矢量分析 质点运动学

A oB
矢量的大小称为矢量的模，用A或 A 表示。
如果某一矢量的模大小为1，且方向与矢量 A 相同，则称该矢
量为矢量 A 的单位矢量，用 e 表示。
A A e Ae
e A A
空间直角坐标系，常用 i, j, k 分别表示 x, y, z 轴的单位矢量。
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矢量
三、矢量的加法和减法
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d s
b
F
矢量
例 0-1
已知两矢量：
a
4i
3
j
k ，b
3i
4
j
5k ，通
过矢量运算求：
（1）以
a、
b 为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；
（2）该平行四边形的面积；
（3）该平行四边形的内角。
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矢量
表示：①矢量通常用带箭头的字母表示，如 A ，或黑体字
母A表示。
A
②在空间用一有向线段表示，如
单位
注意：
①只有大小相等、方向相同的两个矢量才相等；
A B
AB
②若大小相等、方向相反，则互称负矢量；
A
C
A C
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矢量
③将一矢量平移后，矢量的大小和方向不变，
A
B
二、矢量的模和单位矢量
矢量
若具有如下两个矢量
A Ax i Ay j Az k B Bx i By j Bz k
i jk
则 A B Ax Ay Az
Bx By Bz



(Ay Bz Az By )i (Az Bx AxBz ) j (AxBy Ay Bx )k
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t0 t
t0 t
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矢量
即 d A(t) lim Ax i lim Ay j lim Az k
dt
t0 t
t0 t
t0 t
dAx (t) i dAy (t) j dAz (t) k
dt
dt
dt
可以知道：矢量函数的导数仍然为一矢量。
Ax Ax (t t) Ax (t),
Ay Ay (t t) Ay (t)
Az Az (t t) Az (t)
定义： d A(t) lim A lim Ax i lim Ay j lim Az k
dt
t0 t t0 t
dt
dt
dt
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矢量
物理应用
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k Δt内平均速度
v r(t) t
Δt→0时，瞬时速度
z d r(t)
dt
r(t)
r(t) r(t t) r(t)
t
o
y
x
v d r(t) dx(t) i dy(t) j dz(t) k
两个以上矢量相加
C
Cx2

C
2 y
arctg Cy
Cx
y
Cy
C
By
B
Ay A
Bx Ax Cx x
S A B C ... (Ax Bx Cx ...)i (Ay By Cy ...)j Sxi Sy j
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C (Ax Bx )i (Ay By ) j
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y Ay
A

o
Ax x
y
Cy
C
By
B
Ay A
Bx Ax Cx x
矢量
C (Ax Bx )i (Ay By ) j
其中 Cx Ax Bx
Cy Ay By 则 C Cxi Cy j
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矢量
根据以上性质可以得到直角坐标系的单位矢量有如下关系
i • i j • j k • k 1,
i• j i•k j•k 0
正交
若具有如下两个矢量
A Ax i Ay j Az k B Bx i By j Bz k 则 A• B (Ax i Ay j Az k) • (Bx i By j Bz k) Ax Bx Ay By Az Bz
；
dt
dt
（4）
2 adt ? ，
2 bdt ?
0
0
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矢量
解：（1）
A Ax i Ay j Az k
A B (Ax Bx )i (Ay By ) j (Az Bz )k
B Bx i By j Bz k
A B (Ax Bx )i (Ay By ) j (Az Bz )k
矢量
四、矢量的乘积
该矢量函数的导数矢量大小为 d A(t)
dt
该矢量函数的导数矢量方向
dA
dt
其方向为当t 0时 A 的极限方向。即为A(t) 曲线的切线且指向与时间增加相对应的方向。
A A(t)
A(t t)
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矢量
同理可以得到该矢量函数的导数矢量二介导数：
d
2
A

d 2 Ax
①矢量乘以标量
一个数m和一个矢量 A 相乘得另一矢量 C，则
C mA
矢量 C 的大小为 C mA
矢量 C 的方向为 若m>0，与 A 同向；
性质：
m<0，与 A 反向。
m(A B) mA mB
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矢量
②矢量的标积
F

W F cosS
dt
dt
dt
dt
同理加速度为：
a

d v(t) dt

d
2 x(t dt 2
)
i

d 2 y(t) dt 2
j
d 2 z(t) dt 2
k
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矢量
（3）矢量函数的积分
若矢量函数 A(t) 的导数 B(t) 已知，即
d
A(t) dt

B(t)

