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立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算 专题学案汇编
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算 班级： 姓名： 小组：【学习目标】(1)理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念． (2)掌握各种距离的计算方法． 【重点、难点】重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用． 难点：把空间距离转化为向量知识求解． 【学法指导】空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离，用向量法来求解。
【预习感知】1．两点间的距离的求法．设a ＝(a 1，a 2，a 3)，则|a |＝______________，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则d AB ＝|AB→|＝________________. 答案：a 21＋a 22＋a 23(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)22．点到直线距离的求法设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外定点．作AA ′⊥l ，垂足为A ′，则点A 到直线l 的距离d 等于线段AA ′的长度，而向量PA →在s 上的投影的大小|PA →·s 0|等于线段PA ′的长度，所以根据勾股定理有点A 到直线l 的距离d ＝_____________．d ＝|PA →|2－|PA →·s 0|2.3．点到平面的距离的求法设π是过点P 垂直于向量n 的平面，A 是平面π外一定点．作AA ′⊥π，垂足为A ′，则点A 到平面π的距离d 等于线段AA ′的长度，而向量PA→在n 上的投影的大小|PA →·n 0|等于线段AA ′的长度，所以点A 到平面π的距离d ＝____________. d ＝|PA →·n 0|.【预习检测】1．已知直线l 过定点A (2,3,1)，且方向向量为n ＝(0,1,1)，则点P (4,3,2)到l 的距离为( )A.322 B ．22 C.102D ． 2【解析】 PA →＝(－2,0，－1)，|PA →|＝5，PA →·n |n |＝－12，则点P 到直线l 的距离d ＝|PA →|2－|PA →·n |n ||2＝5－12＝322.【答案】 A图2－6－42．如图2－6－4所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离是( )A.12 B ．24【解析】 建立如图所示坐标系，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)， O (12，12，1)， 则DA 1→＝(1,0,1)， A 1O →＝(－12，12，0)，由题意知DA 1→为平面ABC 1D 1的法向量，∴O 到平面ABC 1D 1的距离为 d ＝|DA 1→·A 1O →||DA 1→|＝122＝24.【答案】 B3．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，BC ＝4，BB 1＝3，则点B 1到平面A 1BC 1的距离为________．【解析】 如图所示建立空间直角坐标系， 则A 1(4,0,3)，B 1(4,6,3)，B (4,6,0)，C 1(0,6,3)，A 1C 1→＝(－4,6,0)，A 1B →＝(0,6，－3)， BC 1→＝(－4,0,3)，A 1B 1→＝(0,6,0)，设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B →＝0，解得n ＝(1，23，43)．∴d ＝|A 1B 1→·n ||n |＝122929.【答案】 122929【自主探究】 求点到直线的距离如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝1，BC ＝1，AA ′＝2，求点B 到直线A ′C 的距离．[分析] 可利用坐标向量法求出点B 到直线A ′C 的距离． [解析] 画出空间直角坐标系如图，因为AB ＝1，BC ＝1，AA ′＝2， 所以A ′(0,0,2)，C (1,1,0)，B (1,0,0)．计算直线A ′C 的方向向量A ′C →＝(1,1，－2)；找到直线A ′C 上一点C (1,1,0)； 求点B (1,0,0)到直线A ′C 上一点C (1,1,0)的向量BC →＝(0,1,0)； BC →在A ′C →上的投影为BC →·A ′C →|A ′C →|＝(0，1，0)·(1，1，－2)12＋12＋(－2)2＝16； 所以点B 到直线A ′C 的距离为d ＝|B C →|2－|B C →·A ′C →|A ′C →||2＝1－16＝56＝306.点面距已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且|GC |＝2，求点B 到平面EFG 的距离．[分析] 在用向量方法求证垂直问题或求距离时，可以建立空间直角坐标系，通过坐标运算求解，也可直接通过向量运算进行求解．还可利用等积法求解． [解析] 解法一：(转化法)连接AC ，BD 交于点O ，设AC 与EF 交于H ，连接GH ，GO ，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ． ∵BD Ú平面GEF ， ∴BD ∥平面GEF .