线性代数第5章相似矩阵及二次型PPT课件
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大学线性代数课件相似矩阵及二次型第五章 相似矩阵及二次型
|[, ] | [, ][ , ]
长为 1 的向量称为单位向量.
例1
01，
1
0
2
，
0
1
2
若向量
1
3
x ≠0 ,
则
1 x
x
1 都是3 维单位向量.
3
1
是 单 位 向 量.
3
例 已知
1
2
2
,
3
,
1
1
0
0
计算两个向量单位化后的内积.
解：
12 22 (1)2 02
1 0 2
所以A的特征值为 1 2,2 3 1
当 1 2解齐次线性方程组 (2E A)x 0 即
3x1 x2 0 4x1 x2 0 x1 0
3 1 0 1 0 0
由
2E
A
4 1
1 0
00
0 0
1 0
0 0
0
得基础解系
p1
10
故对应于 1 2的全体特征向量为 k1 p1(k1 0)
y yT y xT PT Px xT x x
说明经正交变换向量长度保持不变，这是正交变换的优 良特性．
2 方阵的特征值 特征向量
内容分布 一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的性质
基本要求 会求特征值与特征向量
2.1 特征值与特征向量
定义8 设A是n阶方阵，如果数 和n维非零向量x使
量为
k11 k22 kss （k1, ···,ks不同时为0）
例1 求矩阵
A
2 1
解： A的特征方程为
1 2
的特征值和特征向量
2 1
| E A |
线性代数课件第五章相似矩阵及二次型-第6节
应用三
在矩阵分解和矩阵求逆中，可以利用相似变换将一 个复杂的问题转化为简单的问题，提高计算效率。
03
二次型
定义与性质
二次型是定义在一组数域上的 一个多项式，其最高次项的次 数为2。
二次型具有对称性，即对于任 意实数x和y，有f(y,x)=f(x,y)。
二次型的系数矩阵是对称矩阵 ，即其转置矩阵等于其本身。
定义法
根据特征值的定义，通过解方程组$Ax = λx$来计算特征值和特征向 量。
谱分解法
将矩阵A表示为若干个特征值的线性组合，即$A = λ1P1 + λ2P2 + ... + λnPn$，其中Pn是对应的特征向量组成的矩阵，λn是特征值。 通过求解这个方程组可以得到特征值和特征向量。
特征值与特征向量的应用
答案
01
02
03
04
1. $A^2 = begin{bmatrix} 5 & 0 0 & 5 end{bmatrix}$
2. $B^3 = begin{bmatrix} 2 & -2 -1 & 1 end{bmatrix}$
3. $C^2 = begin{bmatrix} -1 & 0 0 & -1 end{bmatrix}$，
05
矩阵对角化
矩阵对角化的定义与性质
定义：如果存在可逆矩阵$P$，使得 $P^{-1}AP$为对角矩阵，则称矩阵$A$ 可对角化。
可对角化的矩阵$A$的行列式值等于其 对角矩阵的行列式值。
可对角化的矩阵$A$的秩等于其对角矩 阵的秩。
性质
可对角化的矩阵$A$的特征值都在对角 线上。
矩阵对角化的判定
在求解线性方程组时，如果系数矩阵可对角化，可以利用对角化方法将方程组化为易于求解的形式。
在矩阵分解和矩阵求逆中，可以利用相似变换将一 个复杂的问题转化为简单的问题，提高计算效率。
03
二次型
定义与性质
二次型是定义在一组数域上的 一个多项式，其最高次项的次 数为2。
二次型具有对称性，即对于任 意实数x和y，有f(y,x)=f(x,y)。
二次型的系数矩阵是对称矩阵 ，即其转置矩阵等于其本身。
定义法
根据特征值的定义，通过解方程组$Ax = λx$来计算特征值和特征向 量。
谱分解法
将矩阵A表示为若干个特征值的线性组合，即$A = λ1P1 + λ2P2 + ... + λnPn$，其中Pn是对应的特征向量组成的矩阵，λn是特征值。 通过求解这个方程组可以得到特征值和特征向量。
特征值与特征向量的应用
答案
01
02
03
04
1. $A^2 = begin{bmatrix} 5 & 0 0 & 5 end{bmatrix}$
2. $B^3 = begin{bmatrix} 2 & -2 -1 & 1 end{bmatrix}$
3. $C^2 = begin{bmatrix} -1 & 0 0 & -1 end{bmatrix}$，
05
矩阵对角化
矩阵对角化的定义与性质
定义：如果存在可逆矩阵$P$，使得 $P^{-1}AP$为对角矩阵，则称矩阵$A$ 可对角化。
可对角化的矩阵$A$的行列式值等于其 对角矩阵的行列式值。
可对角化的矩阵$A$的秩等于其对角矩 阵的秩。
性质
可对角化的矩阵$A$的特征值都在对角 线上。
矩阵对角化的判定
在求解线性方程组时，如果系数矩阵可对角化，可以利用对角化方法将方程组化为易于求解的形式。
第五章 相似矩阵及二次型
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向量间的夹角 当x0 y0时
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院
arccos
[ x, y] || x |||| y ||
称为n维向量x与y的夹角 当[x y]0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向 量都正交
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正交阵 如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT) 那么称A为正交矩 阵 简称正交阵
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单 位向量 且两两正交 n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一个规 范正交基
范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院
