2020届安徽省合肥六中高三下学期高考冲刺最后一卷数学(文)试题(解析版)
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19．如图,在以 为顶点的五面体中,底面 是矩形, .
(1)证明: 平面 ;
(2)在中国古代数学经典著作《九章算术》中,称图中所示的五面体 为“刍甍”(chúméng),书中将刍甍 的体积求法表述为:
术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:若刍甍 的“下袤” 的长为 ,“上袤” 的长为 ,“广” 的长为 ,“高”即“点 到平面 的距离”为 ,则刍甍 的体积 的计算公式为: ,证明该体积公式.
故选：A．
【点睛】
本题考查解三角形的应用，认识方位角是解题基础，掌握正弦定理是解题关键．
8．执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件是 ，则输出的结果为（ ）
A．72B．30C．42D．56
【答案】D
【解析】直接按照程序框图运行程序，当 时输出结果.
【详解】
执行如图所示的程序框图，
当 时， ，
，
，
，
故答案为：3
【点睛】
本题考查函数的导数的求法，导数的几何意义，属于基础题型.
14．已知向量 ， ， ，若 ，则实数 _________
【答案】
【解析】由平面向量坐标运算法则得 ，再由 ，列出方程求出 的值.
【详解】
解： 向量 ， ， ，
，
，
.
解得： .
故答案为： .
【点睛】
本题考查平面向量坐标运算法则，向量平行的性质，考查运算求解能力，属于基础题.
【答案】
【解析】分析：先求出球的半径，再求出三棱锥 的体积的表达式，最后求函数的最大值.
详解：设球的半径为R,所以
设AB=x,则 ，由余弦定理得
设底面△ABC的外接圆的半径为r,则
所以PA= .
所以三棱锥 的体积
= .
当且仅当x= 时取等.
故答案为
点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式： ，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值.
，
，
，
故输出的结果为56.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
行业名称
计算机
机械
营销
物流
贸易
应聘人数
215830
200250
154676
74570
65280
行业名称
计算机
营销
机械
建筑
化工
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】分析：（1）先证明 ，再证明 平面 .(2)利用割补法证明 .
详解：（1）证明： 是矩形， ，
又 平面 ， 平面
平面 ，
又 平面 ，平面 平面
又 平面 ， 平面 ，
平面 .
（2）解：设 分别是棱 上的点，且满足 ，
链接 .由第（1）问的证明知， ，
5．已知函数 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】用排除法，当 时，函数值为正可排除A，B，C．
【详解】
时， ，但 中函数值均为负，故排除，只有D选项满足．
故选：D．
【点睛】
本题考查由函数图象选择函数解析式，可根据图象反应的函数性质判断，方法是排除法．如利用函数的单调性、奇偶性、对称性，特殊的函数值、函数值的正负、函数值的变化趋势等排除错误选项．
【考点】本题主要考查不等式的概念、不等式的性质．
点评：解答此类题目，首先要审清题意，明确就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值．
10．设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作倾斜角为 直线与 轴和双曲线的右支交于 、 两点，若点 平分线段 ，则该双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
（1）从条形图中可知这200人中，有112名学生成绩等级为B，
所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为，
则该校高三年级学生获得成绩为B的人数约有
（2）这200名学生成绩的平均分为 91.3，因为 ，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.
（3）由题可知用分层抽样的方法抽取5个学生样本，其中D级3个，E级2个，
【答案】C
【解析】设 ， ，通过导数判断 的单调性，结合直线 恒过定点 ，得到两函数的图象，结合题意得不等式组 ，解出即可.
【详解】
由题意可知， ，
设 ， .
由 .
可知 在 上为减函数，在 上为增函数，
的图象恒过点 ，在同一坐标系中作出 ， 的图象如下，
若有且只有两个整数 ， ，使得 ，且 ，则 ，
即 ，解得 ，故选C.
【点睛】
本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为______．
【答案】3
【解析】首先求函数的导数，令 ，求切点的横坐标.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
由题意知， ，解得 （负值舍去），所以切点的横坐标为3．
2020届安徽省合肥六中高三下学期高考冲刺最后一卷数学（文）试题
一、单选题
1．已知复数 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】写出共轭复数 ，然后由复数的乘法法则计算．
【详解】
．
故选：A．
【点睛】
本题考查复数的乘法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．
2．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A．1B． C． D．0
【答案】A
【解析】利用“兔子数列”的前几项除以4的余数得数列 的前几项（稍微多求几项），归纳出 的周期性，再根据 的定义得出 的前几项，归纳出 的性质，然后由这个规律可得 ．
【详解】
解：记“兔子数列”为 ，则数列 每个数被4整除后的余数构成一个新的数列 为 ，可得数列 构成一周期为6的数列，
本题考查直线与圆的位置关系，由圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断直线与圆的位置关系．
4．已知 为第三象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先由同角的三角函数的关系式求出 ， ，再利用两角和的余弦公式可求 的值.
