矢量分析 质点运动学
大一物理质点运动学知识点
大一物理质点运动学知识点物理学是一门研究物质运动与相互作用的科学。
而作为物理学的基础，运动学研究物体运动的规律和性质，其中质点运动学是运动学的一部分，专门研究质点的运动规律。
下面将对大一物理中的质点运动学知识点进行详细阐述。
一、坐标系和参考系在研究质点的运动时，我们通常需要建立适合描述问题的坐标系和参考系。
坐标系确定了质点在空间中的位置，并提供了刻画质点位置变化的数学工具。
参考系则是观察和测量质点运动的基准。
二、位移和位移矢量位移是质点运动过程中位置发生变化的表示，通常用Δx表示。
位移矢量则是用来表示位移的矢量，具有大小和方向，并用Δr表示。
三、速度和速度矢量速度是描述质点在单位时间内位移变化的物理量，通常用v表示。
速度矢量则是用来表示速度的矢量，具有大小和方向，并用v 表示。
四、加速度和加速度矢量加速度是描述质点在单位时间内速度变化的物理量，通常用a表示。
加速度矢量则是用来表示加速度的矢量，具有大小和方向，并用a表示。
五、匀速直线运动在匀速直线运动中，质点以恒定的速度沿直线运动。
在这种情况下，位移、速度和加速度都具有确定的性质，它们之间存在简单的数量关系。
六、匀加速直线运动在匀加速直线运动中，质点的加速度保持恒定，速度随着时间的变化而线性增加或减少。
在这种情况下，位移、速度和加速度的数量关系更加复杂，需要借助数学公式进行计算。
七、自由落体运动自由落体是指在重力作用下质点自由地垂直向下运动的过程。
在自由落体运动中，重力是主要的作用力，忽略其他阻碍因素，质点的运动规律可以通过运动学方程进行描述。
八、斜抛运动斜抛运动是指质点在斜向上抛的过程中，既有初速度在水平方向上的匀速运动，又有受重力作用在竖直方向上的自由落体运动。
在斜抛运动中，位移、速度和加速度都具有分解成水平和竖直两个方向的分量。
以上介绍的是大一物理中质点运动学的基本知识点。
掌握了这些知识，可以帮助我们更好地理解和分析物体的运动规律，解决与质点运动相关的问题。
1-2描述质点运动的物理量
5
二. 位移和路程
为了描述质点位置的变化而引入的物理量
y
A B
y
A
r
B
rA
o
rB
x
o
rA
rB
x
6
1.位移
定义 质点位置矢量发生变化, 经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 位移矢量也简称位移 位移. 位移矢量 r . 位移矢量也简称位移 y 数学表达式 A r B r = rB rA 或 r = r (t + t ) r (t ) 正交分解式
3
3、运动方程(轨道参量方程) 运动方程(轨道参量方程)
r = r (t )
在直角坐标系中
运动方程
z( t )
z P( t )
r( t ) y( t ) x( t ) x 0 y
r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k
分 量 式
(参数形式 参数形式) 参数形式
x = x (t ) y = y (t ) z = z (t
时间内, 在 t 时间内 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为 时间内, t 时间内, (对于一个过程的粗略描述) 对于一个过程的粗略描述 粗略描述)
y
B
r = r (t + t ) r (t )
质点的平均速度定义为: 质点的平均速度定义为:
r (t + t)
r
s
A
r v= t
平均速度 同方向. v 与 r 同方向
v v (t + t ) v (t ) = a= t t
动力学中的矢量分析与运动学方程
动力学中的矢量分析与运动学方程动力学是研究物体运动的力学分支，而矢量分析和运动学方程是动力学中的两个重要概念。
本文将探讨它们的关系和应用。
一、矢量分析在动力学中的应用矢量分析是研究矢量在空间中运动和变化的数学方法。
在动力学中，我们常常需要分析物体的位移、速度和加速度等矢量量，而矢量分析提供了一种有效的工具。
首先，我们来看位移矢量。
位移矢量是描述物体从一个位置到另一个位置的矢量，它的大小等于两个位置之间的直线距离，方向则是从起始位置指向结束位置。
通过矢量分析，我们可以计算出物体在某一时刻的位移，从而了解其位置的变化。
其次，速度矢量是描述物体运动快慢和方向的矢量，它等于位移矢量除以时间间隔。
通过矢量分析，我们可以计算出物体在某一时刻的速度，从而了解其运动状态。
最后，加速度矢量是描述物体运动变化率的矢量，它等于速度矢量的变化率。
通过矢量分析，我们可以计算出物体在某一时刻的加速度，从而了解其运动的加速度变化情况。
总之，矢量分析在动力学中的应用非常广泛，通过对位移、速度和加速度等矢量量的分析，我们可以深入理解物体的运动规律和变化情况。
二、运动学方程的推导和应用运动学方程是描述物体运动规律的数学方程。
在动力学中，我们常常需要通过运动学方程来研究物体的运动状态和变化。
首先，我们来看匀速直线运动的运动学方程。
对于匀速直线运动，物体的位移随时间的变化是线性的，即位移与时间成正比。
因此，我们可以得到匀速直线运动的位移公式：位移等于速度乘以时间。
其次，对于匀加速直线运动，物体的加速度是恒定的，位移随时间的变化是二次函数关系。
通过对位移、速度和加速度的分析，我们可以得到匀加速直线运动的运动学方程：位移等于初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。
最后，对于曲线运动，物体的运动轨迹是曲线形状的。
通过对曲线的参数方程进行分析，我们可以得到曲线运动的运动学方程。
总之，运动学方程是描述物体运动规律的重要工具，通过对位移、速度和加速度等物理量的分析，我们可以推导出各种运动情况下的运动学方程，从而深入理解物体的运动规律。
运动学中的矢量分析方法
运动学中的矢量分析方法运动学是物理学中研究物体运动规律的一个重要分支，而矢量分析则是运动学中的一种基本工具。
矢量分析方法能够提供关于物体位置、位移、速度和加速度等方面的详细信息，为我们深入理解运动提供了有力的支持。
本文将介绍运动学中常用的矢量分析方法，并探讨其应用。
一、位置矢量的表示和分析方法在运动学中，我们常常需要描述物体的位置。
为了准确地表示物体的位置，我们引入了位置矢量的概念。
位置矢量是从参考点（原点）指向物体位置的矢量，通常用符号r表示。
位置矢量可以用坐标表示，比如在直角坐标系中，位置矢量可以表示为r = xi + yj + zk，其中i、j、k为分别指向坐标轴x、y、z正方向的单位矢量，x、y、z为物体在各坐标轴上的坐标。
利用位置矢量，我们可以方便地研究物体的位移、速度和加速度等性质。
例如，给定物体的两个不同时刻的位置矢量r1和r2，物体的位移矢量可以表示为Δr = r2 - r1。
而物体的平均速度矢量可以表示为vav = (Δr) / Δt，其中Δt为物体在两个时刻之间的时间间隔。
二、速度和加速度的矢量分析方法速度和加速度是描述物体运动快慢和变化快慢的重要概念。
在矢量分析中，我们通过对位置矢量的微分来定义速度和加速度。
具体地说，物体的速度矢量可以表示为v = dr/dt，而物体的加速度矢量可以表示为a = dv/dt。
通过对速度和加速度进行矢量分析，我们可以得到更多有关物体运动的信息。
例如，给定物体的速度矢量v，我们可以分解它为沿着各坐标轴方向的分速度，即v = vxi + vyj + vzk。
这样，我们可以得到物体在各方向上的速度大小和方向。
类似地，给定物体的加速度矢量a，我们也可以进行类似的分解。
三、相对运动的矢量分析方法在研究物体的相对运动时，矢量分析方法同样发挥了重要作用。
相对运动是指两个物体相对于彼此的运动情况。
在相对运动分析中，我们通常采用相对速度和相对加速度等概念。
相对速度是指两个物体之间的速度差，可以表示为vrel = va - vb，其中va和vb分别表示两个物体的速度矢量。
矢量分析 质点运动学
矢量
一、标量和矢量 在物理学中有两种物理量： (1)标量： 定义：只有大小和正负，没有方向的物理量。 如质量、时间、功、能量、温度等。 表示：数字（可带正负号）。 加减法：代数和。 (2)矢量： 定义：即有大小又有方向的物理量。 如位移、速度、加速度、力、动量、冲量等。
（3）当 0时，A B 0
（4）当 时，A B AB
2
根据以上性质可以得到直角坐标系的单位矢量有如下关系
i j k jk i k i j i i j j k k 0
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两个以上矢量相加
C
Cx2
C
2 y
arctg Cy
Cx
y
Cy
C
By
B
Ay A
Bx Ax Cx x
S A B C ... (Ax Bx Cx ...)i (Ay By Cy ...)j Sxi Sy j
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矢量
矢量函数的积分性质：
(1) ( A B)dt Adt Bdt (2) m Adt m Adt, (m为常量）
(3) ( A • B)dt AxBx AyBy Az Bz dt
(4) ( A B)dt
C (Ax Bx )i (Ay By ) j
欧拉动力学方程一、欧拉动力学方程...
