多面体外接球半径常见的几种求法
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D3，，设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 46。
例谈多面体外接球半径的常见求法
例谈多面体外接球半径的常见求法湖北省荆州市沙市第五中学张胜言求棱锥、棱柱的外接球半径、表面积、体积的问题在近几年各地的高考模拟题和全国高考试题中经常出现，这是高考的重点，也是学生学习的难点.困难表现在两个方面：一是找不到外接球球心的位置，二是如何采用适当的方法求外接球的半径.下面例谈几类多面体外接球半径的常见求法.方法一：首先构造简单的几何体，如长方体、正方体、三棱柱等，易作出这些简单几何体的外接球，从而求解.定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.一、长方体、正方体外接球的半径1.长方体：因为长方体外接球半径是体对角线长的一半，设长方体长、宽、高分别为c b a ,,，外接球半径为R ，则2222c b a R ++=（如图1）.2.正方体：设正方体棱长为a ，外接球半径为R ，则a R 23=（如图2）.二、三棱柱外接球半径1.底面是直角三角形的直三棱柱：把三棱柱补成长方体，易求（如图3）.设底面三角形两直角边长分别为b a ,，直三棱柱高为c ，则外接球半径为R ，则2222c b a R ++=.2.正三棱柱：（如图4），正三棱柱球心O 在两底面中心21O O ，的中点处，设底面边长为a ，高为h ，外接球半径为R ，构造11OO A Rt ∆，则，，R OA hOO ==112a a D A O A 33233232111=⨯==，22233⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=h a R 三、三棱锥外接球半径c bO a 图1O a图2c b O aACB A 1C 1B 1图3AC BO B 1DC 1A 1O 1O 2a h R 图4AB DC图51.三条棱互相垂直的三棱锥：把它补成以这三条互相垂直的棱为长、宽、高的长方体，易求.（如图5）2.三组相对棱分别相等的三棱锥：（如图6），把它补成以这三组棱分别为面对角线的长方体，设c BD AC b AD BC a CD AB ======,,，设长方体长、宽、高分别为z y x ,,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222c x z b z y a y x ，2222222c b a z y x ++=++，()422222222c b a z y x R ++=++=.3.正四面体：设棱长为a ，外接球半径为R ，由2易知a R 46=.例题1：如图7，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，FA 折成一个三棱锥AEF B -（使点D C B ,,重合于点B ），则三棱锥AEF B -的外接球半径为.【解】在正方形ABCD 中，︒=∠=∠=∠90EBA FCE ADF ，所以折成三棱锥后，可将其转化为以)(,,DF BF BE AB 为棱的长方体，62224222=++=∴R 练习1：已知四面体ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，若⊥PB 平面ABC ，AC AB ⊥，且1=AC ，2==AB PB ，则球O 的体积为.例题2：已知正三棱柱111C B A ABC -的体积为2,32==AB V ，则该三棱柱外接球的表面积为.【解】如图8，设三棱柱的高为h ，3243S 2111=⨯=∆C B A ，2,332,=∴=∴=h h Sh V 11=∴OO ，3322233232111=⨯⨯==D A O A ，3713322221211=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∴OO O A R ，ππ32842==∴R S 练习2：已知三棱柱111C B A ABC -侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱体积Cc b O a D A B x y z图6AB FE图7（2）ACB 1B O DC 1A 1O 1O 2R 图8︒=∠===602AB ,1,62BAC AC V ，，则该球表面积为.方法二：由定义法求多面体外接球半径.这类问题关键是找出球心O 位置：一般地，先在一个面上找到一点1O 到其余各点距离相等，球心O 就在经过点1O 并垂直于该平面的直线l 上，构造出两个直角三角形，利用勾股定理解方程组求出R .例题3：已知三棱锥ABC S -所有顶点都在球O 的球面上，且⊥SC 平面ABC ，若1===AC AB SC ，︒=∠120BAC ，则球O 的表面积为.【解】如图9，作菱形ABCD ，则︒=∠=∠6021BAC DAC 易得ACD∆为正三角形D ∴为ABC ∆外接圆的圆心，⊥∴OD 平面ABC ，又⊥SC 平面ABC ，SC OD ∥∴，过点O 作SC OE ⊥，垂足为E ，R OS OC ==，设x CE OD ==，则x SE -=1，在OSE Rt OCD Rt ∆∆,中有：()⎩⎨⎧=-+=+222222111R x R x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2521R x 所以球的表面积为πππ5254422=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==R S .练习3：若三棱锥ABC P -的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为（）A.64π B.32π C.16π D.8π方法三：对于一些特殊的图形，利用其特有的性质找到外接球球心，直接求解.例题4：在三棱锥ABC S -中2==BC AB ，2==SA SC ，6=SB ，若C B A S ,,,在同一球面上，则该球的表面积是（）A.68 B.π6C π24 D.π6【解】如图10，2==BC AB ，2==SA SC ，6=SB ，在SAB ∆中，由于222SB AB SA =+，故︒=∠90SAB ，同理︒=∠90SCB ，故SB 的中点是三棱锥ABC S -外接球的球心O ，从而半径为26=R ，所以该球的表面积为ππ62642=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=S ，选D.练习4：已知三棱锥ABC -S 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面⊥SCA 平面SCB ，BC SB AC SA ==，，三棱锥ABC -S 的体积为9，则球O 的表面积为.图9SCRRE BAO D图10AOS CB A FE D CB 图7（1）（附练习题答案：1、29π=V ；2、π36=S ；3、选A ；4、π36）。
