用量子力学讨论氢原子问题
第九节氢原子的量子力学处理
2、角动量量子化与角量子数：
L l (l 1), l 0,1,2, n 1.
l叫角（动量）量子数，取值范围受到n的限制。
3、空间量子化与磁量子数：
Lz ml , ml l ,l 1,, l 1, l.
《大学物理》
教师：
胡炳全
三、斯特恩-盖拉赫实验，电子自旋
自旋磁量子数: s 1 / 2.
《大学物理》
教师：
胡炳全
第九节 氢原子的量子力学求解方法： 一、氢原子的薛定谔方程:
( r ) ( r ) ( r ) 2m e 2 [E ] (r ) 0 2 2 2 x y z 4 0 r
2 2 2 2
在极坐标下使用分离变量，即:
(r ) R(r )( )( )
电子自旋概念解释了斯特恩-盖拉赫实验的偶数条谱线的 结果，同时还解释了光谱精细结构等问题。
《大学物理》
教师：
胡炳全
氢原子中，电子的运动状态可以由四个量子数来确定：
主量子数 : n 1,2,3 角量子数 : l 0,1,2,n 1.
磁量子数 : ml 0,1,2, l.
2 l 2
二、量子数与氢原子相关物理量： 1、能量量子化与主量子数： 上述关于R的二阶微分方程有解的条件是：
me 4 1 1 En 2 13 .6 2 (eV ) 2 2(4 0 ) n n
n=1，2，3…叫氢原子的主量子数。它决定氢原子的能量。
《大学物理》
教师：
胡炳全
1、斯特恩-盖拉赫实验Leabharlann 《大学物理》教师：
胡炳全
测量结果：
•是分离谱线；说明空间量子化是确实的。 •但谱线条数是偶数。空间量子化的规律有新原因。 2、电子的自旋： 电子自旋角动量：
用基础量子力学解释氢原子
用基础量子力学解释氢原子四川师范大学本科毕业论文用基本量子力学解释氢原子——量子力学与氢原子的相遇相知相交学生姓名黄兰院系名称物理与电子工程学院专业名称物理学班级2008级 2 班学号2008070219指导教师侯邦品四川师范大学教务处二○一二年五月用基本量子力学解释氢原子本科生：黄兰指导老师：侯邦品内容摘要：主要从以下几个方面来运用基本量子力学解释氢原子。
1、氢原子的能级和能量本征函数。
首先介绍在量子力学中的波函数，再利用薛定谔方程来导出氢原子的能量本征函数，最后再分析它的物理含义。
2、氢原子的四个量子数的物理意义。
解释它们其与氢原子的能级的关系。
3、径向波函数和角度波函数。
主要是得出径向波函数和角度波函数同时给出它的物理意义。
4、简并性破除与量子激光。
氢原子的内部结构中电子在原子中受到的磁场的作用所产生的正常塞曼效应和反常塞曼效应，以及可能引起的电子跃迁。
5、氢原子的Stark效应。
氢原子在外场的作用下表现的Stark 效应，这部分将作简单的介绍。
关键词：量子量子力学氢原子 stark效应Schr?dinger方程Using quantum mechanics to explain the physical phenomena in hydrogen atomsAbstract:we shall use quantum mechanics to explain the physicalphenomena in the hydrogen atoms as follows: 1, the energy eigenfunctions for hydrogen are obtained after introducing the wave function in quantum mechanics . 2 , physical significance of the four quantum numbers in the hydrogen atoms.Here we shall focus on the hydrogen atom electron spin and its physical meaning of the four quantum numbers . 3, the radial wave function and the angle wave function . Coming to the radial wave function and the angle of the wave function at the same time we will get its physical significance. 4, the degeneracy is broken by magnetic fields. The normal and the anomalous Zeeman effect induced by magnetic field are introduced. 5, Finally, the the Stark effect in the hydrogen atomis briefly introduced.Key Words:Quantum Quantum mechanics Hydrogen atoms stark effect Schr?dinger equation目录引言 (4)1氢原子的能级和能量本征函数 (6)1.1波函数与Shr?dinger方程 (6)1.1.1波函数 (6)1.1.2波函数的归一化 (6)1.2 Shr?dinger方程 (7)1.2.1不含时Shr?dinger方程 (7)1.2.2 Shr?dinger方程的一般形式 (7)1.3中心力场中角动量守恒与径向方程 (7)1.4氢原子的能级与本征函数波函数 (8)2氢原子四个量子数 (11)2.1氢原子的定态薛定谔方程 (11)2.2 三个量子数 (12)2.3电子的自旋与第四量子数 (15)2.3.1斯特恩--盖拉赫实验(1921年) (15)3径向波函数和角度波函数 (17)3.1径向几率分布 (17)3.2电子的几率密度随角度的变化 (19)4氢原子四个量子数 ................................................................ 错误！未定义书签。
