结构的位移计算和刚度
结构的位移计算和刚度
结构位移计算
M 1
A
求A截面角位 移的虚拟状态
FP 1C
E
D
A
F
B
求C点水平位移的虚拟状态
M 1
C
M 1
A
求两截面相对角 位移的虚拟状态
1l
C
E
D
M 1
A
B
F 1l
BE=l
求BE杆转角 BE 的虚拟状态
第21页/共64页
结构位移计算
1l
C
M 1
1l
E
D
M 1
A 1l F 1l B
AE=BE=l 求AE、BE两杆相对转角的虚拟状态
0
D
2 2
1
2
B
1 2
解：1. 建立虚设状态；
2. 分别求两种状态各杆轴力；
3. 由公式计算位移：
CV
F N FNPl EA
1 EA
1 2
F 2
l
2
1 EA
2 2
1 2 Fl 1.914 Fl
2 EA
EA
2F 2
2l 2
第33页/共64页
结构位移计算
l
2 2
F
F
A
2
2 2 F
F F
轴向拉伸和压缩
为了消除原始尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆 件的变形程度，将杆件的纵向变形量△l 除以杆的原长l， 得到杆件单位长度的纵向变形。
纵向线应变 横向线应变
l
l d
d
线应变--每单位长度 的变形，无量纲。
FP
a1
a
FP
l l1
第2页/共64页
轴向拉伸和压缩
结构位移和刚度—梁的刚度计算(建筑力学)
二、用积分法求梁的变形
1.挠曲线近似微分方程
y( x)
M (x) EI
2.用积分法求变形 EI (x) M (x)dx C1
三、用叠加法求梁的变形
EIy(x) [ M (x)dx C1]dx C2
叠加法—梁截面的总变形，就等于各个荷载单独作用时产生变形的代数和。
四、梁的刚度计算 ymax [ f ]
梁的刚度计算
主要内容
梁的刚度条件和设计准则 梁的刚度计算 梁的刚度计算工程实例
梁的刚度计算
➢ 如果梁的弯曲变形过大，即使强度满足要求，也不能正常工作。例如：房 屋的楼面板或者梁长时间受较大荷载作用，导致变形过大，会造成抹灰面 出现裂缝，工业厂房的吊车梁变形过大，会影响吊车梁的正常使用等。设 计梁时，除了进行强度计算外，还应考虑进行刚度计算，需要把梁的最大 挠度和最大转角限制在一定的允许范围内。
l
l
课后作业：《建筑力学练习册》 练习二十五
3.6 4 4
3.6kN m
2、按正应力强度设计。查强度准则
3.6kNm
max
M max Wz
M max 0.1d 3
[ ]
得：
d3
M max
3
3.6 106 mm 153.3mm
0.1[ ] 0.110
取d=160mm
梁的刚度计算
3、按梁的刚度准则校核。
查变形表得
ymax
Fl 3 48EI
为:
ymax [ f ]
l
l
式中 ymax 为最大相对挠度，[ f ] 为许用相对挠度，其值可
l
l
根据梁的工作情况及要求查阅有关设计手册。土建工程中的许
用相对挠度值 [ f ] 常限制在
结构位移和刚度—静定结构在荷载作用下位移计算(建筑力学)
l ql 4 0 8EI
（↓）
正号表示BV的方向与所设单位力方向一致，即位移是向下的。
（2）求角位移θB
在B截面虚加一个单位力偶
M
＝1
e
(图c)，在虚拟状态中，梁
的弯矩方程为 M 1 (0≤x<l)
静定结构
由虚功原理得
B
l
MMds EI
1 EI
l
1
1
qx2
dx
qx3
0 2
CH
FNFNl EA
12 2 EA
Fa
3.83 Fa EA
（→）
所得结果为正，表示CH的方向与所设单位力方向一致， 即水平向右。
静定结构
课堂任务 试计算图示结构C、D两点间距离的改变。设梁的弯 曲刚度EI为常数。
静定结构
解: 在实际状态(图a)中，链杆的轴力均为零。
静定结构
由于对称性，可只计算半个结构的内力。 考虑左半部分，取 图示的研究对象，求得弯矩方程为 ：
MMds + FNFNl
l EI
EA
➢ 上述各种情况下位移计算公 式，就是结构在不同荷载作 用下的位移计算公式。希望 同学们掌握。
静定结构的位移
静定结构在荷载作 用下的位移计算
主要内容
静定结构在荷载作用下的位移计算实例分析
静定结构
同学们好，上节课给大家介绍了由虚功原理可以得到的
FNFNds MMds FSFSds
l EA
l EI
l GA
