三角函数图像的对称轴对称中心
第60课--求三角函数的对称轴或对称中心
第60课求三角函数的对称轴或对称中心基本方法：将问题转化为单一名称的三角函数，再求三角函数的对称轴或对称中心(1)函数sin y x =的对称性对称轴：ππ()2x k k =+∈Z ，对称中心：(π,0)()k k ∈Z (2)函数cos y x =的对称性对称轴：π()x k k =∈Z ，对称中心：π(π,0)()2k k +∈Z (3)函数tan y x =的对称性对称中心：π(,0)()2k k ∈Z 一、典型例题1.将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，求所得新函数的对称轴方程和对称中心的坐标.答案：对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z ，对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z 解析：将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，得到ππcos[4(]66y x =-+，即πcos(4)sin 42y x x =-=图像.sin 4y x =的图像纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到sin 2y x =的图像.令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以sin 2y x =的对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z .令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z .2.已知函数()()πsin 2(0,)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期为π，它的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭,求函数()y f x =图象的对称轴方程.答案：2π512πk x k =+∈Z ，解析：由题得()2=22πππππ6k k Z ωωϕϕ⎧⎪⎪⎪⋅+=∈⎨⎪⎪<⎪⎩，π1,3ωϕ∴==-，所以()sin(2)3f x x π=-．令()232x k k ππ-=π+∈Z ，得()5122k x k =π+π∈Z ，即()y f x =的对称轴方程为()5122k x k =π+π∈Z .二、课堂练习1.已知函数())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.求函数()f x 图象的对称轴方程.答案：() 848k x k Z π5π=+∈.解析：())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭12sin8cos4cos422x x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭)cos8sin4cos4x xx x +))sin8cos4cos4cos8sin4cos4x x x x x x x x =+-+)()+cos4sin8cos4cos8sin4x x x x x x =-)()cos4sin 84x x x x =+-)cos4sin4x x x =+24sin4cos4x x x =+1cos81sin822x x -=+1sin82x x =-+sin 83x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令()8+32x k k ππ-=π∈Z ，得()848k x k Z π5π=+∈.所以函数()f x 图象的对称轴方程为()848k x k Z π5π=+∈.2.函数()()sin 04,4f x x x ωωπ⎛⎫=-<<∈ ⎪⎝⎭R 的一条对称轴为38x π=，求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：22解析：由题意()sin 4f x x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭一条对称轴为38x π=，得()3842k k ωπππ⨯-=π+∈Z ，解得2ω=，()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2sin 2sin 44442f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.三、课后作业1.求函数π2tan(26y x =-的对称中心坐标.答案：ππ(,0)()124k k +∈Z 解析：令ππ2()62k x k -=∈Z ，解得ππ()124k x k =+∈Z ，故π2tan(26y x =-的对称中心坐标为ππ(,0)()124k k +∈Z .2.已知函数()2sin sin 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R .求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称中心.