量子力学对氢原子的处理
(2)若 E<0, 即E=Ek+U<0 则 Ek＜U 根据其波函数必须满足的标准条件,解得
En
mee4
4
2 0
(2)2
1 n2
me4
8 02 h
2
1 n2
n=1,2,3,…
n 称为主量子数 n=1,2,3 ，…其决定着氢原子能量的取值。
5
n=1 ，称之为基态，代入有关数据,算得
E1 13.6eV
+
计算表明：
Lz ml ml 0,1,2...... l
Ml 称为磁量子数，其决定了电子角动量在空间的可能取向。 对于一个给定的 l ml=0， ± 1， ± 2，... ± l， 这时 L 在空间可以有 (2l+1) 个可能取向。
9
例：当 l=2 时， L 与轴的夹角可有如图的几种形式。 ml=0，± 1,± 2 ml=0 ，表示 L与 Z轴垂直 ,"±"表示 L 对 Z 轴正负向的投影,
l 0
2
对应于每一个能级有 n2 个简并态，
对应于每一个电子状态,需要三个量子数 n, l, ml 来描述。
11
3, … (n-1) 电子的状态 , 现仍沿用这些称号。 例如， n=2,l=0,1 就分别称之为 2 s态和 2 p 态，其对应关 系详见下节教材。 (3)简并现象，简并态,简并度
上面计算表明，对应于一个主量子数 n,可有 n 个不同的 l 值，也就是说，在同一能级，电子可取 n 个不同的角动量，电 子可取若干个不同的运动状态，这种现象称作 "简并" 现象。
d 2
d 2
ml
2
0
(1)
1
sin
氢原子 能级跃迁 量子力学
氢原子能级跃迁量子力学以氢原子能级跃迁为主题的量子力学研究是一项重要的物理学研究领域。
在量子力学中，氢原子是最简单的原子系统，其能级跃迁过程是量子力学理论的基础之一。
本文将从能级结构、跃迁机制以及实验观测等方面探讨氢原子能级跃迁的量子力学原理。
我们来了解一下氢原子的能级结构。
根据量子力学的理论，氢原子的能级由主量子数n、角量子数l和磁量子数m确定。
主量子数n 决定了能级的大小，角量子数l决定了能级的形状，而磁量子数m 决定了能级在空间中的方向。
氢原子的能级可以用能级图表示，其中每个能级用一个水平线表示，而能级之间的跃迁用垂直的箭头表示。
在氢原子中，能级跃迁可以分为吸收和发射两种过程。
吸收过程是指氢原子从低能级跃迁到高能级，而发射过程是指氢原子从高能级跃迁到低能级。
根据量子力学的原理，能级跃迁的发生是由于原子吸收或发射了一个能量等于能级差的光子。
根据能级差的大小，能级跃迁可以分为不同的系列，如巴尔末系列、帕舍尼系列等。
在量子力学中，氢原子能级跃迁的概率可以用跃迁几率表示。
跃迁几率与跃迁矩阵元相关，而跃迁矩阵元又与波函数之间的叠加积分有关。
根据量子力学的计算方法，可以通过求解氢原子的定态薛定谔方程来计算跃迁几率。
定态薛定谔方程是一个偏微分方程，通过求解该方程可以得到氢原子的波函数，进而计算出能级跃迁的几率。
实验观测是验证量子力学理论的重要手段之一。
通过精密的实验测量，科学家们可以观察到氢原子能级跃迁的现象，并验证量子力学的预测。
实验观测可以通过光谱技术来实现，光谱技术可以分析物质吸收或发射的光线的频率和强度。
利用光谱技术，科学家们可以测量氢原子能级跃迁所对应的光谱线，从而验证量子力学理论对能级跃迁的描述。
在实际应用中，氢原子能级跃迁在很多领域都有重要的应用价值。
例如，在激光技术中，氢原子能级跃迁可以用来产生激光光源。
通过在氢原子中引入外部能级跃迁的能量，可以激发氢原子发射出一束高强度、单色性好的激光光束。
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的相对论性量子力学方程，是描述基本粒子的标准模型中的重要组成部分。
而氢原子是量子力学初学者学习的第一个模型问题，所以求解氢原子的问题可以帮助我们更好地理解狄拉克方程的物理和数学含义。
在这篇文章中，我们将尝试使用狄拉克方程来求解氢原子的问题。
首先，我们先来回顾一下氢原子的非相对论性量子力学描述。
氢原子的非相对论性薛定谔方程可以写为:\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi - \frac{e^2}{r}\Psi = E \Psi\]其中，\(\Psi\) 是波函数，\(m\) 是电子的质量，\(e\) 是元电荷，\(E\) 是能量。
在经典非相对论性量子力学理论中，薛定谔方程可以成功地描述氢原子的能量谱和波函数，但是当我们要考虑到电子的自旋以及相对论性效应时，就需要使用更加全面的狄拉克方程。
狄拉克方程可以写为：\[(i\hbar \gamma^{\mu}\partial_{\mu} - mc)\Psi = 0\]其中，\(\gamma^{\mu}\) 是4x4的矩阵，被称为狄拉克矩阵，\(\mu\) 取值0,1,2,3，代表时空的分量，\(m\) 是电子的静质量。
为了更加方便地求解问题，我们可以进行相应的单位转换，使得\(\hbar = c = 1\)。
然后，我们可以选择如下表示狄拉克矩阵：\[\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}, \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}\]其中，\(I\) 是2x2单位矩阵，\(\sigma^i\) 是Pauli矩阵。
接下来，我们可以用这个矩阵表示来展开狄拉克方程，将波函数表示为二分量形式\(\Psi= \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix}\)，并且对狄拉克方程取伴随得到：\[(i\partial_0 - \gamma^i\partial_i - m)\Psi^{\dagger} = 0\]接下来，我们要求得狄拉克方程的解，这一步是非常复杂的，我们需要使用一些高等数学知识和物理知识。
