10.20.8 1.25-<(2)11ππ-⎛⎫> ⎪⎝⎭(3)()0.230.23->-【解析】(1)因为0.10.10.1450.854--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0.20.251.254⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又指数函数54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数，且0.10.2<，所以0.10.25544⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即0.10.20.8 1.25-<. (2)1ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭01πππ=>=， (3)30.2-00.21>=，()()10.2553330-=-=-<，所以()0.230.23->-.考点四 定点【例4】(2020·浙江高一课时练习)函数()-1=4+x f x a (0a >，且1a ≠)的图象过定点P ，则P 点的坐标为( ) A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,5)D ．(0,4)【答案】A【解析】因为xy a =的图象恒过(0,1)点，则1x y a-=的图象恒过(1,1)点，所以()-1=4+x f x a恒过定点()1,5P .故选A .【举一反三】1．(2019·涡阳县第九中学高二期末)函数()10,1xy a a a =+>≠的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．()0,2D ．(2,2)【答案】C 【解析】函数x y a =的图象过点(0,1)，而函数1x y a =+的图象是把函数xy a =的图象向上平移1个单位，∴函数1xy a =+的图象必经过的点(0,2)．故选：C ．2．(2019·贵州省织金县第二中学高一期中)函数21()x f x a -=(0a >且1)a ≠过定点( ) A ．(1,1)B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．1(,1)2【答案】D【解析】令12102x x -=⇒=，所以函数21()x f x a-=(0a >且1)a ≠过定点1(,1)2． 3．(2020·宁夏贺兰县景博中学高一月考)函数y=a x ﹣1+2(a ＞0且a≠1)图象一定过点( ) A ．(1，1)B ．(1，3)C ．(2，0)D ．(4，0)【答案】B 由x ﹣1=0，解得x=1，此时y=1+2=3，即函数的图象过定点(1，3)，故选B考点五 图像【例5-1】(2020·广东顺德一中高一期中)函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图像可能是( )． A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过(0,1)点，所以排除A ，当1a >时，∴101a <<，所以排除B ，当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D.【例5-2】(2020·浙江高一课时练习)若函数(01,1)xy a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内，则( ) A ．1a >B ．1a >，且0m <C ．01a <<，且0m >D ．01a <<【答案】B【解析】因为函数xy a =的图像在第一、二象限内， 所以欲使其图像在第三、四象限内，必须将xy a =向下移动，因为当01a <<时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限， 所以只有当1a >时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故1a >，因为图像向下移动小于一个单位时，图像经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，所以欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位， 故11m -<-，0m <，故选：B.【举一反三】1．(2019·浙江高一期中)函数y x a =+与x y a =，其中0a >，且1a ≠，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为函数y x a =+单调递增，所以排除AC 选项；当1a >时，y x a =+与y 轴交点纵坐标大于1，函数xy a =单调递增，B 选项错误；当01a <<时，y x a =+与y 轴交点纵坐标大于0小于1，函数xy a =单调递减；D 选项正确.故选：D2．(2020·全国高一课时练习)在如图所示的图象中，二次函数2y ax bx c =++与函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据选项中二次函数图象，可知0c ，根据选项中指数函数的图象，可知01b a <<，所以1022b a-<-<， 所以二次函数2y ax bx c =++的对称轴在y 轴左侧，且1,022b x a ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭， 所以可排除B 、C 、D ，只有A 符合题意.故选：A.3．(2020·上海高一课时练习)若函数2x y m =+的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是( ) A ．m 1≥ B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≤-【答案】D【解析】指数函数2x y =过点0,1,则函数2xy m =+过点()0,1m +,若图像不经过第二象限,则10m +≤,即1m ≤-,故选：D4．(2020·内蒙古集宁一中高二期末(理))若直线2y a =与函数|1|(0,1)x y a a a =->≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是___________ 【答案】102⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】当01,1a a <<>时，做出|1|xy a =-图象，如下图所示，直线2y a =与函数|1|(0,1)x y a a a =->≠的图象有两个公共点时，1021,02a a <<<<. 故答案为:102⎛⎫ ⎪⎝⎭，。
专题4.1 指数与指数函数(精讲精析篇)(解析版)
