二项分布1
二项分布
二项分布科技名词定义中文名称：二项分布英文名称： binomial distribution定义：描述随机现象的一种常用概率分布形式，因与二项式展开式相同而得名。
所属学科：大气科学（一级学科）；气候学（二级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布百科名片二项分布二项分布即重复n 次的伯努里试验。
在每次试验中只有两种可能的结果, 而且是互相对立的，是独立的 , 与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变, 则这一系列试验称为伯努力试验。
目录概念医学定义二项分布的应用条件二项分布的性质与两点分布区别编辑本段概念二项分布（ Binomial Distribution），即重复n 次的伯努力试验（ Bernoulli Experiment）,用ξ表示随机试验的结果.如果事件发生的概率是P, 则不发生的概率q=1-p ， N 次独立重二项分布公式复试验中发生K 次的概率是P( ξ =K)=Cn(k)P(k)q(n-k)注意 !: 第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
那么就说这个属于二项分布..其中 P 称为成功概率。
记作ξ~B(n,p)期望 :E ξ =np方差 :D ξ =npq如果1.在每次试验中只有两种可能的结果 , 而且是互相对立的 ;2.每次实验是独立的 , 与其它各次试验结果无关 ;3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变 , 则这一系列试验称为伯努力试验 .在这试验中 , 事件发生的次数为一随机事件, 它服从二次分布 . 二项分布可二项分布以用于可靠性试验. 可靠性试验常常是投入n 个相同的式样进行试验T 小时 ,而只允许 k 个式样失败 , 应用二项分布可以得到通过试验的概率.若某事件概率为p，现重复试验n 次，该事件发生k 次的概率为:P=C(k,n) ×p^k×(1 -p)^(n-k).C(k,n)表示组合数，即从n 个事物中拿出 k 个的方法数 .编辑本段医学定义在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。
二项分布(1)
高中数学（选修2-3）教学案（19）——二项分布（1）一、课前自主预习1． 情景: 射击n 次，每次射击可能击中目标，也可能不中目标，而且当射击条件不变时，可以认为每次击中目标的概率p 是不变的；抛掷一颗质地均匀的骰子n 次，每一次抛掷可能出现“5”，也可能不出现“5”，而且每次掷出“5”的概率p 都是16；种植n 粒棉花种子，每一粒种子可能出苗，也可能不出苗，其出苗率是67%。
问题 上述试验有什么共同特点？2． 一般地，____________________________________________________________我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。
3．一般地，在n 次独立重复试验中，每次试验事件A 发生的概率均为(01)p p <<，即(),()1P A p P A p q ==-=。
由于试验的独立性，n 次试验中，事件A 在某指定的k 次发生，而在其余n k -次不发生的概率为__________。
又由于在n 次试验中，事件A 恰好发生k (0)k n ≤≤次的概率为______________________________。
它恰好是()n q p +的二项 展开式中的第1k +项。
4．______________________________________________________则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作_____________________。
二、课堂合作探究例1．求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率。
例2．一名学生骑自行车上学，从他到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13。
（1）X 为这名学生在途中遇到的红灯次数，求X 的分布列；（2）设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；（3）求这名 学生在途中至少遇到一次红灯的概率。
超几何分布与二项分布（1）
超⼏何分布与⼆项分布（1）超⼏何分布与⼆项分布数学组冯媛媛【教学⽬标】1.了解超⼏何分布与⼆项分布的概率模型2.掌握超⼏何分布与⼆项分布的概率模型的区别【教学重点】超⼏何分布与⼆项分布的应⽤【教学难点】超⼏何分布与⼆项分布的概率模型的区别【课前预习基础导学】上述超⼏何分布记作X~H(n ，M ，N)。
⼆项分布：⼆项分布应满⾜独⽴重复试验：①每⼀次试验中只有两种结果（要么发⽣，要么不发⽣）. ②任何⼀次试验中发⽣的概率P 都⼀样.③每次试验间是相互独⽴的互不影响的.n 次独⽴重复试验中发⽣k 次的概率是k n k k n q p k P C -==)(ξ上述⼆项分布记作),(~p n B ξ)1(,p np D np E -==ξξ【典题剖析领悟新知】超⼏何分布与⼆项分布是两个⾮常重要的、应⽤⼴泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利⽤这两个概率模型来解决．在实际应⽤中，理解并区分两个概率模型是⾄关重要的．袋中有8个⽩球、2个⿊球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到⿊球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到⿊球的个数Ｙ的分布列；解：（1）有放回抽样时，取到的⿊球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．⼜由于每次取到⿊球的概率均为15，3次取球可以看成3次独⽴重复试验，则1~3,5X B ?? ???()3314()0,1,2,355k k k P X k C k -????=== ?