第十三章函数列与函数项级数

这就证得fn在(1,1]上收敛，且有 (3)式所表示的极限函数
当x 1时，则有x n ,当x 1时，对应的数列为 1,1,1,1,
它显然是发散的,所以函数列 xn 在区间(1,1]外都是发散的。
例2
设
fn (x)
sin nx n
,
x
(,),
证明它的收敛域为 (,),
极限函数为 f (x) =0。
在 (,) 上也收敛。
定理13.6 （阿贝耳判别法）设
（1） un (x)
vn (x) M
（2）对每一个 x I , vn (x) 是单调的；
（3）vn (x)在I上一致有界，即对一切x I和正整数n, 存在正
整数M ,使得
vn (x) M
则级数 un (x)vn (x) 在区间Ｉ上一致收敛。
在D上一致收敛于零。
定理13.4 函数项级数 un(x)在数集D上一致收敛于S(x)的充要条件是
lim
n
sup{Rn
xD
(
x)}
lim
n
sup
xD
|
S
(
x)
Sn
(
x)
|
0.
我们来看例4中的级数 xn1 若仅在[-a，a]（a<1）上讨论，由 n 1
sup sn (x) s(x)
x[ a ,a ]
n
n2
一致收敛于f 的几何意义: 对任何正数 , 存在正整数 N，对于一切序号大于 N的 曲线y fn (x), 都落在以曲线 y f (x) 与y f (x) 为边（即以曲线 y f (x)
为中心线，宽度为 2 )的带形区域内
不一致收敛于f 的几何意义: 函数列 xn 在区间(0,1)内不一致收敛，指存在 某个事先
定义1 设函数列fn与函数f定义在同一数集 D上，若对任给的正数 ,总存在某
一正整数N，使得当n N时，对一切x D,都有 fn(x) f (x) ,
则称函数列fn在D上一致收敛于 f ,记作
f
n
(
x)
f
(x)
(n
), x D.
函数列在D上不一致收敛的定义：
存在某正数
，对任何正整数
0
M
收敛，根据数项级数的柯西准则，任给
n
正数 , 存在某正整数 N,使得当n N及任何正整数 p,有
| M n1 M n p | M n1 M n p .
又对一切 x D
| un1(x) un p (x) || un1(x) | | un p (x) | M n1 M n p .
N
,
都有D上某一点x与正整数n N,使得 fn (x) f (x) 0.
从例1中知道，函数列 xn 在（0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1）上收敛于 f (x) 0.我们证明它在
(0,1)上不一致收敛。事实上，令 0n
1 , 对任何正数N，取正整数n 2
N
1及
x
(1
1
1
)n
(0,1),
则有
xn 0 1 1 1
f
(x)
lim
n
fn (x)
0.
fn (0)
0,
f
(0)
lim
n
fn (0)
0.
于是， 但由于
在[0，1]上有f (
max |
x[0,1]
fn (x)
x)
lim f n
f (x) |
n (x)
f
n
1 2n
0.
n
0
(n)
因此 ， 该函数列在 [ 0 ,1] 上不一致收敛。
二. 函数项级数及其一致收敛性
证：由于对任何实数都有
s in nx 1 ,
n
n
故，对任意给定的
0,只要n N 1 ，就有
sin nx 0 n
所以数列
sin nx
n
的收敛域为无限区间为
(,),
极限函数为
f (x) =0。
对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究 极限函数所具有的解析性质。比如能否由函数列每项的连续性，判断出 极限函数的连续性，即下面要讨论一致收敛性问题。
sup xn
x[a,a] 1 x
an 0 1 a
（ n ）
可知级数
x
n
1
在[-a，a]上一致收敛。若在（-1，1）上讨论这个级数，则由
n 1
sup
x[ a ,a ]
|
sn
(x)
s(x)
|
sup
x[ a ,a ]
xn 1 x
( n )n n1
1 n
n
n
n1
n 1
n 1
由此可知
lim sup|
n xD
fn (x)
f
(x) |
0
（6）
证: [必要性] 若 fn (x) f (x) (n ), x D.则对任给的正数 ,
存在不依赖于x的正整数N，当n N时，有
| fn (x) f (x) | ， x D.