内积的性质 设x y z为n维向量 为实数 则 (1)[x y][y x] (2)[x y][x y] (3)[xy z][x z][y z] 郑 (4)当x0时 [x x]0 当x0时 [x x]0 陶 然 (5)[x y]2[x x][y y] ——施瓦茨不等式
范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
说明 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用 矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有 [x y]xTy
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向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 [x y]x1y1x2y2 xnyn 天 津 师 [x y]称为向量x与y的内积
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 1 1 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 1 6 1 3 1 [b1, b1] [b1, a2 ] 4 1 1 1 1 5 b3 a3 b1 b2 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [b1, a3] [b2, a]
线性代数课件_第五章_相似矩阵及二次型——第7节
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
2020/7/15
课件
14
思考题
设 A,B分别 m阶 为 ,n阶正定 ,试 矩判 阵定分 矩C 阵 A 0是否为正 . 定矩阵
0 B
2020/7/15
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15
思考题解答
解 C是正定.的 因为 ,设zT(xT,yT)为mn维向,其 量中 x,y分
是否正定.
5 2 4
解
fx1,x2,x3的矩阵 2 为 1
2
,
4 2 5
它的顺序主子式
50,
5 2
2 10, 1
5 2 4
2 1 2
4 2 10, 5
故上述二次型是正定的.
2020/7/15
课件
11
例2 判别二次型
f x 1 , x 2 , x 3 2 x 1 2 4 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 3
相等.
2020/7/15
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5
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次f型 (x) xTAx,如果对任何
x 0,都有fx0显然f00,则称f为正定二
次 型,并 称对 称 矩 A是 阵正定;的 如 果对 任x何 0 都有f(x) 0,则称f为负定二次 ,并型称对称矩阵 A是负定.的
例如 fx24y21z6 2 为正定二次型
2020/7/15
课件
4
定理1(惯性定理) 设有实二次型f xT Ax,它的秩 为r,有两个实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使 f k1 y12 k2 y22 kr yr2 ki 0, 及 f 1z12 2z22 r zr2 i 0,
2020/7/15
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思考题
设 A,B分别 m阶 为 ,n阶正定 ,试 矩判 阵定分 矩C 阵 A 0是否为正 . 定矩阵
0 B
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15
思考题解答
解 C是正定.的 因为 ,设zT(xT,yT)为mn维向,其 量中 x,y分
是否正定.
5 2 4
解
fx1,x2,x3的矩阵 2 为 1
2
,
4 2 5
它的顺序主子式
50,
5 2
2 10, 1
5 2 4
2 1 2
4 2 10, 5
故上述二次型是正定的.
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例2 判别二次型
f x 1 , x 2 , x 3 2 x 1 2 4 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 3
相等.
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二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次f型 (x) xTAx,如果对任何
x 0,都有fx0显然f00,则称f为正定二
次 型,并 称对 称 矩 A是 阵正定;的 如 果对 任x何 0 都有f(x) 0,则称f为负定二次 ,并型称对称矩阵 A是负定.的
例如 fx24y21z6 2 为正定二次型
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4
定理1(惯性定理) 设有实二次型f xT Ax,它的秩 为r,有两个实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使 f k1 y12 k2 y22 kr yr2 ki 0, 及 f 1z12 2z22 r zr2 i 0,
线性代数课件_第五章_相似矩阵及二次型——第4节共21页PPT资料
对 2 1 , 由 A E x 0 , 得
1
2
x1 x1
2 x2 2 x3
0 0
2 x2 x3 0
解之得基础解系
2
2 1
.
2
05.09.2019
课件
12
对 3 2 , 由 A 2 E x 0 , 得
1 p 1 T 1 p 1 T A 1 T p p1TA Tp1TA ,
于是 1 p 1 T p 2 p 1 T A 2 p 1 p T 2 p 2 2 p1Tp2, 1 2 p 1 T p 2 0 .
