矩阵n次方的几种求法的归纳
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矩阵n 次方的几种求法
1.利用定义法
()
()
,,ij kj s n
n m
A a
B b ⨯⨯==则()
,ij s m
C c ⨯=其
1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++
1
n
ik kj k a b ==∑称为
A 与
B 的乘积,记为,则由定义可以看出矩
阵A 与B 的乘积C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和,且由定义知:第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1同。 例
1:已知矩阵34
125310210134A ⨯⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭,44
5
130621034510
200B ⨯⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭,求
解:设C AB ==()34ij c ⨯,其中1,2,3i =;1,2,3,4j = 由矩阵乘积的定义知:
111526533032c =⨯+⨯+⨯+⨯=121122543231c =⨯+⨯+⨯+⨯= 131321553030c =⨯+⨯+⨯+⨯=14102051305c =⨯+⨯+⨯+⨯= 21150623101c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 22110224129
c =-⨯+⨯+⨯+⨯=
23130125107c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 24100021102c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 310516334015c =⨯+⨯+⨯+⨯= 320112344222c =⨯+⨯+⨯+⨯= 330311354016c =⨯+⨯+⨯+⨯=
34001031403c =⨯+⨯+⨯+⨯=
将这些值代入矩阵C 中得:
C AB ==34
323130519721522163⨯⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭ 则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。
2.利用矩阵的分块来求解
这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成,就如矩阵由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理,再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。即设()(),,ij kj s n n m A a B b ⨯⨯==把A ,
B 分解成一些小矩阵:
1111l t tl A A A A A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭K M O
M L ,1111r l lr B B B B B ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
K M O
M L ,其中ij A 是i j s n ⨯小矩阵且1,2...i t =,1,2...j l =,且12...t s s s s +++= ,12...l n n n n +++=;
ij B 是j k n m ⨯小矩阵且1,2...j l =,1,2...k r =;且12...l n n n n +++=,
12...r m m m m +++=;令C AB ==1111r t tr C C C C ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
K M O
M L ,其中ij C 是i j s m ⨯小矩阵且1,2...i t =,1,2,...,j r =,且12...t s s s s +++=,
12...r m m m m +++=;其中1122...ij i j i j il lj C A B A B A B =+++。这里我们
应注意:矩阵A 列的分法必须与矩阵B 行的分法一[]1致。
例2:已知矩阵45
1
00250
1013001280
0006A ⨯⎛⎫ ⎪
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭,52
1
245104206B ⨯⎛⎫
⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,求AB 解:将4545
100251
0025010130
10130012800128000060
0006A ⨯⨯⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
== ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭11
1221
22E
A A A ⎛⎫
⎪⎝⎭
写成 1
21245451
010424
20606B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1121B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭写成,其中11100010001E ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
12251328A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,()2206A =,11124510B ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
,214206B ⎛⎫= ⎪⎝⎭
由矩阵乘积法则知:
1112212111222142
B A B A B A B ⨯+⎛⎫
⎪+⎝⎭ 由矩阵加法和乘积法则[]1知:
42
9368
25AB 9520
36⨯⎛⎫ ⎪
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
则矩阵A 的n 次方的求解也可利用以上方法来求解。
3.利用数学归纳法求解
这种方法与矩阵定[]1义和数学归纳[]3法相结合,从而找出规律再求解,但是这种方法比较适合低阶且有规律的方阵n 次方的运[]2算。 例3:已知cos sin sin cos θθθ
θ-⎛⎫
⎪⎝⎭
,求n
A 解:当2n =时
2
cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθ
θθ
θθ
θθ
θθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