由上确界的定义有 sup | fn (x) f (x) |
第十三章 函数列与函数项级数
§1一致收敛性
一．函数列及其一致收敛性
设
f1, f2 , fn ,
是一列定义在数集E上的函数,称定义在E上的函数列,简记为
(1)
fn
x0 E,以x0代入(1)可得数列 f1(x0 ), f2 (x0 ), fn (x0 ), (2)
若数列(2)收敛,则称函数列(１)在点 x0收敛，x0称为函数列 (1)的
定理13.7 （狄利克雷判别法）设
n
（1） un (x) 的部分和数列 U n (x) uk (x) k 1
（2）对每个 x I ,vn (x) 是单调的；
在I一致有界；
（3）在I上 vn (x) 一致收敛于零。
则级数 un (x)vn (x) 在区间I上一致收敛 。
证：由（1）， M 0 ，对一切 x I ,有 | U n (x) | M 。因此当n，p为
(x),
xD
或
fn (x) f (x) (n ), x D.
函数列极限 N定义：对每一固定的 x D,任给正数 , 恒存在正数 N,
使得当n N时，总有
fn (x) f (x)
例１设fn (x) xn , n 1,2,为定义在 (, )上的函数列 ,证明它的收敛
域是(1,1], 且有极限函数
(4)
证: [必要性]
设f
n
(
x)
f
(x)
(n ), x D，即对任给 0，存在
正数N，使得当n N时，对一切 x D,都有
fn (x)
f
(x)
2
(5)
于是当n, m N,由(5)就有
fn (x)
fm (x)
fn (x) f (x)
f (x) fm (x)
.
22
在(0, b)内是一致收敛的。
y
f (x)
f (x) fn (x)
f (x)
y
x1
x2 x3
o
a 图131
bx
图13 2
x
定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列fn在数集D上一致收敛的充要
条件是：对任给正数 ，总存在正数 N，使得当n, m N时，对一切 x D,都有
fn (x) fm(x)
收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在某正整数N，使得当 n N时，对一切 x D和一切正整数 p,都有 | Sn p (x) Sn (x) | 或 | un1(x) un2 (x) un p (x) | .
推论： 函数项级数 un(x)在数集D上一致收敛的必要条件是函数列{un(x)}
0, x 1
f (x) 1, x 1
(3)
证: 任给 0,(不妨设 1)，当0 x 1时，由于
fn (x)
f
(x)
x n ,只要取N ( , x)
ln
ln x
,当n
N ( , x)时，就有
fn (x) f (x)
当x 0或x 1时，则对任何正整数 n,都有
fn (0) f (0) 0 , fn(1) f (1) 0
任意正整数时， un1(x) unp (x) Unp (x) Un (x) 2M
对任何一个 x I 由（2）及阿贝尔引理，得到
un1(x)vn1(x) un p (x)vn p (x) 2M ( vn1 (x) 2 vn p (x) )
再由（3），对任给的 0，存在正整数N，当n>N时，对一切 x I
[充分性] 若条件(4)成立，由数列收敛的柯 西准则，fn在D上任
一点都收敛，记其极限函数为 f (x), x D.现固定（4）式中的n，让
m ,于是当n N时，对一切 x D,都有
| fn (x) f (x) | .
由定义1，fn (x) f (x) (n ), x D.