氢原子的量子力学理论
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
氢原子的原子轨道能量取决于量子数
氢原子的原子轨道能量取决于量子数在物理学和化学中，氢原子是一个非常重要的模型系统，它有助于我们更深入地理解原子结构和量子力学的基本原理。
氢原子的原子轨道能量是由量子数决定的，这是一个非常重要且深奥的主题。
在本文中，我将从简单的介绍开始，逐渐深入探讨氢原子的量子数及其对原子轨道能量的影响。
1. 起源与基本概念氢原子是由一个质子和一个电子组成的最简单的原子系统。
在氢原子中，电子围绕质子运动，而这种运动的轨道和能量是由量子力学描述的。
量子力学给出了一些特定的量子数，它们决定了氢原子的轨道能量和结构。
2. 主量子数和能级让我们来看看氢原子的主量子数。
主量子数n是一个整数，表示氢原子轨道的主要能级。
主量子数越大，能级越高，能级越高，对应的轨道能量也会越高。
主量子数决定了氢原子轨道的基本能量结构。
3. 角量子数和轨道角动量角量子数l则描述了氢原子轨道的形状。
角量子数l包括0到n-1的整数取值，不同的l对应着不同形状的轨道。
对于给定的主量子数n，轨道角动量和轨道能量是由角量子数决定的。
这样，我们可以看到，角量子数l对氢原子轨道能量的影响是非常明显的。
4. 磁量子数和轨道磁矩除了主量子数和角量子数，磁量子数m还起着重要的作用。
磁量子数描述了轨道在外磁场中的取向，它决定了氢原子轨道的磁矩。
虽然磁量子数对氢原子轨道能量的影响不如主量子数和角量子数明显，但在一些特定情况下，它也是非常重要的。
通过以上简要介绍，我们可以看到氢原子的原子轨道能量确实取决于量子数。
主量子数、角量子数和磁量子数这三个量子数共同决定了氢原子轨道的能量结构，而轨道能量的结构又直接影响着氢原子的化学性质和光谱特性。
从深度和广度的角度来看，氢原子的量子数不仅影响着其轨道能量，还涉及到了原子的化学键、化学反应以及原子光谱等许多方面。
深入理解氢原子的量子数对于理解化学和物理学的基本原理是非常重要的。
总结回顾在本文中，我从氢原子的基本构成和量子力学的基本原理出发，逐步介绍了氢原子的主量子数、角量子数和磁量子数对轨道能量的影响。
氢原子的量子力学描述
氢原子是最简单的原子，核外只有一个电子绕核运动，质子和电子之间存在库仑相互作用。
由于质子的质量是电子质量的大约2000倍，一般可以建立一个坐标系，把坐标原点取在质子上。
电子受原子核的库仑场作用，势能函数为：r e r U 024)(πε-=0222=-+∇)r ()]r (U E [m )r ( ψψ0)()4(2)(0222=++∇r r e E m r ψπεψ由于氢原子具有球对称性，可用球坐标系表示定态薛定谔方程：)(sin sin 1)(1222θψθθθψ∂∂∂∂+∂∂∂∂r r r r r 0)4(2sin 10222222=++∂∂+ψπεϕψθr e E m r 其解一般为的函数：ϕθ,,r ),,(ϕθψψr =定态薛定谔方程设波函数为)()()(),,(ϕθϕθψΦΘ=r R r 代入球坐标系的薛定谔方程，在求解波函数时，考虑到波函数应满足的单值、有限、连续以及归一化的标准化条件，可得到氢原子的量子化特征。
我们主要对一些重要的结论进行讨论。
()),3,2,1(12422204 =⋅-=n nme E n πε1. 能量量子化 主量子数求解薛定谔方程，得到氢原子的能量为n — 主量子数注意：⑴ 氢原子能量是一系列离散值 —— 反映能量量子化能级间隔随主量子的增大而减小，↓∆↑⇒E n ⑵ 最低能级对应1=n eV E 6.131-=基态能量eV nE n 26.13-=采用分离变量法，可得到三个常微分方程，分别求解出相应的函数和量子数。
n =1 基态能量eV 6.131-=E eV 6.131=-∞E E n = 2,3,… 对应的能量 称为激发态能量eV 40.32-=E eV 51.13-=E 当 n 很大时，能级间隔消失而变为连续值对应于电子被电离∞=n 当 ，0=∞E ∞=n 11E 232E 3E 454E ∞E ∞2. 角动量（动量矩）量子化 角量子数电子绕核运动 求解薛定谔方程结论：电子绕核运动的转动角动量是量子化的)1(+=l l L 角动量— l 副量子数（角量子数）氢原子的电子电离能为：eV n E n 26.13-=氢原子能量公式)1(,,2,1,0-=n l氢原子中电子的量子态n =1n =2n =3n =4n =5n =6l = 0l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s 5f 5d 5p 5s 6s 6p 6d 6f 6g 6h 4s 3s 3p 4f 3d 4p 4d 5g 2p 2s )1(+=l l L 共有 n 个可能的取值用,,,,f d p s 分别代表 ,3,2,1,0=l 等各个量子态玻尔的旧量子论与量子力学描述电子运动的角动量量子化的区别注意：若 l = 0有 L = 0电子的概率分布具有球对称性角动量为零)1(,,2,1,0-=n l 角动量（动量矩）量子化3. 空间量子化（空间取向量子化） 磁量子数角动量空间取向是量子化的—— 电子运动具有角动量量子化波函数 电子运动相当于一圆电流圆电流具有一定磁矩 磁矩在外磁场作用下具有一定取向 电子运动的磁矩方向与其角动量方向相反 电子转动角动量方向有确定的空间取向ZB , LθμzL o 经典理论：空间取向连续θ可取π→0的任意值量子力学：空间取向不连续z L ，只取一系列的离散值 m L z =ll l l l m -----=),1(,,2,1, 角动量空间取向是量子化的 m —— 磁量子数对应一个角量子数 l ，角动量有 2 l +1个取值例 11=l 1,0±=m Z B , o -例 22=l 2,1,0±±=m Z B , o- 22- 6)1(=+=l l L 2=L 21=+=)l (l L 例 3 设氢原子处于2 p 态，试分析氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向？解：2 p 态表示： n = 2, l = 1得eV 40.32-=E 角动量的大小为2)1(=+=l l L 当 l =1 时，磁量子数 m l 的可能值：-1, 0, +1，则角动量方向与外磁场的夹角的可能值为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=4324)1(arccos πππθl l m l eV 6.132nE n -=4. 电子云 （Electron cloud ）—— 电子的概率分布电子在绕核运动中无固定点、无轨道概念，只能用各处出现的概率来描述电子运动的状态，故用电子云的密度形象地显示概率分布。