第一章 质点运动学§1-1 质点运动的矢量描述与直角坐标描述一、参考系和坐标系有一定大小且不变形的物体, 或几个相对位置保持不变的物体, 都可以作为参考系. 一个点不能作参考系！坐标系可以看成是由坐标曲线组成的带有标度的空间网格.各种坐标系的坐标曲线都在它们的交点处互相正交, 都属于正交曲线坐标系.沿质点所在位置的坐标曲线切线方向建立的一组单位矢量称为坐标系的基矢. 直角坐标系Oxyz (坐标曲线321,,c z c y c x ===),基矢为单位矢量k j i ,,, 按惯例我们使用的坐标系 全是右手正交系, 其基矢满足如下关系: k j i =× 0=⋅=⋅=⋅i k k j j i 若坐标系的空间网格相对参考系固定不动, 则该坐标系相对参考系固定不动, 这时我们称该 坐标系与参考系固连.二、自由度我们称确定力学系统位置所需要的独立坐标 数为系统的自由度, 自由度记为s .三、运动学方程和轨道图中我们用直角坐标系Oxyz 代表参考系, 位置矢量(简称位矢)r e r r = )(t r r =称为质点的运动学方程, 它包括了质点运动的全 部信息. 质点运动的轨道即为位置矢量r 的矢端曲线.在直角坐标系Oxyz 中 k z j y i x r ++=运动学方程的分量形式为)(),(),(t z z t y y t x x ===由式中消去时间t , 则得到轨道方程.四、位移和路程位移是质点位置矢量的增量, )()Δ(Δt r t t r r −+=路程是质点沿轨道走过的长度, 为一恒正标 量, 记为s ∆,AB s =∆弧长.注意s r ΔΔ≠s r ΔΔ≠r r ΔΔ≠但当0Δ→t 时,B A ,间弦长与弧长相等, s r ∆→∆ , 或记为s r d d =五、速度瞬时速度矢量简称为速度, 被定义为位置矢量对时间的导数,r t r t r v t ==∆∆=→∆d d lim 0 速度的方向沿轨道 (即r 的矢端曲线) 的切线指向运动的前方, 它的大小为速率v ,s ts t rt r v v t ===∆∆==→∆d d d d lim0 在直角坐标系Oxyz 中, k z j y i x v ++=.六、加速度瞬时加速度矢量简称加速度, 定义为速度对时间的导数,r t r v t v t v a t ====∆∆=→∆220d d d d lim 加速度a 一定指向轨道的凹侧. 若将不同时刻的速度矢量的矢尾集中于一点, 则可得出速度矢量v 的矢端曲线即速端曲线. 加速度a 沿速端曲线切线方向并指向v 的矢端沿速端曲线运动的前方, 加速度的大小a 等于v 的矢端沿速端曲线运动的速率.任意矢量A 对时间的导数A 的方向沿A 的矢端曲线的切线, 其指向与A 的矢端沿矢端曲线的运动方向一致; A 的大小即A 的矢端沿矢端曲线运动的速率.在直角坐标系Oxyz 中, k zj y i x k v j v i v a z y x ++=++=§1-2 质点运动的平面极坐标描述当质点被限制在一个平面上运动时, 其自由度2=s , 我们建立与参考系固连的极坐标系. 质点P 的位置由坐标量r 和θ确定, 要明确极角θ的正方向 (即θ的增加方向)!平面极坐标系是正交曲线坐标系, 其平面坐标网格由一组同心圆(1c r =)及一组放射状半直线(2c =θ)组成.平面极坐标系的基矢为r e 和θe .0=⋅θe e r .r e 的方向为径向, θe 的方向为横向.)(θr r e e = ,)(θθθe e =. 我们把矢量沿质点所在位置的基矢 “就地” 进行正交分解.在极坐标系中, 质点的运动学方程为[])()(t e t r r r θ =标量形式)(),(t t r r θθ==消去时间t , 则得到轨道方程0),(=θr f .根据速度的定义, 把[])()(t e t r r r θ = 对时间求导数, 得到 t e r e t r t r v r r d d d d d d +==下面求单位矢量r e 的时间 导数t e r d d ,t e t t e t t e t e r t r r t r ∆∆=∆−∆+=→∆→∆ 00lim )()(lim d d 当0→∆t 时,0→∆θ. 注意到由r e 及r e ∆组成的矢量三角形为腰长为1的等腰三角形, 所以当0→∆t 时r e ∆与r e 垂直, 且θ∆⋅=∆1r e . 由于0→∆θ且0Δ>θ时r e ∆与θe 方向相同, 所以0→∆t 时θθe e r ⋅∆=∆, 故 θθθθe e tt e t r ⋅=∆∆=→∆0lim d d于是得到极坐标系中的速度表达式,θθe r e rv r += rv r =称为径向速度, θθ r v =称为横向速度. 根据加速度的定义,得)(d d d d θθe r e r tt v a r +==t e r e r e r e r e r r d d θθθθθθθθ ++++=下面改换一个方法求t e d d θ . 由于θe 为单位矢量, 故θe 的矢端曲线为半径为1的单位圆. 0Δ>θ 时, θe 的矢端沿其矢端曲线运动的速率为θ ⋅1, t e d d θ 的方向沿矢端曲线切线, 其指向如图所示,故可知 r e te θθ−=d d 同样,θθe t e r =d d于是得到极坐标系中加速度的表达式θθθθe r r e r r a r )2()(2++−=2θ r r a r −=和θθθ r r a 2+=分别称为径向加速度和横向加速度.矢量的变化为矢量大小的变化及矢量方向的变化二者产生效果的叠加, 请读者试用这种观点分析式中各项是如何产生的. 还可用运动分解和合成的观点理解式中各项的意义.例题1半径为R 的铁圈上套一小环P , 直杆OA 穿过小环P 并绕铁圈上O 点以匀角速度ω转动. 求小环P 的运动方程、 轨道方程、 速度和加速度.解 如图所示建立极坐标系，设0=t 时0θθ=， 则运动学方程为+=+=00)cos(2θωθθωt t R r 轨道方程为θcos 2R r =速度和加速度为 θθe r e r v r += θθωωθωωe t R e t R r )cos(2)sin(200+++−= θθθθe r r e r r a r )2()(2++−= θθωωθωωe t R e t R r )sin(4)cos(40202+−+−=本例题也可用图中直角坐标系xyz O 2求解, 由读者自行完成. 请读者另行验证:(1) 不同方法中a v ,表达式不同, 但它们对描述P点运动是等价的;(2) 不同方法中a v ,的大小和方向是惟一确定的.例题1是运动学正问题, 即先写出运动学方程,通过求导数运算求出v 和a . 运动学逆问题是已知速度或加速度及初条件求运动学方程, 使用的数学方法是积分或解微分方程, 和正问题比较要复杂一些, 但只要把握解题的方向也是不难解决的.例题2 已知一质点做平面运动， 其速率为常量c ，其位置矢量转动的角速度亦为常量0ω，试求质点的运动学方程及轨道方程. 设0=t 时，0=r , 0=θ.解 由已知条件ωθ= (1) 2222c r r =+θ (2) 把（1）是式化为t d d 0ωθ=，积分并由0=t 时0=θ定积分常数，可得t 0ωθ= (3)把（1）式代入（2）式，分离变量得t r c r d d 2202±=−ω 积分并以0=t 时0=r 定积分常数，得t c r 00sin ωω±= (4) （3）（4）二式即为运动学方程=±=t t c r 000sin ωθωω 消去t 得轨道方程θωsin 0c r ±= 轨道为两个圆，如图所示.