传递函数

一、定义
零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量 的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，记为G(s)，即：
G(s) L[ y(t)] Y (s) L[r(t)] R(s)
意义：
R(s) G(s) Y (s)
Y (s) R(s)G(s)
二、传递函数的求法
线性定常系统微分方程式的一般表达式可写为
方框图：
R(s)
n2
Y (s)
s2 2n s n2
【例2.2.6】弹簧—质量—阻尼系统 由【例2.1.1】可得出其微分方程为
振荡环节阶跃响应
m
d2 dt
x
2
f
dx dt
kx
F (t)
它的传递函数为
G(s)
1
F (s) X (s)
ms 2
1 fs k
T 2s2 2Ts 1
n2 s2 2ns n2
微分方程： 传递函数：
方框图：
y(t) r(t)dt
G(s) 1 s
R(s) 1/s Y (s)
特点：输出正比于输入对时间的积分。
【例2.2.5】如图所示积分调节器电路，在单位阶跃输入信号作用下，
求输出量 y(t) 。
解：输入为阶跃信号时，
C
R
R(s) 1 s
r (t )
A
y (t )
Y (s) G(s)R(s)
Gm
(
s)
Ua(s) M c (s)
四、传递函数的一般表达式
1、定义的形式
G(s)
bm s m an s n
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
说明：
1）实际系统传递函数中，分母多项式的阶数n 总是大于分子多项 式的阶数m ，即n m 。
2）分母的阶数：n 阶系统
特点：
1、输出和输入相同仅延迟时间τ；不失真 2、与其他环节同时存在。人体、计算机系统、液压机械 传动、气动传动。
原因：延时效应。信号输入环节后，由于环节传递信号的速 度有限。输出响应要延迟一段时间τ才能产生。
典型环节
传递函数
比例环节 惯性环节 积分环节 微分环节
G(s) K
G(s) 1 Ts 1
令M c (s) 0 ，得转速对电枢电压的传递函数：
Gu
(s)
(s) Ua (s)
Ku TaTms2 Tms
1
令Ua (s) 0 ，得转速对负载力矩的传递函数：
Gm (s)
(s) M c (s)
最后利用叠加原理得转速表示为：
Km (Tas 1) TaTms2 Tms 1
(s) Gu (s)Ua (s) Gm (s)M c (s) Gu (s)
【例2.2.3】如图a所示的电压分压器即为一典型比例环节，当输入 量r(t)为阶跃变化信号时，输出量y(t)的变化如图b所示。
二、 惯性环节
一阶微分方程： T dy(t) y(t) r(t) dt
传递函数：G(s) Y (s) 1 (T是时间常数） R(s) Ts 1
方框图：
R(s) 1/(Ts+1) Y (s)
G(s)
1 s
理想: G(s) Td s
一阶: G(s) Td s 1
振荡环节 延迟环节
二阶: G(s) Td 2s2 2Td s 1
实际:
G( s )
Td s Td s 1
G(s)
T
2s2
1
2Ts
1
G(s) e s
特点
同步变化,不失真,不延时 跟随输入,存在时间上的延迟
输出随时间无限的增加
b0 r (t )
b0R(s)
y(0) 0, y' (0) 0L yn1(0) 0
零初始条件下,输入量r(t)的拉普拉斯变换为R(s)=L[r(t)]、输出量y(t)的拉 普拉斯变换为Y(s)=L[y(t)]。对上式两边同时进行拉普拉斯变换,可得
[ansn an1sn1 ... a1s a0 ]Y (s)
R1
//
1 Cs
R2 R1
(R1Cs
1)
K (Td s
1)
其中， K R2 R1
Td R1c
二阶微分环节
微分方程： 传递函数：
y(t)
T
2
d 2r(t) dt 2
2 T
dr(t) dt
r(t)
G(s) T 2s2 2 Ts 1
这些微分环节的传递函数没有极点，只有零点。纯微
分环节的零点为零，一阶微分环节和二阶微分环节的零点 分别为实数和一对共轭复数。
六、 延迟环节
r(t) 微分方程：
y(t) r(t )
0
t 传递函数： G(s) e s
y(t)
0
方框图： t
R(s) e s Y (s)
将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数：
G(s) e s
1 e s
1s
1
1 2s2
L
2!