【详解】
由已知得 ， ，所以 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查同角的三角函数的基本关系式以及两角和的余弦，前者注意角的范围对函数值符号的影响，本题属于基础题.
7．如图，为测得河对岸铁塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在铁塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为 ，再由点C沿北偏东 方向走10m到位置D，测得 ，则铁塔AB的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由正弦定理求得 ，再在直角三角形中求得高 ．
【详解】
中， ， ， ，由正弦定理得 ，所以 ，又 中， ， ．
由题意得数列 为 ，
观察数列 可知从该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查数列的递推关系，考查数列的周期性，解题时在数列通项公式不易求出时可利用归纳推理的方法得出结论．
12．不等式 解集中有且仅含有两个整数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ， ，点D为边AB上的一点， ，锐角 的面积为 ，则 ________.
【答案】
【解析】用正弦定理化边为角后可求得 ，在 内，由面积求得 ，从而可得 ，用余弦定理求得 ，再用正弦定理得出 ，最后在 中正弦定理求得 ，用余弦定理求得 ．
【详解】
招聘人数
124620
102935
89115
76516
70436
若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）
A．计算机行业好于化工行业B．建筑行业好于物流行业
C．机械行业最紧张D．营销行业比贸易行业紧张
【答案】B
【解析】试题分析：就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值，比值越大，就业形势越好，故选B．
（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】【详解】试题分析：（1）先根据等比数列的基本量求出等比数列 通项公式,代入 得数列 的通项公式（2）根据错位相减法求和:利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以
11．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即 ， ，( ， ).此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列 ，又记数列 满 ， ， ，则 （ ）
三、解答题
根据以上抽样调查数据，回答下列问题：
（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；
（2）若等级A､B､C､D､E分别对应100分､90分､80分､70分､60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？
（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从D､E两种级别中，用分层抽样的方法抽取5个学生样本，再从中任意选取2位学生样本分析，求事件“至少1位学生来自D级别”的概率.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据集合运算的定义计算．
【详解】
，∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查集合的综合运算，属于基础题．
3．已知直线 和圆 相切，则实数 （ ）
A．0B． C． 或0D． 或0
【答案】D
【解析】由圆心到直线的距离等于半径求解．
【详解】
由 ，得 ，所以 或0；
故选：D．
【点源自文库】
组3人编号为 ， 组2人编号为 ，则任取2人的基本事件为： 共10个，其中事件“至少1位学生来自D级别”为F含有的基本事件有 共9个， .
【点睛】
本题考查条形图，考查用样本估计总体．考查分层抽样与古典概型，用列举法写出所有基本事件是计算古典概型概率的常用方法．
18．已知数列 是各项均为正数的等比数列，若 ， .
试题解析：（Ⅰ）由数列 是各项均为正数的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
则 ①
②
①-②
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
【答案】（1） ；（2）该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；（3） .
【解析】（1）从条形图中可知这200人中，有112名学生成绩等级为B，由此可计算频率即概率，作为总体概率可计算整个年级得 人数；
（2）利用频率计算均分后可得．
（3）求出D､E两种级别中所抽取的人数，编号后写出所有基本事件，并得出事件“至少1位学生来自D级别”所含有的基本事件，计数后可得概率．
6．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由指数函数的性质可得 ，由对数函数的性质可得 ，化简 ，由指数函数的性质可得 ，从而可得结果.
【详解】
∵ ， ， ，
∴ ， ，
，
∴ .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
【解析】双曲线 的左焦点 为 ,直线 的方程为 ，令 ，则 ，即 ，因为 平分线段 ，根据中点坐标公式可得 ，代入双曲线方程，可得 ，由于 ，则 ，化简可得 ，解得 ，由 ，解得 ，故选B.
【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 的等式，从而求出 的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于 的等式，最后解出 的值.