答案：最小正周期为π，对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 解析：()2sin sin 2sin sin 63626f x x x x x πππ⎡ππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin cos 66x x ππ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为22π=π.令π2π()3x k k -=∈Z ，解得()62k k x ππ+=∈Z ，所以对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .3.将函数2()cos 2cos ()f x x x x x =+∈R 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 图像，求()g x 的对称轴方程和对称中心坐标.答案：对称轴为直线π,()2k x k =∈Z ，对称中心为ππ(,0)()42k k +∈Z解析：2()cos 2cos f x x x x =+2cos21x x =++π2sin(216x =++，将函数()f x 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的解析式为ππ()2sin[2()]112cos 266g x x x =+++-=.令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以()g x 的对称轴方程为π()2k x k =∈Z .令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以对称中心坐标为ππ(,0)()42k k +∈Z .。
三角函数的像对称性与对称轴分析
三角函数的像对称性与对称轴分析三角函数是数学中常见的函数类型之一，它包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
其中，正弦函数和余弦函数在图像上展现出像对称性，并且在对称轴上具有特殊的性质。
本文将着重分析三角函数的像对称性以及对称轴的特点。
一、正弦函数的像对称性与对称轴分析正弦函数的表达式为：y = sin(x)。
我们可以通过对其图像进行观察来探究其像对称性和对称轴的情况。
1. 像对称性观察正弦函数的图像，我们可以发现它在原点（0,0）处具有像对称性。
即，对于任意实数a，都有sin(-a) = -sin(a)。
这意味着，如果一个角度a使得sin(a)等于某个特定的值，那么角度-a也将使得sin(-a)等于这个特定的值。
这种像对称性在数学运算和图像分析中具有重要的作用。
2. 对称轴正弦函数的图像相对于x轴是关于原点对称的。
也就是说，如果通过将正弦函数的图像沿着x轴翻转，那么翻转后的图像与原图像完全重合。
因此，x轴即为正弦函数的对称轴。
二、余弦函数的像对称性与对称轴分析余弦函数的表达式为：y = cos(x)。
我们同样可以通过观察余弦函数的图像来研究其像对称性和对称轴的特点。
1. 像对称性余弦函数也具有像对称性，即对于任意实数a，都有cos(-a) = cos(a)。
如果一个角度a使得cos(a)等于某个特定的值，那么角度-a也将使得cos(-a)等于这个特定的值。
这种像对称性与正弦函数的像对称性相似，可以在数学运算和图像分析中发挥重要作用。
2. 对称轴余弦函数的图像相对于y轴是关于原点对称的。
也就是说，如果通过将余弦函数的图像沿着y轴翻转，那么翻转后的图像与原图像完全重合。
因此，y轴即为余弦函数的对称轴。
三、三角函数的常见性质除了像对称性和对称轴这两个特点之外，三角函数还具有其他一些常见的性质。
以下列举其中几个重要的性质：1. 周期性正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的周期都是2π。
tan的对称轴和中心对称
tan的对称轴和中心对称
tan的对称轴和中心对称在数学中，tan函数是一个常见的三角函数，它代表了一个角的正切值。
然而，很少有人注意到tan函数具有一些有趣的对称性质。
tan函数具有对称轴对称性。
对于一个给定的角度x，tan(-x)等于-tan(x)。
这意味着，如果我们将一个角度x的正切值绘制在坐标系中，然后将整个图形关于y轴对称，我们将得到角度-x的正切值。
这个性质可以帮助我们在计算中简化问题。
tan函数还具有中心对称性。
对于一个给定的角度x，tan(π-x)等于-tan(x)。
这意味着，如果我们将一个角度x的正切值绘制在坐标系中，然后将整个图形关于x轴翻转，我们将得到角度π-x的正切值。
这个性质也可以帮助我们在计算中简化问题。
这些对称性质对于解决三角函数相关的问题非常有用。
通过利用tan函数的对称轴和中心对称性，我们可以简化计算，减少错误的可能性，并更好地理解三角函数的性质。
tan函数具有对称轴对称性和中心对称性，这些性质在解决三角函数问题时非常有用。
通过充分利用这些对称性质，我们可以更好地理解和应用tan函数。
三角函数对称轴和对称中心