（2）不放回抽样时，取到的⿊球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：()~3,2,10Y H ()328310()0,1,2k k C C P Y k k C -=== 辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因⽽每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独⽴重复试验，此种抽样是⼆项分布模型．⽽不放回抽样时，取出⼀个则总体中就少⼀个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超⼏何分布模型．因此，⼆项分布模型和超⼏何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关⼆项分布和超⼏何分布问题时，仔细阅读、辨析题⽬条件是⾮常重要的．【合作探究⼀】某⼈参加⼀次英语考试，已知在备选题的10道试题中能答出其中的4道题，规定每次考试从备选题中随机抽取3题进⾏测试，求答对题数ξ的分布列及数学期望？解：由题意得0=ξ，1，2，3.ξ服从参数为10=N ,4=M ,3=n 的超⼏何分布.6112020)0(31036====C C P ξ2112060)1(3102614==?==CC C P ξ 10312036)2(3101624==?==C C C P ξ3011204)3(31034====C C P ξ故ξ的分布列5630131032211610=?+?+?+?=ξE 点评：这是⼀道超⼏何分布的题⽬，学⽣在做的时候容易把它看到是⼆项分布问题，把事件发⽣的概率看做是0.4。
二项分布_1
2．互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金 支付成为人们首选的支付方式．某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的 支付方式进行了调查研究．采用调查问卷的方式对 100 名 18 岁以上的成年 人进行了研究，发现共有 60 人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这 60 人中，45 岁以下的占23，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45 岁及以 上的有 30 人． (1)从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人 的年龄低于45岁的概率． (2)某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付 的消费者，商品一律打八折．已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式 的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品时消费者 的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望．
即 P(X＝0)＝C301301－133＝287， P(X＝1)＝C311311－132＝49， P(X＝2)＝C321321－131＝29， P(X＝3)＝C33133＝217. 所以 X 的分布列为
X 0 12 3
P
8 27
4 9
2 9
1 27
(2)第二小组第 7 次试验成功，前面 6 次试验中有 3 次失败，3 次成功，每次试验 又是相互独立的， 因此所求概率为 P＝C631331－133×13＝2116807.
(2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4 min”为事 件 B，“这名学生在上学路上遇到 k 次红灯”为事件 Bk(k＝0,1,2,3,4)．
由题意得 P(B0)＝234＝1861， P(B1)＝C41×131×233＝3821， P(B2)＝C42×132×232＝2841. 所以事件 B 的概率为 P(B)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝89.
二项分布 分布律公式
二项分布分布律公式摘要：一、二项分布简介1.二项分布概念2.二项分布的应用场景二、二项分布的分布律公式1.公式推导2.公式含义解释3.公式应用举例三、二项分布与概率论的关系1.二项分布与概率的关系2.二项分布与其他分布的关系四、结论1.对二项分布的理解和掌握2.对二项分布应用的建议和展望正文：一、二项分布简介二项分布，是离散型概率分布的一种，描述了在n 次独立重复试验中，成功次数k 的概率分布。
它的名字来源于二项式定理，是概率论中非常重要的一个分布。
二项分布的应用场景非常广泛，例如：掷骰子的点数、抽奖中奖的概率、产品检验中的合格率等，都可以用二项分布来描述。
二、二项分布的分布律公式二项分布的分布律公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中，P(X=k) 表示成功次数为k 的概率，C(n, k) 表示从n 个元素中选取k 个元素的组合数，p 表示每次试验中成功的概率，n 表示试验次数。
公式推导：假设成功的概率为p，失败的概率为1-p，那么在n 次独立重复试验中，成功次数k 的概率可以表示为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(n-k)。
公式含义解释：P(X=k) 表示在n 次独立重复试验中，成功次数为k 的概率。
C(n, k) 表示从n 个元素中选取k 个元素的组合数，反映了试验的组合方式。
p^k 表示每次试验中成功的概率，(1-p)^(n-k) 表示每次试验中失败的概率。
公式应用举例：假设有一个产品检验过程，每次检验成功的概率为0.8，失败的概率为0.2。
现在进行5 次独立重复检验，求成功次数为3 次的概率。
根据公式，P(X=3) = C(5, 3) * 0.8^3 * 0.2^2 = 10 * 0.512 * 0.04 =0.2048。
三、二项分布与概率论的关系二项分布与概率的关系密切，它是概率论中最基本的分布之一。
二项分布与其他分布的关系也很重要，例如，当n 趋近于无穷大时，二项分布可以近似为正态分布。
独立重复试验与二项分布(1)
（其中k = 0，1，2，· · · ，n ）
数学运用
填写下列表格：
姚明投中 次数X 相应的 概率P
0
1
2
3
4
与二项式定 理有联系吗?
