高中数学基本不等式的解法十例

高中数学基本不等式问题求解十例
一、基本不等式的基础形式
1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。

2
．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。

3
．常考不等式：2
222
1122a b a b ab ++⎛⎫≥≥≥ ⎪⎝⎭+
，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。

二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路：
（1）积定和最小：若ab 是定值，那么当且仅当a b =时，(
)min a b +=。

其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2
max 2a b ab +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，其中,a b R ∈。

例题1：若实数,a b 满足221a
b
+=，则a b +的最大值是 ．
解析：很明显，和为定，
当且仅当1a b ==-时取等号。

变式：函数1
(0,1)x y a
a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1mx ny +=上，则mn 的最大值为______。

解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中可得1m n +=，明显，和为
12m n ==时取等号。

例题2：已知函数()2
122
x
x f x +=+
，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________．
解析：很明显，积为定，
当且仅当2
1212
x x x +=
⇒=-时
取等号。

变式：已知2x >-，则1
2
x x +
+的最小值为 。

解析：由题意可得()1
20,212
x x x +>+⨯=+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：
，当且仅当1
22112
x x x x +=⇒+=⇒=-+时取等号，此时可得
例题3：若对任意x>0，
x
x2＋3x＋1
≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：
解法1：
和最小的法则可得
当且仅
取等号。

故而可得分式的分
母
解法2：
故而可
得。

故而分
母，代入分式函数取倒数可
得
问题2：“1”的代换
例题4：若两个正实数x、y满足
14
1
x y
+=，且不等式23
4
y
x m m
+-
＜有解，则实数m的取值范围是。

解析：由题意可得
14
1
x y
+=，左边乘以
14
1
x y
+=可得：
14
4
41
y
x
x y
y
x
⎛⎫
⎛⎫
++
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
+=，化简可得：
144
11
44
y y x
x
x y x y
⎛⎫
⎛⎫
++=+++
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
，很明显
4
4
y x
x y
+中积为定值，根据积定和最小的法则可得
：
4
2
4
y x
x y
+≥=，当且仅当
2
4
1
8
4
x
y x
y
x y
=
⎧
==⇒⎨
=
⎩
时取等号。

故而可得
14
4
4
y
x
x y
⎛⎫
⎛⎫
++≥
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭。

不等式
23
4
y
x m m
+-
＜有解，亦即2
min
34
4
y
m m x
⎛⎫
->+=
⎪
⎝⎭
，亦即2340
m m
-->，解得4
m>或者1
m<-，故而可
得()(),14,m ∈-∞-⋃+∞。

变式：若0x ≥， 0y ≥，且
12
22x y x y
+=++，则43x y +的最小值为__________．
解析：由()()2243x y x y x y +++=+，化简题干条件可得
14
2222x y x y
+=++乘以所求内容可得：
()()1414432222222224322
x y x y x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫
++++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭+==，化简后可得：
()422241
222432
x y x y x y x y
x y ++++++++=，很明显()4222222x y x y x y x y +++++中二者积为定值，根据积定和最小法则可
得()
42224222x y x y
x y x y +++≥=++，当且仅当()42222222x y x y x y x y ++==++，亦即0
32x y =⎧⎪⎨=
⎪⎩
时取
问题3：方程中的基本不等式
解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。

例题5：（2015·湖南高考）若实数a ，b 满足1a ＋2
b ＝ab ，则ab 的最小值为__________．
解析：
由题意可知可以利用基本不等式，根据基本不等式可得：
12a b =
+≥=
，当且仅当122b a a b =
⇒=时取等号，化简后可得：ab =1
4
5
4
22a b ⎧
=⎪⎨⎪=⎩
变式：若lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，则xy 的最小值为__________．
解析：将题干条件化简可得：()()lg 3lg 131x y x y xy x y ⋅=++⇒=++，由题意需要求解
xy ，故而可知利用不等式x y
+≥，将条件化简可得：31xy x y -=+≥当且仅当x
y =
时等号成立，化简上式可得
(
)
3101
1011xy xy --≥⇒+≥⇒≥⇒≥，此时1x y ==
问题4：含参基本不等式问题
解题思路：利用含参不等式的解法求解即可。

例题6：已知
22224
1a a x x x
++≤+-对于任意的()1,x ∈+∞恒成立，则（ ） A ．a 的最小值为3- B ．a 的最小值为4-
C ．a 的最大值为2
D ．a 的最大值为4
解析：由题意可知参数为a ，将自变量移项可得：22
44
221x a a x x x x x ++≤
+=+--，观察等式右侧，可知等式右侧经配凑可得积为定值，根据积定和最小可得：
4141x x +-≥=-，当且仅当4131x x x =-=⇒=-时取等号，此时可得min
451x x ⎛⎫
+= ⎪-⎝⎭。

由24221a a x x ++≤+-对于任意的()1,x ∈+∞恒成立可得：2
min
42251a a x x ⎛⎫
++≤+=
⎪-⎝⎭，化简可得()()310a a +-≤，解得31a -≤≤。

变式6：已知a >0，b >0，若不等式22182m m
a b a b
-+≥+恒成立，则m 的取值范围是 。

解析：由题意可知参数为m ，将双自变量a 、b 移项可得：()2
2182m m a b a b ⎛⎫
-≤++
⎪⎝
⎭恒成立，故而可得()2min
2182m m a b a b ⎡⎤⎛⎫-≤++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，
将不等式右侧化简可得()212225b a a b a b a b ⎛⎫
++=++ ⎪⎝⎭，很明显积为定值，根据积定和最小法则可得
：
224b a a b +≥=，当且仅当221b a
a b a b
=⇒==时取等号。

故而()min
2129a b a b ⎡⎤⎛⎫++= ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦，代入不等式中可得289m m -≤化简为()()910m m -+≤解不等式可得19m -≤≤。

问题5：不等式与其他问题结合
（向量与不等式）例题7：已知(0,0)OA aOB bOC a b =+>>，且,,A B C 三点在同一条直线上，则11
a b
+的最小值为_________．
解析：由三点共线可得1a b +=，观察形式采用“1”
积为定值，
故而可
ABC C a b c ∆=++≤。