➢ 单位荷载法计算结构在荷载作用下的位移公式。当计算结果为正 时，表示实际位移方向与虚拟单位力所指方向相同；当计算结果 为负时，则相反。
➢ 对于组合结构，梁式杆只考虑弯矩的影响，链杆只考虑轴力的影 响，对两种杆件分别计算后相加得到位移计算公式为:
结构位移和刚度—图乘法(建筑力学)
图乘法
（2）求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1，绘出 M 2 图（图d）
将两图相乘，得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
（逆时针）
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反，即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形 。 当 M图对应的不是一条直线图形时(如图)， 则要 将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直 线图形，分别进行图乘再相加，即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同，即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP； 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作 用下的弯矩图； 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图 竖标yC； 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、 求B在B端加单位力M2=1，得虚拟状态
M
图
2
A
1
M2=1 B y =1
画
M
图
2
第六章结构的位移计算和刚度计算
各点的位置产生（相对）移动（线位移），使 杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。 2、位移的分类：6种 绝对位移：点（截面）线位移––分解成水平、 垂直两方向 截面角位移： 杆件角位移： 相对位移：两点（截面）相对线位移––沿连线 方向 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移：
3、引起位移的原因 A、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移） B、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力 非0应变→结构变形 （材料胀缩引起的位移性质同） C、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置 发生变化) 6-2-2单位荷载法
Nl l EA
若将式改写为 及轴向线应变 l 代入，则可得出胡克定律的 l 另一表达式为
l 1 N l E A
，并以轴向应力
N A
E
故胡克定律也可简述为：当杆内应力不超 过材料的比例极限（即正应力与线应变成正比 的最高限应力）时，应力与应变成正比。
例题6-1-1 有一横截面为正方形的阶梯形砖柱， 由上下I、II两段组成。其各段的长度、横截面 尺寸和受力情况如图2-12所示。已知材料的弹 性模量E＝0.03×105MPa，外力P＝50kN。试 P 求砖柱顶面的位移。 解：假设砖柱的基础没有沉陷， A P P Ⅰ 3m 则砖柱顶面A下降的位移等于全 B 柱的缩短。由于柱上、下两段 4m 的截面尺寸和轴力都不相等， Ⅱ C 故应用公式
例题6-1-2 在图所示的结构中，杆AB为钢杆， 横截面为圆形，其直径d＝34mm；杆BC为木 杆，横截面为正方形，其边长a＝170mm。二 杆在点B铰接。已知钢的弹性模量E1＝ 2.1×105MPa，木材顺纹的弹性模量E2＝ 0.1×105MPa。试求当结构在点B作用有荷载P ＝40kN时，点B的水平位移及铅直位移。 解： （1）取出节点B为脱离体，并以N1、N2分别表 示AB及BC二杆的内力。运用平衡方程 P 40 Y 0 由 ，可得 N1 80kN o
结构力学位移计算
结构力学位移计算结构力学是研究结构在外力作用下产生的应变和变形的学科。