∴点B 到平面EFG 的距离即为点O 到平面EFG 的距离． ∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴EF ⊥AC ． ∵GC ⊥平面ABCD ，又EF Ü平面ABCD ，∴GC ⊥EF ，∴EF ⊥平面GCH .∵EF 面GEF ， ∴平面GEF ⊥平面GCH . 过O 点作OM ⊥GH 于M ，则OM ⊥平面GEF ，因此OM 是O 点到平面GEF 的距离，也等于B 点到平面GEF 的距离．∵正方形ABCD 边长为4， ∴|CH |＝34|AC |＝34×42＝3 2.∵|GC |＝2，且GC ⊥CA ，∴|GH |＝4＋18＝22. ∵Rt △OMH ∽Rt △GCH ， ∴|OM ||OH |＝|GC ||GH |，∴|OM |＝21111. ∴点B 到平面EFG 的距离为21111.解法二：(等体积法)连接BG ，BF ，可知V G －BEF ＝V B －GEF ，∵E 为AB 的中点，∴S △BEF ＝12S △ABF ＝12×12×2×4＝2.连接AC 交EF 于H ，连接GH ，∵EF ⊥AC ，GC ⊥EF ，∴EF ⊥平面GCH ，∴EF ⊥GH . ∵|GC |＝2，|AC |＝42，∴|CH |＝34×42＝32，∴|GH |＝GC 2＋CH 2＝4＋18＝22.∴S △GEF ＝12×|EF |×|GH |＝12×22×22＝211.设点B 到平面GEF 距离为h由V G －BEF ＝V B －GEF ，得13×|GC |×S △BEF ＝13×h ×S △GEF ，∴13×2×2＝13×h ×211，解得h ＝21111. ∴B 点到平面GEF 的距离为21111.解法三：(向量法)如图所示，以C 为原点，分别以CD 、CB 、CG 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，则B (0,4,0)，E (2,4,0)，F (4,2,0)，G (0,0,2)．∴GF →＝(4,2，－2)，EF →＝(2，－2,0)， 设平面GEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·GF →＝0n ·EF →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －z ＝0x －y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，z ＝3x .令x ＝1，得n ＝(1,1,3)．。
立体几何(点到面的距离)
立体几何（文科综合）1．如图, 在四棱锥P ABCD 中,四边形ABCD 是直角梯形, DC 2AD 2AB 2，DAB ADC 90 , PB 2，PDC 为等边三角形.1）证明：PD BC ；2）求点B到平面PCD的距离.答案】（1）略；（2）632．如图，圆锥PO中，AB是圆O的直径，C是底面圆O上一点，且CAB ，点D为半径OB的中6（Ⅰ）求证：CD 平面APB ；（Ⅱ）当APB是边长为4的正三角形时，求点A到平面PBC的距离. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）h 4 1553．如图，已知在直四棱柱ABCD A1 B1C1D1 中，AD DC ，AB/ /DC ，DC DD1 2AD 2AB 2 ．（1）求证：DB 平面B1BCC1 ；（2）求点A1到平面C1BD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）3. 4．如图，四棱锥的底面是直角梯形，点，。
1）证明：平面2）求点到平面的距离。
答案】（ 1 ）见解析；（ 2 ）1）证明：平面平面2）求点到平面的距离.答案】（1）见解析（2）6．如图所示，在三棱锥D－ABC中，AC，BC，CD两两垂直，AC＝CD＝1，＝，O为AB 的中点．平面的中5．如图，在三棱柱，是边的中点.中（底面为正三角形），平面说明点 M ， N 的位置 （ 不要求证明 ）；（2） 求点 C 到平面 ABD 的距离．【答案】（ 1）见解析；（ 2）（1） 求证： CF ∥平面 ； （2） 求三棱锥 C － 的高．【答案】（ 1）见解析；（ 2）求证：平面 平面，求点 到平面 的距离与平面 ACD 平行，且与棱 DB ，CB 分别相交于 M ， N ，在图中画出该截面多边形，并在 的条件下，若 ，求 与平面 所成角的正切值的侧棱 AA1⊥底面 ABC ，∠ACB ＝90°， E 是棱 的中点， F 是 AB 的中点，8．已知四棱锥的底面 是菱形， 底面 是 上的任意一点7．如图，三棱柱 ABC －答案】（ 1）见解析（ 2） （3）9．如图， 已知 平面 ， 为矩形， 、 分别为 、 的中点，1）求证： 平面 ；2）求证：面平面3）求点 到平面 的距离 .答案】（ 1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） .1）证明： 平面答案】（ 1）证明见解析； （2）11．在长方体 ABCD A 1BC 1 1D 1 中，底面 ABCD 是边长为 2的正方形， AA 1=2 3，E 是 AB 的中点， F10．如图，在四棱锥 点 Q 在棱 AB中， 平面的体积为，求点 B 到平面 PDQ 的距离 .是 BB 1 的中点1）求证：EF / / 平面A1DC1；2）求点A到平面A1DC1 的距离.答案】（1）见解析（2） 2 217ADFC是边长为2的正方形，点M 是棱EF 的中点.2）若三棱锥B DEF 的体积为4，求点B到平面ADFC 的距离.答案】（1）见解析（2）613．已知四棱锥P ABCD的底面为菱形，且ABC 60 ，AB PC 2,AP BP 2 .1）求证：平面PAB 平面ABCD ；2）求点D 到平面APC的距离.