n k
随机变量X的分布列:
P( X k ) C p (1 p)
k n k
（其中k = 0，1，2，· · · ，n ）
记为X
B （n,p)
例题讲解：
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3
由于事件 A1 A2 A3 , A1 A2 A3和A1 A2 A3 彼此互斥，由概率加法公式 得
P(B1 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) q2 p q2 p q2 p 3q2 p
探究
投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖 向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次 针尖向上的概率是多少？
连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验。用 Ai (i 1, 2,3) 表示第i次掷得针尖向上的事件，用 B1 表示“仅出现一次针尖 向上”的事件，则 B ( A A A ) ( A A A ) ( A A A ).
P(B1 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) 3q2 p,
P(B2 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) 3qp2 ,
P(B3 ) P( A1 A2 A3 ) p3.
例1：在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的 投保人的死亡率，假如每个投保人能活到65岁 的概率为0.6，试问3个投保人中： （1）全部活到65岁的概率； （2）有2个活到65岁的概率； （3）有1个活到65岁的概率。
二项分布知识点
二项分布知识点对于很多人来说，二项分布可能是一个比较陌生的概念。
但实际上，它是概率论中非常重要的一种概率分布，常常被应用于实际问题的解决中。
一、二项分布的定义二项分布（Binomial distribution）是一种离散型概率分布，它描述的是独立重复试验中成功次数的概率分布。
其中，“独立”指的是每次试验不会受到前一次试验结果的影响，“重复”指的是试验可以进行多次，“成功”指的是每次试验成功的概率。
二项分布的数学表达式为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功的次数为k的概率，n表示试验次数，p 表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。
二、二项分布的性质1. 期望值与方差二项分布的期望值与方差分别为：E(X) = npVar(X) = np(1-p)其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
2. 大数定理大数定理是概率论中的一条基本定理，用于描述随机事件的平均值会随着实验次数的增加而趋于稳定。
在二项分布中，当试验次数n越大，成功概率p越小时，二项分布越趋近于正态分布。
3. 中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一条重要定理，用于描述当随机事件独立重复多次时，这些事件的和的分布趋近于正态分布。
在二项分布中，当试验次数n越大时，二项分布的形状趋近于正态分布。
三、二项分布的应用二项分布常常应用于实际生活中的问题中，例如：1. 产品合格率问题假设一个工厂制造的产品合格率为90%，每生产100个产品取样检验，成功率不变，求生产的100个产品中至少有95%产品合格的概率。
解：由于每个产品是否合格是一个二项分布，因此可以使用二项分布来求解。
令X为合格的数量，n=100，p=0.9，由于要求至少95%的合格率，因此可以计算X≥95的概率：P(X≥95) = 1 - P(X<95) = 1 - Σ i=0…94 (100 i) * 0.9^i * 0.1^(100-i) ≈ 0.021因此，生产的100个产品中至少有95%产品合格的概率为2.1%左右。
二项分布(1)
选修2—3 第2章 概率§2.4 二项分布（理科） （第1课时） 总第34教案一、【教学目标】1、理解n 次独立重复试验的模型（n 重伯努利试验）及其意义。
2、理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
二、【知识要点】1、解读n 次独立重复试验2、对公式k n k kn n p p C k P --=)1()(的理解要注意哪些问题？3、如何理解二项分布？三、【实例分析】例1、求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率。
变题：“随机抛掷100次均匀硬币正好出现50次反面”的概率是多少？例2、某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），求：（1）至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？例3、在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是32。
（1）求油罐被引爆的概率；（2）如果引爆油罐或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 不小于4的概率。
例4、某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数X 的概率分布列。