柱坐标系可以看成是由Oxy 平面内的极坐标系 (坐标量为ρ和θ) 及z 轴构成的三维空间坐标系. 其空间坐标网格由1c =ρ的圆柱面、 2c =θ的放射状半平面和3c z =的平面3组曲面相交形成的曲线所组成. 质点位置由坐标量z ,,θρ确定. 柱坐标系的基矢为单位矢量θρe e ,和k . 柱坐标系为右手正交系, 其基矢满足如下关系:k e e =×θρ质点的运动学方程为 []k t z t e t t r r )()()()(+==θρρ速度和加速度的表达式为 k z e e v ++=θρθρρk z e e a +++−=θρθρθρθρρ)2()(2 推导请仿照§1-2自己完成.球坐标系如图所示, 质点P 的位置由坐标量ϕθ,,r 确定. 球坐标系的空间坐标网格由1c r =的球面、 2c =θ的圆锥面和3c =ϕ的放射状半平面3组曲面相交形成的曲线所组成.球坐标系的基矢为r e ，θe ，ϕe .r e 沿位矢r 的方向, θe 和ϕe 的指向与θ和ϕ的正方向一致. 球坐标系为右手正交系, 其基矢满足如下关系:ϕθe e e r =×0=⋅=⋅=⋅r r e e e e e e ϕϕθθ球坐标系中的θ亦称为极角、 ϕ称为方位角. 球坐标系中的基矢不是常矢量, 其中r e 为θ和ϕ的函数. 我们把矢量沿质点所处位置的基矢r e ，θe 和ϕe “就地”进行正交分解.质点的运动学方程为 [])(),()()(t t e t r t r r r ϕθ ==下面我们从速度的定义导出球坐标系中的速度表达 式. 将r ∆沿t 时刻质点所在位置的基矢正交分解, 得到ϕθe s e s e s r r 321∆+∆+∆=∆当0→∆t 时, r s ∆→∆1，2s ∆和3s ∆可用坐标曲线上的弧长来表示, 即θ∆→∆r s 2和ϕθ∆⋅→∆sin 3r s 于是可知 t e r e r e r t r t r v r t t ∆∆⋅+∆+∆=∆∆==→∆→∆ϕθϕθθ sin lim lim d d 00 ϕθθϕθe r e r e rr sin ++= 球坐标系中的加速度公式可按矢量导数定义求导得出, 但比较复杂, 我们将在后面用分析力学的方法导出.§1-5 质点运动的自然坐标描述利用质点运动轨道本身的几何特性 (如切线、法线方向等)来描述质点的运动. 这种方法称为自然坐标法.一、弧长方程在轨道上取一点作原点O , 规定沿轨道的某一方向为弧长的正方向, 质点位置可由原点O 到质点间的一段弧长s 来确定, s 称为弧坐标.)(t s s =上式称为弧长方程. 弧长方程和轨道方程一起与质点的运动学方程等价.弧坐标s 为可正可负的标量, 与恒正的路程是不同的.二、相关的微分几何知识轨道上无限接近的两个点所决定的直线称为切线. 定义切向单位矢量t e 沿切线, 其指向与弧长正方向一致. 沿t e 的方向称为切向.轨道上无限接近的3个点确定的平面, 即无限接近的两条切线所确定的平面, 称为密切面.密切面取向的改变反映了曲线的挠曲情况.轨道曲线上无限接近的3个点所决定的圆称为曲率圆, 曲率圆在密切面内. 曲率圆的圆心称为曲率中心, 曲率圆的半径ρ称为曲率半径, 曲率半径的倒数ρκ1=称为曲率.设弧长s P P d =′, 显然s d d 1ϕρκ==, 曲率κ越大则曲线弯曲程度越大. 当轨道为平面曲线)(x y y =时, 可利用数学分析中的公式 []23222)d d (1d d 1x y x y +==ρκ求曲率κ及曲率半径ρ.过轨道上一点, 与切线垂直的线称为法线. 法线有无限多条,它们组成的平面称为法平面.密切面内的法线称为主法线, 定义主法向单位矢量n e 沿主法线指向曲率中心. 沿n e 的方向称主法向, n e 指向轨道凹侧.垂直于密切面的法线称为副法线. 定义副法向单位矢量b e 沿副法线, 指向n t e e ×的方向.n t b e e e ×=沿b e 的方向为副法向.单位矢量b n t ,,e e e 两两互相垂直, 并成右手螺旋关系.三、速度和加速度表达式把质点的速度和加速度沿质点所在处的单位矢量b n t ,,e e e “就地”正交分解, 进而导出质点的速度和加速度表达式.速度沿切线指向运动的前方, 所以0b n ==v v . 考虑到0>s 时v 与t e 同向, 故 t t t e se v v == 速度的大小sv v v ===t . 由加速度的定义 t e s e s e s t t v a d d )(d d d d t t t +===当ϕ的正向与弧长s 正向一致时, ϕρd d =s ,故ρρϕt v s == . 所以 n n n t d d 1d d e s e e t t e ρϕϕ==⋅=因此 n t e s e s a ρ2+=s v a ==t t 称为切向加速度, 是由于速度t t e v v =的大小改变而产生的. ρρ22n s v a ==称为法向加速度, 是由于速度的方向改变而产生的. 由于n a 恒正, 故a 一定指向轨道凹侧, 与§1-1中结论一致. 0b ≡a 说明对任何空间曲线运动,加速度a 必在密切面内, 这是加速度和密切面定义导致的必然结果.注意原点O 的选定和弧长正方向的规定! 在自然坐标描述中, 需要已知质点运动的轨道, 而对轨道的数学描述又需要一个坐标系, 所以必须掌握自然坐标描述中的物理量与其他坐标系中的物理量之间的联系. 建立这个联系的基本依据是: 速度v 和加速度a 在不同的描述方法中有不同的表达形式, 但它们的大小和方向是惟一确定的.例题1半径为R 的铁圈上套一小环P , 直杆OA 穿过小环P 并绕铁圈上O 点以匀角速度ω转动. 求小环P 的运动方程、 轨道方程、 速度和加速度.解 曾用如图所示建立极坐标系求解.此例题也可用自然坐标法求解: 以1O 为原点，规定弧长正方向如图所示.轨道已知，弧长方程为)(20θω+=t R s速度和加速度为 t e R e s v ω2t == n 2n 2t 4)(e R e s e sa ωρ=+= 比其它方法简单!自然坐标描述并不是自然坐标系中的描述.请读者验证: (1) 不同方法中a v ,表达式不同, 但它们对描述P点运动是等价的; (2) 不同方法中a v ,的大小和方向是惟一确定的.例题3 已知质点的运动学方程为t R x ωcos = t R y ωsin = t h z ωπ2= （h R ,,ω为常量）试分析质点的运动，求切向加速度、法向加速度及轨道的曲率半径。
1.质点运动的矢量描述
et
P
en
Q et
en
切线方向, 正方向为运动
的前进方向，单位矢量 et ;
•一根沿轨道法线方向, 正方向指向轨道内凹的一侧，单位矢
量 en 。
•沿着轨道各点坐标系方位不断变化。
§1-2 位移 速度 加速度
2.v自 然v坐e标t 系中的a加速d度dt
(vet
)
加速度切向分量
dv dt
et
§1-1 质点 参考系 坐标系
一．质点 (particle)
1.定义：具有一定的质量而可忽略其形状和大小 的物体。
2.注意：
•质点是一种理想模型；