定理13.2 函数列{ fn}在区间D上一致收敛于 f的充要条件是：
设{un (x)}是定义在数集 E上的一个函数列，表达 式
u1(x) u2 (x) un (x) , x E 称为定义在Ｅ上的函数项级数，
n
简记为 un (x)或 un (x).称Sn (x) uk (x), x E
n1
k 1
为函数项级数的部分和函数列。
n 1,2,
若 x0 E,Sn (x0 ) 收敛，则称 x0 为 un (x) 的收敛点。若 x0 E,Sn (x0 ) 发散，则称 x0 为 un (x) 的收发散点。
给定的 ( 1)，无论N多大，总有曲线 y xn (n N )不能全部地落在以 y 与y 为边
的带形区域内，如图13 2所示，若函数列xn 只限于在区间(0,b)(b 1)内讨论，只要n ln ln b
(其中0 1)，曲线y xn就全部落在以 y 和y 为上下边的带形区域内 。所以 xn
收敛点.若数列(2)发散，则称函数列(1)在 x0 发散。若数列(1)在
D E上每一点都收敛，则称 (1)在数集D上收敛。这时 D上每一点
x,都有fn (x) 的一个极限值与之对应，由这个对应法则所确定的
D上的函数, 称为数列(1)的极限函数. 若把此极限函数记作 f，则有
lim
n
fn (x)
f
例3 已知定义在[0,1]上的函数列
2n2 x , fn (x) 2n 2n2 x, 0 ,
0x 1 , 2n
1 x1,
2n
n
1 x 1. n
( n 1, 2 , ),
证明
lim
n
fn (x)
0, 但在[0,1]上不一致收敛。
证：
当0
x
1时，只要n
1 x
，就有fn
(x)
0.因此，在(0,1]上有
x n1 在（-1，1）内不一致收敛。
n1
（ n ）
三.函数项级数的一致收敛性判别法
定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法） 设函数项级数 un (x)定义在数集D上，
Mn为收敛的正项级数，若对一切x D,有| un(x) | Mn, n 1,2,,
则正项级数un (x)在D上一致收敛。
证：
由假设正项级数
证：由（1）， 0, N, 使得当 n N 时，对任意正整数p及 x I
有
un1(x) unp (x)
又由（2），（3）及阿贝尔引理（第十二章§3引理的推论）得到
un1(x)vn1(x) un p (x)vn p (x) ( vn1(x) 2 vnp (x) ) 3M
由此柯西准则定理得证。
xD
由此证得（6）式成立。
[充分性] 由假设, 对任给 0,存在正整数 N，使得当n N时，
有
sup | fn (x) f (x) |
xD
（7）
对一切x D,总有 | fn (x) f (x) | sup | fn (x) f (x) |
xD
由（7）式得
| fn (x) f (x) | 即{ fn}在D上一致收敛于 f .
根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数 un (x)在D上 一致收敛。
例5
证明函数项级数
sin n
nx
2
,
cosnx n2
在 (,) 上一致收敛。
证：由于对一切 x (,) 有
sin nx 1
n2
n2
cos nx 1
n2
n2
而正项级数
1 n2
,
是收敛的，所以函数项级数
sin n
nx
2
,
c
osnx n2
级数的和函数： S(x) u1(x) u2 (x) un (x) , x D
即
lim
n
Sn
(
x)
S
(
x),
xD
也就是说函数项级数的收敛性就是指它的部分和数列的收敛性。
例4 定义在(,)上的函数项级数（几何 级数）
解
: 因为1
x
x2
xn
的部分和函数为
Sn
(x)
1 xn 1 x
.
当
有
| vn (x) |
所以 un1(x)vn1(x) un p (x)vn p (x) 2M ( 2 ) 6M.
于是由一致收敛性的柯西准则，级数 un(x)vn(x) 在区间I上一致收敛 。
|
x
|
1时，S
(
x)
lim
n
Sn
(
x)
1
1
x
.在(1,1)内收敛于和函数S
(
x)
1
1
x
;
当 | x | 1时，几何级数是发散的 。
定义2 设{Sn (x)}是函数项级数 un(x)的部分和函数列。若{Sn (x)}在
数集D上一致收敛于函数S(x)，则称 un (x)在D上一致收敛.
定理13.3（一致收敛的柯西准则） 函数项级数 un (x)在数集D上一致