答案】（1）证明见解析；（2） 2 21714．如图，在等腰梯形ABCD中，AB/ /CD ，AD DC CB CF ，ABC 60 ，四边形ACFE为平行四边形，FC 平面ABCD ，点M 为线段EF 中点.1）求证： BC ⊥平面 ACFE ；2）若 AD 2，求点 A 到平面 MBC 的距离 答案】（ 1）详见解析； （ 2） 4 21 .715．如图所示，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，AB ⊥BC ，AB BC 1， PA ⊥平面 ABCD ， CD ⊥2）若 PA AD ，求点 B 到平面 PAC 的距离．答案】（ 1）见解析（ 2） 16．如图， 在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中， ABC 为正三角形， AB=AA=1 2 ， M 是 A 1C 的中点， N 是 A 1B 1 的中点1）证明：MN ∥ 平面 BCC 1B 1 ； 2）求点 M 到平面 ACB 1的距离 .PAC ；【答案】（ 1）见证明；（2） 21717．如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD 中， PA 平面 ABCD ， BD 交 AC 于点 E , F 是 PA 的中点， G 为 AC 上一动点．1）求证： BD FG ；2）若 G 是AE 的中点， PA AB 4，求点 P 到平面 FGD 的距离. 答案】（1）证明见解析； （2） 2 14.718．如图，四面体 ABCD 中， O 、 E 分别是 BD 、BC 的中点，1）求证： AO 平面 BCD ；2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值； 3）求点 E 到平面 ACD 的距离。
专题11立体几何中的点面距离问题解析版
专题11 立体几何中的点面距离问题【方法总结】应用等体积转化法求解点到平面的距离等体积转化法就是通过变换几何体的底面，利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式构造方程来求解相关问题的方法，主要用于立体几何中求解点到面的距离．关键是准确把握三棱锥底面的特征，选择的底面应具备两个特征：一是底面的形状规则，即面积可求；二是底面上的高比较明显，即线面垂直关系比较直接．【例题选讲】[例1](2019·全国Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)证明：MN ∥平面C 1DE ；(2)求点C 到平面C 1DE 的距离．解析 (1)连接B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME＝12B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D ．由题设知A 1B 1綊DC ，可得B 1C A 1D ，故ME ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥ED ．又MN ⊄平面C 1DE ，ED ⊂平面C 1DE ，所以MN ∥平面C 1DE ．(2)过点C 作C 1E 的垂线，垂足为H ．由已知可得DE ⊥BC ，DE ⊥C 1C ，又BC ∩C 1C ＝C ，BC ，C 1C ⊂平面C 1CE ，所以DE ⊥平面C 1CE ，故DE ⊥CH ．又C 1E ∩DE ＝E ，所以CH ⊥平面C 1DE ，故CH 的长即为点C 到平面C 1DE 的距离．由已知可得CE ＝1，C 1C ＝4，所以C 1E ＝17，故CH ＝41717．从而点C 到平面C 1DE ∥＝∥＝的距离为41717． [例2]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的正方形，P A ＝PD ＝17，E 为P A 的中点，点F 在PD 上且EF ⊥平面PCD ，M 在DC 延长线上，FH ∥DM ，交PM 于点H ，且FH ＝1．(1)证明：EF ∥平面PBM ；(2)求点M 到平面ABP 的距离．解析 (1)证明：取PB 的中点G ，连接EG ，HG ，则EG ∥AB ，且EG ＝1，∵FH ∥DM ，且FH ＝1，又AB ∥DM ，∴EG ∥FH ，EG ＝FH ，即四边形EFHG 为平行四边形，∴EF ∥GH ．又EF ⊄平面PBM ，GH ⊂平面PBM ，∴EF ∥平面PBM ．(2)∵EF ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴EF ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，EF 和AD 显然相交，EF ，AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥平面P AD ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面P AD ．取AD 的中点O ，连接PO ，∵P A ＝PD ，∴PO ⊥AD ．又平面ABCD ∩平面P AD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∵AB ∥CD ，∴AB ⊥平面P AD ，∵P A ⊂平面P AD ，∴P A ⊥AB ，在等腰三角形P AD 中，PO ＝P A 2－AO 2＝17－1＝4． 设点M 到平面ABP 的距离为h ，连接AM ，利用等体积可得V M －ABP ＝V P －ABM ， 即13×12×2×17×h ＝13×12×2×2×4，∴h ＝817＝81717，∴点M 到平面P AB 的距离为81717． [例3]如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，AB ＝PC ＝2，P A ＝PB ＝2．