12,p1Tp20. 即p1与p2正交 .
4 0 0
(1)A2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A的特征值
2 2 0
AE 2 1 2 4 1 2 0
0 2
得 1 4 ,2 1 ,3 2 .
线性代数
05.09.2019
课件
1
第五章 相似矩阵及二次型
05.09.2019
课件
2
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵．
定理1 对称矩阵的特征值为实数.
证明 设 复 为数 对 A 的 称特 矩 ,复 征 阵 x 向 为 值 量
对应的 , 特征向量
即A x ,x 0 .
2 1 2
1 2, 2
则
P1AP04
0 1
0 0.
0 0 2
05.09.2019
1
2
x1 x1
2 x2 2 x3
0 0
2 x2 x3 0
解之得基础解系
2
2 1
.
2
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12
对 3 2 , 由 A 2 E x 0 , 得
1 p 1 T 1 p 1 T A 1 T p p1TA Tp1TA ,
于是 1 p 1 T p 2 p 1 T A 2 p 1 p T 2 p 2 2 p1Tp2, 1 2 p 1 T p 2 0 .
12,p1Tp20. 即p1与p2正交 .
4 0 0
(1)A2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A的特征值
2 2 0
AE 2 1 2 4 1 2 0
0 2
得 1 4 ,2 1 ,3 2 .
线性代数
05.09.2019
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1
第五章 相似矩阵及二次型
05.09.2019
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2
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵．
定理1 对称矩阵的特征值为实数.
证明 设 复 为数 对 A 的 称特 矩 ,复 征 阵 x 向 为 值 量
对应的 , 特征向量
即A x ,x 0 .
2 1 2
1 2, 2
则
P1AP04
0 1
0 0.
0 0 2
05.09.2019
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第三节 相似矩阵
= diagP(-1A1 ,P=2 ,B·P·,·-1,APn)= B , 相故似，则 故1 , 2 , ···, n 即是 A 的 n 个特征值.
定理 若定矩阵理A 与若矩矩阵阵 AB与相似矩,阵且B矩相阵似A, 且矩阵
可逆, 则矩可阵逆B, 也则可矩逆阵, B且也A可-1 逆与,B且-1A相-1似与. B-1 相似.
三、矩阵对角化的步骤
设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的 步骤如下：
步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A
有 s 个不同的特征值 1 , 2 , ···, s ，它们的重
数分别为 n1, n2 , ···, ns , 有 n1 + n2 + ···+ ns = n.
步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - iE)x = 0
证毕
在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如
果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某
些运算. 例如, 如果令
P 11
32
,
A
7 9
86
.
不难验算,
P
1
AP
1 0
02 记为
.
如果我们要计算 A10 或 An , 直接计算, 运算 量很大也不易找出规律. 利用 A 相似于对角矩阵 的性质,可得
相似矩阵具有下列性质：下设 A，B 是同阶 矩阵.
定理 3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| ,
因而 A 与 B 有相同的特征值、相同的行列式.
证明 只需证证明A 与只需B 证有相A 同与的B特有征相多同项的式特即征多项 可. 推由论于 A可若与. nB由阶相于方似A阵,与所AB以与相, 对必似角有, 所矩可以阵逆,矩必阵有可P,使逆得矩阵 P
定理 若定矩阵理A 与若矩矩阵阵 AB与相似矩,阵且B矩相阵似A, 且矩阵
可逆, 则矩可阵逆B, 也则可矩逆阵, B且也A可-1 逆与,B且-1A相-1似与. B-1 相似.
三、矩阵对角化的步骤
设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的 步骤如下：
步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A
有 s 个不同的特征值 1 , 2 , ···, s ，它们的重
数分别为 n1, n2 , ···, ns , 有 n1 + n2 + ···+ ns = n.
步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - iE)x = 0
证毕
在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如
果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某
些运算. 例如, 如果令
P 11
32
,
A
7 9
86
.
不难验算,
P
1
AP
1 0
02 记为
.
如果我们要计算 A10 或 An , 直接计算, 运算 量很大也不易找出规律. 利用 A 相似于对角矩阵 的性质,可得
相似矩阵具有下列性质：下设 A，B 是同阶 矩阵.
定理 3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| ,
因而 A 与 B 有相同的特征值、相同的行列式.