及正弦定理得， ，
∵ 是锐角三角形，∴ ，
， ， ，
在 内， ，所以 ，
又 是锐角，∴ ，
由余弦定理可得， ， ，
由正弦定理得 ， ，
在 内， ， ，
由余弦定理，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，由正弦定理进行边角转化求出 是解题基础．
16．已知点 均在表面积为 的球面上,其中 平面 , ,则三棱锥 的体积的最大值为__________．
(1)证明: 平面 ;
(2)在中国古代数学经典著作《九章算术》中,称图中所示的五面体 为“刍甍”(chúméng),书中将刍甍 的体积求法表述为:
术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:若刍甍 的“下袤” 的长为 ,“上袤” 的长为 ,“广” 的长为 ,“高”即“点 到平面 的距离”为 ,则刍甍 的体积 的计算公式为: ,证明该体积公式.
故选：A．
【点睛】
本题考查解三角形的应用，认识方位角是解题基础，掌握正弦定理是解题关键．
8．执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件是 ，则输出的结果为（ ）
A．72B．30C．42D．56
【答案】D
【解析】直接按照程序框图运行程序，当 时输出结果.
【详解】
执行如图所示的程序框图，
当 时， ，
，
，
，
故答案为：3
【点睛】
本题考查函数的导数的求法，导数的几何意义，属于基础题型.
14．已知向量 ， ， ，若 ，则实数 _________
【答案】
【解析】由平面向量坐标运算法则得 ，再由 ，列出方程求出 的值.
【详解】
解： 向量 ， ， ，
，
，
.
解得： .
故答案为： .
【点睛】
本题考查平面向量坐标运算法则，向量平行的性质，考查运算求解能力，属于基础题.
【答案】
【解析】分析：先求出球的半径，再求出三棱锥 的体积的表达式，最后求函数的最大值.
详解：设球的半径为R,所以
设AB=x,则 ，由余弦定理得
设底面△ABC的外接圆的半径为r,则
所以PA= .
所以三棱锥 的体积
= .
当且仅当x= 时取等.
故答案为
点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式： ，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值.
，
，
，
故输出的结果为56.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
行业名称
计算机
机械
营销
物流
贸易
应聘人数
215830
200250
154676
74570
65280
行业名称
计算机
营销
机械
建筑
化工
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】分析：（1）先证明 ，再证明 平面 .(2)利用割补法证明 .
详解：（1）证明： 是矩形， ，
又 平面 ， 平面
平面 ，
又 平面 ，平面 平面
又 平面 ， 平面 ，
平面 .
（2）解：设 分别是棱 上的点，且满足 ，
链接 .由第（1）问的证明知， ，
5．已知函数 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】用排除法，当 时，函数值为正可排除A，B，C．
【详解】
时， ，但 中函数值均为负，故排除，只有D选项满足．
故选：D．
【点睛】
本题考查由函数图象选择函数解析式，可根据图象反应的函数性质判断，方法是排除法．如利用函数的单调性、奇偶性、对称性，特殊的函数值、函数值的正负、函数值的变化趋势等排除错误选项．
【考点】本题主要考查不等式的概念、不等式的性质．
点评：解答此类题目，首先要审清题意，明确就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值．
10．设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作倾斜角为 直线与 轴和双曲线的右支交于 、 两点，若点 平分线段 ，则该双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
（1）从条形图中可知这200人中，有112名学生成绩等级为B，
所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为，
则该校高三年级学生获得成绩为B的人数约有
（2）这200名学生成绩的平均分为 91.3，因为 ，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.
（3）由题可知用分层抽样的方法抽取5个学生样本，其中D级3个，E级2个，
【答案】C
【解析】设 ， ，通过导数判断 的单调性，结合直线 恒过定点 ，得到两函数的图象，结合题意得不等式组 ，解出即可.
【详解】
由题意可知， ，
设 ， .
由 .
可知 在 上为减函数，在 上为增函数，
的图象恒过点 ，在同一坐标系中作出 ， 的图象如下，
若有且只有两个整数 ， ，使得 ，且 ，则 ，
即 ，解得 ，故选C.
【点睛】
本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为______．
【答案】3
【解析】首先求函数的导数，令 ，求切点的横坐标.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
由题意知， ，解得 （负值舍去），所以切点的横坐标为3．
2020届安徽省合肥六中高三下学期高考冲刺最后一卷数学（文）试题
一、单选题
1．已知复数 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】写出共轭复数 ，然后由复数的乘法法则计算．
【详解】
．
故选：A．
【点睛】
本题考查复数的乘法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．
2．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A．1B． C． D．0
【答案】A
【解析】利用“兔子数列”的前几项除以4的余数得数列 的前几项（稍微多求几项），归纳出 的周期性，再根据 的定义得出 的前几项，归纳出 的性质，然后由这个规律可得 ．
【详解】
解：记“兔子数列”为 ，则数列 每个数被4整除后的余数构成一个新的数列 为 ，可得数列 构成一周期为6的数列，
本题考查直线与圆的位置关系，由圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断直线与圆的位置关系．
4．已知 为第三象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先由同角的三角函数的关系式求出 ， ，再利用两角和的余弦公式可求 的值.