三角函数对称轴与对称中心y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z)y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z)y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]倍角公式sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αtan(2α)=2tanα/(1-tan²α)cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))辅助角公式Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos(α-arctan(A/B))万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan²(a/2))cos(a)= (1-tan²(a/2))/(1+tan²(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan²(a/2))降幂公式sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t角的三角函数值幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……实用幂级数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|<1)sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1)sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
三角函数的对称轴
三角函数的对称轴
对称轴：关于直线x=(π/2) kπ，k∈Z对称。
正弦函数是三角函数的一种。
对于任意一个实数x都对应着唯一的角，而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。
定义域
实数集r，可以扩展到复数集c
值域
[-1，1]（正弦函数有界性的彰显）
最值和零点
①最大值：当x=2kπ (π/2)，k∈z时，y(max)=1
②最小值：当x=2kπ (3π/2)，k∈z时，y(min)=-1
零值点：(kπ，0)，k∈z
对称性
1)对称轴：关于直线x=(π/2) kπ，k∈z等距
2)中心对称：关于点(kπ,0)，k∈z对称
周期性
最小正周期：2π
奇偶性
奇函数(其图象关于原点对称)
单调性
在[-(π/2) 2kπ,(π/2) 2kπ]，k∈z上是增函数
在[(π/2) 2kπ,(3π/2) 2kπ]，k∈z上就是减至函数
对称轴和对称中心求法
正弦函数存有最基本的公式：y=asin(wx ψ)，对称轴(wx ψ)=kπ ?π（k∈z），对称中心(wx ψ)=kπ （k∈z），求出x即可。
例子：y=sin(2x-π/3)，求对称轴和对称中心
对称轴：2x-π/3=kπ π/2，x=kπ/2 5π/12
对称中心：2x-π/3=kπ，x=kπ/2 π/6，对称中心为(kπ/2 π/6,0)。
三角函数的周期性与对称性
三角函数的周期性与对称性三角函数是数学中一种重要的函数类型，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
本文将探讨三角函数的周期性与对称性。
一、周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性。
对于三角函数来说，周期性是它们的重要性质之一。
1. 正弦函数的周期性正弦函数（sin(x)）是三角函数中最常见的函数之一。
它的图像是一条波浪形曲线，具有明显的周期性。
正弦函数的周期被定义为2π或360度。
换句话说，正弦函数在每个2π或360度的区间内都会重复相同的图像。
2. 余弦函数的周期性余弦函数（cos(x)）也是一种常见的三角函数。
它的图像是一个波峰波谷相间的曲线。
余弦函数的周期同样被定义为2π或360度，因此在每个2π或360度的区间内，余弦函数也会重复相同的图像。
3. 正切函数的周期性正切函数（tan(x)）和余切函数（cot(x)）是三角函数中较为特殊的两种函数。
正切函数的周期为π或180度，而余切函数的周期也为π或180度。
这意味着在每个π或180度的区间内，正切函数和余切函数会重复相同的图像。
二、对称性对称性是指函数的图像相对于某个中心线具有镜像对称的特点。
在三角函数中，正弦函数和余弦函数具有对称性，而正切函数和余切函数则不具备对称性。
1. 正弦函数的对称性正弦函数的图像以y轴为中心线具有对称性。
即当x取正值时，对应的正弦函数值与x取相同绝对值的负值时的函数值相等，这是因为正弦函数的图像在y轴处对称。
2. 余弦函数的对称性余弦函数的图像以y轴为中心线同样具有对称性。
与正弦函数类似，余弦函数的函数值在x取正值时与x取相同绝对值的负值时的函数值相等。
3. 正切函数和余切函数的无对称性与正弦函数和余弦函数不同，正切函数和余切函数没有对称性。
它们的图像不存在以y轴为中心线的镜像对称。
综上所述，三角函数具有周期性和对称性的特点。
正弦函数和余弦函数在每个2π或360度的区间内具有周期性，而正切函数和余切函数的周期为π或180度。
三角函数的对称轴
y=sinx 对称轴为x=k∏+ ∏/2 （k 为整数），对称中心为（k∏，0）（k 为整数）。
y=cosx 对称轴为x=k∏（k 为整数），对称中心为（k∏+ ∏/2，0）（k 为整数）。
y=tanx 对称中心为（k∏，0）（k 为整数），无对称轴。