位移计算是结构力学中非常重要的内容之一，通过计算结构的位移可以确定结构的稳定性、刚度和形态等信息。
本文将从基本概念、位移计算的方法和实例等方面进行详细介绍。
一、基本概念1.结构位移：结构在受到外力作用后，发生变形产生的位移称为结构位移。
结构位移是结构变形的主要表征，通过位移计算可以得到结构中各个点的位移量。
2.位移与应变关系：根据材料力学的基本原理，结构的位移与结构中各个点的应变密切相关。
通常使用应变平衡方程来建立位移与应变之间的关系。
3.位移计算方法：位移计算主要分为两类方法，即解析解法和数值解法。
解析解法通过解析求解结构的位移方程，得到精确的位移结果。
数值解法通过离散化结构、建立结构的数值模型，并采用数值算法求解位移方程，得到近似的位移结果。
二、位移计算的方法1.解析解法：解析解法常用于简单结构或具有对称性的结构，通过假设结构的位移形式和边界条件，建立结构的位移方程，然后求解解析解。
2.数值解法：数值解法常用于复杂结构或无法采用解析解法求解的情况。
主要包括有限元法、有限差分法和边界元法等。
这些方法通过将结构离散化成若干个单元，建立数值模型，并采用近似的数值算法求解结构的位移方程。
三、位移计算的实例以简支梁的位移计算为例，介绍位移计算的具体过程。
1.简支梁位移计算的基本假设：（1）结构为理想化的一维结构；（2）结构之间没有弯矩和剪力的连梁或折线等连接形式；（3）结构在垂直于横截面方向上没有刚度差异。
2.简支梁的位移计算步骤：（1）根据梁的边界条件和受力情况，建立梁的位移方程；（2）求解梁的位移方程，得到梁在各个截面上的位移表达式；（3）根据边界条件，确定梁的位移常数；（4）结合位移表达式和位移常数，求解梁在各个截面上的位移。
3.简支梁的位移计算具体公式：（1）若梁在x轴方向上的长度为L，截面x处的位移为y(x)，则梁的位移方程可表示为：d²y/dx²=-M(x)/EI，其中M(x)为梁在x处的弯矩，E为梁的弹性模量，I为梁的截面矩。
静定结构的位移计算概述
图10-1
不同的截面具有不同的线位移和 角位移。结构除了在荷载作用下会产 生位移外，温度改变、支座移动、材 料胀缩和制造误差等非荷载因素也会 使结构产生位移。本章主要研究结构 在荷载作用下的位移计算问题。
1. 2 计算结构位移的目的
计算结构位移的目的主要有以下几方面：
1. 校核结构或构件的刚度 刚度是指结构或构件在荷载作用下抵抗变形的能力。为确保结构或构件在使 用过程中不致发生过大变形而影响结构的正常使用，需要校核结构或构件的刚度。
建筑力学
静定结构的位移计算概述
1. 1 结构位移的概念和影响因素
结构在外界因素 ( 荷载、温度变化、支座沉降等 ) 作用下将产生内力和变形。 由于变形，必然导致结构上各点的位置发生移动，同时截面也将发生转动，这些位 置改变量称为结构的位移。
结构的位移一般分为线位移和角位移两 种。图10-1a 所示的刚架在荷载作用下，结构 产生图中虚线表示的弯曲变形，引起刚架的 A 点位置发生了改变，即 A 点移动到 A' 点， 产生线位移为 ΔA ，而线位移 ΔA 通常分解为 水平方向的分位移 ΔH和铅垂方向的分位移 ΔV ， 如图10-1b 所示。与此同时，截面 A 还产生角 位移，如图10-1a 所示。
2. 为超静定结构的内力分析奠定基础 超静定结构的内力计算只通过平衡条件是不能完全确定的，还必须同时考虑 变形条件，即超静定结构要同时满足平衡条件和变形连续条件，而建立变形连续条 件时需要计算结构的位移。
3. 便于结构或构件的制作和施工 结构或构件在制作、施工等过程中需要预先知道该结构或构件可能发生的位 移，以便采取必要的措施 (建筑起拱)，确保结构或构件的正常使用。
建筑力学
由此可见，结构的位移计算在结构分析和实际工程中具有重要的意义。
结构力学 静定结构的位移计算1
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2
2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D
1 EI
一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）
ΔA A
05 结构位移计算
支座移动
制造误差 等
t
为什么要计算 位移?