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =.练习1 （2003，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）3π B. 4πC. D. 6π2（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.A. 27B. 2C. 8D. 243 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，O 的体积等于 .4（2008年安徽高考题）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若6,AB =，则B 、C 两点间的球面距离是 .寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截CDAB SO 1图3面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C.外接球内切球问题1. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ． 43 D ．123答案 B2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
外接球半径常见的求法
多面体外接球半径常见求法知识回顾：左义1:若一个多而体的各顶点都在一个球的球而上，则称这个多面体是这个球的内接多而体，这个 球是这个多而体的外接球。
宦义2：若一个多而体的各面都与一个球的球而相切，则称这个多而体是这个球的外切多而体，这个 球是这个多而体的内切球。
球心到截而的距离〃与球半径尺及截而的半径『有以下关系： __________________ .球而被经过球心的平而截得的圆叫 _________ •被不经过球心的平而截得的圆叫 __________________ 球的表面积表面积S= __________ :球的体积9= __________ .球与棱柱的组合体问题1. 正方体的内切球：球与正方体的每个而都相切，切点为每个而的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长 为球半径为尺。
如图3,截而图为正方形EFGH 的内切圆，得/? = -：22. 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截而图，圆0为正方形EFGH 的外接圆，易得R = —a 023. 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球而上，如图5,以对角面作截而图得，圆0为一、公式法例1 一个六棱柱的底而是正六边形，苴侧棱垂宜于底而，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,9且该六棱柱的体积为-，底而周长为3,则这个球的体积为8 -----------------------------------------------------------矩形AA.QC 的外接圆,易得R = A }O = 4 ——a2图3图4C1C小结本题是运用公式R2=r2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球而上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A. 16兀B. 20”C. 24兀D. 32龙小结 本題是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.三、补形法 例3若三棱锥的三个侧而两两垂直，且侧棱长均为则其外接球的表面积是小结 一般地，若一个三棱维的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为“、b 、c,则就可以将这个三棱 维补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径•设其外接球的半径为R ,则有2R = >ja 2 +b 2 +c 2 .变式仁三棱锥O — 4BC 中，OAQBQC 两两垂直，且OA = OB = 2OC = 2a,则三棱锥O-ABC 外接球的表而积为（）四、寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S - ABCD 的底面边长和各侧棱长都为,S 、A. B 、C 、£>都在同一球面上，则此球的体积为 ___________而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究•这种等价转化的数学思 法值得我们学习.变式仁求棱长为a 的正四面体P-ABC 的外接球的表面积变式I:底而边长为后勺正三棱柱外接球的体积为竽，则该三棱柱的体积为五、确定球心位置法C. \2TTU 2D. 24曲'想方1：三棱锥P-ABC中，底IfilAABC是边长为2的正三角形，P4丄底而ABC,且E4 = 2,贝眦三棱锥外接球的半径为（）A. 41B・y[5C・ 2 D・^―3六.构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心泄在上下底而中心连线的中点处，由球心、底而中心及底而一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
数学复习：多面体外接球半径的求法
数学复习：多面体外接球半径的求法近年来，求多面体的外接球半径成为全国各地高考的热点问题，是考察学生空间想象能力、画图能力和分析问题能力的一类综合题型，难度中等偏上。
因此，这类问题也是学生失分的重灾区，主要存在以下难点：一不能选择恰当的角度认识多面体；二不能准确分析几何体的线面关系找到球心。
这两个困难让学生对此类问题无从下手，渐渐地对此类问题失去信心。
本文从“画法”到“算法”，简单归纳出几类多面体的外接球半径的典型求法，试图突破此类问题在高三复习中的教学难点。
1通过补形直接求半径若多面体的每个顶点都落在长方体（或直三棱柱）的顶点上，那么该多面体的外接球也是该长方体（或直三棱柱）的外接球。
直三棱柱的外接球球心是上下底面外心连线的中点。
已知直三棱柱111C B A ABC -，设其上下底面的外接圆半径为r，三棱柱的高为h，则其外接球半径222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=。
长方体的外接球球心是体对角线的中点。
设长方体的长宽高分别为c b a ,,，则其外接球半径2222c b a R ++=。
1.1墙角锥若在一个三棱锥中，共顶点的三条棱两两垂直，那么我们可以把它补形成一个长方体。