(1)求证：平面P AB ⊥平面ABCD ；(2)求点D 到平面APC 的距离．解析 (1)证明：取AB 的中点O ，连接PO ，CO ，(图略)，由P A ＝PB ＝2，AB ＝2知△P AB 为等腰直角三角形，∴PO ⊥AB ，PO ＝1， 由AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝60°知△ABC 为等边三角形，∴CO ＝3．又由PC ＝2得PO 2＋CO 2＝PC 2，∴PO ⊥CO ，又AB ∩CO ＝O ，∴PO ⊥平面ABC ， 又PO ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面ABCD ．(2)由题知△ADC 是边长为2的等边三角形，△P AC 为等腰三角形，设点D 到平面APC 的距离为h ，由V D P AC ＝V P ADC 得13S △P AC ·h ＝13S △ADC ·PO ．∵S △ADC ＝34×22＝3，S △P AC ＝12P A ·PC 2－⎝⎛⎭⎫12P A 2＝72， ∴h ＝S △ADC ·PO S △P AC ＝3×172＝2217，即点D 到平面APC 的距离为2217． [例4]如图，在单位正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，BC 1的中点．。
立体几何求点到面距离问题
立体几何求点到面距离问题引言立体几何是研究空间中的图形和空间关系的一个分支学科。
在立体几何中，求点到面的距离是一个常见的问题。
本文将从基本概念出发，深入探讨立体几何中求点到面距离的问题。
什么是点到面的距离点到面的距离是指空间中一个点到平面的最短距离。
这个距离可以用于求解一系列实际问题，例如工程中的装配问题、机器人导航问题等。
点到面距离的计算方法在立体几何中，求点到面的距离可以采用多种方法。
下面将介绍几种常用的计算方法。
求点到平面的公式假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，点的坐标为(x0,y0,z0)，点到平面的距离可以通过公式计算：距离= |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，|x|表示x的绝对值。
点到三角形的距离若平面上有一个三角形ABC，点P到三角形的距离可以按照以下步骤计算：1.求三角形ABC的法向量N；2.用三角形ABC的一条边向量B-A和两个边向量C-A、P-A构造Gram矩阵，记作G；3.求Gram矩阵的特征值λ1、λ2、λ3；4.计算点到三角形的距离d = √(2* (λ1^2 + λ2^2 + λ3^2) / (λ1 +λ2 + λ3))；其中，√表示平方根。
点到立方体的距离立方体是一个六个面都是正方形的多面体。
点到立方体的距离可按照以下步骤计算：1.将立方体视为六个平面；2.对于每个平面，计算点到平面的距离；3.取最小的平面距离作为点到立方体的距离。
点到面距离的应用点到面的距离在计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉等领域有着广泛的应用。
计算机图形学中的应用在计算机图形学中，点到面的距离可以用于线框模型的绘制、曲面的包围盒计算等。
例如，当我们需要绘制一个线框模型时，可以通过计算点到平面的距离，来确定哪些线是显示的，哪些线是隐藏的。
计算机辅助设计中的应用在计算机辅助设计中，点到面的距离可以用于零件装配的碰撞检测、表面贴花等。
立体几何知识点和例题(含有答案)
【考点梳理】一、考试内容1.平面。
平面的基本性质。
平面图形直观图的画法。
2.两条直线的位置关系。
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
对应边分别平行的角。
异面直线所成的角。
两条异面直线互相垂直的概念。
异面直线的公垂线及距离。
3.直线和平面的位置关系。
直线和平面平行的判定与性质。
直线和平面垂直的判定与性质。
点到平面的距离。
斜线在平面上的射影。
直线和平面所成的角。
三垂线定理及其逆定理。
4.两个平面的位置关系。
平面平行的判定与性质。
平行平面间的距离。
二面角及其平面角。
两个平面垂直的判定与性质。
二、考试要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。
对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。
2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。
对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。
3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。
能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。
4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。
三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系（1）角①相交直线所成的角；②异面直线所成的角——转化为相交直线所成的角；③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影所成的角；④二面角——用二面角的平面角来度量。