Bx
(t)i

By
(t)
j

(1)平行四边形法则(三角形法则）
两个矢量相加
B
A C B
A
B
C
o
A
C AB
AC B
C AB B A
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矢量
合矢量的大小和方向
C A2 B2 2ABcos(180 ) A2 B2 2ABcos
B
C
o A
C AB
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矢量
③矢量的矢积
若两矢量 A 和 B 相乘得到一个矢量的叫做矢积，定义为 C AB
矢量 C 的大小为 C ABsin
矢量 C 的方向
C
A B
符合右手螺旋法则
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矢量
性质： （1） A B B A （2） A (B C) A B AC
（3）当 0时，A B 0
（4）当 时，A B AB
2
根据以上性质可以得到直角坐标系的单位矢量有如下关系
i j k jk i k i j i i j j k k 0
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矢量
矢量函数的积分性质：
(1) ( A B)dt Adt Bdt (2) m Adt m Adt, (m为常量）
(3) ( A • B)dt AxBx AyBy Az Bz dt
(4) ( A B)dt
S
如上，两矢量相乘得到一个标量，称为标积或点积。定义为
A • B AB cos
则 W F cosS F • S
性质： （1） A• B B • A
（2）当 0时，A• B AB （3）当 时，A• B 0
2 （4） A• (B C) A• B A• B
d r vdt
③变力冲量
r vdt
F dI dt
d I Fdt
I Fdt
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矢量
④力的功
a
元功为dW
dW F cosds F • d s
b
b
W a F cosds a F • d s
若ab闭和，则功有
W F • d s ab
A(t) Ax (t)i Ay (t) j Az (t)k
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矢量
（2）矢量函数的导数
A(t) Ax (t)i Ay (t) j Az (t)k
当变量t改变Δt时，

A
A(t

t)

A(t)


Axi
Ay
j

Az k
矢量
一、标量和矢量 在物理学中有两种物理量： (1)标量： 定义：只有大小和正负，没有方向的物理量。 如质量、时间、功、能量、温度等。 表示：数字（可带正负号）。 加减法：代数和。 (2)矢量： 定义：即有大小又有方向的物理量。 如位移、速度、加速度、力、动量、冲量等。
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矢量
五、矢量函数的导数和微分 恩格斯指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来 不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动”。
（1）矢量函数 在物理上遇到的矢量多为参数时间t的函数。若某一矢量 A 与变 量t之间存在一定的关系，当变量t取定某个值后，矢量有唯一
确定的值（大小和方向）与之对应，则称 A为t的矢量函数，即

a
b
35.7
（3） caosbaabcbos 5
0.139 970.58'
ab 26 50
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矢量
例 0-2
已知两矢量函数：a
(2t

1)i
2
j ，b
i
(2

3t)
j 。
（1） （2）
（3）
ttda??时时? ，aa//dbbb；； ?



( Ay Bz Az By )i ( Az Bx AxBz ) j ( Ax By Ay Bx )k dt
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矢量
物理应用 ①已知加速度，求速度
a dv dt
d v adt
②已知速度，求位移
v adt
v dr dt
矢量
解：（1） a
b
7i
j
4k ， l1

a
b
66 8.12
a
b
i
7j
6k ， l2

a
b
86 9.27

（2）
a
b
i 4
j 3
k

1 11i 23 j 25k
3 4 5
S
②空间直角坐标系
y
Ay
Ax Ax i Ay Ay j Az Az j
A Ax i Ay j Az k A Ax2 Ay2 Az2
A
j
o
ki
Ax x
Az z
arccos Ax , arccos Ay , arccos Az
A
A
A
两矢量相加减 A B
Bz
(t)k
则矢量函数 A(t) 称矢量函数 B(t) 的积分，记作
A(t) B(t)dt Bx (t)i By (t) j Bz (t)k dt
Bx (t)dt i By (t)dt j Bz (t)dt k
Ax i Ay j Az k
tg B sin A B cos
arctg( B sin ) A B cos
问题：如何计wk.baidu.com多个矢量相加？
AB
C
D
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BC D
A E E ABCD
o
矢量
两个矢量相减
A B A (B)
B
B
A
o
B
(2)矢量合成的解析法
A
限制分矢量个数和方向
i
d
2
Ay
j
d
2
Az
k
dt2 dt2
dt 2
dt 2
矢量函数的导数性质：
(1) d ( A B) d A d B
dt
dt dt
(2) d (m A) dm A m d A
dt
dt
dt
(3) d ( A • B) d A • B A • d B
dt
dt
dt
(4) d ( A B) d A B A d B
o
A
A
C B
二分矢量：取平面直角坐标系
三分矢量：取空间直角坐标系
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矢量
①平面直角坐标系
Ax Acos
Ay Asin
A Ax i Ay j
A Ax2 Ay2
arctg Ay
Ax
两矢量相加 A B
A Ax i Ay j B Bx i By j