例1.三棱锥P－ABC 的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是22、32、62，则该三棱锥的外接球的体积是A．23B．8236π6π分析：如图（1），由题可以把三棱锥看成是以P 为墙角的墙角锥，易得，，3,21===c b a π6262222=∴=++=∴V c b a R 1.2三对对棱分别相等的四面体若一个三棱锥的三对对棱分别相等，那么我们可以把这个三棱锥看成是由一个长方体的六个面对角线构成的。
例2，在三棱锥A BCD -中，2AB CD ==5AD BC AC BD ====，则三棱锥A BCD -外接球的半径为________。
分析：如图（2），易得2,1,1===c b a 262222=++=∴c b a R 1.3四个面都是直角三角形的三棱锥利用长方体的线面关系，可将四个面都是直角三角形的三棱锥放在长方体内。
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3,则这个球的体积为8T 6x=3,T 1I ' I x =—解设正六棱柱的底面边长为x，咼为h，则有丿9 V3 2 2’_=6汉——xh, 石8 4 小一x/3•••正六棱柱的底面圆的半径r =-，球心到底面的距离d二上3.二外接球的半径2 2R=、r2d2「=1. . V球二—.3小结本题是运用公式R2-r2 d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A. 16二B. 20 二C. 24 二D. 32 二解设正四棱柱的底面边长为x ,外接球的半径为R，则有4x2 = 16，解得x = 2.二2R = J22+22+42=2屈,二R = T6. •••这个球的表面积是4兀R2=24兀.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为.3，则其外接球的表面积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，I把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球设其外接球的半径为R，则有（2R f =（応行（亦丫+（73$ =9.二R2=9.4故其外接球的表面积S =4二R2=9二.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R= a 2b 2c 2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S - ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 V 2，点S 、A 、B 、C 、都在同 一球面上，则此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为O i ，外接球的球心为0, 所示.二由球的截面的性质，可得 00i _平面ABCD .又SO i _平面ABCD ，二球心0必在SO 所在的直线上.ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的 是外接球的半径.在 ASC 中，由 SA = SC = .2, AC =2，得 SA 2SC 2二 AC 2.••• AASC 是以AC 为斜边的Rt ：.••• AC =1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V 球二—.23小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴 截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外 接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几 何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，AB = 4,BC = 3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角半径就如图3B - AC -D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为A. 125 -- n 12B.空二C.D.125 3解 设矩形对角线的交点为0 ,则由矩形对角线互相平分,0A =0B =0C =0D . •••点0到四面体的四个顶点A 、B 、C 、D 的距离相等，即点0为四面体的外接球的球心，可知 如图2所示.二外接球的半径R = 0A =总.故2球='二R 3= 125二.选C.236出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥 A - BCD 中，AD _面ABC ，. BAC =120，AB 二AD 二AC = 2， 求该棱锥的外接球半径 解：由已知建立空间直角坐标系 由平面知识得 5-1, 3,0)设球心坐标为x, y, z) 贝U A0 二 B0 二 CO 广 Dq 由.空间两.点 1间C 距离公式知解得 x = 1 y 3z = 13所以半径为R-12（ 3）212=-21\ 33【结论】：空间两点间距离公式：P^ （x 1 -x 2）2（y 〔 - y 2）2 （乙-z 2）2四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点,根据勾股定理知，假设正四面体的边长为 a 时，它的外接球半径为a 。
多面体外接球问题方法总结
多面体外接球问题方法总结
求多面体的外接球的方法有两种：
1. 利用多面体的顶点坐标求解：
a. 首先求解多面体的质心坐标。
可以通过计算多面体的顶点坐标的平均值得到质心坐标。
b. 然后，求解多面体顶点到质心的距离，取最大距离作为外接球的半径。
c. 外接球的中心坐标为质心坐标，半径为最大距离。
2. 利用多面体的边长/面积求解：
a. 首先，根据多面体的类型，求解多面体的特定的边长、面积或者角度。
b. 利用上述的边长、面积或者角度的关系，可以求解外接球的半径。
c. 外接球的中心坐标可以通过找到多面体的对称中心或者中心对称点来获取。
需要注意的是，方法一比方法二更为常用且通用，但对于某些特殊的多面体，可能需要使用方法二来求解。
同时，在实际应用中，还可以借助计算机软件来进行多面体外接球的求解，提高计算的精度和效率。
考前必复之：多面体外接球半径常见的求法(20190530-0606更新)