4
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求 如：
在工程上， 吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下， 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 (2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
EA GA EI
P 1
二.位移计算公式 1.梁与刚架
ip M PMi ds EI
4.拱
ip [ M PMi N N P i ]ds EI EA
2.桁架
ip N P Ni ds EA N P Nil EA
3.组合结构
ip M PMi N Nl ds P i EI EI
NP
0
a 1
2 2
1
2P
k
Ni
1
P
1
kx
0 k
a
2
0
N P Nil EA
1
0
a
NP
1 [ P 1 a ( 2 P)( 2 ) 2a ] EA Pa () 1 (1 2 2 ) EA
20
Ni
三.单位力状态的确定 所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 广义力在所求广义位移上做功. 例: 1)求A点水平位移 2)求A截面转角 3)求AB两点相对水平位移 4)求AB两截面相对转角
ip
yc
EI
28
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
29
二次抛物线
静定结构的位移计算概述
1. 验算结构的刚度
在结构设计中，除了要考虑结构的强度要求外， 还要计算结构的位移，以保证结构满足刚度要求， 即结构的变形不得超过允许的极限值，确保结构在 使用过程中不致发生过大变形。例如在房屋结构中， 梁的梁的最大挠度不应超过跨度的1/400至1/200， 否则梁下的抹灰层将发生裂痕或脱落。
2. 为计算超静定结构打基础
本章所研究的是线弹性变形体系的位移计算 问题。所谓线弹性变形体系是指位移与荷载成比 例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加， 而且当全部荷载撤出时，由其引起的位移也完全 消失。这种体系的位移也是微小的，而且应力与 应变的关系符合胡克定律。
建筑力学
谢谢观看！
例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如
ΔAH
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图中虚线所示的变形。
F
A
ΔBH
B
F
A
B
AB
A、B两点的水平位移分别为ΔAH和ΔBH，它们之
和为(ΔAB )H =ΔAH+ΔBH，称为A、B两点的水平相对
线位移。A、B两个截面的转角分别为 和A ，它B们 之和为 AB A ，称B为A、B两个截面的相对角
F CV
CH
CV
C
CH
（b）
还可将该线位移分解为沿水平方向和竖直方向 的两个分量，分别称为点C的水平位移和竖向位移， 分别用ΔCH和ΔCV表示，几何关系如图（b）所示，
图中的 为截面C C的转角，称为截面C的角位移，上
述线位移和角位移统称为绝对位移。
此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相
对位移。
例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如 图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动 了一段距离C C， 称为C点的线位移或挠度 ；支座截
位移法刚度法
位移法刚度法
位移法和刚度法是结构力学中常用的两种分析方法。
位移法（Displacement method）是以结构的位移为基础进行分析的方法。
它利用结构的刚度矩阵和边界条件，通过建立并求解结构的平衡方程来确定结构的内力和位移。
在位移法中，结构的位移是未知的变量，通过求解线性方程组来确定。
位移法适用于一般结构的分析，但对于大型和复杂的结构来说，求解线性方程组的计算量较大。
刚度法（Stiffness method）是以结构的刚度为基础进行分析的方法。
它利用结构的刚度矩阵和节点位移等已知信息，通过建立并求解节点位移的线性方程组来确定结构的内力和刚度。
在刚度法中，结构的刚度是已知的变量，通过求解线性方程组来确定节点位移。
刚度法适用于刚结构和对称结构的分析，对于计算量较大的问题有较高的效率。
综上所述，位移法和刚度法是两种不同的结构分析方法，其基本思想和求解过程有所不同。
位移法以求解结构的位移为出发点，刚度法以求解节点位移为出发点。
在实际应用中，根据结构的特点和求解的难易程度选择适合的分析方法进行分析。
第十七章 静定结构的位移计算与刚度
如图17-5