氢原子的量子力学
]Θ
=0
（2）
12
用分离变量法解此方程，设解为： = R ( r )Θ (θ )Φ (φ ） ψ （ r,θ ,φ ） 代入方程分别得三个微分方程：
dΦ + m 2 2 lΦ = 0 dt 1 d d Θ l ( l +1) sin [ ( ) + θ sin d θ θ d θ
2 1 d 2dR 2m e r ( ) + 2 2 [E + h r dr dr 4 π ε r
53
=0
量子力学对塞曼效应的解释
dΦ + m 2 （1） 2 lΦ = 0 dt 在求解方程（1）时，Φ (φ ) 必须满足标准 条件，自然得到 m l 只能取0，或正负整数 ml ] 0 2 = Θ sinθ 在求解上述方程时，得到的解要求 m l l
54
2
值。 1 d sin d Θ l ( l +1) [ ( ) + θ sin d θ θ d θ
n =4 4s n =5 5s
4p
5p
4d
5d
4f
5f 5g
31
氢原子内电子的状态 l=0 l=0l=0 l=0 l=0 l=0 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s n =2 2s n =3 3s 2p 3p 3d
n =4 4s n =5 5s n =6 6s
4p
5p
4d
h μ ν
0
β
B
1 E +μ β B l 0 E l E 1 μβ B
0 0 0
l
E0
f
ν
(μ β =
0
ν
0
eB 4π m
量子力学中的氢原子结构分析
量子力学中的氢原子结构分析量子力学是一个让人感到神秘的学科，从微观角度研究原子和分子的行为和相互作用。
氢原子是量子力学中最简单的单电子原子，其结构对于研究其他多电子原子和分子具有重要意义。
本文将介绍氢原子结构的量子力学理论和现实应用。
1. 氢原子的波函数和能级量子力学中，波函数是用来描述粒子在空间中波动和存在的函数。
氢原子中电子的波函数可以用Schrodinger方程求解，得到如下公式：$\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta,\phi)$其中，$n$为主量子数，$l$为角量子数，$m$为磁量子数，$r$为离子半径，$Y_{l,m}$为球谐函数。
氢原子的能级也可以根据波函数求得。
具体方法是计算氢原子中电子的哈密顿算符在波函数上的期望值，得到：$E_n=-\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2n^2}$其中，$m$为电子质量，$e$为电子电荷，$\epsilon_0$为真空介电常数，$h$为普朗克常数。
这个公式称为Bohr模型，与实验值相比，精度较高，但仍会有误差。
2. 氢原子的谱线和光谱学氢原子发射光线的频率可以通过与氢原子内部能级的差值相对应。
这些频率形成了光谱线，分为巴尔末系（Balmer series）、洪特姆系（Lyman series）、帕舍尼亚系（Paschen series）等。
巴尔末系中电子从$n\geq3$的能级跃迁到$n=2$的电子能级，所产生的光谱线包括Bα、Bβ等。
这些线可以被用来确定物质的组成和温度等特征。
除了发光谱线，氢原子还可以吸收谱线。
在光谱学中，通过测量吸收谱线的强度和波长，可以确定物质的成分和性质。
而通过对氢原子谱线的研究和分析，可以深入了解物质和电磁辐射之间的相互作用。
3. 氢原子的电离和激发氢原子被电离（即，从基态跃迁到自由电子状态）所需要的能量称为氢原子的电离能。
氢原子的电离能是一个常见的物理量，被用来描述和比较物质的化学性质。
量子力学中的氢原子波函数
量子力学中的氢原子波函数在量子力学中，氢原子是一个非常重要的研究对象。
其波函数描述了氢原子的量子态，是解决氢原子的薛定谔方程得到的解。
氢原子波函数的形式可以通过求解薛定谔方程得到，它描述了氢原子中电子的位置和能量。
在这篇文章中，我们将探讨氢原子波函数的性质以及它在量子力学中的重要性。
一、氢原子波函数的基本性质氢原子波函数是一个复数函数，可以用来描述氢原子中电子的位置和动量分布。
波函数的模的平方给出了找到电子在不同位置上的概率密度。
具体来说，氢原子波函数有如下几个基本性质：1. 规范化：波函数必须是归一化的，也就是说波函数的模的平方在整个空间积分为1。
这保证了在任意位置找到电子的概率为1。
2. 连续性：波函数和其一阶导数在整个空间上必须是连续的。
这意味着波函数不能出现不连续的跳跃或奇点。
3. 平方可积：波函数的平方必须可积，也就是说其模的平方在整个空间上的积分是有限的。
这保证了波函数的总概率是有限的。
二、氢原子波函数的形式氢原子波函数的形式可以通过求解薛定谔方程得到。
一般来说，氢原子波函数可以写成径向波函数和角向波函数的乘积形式。
1. 径向波函数：径向波函数描述了电子与原子核之间的距离关系。
它是一个关于径向坐标的函数，常用的表示形式是利用Laguerre多项式和指数函数来表示。
2. 角向波函数：角向波函数描述了电子在各个方向上的分布情况。
它是一个关于极坐标的函数，常用的表示形式是球谐函数。