专题4.1指数与指数函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 根式的化简与求值(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数． (2)(na )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶性决定．n a ⎩⎪⎨⎪⎧n 为偶数，a 为非负实数n 为奇数，a 为任意实数，且n a 符号与a 的符号一致【典例1】化简下列各式： ①4(x －2)4； ②5(x －π)5. 【答案】见解析. 【解析】 ①4(x －2)4＝|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，－x ＋2，x <2.②5(x －π)5＝x －π. 【典例2】化简下列各式：(1)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3<x <3)； (2)(a －1)2＋1－2a ＋a 2＋3(1－a )3.【答案】见解析.【解析】(1)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.(2)由a －1知a －1≥0，∴原式＝a －1＋(a －1)2＋1－a ＝a －1. 【规律方法】1.根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．对n a n 与(na )n 的进一步认识(1)对(n a )n 的理解：当n 为大于1的奇数时，(n a )n 对任意a ∈R 都有意义，且(na )n ＝a ，当n 为大于1的偶数时，(n a )n 只有当a ≥0时才有意义，且(na )n ＝a (a ≥0)．(2)对na n的理解：对任意a ∈R 都有意义，且当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，n a n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0－a a ＜0.(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论． 3.有限制条件的根式化简的步骤热门考点02 指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 【典例3】计算：．【答案】12. 【解析】．【典例4】已知则的值为__________．【答案】【解析】题意，∴，∴，故答案为．【答案】2- 【解析】22b ba a-+=()22228b bb b a a a a --+=++=，故226b b a a -+=，()22224b b b b a a a a ---=+-=，1a >，0b <，故0b b a a --<，故2b b a a -=--.故答案为：2-. 【特别提醒】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．热门考点03 指数函数的图象及应用常考题型及技法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由于(1)y a x =+过点()1,0-，故D 选项错误.当1a >时，xy a =过()0,1且单调递增；(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且1a >.所以A 选项错误.当01a <<时，xy a =过()0,1且单调递减，(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且01a <<.所以B 选项错误.综上所述，正确的选项为C. 故选：C A ．(1,1) B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．1(,1)2【答案】D 【解析】令12102x x -=⇒=，所以函数21()x f x a-=(0a >且1)a ≠过定点1(,1)2． 【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) xy a ＝与xy a-＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．热门考点04 指数函数的性质及应用1.指数函数图象的变化规律指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大． 2.有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【典例8】（2016新课标全国III ）已知，，，则（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】因为，，所以，故选A ．A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案.详解：函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xx xx x xf x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xxy ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数.故选A.A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．2－a ＜2c D ．1＜2a ＋2c ＜2【答案】D【解析】作出函数f (x )＝|2x －1|的图象， 如图所示，因为a ＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，所以必有a ＜0,0＜c ＜1，且|2a －1|＞|2c －1|，所以1－2a ＞2c －1，则2a ＋2c ＜2，且2a ＋2c ＞1，故选D.（1）若函数()f x 在[]0,2x ∈上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[]1,2x ∈-上有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）5；（2）1718a ≤≤ 【解析】（1）因为[]0,2x ∈，所以令[]21,4xt =∈，所以得到函数()221f t t at =-+，开口向上，对称轴为t a =，当52a ≤时，则在4t =时，()f t 取最大值，即()()max 48f t f ==-， 所以16818a -+=-，解得258a =，不满足52a ≤，所以舍去，当52a >时，则1t =时，()f t 取最大值，即()()max 18f t f ==-，所以1218a -+=-，解得5a =，满足52a >， 综上，a 的值为5.（2）因为[]1,2x ∈-，所以令12,42xm ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以得到函数()221f m m am =-+令()0f m =，得2210m am -+=，即12a m m=+， 所以要使()0f m =有解， 则函数2y a =与函数1y m m=+有交点， 而函数1y m m =+，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,4上单调递增， 故在1x =时，有min 2y =，在4x =时，有max 174y =， 所以可得21724a ≤≤， 所以a 的范围为1718a ≤≤.