•质点与数学中几何点的区别；
•质点具有相对性。
1.50108 km
R地 6370km
§1-1 质点 参考系 坐标系
二．参考系(reference frame)和坐标系 (coordinates)
消去参数 t 得 x = ( y 3)2 抛物线方程
(2)运动方程写成位置矢量形式 r xi yi 4t2i (2t 3) j
t 0， r0 3 j t 1， r1 4i 5 j r r1 r0 4i 5 j 3 j 4i 2 j
质点运动时，它的位置P(x,y,z)随时间变化，是时 间的函数,则
x x(t)
y
y (t )
z z(t)
运动方程
f (x, y, z) 0
轨迹方程
§1-1 质点 参考系 坐标系
例 自由落体运动的运动方程
y 1 gt 2 2
例 平抛运动的运动方程
x
v0t
y
质点运动学——精选推荐
第1章质点运动学基本要求1.掌握描述质点运动的基本物理量 位置矢量㊁位移㊁速度和加速度等概念及其主要性质(矢量性㊁瞬时性和相对性)㊂2.理解运动方程和轨道方程的意义,能应用直线运动方程和运动叠加原理求解简单的质点运动学问题㊂(1)已知质点运动方程,求质点的位移㊁速度和加速度等物理量;(2)已知速度或加速度及初始条件,求质点的运动方程;(3)熟练掌握匀变速直线运动㊁抛体运动的规律㊂3.掌握圆周运动中角速度㊁角加速度㊁切向加速度和法向加速度等概念㊂基本概念和基本规律1.质点在所研究的问题中,物体的大小和形状可忽略不计时,我们把它看作只具有质量而无大小㊁形状的理想物体,称为质点㊂质点是物理学中物体的理想模型㊂2.位置矢量(或矢径)r在直角坐标系中点P的位置矢量(如图1.2.1所示)表示为r=x i+y j+z k位置矢量的大小为r=|r|=x2+y2+z2位置矢量的方向用方向余弦表示为c o sα=x r,c o sβ=y r,c o sγ=z r在二维运动中(如图1.2.2所示)r=x i+y jr=|r|=x2+y2θ=a r c t a n y x式中θ是r与x轴正向间夹角㊂Ң2大学物理学习指导图 1.2.1图 1.2.23.位移位移是描述质点在t ~t +Δt 时间内位置矢量变化的物理量(如图1.2.3所示)㊂质点在Δt 内由P 1到P 2的位移等于同一时间内位置矢量的增量Δr:图 1.2.3Δr =r 2-r 1=(x 2-x 1)i +(y 2-y 1)j +(z 2-z 1)k 位移的大小|Δr |=(x 2-x 1)2+(y2-y 1)2+(z 2-z 1)2位移的方向:c o s α=Δx |Δr |, c o s β=Δy |Δr |, c o s γ=Δz |Δr | 注意:①位移Δr 与位置矢量r 的物理意义不同,r 与时刻t 对应,Δr 与Δt 对应;②|Δr |ʂΔr =r 2-r 1,Δr =x 22+y 22+z 22-x 21+y21+z 21;③位移与参照系的选择有关,具有相对性;④直线运动中的位移Δx =x 2-x 1,Δx 的正负表示位移的方向沿x 轴的正向或负向㊂4.速度速度是描述质点的位置随时间变化快慢和方向的物理量㊂(1)平均速度췍-=Δr Δt =Δx Δt i +Δy Δt j +Δz Δtk =v -x i +v -y j +v -z k 췍-称为质点在t ~t +Δt 这段时间内的平均速度㊂(2)瞬时速度췍=d r d t =d x d t i +d y d t j +dz d tk =v x i +v yj +v z k 췍称为质点在时刻t 的瞬时速度,简称速度㊂注意:①v =|췍|=v 2x +v 2y +v 2z =d x d æèçöø÷t 2+d y d æèçöø÷t 2+d z d æèçöø÷t 2ʂd r d t;②直线运动中v =d x d t,v 的正负表示速度的方向沿x轴正向㊁负向㊂(3)平均速率v -=Δs Δt式中Δs 是质点在t ~t +Δt 时间内走过的路程,v -称质点在t ~t +Δt 时间内的平均速率㊂第1章 质点运动学Ң3(4)瞬时速率v =d s d tv 称为质点在t 时刻的瞬时速率,简称速率㊂同一瞬间的瞬时速率和瞬时速度的大小是相同的㊂5.加速度加速度是描述质点运动速度变化的物理量㊂(1)平均加速度a -=Δ췍Δt =Δv x Δt i +Δv y Δt j +Δv zΔtk a -称为质点在t ~t +Δt 这段时间内的平均加速度㊂(2)瞬时加速度a =d 췍d t =d v x d t i +d v y d t j +d v z d t k =d 2x d t 2i +d 2y d t 2j +d 2z d t2k =a x i +a yj +a z k a 称为质点在t 时刻的瞬时加速度,简称加速度㊂(3)质点作平面曲线运动时的加速度,亦可用自然坐标系中的法向加速度和切向加速度表示:法向加速度a n =v 2ρ,方向指向该处的曲率中心;切向加速度a τ=d v d t,正㊁负表示切向加速度的方向与该处速度方向 同 ㊁ 反 ㊂总加速度a =a n +a τ式中,v 为质点所在处的速率;ρ为质点所在处曲率半径㊂注意:①a 的方向是速度变化的方向,即Δ췍的极限方向,一般不代表质点的运动方向㊂②区分췍和a 概念:췍=0,a 不一定为零;췍大,a 不一定大㊂③曲线运动中a n ʂ0;直线运动中a n =0,a τ=d v d t;直线运动a 的正㊁负表示加速度的方向沿选定轴的正向㊁负向㊂6.圆周运动的角量描述设质点作圆周运动,t 时刻质点在A 点,t +Δt 时刻质点运动到B 点,如图1.2.4所示㊂则质点的运动亦可用下述角量描述㊂图 1.2.4θ为半径O A 与x 轴间夹角,θA 是质点在A 点的角位置,则Δθ=θB -θAΔθ称为质点在t ~t +Δt 内对O 点的角位移㊂ω=l i mΔt ң0ΔθΔt =d θd tω称为质点在t 时刻对O 点的瞬时角速度(简称角速度)㊂α=l i mΔt ң0ΔωΔt =d ωd tα称为质点在t 时刻对O 点的瞬时角加速度(简称角加速度)㊂Ң4大学物理学习指导角量与线量间的关系:v =R ωa n =v 2R , a τ=d v d t=R α7.运动方程r (t)质点的位置矢量r (t)(或角位置θ)随时间的变化规律称为质点的运动方程,可表示为r (t )=x (t )i +y (t )j +z (t )k 或θ=θ(t)质点的运动方程在直角坐标系中亦可用分量式表示为x =x (t )y =y (t )z =z (tìîíïïï) 运动方程反映了质点的空间位置随时间的变化过程㊂从运动方程的分量式中消去t,得到x ㊁y ㊁z 间的关系式,称为质点的轨道方程㊂8.运动叠加原理一个运动可看成几个各自独立进行的运动叠加而成,这称为运动叠加原理或运动独立性原理㊂例如,抛体运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的叠加㊂9.