将径向波函数和角向波函数的乘积形式代入薛定谔方程，可以得到一系列的能量本征方程和对应的波函数解。
三、氢原子波函数的物理意义氢原子波函数是描述氢原子量子态的工具，它包含了电子的位置和动量信息。
通过对波函数的分析，我们可以得到以下几个重要的物理意义：1. 能级结构：氢原子波函数给出了氢原子中电子的能级结构。
电子的能量由波函数的离散本征能量给出，能量越低表示电子越靠近原子核。
2. 轨道形状：波函数的模的平方给出了找到电子在不同位置上的概率密度。
为什么量子力学氢原子基态n=1
量子力学是描述微观粒子行为的理论体系，它改变了人们对自然界的认识和理解。
氢原子是最简单的原子，由一个质子和一个电子组成，是研究原子结构和性质的重要模型。
在量子力学中，氢原子基态的能级被描述为n=1的状态，其特性受到广泛关注和研究。
本文将就为什么量子力学氢原子基态n=1进行探讨。
一、基态概念量子力学中，基态是指系统的最低能量状态。
对于氢原子而言，基态就是电子绕核旋转的最低能量状态，也是最稳定的状态。
基态的性质对于研究原子的结构和性质具有重要意义。
二、氢原子的基态能级1.氢原子的基态能级由原子的玻尔模型和量子力学给出。
2.玻尔模型通过经典物理的方法描述了氢原子的基态能级，但是无法描述大量实验现象。
3.量子力学将氢原子的基态描述为能级为-13.6电子伏特的状态，这个描述符合实验现象，更加精确。
三、基态n=1的性质1.基态n=1对应于氢原子最低能级的状态，这意味着电子距离原子核最近，具有最低的能量。
2.基态n=1的波函数是通过求解薛定谔方程获得的，描述了电子在基态下的运动和分布。
3.基态n=1还具有特定的角动量和自旋性质，这些性质影响着基态下氢原子的行为和相互作用。
四、基态n=1的研究意义1.研究基态n=1有助于深入理解氢原子的结构和性质，为原子物理和化学领域提供重要的理论基础。
2.基态n=1的研究可帮助科学家更好地探索和利用量子效应，拓展量子技术的应用范围。
3.氢原子基态的研究也有助于揭示基本粒子和宇宙的起源和演化规律。
五、未来展望1.随着实验技术和计算能力的提升，人们对氢原子基态的研究将更加深入和精确。
2.未来可以通过更精密的实验手段和更先进的理论模型来验证和理解基态n=1的特性。
3.量子技术的发展也将为基态n=1的研究提供更多机会和挑战。
量子力学氢原子基态n=1的研究对于推动原子物理和量子技术发展具有重要意义，也有助于揭示自然界微观世界的奥秘，值得科学家和研究人员进一步探索和挖掘。
六、氢原子基态n=1的实验研究量子力学氢原子基态n=1的理论研究为相应的实验提供了重要的指导和验证依据。
用量子力学计算氢原子
用量子力学计算氢原子作者：王宏来源：《科技资讯》2013年第16期摘要：氢原子是最简单的原子，在量子力学建立过程中有着特殊地位，有必要对其进行详细的求解。
该论文用量子力学理论，通过求解氢原子在库伦势场中的定态薛定谔方程，得到氢原子的能量及能量本征函数。
关键词：量子力学氢原子能量本征函数中图分类号：O413.1 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）06（a）-0193-01从17世纪牛顿力学出现以后，直到19世纪，电动力学，热力学和统计力学也陆续被建立，从而形成了一个完整的经典物理学体系。
可是，在解决黑体辐射、光电效应等实验时，经典物理学遇到了空前的挑战，需建立全新的理论来解决面临的困难。
1900年，普朗克假说在黑体辐射上有新的突破，1905年，爱因斯坦用量子化解释了光电效应，1913年，玻尔建立“玻尔理论”。
但玻尔理论具有一定的局限性，十年之后，量子力学体系逐步建立起来，才完全解释了原子问题。
而氢原子是最简单的原子。
因此，有必要用量子力学的方法对其进行严格的求解。
1 理论计算氢原子是最简单的原子，它是由一个电荷为的原子核与一个电荷为的电子构成的。
如果取无穷远为势能的零点，则质子与电子的库仑势能为V（r）=。
则根据定态薛定谔方程可求出氢原子的能量及能量本征函。
在以下的计算中，采用自然单位。
为方便，给出氢原子的自然单位：长度的自然单位：，能量的自然单位：。
氢原子的约化质量为，质子与电子的库仑势能为V（r）=。
考虑到V（r）的球对称性，我们采用球极坐标系。
而因为[]=0，所以角动量是守恒的，在球极坐标系下，薛定谔方程可表示为：[]=E （1）由于的各分量是守恒的，而各分量不对易，则根据简并定理可知能级有简并。
是守恒量，且与的每一个分量都对易，因此体系的守恒量完全集可以方便的选为（），方程（1）的解同时选为的本征态，即： (2)代入式（1），可得出径向波函数满足方程：=0 （3）和满足方程：而为的本征值，待定。
量子力学知识：量子力学中的氢原子模型
量子力学知识：量子力学中的氢原子模型量子力学中的氢原子模型量子力学被誉为20世纪科学最伟大的发现之一，它革命性地改变了我们对微观世界的理解。
其中最重要的应用之一就是描述原子和分子行为的氢原子模型。
本文将详细介绍氢原子模型的基本概念和量子力学的一些基本理论。
氢原子是由一个电子绕着一个质子核旋转而形成的，这一体系的动态性质可以用量子力学来描述。
氢原子模型是第一个获得广泛认可的量子机制之一，它将通常的经典物理学概念改变为一个新颖的量子体系。
量子力学在不同的层次上讨论氢原子模型。
首先，在氢原子模型中，一个质子核和一个电子被看做是相互作用的粒子。
接下来，基于薛定谔方程，氢原子模型计算出了由电子在磁场中移动到不同能级的数学解，称为氢原子的波函数。
这个波函数保证了各个能级都是正交的，因此，电子不可能处于处于其他能级，只能在某个特定的能量状态下。
氢原子模型中常用的概念有：能量、电子轨道和电子能级等。
首先，能量是氢原子中电子的属性。
根据量子力学，能量可以分成几个层次，从低到高的数值称为能量级别。
其次，电子轨道描述了电子在绕质子核旋转时的路径。
由于电子有自旋和质量，它们的径向运动和有规律的转动限制了电子轨道的几何形状。