【答案】在(),1-∞-上是增函数，在()1,-+∞上是减函数，值域为10,81⎛⎤⎥⎝⎦【解析】根据复合函数单调性“同增异减”的法则，将问题转化为求二次函数的单调递减区间问题.解：令13Uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,225U x x =++，则y 是关于U 的减函数，而U 是(),1-∞-上的减函数，()1,-+∞上的增函数，∴22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),1-∞-上是增函数，而在()1,-+∞上是减函数，又∵()2225144U x x x =++=++≥, ∴22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为4110,0,381⎛⎤⎛⎫⎛⎤= ⎥ ⎪ ⎥ ⎝⎭⎝⎦⎥⎝⎦．【总结提升】1在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．巩固提升A．B．C．D．【答案】D【解析】∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a <<，所以排除B ，当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 ∵ln ln a b > ∴0a b >>∵1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴a b >∵0a b >>是a b >的充分不必要条件∴ln ln a b >是1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的充分不必要条件 故选AA ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据01a <<(01)||xxa y a x =<<,0,0xx a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增故选：D.A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．(),0-∞D ．(),-∞+∞ 【答案】A【解析】120x -≥，解得0x ≤，∴函数的定义域(],0-∞，故选A.A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．123y y y >> 【答案】B【解析】()20.80.8 1.16224y ===，()0.70.73 2.12822y ===，()332 1.5443422y ===.因为 2.1 1.6 1.5222>>，故213y y y >>.故选：BA ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0 <a <1，b >0D ．0 <a <1，b <0【答案】C【解析】 从曲线走向结合指数函数的单调性可知0<a<1, 又f (0)=1－b 1<，所以b >0，故选：C.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】此题考查指数函数的图像的性质和指数函数的上下平移；有已知得到：此指数函数是减函数，分布在第一，二象限，渐近线是x 轴，即0y =；x y a b =+（1b <-）是由指数函数向下平移大于1个单位得到的，即原来指数函数所过的定点(0,1)向下平移到原点的下方了，所以图像不经过第一象限，所以选A ，如下图所示：A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值【答案】A【解析】设21x t =+，则当(),x ∈-∞+∞时为增函数，且1t >； 于是()11121x y t t==>+为减函数，其图象如图所示： 则故121x y =+为减函数且1y <；图象在y 轴上方，0y >，所以原函数既无最小值，也无最大值. 故正确答案为A.A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】 将化为，即，解得，所以，所以函数的值域是.故选C.A ．221333b a b <<B ．122333b a b <<C ．212333a b b << D ．221333a b b << 【答案】D 【解析】当0α>时，幂函数y x α=在()0,x ∈+∞上为增函数，所以当01a b <<<时有2233a b <，因为01b <<，所以指数函数x y b =在x ∈R 上为减函数，因此有 2133b b <，所以有：221333a b b <<故选：D11.(2018届山东、湖北部分重点中学冲刺（二）)定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，又是奇函数，画出函数的图象，由函数图象可知： ，有个零点，其中有两个零点关于对称，还有两个零点关于对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线与函数，交点的横坐标，即方程的解，，故选C.【答案】(1,2).-【解析】,2222,x x -∴<是一个递增函数；故答案为：.【答案】7【解析】∵函数3x m y a n -=+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点，令0x m -=，可得x m =，2y n =-，可得函数的图象经过定点(),2m n -.再根据函数的图象经过定点()3,2，∴3m =，22n -=，解得3m =，4n =，则7m n +=，故答案为：7．【答案】10【解析】设生物组织内原有的碳14含量为x ，需要经过n 个“半衰期”才不能测到碳14， 则1121000n x x ⋅<，即10.0012n <， 由参考数据可知，910.001950.0012=>，10110.001950.0009750.00122=⨯=<，所以10n =，故答案为：10.【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】∵()()g x f x a =-有两个零点， ∴()f x a =有两个零点，即()y f x =与y a =的图象有两个交点， 由32x x =可得，0x =或1x =．①当1m >时,函数()f x 的图象如图所示，此时存在a 满足题意，故1m >满足题意．②当1m =时,由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意．③当01m <<时,函数()f x 单调递增，故不符合题意．④0m =时,()f x 单调递增，故不符合题意． ⑤当0m <时,函数()y f x =的图象如图所示,此时存在a 使得()y f x =与y a =有两个交点．综上可得0m <或1m >．所以实数m 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞．【答案】③【解析】对于①：对应法则和值域相同的两个函数，其定义域不一定相同，如f （x ）＝x 2，x ∈R 与g （x ）＝x 2，x ∈[0，+∞），∴①错误；对于②： ()222x x f x -=在(),1-∞ 上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增，故②错误；对于③：∵函数()1f x -的定义域为[]0,2，∴111x -≤-≤ ，即()f x 的定义域为[]1,1-， ∴111x -≤+≤，即20x -≤≤，∴函数()1f x +的定义域为[]2,0-，∴③正确； 对于④：函数f （x ）1x=在定义域上不单调，但函数f （x ）存在反函数，∴④错误； 对于⑤：()42222x x f x =+++，令()222,x t =+∈+∞ 则()4f x t t=+在()2,+∞上单调递增，没有最小值，∴⑤错误. 对于⑥：由|2x ﹣m |12x -＜0，得|2x ﹣m |12x ＜，∴11222x x x m --＜＜， 即112222x x x x m -+＜＜在区间[0，1]内恒成立， ∵函数f （x ）122x x =-在区间[0，1]内单调递增，∴f （x ）的最大值为32； 令g （x ）122x x =+，t ＝2x （1≤t ≤2），则y ＝t 1t+在[1，2]上为增函数，由内函数t ＝2x 为增函数，∴g （x ）122x x =+在区间[0，1]内单调递增，g （x ）的最小值为2．∴322m ＜＜．∴⑥错误. 故答案为：③。
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专题4.1指数与指数函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 根式的化简与求值(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数． (2)(na )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶性决定．n a ⎩⎪⎨⎪⎧n 为偶数，a 为非负实数n 为奇数，a 为任意实数，且n a 符号与a 的符号一致【典例1】化简下列各式： ①4(x －2)4； ②5(x －π)5. 【答案】见解析. 【解析】 ①4(x －2)4＝|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，－x ＋2，x <2.②5(x －π)5＝x －π. 【典例2】化简下列各式：(1)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3<x <3)； (2)(a －1)2＋1－2a ＋a 2＋3(1－a )3.【答案】见解析.【解析】(1)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.(2)由a －1知a －1≥0，∴原式＝a －1＋(a －1)2＋1－a ＝a －1. 【规律方法】1.根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．对n a n 与(na )n 的进一步认识(1)对(n a )n 的理解：当n 为大于1的奇数时，(n a )n 对任意a ∈R 都有意义，且(na )n ＝a ，当n 为大于1的偶数时，(n a )n 只有当a ≥0时才有意义，且(na )n ＝a (a ≥0)．(2)对na n的理解：对任意a ∈R 都有意义，且当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，n a n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0－a a ＜0.(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论． 3.有限制条件的根式化简的步骤热门考点02 指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 【典例3】计算：．【答案】12. 【解析】．【典例4】已知则的值为__________．【答案】【解析】题意，∴，∴，故答案为．【典例5】（2020·上海高三专题练习）若1a >，0b <，且22b b a a -+=b b a a --=_________. 【答案】2- 【解析】22b ba a-+=()22228b bb b a a a a --+=++=，故226b b a a -+=，()22224b b b b a a a a ---=+-=，1a >，0b <，故0b b a a --<，故2b b a a -=--.故答案为：2-. 【特别提醒】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．热门考点03 指数函数的图象及应用常考题型及技法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．【典例6】（2020·上海高一课时练习）函数xy a =和(1)y a x =+（其中0a >且1a ≠）的大致图象只可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由于(1)y a x =+过点()1,0-，故D 选项错误.当1a >时，xy a =过()0,1且单调递增；(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且1a >.所以A 选项错误.当01a <<时，xy a =过()0,1且单调递减，(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且01a <<.所以B 选项错误.综上所述，正确的选项为C. 故选：C【典例7】（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数21()x f x a -=(0a >且1)a ≠过定点（ ）A ．(1,1)B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．1(,1)2【答案】D 【解析】令12102x x -=⇒=，所以函数21()x f x a-=(0a >且1)a ≠过定点1(,1)2． 【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) xy a ＝与xy a-＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．热门考点04 指数函数的性质及应用1.指数函数图象的变化规律指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大． 2.有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【典例8】（2016新课标全国III ）已知，，，则（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】因为，，所以，故选A ．