几种简单的运动规律(1)直线运动的规律(假设运动发生在x 轴上)匀速直线运动方程:x =x 0+v t 匀变速直线运动方程:x =x 0+v 0t +12a t 2变速直线运动方程:x =x 0+ʏt 0v d t v =v 0+ʏt 0a dt式中x 0㊁v 0分别是t=0时质点的初始位置㊁初始速度㊂(2)圆周运动的角量描述规律匀速圆周运动:θ=θ0+ωt a n =R ω2, a τ=0 匀变速圆周运动:θ=θ0+ω0t +12αt 2a n =R ω2, a τ=d vd t=Rα第1章 质点运动学Ң5 式中θ0㊁ω0分别是t=0时质点的角位置㊁初角速度㊂(3)抛体运动规律图 1.2.5抛体运动(如图1.2.5所示)方程为x =v 0c o s θ0t y =h +v0s i n θ0t -12g t 2讨论:θ0=0时为平抛运动;θ0=π2时为竖直上抛运动;θ0=-π2且v 0=0,则为自由落体运动㊂10.运动的相对性由于位置矢量㊁速度和加速度的大小和方向都与参照系的选择有关,具有相对性,因此同一质点的运动对不同参照系的描述是不同的㊂设坐标系O x ᶄy ᶄz ᶄ相对于坐标系O x yz 的平动速度为u ,则位移Δr =Δr ᶄ+u Δt 速度췍=췍ᶄ+u或表示为췍A 对C =췍A 对B +췍B 对C上式称速度变换原理或速度合成定理㊂加速度a A 对C =a A 对B +a B 对C上式称加速度交换原理或加速度合成定理㊂解题指导本章的重点是深刻理解位置矢量㊁位移㊁速度和加速度等概念,注意其矢量性与相对性㊂本章习题一般分两大类:第一类是已知质点的运动方程,利用微分法求各物理量(速度㊁加速度等);第二类是已知速度或加速度及初始条件,利用积分法求运动方程㊂第二类问题和学会用速度合成定理处理运动的矢量性和相对性问题是本章的难点㊂在直线运动中,位移㊁速度和加速度的方向均在一直线上,建立坐标后,这些矢量可作为标量来处理㊂位移Δx ㊁速度v 和加速度a 的正负,表示其方向与选定坐标轴的正向一致或相反㊂应特别注意的是,中学阶段定量研究的是匀变速直线运动,加速度是常量㊂但大学物理中讨论的是具有普遍意义的运动,加速度不一定是常量,必须用高等数学中的微积分解题㊂由中学的 常量 到大学的 变量 ,这是学习的一个飞跃㊂质点运动学问题的一般解题程序为:(1)审清题意,确定研究对象,分析研究对象的运动情况㊂(2)选择适当的参照系,建立坐标系㊂(3)根据所求物理量的定义,列式并求解㊂或根据运动的特点和题设条件,列方程求解㊂Ң6大学物理学习指导(4)必要时进行分析讨论㊂ʌ例题1.1ɔ有一物体作直线运动,其运动方程为x=6t2-2t3,式中x的单位为m,t 的单位为s㊂求:(1)速度和加速度的表达式;(2)t=0,1,2,3,4s时物体的位置x㊁速度v和加速度a;(3)第2s内的平均速度;(4)最初4s内物体的位移㊁路程㊁平均速度和平均速率;(5)讨论物体的运动情况㊂ʌ解ɔ(1)物体的运动方程x=6t2-2t3速度v=d x d t=12t-6t2(m/s)加速度a=d v d t=12-12t(m/s2)(2)将t的各值代入上述三式,可得各时刻的x㊁v和a,见表1.3.1:表1.3.1t/s01234x/m0480-32v/(m/s)060-18-48a/(m/s2)120-12-24-36(3)第2s内平均速度v-1 2=x2-x1t2-t1=8-42-1=4(m/s)但这不能用下式来计算:v-1 2=v1+v22为什么不行?请读者自己思考㊂(4)位移Δx=x4-x0=-32-0=-32(m)式中负号表示位移的方向沿x轴负向㊂路程Δs是否等于位移Δx通常ΔsʂΔx,只有在直线运动中速度不改变方向的那段时间内,路程才与位移的大小相等㊂今由d x d t=12t-6t2=0得t=2s时开始速度改变方向,所以路程为Δs=Δs1+Δs2=|x2-x0|+|x4-x2|=|8-0|+|-32-8|=48(m)平均速度为v-0 4=x4-x0t4-t0=-324=-8(m/s)式中负号表示平均速度的方向沿x轴负向㊂第1章质点运动学Ң7平均速率为v-0 4=ΔsΔt=484=12(m/s)(5)由v=12t-6t2,可见t<2s,v>0;t=2s,v=0;t>2s,v<0㊂而由a=12-12t得t<1s,a>0;t=1s,a=0;t>1s,a<0㊂因此:t在0~1s内,v>0,a>0,物体作加速运动;t在1~2s内,v>0,a<0,物体作减速运动;t>2s,v<0,a<0,物体沿x轴负向作加速运动㊂应注意:a>0,并不表示物体作加速运动;a<0也不一定是减速运动㊂如何判断物体作加速还是减速运动呢?这应从a和v的方向是否一致来判断㊂a与v同号(即同方向),则为加速运动;a与v异号(即反向),则为减速运动㊂ʌ例题1.2ɔ已知质点的运动方程为x=3t,y=t2+t式中x㊁y以m计,t以s计㊂试求:(1)t=1s和2s时质点的位置矢量,并计算这1s内质点的位移和平均速度;(2)2s末质点的速度和加速度;(3)质点的轨道方程㊂ʌ解ɔ(1)质点的位置矢量为r=3t i+(t2+t)jt=1s时,r1=3i+(1+1)j=3i+2j(m)t=2s时,r2=6i+6j(m)根据位移的定义,这1s内的位移为Δr=r2-r1=(6-3)i+(6-2)j=3i+4j(m)或用位移的大小和方向表示为|Δr|=(Δx)2+(Δy)2=(6-3)2+(6-2)2=5(m)θ=a r c t a nΔyΔx=a r c t a n6-26-3=53ʎ式中θ是位移与x轴正向间夹角㊂根据平均速度的定义,这1s内的平均速度为췍-=ΔrΔt=3i+4j2-1=3i+4j(m/s)(2)根据速度的定义,可得速度的两个分量v x和v y:v x=d x d t=3(m/s)v y=d y d t=(2t+1)|t=2=2ˑ2+1=5(m/s)所以质点在2s末的速度为췍2=3i+5j(m/s)或用췍2的大小和췍2与x轴正向间夹角来表示为v2=v2x+v2y=32+52=5.83(m/s)Ң8大学物理学习指导θ=a r c t a n v y v x =a r c t a n 53=59ʎ式中θ是速度췍2与x 轴正向间夹角㊂根据加速度的定义,它的两个分量a x ㊁a y 分别为a x =d v xd t=0a y =d v y d t =2(m /s 2)所以a =a x i +a yj =2j (m /s 2)即加速度的大小为a =2m /s2,方向沿y 轴正向㊂由于加速度不随时间变化,所以本题中质点作匀加速运动㊂(3)从质点的运动方程中消去t ,即得轨道方程y =x æèçöø÷32+x 3即x 2+3x -9y =0ʌ例题1.3ɔ 一质点沿x 轴运动㊂已知加速度a =4t (S I ),t =0时,初速度v 0=0,初始位置x 0=10m ㊂试求质点的运动方程㊂ʌ解ɔ 根据加速度的定义a =d v d t,得a d t =4t d t =d v 对上式两边积分,得速度v 随时间t 的变化规律ʏt 04t d t =ʏv 0d v积分后代入上下限得v =2t2又根据速度的定义v =d xd t得d x =v d t =2t 2d t对上式两边积分后得质点的运动方程ʏxx 0d x =ʏt 02t 2d tx =x 0+23t 3将x 0=10m 代入上式得x =10+23t 2(m)本题属已知加速度及初始条件(即t =0时的x 0㊁v 0)求运动方程的问题,主要根据加速度和速度的定义,通过积分解决㊂需注意初始条件的运用和定积分的计算方法㊂ʌ例题1.4ɔ 一物体沿x 轴运动,开始时物体位于坐标原点,初速度v 0=3m /s ㊂若加第1章 质点运动学Ң9速度a =4x (S I),求:(1)物体经过x =2m 时的速度;(2)物体的运动方程㊂ʌ解ɔ (1)本题中加速度随x 而变化,所以物体作变速直线运动㊂根据加速度和速度的定义v =d x d t ,a =d v d t,得v d t =d xa d t =d v =ad xv所以v d v =a d x =4x d x两边积分:ʏvv 0v d v =ʏxx 04x dxv 2-v 20=4(x 2-x 20)将x 0=0,v 0=3m /s 及x =2m 代入上式得v =v 20+4x 2=32+4ˑ22=5(m /s ) (2)再根据速度的定义得d x =v d t =v 20+4x 2d t 所以ʏx 0d xv 20+4x 2=ʏt 0d t由积分公式ʏd x a 2+x2=l n (x +a 2+x 2),将上式积分,则有12l n (2x +v 20+4x 2)|x0=t2x +v 20+4x2v 0=e2t化简后得运动方程x =v 04(e 2t -e -2t )=34(e 2t -e -2t )(m )图 1.3.1需注意:通常解题时应先用文字式运算,求得结果的文字表达式后,再代入数据进行计算,得出最后的结果㊂ʌ例题1.5ɔ 如图1.3.1所示,在离水面高度h 的岸边上,有人用绳子拉船靠岸㊂船位于离岸的水平距离s 处㊂当人以v 0的匀速率收绳时,试求船的速度和加速度㊂ʌ解ɔ 本题要求췍和a ,但船的运动方程未知,因此须先根据已知条件,建立坐标后写出船的运动方程,然后根据定义求췍和a ㊂以人的收绳点为坐标原点,建立坐标系如图1.3.1所Ң10大学物理学习指导示,则船的位置矢量即运动方程为r =x i -h j式中h 是常量,x 随时间而变㊂根据速度和加速度的定义得췍=d r d t =d xd ti a =d 2r d t 2=d 2xd t2i 根据题意,人的收绳速率为v 0=-d r d t =-d d t x 2+h 2=-x x 2+h 2d x dt 这里因r =|r |随时间减小,所以d r d t<0,而v 0>0㊂由上式得v x =d x d t =-v 0x 2+h 2x所以船的速度为췍=-v 0s 2+h 2si 而a x =d v x d t =d d t -v 0x 2+h 2æèçöø÷x =d d x -v 0x 2+h 2æèçöø÷xd x dt =-h 2v 20x 3所以船的加速度为a =-h 2v 20x3i当船在x =s 处的速度和加速度为췍=-v 0s 2+h 2si a =-h 2v 20s3i讨论:(1)췍和a 的方向均沿x 轴负向,所以船向岸边作加速运动㊂(2)由a 的表达式,h 和v 0不变,s 随时间减小,|a |随时间增大,所以船作变加速运动㊂(3)船的速率v >v 0(人的收绳速率),这是严格按速度的定义求得的㊂显然v 不等于v 0在水平方向的分量㊂图 1.3.2ʌ例题1.6ɔ 一石子从倾角为α=30ʎ的斜面上的O 点抛出㊂已知初速度v 0=9.8m /s ,췍0与水平面的夹角θ=30ʎ,如图1.3.2所示㊂若忽略空气阻力,试求:(1)石子落到斜面上的B 点离O 点的距离l ;(2)石子所到达的最大高度;(3)t =1.5s 时石子的速度㊁切向加速度和法向加速度㊂ʌ解ɔ (1)石子的运动可看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的加速度为g 的匀变速直线运动的叠加㊂今以O 点为原点,建立坐标如图,则石子的加速度分量为。
大学物理-质点运动学-描述质点运动的物理量
r (t )
v (t )
a (t )
描述质点运动的物理量
Chapter 1 质点运动学
具体做法是: 具体做法是:
先将求导或求积的矢量函数在一定的坐标中表 达为矢量解析式,然后对各分量求导或求积, 达为矢量解析式,然后对各分量求导或求积,再将 结果用矢量解析式来表达. 结果用矢量解析式来表达. 一,已知
Book P25 抛体运动
x x0 = v0 x t + 1 a x t 2 2
Chapter 1 质点运动学
例 1 设质点的运动方程为
r (t ) = at i + btj
2
1求 t=2s时的速度 2 判断质点的运动轨迹 求 时的速度. 时的速度 判断质点的运动轨迹. 由题意可得速度方程为: 解: 由题意可得速度方程为: t=2s时速度为 时速度为
v = 4ai + bj
x y 2 =( ) 由运动方程消去参数t可得轨迹方程为 由运动方程消去参数 可得轨迹方程为 a b
0
t
vx = vx (t )
dx = ∫ vx dt
0
t
t
x = x(t )
y = y (t )
vz = vz (t )
y0
dy = ∫ v y dt
0
∫
z
z0
dz = ∫ vz dt
0
t
z = z (t )
r (t ) = x(t )i + y (t ) + z (t )k j
描述质点运动的物理量
y
A
O
vA
B
vB
a 与 v 同方向 .
2)(瞬时)加速度 )(瞬时) )(瞬时
质点运动学PPT课件
线量与角量之间的关系
l(弧长) R
v R
at R
an
v2 R
v
R 2
前一例：一个质点作匀速率圆周运动，圆周半径为R，
角速度为 ，试用自然法表示的质点的速度和法向、
切向加速度。
解：用自然法表示速度和加速度：
S rt
R
法向加速度： 切向加速度：
反映速度方向的变化。 0 反映速度大小的变化。
描1. 述平质均点速位度置变v化快慢r和运动方向的矢量
2. 瞬时速度
v
t
lim
r
dr
t0 t dt
在直角坐标系中:
r x(t)i y(t) j z(t)k
v
dr
d
x(t)i y(t) j z(t)k
dt dt
vxi vy j vzk
—— 瞬时速率
平均速度
v
r
的极限方向
B vB
rB
y vB
a
lim
t 0
v t
dv dt
d dt
dr dt
d
2
r
dt 2
在直角坐标系中，a 的分量式
a axi ay j azk
a a
a
2 x
a
2 y
az2
ax
dv x dt
d2 x dt 2
a y
dv y dt
d2 y dt 2
az
dvz dt
o
路程！ B
x
注意：
1. 位移的矢量性 2. 位移与原点选取无关 3. 位移与路程不同概念
位移只决定于始末位置，与过程无关，状态量；
1.1参考系 1.2质点运动的矢量描述
v2
Δv
Δ v v2 v1
a
Δv Δt
d2x d2 y d2z 2 i 2 j 2 k dt d t d t a axi a y j az k
dt
x
dt
i
dt
j
z
dt
k
大小： a
2 2 ax ay a z2
4. 运动学的两类问题
d v a 10 j (SI) dt
v dt r t r0 dr t0 v dt
dr vdt
例. 设某一质点以初速度 x 10(1 e 10t ) x0 10(1 e 100 ) 10(1 1) 0 作直线运动,其 加速度为 . 问： x 10(1 e 10 ) 10(1 0) 10 质点在停止前运动的路程有多 x x x 0 10(m) 长？ 解：质点作直线运动 dv 思考,该题还有别的方法解吗？ a 10 v 分离变量 dv 10d t
t
d lim 角速度: t 0 t dt
角速度矢量: 2)角量
方向按右手螺旋规定.