（2）距离①两点之间的距离——连接两点的线段长；②点线距离——点到垂足的距离；③点面距离——点到垂足的距离；④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离；⑤异面直线间的距离——公垂线在两条异面直线间的线段长；⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离；⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离；⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。
暑假立体几何中的距离问题
立体几何中的距离问题【要点精讲】 1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。
其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
○2等体积法。
直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。
求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。
异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定） 点到面的距离的做题过程中思考的几个方面:①直接作面的垂线求解；②观察点在与面平行的直线上，转化点的位置求解； ③观察点在与面平行的平面上，转化点的位置求解； ④利用坐标向量法求解⑤点在面的斜线上，利用比例关系转化点的位置求解。
立体几何求体积、点到平面的距离专题(理科)
立体几何求体积、点到平面的距离专题（理科）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是边长为2且160CBB∠=︒的菱形，1AB AC =．（1）证明：平面1AB C ⊥平面11BB C C ．（2）若1AB B C ⊥，AB BC =，求点B 到平面111A B C 的距离．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，60PAC BAC ∠=∠=︒，4AC =，3AP =，2AB =．二、(优质试题湖北武汉高三二月调研)一、（优质试题河北石家庄高三质量检测（二））（1）求三棱锥P ABC -的体积； （2）求点C 到平面PAB 的距离．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别为BC ，DE 中点．（1）证明：CN ∥平面AEM ；（2）若ABE △是等边三角形，平面ABE ⊥平面BCE ，CE BE ⊥，2BE EC ==，求三棱锥N AEM -的体积．三、(优质试题福建莆田高三下学期三月质量检测)【答案】（1）见解析；（2）7【解析】（1）连接1BC 交1B C 于O ，连接AO ， 侧面11BB C C 为菱形，∴11B C BC ⊥；1AB AC =，O 为1BC 的中点，1AO BC ∴⊥，又1B C AO O =，1BC ∴⊥平面1AB C ，1BC ⊂平面11BB C C ，∴平面1AB C ⊥平面11BB C C ．（2）由1AB B C ⊥，1BO B C ⊥，ABBO B =，1B C ∴⊥平面ABO ，AO ⊂平面ABO ，又1AO BC ⊥，11BCB C O =，AO ∴⊥平面11BB C C ，菱形11BB C C 的边长为2且0160CBB∠=，BO ∴=，2AB BC ==，1AO ∴=又1CO =，AC 111ABC A B C S S =△△，设点B 到平面111A B C 的距离为h ，由11111111B A B C A BB C A BB C VV V ---==得111221332h =⋅⋅⋅，h ⇒=，∴点B 到平面111A B C【答案】（1）3；（2．【解析】（1）过P 作PH AC ⊥交AC 于一点H ，二、(优质试题湖北武汉高三二月调研)一、（优质试题河北石家庄高三质量检测（二））。
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.7 点到平面的距离课件 湘教版选修2-1
d＝|AP1|＝___||_A_P_|_c_o_s_∠_P_A__N_|__＝___|_A_|Pn_·|_n_| __．
1．已知直线 l 过点 A(1，－1，2)，和 l 垂直的一个向量为 n＝
(－3，0，4)，则 P(3，5，0)到 l 的距离为( )
A．5
B．14
C.154
D.45
答案：C
2．已知直线 l 与平面 α 相交于点 O，A∈l，B 为线段 OA 的中
d＝
|B→C|2－B→|CA→·′AC→′|C2＝
16 4－14
＝2
35 7.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向 量上的射影长； (4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到 直线的距离之间的转化．
则 A(4，0，0)，B(0，3，0)，P0，0，95， 所以A→B＝(－4，3，0)，A→P＝－4，0，95， 所以A→P在 AB 上的投影长为|A→P|A·→BA→| B|＝156， 所以点 P 到 AB 的距离为 d＝ |A→P|2－1562＝ 16＋8215－22556＝3. 答案：3
点到直线的距离 如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCD-A′B′C′D′， AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点 B 到直线 A′C 的距离．
又 AC∥平面 PEF，
所以
AC
到平面
PEF
的距离为
17 17 .
