第二章-函数图像变换和周期性等

第二章 函数 —— 函数图像的变换、周期性、抽象函数等

2．7 函数的对称性和周期性

✧ 知识梳理

1．两个函数的图像对称性：

（可利用解析几何中的对称曲线的轨迹方程之间的关系加以理解）

（1）函数)(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称；

（2）函数)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称；

（3）函数)(x f y =满足()()x b f x a f -=+，则图像关于直线2

b a x +=对称； 特别地，函数)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称．

（4）曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f ；

特别地，函数)(x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则图像关于点()b a ,对称．

（5）曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f ；

（6）曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f ；

2．周期函数的定义：设函数)(x f y =（D x ∈）存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f y =的一个周期。

3．周期函数的性质：

（1）若)(x f y =（R x ∈）时)()(a x f a x f -=+恒成立，则周期a T 2=；

（2）若)(x f y =是偶函数且其图像关于直线a x =对称，则周期a T 2=；

（3）若)(x f y =是奇函数且其图像关于直线a x =对称，则周期a T 4=；

（4）若)(x f y =关于点)0,()0,(b a 、对称，则是周期b a T -=2；

（5）若)(x f y =的图像关于直线a x =、)(b a b x ≠=对称，则周期b a T -=2；

（6）若))((R x x f y ∈=时)()(x f a x f -=+或)

(1)(x f a x f =+，则a T 2=。

✧ 双基训练：

1．定义在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时，

5

12)(+

=x x f ，则=)20(log 2f 2．已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图像关于 对称

3．函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图像关于 对称

4．设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，

则)(x f y =的图像关于 对称

5．设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-，则)2(x f y =图

像关于 对称，)(x f y =关于 对称

6．已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实

根，则这5个实根之和为（ ）

A ．5

B ．10

C ．15

D ．18

7．设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，正确命题序号为

① 若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图像关于y 轴对称；

② 若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图像关于直线2=x 对称；

③ 若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图像关于直线2=x 对称；

④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图像关于直线2=x 对称。

8．函数)(x f y =定义域为R ，且恒满足)2()2(x f x f -=+和)6()6(x f x f -=+，

当62≤≤x 时，x x f 2

12)(-=，则)(x f y =解析式为 9．已知偶函数)(x f y =定义域为R ，且恒满足)2()2(x f x f -=+，若方程0)(=x f 在

[]4,0上只有三个实根，且一个根是4，则方程在区间(]10,8-中的根为

典例剖析

例 1 在R 上定义的函数)(x f y =是偶函数，且在区间]21[，上是减函数，同时满足)2()(x f x f -=，则函数)(x f y = ( )

A ．在区间]12[--，上是增函数，在区间]43[，上是增函数

B ．在区间]12[--，上是增函数，在区间]43[，上是减函数

C ．在区间]12[--，

上是减函数，在区间]43[，上是增函数 D ．在区间]12[--，

上是减函数，在区间]43[，上是减函数 例2 定义在R 上的函数)(x f y =既是奇函数，又是一个正周期为T 周期函数． 若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）

A ．0

B ．1

C ．3

D ．5

例3 已知定义为R 的函数()x f y =满足()()4+-=-x f x f ，且函数()x f y =在区间()+∞,2上单调递增，若212x x <<，且421<+x x ，则()()21x f x f +的值（ ）

A ．恒小于0

B ．恒大于0

C ．可能为0

D ．可正可负．

例4 已知x

x x f 311)(-+=，)]([)(1x f f x f =，)]([)(12x f f x f =，．．．．．．， ()N n x f f x f n n ∈=+)]([)(1，则=-)2(2010f

例5 函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且()02005f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2005f 的值为