这是要记忆的。
对于正弦型函数y=Asin(ωx+Φ），令ωx+Φ = k∏+ ∏/2 解出x 即可求出对称轴，令ωx+Φ = k∏ 解出的x 就是对称中心的横坐标，纵坐标为0。
（若函数是y=Asin(ωx+Φ）+ k 的形式，那此处的纵坐标为k ）余弦型，正切型函数类似。
以f （x ）＝sin （2x －π／6）为例令2x-π/6=Kπ 解得x=kπ/2+π/12那么函数的对称中心就是（k π/2+π/12,0)三角函数y=Asin （ωx+φ）中的对称轴正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π（k ∈Z ），它的对称轴总是经过它图象的最高点或者最低点。
由于三角函数y=)sin(ϕω+⋅x A 是由正弦函数y=sinx 复合而成的，所以令ϕω+x =k π+2π，就能得到y=)sin(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+2k （k ∈Z ）。
通过类比可以得到三角函数y=)cos(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+k （k ∈Z ）。
下面通过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。
1．解析式问题例1．设函数)(x f = )2sin(ϕ+x （0<<-ϕπ），)(x f 图像的一条对称轴是直线8π=x ，求ϕ的值。
分析：正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π，令2x+ϕ=k π+2π，结合条件0<<-ϕπ求解。
解析：∵8π=x 是函数y=)(x f 的图像的对称轴，∴1)82sin(±=+⨯ϕπ，∴24ππππ+=+k ，k ∈Z ，而0<<-ϕπ，则43πϕ-=。
三角函数 对称轴 关系
三角函数对称轴关系三角函数是数学中研究角度与三角量之间关系的函数，其在各个领域都有着广泛的应用。
在三角函数中，对称轴是一个非常重要的概念。
对于一般的三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，它们都是具有对称轴的。
三角函数的对称轴是其函数图像的垂直平分线。
对于正弦函数y=sinx，其对称轴是直线x=k π+π/2 (k∈Z)；对于余弦函数y=cosx，其对称轴是直线x=kπ(k∈Z)；对于正切函数y=tanx，其对称轴是直线x=kπ+π/2 (k∈Z)。
这些对称轴是三角函数图像的重要特征，可以帮助我们更好地理解和分析三角函数的性质。
三角函数的对称轴与其周期性有着密切的关系。
正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的图像以对称轴为中心左右对称，表现出非常明显的对称性。
这种对称性在解决一些数学问题时可以发挥重要的作用。
例如，在求解一些关于三角函数的方程时，可以利用对称轴的性质来简化计算过程。
此外，三角函数的对称轴还与其定义域有关。
对于正弦函数和余弦函数，它们的定义域是无限的，因此它们的对称轴也是无限的。
而对于正切函数，其定义域是除去整数倍的π/2的实数集，因此其对称轴是有限的。
这种定义域的限制也使得正切函数的图像呈现出独特的形状。
在实际应用中，三角函数的对称轴可以帮助我们更好地理解和分析三角函数的性质，从而更好地应用于各个领域。
例如，在物理学中，三角函数可以用来描述周期性变化的物理量，如振动、波动等；在工程学中，三角函数可以用来设计各种机械、电子设备等；在金融学中，三角函数可以用来描述金融数据的波动等。
因此，深入理解三角函数的对称轴性质对于各个领域的科学研究和实践应用都具有重要的意义。
三角函数诱导公式和函数的对称性
三角函数诱导公式和函数的对称性秭归二中 邮编:443600杜海柱三角函数的诱导公式我们比较熟悉,但对一些公式所反映的对称性并不熟悉.下面我们来看看函数的对称轴和对称中心吧.一. 轴对称定理一 如果函数y ()f x =满足()()f x a f x a +=-或()(2)f x f a x =-,函数y ()f x =的图像关于直线x=a 对称。
证明：设函数y ()f x =的图像上的任意一点为P （x,y ），点P 关于直线x=a 的对称点'(2,)p a x y -，显然有y ()f x =。
()(2),f x f a x =-由则y=f(2a-x)说明点'(2,)p a x y -也在函数的图像上。
由点P 的任意性，说明函数y ()f x =图像关于直线 x=a 对称。
例如 三角函数诱导公式()cos 2cos ,,k x x k z π-=∈函数cos y x =的图像对称轴为,x k k z π=∈；sin(2)sin ,k x x k z ππ+-=∈，函数sin y x =的图像对称轴为,2x k k z ππ=+∈。
二 . 中心对称 定理二 如果函数y ()f x =满足()2()()()f a x f x f a x f a x -=--=-+或 函数y ()f x =的图像关于点（a,0）成中心对称。
证明：设函数y ()f x =的图像上的任意一点为P （x,y ），点P 关于点（a,0）的对称点'(2,)p a x y --由(2)(),f a x f x -=-则-y=f(2a-x)说明点'(2,)p a x y --也在函数y ()f x =的图像上。