四、【课堂练习】1、某种灯泡使用寿命在1000h 以上的概率为0.2，求3个灯泡使用1000h 后，至多只坏一个的概率。
2、甲、乙、丙3人独立地破译一密码，每人译出此密码的概率均为0.25，假定随机变量X 表示译出此密码的人数。
（1）写出X 的分布列； （2）密码被译出的概率是多少？3、对患某种病的人，假定施行手术的生存率是70%，现有8个这种病人施行该种手术，设X 为8个病人中生存下来的人数。
（1）求P （X=7）； （2）写出X 的概率分布。
课 后 作 业1、某批量较大的产品的次品率为10%，从中任意连续取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是 。
2、口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列:}{n a ⎩⎨⎧-=次摸取白球，第次摸取红球，第n n a n 11，如果n S 为数列}{n a 的前n 项和，那么37=S 的概率为 。
二项分布1
§4.二项分布（1）姓名 日期 .教学目标：知识与技能：理解n 次独立重复试验模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题. 教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算.【预习案】二项分布：进行n 次试验，如果满足以下条件：（1） 每次试验只有 个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；（2） 每次试验“成功”的概率均为p, “失败”的概率均为 ；（3） 各次试验是相互独立的.用X 表示这n 次试验中成功的次数，则()(1)(0,1,2,....,)k k n k n P X k C p p k n -==-=若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数n,p 的二项分布，简记为X~B(n,p)。
【探究案】例1．某射手每次射击击中目标的概率是0.8,求这名射手在 10 次射击中,(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)例2．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．例3．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．例4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率例5．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？【训练案】1．将一枚硬币连续抛掷5次,则正面向上的次数X 的分布为（ ）（A ） X ～B ( 5，0.5 )（B ） X ～B (0.5，5 ) （C ） X ～B ( 2，0.5 ) （D ） X ～B ( 5，1 )2．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p -3．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）4．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．5．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为 ．6.某人考试，共有5题,解对4题为及格，若他解一道题正确率为0.6，则他及格概率（ ）（A ） 12581 （B ） 62581 （C ） 31251053 （D ）625243 7.某人掷一粒骰子6次，有4次以上出现5点或6点时为赢，则这人赢的可能性有多大？。
二项分布1.
问题情境
1.射击n次，每一次可能击中目标，也可能不中目标， 而且当射击条件不变时，可以认为每次击中目标的 概率p是不变的.
2.投掷一枚质地均匀的骰子n次，每一次投掷可能出 现“5”，也可能不出现“5”，而且每次掷出“5”的 概率p都是不变的（1/6）.
3.种植n粒棉花种子，每一粒可能出苗，也可能不出 苗，出苗率p都是不变的（67%）.
随机变量X的概率分布为：
X
0
1
2
3
P
C30q3 C31 pq2 C32 p2q
C33 p3
学习新知
1.一般地，由n次独立重复试验中，每次试验事件A发生 的概率均为p(0<p<1)，即 P(A) p, P(A) 1 p q，则 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤ n)次的 概率为：
典型例题
1.求随机投掷100次均匀硬币，正好出现50次正面 向上的概率.
解：设X为抛掷100次硬币出现正面的次数， 则X~B(100,0.5).
所以：P( X
50)
C 50 100
p q 50 10050
C 50 100
0.5100
8%
答：随机抛掷100次均匀硬币，出现50次正面的 概率约为8%.
学习新知
一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完 成，每次试验的结果仅两种对立的状态，即A与B, 每次试验中P(A)=p>0，将这样的试验称为n次独立 重复试验.
也称伯努利试验(Bernoulli trials 瑞士数学家)
伯努利试验中，每次试验只有两种结果，即某事件 要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事 件发生的概率都是一样的.