【详解】
由已知得 ， ，所以 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查同角的三角函数的基本关系式以及两角和的余弦，前者注意角的范围对函数值符号的影响，本题属于基础题.
7．如图，为测得河对岸铁塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在铁塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为 ，再由点C沿北偏东 方向走10m到位置D，测得 ，则铁塔AB的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由正弦定理求得 ，再在直角三角形中求得高 ．
【详解】
中， ， ， ，由正弦定理得 ，所以 ，又 中， ， ．
由题意得数列 为 ，
观察数列 可知从该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查数列的递推关系，考查数列的周期性，解题时在数列通项公式不易求出时可利用归纳推理的方法得出结论．
12．不等式 解集中有且仅含有两个整数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ， ，点D为边AB上的一点， ，锐角 的面积为 ，则 ________.
【答案】
【解析】用正弦定理化边为角后可求得 ，在 内，由面积求得 ，从而可得 ，用余弦定理求得 ，再用正弦定理得出 ，最后在 中正弦定理求得 ，用余弦定理求得 ．
【详解】
招聘人数
124620
102935
89115
76516
70436
若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）
A．计算机行业好于化工行业B．建筑行业好于物流行业
C．机械行业最紧张D．营销行业比贸易行业紧张
【答案】B
【解析】试题分析：就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值，比值越大，就业形势越好，故选B．
（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】【详解】试题分析：（1）先根据等比数列的基本量求出等比数列 通项公式,代入 得数列 的通项公式（2）根据错位相减法求和:利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以
11．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即 ， ，( ， ).此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列 ，又记数列 满 ， ， ，则 （ ）
三、解答题
根据以上抽样调查数据，回答下列问题：
（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；
（2）若等级A､B､C､D､E分别对应100分､90分､80分､70分､60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？
（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从D､E两种级别中，用分层抽样的方法抽取5个学生样本，再从中任意选取2位学生样本分析，求事件“至少1位学生来自D级别”的概率.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据集合运算的定义计算．
【详解】
，∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查集合的综合运算，属于基础题．
3．已知直线 和圆 相切，则实数 （ ）
A．0B． C． 或0D． 或0
【答案】D
【解析】由圆心到直线的距离等于半径求解．
【详解】
由 ，得 ，所以 或0；
故选：D．
【点源自文库】
组3人编号为 ， 组2人编号为 ，则任取2人的基本事件为： 共10个，其中事件“至少1位学生来自D级别”为F含有的基本事件有 共9个， .
【点睛】
本题考查条形图，考查用样本估计总体．考查分层抽样与古典概型，用列举法写出所有基本事件是计算古典概型概率的常用方法．
18．已知数列 是各项均为正数的等比数列，若 ， .
试题解析：（Ⅰ）由数列 是各项均为正数的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
则 ①
②
①-②
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
【答案】（1） ；（2）该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；（3） .
【解析】（1）从条形图中可知这200人中，有112名学生成绩等级为B，由此可计算频率即概率，作为总体概率可计算整个年级得 人数；
（2）利用频率计算均分后可得．
（3）求出D､E两种级别中所抽取的人数，编号后写出所有基本事件，并得出事件“至少1位学生来自D级别”所含有的基本事件，计数后可得概率．
6．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由指数函数的性质可得 ，由对数函数的性质可得 ，化简 ，由指数函数的性质可得 ，从而可得结果.
【详解】
∵ ， ， ，
∴ ， ，
，
∴ .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
【解析】双曲线 的左焦点 为 ,直线 的方程为 ，令 ，则 ，即 ，因为 平分线段 ，根据中点坐标公式可得 ，代入双曲线方程，可得 ，由于 ，则 ，化简可得 ，解得 ，由 ，解得 ，故选B.
【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 的等式，从而求出 的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于 的等式，最后解出 的值.
及正弦定理得， ，
∵ 是锐角三角形，∴ ，
， ， ，
在 内， ，所以 ，
又 是锐角，∴ ，
由余弦定理可得， ， ，
由正弦定理得 ， ，
在 内， ， ，
由余弦定理，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，由正弦定理进行边角转化求出 是解题基础．
16．已知点 均在表面积为 的球面上,其中 平面 , ,则三棱锥 的体积的最大值为__________．