用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系； (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标； (3)求向量：求出相关向量的坐标； (4)利用公式即可求得点到平面的距离．
第8章立体几何专题10 点到面的距离常考题型专题练习——【含答案】
1点到面的距离【方法总结】1、直接作点到面的垂线，放到三角形中，利用解三角形进行求解。
2、利用等体积法进行求解【巩固练习】1、已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．【解析】过点P 作PO ⊥平面ABC 交平面ABC 于点O ，过点P 作PD ⊥AC 交AC 于点D ，作PE ⊥BC 交BC 于点E ，联结OD ，OC ，OE ， 则,,AC POD BC POE ⊥⊥平面平面 所以,,AC OD BC OE ⊥⊥又90ACB ∠=︒, 故四边形ODCE 为矩形. 有所做辅助线可知3PD PE ==，1所以()22231CD CE ==-=，所以矩形ODCE 为边长是1的正方形，则2OC =.在Rt PCO △中，2,2PC OC ==，所以2PO =.PO 即为点P 到平面ABC 的距离，即所求距离为2.2.如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离．解析 （1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且112ME B C =.又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11=AB DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥.又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE .旗开得胜1（2）过C作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，由已知可得CE =1，C 1C =4，所以117C E =，故41717CH =. 从而点C 到平面1C DE 的距离为41717.3、如图，在三棱锥-P ABC 中，22==AB BC4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点．O MPCBA旗开得胜1(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2=MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．【解析】(1)因为4===AP CP AC ，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且23=OP ．连结OB ．因为22==AB BC AC ，所以∆ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，122==OB AC ． 由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．HO MPCBA(2)作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知122==OC AC ，24233==CM BC ，45∠=ACB ． 所以253=OM ，sin 455⋅⋅∠==OC MC ACB CH OM ．。
数学必修二点到面的距离
【模块标题】点到面的距离<模块综述>求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．下面介绍两种常见的求解空间“点到面的距离问题”的方法：直接法，等体积法.知识回顾：1． 点面距离的概念 垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如图，$AA'\bot \alpha $，$A'$为垂足，则$AA'$的长度为$A$到$\alpha $的距离．2．等体积法求点面距离如果点到平面的垂线段容易作出，我们可以直接求出点面距离．当垂线段不易作出，我们可以通过等体积法来求出点面距离．设四面体A BCD -中点A 到面BCD 的距离为d ，点B 到面ACD 的距离为1d ，则此时若BCD S ，ACD S ，1d 容易求出，则可根据上式求得点A 到面BCD 的距离为d ．【教材内容1】会用直接法求空间点到面的距离（3星)例1. 如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 互相垂直，且,=2AC BC AC BC ⊥=，则点A 与平面BCE 距离的大小为<承接>点到面的距离是过点做平面的垂线，点到垂足的距离就是点到平面的距离，所以可以根据定义找到垂线段，进而求得点到面的距离.也就是用“直接法”求点到面的距离.<板书演示>过点A 作OA EC ⊥，O 为垂足，因为平面ACDE ABC ⊥平面，AC BC ⊥，所以BC AO ⊥，所以AO EBC ⊥平面，则AO 就是点A 到面EBC 的距离．练1. 已知棱长为a 的空间四面体ABCD ，则点A 到底面BCD 的距离为_________．本题是正四面体，所以顶点在底面的投影为底面的几何中心，即正三角形的中心点．运用勾股定理即可求解．<承接>将点等效转移例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是底面1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（ ）AB CDEA ．12 B． C． D．本题直接找点O 在平面11ABC D 的投影，不易找，可以把点O 等效的转移，再求解点面的距离．<板书演示>第一步：取11C B 的中点为M ，连接OM ，因为OM 平行于平面11ABC D ，所以O 到平面11ABC D 的距离等于M 到平面11ABC D 的距离;第二步：找M 点在面11ABC D 的投影，结合练习1的方法可知，即过M 点作1C B 的垂线，交于点N ，则N练2. 如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,AA BB 的中点，G 为棱11A B 上一点，且()101A G λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为____．因为,E F 分别为棱11,AA BB 的中点，所以11EF A B ∥．所以11A B ∥平面1D EF ， 1D A所以点G 到平面1D EF 的距离等于点1A 到平面1D EF 的距离，过点1A 作11A M D E ⊥于点M ，则1A M ⊥平面1D EF ，所以1A M 即为所求，<承接> 上面我们用直接法可以求解点到平面的距离，此种方法可直接解决好找垂线段的题目，但对于不太好直接找出点到面的距离的题目用此种方法相对比较复杂和困难一些.所以，接下来我们介绍另一种方法.【教材内容2】会用等体积法求空间点到面的距离(3星)例3. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1111,A B A D 的中点，则点B 到平面AMN 的距离为________．