【典例9】（2017·北京高考真题（理））已知函数1()3()3x x f x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】分析：讨论函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xxx xxx f x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xx y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数.故选A.【典例10】(2019·天津河西区一模)已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a ＜2c D ．1＜2a ＋2c ＜2【答案】D【解析】作出函数f (x )＝|2x －1|的图象， 如图所示，因为a ＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，所以必有a ＜0,0＜c ＜1，且|2a －1|＞|2c －1|，所以1－2a ＞2c －1，则2a ＋2c ＜2，且2a ＋2c ＞1，故选D.【典例11】（2019·浙江学军中学高一期中）已知函数1()421x x f x a +=-⋅+． （1）若函数()f x 在[]0,2x ∈上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[]1,2x ∈-上有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）5；（2）1718a ≤≤ 【解析】（1）因为[]0,2x ∈，所以令[]21,4xt =∈，所以得到函数()221f t t at =-+，开口向上，对称轴为t a =，当52a ≤时，则在4t =时，()f t 取最大值，即()()max 48f t f ==-， 所以16818a -+=-，解得258a =，不满足52a ≤，所以舍去，当52a >时，则1t =时，()f t 取最大值，即()()max 18f t f ==-，所以1218a -+=-，解得5a =，满足52a >，综上，a 的值为5.（2）因为[]1,2x ∈-，所以令12,42xm ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以得到函数()221f m m am =-+令()0f m =，得2210m am -+=，即12a m m=+， 所以要使()0f m =有解， 则函数2y a =与函数1y m m=+有交点， 而函数1y m m =+，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,4上单调递增， 故在1x =时，有min 2y =，在4x =时，有max 174y =， 所以可得21724a ≤≤， 所以a 的范围为1718a ≤≤. 【典例12】（2020·上海高三专题练习）已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域．【答案】在(),1-∞-上是增函数，在()1,-+∞上是减函数，值域为10,81⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】根据复合函数单调性“同增异减”的法则，将问题转化为求二次函数的单调递减区间问题.解：令13Uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,225U x x =++，则y 是关于U 的减函数，而U 是(),1-∞-上的减函数，()1,-+∞上的增函数，∴2251 3x xy++⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),1-∞-上是增函数，而在()1,-+∞上是减函数，又∵()2225144U x x x=++=++≥, ∴22513x xy++⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为4110,0,381⎛⎤⎛⎫⎛⎤=⎥⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦⎥⎝⎦．【总结提升】1在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．巩固提升1.（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数1(0,1)xy a a aa=->≠的图象可能是（）．A．B．C ．D ．【答案】D 【解析】∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a <<，所以排除B ，当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D.2．（2020·宾县第二中学高二期末（文））已知,a b ∈R ，则“ln ln a b >”是“11()()33a b<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 ∵ln ln a b > ∴0a b >>∵1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴a b >∵0a b >>是a b >的充分不必要条件∴ln ln a b >是1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的充分不必要条件 故选A3．（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 根据01a <<(01)||x xa y a x =<<,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D.4．（2020·上海高三专题练习）函数()12x f x -的定义域是 （ ） A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．(),0-∞D ．(),-∞+∞【答案】A【解析】120x -≥，解得0x ≤， ∴函数的定义域(],0-∞，故选A.5.（2020·四川省高一期末）设.1084y =，0.728y =，3434y =，则（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．123y y y >>【答案】B 【解析】()20.80.81.16224y ===，()0.70.73 2.12822y ===，()332 1.5443422y ===.因为 2.1 1.6 1.5222>>，故213y y y >>. 故选：B6．（2020·上海高三专题练习）函数f (x )=x a －b 的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0 <a <1，b >0D ．0 <a <1，b <0【答案】C 【解析】从曲线走向结合指数函数的单调性可知0<a<1, 又f (0)=1－b 1<，所以b >0， 故选：C.7．