3)线量 Δs Δθ v lim r lim 速率 Δt 0 Δt Δt 0 Δt r (t ) 速度 y Be t
r
o
A
dv d e d v a et v t dt dt dt dv 切向加速度 a t a t et et dt
等号右边第二项
dv d e 所以 a et v t dt dt
d an v en v en dt
关于质点运动的矢量及其分量描述的一般讨论
关于质点运动的矢量及其分量描述的一般讨论质点运动是物理学研究的重要内容之一。
在研究质点运动时，需要对其运动状态进行描述。
常用的描述方式是采用矢量及其分量进行描述。
矢量是具有大小和方向的物理量，可以用箭头表示。
在描述质点运动时，常用的矢量有位移矢量、速度矢量和加速度矢量。
位移矢量表示质点从初始位置到末位置的位移，可表示为：$vec{s}=vec{r_f}-vec{r_i}$其中，$vec{r_f}$和$vec{r_i}$分别表示末位置和初始位置的位置矢量。
位移矢量的大小为位移的距离，方向为位移的方向。
速度矢量表示质点在某一时刻的速度，可表示为：$vec{v}=frac{Deltavec{r}}{Delta t}$其中，$Deltavec{r}$表示时间间隔内的位移矢量，$Delta t$表示时间间隔。
速度矢量的大小为速度的大小，方向为速度的方向。
加速度矢量表示质点在某一时刻的加速度，可表示为：$vec{a}=frac{Deltavec{v}}{Delta t}$其中，$Deltavec{v}$表示时间间隔内的速度变化量，$Delta t$表示时间间隔。
加速度矢量的大小为加速度的大小，方向为加速度的方向。
矢量分量是将一个矢量沿着不同方向分解为多个分量，常用的矢量分量有$x$分量、$y$分量和$z$分量。
对于位移矢量$vec{s}$，可以将其沿着$x$轴、$y$轴和$z$轴分解为三个分量，分别表示为$s_x$、$s_y$和$s_z$：$s_x=left|vec{s}ight|cdotcostheta_x$$s_y=left|vec{s}ight|cdotcostheta_y$$s_z=left|vec{s}ight|cdotcostheta_z$其中，$theta_x$、$theta_y$和$theta_z$分别表示位移矢量与$x$轴、$y$轴和$z$轴的夹角。
对于速度矢量$vec{v}$和加速度矢量$vec{a}$，同样可以将其沿着$x$轴、$y$轴和$z$轴分解为三个分量，分别表示为$v_x$、$v_y$、$v_z$和$a_x$、$a_y$、$a_z$。
矢量及其计算-质点运动的矢量描述
Physics Enlightens the World ！
主讲人： 周雨青
大 学 物 理 学
2.物理学对其它科学（学科）的作用和影响
（1）是基础和发源地 学科：电器和电机工业——电磁学；热能工业——热学；材料科学——原子、分子 和凝聚态物理；等等 工具：扫描电子隧道显微镜——量子隧道效应；等等
0.1物理学是人类科学发展的动力和源泉
（2）提供思想和方法：
法拉第电磁感应——变化的眼光看待问题 守恒定律——用“对称”的方法处理问题 牛顿、爱因斯坦、普朗克——用“区别”的方法对待问题 麦克斯韦电磁理论——用“联系”的观点分析问题
五.矢量的微分与积分 A Ax i Ay j Az k
1.微分
dA dAx dAy dAz j i k dt dt dt dt
x
2.积分 Adt ( A dt )i ( Ay dt ) j ( Az dt )k
o x
2.位移矢量 r
3.速度矢量
y
v
A(t ) s rA r B(t t ) rB r
o
4.加速度矢量
a
x
v1
z
y
A(t ) v 1 rA B(t t ) rB
o
v2 v
v2
x
z
例 一运动质点在某瞬时位于径矢 r ( x, y )
例证：（1）亚里斯多德（Aristotole公元前384-322）首次从哲学中将物理学分化 出来
质点的位置矢量
y=y(x)
此即质点的轨迹方程
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例题： 一质点的运动学方程为
r=Rcos ti+Rsin tj,求以形式f(x,y)=0写出的轨迹方 程。
解： 由运动学方程可知
x=Rcos t 则得 y=Rsin t
2 2 2 2 R (cos t+sin t)=2
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β p′
x r cosβ=
y 位置矢量的方向余弦满足：
y r cosγ= z r
2 2 则 cos 2 α+ cos β+ cos γ=1
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3.质点的运动学方程 例 威尔孙云室观察粒子轨迹
观察微观粒子的轨迹是比较困难的，威尔孙发明了云室，通过云室 可以观察到粒子的轨迹，从轨迹特征可知观察到的是正电子。
r+△r
z
p
飞机从p点飞到p′点
r=op x
o y
建立直角坐标系Oxyz,令原点与参考点重合，位置矢量 在直角坐标系Oxyz中的正交分解形式为
r=xi+yj+zk
x、y、z 称作质点的位置坐标
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2.位置矢量的大小和方向
z 位置矢量的大小 p γ
2 +z 2 r=√x +y 2
o
α x
cosα=
返回
1.位置矢量：r=xi+yj+zk
大小： 方向： 2 +z 2 r=√x +y 2
总 结
2 2 cos 2 α+ cos β+ cos γ=1
2.质点的运动学方程： r=r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k
第1章-矢量分析质点运动学
ρ ∆s
P 1
P 2
v et (t )
v v 方向： 方向： ∆e ⊥ e t t
v v d et ∆et ∆θ v = lim = lim en d t ∆t→0 ∆t ∆t →0 ∆t ∆s v 1 d s v ν v = lim en = en = en ∆t →0 ρ∆t ρ dt ρ ∆s
−2 −2
−1
at = α r = (−2) × 0.2 m ⋅ s = −0.4 m ⋅ s
−2
an = rω 2= 0.2(−2 ×1 + 4)2 m ⋅ s−2 = 0.8 m ⋅ s
v v −2
v an
o
M
θ
a = a + a = 0.89 m ⋅ s
2 t 2 n
v at
x
an 0.8 θ = arctan = arctan = 63.4° at 0.4
v v v v = ω×r
v v v dv dω v v dr = × r + ω× dt dt dt
O
v v
R
v θ r
x
z
v v v v v a = α × r + ω× v v v Q α × r = α R 方向沿着运动的切线方向。 方向沿着运动的切线方向。 v v ∴ α × r 为切向加速度 v v Q ω⊥v y v v v ω 2 ∴ ω × v = ωv = ω R v v R v v 为切向加速度 α ×r v θ r v v 方向指向圆心 x O ω× v
例2 设某一质点以初速度 动，其加速度为 前运动的路程有多长？ 前运动的路程有多长？ 解：因作一维运动, 所以下面仅考虑投影 因作一维运动,
质点速度矢量表达式
质点速度矢量表达式引言：质点速度矢量是描述质点运动状态的重要物理量，它包含了质点运动的方向和速率信息。
在本文中，我们将探讨质点速度矢量的定义、计算方法以及与其他物理量的关系，以帮助读者更好地理解和应用质点速度矢量。
一、质点速度矢量的定义质点速度矢量是指质点在某一瞬间的速度所对应的矢量。
速度是物体在单位时间内所运动的距离，而速度矢量则不仅包括了速度的大小，还包括了速度的方向。
二、质点速度矢量的计算方法质点速度矢量的计算方法主要有两种：平均速度和瞬时速度。
1. 平均速度平均速度是在一个时间间隔内，质点所运动的总距离与总时间的比值。
它可以用以下公式表示：平均速度 = （位移矢量）/（时间间隔）2. 瞬时速度瞬时速度是指质点在某一瞬间的瞬时速度。
它可以用以下公式表示：瞬时速度 = （位移矢量）/（时间间隔的极限值）三、质点速度矢量与其他物理量的关系质点速度矢量与位移矢量、加速度矢量以及力矢量等物理量之间存在着一定的关系。
1. 速度矢量与位移矢量的关系速度矢量可以看作是位移矢量相对于时间的导数。
即速度矢量等于位移矢量对时间的导数。
2. 速度矢量与加速度矢量的关系速度矢量可以看作是加速度矢量相对于时间的导数。
即速度矢量等于加速度矢量对时间的导数。
3. 速度矢量与力矢量的关系根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度。
而速度矢量可以看作是加速度矢量对时间的积分。
所以，力矢量等于质点质量乘以速度矢量对时间的导数。
四、质点速度矢量的应用质点速度矢量在物理学中有着广泛的应用。
它可以用来描述质点的运动轨迹、速度大小和方向等信息，进而推导出质点的加速度、力等相关物理量。
1. 运动轨迹通过分析质点速度矢量的变化，可以确定质点的运动轨迹。
例如，若质点速度矢量不变，则质点沿直线运动；若质点速度矢量随时间变化，则质点将沿曲线运动。
2. 速度大小质点速度矢量的大小表示质点单位时间内运动的距离，可以用来衡量质点的速度大小。
速度大小与质点的加速度和力的大小等因素有关。
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(1)平行四边形法则(三角形法则）
两个矢量相加
B
A C B
A
B
C
o
A
C AB
AC B
C AB B A
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矢量
合矢量的大小和方向
C A2 B2 2ABcos(180 ) A2 B2 2ABcos
B
C
o A
C AB
t0 t
t0 t
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矢量
即 d A(t) lim Ax i lim Ay j lim Az k
dt
t0 t
t0 t
t0 t
dAx (t) i dAy (t) j dAz (t) k
dt
dt
dt
可以知道：矢量函数的导数仍然为一矢量。
；
dt
dt
（4）
2 adt ? ，
2 bdt ?