当延迟时间很小时，可近似为惯性环节：
G(s) e s 1
1 s
可得出输出量的拉氏变换
Y (s) G(s)R(s)
当传递函数和输入已知时，通过拉氏反变换可求出时域表达式 y(t)。
三、传递函数的性质
➢传递函数只适用于零初始条件下的线性定常系统。它与线性常系
数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。
➢传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学
Kg
bm an
-pj ──分母多项式N(s)的根，称为极点。
N(s)=0是控制系统的特征方程式。－zi、－pj可为实数、虚数、或复数。 若为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭复数。
3、典型环节的形式（时间常数形式）
m
(is 1)
G(s) K
i 1 n
(Tjs 1)
j 1
上式中 τi──分子各因子的时间常数 ； Tj──分母各因子的时间常数 ；
Ts 1 s s s 1
T
y(t) 1 et T
t0
r(t) 1.0
0.8
y(t)
0.95 0.98 0.99
0.6
0.87
0.4
0.63
在单位阶跃输入 信号的作用下， 惯性环节的输出 信号是指数函数。 当 时 间 t=(3~4)T
0.2
时，输出量才接
T 2T 3T 4T 5T
t
近其稳态值。
三、 积分环节
s 3）分子分母都是 的有理多项式。
2、零极点形式
m
G(s) Kg (s z1)L (s zm ) (s p1)L (s pn )
Kg
n
(s
i 1
(s
zi ) pj)
M (s) N (s)
j 1
上式中
Kg ──零极点形式传递函数的根轨迹增益 ；
-zi ──分子多项式M(s)=0的根，称为零点；
2.2 传递函数
2.2.1 传递函数的定义和性质
一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参 数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价 可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进 行分析。
传递函数 是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或 元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种 数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数变化对系统响 应的影响。
控制系统中常用的典型环节有，比例环节、惯性环节、 微分环节、 积分环节和振荡环节等。以下介绍这些环节的传递函数及其推导。
一、比例环节
微分方程： y(t) Kr(t)
传递函数： G(s) K (增益、放大系数）
方框图：
R(s)
Y (s)
K
特点：输出量与输入量成正比，并且同步变化，不失真也不延时。 举例：这种类型的环节很多，机械系统中略去弹性的杠杆、作为测 量元件的测速发电机(输入为角速度，输出为电压时)以及电子放大器等， 在一定条件下都可以认为是比例环节。
➢传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于分子的
阶次m，此时称为n阶系统。
[例]求电枢控制式直流电动机的传递函数。
[解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：
TaTm
d 2
dt 2
Tm
d
dt
Kuua
Km (Ta
Байду номын сангаасdmc dt
mc )
方程两边求拉氏变换为：
(TaTms2 Tms 1)(s) KuU a (s) Km (Ta s 1)M c (s)
学模型时，将其与典型环节的数学模型对比，即可知其由 什么样的典型环节组成。由于典型环节的动态性能和响应 是已知的，因而给分析、研究系统性能提供很大的方便。
（3）典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模 型描述的系统。
特点：惯性环节的特点是其输出量不能立即跟随输入量变化， 存在时间上的延迟。其中时间常数越大，环节的惯性越大，则延迟 的时间也越长。
【例2.2.4】一阶惯性环节的输入信号为单位阶跃信号，其拉普拉斯变
换 R(s) 1 s ，求输出量 y(t) 。
解： Y (s) G（s) R（s) 1 1 1 1
纯微分电路
G(s) Uo(s) Ui (s)
R 1
RCs Ts
(T =RC)
Cs
特点：输出反映了输入的变化率，即输入变化 的激烈程度
(2)实际微分环节 微分方程：
Td
dy(t) dt
y(t)
Td
dr(t) dt
传递函数：
G s Td s
Td s 1