最后，电子能级是电子在原子的能量状态。
在氢原子中，电子以一定的能量向外运动，然后跳到更高的能量轨道，也称为能级上。
当电子跳的距离越远，它就越容易使能量级差距越高。
氢原子模型中，电子最稳定的状态是它处于第一能级上，也称为基态。
电子在高能级不稳定的状态下，会形成激发态，并在一定时间内回到基态。
氢原子模型及其理论在量子力学中具有极高的应用价值。
首先，氢原子模型可以帮助我们预测氢原子的能量值和跳跃，根据氢原子的能级分布和电子轨道，我们可以理解元素周期表上元素的配置。
其次，由于其他的原子都是由更多的电子组成的，氢原子模型可以为复杂原子和分子的理解提供基础。
此外，氢原子模型还是理解化学反应和电子行为的重要工具。
总之，氢原子模型概述了原子和分子中电子的量子属性，它帮助我们理解原子中能级、电子轨道和电子状态的变化。
原子物理学——量子力学对氢原子的描述
§3.6 量子力学对氢原子的描述一、氢原子的波函数 1、薛定谔方程电子在原子核的库仑场中运动：re V 024πε-=定态薛定谔方程：)()(]42[0222r E r re m ψψπε=-∇- 氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：ϕθcos sin r x = ϕθsin sin r y =θcos r z = )(1222r r rr ∂∂∂∂=∇)(sin sin 12θθθθ∂∂∂∂+r2222sin 1ϕθ∂∂+r 氢原子在球坐标下的定态薛定谔方程：)(1[2222r r r r m ∂∂∂∂- )(sin sin 12θθθθ∂∂∂∂+r ψϕθ]sin 12222∂∂+r ψψπεE r e =-024 ),,(ϕθψψr = 2、分离变量(1)．),()(),,(ϕθϕθψY r R r =代入方程，并用),()(/2ϕθY r R r 乘以两边：2202222422)(1r rme r mE dr dR r dr d R πε++ λϕθθθθθ=∂∂+∂∂∂∂-=]sin 1)(sin sin 1[1222Y Y Y λ是一个与ϕθ,,r 无关的常数。
径向方程：0422)(1220222=-++R r R r me R mE dr dR r dr d r λπε 角方程：Y YY λϕθθθθθ-=∂∂+∂∂∂∂222sin 1)(sin sin 1 (2)．)()(),(ϕθϕθΦΘ=Y代入方程，并用)()(/sin 2ϕθθΦΘ乘以两边：νϕθλθθθθ=∂ΦΦ-=+ΘΘ2221sin )(sin sin d d d d d ν是一个与ϕθ,无关的常数。
0)sin ()(sin sin 12=Θ-+Θθνλθθθθd d d d022=Φ+∂Φνϕd 3、、R ΘΦ、三方程的解 (1)．Φ方程的解022=Φ+∂Φνϕd 令 2m =ν 022=Φ+∂Φm d ϕ方程的解为：ϕϕim Ae =Φ)( 波函数单值：)2()(πϕϕ+Φ=Φπϕπϕϕ2)2(im im im im e Ae Ae Ae ==+ 12sin 2cos 2=+=πππm i m e im 3,2,1,0±±±=∴m波函数归一化：12*220220===ΦΦ⎰⎰A d A d πππϕϕ π21=A ϕπϕim e 21)(=Φ 3,2,1,0±±±=m (2)．Θ三方程的解0)sin ()(sin sin 12=Θ-+Θθλθθθθm d d d d关联勒让德方程。
氢原子的量子力学模型概念
氢原子的量子力学模型概念在量子力学中，氢原子是一种重要的原子，描述它需要将它的物理原理应用到量子力学理论中。
氢原子的量子力学模型允许人们通过描述电子在能量状态下的运动，来推导出它的特性和性质。
本文将着重讨论氢原子模型的概念，用来解释氢原子在空间和动量空间的分布特性。
首先，要讨论氢原子的量子力学模型，就必须先知道原子的构成。
氢原子由一个质子和一个电子组成，它们由核周围的电磁力或强程度来绑定。
由于电子的电荷，它们会在电场的影响下产生动量。
此外，由于粒子的反离子性，它们在原子核周围会形成一个轨道系统。
因此，它们也会影响原子在空间上的分布特性。
其次，之后要讨论氢原子的量子力学模型，必须从氢原子能量状态开始。
根据量子力学的波函数原理，电子的能量状态表示其在空间的活动情况。
根据该原理，可以确定电子的能量状态，以及其对应的波函数。
当电子处于一定的能量状态时，它就会具有一定的动量特性；而当电子能量状态发生变化时，它们的波函数也会改变，从而影响其在空间和动量空间的分布特性。
再次，在探究氢原子模型的概念时，还需要关注能级在空间中的分布特性。
根据量子力学原理，电子所处的能级在空间中有一定的分布模式。
通常，电子会处于介于原子核和原子轨道的位置，即“环”的位置。
由于电子的运动轨迹有一定的循环特性，这个位置可以分解成电子轨道的半径和角度。
每个能级都有一定的半径，它们都按照一定的规律组合在原子核周围，从而构成空间分布模式。
最后，要解释氢原子模型的概念，就需要介绍动量空间的分布特性。
根据量子力学的精确的规律，可以将氢原子的运动状态分解成氢原子的动量k。
根据Schrdinger方程，氢原子的动量在空间中可以分解为两个分量，即有限的点动量和无限的连续动量。
连续动量k的分布特性取决于氢原子的总能量，而点动量k的分布特性则取决于电子在能量状态上的变化。
因此，要深入理解氢原子模型的概念，就要对电子在能量状态上的变化和它们在动量空间中的分布特性做出精确的说明与描述。
氢原子的量子力学研究进展
氢原子的量子力学研究进展近年来，量子力学在科学研究中扮演着越来越重要的角色。
作为量子力学研究的一个重要对象，氢原子一直是科学家们关注的焦点。
在过去的几十年里，氢原子的量子力学研究取得了许多重要的进展，为我们进一步理解量子世界提供了重要的线索。
1. 氢原子的波动性质在量子力学中，粒子的波动性质是其中一个核心概念。
氢原子作为一个简单的体系，其波动性质得到了深入的研究。