F1的作用点沿F1方向又产生了位移Δ 12，此时F1不再 是静力荷载，而是一个恒力，F2的作用点沿F2方向 产生了位移Δ 22，由于F1不是产生的原因，所以 W12=F1Δ 12就是的所作的虚功，称为外力虚功； 此处功之所以用“虚”字，只是强调做功的力 与做功 的位移无关，以示与实功的区别。
虚功原理有两种表达形式 虚功原理有两种表达形式，分别为： 1．虚位移原理: 虚设约束允许的可能位移，求结构中实际产生的力（支 座反力、内力）。虚位移方程等价于静力平衡方程。 2．虚力原理: 虚设外力，求结构实际发生的位移，也就是本节所讲虚功 原理的目的。虚力原理等价于变形协调方程。 为了便于应用，现将图17-5b中的平衡状态分为图17-6a和17-6b两个状态。 图17-6a的平衡状态称为第一状态，图17-6b的平衡状态称为第二状态。 此时虚功原理又可以描述为：第一状态上的外力和内力，在第二状态 相应的位移和变形上所做的外力虚功和内力虚功相等。这样第一状态 也可以称为力状态，第二状态也可以称为位移状态。 虚功原理既适用于静定结构，也适用于超静定结构。
KF MM ds EI
（17-10） 三、组合结构 组合结构由梁式杆与桁架组成，其位移计算思路为，梁 式杆只考虑弯矩M的影响，桁架杆只考虑轴力FN影响，故式（17-8）， 可简化为
KP MM F N FN l ds EI EA
' ' ' W内＝W11 W12 W22
根据能量守恒定律，应有W外=W内，即
根据实功原理，应有 所以有
' ' W11 W12 W22 W11 W12 W22
' W11 W11
' W12 W12
结构位移比、轴压比、刚度比、刚重比基本概念及不满足时,解决办法
结构位移比、轴压比、刚度比、刚重比基本概念及不满足时，解决办法一、位移比：在理解位移比之前首先要理解规范规定的水平地震作用计算、偶然偏心、双向地震三个基本概念。
规范规定的水平地震作用计算：不考虑偶然偏心单向水平地震作用计算；考虑偶然偏心的单向水平地震作用计算；不考虑偶然偏心的双向水平地震作用计算。
要分清楚以上三种计算方式何时选取。
偶然偏心：偶然因素引起的结构质量分布的变化，会导致结构固有振动特性的变化，因而结构在相同地震作用下的反应也将发生变化。
考虑偶然偏心，也就是考虑由偶然偏心引起的可能的最不利的地震作用。
高规4.3.3.对于高层建筑，计算单向地震作用时应考虑偶然偏心的影响。
双向地震：高规4.3.10. 计算公式改变，即在进行双向水平地震作用计算时将不考虑偶然偏心的单向水平地震作用效应平方和再开方，其计算过程与质量偏心无关。
根据高规4.3.2-2，实际操作上，工程界首先考察考虑偶然偏心的情况下位移比大于1.2的时候，则选择双向地震，如果小于1.2，不考虑双向地震（注意：1.2这个数值，有些地区放宽，按照地方规定执行）。
实际操作说明：位移比：限制结构平面的不规则性，限制偏心（刚心与质心的距离），位移比全称扭转位移比，即限制结构的扭转效应。
扭转位移比为1.6时，最大位移是最小位移的4倍，1.2时候是1.5,1.5时候是3.从而理解限制位移比的意义。
高规3.4.5.抗规3.4.3 3.4.4计算时要求刚性楼板假定。
实际操作的时候首先考虑偶然偏心的情况下看位移比为多少，若大于1.2则需要考虑双向地震，如果小于等于1.2则不考虑双向地震（工程界普遍做法，如果设计院另有规定，按照自己单位的执行）。
见抗规5.1.1.高层结构当需要选择考虑双向地震作用时，也要选择考虑偶然偏心的影响，两者取不利，结果不叠加。
不满足时调整方法：找到位移大的位置，加大梁或墙体截面，缩小位移小的位置的截面，看质心与刚心的距离，整体振动空间图，找到调整的大方向。
建筑力学与结构 第四章静定结构的变形计算与刚度校核
F
Bx
EIw Flx Fx2 C (3) 2
EIw Flx2 Fx3 C x D (4) 26
边界条件 x 0, w 0
x 0, w 0 将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C 0 D 0
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
EIw Flx Fx2 2
最大转角和最大挠度分别为
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
qmax
q A
qB
ql 3 24EI
在梁跨中点处有最大挠度值
wmax
w
x l 2
5ql 4 384EI
三、用叠加法求梁的位移
1、叠加原理
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载 (可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就 是叠加原理.
1 K R C Mdq Vd Nd
材料力学公式
dq M ds d ds k V ds d ds N ds
EI
GA
EA
若支座位移为零，则
KP
MMP EI
ds
kVVP GA
ds
NNP EA
ds
4.3 虚功原理 单位荷载法求梁的位移
反之为负。