点P 的任意性，说明函数y ()f x =图像关于点（a,0）成中心对称。
例如：三角函数诱导公式sin(2)sin ,k x x k z π-=-∈，就说明函数sin y x = 的图像关于点（a,0） 成中心对称；由cos(2)cos ,k x x k z ππ+-=-∈，说明函数cos y x = 图像关于点(,0)2k ππ+ 成中心对称。
函数对称性的总结
参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。
2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。
3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。
4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。
5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。
6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。
对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。
如何求三角函数的对称中心及对称轴
令 ＋ ＝ ＋ ＿ 得 Ｔ ，
Ａ ｉ （） ｓ Ｏ ｎ Ｘ
从而 函数 Ｙ ：
按 量 平 后 函 ｙｓ２ —）— ＋的 像 向 移 得 数 ＝ ［ ｍ＋ 】ｎ ． ｉ（ ｎ
函 ｙｓ ２ 号 的 像 向 移 所 的 数 ＝ （ 十 ）罔 按 量 平 后 得 图 ｉ ｎ 像 于 （—，中 对 ， 关 点一 ｏ 心 称 ） － ， ｆ
） Ａ ＞０ ｃ （ ， ｕ＞０， ＞０ ）图 像 的 埘 称 轴 为 ＝ （ ｚ） ．
例 ４ （ ０ ８年 湖 北 卷 理 ５ 将 函 数 Ｙ＝ ｎ 一日 的 图 ２０ ） ３ｉ（ ｓ ）
由（ ， ｍ＋ ： ，ｍ １ （ ） 一 ～ 了 ｋ得 ＝ 一 ｚ 向 ）， － Ｉ ｆ ｒ ＇ｋ Ｔ Ｉ＇ ， Ｔｆ ２
＋ ＝ｋｒ， ， 得 ： ｒ
叫
， 而 函 数 ｙ＝ （ （ 从
＋ ）（４＞ ，
０ ∞ ＞ ， ＞ｏ 图 像 的对 称 轴 为 ： ， ｏ ）
（
ｚ）
由 函 ｙＣ 罔 的 称 心 （ ＋ ， 于 数 －Ｓ 像 对 中 为 １—０ ￣Ｘ Ｏ ） Ｔ （
ｚ ， ＋ Ｔ ÷， ： ） 令 ： １＋ 得 生
二 ｏ ｆ
例 函 ３ｓ ，图 的 称 方 ５ 数ｙ ｃ（＋ ）像 对 轴 程 。２ ｉ － Ｔ
为 ．
， 从而函数
Ｙ ｃｓ Ｏ ＝Ａ ｏ（） Ｘ
）（ ＞０ ０ ＞０ ＞０ 网 像 的 对 称 中 心 为 Ａ ，９ ， ）
量 坐 可 为 ０故 ． 的 标 能 （ ） 选ｃ ，．
２ 数 Ｙ＝ ｔ （ ．函 Ａａ ｎ
称 中 心
像 按 量詈，平 得 图 Ｆ若 一 对 轴 Ｆ 向 （ ３ 移 到 像 的 条 称 是 ） ，
三角函数对称轴与对称中心
三角函数对称轴与对称中心
一、三角函数的对称轴
1、正弦函数的对称轴：正弦函数的图像关于y轴对称，所以y轴就是正弦函数的对称轴。
2、余弦函数的对称轴：余弦函数的图像关于x轴对称，所以x轴就是余弦函数的对称轴。
3、正切函数的对称轴：正切函数的图像关于坐标系的45°斜线对称，即2y=x，这条45°斜线就是正切函数的对称轴。
4、反正切函数的对称轴：反正切函数的图像关于坐标系的135°斜线对称，即2y=-x，这条135°斜线就是反正切函数的对称轴。
二、三角函数的对称中心
1、正弦函数的对称中心：正弦函数的图像关于y轴对称，所以所有x 坐标点的y坐标都是一样的，也就是x轴的任意一点都是正弦函数的对称中心。
2、余弦函数的对称中心：余弦函数的图像关于x轴对称，所以所有y 坐标点的x坐标都是一样的，也就是y轴的任意一点都是余弦函数的对称中心。
3、正切函数的对称中心：正切函数的图像关于坐标系的45°斜线对称，即2y=x，所以所有xy都满足这个方程的点都是正切函数的对称中心，也就是x=2、y=2。
4、反正切函数的对称中心：反正切函数的图像关于坐标系的135°斜线
对称，即2y=-x，所以所有xy都满足这个方程的点都是反正切函数的
对称中心，也就是x=-2、y=-2。
三角函数对称轴和对称中心是重要的概念，他们之间存在一定的关系，也就是说每个三角函数的对称轴上的所有点都是该函数的对称中心。
三角函数的对称轴和对称中心是为我们理解和掌握函数，绘制函数图
像提供重要的参考。
三角函数求最小正周期的公式
三角函数求最小正周期的公式
三角函数的图像
三角函数是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数，初中阶段常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数的图像是在坐标轴上无限延伸而有规律循环的图像，并且都是对称的。
正弦函数（y=sinx）的图像对称轴为：x=kπ+π/2（k∈Z），对称中心为：（kπ，0）（k∈Z）
余弦函数（y=cosx）的图像对称轴为：x=kπ（k∈Z），对称中心为：（kπ+π/2，0）（k∈Z）
正切函数（y=tanx）的图像无对称轴，对称中心为：kπ/2+π/2,0）（k∈Z）
怎么求三角函数周期
1、图像法
我们知道三角函数的图像是有循环周期的，如果已知该函数的图像，那么完成一次振动所需要的时间，就是三角函数的周期。