科学家发现，氢原子的电子不仅具有粒子性，还表现出波动性。
这种波动性反映在电子的波函数中，描述了电子在不同位置上的概率分布。
通过数学模型的建立和实验证明，氢原子电子的波函数具有离散的能级，即电子只能处于特定的能量状态下。
这些能量状态由主量子数（n）、角量子数（l）、磁量子数（m）等参数决定。
氢原子的波函数的解析解为球谐函数，它们描述了不同的波动模式和电子空间分布。
2. 氢原子的激发态与光谱氢原子不仅存在于基态，还可以被激发到高能态。
这些激发态可以通过吸收或发射光子的方式与基态之间发生能量的转换。
这种能量转换可通过氢原子的光谱来观察和解释。
科学家们通过对氢原子的光谱进行观察和分析，发现了许多重要的规律和现象。
例如，巴尔末系列和派兹明系列是氢原子在可见光区域的光谱线，其频率与能级之间的差别遵循一定的规律。
通过这些光谱线，科学家可以得到氢原子不同能级之间的能量差，从而进一步研究其内部结构和量子力学性质。
3. 氢原子的量子隧穿效应量子隧穿是量子力学中一个重要的现象，描述了粒子在经典物理上不可能出现的情况。
氢原子的量子隧穿效应在研究中得到了广泛的关注。
科学家们发现，当氢原子的波函数遇到势能垒时，波函数并不完全消失，而是以很小的概率透过势垒，并在另一侧重建波函数。
这种现象被称为量子隧穿，是经典物理学无法解释的。
通过量子隧穿效应的研究，科学家们不仅深入理解了氢原子的波动特性，还在其他领域中发现了类似的现象。
例如，量子隧穿在分子物理和固体物理的研究中也起到了重要的作用。
量子力学诠释下的氢原子光谱
量子力学诠释下的氢原子光谱量子力学是20世纪初由物理学家们发展起来的一种物理学理论，它描述了微观世界中粒子的行为。
在量子力学的框架下，氢原子光谱成为了一个重要的研究对象。
本文将通过量子力学的解释，探讨氢原子光谱的特点和意义。
首先，我们需要了解氢原子的结构。
氢原子由一个质子和一个电子组成，质子带有正电荷，电子带有负电荷。
根据经典物理学的观点，电子应该围绕质子做圆周运动，但实际上，根据量子力学的解释，电子并不是按照经典物理学的方式运动的。
量子力学认为，电子存在于一系列的能级中，每个能级对应着一定的能量。
当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，会吸收或释放能量，这就对应着氢原子的光谱。
根据量子力学的计算，氢原子的能级可以用以下公式来描述：E = -13.6/n^2其中，E是能级的能量，n是一个整数，表示能级的编号。
这个公式表明，氢原子的能级是量子化的，即只能取特定的能量值。
根据这个公式，我们可以计算出氢原子的各个能级的能量。
当电子从一个高能级跃迁到一个低能级时，会释放出能量，这些能量以光子的形式传播出来，形成了氢原子的光谱。
不同能级之间的跃迁对应着不同的光谱线。
氢原子的光谱可以分为系列，其中最著名的是巴尔末系列。
巴尔末系列包括了从其他能级跃迁到第一能级的光谱线。
这些光谱线对应着可见光的不同颜色，从紫色到红色依次排列。
这就是为什么我们在实验室中看到的氢原子光谱是一条连续的彩虹色带。
除了巴尔末系列，氢原子的光谱还包括帕舍尼克系列、布拉开特系列等。
这些系列对应着不同的能级跃迁，它们的光谱线分布在紫外、可见和红外等不同波长的区域。
通过研究这些光谱线，物理学家们可以了解氢原子的能级结构和电子的行为。
氢原子光谱在科学研究和实际应用中具有重要意义。
首先，它验证了量子力学的有效性。
通过量子力学的计算，我们可以准确地预测氢原子的光谱线的位置和强度，这与实验结果相符。
这表明量子力学是一种准确描述微观世界的理论。
其次，氢原子光谱的研究对于理解其他原子和分子的光谱也具有指导意义。
对量子力学的氢原子的理解
对量子力学的氢原子的理解：微观世界的奇妙之旅我和我的几个科学迷朋友，有一次聚在一起讨论量子力学里的氢原子，那场面就像一场充满奇思妙想的头脑风暴。
我的朋友阿明先开了口，他皱着眉头说：“你们说，氢原子就那么一个小小的东西，怎么在量子力学里就变得那么神秘呢？就像一个藏着无数秘密的小魔法盒。
”我笑着回应：“这氢原子啊，就好比是微观世界的超级明星。
你看，它只有一个质子和一个电子，可别小瞧了这简单的结构。
”这时候，我们的学霸朋友小美说话了：“其实啊，氢原子的电子轨道就很有趣。
它不像我们宏观世界里行星绕着恒星转有固定的轨道。
在量子力学里，电子是在一些特定的能级上，就像是在不同的楼层里活动。
我记得我做实验的时候，试图去测量电子的精确位置，可每次测量结果都不太一样，就好像这电子在跟我玩捉迷藏。
”阿明好奇地问：“那这能级是怎么回事呢？”小美耐心地解释：“能级就像是一个个能量台阶。
电子可以从一个能级跃迁到另一个能级，当它跃迁的时候，就会吸收或者释放能量，就像一个小跳豆在不同高度的台阶上跳来跳去，还带着能量的变化。
比如说，当电子从高能级跳到低能级，就会释放出光子，这就是氢原子光谱产生的原因。
我当时在实验室里，用光谱仪观察氢原子光谱，那些一条条的谱线，就像是氢原子给我们发出的神秘信号，告诉我们它内部电子的活动情况。
”我也想起了一件事，说道：“我看过一个科普展览，里面有个氢原子模型的演示。
那模型里的电子云可有意思了。
它不是我们想象中一个清晰的电子在绕圈，而是像一团云雾，这表示电子在某个区域出现的概率。
就好像电子是个调皮的小精灵，在这个云雾里到处乱窜，我们只能知道它大概在这个区域，而不能确定它具体的位置。
”阿明眼睛一亮，说：“这量子力学里的氢原子可真是颠覆了我们平常的认知啊。
”小美点头说：“没错，它让我们看到了微观世界和宏观世界完全不同的规律。
就像我们习惯了太阳每天东升西落的确定性，而在氢原子这里，一切都是概率和不确定性。
不过，也正是这种奇妙之处，让科学家们不断地去探索，想要解开它更多的秘密。
量子力学中的氢原子和波函数的密度
量子力学中的氢原子和波函数的密度量子力学是一门研究微观物质和能量的科学，它在20世纪初由一些杰出的科学家，如普朗克、玻尔和薛定谔等人所创立。
量子力学的基本原理和概念被广泛应用于物理、化学、生物和工程学等领域，它已经成为现代科学的基石之一。