多面体外接球半径常见求法定义：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 常用性质：1．外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.2.球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.如图13.球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面； 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心； 过球的小圆圆心作垂直于小圆所在平面的直线必经过. 正棱锥的外接球球心在底面上的高所在的直线上.如图1，设球O 的半径为R ，球O 的小圆的圆心为1O ，半径为r ， 球心O 到小圆1O 的距离1OO d =，则由性质2得22d R r =-，或22r R d =-. 4.球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.如图2 5.球的直径等于球的内接长方体的对角线长.方法一：长（正）方体的外接球利用性质5：球的内接长方体的对角线等于该球直径求出球的半径.例1 （2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π答案：C解析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是可求出球的半径，进而求出球的表面积，答案C.方法二：可以补成长方体的三棱锥的外接球问题只要四面体四顶点与长方体某四个顶点重合，则四面体就与长方体拥有共同的外接球，我们不妨称这个四面体内接于长方体，称长方体的内接四面体.长方体内接四面体可分四类：①四个面都是锐角三角形且对棱相等（如图一）.对棱的长度相等（分别为长方体面对角线）.②四个面都是直角三角形（如图二）.它们有一条最长棱，这条最长的棱就是长方体的体对角线，图2图一 图二图三 图四③ 有三个面都是直角三角形，有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图三）.两两垂直的三条棱就是长方体的长、宽、高④有三个面都是直角三角形，没有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图四）.它们有一条最长棱，这个最的棱就是长方体的体对角线.类型一：对棱相等例 2.1 （20032，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. 33πD. 6π解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体A BDE -满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE 2BE ==体的棱长为1，3，3，所以此球的表面积便可求得，故选A. (如图2)变式练习1 （2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.A.B.C.D.答案：A解析：折起后的图形是棱长为1的正四面体，将其放在正方体中，其直观图如图所示．它可以看作是一个棱长为22的正方体被截去四个角后得到的几何体，可求得该几何体的外接球的半径为12×12＋12＋12＝64，故所求球的体积为4π3×⎝⎛⎭⎫643＝6π8. 变式练习2 A ，B ，C ，D 且AC=BD=5，AD=BC=41，AB=CD ，则三棱锥D-ABC 的体积是____ __. 答案：20类型二：例2.2 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC⊥平面，AB BC ⊥，O 的体积等于 .解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA ABC ⊥平面，AB BC⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O 的体积等于92π.（如图4）图4例2.3 已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若6,AC=213,AD=8AB =，则球的体积是 .答案：2563π解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，OB=OC=4为半径，3425633V R ππ∴==类型三：有三条棱两两垂直例2.4 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，则AC=BC=CD 3=，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，设其外接球的半径为R ，则有()()()()222223339R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.出现“墙角”结构利用补形知识，补成长方体.变式1 在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积.解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长 即：所以球的表面积为变式2：在正三棱锥S －ABC 中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝23，则正CBO图5三棱锥S －ABC 外接球的表面积是________． 答案 36 π解析 由MN ⊥AM 且MN 是△BSC 的中位线得BS ⊥AM ， 又由正三棱锥的性质得BS ⊥AC ，∴BS ⊥面ASC .即正三棱锥S －ABC 的三侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，外接球直径为3SA ＝6. ∴球的表面积S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.方法三：寻求轴截面圆半径法常用于求正棱锥、正棱柱（正四棱柱属长方体）、圆锥、圆柱的外接球； 依据：性质3、4例3 （2010年新课标理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2a π (B)273a π (C)2113a π (D) 25a π 解析：如图222222274312a a R OB OE BE a ==+=+= 22743S a a ππ∴==命题意图：考察球与多面体的接切问题及球的表面积公式变式练习1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 答案：43π变式练习2 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由22SA SC AC ===，，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt .∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球.