医学统计学第11讲 二项分布及其应用(一、二)
Binomial distribution
二项分布
在医学上常遇到一些事物，其结局只有两种 互相对立的结果。
如在毒理试验中，动物的生存与死亡；在动物诱 癌试验中，动物的发癌与不发癌；在临床治疗中， 病人的治愈与未愈；理化检验结果的阴性与阳性 等等。均表现为两种互相对立的结果，每个个体 的观察结果只能取其中之一。
当π＜0.5时，分布呈正偏态； 当 π＞0.5时，分布呈负偏态。 特别是当n不是很大时，π偏离 0.5越远，分布越偏
随着n的增大，二项分布逐渐接近正态 分布。 一般地说，如果
n 5且n(1 ) 5
常可用正态近似原理处理二项分布问题， 以简化计算。
二项分布的应用条件
①观察单位数n必须事先确定。 ②各观察单位只能有互相对立的两种 结果之一。 如阳性或阴性，生存或死亡等， 不允许考虑“可疑”等模糊结果，属 于二分类资料。
例：一种鸭通常感染某种传染病的概率是0.2，现 将一种药物注射到25只鸭后发现有1只鸭发生感染， 试判断这种药物对预防感染是否有效。 H0 ：此药物对预防感染无效，即 = 0.2 H1 ：此药物对预防感染有效，即 <0.01 单侧＝0.05 在H0成立的前提下，25只鸭中感染的只数X~B(25,0.2)， 则有
0.155 5 0.154 0.85 0.0022
二项分布的图形
在正态分布或其他连续性分布中， 常用分布曲线下的面积表示某区间 的概率；在二项分布中，则用线段 的长短表示取某变量值时的概率。
二项分布图形形状取决于n和π的大小。
当π＝0.5时，分布对称；
当π ≠0.5时，分布呈偏态；
合并率
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例： 某医院肿瘤科3 年中共治疗乳腺癌患者n=131例，每例均观察满
二项分布概念
二项分布概念
二项分布是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布。
它是由贝努里始创的，所以又叫贝努里分布。
二项分布是指统计变量中只有性质不同的两项群体的概率分布。
所谓两项群体是按两种不同性质划分的统计变量，是二项试验的结果。
即各个变量都可归为两个不同性质中的一个，两个观测值是对立的。
因而两项分布又可说是两个对立事件的概率分布。
二项分布的性质：
二项分布是离散型分布，概率直方图是跃阶式的。
因为x为不连续变量，用概率条图表示更合适，用直方图表示只是为了更形象些。
1、当p＝q时图形是对称的
例2 (p + q)6，p=q＝1/2，各项的概率可写作：
p6 + 6p5q + 15p4q2 + 20p3q3 + 15p2q4 + 6plq5 + q6
= 1/64+6/64+15/64+20/64+15/64+6/64+1/64
= 1
2、当p≠q时，直方图呈偏态，p<q与p>q的偏斜方向相反。
如果n很大，即使p≠q，偏态逐渐降低，最终成正态分布，二项分布的极限分布为正态分布。
故当n很大时，二项分布的概率可用正态分布的概率作为近
似值。
何谓n很大呢?一般规定：当p<q且np≥5，或p>q且nq ≥5，这时的n就被认为很大，可以用正态分布的概率作为近似值了。
高中数学二项分布公式
高中数学二项分布公式二项分布是概率论中的一种离散型概率分布，常用于描述在重复n次独立实验中，成功事件发生的次数的概率情况。
该分布的概率质量函数可以使用二项分布公式来计算。
二项分布公式是一个计算二项分布概率的公式，表达为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)是成功事件发生k次的概率；n是独立实验的次数；k 是成功事件发生的次数；C(n,k)是组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合方式数；p是单次独立实验中成功事件发生的概率；(1-p)是单次独立实验中失败事件发生的概率。
下面将从推导二项分布公式的过程、使用公式计算概率、二项分布的特性等方面，详细介绍和阐述二项分布公式。
1.二项分布公式的推导二项分布的概率质量函数可以使用二项分布公式计算得到。
其推导思路如下：首先，考虑在n次独立实验中，成功事件发生的次数为k，失败事件发生的次数为n-k，由乘法原理可知，成功和失败交替出现的次序共有(n!)/(k!(n-k)!)种可能。
其次，针对每一种可能，成功事件发生的概率为p^k，失败事件发生的概率为(1-p)^(n-k)。
所以，成功事件发生k次的概率为(C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k))。
2.使用二项分布公式计算概率二项分布公式可以用于计算成功事件发生k次的概率。
具体操作如下：首先，确定n、k、p的值，分别表示独立实验的次数、成功事件发生的次数、单次实验中成功事件发生的概率。
然后，代入二项分布公式，计算C(n,k)，p^k，(1-p)^(n-k)并进行相乘运算，从而得到P(X=k)的值，即成功事件发生k次的概率。
3.二项分布的特性除了可以通过二项分布公式计算概率外，二项分布还具有一些特性-成功事件发生的次数k可以是0到n之间的任意整数，即二项分布的支撑集合为{0,1,2,...,n}。
-成功事件发生的概率随着k的增加呈现出单调递减的趋势，即k越大，发生k次成功的概率越小。
3.4二项分布(1)
【课题】 3．4二项分布（一）
【教学目标】
知识目标：
理解独立重复试验的概念． 能力目标：
学生的数学计算技能和数学思维能力得到提高．
【教学重点】
独立重复试验的概念．
【教学难点】
伯努利公式．
【教学设计】