四、图乘法计算位移
常见图形的面积和形心
三角形
2l
结构力学结构位移计算
结构力学结构位移计算结构位移计算是结构力学中的一个重要内容，它用来分析和计算结构在受力作用下的整体位移情况。
结构位移计算可以通过静力分析和动力分析两种方法进行，静力分析是指结构在静态受力下的位移计算，而动力分析是指结构在动态受力下的位移计算。
静力分析是结构力学的基础，它主要根据结构的初始状态和受力情况，通过应力-应变关系、平衡条件和边界条件等原理进行分析。
静力分析常用的方法有刚度法和应力对应法。
刚度法是基于结构刚度矩阵的计算，通过对于标准结构单元的刚度矩阵进行组装和边界条件的处理，可以得到整个结构的刚度矩阵。
然后，通过对结构受力状态的分析，可以得到结构的受载位移。
应力对应法则是利用结构的应力分布情况，根据材料的本构关系，通过计算得到结构的应变分布情况，然后通过积分等方法，可以得到结构的位移。
动力分析是指结构在动态受力下的位移计算，主要用于计算结构在地震、风载等动力荷载作用下的反应。
动力分析通常包括模态分析和时程分析两种方法。
模态分析是指根据结构的固有振动模态，将结构的运动分解成一系列简谐振动，然后通过分析结构各模态的响应，得到结构的整体位移。
时程分析是指根据结构的动力方程，通过数值积分等方法，求解结构在动力荷载作用下的运动方程，进而计算结构的位移。
在进行结构位移计算时，需要考虑一些基本问题和原则。
首先是边界条件的确定，即结构模型中哪些部分是固定的，哪些部分可以自由移动。
边界条件的选择会直接影响位移计算的结果。
另外，还需要考虑结构材料的本构关系和应力-应变关系的确定，以及结构的几何形状和尺度的影响等。
最后，结构位移计算的结果需要进行后处理和分析。
一般来说，需要对结构的位移进行可视化处理，以便更直观地观察结构的变形情况。
此外，还可以对结构的位移进行动态分析，比如计算结构的振动周期、自由振动频率等，以评估结构的抗震性能和动态稳定性。
总之，结构位移计算是结构力学中一个重要的分析方法，它可以帮助工程师更好地理解和把握结构的受力和变形情况，为结构设计和优化提供重要的参考依据。
结构位移和刚度—梁的变形和刚度计算(建筑力学)
1.挠曲线近似微分方程 2.用积分法求变形
y(x)
M (x) EI
EI (x) M (x)dx C1
三、用叠加法求梁的变形
EIy(x) [ M (x)dx C1]dx C2
叠加法 — 梁截面的总变形，就等于各个荷载单独作用时产生变形的代数和。
课后作业：《建筑力学》 教材课后练习题
梁的变形计算
例-2 图示简支梁AB，试用叠加法求跨长中点的变形线位移yC和角位移A、B。
M0
q
A
C
B
解 ：梁上作用荷载可以分为两个简
l
单荷载单独作用。
q
A
B
ycq l C B1
M0
ycq
A
B
l C B2
查书中变形附录表，采用叠加法
求代数和得
yC
yCq
yCM 0
5ql 4 384EI
M 16
l2
0
EI
1
y
(1
y2
)
3 2
从而得出挠曲线近似微分方程为 y(x) M (x)
EI
2.用积分法求变形
对于等截面直梁有EIy(x) =Ｍ(x) ,分离变量进行积分，即得转角
方程 EI (x) M (x)dx C1 ，挠曲线方程 EIy(x) [ M (x)dx C1]dx C2
梁的变形计算
例1 图示悬臂梁AB，自由端作用集中力偶M0 ，EIz为常量，试用积分法求
梁的转角方程和挠曲线方程。
M0 解：1.建立坐标确定弯矩方程
A
B
x l
M (x) M0
2.列挠曲线近似微分方程并积分，得
EI (x) M 0 x c1
EIy(x)
位移法求刚度系数k
位移法求刚度系数k位移法求刚度系数k是一种经典的工程力学方法，用于计算材料的刚度或刚性程度。
它在工程设计和结构分析中具有重要的指导意义。
本文将生动而全面地介绍位移法求解刚度系数k的原理、步骤和应用。
首先，我们需要了解什么是刚度系数k。
刚度系数k是一个物体或结构在受力作用下产生的位移与所施加的力之间的比值。
简单的说，刚度系数描述了一个物体或结构对力的响应程度，刚度系数越大，物体或结构越难以发生形变。
位移法是通过测量与施加的力相关的位移来确定刚度系数k的工程方法。
其基本原理是根据胡克定律（即弹性力学公式）来计算位移和力之间的关系：F=kΔx，其中F为施加的力，Δx为位移，k为刚度系数。
在进行位移法求解刚度系数k的步骤中，首先要准备一个实验装置。
一般来说，实验装置需要包括一个载荷装置（如压力机或拉力机）、一个测量位移的设备（如应变计或位移计）以及一个控制和记录数据的系统。
接下来，我们需要制定实验方案，明确测试的目的和要求，选择适当的试件和测量方法。
在进行实验时，首先按照设定的载荷进行力的施加，并通过测量设备准确测量位移。
然后，根据位移计算得到刚度系数k。
这一步通常涉及到数据处理和分析。
最后，根据实验结果来评估测试物体或结构的刚度，并进行合理的应用和设计。
位移法求解刚度系数k在工程中有着广泛的应用。
例如，在建筑物的设计中，我们需要估算建筑物的刚度，以确保其在受到外部荷载时不会发生过大的形变或破坏。