变式练习3 （2009年全国Ⅰ）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===, 120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .CD ABSO 1图3B也可以把这个问题看成直三棱柱的外接圆柱的外接球问题，如图所示.变式练习 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若1263,2,,3AB AC AA ===060BAC ∠=，则它的这个外接球的表面积为 . 答案：12π小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.方法四：建系求球心的坐标例4.1 在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，o120BAC ∠=，2SA AC ==，1AB =，则该四面体的外接球的表面积为1040..7 .11 .33A B C D ππππ 答案：D解析：如图所示，以A 为原点建系，则A 1AC 1CBB 1O 2O13C(2,0,0),B(,,0)22-设球心为O(1,y,1)，则OB=OC=R即2223311()()122y y ++=+-+，解得23y =从而外接球表面积210404433S R πππ==⨯=解法2（方法三） 由余弦定理得22o 21221cos1207BC =+-⨯⨯⨯=，故由正弦定理ABC∆的外接圆直径为o2772,sin12033BC r r ===，故22402(2)23R r =+=，如图所示， 从而外接球表面积210404433S R πππ==⨯=.变式练习 (2015·江西八校联考)正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的距离为3，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A ．7πB ．19π C.767π D.19619π【解析】 由题意可知四面体ABCD 中，BD ＝CD ＝1，AB ＝AC ＝2，AD ＝3，BC ＝3，∠BDC ＝120°，易得AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，∴AD ⊥平面BCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，3)，B (1，0，0)，C ⎝⎛⎭⎫－12，32，0，D (0，0，0)，设球心为O (x ，y ，z )，由OA ＝OB ＝OC ＝OD ，可知O ⎝⎛⎭⎫12，32，32，球的半径r ＝72，∴表面积S ＝4πr 2＝7π.【答案】 A方法五：利用外接球球心到多面体各顶点的距离均相等确定球心求之例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，SACBO 2O则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论.【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半.球心为直角三角形斜边中点.方法六：过两个不平行的截面圆的圆心分别作两截面圆的垂线确定球心方法类比：三角形外接圆圆心为分别作三角形 任意两条边的垂直平分线的交点，如图所示： 方法依据：性质3方法实操：如图，过两个不平行的截面圆的圆心分别 作两截面圆的垂线其交点即为球心.例6.1 已知在四面体ABCD 中, 2AB AD BC CD BD =====，平面ABD ⊥平面BDC ,则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）A. 20π3B. 6πC.22π3D. 8π 【解析】∵2AB AD BC CD BD =====， 所以△ABD 与△BDC 均为正三角形.分别过正三角形BDC 的中心1O 作1OO ⊥平面BDC ， 正三角形ABD 的中心O 2作2OO ⊥平面BDC ， 并设12OO OO O =（则O 为四面体ABCD 的外接球的球心）.设M 为BD 的中点，外接球的半径为R ，连接OB ，则OB =R ，因为平面ABD ⊥平面BDC ,所以12OO OO ⊥，11OO O M ⊥，22OO O M ⊥，12O M O M ⊥，且12O M O M =，四边形12OO MO 为正方形，.∵323MA ==，∴123O M O M ==1BM =，∴2222335()13R =++=，∴ 四面体ABCD 的外接球的表面积220π4π3S R ==.故选A. O 1 O 2O O 1O 2OB D A CM例6.2 在三棱锥P ABC -中，22,4,3,5PA PB AB BC AC =====，若平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_______．【答案】25π【解析】取AB 的中点O '，AC 的中点O ，连接O O '，因为222PA PB AB +=，所以PAB ∆是以AB 为斜边的直角三角形，从而点O '为PAB ∆外接圆的圆心， 又222AB BC AC +=，所以ABC ∆是以AC 为斜边的直角三角形，从而点O 为ABC ∆外接圆的圆心， 又因为O O BC '∥，所以O O AB '⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，且平面PAB ⋂平面ABC AB =，所以O O '⊥平面PAB ， 所以点O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，所以外接球的半径2521===AC OA R ， 故外接球的表面积2425S R ππ==．例6.3 已知半径为4的球面上有两点A ，B ，42AB =O ，若球面上的动点C 满足二面角C -AB -O 的大小为60︒，则四面体OABC 的外接球的半径为 . 【解析】由已知42AB =4OA OB ==，所以△OAB 为直角三角形.如图，平面OAB 截球O 得小圆M ， 其中点M 直角三角形△OAB 外接圆圆心，线段AB 的中点 平面ABC 截球O 得小圆E ，点C 为小圆E 上的动点不妨设CA CB =，则点E 在线段CM 上，CM AB ⊥，OM AB ⊥ CMO ∠为二面角C -AB -O 的平面角，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ， 作1l ⊥平面OAB 并与OE 的延长线交于点F ， 则点F 为四面体OABC 的外接球的球心，OF 为半径， 如图，OF 2246==所以，四面体OABC 46。
多面体外接球半径常见的五种求法
例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为３，则这个球的体积为.