直接利用“有放回”的抽取球的实验，引入独立重复试验的概念．采用“有放回”的方法，从袋中连续抽取球的实验，是典型的“独立重复试验”．判定一个随机试验是否为独立重复试验有以下两个条件：（1）实验是重复进行的；（2）重复进行的试验是相互独立的．独立重复试验的结果有可能是多个，如果在n 次独立试验中，如果每次试验的可能结果只有两个，且它们相互对立，即只考虑两个事件A 和A ，并且在每次实验中，事件A 发生的概率都不变．这样的n 次独立试验叫做n 次伯努利实验．直接给出伯努利公式：如果在每次实验中事件A 发生的概率为()P A p =，事件A 不发生的概率()1P A p =-，那么，在n 次伯努利
实验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)k k n k n n P k C p p -=⋅⋅- ．例1是应用伯努利公式
的计算题．要注意，首先要判断是否为伯努利实验，然后找出公式中的p ，即事件发生的概率，再确定n 和k 的值，最后按照公式进行计算．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
【教师教学后记】。
超几何分布、二项分布、正态分布[1]
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超几何分布、二项分布、正态分布1、超几何分布：一般地，若一个随机变量x的分布列为：P(x＝r)＝①其中r＝0，1，2，3，…… ，，＝min(n，M)，则称x服从超几何分布。
记作x～H(n，M，N)，并将P(x＝r)＝，记为H(r，n，M，N)。
如：在一批数量为N件的产品中共有M件不合格品，从中随机取出的n件产品中，不合格品数x的概率分布列如表一所示：(表一)其中＝min(n，M)，满足超几何分布。
2、伯努利试验(n次独立重复试验)，在n 次相互独立试验中，每次试验的结果仅有两种对立的结果A与出现，P(A)＝p∈(0，1)，这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。
P()＝1－p＝q，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率(0≤k≤n)为P(k)＝(k＝0，1，2，3，……，n)，它恰好是(q＋p)n的二项展开式中的第k＋1项。
3、二项分布：若随机变量x的分布列为p(x＝k)＝，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k ＝0，1，2，……，n，则称x服从参数为n、p的二项分布，记作x～B(n，p)。
如：n次射击中，击中目标k次的试验或投掷骰子n次，出现k次数字5的试验等均满足二项分布。
3、正态分布曲线。
(1)概率密度曲线：当数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，则称此曲线为概率密度曲线。
(2)正态密度曲线：概率密度曲线对应表达式为P(x)＝(x∈R)的曲线称之为正态密度曲线。
正态密度曲线图象特征：①当x＜μ时曲线上升；当x＞μ时曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线。
②正态曲线关于直线x＝μ对称。
③σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡。
④在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1。
4、正态分布：若x是一个随机变量，对任意区间，P恰好是正态密度曲线下方和x轴上上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量x服从参数为μ和σ的正态分布，简记为x～N(μ，σ2)。
01分布和二项分布的关系(二)
01分布和二项分布的关系(二)01分布和二项分布的关系01分布01分布是一种离散随机变量的概率分布。
它只有两个可能的取值，分别为0和1。
当随机变量取值为1的概率为p时，取值为0的概率就是1-p。
用数学公式表示为：P(X=0)=1-p，P(X=1)=p。
其中，p是取值为1的概率。
二项分布二项分布是一种离散随机变量的分布，用于描述成功与失败的次数。
它模拟了一组独立的重复试验，在每次试验中，成功的概率都是相同的。
每次试验只有两个可能的结果，成功或失败。
二项分布与01分布的关系二项分布可以被看作是多次独立的01分布的累加。
在进行n次试验后，二项分布随机变量X的取值表示成功的次数，而失败的次数就是n减去成功的次数。
例如，假设进行了5次独立试验，每次试验成功的概率为p。
对于二项分布随机变量X来说，它的取值可能是0、1、2、3、4或5。
这些取值分别对应着成功的次数为0、1、2、3、4或5次。
二项分布的概率质量函数二项分布的概率质量函数可以通过组合数的方式计算出来。
概率质量函数可以用数学公式表示为：P(X=k)=C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)。
其中，n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率。
二项分布的期望和方差二项分布的期望和方差可以通过以下公式计算得到：期望：E(X) = n * p方差：Var(X) = n * p * (1-p)总结综上所述，01分布和二项分布是密切相关的概念。
01分布是二项分布中每次试验的基础，而二项分布则是多次试验后的累加结果。
了解这两个概念的关系，有助于我们更好地理解概率分布以及在实际问题中的应用。
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XB(n,p) （2）能力总结: ① 分清事件类型； ② 转化复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件.