如果一个函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期。
2、公式法
三角函数的周期通式表达式为：正弦：y=Asin（ωx+t）；余弦：y=Acos（ωx+t）；正切：y=Atan（ωx+t）。
在ω＞0的条件下：A表示三角函数的振幅；三角函数的周期T=2π/ω；三角函数的频率f=1/T。
因此只要知道ω的值，就可以解决三角函数求周期的问题。
在解题时首先要对题目给出的函数式进行化简和以及整合，才能准确求出ω的数值。
三角函数的对称轴公式
三角函数的对称轴公式
三角函数的对称轴是指在三角函数中，每个函数图像具有不同的对称性，这种对称性都具有一个共同的特点，即它以对称轴为对称中心，同时，函数取值在特定的点附近构成两个完全相同的图形。
三角函数中有三条不同的对称轴，主要分别是余弦、正弦和正切对称轴，它们的函数表达式可以表达为x=±C，其中C是常数。
余弦(cos)函数的对称轴可表示为x=ω,其中ω表示比例参数的正弦的频率，取值范围为(0,π]。
此函数的对称轴就是距离y轴一个角度ω，正弦(sin)函数的对称轴取决于距离y轴一个角度ω，并且x=ω。
而正切(tan)函数的对称轴就是y轴本身，因此，它的公式可以表示为x=0。
以上就是三角函数的对称轴公式，它们的数学表示分别为余弦函数的对称轴的数学表示为x=ω取值范围为(0,π]，正弦函数的对称轴的数学表示为x=ω取值范围为(0,2π]，而正切函数的对称轴的数学表示为x=0。
三角函数的对称轴具有重要的数学意义，它是三角函数概念学习的重要基础，也是数学分析中重要的工具。
三角函数的对称轴公式学习可以有助于练习者更好地理解三角函数，进而更有效地学习数学知识。
三角函数图像的对称轴与对称中心
三角函数图像的对称轴与对称中心Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ， 且平行于y 轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。
三角函数图像的对称轴与对称中心特级教师 王新敞对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和tan()y A x ωφ=+的简图容易画错，一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心．1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心： 对称轴为2x k ππ=+、对称中心为(,0) k k Z π∈． 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) k k Z πφω-∈． 2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心：对称轴为x k π=、对称中心为(,0)2k ππ+ k Z ∈． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z ππφω+-∈． 3.正切函数tan y x =图像的渐近线与对称中心： 渐近线为2x k ππ=+、对称中心为(,0)2k π k Z ∈，也就是曲线与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点两类点组成．正切曲线无对称轴．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线方程．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2k x πωφ+=()k Z ∈，由此解出1()2k x πφω=- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z πφω-∈． 例 函数y =sin(2x +3π)的图象：⑴关于点（3π，0）对称；⑵关于直线x =4π对称；⑶关于点（4π，0）对称；⑷关于直线x =12π对称．正确的序号为________． 解法一：由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（621ππ-k ，0）（z k ∈），当k=1时为（3π，0），⑴正确、⑶不正确；由2x +3π2k ππ=+得x=1212k ππ+（z k ∈），当k=0时为12x π=，⑷正确、⑵不正确．综上，正确的序号为⑴⑷．解法二：根据对称中心的横坐标就是函数的零点，对称轴必经过图象最值点的结论，可以采用代入验证法．易求()3f π=sin(2×3π+3π)=0、()4f π=sin(2×4π+3π)=2、()12f π=sin(2×12π+3π)=1，所以⑴正确、⑵不正确、⑶不正确、⑷正确．综上，正确的序号为⑴⑷．。
高三数学三角函数图象的对称问题专题辅导
三角函数图象的对称问题陈根土三角函数图象的对称性是三角函数的一个基本特征，其对称轴方程和对称中心坐标同三角函数其他性质一样，呈现出一定的规律性。
通过观察正弦函数()R x x sin y ∈=、余弦函数()R x x cos y ∈=和正切函数⎪⎭⎫⎝⎛∈π+≠=Z k ,2kx x x tan y 的图象可得如下结论。