解设正六棱柱的底面边长为 ，高为 ，则有
∴正六棱柱的底面圆的半径 ，球心到底面的距离 .∴外接球的半径 . .
小结本题是运用公式 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
寻求轴截面圆半径法
例4正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点 都在同一球面上，则此球的体积为.
解设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为 ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得 .
又 ，∴球心 必在 所在的直线上.
∴ 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在 中，由 ，得 .
确定球心位置法
例5在矩形 中， ，沿 将矩形 折成一Leabharlann 直二面角 ，则四面体 的外接球的体积为
A. B. C. D.
解设矩形对角线的交点为 ，则由矩形对角线互相平分，可知 .∴点 到四面体的四个顶点 的距离相等，即点 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径 .故 .选C.
∴ .
∴ 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故 .
小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
多面体几何性质法
例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A. B. C. D.
解设正四棱柱的底面边长为 ，外接球的半径为 ，则有 ，解得 .
外接球半径求法
外接球半径求法
外接球半径是指一个几何体的外接球的半径，它可以通过该几何体的某些特征来求解。
以下是几种常见的求解方法：
1. 对于正四面体、正六面体、正八面体等正多面体，其外接球半径可以直接通过公式计算得出。
例如，对于正四面体，其外接球半径R等于边长a乘以根号2除以4，即R=a√2/4。
2. 对于任意三角形ABC，其外接圆的半径R可以通过三角形的三边长度a、b、c来计算。
具体而言，可以使用海伦公式计算三角形的面积S，然后通过公式R=abc/4S求解外接圆半径R。
其中a、b、c分别为三角形的三边长度。
3. 对于任意四面体ABCD，其外接球半径可以通过四个顶点之间的距离来计算。
具体而言，假设四个顶点分别为A、B、C和D，则可以先计算出任意两个顶点之间的距离（如AB、AC等），然后使用这些距离来计算四面体各个侧面上三角形的面积，并使用这些面积来计算四面体总表面积S。
最后使用公式R=abc/4S求解出外接球半径R。
以上是几种常见的求解外接球半径的方法，不同的几何体可能需要使
用不同的方法来求解。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法来计算外接球半径。
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB 解：由已知建立空间直角坐标系3，，设球心坐BO 知222222)2(z y x z y x ++-=++CD A B S O 1图3A O D B 图4C y解得 1331===z y x 所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 46。
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见得5种求法如果一个多面体得各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体就是球得内接多面体,这个球称为多面体得外接球、有关多面体外接球得问题,就是立体几何得一个重点,也就是高考考查得一个热点。
研究多面体得外接球问题,既要运用多面体得知识,又要运用球得知识,并且还要特别注意多面体得有关几何元素与球得半径之间得关系,而多面体外接球半径得求法在解题中往往会起到至关重要得作用.知识回顾:1、球心到截面得距离d与球半径R及截面得半径r有以下关系２、球面被经过球心得平面截得得圆叫.被不经过球心得平面截得得圆叫3、球得表面积表面积S＝;球得体积V＝4、球心一定在过多边形(顶点均在球面上)外接圆圆心且垂直此多边形所在平面得垂线上方法一:公式法例１一个六棱柱得底面就是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱得顶点都在同一个球面上,且该六棱柱得体积为,底面周长为３,则这个球得体积为。
解设正六棱柱得底面边长为,高为,则有∴正六棱柱得底面圆得半径,球心到底面得距离.∴外接球得半径。
、小结:本题就是运用公式求球得半径得,该公式就是求球得半径得常用公式.(R—球得半径;d—球心到球截面圆得距离,注意球截面圆通常就是顶点在球上多边形得外接圆;ｒ－顶点在球上多边形得外接圆得半径)方法二:多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上得正四棱柱得高为4,体积为1６,则这个球得表面积就是( )A. B. Ｃ。
Ｄ。
解:设正四棱柱得底面边长为,外接球得半径为,则有,解得、∴。
∴这个球得表面积就是。
选C。
小结:本题就是运用“正四棱柱体(包括正方体、长方体)对角线得长等于其外接球得直径"这一性质来求解得、方法三:补形法例３:若三棱锥得三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球得表面积就是、解:据题意可知,该三棱锥得三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为得正方体,于就是正方体得外接球就就是三棱锥得外接球、设其外接球得半径为,则有。
多面体外接球半径常见的五种求法
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多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球•有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是 高考考查的一个热点•研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知 识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系 ，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用公式法多面体几何性质法解 设正四棱柱的底面边长为 x ,外接球的半径为 R ,则有4x 2 16 ,解得x 2.•2R J 22 22 42 2 46,R 76 •/这个球的表面积是 4 R 2 24 .选C.小结本题是运用正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的补形法例i 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在9同一个球面上，且该六棱柱的体积为 - 底面周长为3,则这个球的体积为解设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有986x 3,1x -, 翻2h2T xh, h .3.•'正六棱柱的底面圆的半径-,球心到底面的距离 2舟••外接球的半径R r 2d 2 1. V 球—3小结 本题是运用公式R 22 2r d 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4 ,体积为16 ,则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直 ，且侧棱长均为讣3 ,则其外接球的表面积是 ___ .解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直 ，二把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球2L 2l 2 l 22 9设其外接球的半径为 R ，则有2R .3 .39；.R 2 -.4故其外接球的表面积 S 4 R 29 .