（3）思想方法:
① 分类讨论、归纳与演绎的方法； ② 辩证思想.
作业
1）书面作业：课本58页第1,2,3题；
2）阅读作业: 教材本节P58探究与发现；
3）弹性作业：二项分布与几何分布的关系.
P( X k ) C p (1 p) (k 0,1, 2,n) 则称随机变量X服从二项分布, 记作 XB(n,p)，并称P为成功的概率。
k n k n k
定义的理解
• 1).公式适用的条件 • 2).公式的结构特征
事件 A 发生的概率
k n
n次独立重复实验
事件A发生的概率
k n k
学生运用：
例题 投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为P，则
针尖向下的概率q=1-P，连续掷一枚图钉3次，设
X表示出现针尖向上的次数.探讨X的取值.并求出
各种情况对应的概率是多少？完成下表.
先小组讨论，然后把结论在 全班交流.
学生归纳: 设Ai表示事件“第i次掷得针尖向上” (i=1、2、3） X的 取值 事件 情况 概率 计算
n次重复
相互独立 对立两方面
每次概率相同
定义：在相同条件下重复做的n次试
验称为n次独立重复试验。
次独立重复试验应满足的条件:
概念理解
• 判断下列试验是不是独立重复试验：
1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上； 2).某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击 了10次,其中6次击中; 3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中不放回 抽取5个球,恰好抽出4个白球; 4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回 的抽取5个球,恰好抽出4个白球。
0
1
A A2 A3 1 A A2 A3 1 A A2 A3 1
2
A A2 A3 1 A A2 A3 1 A A2 A3 1
3
A1 A2 A3
A1 A2 A3q Nhomakorabea3
3p q
1 2
3p q
2
p
3 0 3
3
公式 猜想
0 C3 q3 p0
1 C3 q 2 p1 C32q1 p2
Cq p
3
每次试验 可能结果 是对立的两方面 A 与 A 与 事件A发生的概率.
2、 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体
比 赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就 算胜出并停止比赛）． ⑴试求甲打完5局才能取胜的概率．
⑵按比赛规则甲获胜的概率．
（1）知识小结: 独立重复试验
学生评价
随机变量X
事件A发生的次数 整体 二项分布
两个对立的结果
每次事件A发生概率相同 n次试验事件A发生k次
§2.2.3独立重复试验与二项分布
学生探究: 1 求“重复抛一枚硬币 5 次,其中有3次正面向上” 的概率.
2 求“重复掷一粒骰子3次,其中有2次出现 1 点
的概率. 相同点
重复做同一件事 前提条件相同 都有两个对立的结果
“硬币”与“骰 子” “5”与“3” …… ……
不相同
学生归纳：
模 型
独立重 复试验
Pn ( k ) C p (1 p)
实验总次数 事件 A 发生的次数
（其中k = 0，1，2，·，n ） · ·
练习：1、某射手每次射击击中目标的 概率是0.8 。求这名射手在4次射击中，
（1）恰有2次击中目标的概率; （2）至少有2次击中目标的概率;
（3）中的比不中的多的概率； （4）射中目标的次数X的分布列.
相同
学 生 小 结
n次独立重复试验
事件A恰好发生k次的概率 P( X k ) Cnk pk (1 p)nk 离散型随机变量X （事件A发生的次数） 服从二项分布．
二项分布定义
任意一次试验中，只有事件A发生和不发 生两种结果，概率分别是:p和1-p. 若在相同的条件下，进行n次独立重复试 验，设这n次试验中事件A发生的次数X ，在每 次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独 立重复试验中，事件A恰好发生 k 次的概率为