证明 只需证证明A 与只需B 证有相A 同与的B特有征相多同项的式特即征多项 可. 推由论于 A可若与. nB由阶相于方似A阵,与所AB以与相, 对必似角有, 所矩可以阵逆,矩必阵有可P,使逆得矩阵 P
第五章 相似矩阵及二次型
1 1 1 1 , 2 2 1 1
正交,试求一个非零向量α3 ,使 α1，α2，α3 两两正交。
解 设所求的向量α3 ＝（x1 , x2 , x3) ,依题意得:
x1 x2 x3 0 x1 2 x2 x3 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 ～ 由于 A ～ 1 2 1 0 3 0 0 1 0
二.向量的范数与夹角
1.向量的范数(长度)
定义2 令
x
x , x
x1 x2 xn
2
2
2
称‖x‖为n维向量x的范数。 2.范数的性质：
1）非负性 当x≠ 0 时, ‖x‖=︱λ︱‖x‖； 3）三角不等式‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖。
证 设有 1 , 2 , , r ,使 λ1α1+ λ2α2 + … + λrαr = 0,
取αi ( i = 1, 2 ,…, r )在上式的两端作内积。 [ λ1α1+ λ2α2 + … + λrαr ，αi] =[0, αi] [ λiαi,αi ] = 0
亦即
λi[αi,αi ] = 0
得
[α1,α3] = 0 , [α2,α3] = 0， 即
1 1 从而有基础解系 0 , 取 3 0 , 即为所求. 1 1
x1 x3 x2 0
第五章 相似矩阵及二次型
§1.向量的内积
一、向量的内积 1.内积的概念 定义1 设有n维向量
令
x1 y1 y2 x2 x , y x y n n [x,y]= x1 y1 x2 y2 xn yn ,
线性代数之相似矩阵及二次型
λ − a22 ⋯
⋯ λ − ann
= λn − c1λn − 1 + c 2 λn − 2 + ⋯ + ( −1) n − 1 c n − 1λ + ( −1) n c n
特征多项式， 特征方程。 称为 A 的特征多项式，而 f (λ ) = λE − A = 0 称为 A 的特征方程。
-18-
性质
对特征值 i , 解(λi E − A) X = 0, 得基础解系 1 ,⋯,αr λ α
λi所对应的特征向量为 k1α1 +⋯+ krαr , k1 ,⋯, kr不全为零
-20-
−1 1 0 例： 求矩阵 A = −4 3 0 的特征值和全部特征向量 的特征值和全部特征向量. 1 0 2
1 b3 1 1 = ξ3 = b3 6 − 2 0
-13-
六、正交矩阵 定义 若 n 阶方阵 A 满足 AT A = E , 则称 A 为正交矩阵 正交矩阵. 例4 验证(1)旋转矩阵是正交矩阵 验证 旋转矩阵是正交矩阵
cos ϕ A= sin ϕ − sin ϕ cos ϕ
T 0 ⇒ α1 α1
= α1
2
≠ 0, 从而有 λ1 = 0 .
同理可得 λ2 = ⋯ = λr = 0. 故α1 ,α 2 ,⋯,α r 线性无关 .
-8-
例1
(P115 例3)
1 1 α1 = 1 , α 2 = − 2 1 1
(2)镜像矩阵是正交矩阵 (P40 例8) 镜像矩阵是正交矩阵
H = E − 2αα (α ∈ R , α α = 1)
T n T
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向1 量. 非 的长度具负 有x 下 述0 时 性质x 性 ： 0 ;当 ， x ： 0 时 ,x 当 0 .