小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a 、b 、c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体 ，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的 直径.设其外接球的半径为 R ，则有2R . a 2 b 2 c 2 .寻求轴截面圆半径法小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何例4正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点 S 、A B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的体积为 _________ :解设正四棱锥的底面中心为 01,外接球的球心为 0 ,如图3 所示.•••由球的截面的性质，可得001 平面ABCD .又SO i 平面ABCD ，•球心0必在SO 所在的直线上.• ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆 ，外接圆的半径就是外接球的半径 在 ASC 中，由 SA SC 「2, AC 2，得 SA 2 SC 2 AC 2.ASC 是以AC 为斜边的Rt .AC21是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V 球C问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，AB 4,BC 3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD ，则四面体ABCD 的外接球的体积为解得 x 1A.竺12125B.-9 125C.-6 125D.-3解设矩形对角线的交点为 O ,则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ./点0到四面体的四个顶点 A 、B 、C 、D 的距离相等, 即点0为四面体的外接球的球心 ，如图2所示.•••外接球的半径R 0A54 3 125.故V 球 R.选C.出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解设球心坐标为0(x, y, z)则AO BO CO DO ,由空间两点间距离公式知(x2)2 2 2 2 2 2 2x y z x y (z 2)x 2 y 2 z 2(x1)2 (y 、3)2 z 2C(3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA 1作截面图得，圆0为矩形AA i C i C 的外接圆，易得 R A i OD1C1D1.1 H < T所以半径为R 1( 33))12专结论】：空间两点间距离公式：PQ(X i X 2)2 (y i y 2)2 (z i Z 2)2四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点 ，J 6根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为 一a4内切球的半径正方体的内切球设正方体的棱长为 a ，求(1)内切球半径；(2)外接球半径；(3)与棱相切的球 半径。
多面体外接球半径常见的几种求法.docx
多面体外接球半径常见的几种求法多面体外接球半径常见的几种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球. 有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例 1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周8长为３，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有6x3,x 1 ,96 3 x2 h,2h ．843∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1，球心到底面的距离 d322. ∴外接球的半径 Rr2d21.V球4.3小结本题是运用公式 R2r 2 d 2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式 .多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A. 16B.20C.24D.32解设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有4x216 ，解得x 2 .∴ 2R222242 2 6,R6 .∴这个球的表面积是4 R224. 选 C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的 .补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为 3 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球 .2222设其外接球的半径为 R ，则有2R3339 .∴R29 .4故其外接球的表面积 S 4 R29.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径. 设其外接球的半径为R ，则有 2Ra2b2c2.寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为S、A、B、C、 D 都在同一球面上，则此球的体积为.2，点S解设正四棱锥的底面中心为 O1，外接球的球DC 心为 O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得O1BA图3OO1平面 ABCD .又SO平面 ABCD ，∴球心O必在SO所在的直线上.11∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径 .在ASC中，由SA SC2， AC 2 ，得 SA2SC2AC 2.∴ASC是以 AC为斜边的 Rt .∴AC1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故 V 球4. 23小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径. 本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究 . 这种等价转化的数学思想方法值得我们学习 .确定球心位置法例 5在矩形ABCD中，AB4, BC 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为A. 125B.125129C.125D.125D63解设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线CA O互相平分，可知OA OB OC OD .∴点 O 到四面体的图 4B四个顶点 A、 B、 C、D 的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图 2 所示 . ∴外接球的半径R OA 5 . 故4125. 选 C.2V 球R336出现两个垂直关系，利用直角三角形结论【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
多面体外接球半径常见的五种求法