分析可知：B AMN N ABM V V --=，后者点面距很容易求，故考虑等体积法.<板书演示>练3.已知直三棱柱111ABC A B C -中，190,2ABC AC AA AB ∠==== ，M 为1BB 的中点，则1B 与平面ACM 的距离为_____．答案：1练4.如图，在直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方体，AEB 是等腰直角三角形，且90AEB ∠= ，则点D 到平面ACE 的距离为______．<承接>将点等效转移，再用等体积法例4. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，设E 是棱1CC 的中点；（1）求证：BD AE ⊥；（2）求证：//AC平面1B DE ；（3）求A 到平面1BDE 的距离.<板书演示>（1）连接AC ，又1CC BD ⊥，所以BD ACE ⊥平面，所以BDAE ⊥.（2）连接1AC 交1B D 于点G ，连接EG ，可证明EG AC ∥，进而可得1AC B DE 平面∥.（3）在四面体中，进行顶点转移，观察何点为顶点时，其高易求；分析可知：1,,,A B D E 四个点，无论那个点作顶点时，高都不易求出，因此，在运用顶点转移求体积时，需要进行一定的处理，结合（2）可知，AC ∥平面1B DE ，点A 到平面1B DE 的距离等于点C 到平面1B DE 的距离，再用等体积法，即11C B DE D B EC V V --=；练 5.如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，Q 为线段AP 的中点，若2,4AB AP BC ===，求点P 到平面BQD 的距离．<板书演示>因为Q 为线段PA 的中点，所以P 点到平面QBD 的距离等于A 点到平面QBD 的距离．如图，在平面ABCD 内过A 作BD 的垂线AE ，交BD 于E ，连接QE ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又PA AE A ⋂=，所以BD ⊥平面QAE ．在平面QAE 内过A 作AH QE ⊥于H ．所以BD AH ⊥．又QE BD E ⋂=，所以AH ⊥平面BQD ．所以A 点到平面BQD 的距离为AH 的长．练6.如图，四棱锥P ABCD -中，90,2ABC BAD BC AD ∠=∠== ，PAB 与PAD 都是边长为2的等边三角形．1．证明：PB CD ⊥；2．求点A 到平面PCD 的距离．<板书演示>1.取BC 的中点E ，连接DE ，则四边形ABED 为正方形．过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ．连接,,,OA OB OD OE ．由PAB 和PAD 都是等边三角形，知PA PB PD ==，所以OA OB OD ==，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE BD ⊥，从而PB OE ⊥．因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE CD ∥．因此PB CD ⊥．2.取PD 的中点F ，连接OF ，则OFPB ∥． 由（1）知，PB CD ⊥，故OF CD ⊥．又 故POD 为等腰三角形，因此OF PD ⊥．又PD CD D ⋂=，所以OF ⊥平面PCD ．因为,AE CD CD ⊂∥平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以AE ∥平面PCD ．因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，而所以点A到平面PCD的距离为1．【模块小结】本节课学习了两种求空间点到平面距离的方法：定义法，等体积法，其中等体积法用的更多，需要同学们重点掌握.。
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算 导学案
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算导学案全国名校高中数学优质学案专题汇编（经典问题附详解）立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算研究目标】1.理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念。
2.掌握各种距离的计算方法。
重点、难点】重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用。
难点：将空间距离转化为向量知识求解。
学法指导】空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离。
其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离，用向量法来求解。
预感知】1.两点间的距离的求法。
设$A(x_1,y_1,z_1)$，则$|A|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$，若 $B(x,y,z)$，则 $d_{AB}=|AB|=\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}$。
2.点到直线的距离的求法。
设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{s}$，直线上一点为$P(x_0,y_0,z_0)$，点 $A(x,y,z)$，则$d_{A,l}=\dfrac{|\overrightarrow{PA}\cdot\vec{s}|}{|\vec{s}|}=\ dfrac{|\vec{PA_{\perp}}|}{|\vec{s}|}$。
3.点到平面的距离的求法。
设平面 $\pi$ 的法向量为 $\vec{n}$，平面上一点为$P(x_0,y_0,z_0)$，点 $A(x,y,z)$，则$d_{A,\pi}=\dfrac{|\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|} =\dfrac{|\vec{PA_{\perp}}|}{|\vec{n}|}$。
预检测】1.已知直线 $l$ 过定点 $A(2,3,1)$，且方向向量为$\vec{n}=(0,1,1)$，则点 $P(4,3,2)$ 到 $l$ 的距离为$\dfrac{2}{\sqrt{2}}$。
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算 导学案
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算班级：姓名：小组：【学习目标】(1)理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(2)掌握各种距离的计算方法．【重点、难点】重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用．难点：把空间距离转化为向量知识求解．【学法指导】空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离，用向量法来求解。