在量子力学理论中，氢原子是研究的重点之一。
氢原子是最简单的原子，由一个质子和一个电子组成。
根据薛定谔方程，氢原子的波函数可以通过解析方法得到。
波函数描述了氢原子在不同位置和动量下的概率分布，它是描述微观粒子行为的数学函数。
在氢原子中，波函数的密度分布对于理解原子结构和化学反应具有重要意义。
首先，让我们讨论氢原子的波函数及其密度分布。
氢原子的波函数通常由球坐标系来描述，它包含了径向部分和角向部分。
径向部分描述了原子的位置，角向部分描述了原子的方向。
波函数的模方给出了粒子在不同空间点被测到的概率密度。
在标准的氢原子波函数中，第一个量子数n决定了波函数的主要特征。
主量子数n越大，波函数的径向部分在原子核周围的振动更加复杂。
而角向部分则由两个量子数l和m决定。
量子数l决定了角动量的大小，量子数m决定了角动量在空间中的方向。
角向部分的形状决定了波函数的轨道形状。
通过计算波函数的模方，我们可以得到氢原子中电子在不同位置的概率分布情况。
由于氢原子的波函数具有球对称性，电子的概率分布也将具有球对称性。
这意味着在氢原子中，电子更有可能分布在离原子核较远的区域，而几乎没有几率在原子核附近出现。
根据波函数的密度分布，我们可以绘制出氢原子的电子云图。
电子云图以原子核为中心，展示了电子存在的区域。
电子云图可以帮助我们理解原子的形状和大小。
对于氢原子来说，电子云图呈现出球对称的形状。
除了电子云图，我们还可以通过波函数的其他性质来揭示氢原子的特性。
例如，波函数的平均值给出了氢原子的位置和动量的期望值。
位置算符和动量算符作用在波函数上，得到的数值可以给出氢原子在不同状态下的平均位置和动量。
此外，我们还可以利用波函数的密度分布来研究氢原子的能级结构。
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用量子力学讨论氢原子问题
摘要:本论文在量子力学理论计算的基础之上,对求解出来的能量及能量本征函数对氢原子的光谱系、能级、简并度、概率分布以及电流分布与磁矩的变化等性质进行了详细讨论,并对其给予了定量的解释说明。
关键词:量子力学氢原子光谱系能级
1900年,普朗克假说脱颖而出并率先在黑体辐射上有新的突破,1905年,爱因斯坦用量子化概念成功的解释了光电效应,1911年,卢瑟福依据粒子散射实验提出原子核式结构模型,接着1913年,玻尔在前人研究的基础上建立“玻尔理论”。
但玻尔理论是以经典物理为基础,加上一些量子化的条件限制,具有一定的局限性。
到玻尔理论建立十年之后,量子力学体系逐步建立起来,才完全解释了原子问题。
而氢原子是最简单的原子,在量子力学建立过程中有着特殊地位。
通过计算,已经得到氢原子的能量及能量本征函数,即氢原子的能量为:,氢原子的本征函数为:。
在此基础之上,本文就氢原子的光谱系、能级、简并度、概率分布以及电流分布与磁矩的变化等性质进行了详细讨论,并对其给予了定量的解释说明。
以便为解决其它复杂原子和分子结构作一基础。
1 氢原子的能级分布
根据前面解出的归一化的径向波函数的通解,可得出最低几条能级的径向波函数是:
n=1,;
n=2,,;
n=3,,
,
2 能级的简并度
对于给定能级(即给定主量子数n),按式
=0,1,2,…,n-1
相应有:=n-1,n-2,n-3,…,0
而对于给定量子数,磁量子数可以取个可能值
m=,-1,…,-+1,-
因此,属于能级共有量子态的数目为:,
此即的简并度。
由计算结果可以看出,它比一般中心力场能级的简并度高,这是因为,一般中心力场中的粒子的能级,依赖于量子数和,但是氢原子的核
外电子处在库伦场中,能量只依赖于n,它是和的一种特殊组合,即,对于给定能级,角动量可以取0,1,…,。
此即简并,这比一般中心力场的简并度要高。
从径向方程求解可以看出,这是∝所导致的。
从物理上讲,这是氢原子核外电子所处的库伦场比一般的中心力场的几何对称性更高的动力学对称性的表现。
3 氢原子的光谱线规律
从较高能级到较低能级跃迁时,发射出光线的波函数为:
(﹥)
(里德伯常数)
对于=1,即从各激发态到基态的跃迁,
=2,3,4…
其极限位置在,这就是lyman线系,它处于紫外光谱区。
对于=2,则有: =3,4,5 …
就形成Balmar线系,此线系处于可见光谱区。
对于=3,则有: =4,5,6 …
就形成Pashen线系,此线系处于红外区。
以此类推,具有不同的值,就形成不同的线系。
4 径向位置概率分布
按照波函数的统计诠释,在定态之下,在球壳中找到电子的概率为:。
5 概率分布随角度的变化
按照波函数的统计诠释,在定态之下,在方向的立体角找到电子的概率为:∝.
它与角无关,即绕轴旋转是对称的,这是因为是的本征态的缘故,因此,可以用通过周的任何一个平面上的曲线来描述概率密度随角的变化。
6 电流分布与磁矩
按照波函数的统计诠释,在定态之下,电子的电流密度为:
利用球坐标系中梯度的表示:
由于的径向波函数及部分波函数都是函数,,
所以,通过的电流元为,它对磁矩的贡献为,是绕轴的环的面积,因此总磁矩为:
利用归一化条件,可得:,其中(波尔磁子)。
7 结语
本文在计算出氢原子的能量及能量本征函数的基础之上,进一步对氢原子的光谱系、能级、简并度、概率分布以及电流分布与磁矩的变化等性质进行了详细讨论,并对其给予了定量的解释说明,可以得出以下结论:(1)氢原子的能级分布为:第一条能级很低,随着n的增大,能级越来越密,在E接近0的区域内,有无限多分离的能级,在E大于0的区域内,为连续区。
(2)氢原子的能级简并度。
(3)氢原子的光谱公式为:(﹥),(里德伯常数)。
对于不同的,可以观察到不同的线系。
(4)氢原子在径向位置概率分布中,的节点数(不包括点)为,而概率分布与角无关,即对轴旋转是对称的。
(5)氢原子中电流是绕轴的环电流密度,并且其磁矩为。
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