高考全国卷数学试题及答案

高考试题

（理工农医类）

一、选择题:在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 把所选项前的字母填在题后括号内.

【】

【】

(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S, 那么圆柱的体积等于

【】

(4)方程sin2x=sinx在区间(0, 2π)内的解的个数

是

(A)1(B)2(C)3(D)4【】

(5)【】

【】

(A){-2, 4}(B){-2, 0, 4}

(C){-2, 0, 2, 4}(D){-4, -2, 0, 4}

(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称, 那么【】

(C)a=3, b=-2(D)a=3, b=6

【】

(A)圆(B)椭圆

(C)双曲线的一支(D)抛物线

【】

(B){(2, 3)}

(C)(2, 3)(D){(x, y)│y=x+1}

【】

(11)如图, 正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,

如果E、F分别为SC、AB的中点, 那么异面直线EF

与SA所成的角等于【】

(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°

(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a, b满足│a－b

│<2h;命题乙为:两个实数a, b满足│a－1│

b-1│

(A)甲是乙的充分条件, 但不是乙的必要条件

(B)甲是乙的必要条件, 但不是乙的充分条件

(C)甲是乙的充分条件

(D)甲不是乙的充分条件, 也不是乙的必要条件

(13)A, B, C, D, E五人并排站成一排, 如果B必须站在A的右边（A, B可以不相邻）, 那么不同的排法共有【】

(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种

(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有【】

(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个

(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称, 那么C＇所对应的函数是【】

(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)

(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)

二、填空题:把答案填在题中横线上.

(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中, x2的系数等

于.

(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列, 如果S n是{a n}的前n项的和,

那

(20)如图, 三棱柱ABC－A1B1C1中, 若E、F分别为

AB、AC

的中点, 平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部

分, 那么V1:V2＝.

(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.

三、解答题.

(21)有四个数, 其中前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 并且第一个数与第四个数的和是16, 第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.

(23)如图, 在三棱锥S-ABC中, SA⊥底面ABC, AB⊥BC．DE 垂直平分SC, 且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB, SB＝BC.求以BD为棱, 以BDE与BDC为面的二面角的度数.

(24)设a≥0, 在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.

n≥2.

(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞, 1]时有意义, 求a的取值范围; (Ⅱ)如果a∈(0, 1], 证明2f(x)

1990年试题（理工农医类）答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.

(1)A(2)B(3)D(4)C(5)C(6)B (7)A(8)D(9)B

(10)D(11)C(12)B (13)B(14)C(15)D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

三、解答题.

(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.

解法一:

①

由②式得d=12-2a.③

整理得a2-13a+36=0

解得a1=4, a2=9.

代入③式得d1=4, d2=-6.

从而得所求四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.

解法二:设四个数依次为x, y, 12-y, 16-x①

由①式得x=3y-12.③

将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,

整理得y2-13y+36=0.

解得y1=4, y2=9.

代入③式得x1=0, x2=15.

从而得所求四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.

(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.

解法一:由已知得

解法二:如图, 不妨设0≤α≤β＜2π, 且点A的坐标是（cosα, sinα）, 点B的坐标是（cosβ, sinβ）, 则点A, B在单

位圆x2+y2=1上.连结

连结OC, 于是OC⊥AB, 若设点D的坐标是（1, 0）, 再连结OA, OB, 则有

解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).

将②式代入①式, 可得sin(α-)=sin(-β).

于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),

或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).

若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z), 则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).

于是sinα=-sinβ, 即sinα+sinβ=0.

由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),

即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).

所以

(23)本小题考查直线和平面, 直线和直线的位置关系, 二面角等基本知识, 以及逻辑推理能力和空间想象能力.

解法一:由于SB＝BC, 且E是SC的中点, 因此BE是等腰三角形SBC 的底边SC的中线, 所以SC⊥BE.

又已知SC⊥DE, BE∩DE＝E,

∴SC⊥面BDE,

∴SC⊥BD.

又∵SA⊥底面ABC, BD在底面ABC上,

∴SA⊥BD.

而SC∩SA＝S, ∴BD⊥面SAC.

∵DE＝面SAC∩面BDE, DC＝面SAC∩面BDC,

∴BD⊥DE, BD⊥DC.

∴∠EDC是所求的二面角的平面角.

∵SA⊥底面ABC, ∴SA⊥AB, SA⊥AC.

设SA＝a,

又因为AB⊥BC,

∴∠ACS＝30°.