0
0
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矢量
解：（1）
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d s
b
F
矢量
例 0-1
已知两矢量：
a
4i
3
j
k ，b
3i
4
j
5k ，通
过矢量运算求：
（1）以
a、
b 为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；
（2）该平行四边形的面积；
（3）该平行四边形的内角。
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o
A
A
C B
二分矢量：取平面直角坐标系
三分矢量：取空间直角坐标系
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①平面直角坐标系
Ax Acos
Ay Asin
A Ax i Ay j
A Ax2 Ay2
arctg Ay
Ax
两矢量相加 A B
A Ax i Ay j B Bx i By j
矢量
五、矢量函数的导数和微分 恩格斯指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来 不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动”。
（1）矢量函数 在物理上遇到的矢量多为参数时间t的函数。若某一矢量 A 与变 量t之间存在一定的关系，当变量t取定某个值后，矢量有唯一
确定的值（大小和方向）与之对应，则称 A为t的矢量函数，即
Bz
(t)k
则矢量函数 A(t) 称矢量函数 B(t) 的积分，记作
A(t) B(t)dt Bx (t)i By (t) j Bz (t)k dt
Bx (t)dt i By (t)dt j Bz (t)dt k
Ax i Ay j Az k
tg B sin A B cos
arctg( B sin ) A B cos
问题：如何计算多个矢量相加？
AB
C
D
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BC D
A E E ABCD
o
矢量
两个矢量相减
A B A (B)
B
B
A
o
B
(2)矢量合成的解析法
A
限制分矢量个数和方向
矢量
表示：①矢量通常用带箭头的字母表示，如 A ，或黑体字
母A表示。
A
②在空间用一有向线段表示，如
单位
注意：
①只有大小相等、方向相同的两个矢量才相等；
A B
AB
②若大小相等、方向相反，则互称负矢量；
A
C
A C
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③将一矢量平移后，矢量的大小和方向不变，
A
B
二、矢量的模和单位矢量
矢量
解：（1） a
b
7i
j
4k ， l1
a
b
66 8.12
a
b
i
7j
6k ， l2
a
b
86
j 3
k
1 11i 23 j 25k
3 4 5
S
A(t) Ax (t)i Ay (t) j Az (t)k
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矢量
（2）矢量函数的导数
A(t) Ax (t)i Ay (t) j Az (t)k
当变量t改变Δt时，
A
A(t
t)
A(t)
Axi
Ay
j
Az k
C (Ax Bx )i (Ay By ) j
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y Ay
A
o
Ax x
y
Cy
C
By
B
Ay A
Bx Ax Cx x
矢量
C (Ax Bx )i (Ay By ) j
其中 Cx Ax Bx
Cy Ay By 则 C Cxi Cy j
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矢量
根据以上性质可以得到直角坐标系的单位矢量有如下关系
i • i j • j k • k 1,
i• j i•k j•k 0
正交
若具有如下两个矢量
A Ax i Ay j Az k B Bx i By j Bz k 则 A• B (Ax i Ay j Az k) • (Bx i By j Bz k) Ax Bx Ay By Az Bz
A Ax i Ay j Az k
A B (Ax Bx )i (Ay By ) j (Az Bz )k
B Bx i By j Bz k
A B (Ax Bx )i (Ay By ) j (Az Bz )k
矢量
四、矢量的乘积
②空间直角坐标系
y
Ay
Ax Ax i Ay Ay j Az Az j
A Ax i Ay j Az k A Ax2 Ay2 Az2
A
j
o
ki
Ax x
Az z
arccos Ax , arccos Ay , arccos Az
A
A
A
两矢量相加减 A B
两个以上矢量相加
C
Cx2
C
2 y
arctg Cy
Cx
y
Cy
C
By
B
Ay A
Bx Ax Cx x
S A B C ... (Ax Bx Cx ...)i (Ay By Cy ...)j Sxi Sy j
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i
d
2
Ay
j
d
2
Az
k
dt2 dt2
dt 2
dt 2
矢量函数的导数性质：
(1) d ( A B) d A d B
dt
dt dt
(2) d (m A) dm A m d A
dt
dt
dt
(3) d ( A • B) d A • B A • d B
dt
dt
dt
(4) d ( A B) d A B A d B
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矢量函数的积分性质：
(1) ( A B)dt Adt Bdt (2) m Adt m Adt, (m为常量）
(3) ( A • B)dt AxBx AyBy Az Bz dt
(4) ( A B)dt
( Ay Bz Az By )i ( Az Bx AxBz ) j ( Ax By Ay Bx )k dt
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物理应用 ①已知加速度，求速度
a dv dt
d v adt
②已知速度，求位移
v adt
v dr dt
该矢量函数的导数矢量大小为 d A(t)
dt
该矢量函数的导数矢量方向
dA
dt
其方向为当t 0时 A 的极限方向。即为A(t) 曲线的切线且指向与时间增加相对应的方向。
A A(t)
A(t t)
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同理可以得到该矢量函数的导数矢量二介导数：
d
2
A
d 2 Ax
dt
dt
dt
dt
同理加速度为：
a
d v(t) dt
d
2 x(t dt 2
)
i
d 2 y(t) dt 2
j
d 2 z(t) dt 2
k
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（3）矢量函数的积分
若矢量函数 A(t) 的导数 B(t) 已知，即
d
A(t) dt
B(t)
Bx
(t)i
By
(t)
j
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③矢量的矢积
若两矢量 A 和 B 相乘得到一个矢量的叫做矢积，定义为 C AB
矢量 C 的大小为 C ABsin
矢量 C 的方向
C
A B
符合右手螺旋法则
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