多面体外接球半径常见的5种求法文/xx如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为３，则这个球的体积为.86x3,1x,x2解设正六棱柱的底面边长为，高为h，则有932xh,64h3．8∴正六棱柱的底面圆的半径r31，球心到底面的距离d.∴外接球的半径22R r2d21.V球4.3222小结本题是运用公式R r d求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32解设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，则有4x16，解得x2.∴2R 222224226,R6.∴这个球的表面积是4R224.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有2R223232329.∴R29.4故其外接球的表面积S4R9.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R a2b2c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得OO1平面ABCD.DCO1图3BS又SO1平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线xx.∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASCxx，由SA SC A2，AC2，得SA2SC2AC2.∴ASC是以AC为斜边的Rt.∴AC4.1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球23小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为125125A.B.C.D.12963解设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD.∴点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半541253.选C.径R OA.故V 球R236DCBAO图4。
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多面体外接球半径常见的几种求法
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多面体外接球半径常见的几种求法
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
公式法
例1 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9
8
，底面周长为３,则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ,则有
263,1,2936,38
4x x x h h =⎧⎧
=⎪⎪
∴⎨⎨
=⨯⎪⎪=⎩⎩． ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =,球心到底面的距离3
2
d =．∴外接球的半径221R r d =+=.43
V π
∴=
球． 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式.
多面体几何性质法
例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16，则这个球的表面积是
A ．16π B.20π C.24π Ｄ.32π
解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ,则有
2416x =,解得2x =.
∴222222426,6R R =++=∴= .∴这个球的表面积是
2424R ππ=.选C.
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
补形法
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是 .
解 据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.
设其外接球的半径为R ，则有()()()()2
2
2
2
23339R =++=.∴
294
R =
. 故其外接球的表面积249S R ππ==.
小结 一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a b c 、、,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为
R ，则有2222R a b c =++.
寻求轴截面圆半径法
例４ 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2,点
S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积
为 .
解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示．∴由球的截面的性质，可得
1OO ABCD ⊥平面.
又1SO ABCD ⊥平面,∴球心O 必在1SO 所在的直线上． ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,外接圆的半径就是外接球的半径．
在ASC ∆中,由22SA SC AC ===，，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴
12
AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π
=球． 小结 根据题意,我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法,该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习．
C
D A
B
S
O 1图3
确定球心位置法
例5 在矩形ABCD 中,4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为
A.
12512π B. 125
9π C. 1256π D. 125
3
π
解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互
相平分,可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等,即点O 为四面体的外接球的球心,如图2所示．∴外接球的半径5
2
R OA ==.故
34125
36
V R ππ==球.选Ｃ.
出现两个垂直关系,利用直角三角形结论
【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】:已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上,BC AB ⊥且
7=PA ,5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ,51=PC ，10=AC ,
因为22
210517=+ 所以知2
22PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为: 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ,
C A
O D
B
图4
O
A
B
C
P
在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==
所以在几何体中OA OC OB OP ===,即O 为该四面体的外接球的球心1
52
R AC =
= 所以该外接球的体积为3450033V R π
π==
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
第二类方法:
多面体的顶点落于地面图形的顶点:2
222h r R ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
多面体的顶点落于地面图形的中心:22
2h r R h +=.
E ｇ1:已知在三棱锥BCD A -中,ABC AD 面⊥,︒
=∠120BAC ，
2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。
E ｇ2:正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，点
S A B C D 、、、、都在同一球面上,则此球的体积为 ．。