用量子力学讨论氢原子问题

用量子力学讨论氢原子问题

摘要:本论文在量子力学理论计算的基础之上,对求解出来的能量及能量本征函数对氢原子的光谱系、能级、简并度、概率分布以及电流分布与磁矩的变化等性质进行了详细讨论,并对其给予了定量的解释说明。

关键词:量子力学氢原子光谱系能级

1900年,普朗克假说脱颖而出并率先在黑体辐射上有新的突破,1905年,爱因斯坦用量子化概念成功的解释了光电效应,1911年,卢瑟福依据粒子散射实验提出原子核式结构模型,接着1913年,玻尔在前人研究的基础上建立“玻尔理论”。但玻尔理论是以经典物理为基础,加上一些量子化的条件限制,具有一定的局限性。到玻尔理论建立十年之后,量子力学体系逐步建立起来,才完全解释了原子问题。而氢原子是最简单的原子,在量子力学建立过程中有着特殊地位。通过计算,已经得到氢原子的能量及能量本征函数,即氢原子的能量为:,氢原子的本征函数为:

。在此基础之上,本文就氢原子的光谱系、能级、简并度、概率分布以及电流分布与磁矩的变化等性质进行了详细讨论,并对其给予了定量的解释说明。以便为解决其它复杂原子和分子结构作一基础。

1 氢原子的能级分布

根据前面解出的归一化的径向波函数的通解,可得出最低几条能级的径向波函数是:

n=1,;

n=2,,;

n=3,,

,

2 能级的简并度

对于给定能级(即给定主量子数n),按式

=0,1,2,…,n-1

相应有:=n-1,n-2,n-3,…,0

而对于给定量子数,磁量子数可以取个可能值

m=,-1,…,-+1,-

因此,属于能级共有量子态的数目为:,

此即的简并度。

由计算结果可以看出,它比一般中心力场能级的简并度高,这是因为,一般中心力场中的粒子的能级,依赖于量子数和,但是氢原子的核

外电子处在库伦场中,能量只依赖于n,它是和的一种特殊组合,即,对于给定能级,角动量可以取0,1,…,。此即简并,这比一般中心力场的简并度要高。从径向方程求解可以看出,这是∝所导致的。从物理上讲,这是氢原子核外电子所处的库伦场比一般的中心力场的几何对称性更高的动力学对称性的表现。

3 氢原子的光谱线规律

从较高能级到较低能级跃迁时,发射出光线的波函数为:

(﹥)

(里德伯常数)

对于=1,即从各激发态到基态的跃迁,

=2,3,4…

其极限位置在,这就是lyman线系,它处于紫外光谱区。

对于=2,则有: =3,4,5 …

就形成Balmar线系,此线系处于可见光谱区。

对于=3,则有: =4,5,6 …

就形成Pashen线系,此线系处于红外区。

以此类推,具有不同的值,就形成不同的线系。

4 径向位置概率分布

按照波函数的统计诠释,在定态之下,在球壳中找到电子的概率为:

。

5 概率分布随角度的变化

按照波函数的统计诠释,在定态之下,在方向的立体角找到电子的概率为:∝.

它与角无关,即绕轴旋转是对称的,这是因为是的本征态的缘故,因此,可以用通过周的任何一个平面上的曲线来描述概率密度随角的变化。

6 电流分布与磁矩

按照波函数的统计诠释,在定态之下,电子的电流密度为:

利用球坐标系中梯度的表示:

由于的径向波函数及部分波函数都是函数,,

所以,通过的电流元为,它对磁矩的贡献为,是绕轴的环的面积,因此总磁矩为:

利用归一化条件,可得:,其中(波尔磁子)。

7 结语

本文在计算出氢原子的能量及能量本征函数的基础之上,进一步对氢原子的光谱系、能级、简并度、概率分布以及电流分布与磁矩的变化等性质进行了详细讨论,并对其给予了定量的解释说明,可以得出以下结论:(1)氢原子的能级分布为:第一条能级很低,随着n的增大,能级越来越密,在E接近0的区域内,有无限多分离的能级,在E大于0的区域内,为连续区。(2)氢原子的能级简并度。(3)氢原子的光谱公式为:(﹥),(里德伯常数)。对于不同的,可以观察到不同的线系。(4)氢原子在径向位置概率分布中,的节点数(不包括点)为,而概率分布与角无关,即对轴旋转是对称的。(5)氢原子中电流是绕轴的环电流密度,并且其磁矩为。

参考文献

[1] 曾谨言.量子力学[M].北京:科学出版社,1989.

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[3] 张爱军,耿延珍,吕正山.对氢原子光谱线的讨论[J].大学物理实验,1999(12).

[4] 罗任远.如何理解量子力学中氢原子的能级[J].赣南师范学院学报,1999(6).