2.齐次 x 性 ： x
3 . 三 角 不 等 式 ： x y x y 1,2显然.证3: 2
证 3:3 、三角不 x y 等 x 式 y ：
xy
x1 y12 x2 y22 xn yn2
1 2 , e2 1
1
1 1 ,
3 1
a3
e3
1
1 0
2 1
b1 a1
b3
b2
a 10 2
例 3、已a 知 11 1，求一0向 组a 量 非 2,a3.使 a1,a2,a3两两
1
解:由题意得 a1Ta2 0 a1Ta3 0 a2Ta3 0
a2,a3满足同一方程 a1T x 0
1 e10
1
1
e21 0是 R2的一个正.e1交 '1规 2 2 范 e1'基 2 2 1
也R 是 2的一个正交规范基
正交规 :建 范 立 化 一个正交规范基
设 规 a 1,a 范 2, 称 ,基 a r是 为 。 a 1向 ,把 a 2, 量 V ,a 的 r这 空 一 个 间 个 基V的 正 基交 一 ，规 个 求 与 也 e 1,e 2,就 ,e r等 是价 找 的 。 一 单 组 e 1,位 e 2, 两 ,e 向 r， 两 a 1 量 ,使 a 2,正 6,a r
把a1,a2,,ar正交规范化的方法：
取
b1 a1
b2
a2
b1 b1
, ,
a b
2 1
b
1
b3
a3
b1 b1
, ,
a b
3 1
b
1
b b
2 2
, ,
a b
3 2
b
2
j1
b j a j
1
b , a j b ,b
b
br
ar
b1 b1
, ,
a b
r 1
b
1
b b
2 2
, ,
第五章 相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
x1 y1
定义 1
设有 n维向x量xxn2
,
yyyn2
令 x,yx1y2x2y2 xnyn
x,y称为 x与 向 y的量 内积。
当 x与 y都是列向量 x,y时 xTy ，有
内积满足下列运算规律：
(i)x, yy,x
(ii)x, yx, y
bi , b
bi , a j1
j
1
b , a j1 b , b
bi , bi i
bi , a j1
bi , a j1 bi , bi
bi , bi
0
由归纳法:有上述正交法成立
8
单位化，取：
e1
1 b1
b1,e2
1 b2
b2, ,er
1 br
br
e1,e2er 规范正交
仿几何 :a 方 rc 法 x x c ,y y o 定 s称 义 x 和 为 y 的 3 .夹
定义： x当 0, y0时
crccosx,y
x y
称n 为 维向 x与 量 y的夹
当 x,y0 时，x与 称 y正 向 。 交 量
采用正交向量组作向量空间的基，称为向量空间的正交基。
定理 1 若n向量 a1,a2,ar是一组两两正向 交量 的， 非
a b
r 2
b
2
b r 1 , a r b r 1 , b r 1
b r1
b 1 , b 2 b r 两两正交
7
证 :
bi , b j b j , bi 只证 bi , b j 0 i j
即可
b1 , b2
a1
,
a2
a1 , a 2 a1 , a1
a1
a
T 1
x
0
a
T 2
x
0
即
1
1
1 2
1
1
x1 x2 x3
0
解:
1
1
1 2
1
1
r
1
0
1 3
1 0
ห้องสมุดไป่ตู้
r
1
0
0 1
1
0
x1 x 3
1
x2
0
c
0
x 3 x 3
1
1
a3
c
0
1
5
定义 向 的 3 量 一 设n， 个 维 ,如 则 基 向 e1,果 eee2称 量 11,,, ee22,,, er是 ,,eeV rr是 两 的向 两 一量 正 正 个空 交 交 V（间 规 ， V。 范 且 Rn） 基 都
则a1,a2,ar线性无关。
证:
设1a1
2a2
rar
0
即
r
iai 0
i1
用ajT左乘得 : r
i
aj ,ai
0
i1
r
用正交关系 : 得i
aj
2 ji
0
a1,a2ar线性 i1 无关
j
aj
2
0
j 0
4
例 1、a11 1，a212正.交 求 a3使 a1,a2,a3两两.正交
1
1
解 : 令 a3 x显 然 有
1
1
4
例2、
将a1
2
，a2
3
，a3
1正交规范化
1
1
0
解:
j 1
b j a j
1
b , a j b , b
b
9
j 1
b j a j
1
b , a j b , b
b
代入得 b1
1 2
，b
1
2
3 5
11，b
1
3
2 0 2
单位化 : e1
1 6
a1 , a 2
a1 a1
, ,
a2 a1
a1
,
a1
0
现证 : 当 bi , b j 0 i j 成立时 bi , b j1 0也成立 .
bi , b j1
bi
,
a
j 1
j 1
b , a j1 b , b
b
bi , a j1
j
1
b , a j1 b , b
1
1
1
x1 x2
0
x3
x1 x2 x3 0
1
1
两个基 1础 1,解20
0
1
11
可用其组合成a2, a3 :
1
a2 1 1 ,
0
1
a3
2
11,,121
1 0 1
1 2
1 1 0
2
1 2
x12 x22 xn2 y12 y22 yn2 2 x1y1 x2y2 xnyn
x,xy,y2x,y
由 施瓦茨不等:x式 , y2 x,xy, y
x, y
x,xy,
y
x
y
得:
xy
x, xy, y2x, y
x
2
y
2
2
x
y
xy
性质得证
由施瓦 : 茨 x ,y 2不 x ,x 等 y ,y 有 式 xx, yy 1
(iii)xy,zx,zy,z
1
ivx0时x,x0, x0时x,x0.x,x0
施瓦茨不等式: x,y2x,xy,y 不证明
解析几何中x,yx1y1x2y2x3y3 xyxycos
x,y2 xycos2x2y2
定义2 x
令x x,x x12 x22 xn2
称为n维向量 x的长度（或范数）
x
1则称x为单位向量