（2020·上海高三专题练习）已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】此题考查指数函数的图像的性质和指数函数的上下平移；有已知得到：此指数函数是减函数，分布在第一，二象限，渐近线是x 轴，即0y =；xy a b =+（1b <-）是由指数函数向下平移大于1个单位得到的，即原来指数函数所过的定点(0,1)向下平移到原点的下方了，所以图像不经过第一象限，所以选A ，如下图所示：8．（2020·上海高三专题练习）若函数1()21x f x =+, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值【答案】A 【解析】设21x t =+，则当(),x ∈-∞+∞时为增函数，且1t >；于是()11121xy t t ==>+为减函数，其图象如图所示： 则故121x y =+为减函数且1y <；图象在y 轴上方，0y >，所以原函数既无最小值，也无最大值.故正确答案为A.9．（2019·天津高三高考模拟）若，则函数的值域是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 将化为，即，解得，所以，所以函数的值域是.故选C.10.（2020·上海高一课时练习）已知实数a ，b 满足01a b <<<，则下列各式中正确的是( ) A ．221333b a b<<B ．122333b a b<<C ．212333a b b<<D ．221333a b b<<【答案】D 【解析】当0α>时，幂函数y x α=在()0,x ∈+∞上为增函数，所以当01a b <<<时有2233a b <， 因为01b <<，所以指数函数xy b =在x ∈R 上为减函数， 因此有 2133b b <， 所以有：221333a b b <<故选：D11.(2018届山东、湖北部分重点中学冲刺（二）)定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】当时，又是奇函数，画出函数的图象，由函数图象可知： ，有个零点，其中有两个零点关于对称，还有两个零点关于对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线与函数，交点的横坐标，即方程的解，，故选C.12.（2015·江苏高考真题）不等式224x x-<的解集为________.【答案】(1,2).- 【解析】,2222,xx-∴<是一个递增函数；故答案为：.13.（2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数3x m y a n -=+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(3,2)，则m n +=______． 【答案】7 【解析】 ∵函数3x my an -=+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点，令0x m -=，可得x m =，2y n =-，可得函数的图象经过定点(),2m n -.再根据函数的图象经过定点()3,2， ∴3m =，22n -=，解得3m =，4n =，则7m n +=， 故答案为：7．14. （2020·湖北省高一期末）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：910.001952=）【答案】10 【解析】设生物组织内原有的碳14含量为x ，需要经过n 个“半衰期”才不能测到碳14，则1121000n x x ⋅<，即10.0012n <， 由参考数据可知，910.001950.0012=>，10110.001950.0009750.00122=⨯=<，所以10n =， 故答案为：10.15.（2015·湖南高考真题（理））已知函数32,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩，，若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】()(),01,-∞⋃+∞ 【解析】∵()()g x f x a =-有两个零点， ∴()f x a =有两个零点，即()y f x =与y a =的图象有两个交点， 由32x x =可得，0x =或1x =．①当1m >时,函数()f x 的图象如图所示，此时存在a 满足题意，故1m >满足题意．②当1m =时,由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意． ③当01m <<时,函数()f x 单调递增，故不符合题意．④0m =时,()f x 单调递增，故不符合题意． ⑤当0m <时,函数()y f x =的图象如图所示,此时存在a 使得()y f x =与y a =有两个交点．综上可得0m <或1m >．所以实数m 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞．16.（2019·上海市高桥中学高一期末）在下列命题中：①两个函数的对应法则和值域相同，则这两个是同一个函数；②()222xxf x -=在R 上单调递增，③若函数()1f x -的定义域为[]0,2，则函数()1f x +的定义域为[]2,0-；④若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；⑤()42222xx f x =+++函数的最小值为4；⑥若关于x 的不等式1202xxm --<在[]0,1区间内恒成立，则实数m 的范围是()0,2其中真命题的序号有_________. 【答案】③ 【解析】对于①：对应法则和值域相同的两个函数，其定义域不一定相同， 如f （x ）＝x 2，x ∈R 与g （x ）＝x 2，x ∈[0，+∞），∴①错误； 对于②： ()222xxf x -=在(),1-∞ 上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增，故②错误；对于③：∵函数()1f x -的定义域为[]0,2，∴111x -≤-≤ ，即()f x 的定义域为[]1,1-，∴111x -≤+≤，即20x -≤≤，∴函数()1f x +的定义域为[]2,0-，∴③正确；对于④：函数f （x ）1x=在定义域上不单调，但函数f （x ）存在反函数，∴④错误； 对于⑤：()42222xxf x =+++，令()222,xt =+∈+∞ 则()4f x t t=+在()2,+∞上单调递增，没有最小值，∴⑤错误. 对于⑥：由|2x ﹣m |12x -＜0，得|2x﹣m |12x ＜，∴11222x x xm --＜＜， 即112222x xx x m -+＜＜在区间[0，1]内恒成立，∵函数f （x ）122xx =-在区间[0，1]内单调递增，∴f （x ）的最大值为32；令g （x ）122xx =+，t ＝2x （1≤t ≤2），则y ＝t 1t+在[1，2]上为增函数，由内函数t ＝2x 为增函数，∴g （x ）122x x =+在区间[0，1]内单调递增，g （x ）的最小值为2．∴322m ＜＜．∴⑥错误.故答案为：③。