()R x x sin y ∈=的图象是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴方程为2k x π+π=（Z k ∈），它们分别过图象的最高点和最低点，同时()R x x sin y ∈=又是中心对称图形，有无数个对称中心，其对称中心坐标为（πk ，0）（Z k ∈），它们是图象与x 轴的交点。
对于()R x x cos y ∈=的图象，只要将()R x x sin y ∈=的图象向左平移2π个单位，就可相应地得到对称轴方程()Z k k x ∈π=和对称中心坐标⎪⎭⎫⎝⎛π+π0,2k （Z k ∈）。
对于⎪⎭⎫⎝⎛∈π+≠=Z k ,2kx x x tan y ，它的图象是中心对称图形，有无数个对称中心，其对称中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛π0,2k （Z k ∈）。
一般地，函数()ϕ+ω=x sin A y （0A >，0>ω）既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴方程为ωϕ-π+π=2k x （Z k ∈），且它们分别过图象的最高点和最低点（简称峰点和谷点），对称中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛ωϕ-π0,k （Z k ∈），它们是图象与x 轴的交点。
函数()ϕ+ω=x cos A y （0A >，0>ω）既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴方程为ωϕ-π=k x （Z k ∈），且它们分别过图象的最值点，对称中心坐标为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ωϕ-π+π0,2k （Z k ∈），它们是图象与x 轴的交点。
例1 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=25x 2sin y 的图象的一条对称轴方程是（ ）A. 2x π-= B. 4x π-= C. 8x π=D. 45x π=解析：（验证法）把2x π-=代入得⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2522sin y 123sin -=π=，取得最值，应选A 。
三角函数cos对称中心
三角函数cos对称中心
三角函数cos对称中心是指在平面直角坐标系中，对于任意实数x，若有cos(-x)=cos(x)，则点(x,cos(x))关于y轴对称的对称中心称为cos对称中心。
具体来说，对于点(x,cos(x))，将其关于y轴对称得到点
(-x,cos(x))，若这两个点重合，则它们的坐标轴对称中心即为cos 对称中心。
cos对称中心在数学和物理中有着广泛的应用，例如在傅里叶级数、波函数等领域。
同时，cos对称中心也是三角函数的重要性质之一，它使得cos函数在x轴两侧的取值具有对称性。
在实际应用中，cos对称中心的求解可通过解方程
cos(-x)=cos(x)来实现。
根据cos函数的周期性质，可知
cos(-x)=cos(x)的解为x=nπ，其中n为任意整数。
因此，cos对称中心的x坐标为nπ/2，而对应的y坐标为cos(nπ/2)=-1^n，即当n为偶数时y坐标为1，当n为奇数时y坐标为-1。
总之，cos对称中心在数学和物理中具有广泛的应用和重要的意义，它不仅是三角函数的重要性质之一，也是一种重要的对称性质。
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1 三角函数图像的对称轴对称中心
1、将函数)32sin()(π
+=x x f 图象上各点向右平移)0(>ϕϕ个单位，得到函数)(x g 的图象。
（1）若)(x g 的图象与原图象重合，求ϕ的最小值；
（2）若)(x g 的图象关于y 轴对称，求ϕ的最小值；
（3）若)(x g 的图象关于直线6π
=x 对称，求ϕ的最小值；
（4）若)(x g 的图象一个对称中心为)0,12(π
-，求ϕ的最小值；
（5）若)(x g 的图象关于原点对称，求ϕ的最小值；
（6）若)(x g 的图象经过点)21,4(π-
M ，求ϕ的最小值 2、函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=324sin 2πx y 图像与x 轴交点中，离原点最近的点是 ； 3、函数y = sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－
8π 对称,则a 的值为 （ ） A ．1 B ．－2
C ．－1
D ．2 4、函数)62sin(3π
+=x y 图象的一条对称轴方程是（ ）
（A ）0=x （B ）32π=
x （C ）6π-=x （D ）3π=x 5、函数)3
3cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 。
6、函数)62sin(4π-
=x y 的图象的一个对称中心是（ ） （A ）)0,12(π （B ）)0,3(π （C ）)0,6(π- （D ）)0,6(π
7、设函数)(x f = )2sin(ϕ+x （0<<-ϕπ），)(x f 图像的一条对称轴是直线8π=x ，求ϕ的值。
8、若函数)sin(3)(ϕω+=x x f 对任意的x 都有)3()3(x f x f -=+ππ，则=)3(π
f （ ） A 3或0 B －3或0 C 0 D －3或3。