在机械设计中，我们需要确定某个零件或结构的刚度，以保证其在工作过程中能够承受预期的力和变形。
在材料研究中，我们可以通过测量材料的刚度系数k来评估材料的力学性能。
总之，位移法求解刚度系数k是一种重要的工程方法，可以帮助工程师和研究人员更好地理解和评估物体或结构的刚度。
它在工程设计和结构分析中有着广泛的应用价值，为我们提供了可靠的指导和依据。
希望通过本文的介绍，读者对位移法求解刚度系数k有更深入的了解，并在实际工程中应用得当。
结构的位移计算及刚度教核
ΔA l1 l2 0.579mm 1.46mm 2.04mm
向下位移
h1
拄子上、下段的应变为
A F
第3节
单跨静定梁的刚度校核
梁在外力作用下将产生弯曲变形，如果弯曲 变形太大，就会影响结构的正常使用。例如楼面梁 变形过大，会使顶棚抹灰开裂或脱落；厂房吊车梁 变形过大，会影响吊车的正常行驶等等。因此，必 须对梁的变形进行研究，保证梁的正常使用。
挠度
FP w B B' x
挠曲线
转角
dy dx
面的转角，上式称为转角方程。
(7-13b)
它表明，挠曲线上任一点处切线的斜率即是该点处横截
3. 挠曲近似微分方程
根据前面已导出的梁在纯弯 曲时的曲率公式和高等数学知识， 可以导出如下微分方程 w A
挠度
FP w B B' x
挠曲线
转角
d2 y M ( x) 2 dx EI
a
F
F
120MPa
则杆的轴力为
l
a
FN A 120 106 N/m 2 (16 16 106 )m 2
30720N 30.72kN
杆件所受的轴向外力为
F FN 30.72kN
a
F
F
例2
图示变截面柱，上下段截面积各为
F
F
A1=240×240mm2 ， A2=370×370mm2 ，h1=2m， h2=4m。所受外力F=50kN，弹性模量E=3GPa。 不计柱的自重，试求： （1）柱子上、下段的纵向应变； （2）柱子顶点的位移。 解 1）求拄子上、下段的应变 拄子上、下段的轴力分别为 FN1=-50kN， FN2=-150kN
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E
D
A
F
B
求C点水平位移的虚拟状态
M 1
C
M 1
A
求两截面相对角 位移的虚拟状态
1l
C
E
D
M 1
A
B
F 1l
BE=l
求BE杆转角 BE 的虚拟状态
结构位移计算
1l
1l
C
E
D
M 1
M 1
A 1l F 1l B
AE=BE=l 求AE、BE两杆相对转角的虚拟状态
2. 虚拟单位力的方向可以可以任意假定，若计算结果 为正，表示实际位移的方向与虚拟力的方向一致；反之， 则实际位移方向与虚拟力的方向相反。
3)求 应 力:
N3
20 103
20N
/ m m2
20MPa
A
1000
第二节 荷载作用下的结构的位 移计算公式
结构的位移
一、杆件结构的位移
变形：结构形状的改变
位移：结构上各点位置的移动量， 杆件横截面的转动量。
线位移 AA A
B
位移
角位移 A
线位移
水平线位移 AH
竖向线位移 AV
3)为求解超静定结构提供位移条件。
虚功
实功：力在自身所产生的位移上所作的功
FP
W
1 2
F
——力(外力或内力）在因其本身引起的位移（对 内力而言则为变形）上所作的功。
实功恒为正。 虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
t C
FP
W Ft
t
——力（外力或内力）在因其它原因产生的位移
上作的功。 如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。
l
l d
d
线应变--每单位长度 的变形，无量纲。
FP
a1
a
FP
l l1
轴向拉伸和压缩
二、泊松比
从上述分析我们已经知道：杆件在轴向拉（压）变形时， 纵向线应变ε与横向线应变ε′总是正、负相反的。
通过实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不超过材料 的比例极限时，横向线应变ε′与纵向线应变ε的比值的绝对 值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数。 用μ表示。
或
-
泊松比μ是一个无单位的量。它的值与材料有关，可由 实验测出。
轴向拉伸和压缩
三、胡克定律
当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极限”）时
引进比例常数E
l FNl A
l FNl EA
——胡克定律。
E称为材料的弹性模量，可由实验测出。量纲与应力相同。
从式可推断出：对于长度相同，轴力相同的杆件，分母 EA越大，杆的纵向变形△l就越小，可见EA反映了杆件抵抗 拉（压）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。
B
CDH =CH+DH
上述各种位移统称为“广义位移”。
DH
A
为什么要计算 位移?
结构的位移
二、计算位移的目的
1) 校核结构的刚度
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。
2）施工过程中对结构的位移进行计算和监控；
轴向拉伸和压缩
l FNl ——胡克定律。 EA
若将上式的两边同时除以杆件的原长l，并将代入，于是 得
或 E
E
表明：在弹性范围内，正应力与线应变成正比。比例 系数即为材料的弹性模量E。
轴向拉伸和压缩
例 一矩形截面钢杆，其截面尺寸b×h=3mm×80mm， 材料的E=200GPa。经拉伸试验测得：在纵向100mm的长度 内，杆伸长了0.05mm，在横向60mm的高度内杆的尺寸缩小 了0.0093mm，试求：⑴ 该钢材的泊松比；⑵ 杆件所受的轴 向拉力FP。
第一节 轴向拉压杆的变形计算
轴向拉伸和压缩
一、拉压杆的变形及应变
FP
a1
a
l l1
纵向变形 横向变形
l l1 - l
a a1 - a
FP
长度量纲
轴向拉伸和压缩
为了消除原始尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆 件的变形程度，将杆件的纵向变形量△l 除以杆的原长l， 得到杆件单位长度的纵向变形。
纵向线应变 横向线应变
解：（1）求泊松比。 求杆的纵向线应比ε
l 0.05 5 104
l 100
求杆的横向线应变ε′ ' a 0.0093 1.55 104
a 60
求泊松比μ
' 1.55 104 0.31
5 104
轴向拉伸和压缩
（2）计算杆受到的轴向拉力 由虎克定律σ=ε·E 计算图示杆件在FPห้องสมุดไป่ตู้用下任一横截面 上的正应力
FS FSP ds
M M P ds
l EA
l GA
l EI
结构位移计算
三、设置单位荷载时应注意的问题
1、虚拟单位力FP＝1必须与所求位移相对应
FP 1
A
求A点竖向线位 移的虚拟状态
FP 1 C
FP 1
A
求两点相对线位 移的虚拟状态
结构位移计算
M 1
A
求A截面角位 移的虚拟状态
FP 1C
结构位移计算
位移计算公式的简化
1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：
❖ 1）求内力：
❖ N1=-P ❖ N2=0 ❖ N3=-P
2)求伸 长:
l1
N1l EA
20103 100 210103 1000
9.52103 m m
l2 0
l3
N2l EA
20103 100 210103 1000
9.52103 m m
l l1 l2 l3 9.52103 2 19.04103 m m
结构位移计算
单位荷载法
虚力原理的两个状态
位移状态 ——实际状态 力状态 ——虚拟状态
k
k
位移状态
由给定的荷载、温 度变化及支座移动 等因素引起的
FPk=1 k
力状态
在拟求位移△k的方向 假想（虚拟）设置一 个单位力FPk＝1。
结构位移计算
平面杆件结构位移计算的一般公式:
FN FNP ds
FP
A A
A
A
A
AV
AH A
结构的位移 B
FP
A A
A
还有什么原 因会使结构产
生位移? t
引起结构位移的原因
荷载 温度改变 支座移动 制造误差 等
结构的位移
相对线位移、相对角位移
A、B两截面的角位移
CH
A和B之和称为A、B两截 面的相对角位移。即AB =A+B
C、D两点产生水平线
位移之和称为C、D两点的 水平相对线位移。即
σ=ε·E=5×10-4×200×103=100MPa
又按照应力的计算公式
FN
A
可求得在FP作用下，杆件横截面上的轴力 FN=σ·A=100×3×80=24×103 =24kN
该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即 FN=FP，所以该杆受到的轴向外力FP=24kN。
例题
❖ 横截面面积为1000mm2 的钢杆如图所示。已知 P=20kN，材料的弹性 模量E=210GPa，试求 杆的总伸长及杆下端横 截面上的正应力。