【预习感知】1．两点间的距离的求法．设a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝______________，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则d AB＝|AB→|＝________________.2．点到直线距离的求法设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外定点．作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量P A→在s上的投影的大小|P A→·s|等于线段P A′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d＝_____________．3．点到平面的距离的求法设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度，而向量P A→在n上的投影的大小|P A→·n0|等于线段AA′的长度，所以点A到平面π的距离d＝____________.【预习检测】1．已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为n＝(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为()A.322B．22 C.102变式训练 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 的平面ABC 1D 1的距离为( )A ．12B ．24C ．22D ．32【课堂检测】（见课堂多媒体，随堂检测） 【课后训练】10．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各条棱长均为a ，侧棱垂直于底面，D 是侧棱CC 1的中点，问a为何值时，点C 到平面AB 1D 的距离为1.。
027：选修2-1 3.2.3 利用法向量解决立体几何中的线面角问题和求点到平面的距离问题
选修2-1 第三章 空间向量与立体几何§3.2.3 利用法向量解决立体几何中的线面角，求点到平面的距离问题班级 姓名一、目标导引1．会利用法向量解决立体几何中的线面角； 2．会求点到平面的距离问题． 二、教学过程题型一 利用法向量解决立体几何中的线面角 【知识准备】如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ，则有 ,OP AP θ+<>= ,由此，在Rt AOP ∆中，sin |sin(,)|2OP AP πθ=-<>= = ．【注意】直线与平面所成的角的范围是θ∈例1 如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. （1）证明：AB ⊥A 1C ；（2）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．11【变式1】在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，求AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值．C1题型二 利用法向量求点到平面的距离问题【知识准备】设P 是平面α外一点，P A 是α的一条斜线，交平面α于点A ， n 是平面α的法向量，那么向量PA 在n 方向上的正射影长OP 就是点A 到平面α的距离h ，在Rt AOP ∆中，OP = = ．例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．A1【课时作业027】班级 姓名 作业等级A 级 学业水平达标1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值．【答案：63】12．正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案：155】3．如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，A 1D 1的中点．(1)求直线A 1C 与DE 所成角的余弦值；【答案：1515】(2)求直线AD 与平面B 1EDF 所成角的余弦值；【答案：33】(3)求平面B 1EDF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【答案：66】B 级 应试能力达标4．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1； (2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．（答案k=1）5．如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，∠ACB ＝90°．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若二面角D -PC -A 的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离．（答案32）1选修2-1 第三章 空间向量与立体几何§3.2.3 利用法向量解决立体几何中的线面角，求点到平面的距离问题一、目标导引1.利用法向量解决立体几何中的线面角；2.求点到平面的距离问题二、教学过程题型一 利用法向量解决立体几何中的线面角 【知识准备】如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ，则有 ,OP AP θ+<>= ,由此，在Rt AOP ∆中，sin |sin(,)|2OP AP πθ=-<>= =【注意】直线与平面所成的角的范围是θ∈例1 如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. ①证明：AB ⊥A 1C ；②若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． ①证明 取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B . ∵CA ＝CB ，∴OC ⊥AB . 由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形，∴OA 1⊥AB .∵OC ∩OA 1＝O ， ∴AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .②解 由①知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OA ，OA 1，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .设AB ＝2，则A (1,0,0)，A 1(0，3，0)， C (0,0，3)，B (－1,0,0)，则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)， A 1C -→＝(0，－3，3)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，1，－1)．故cos 〈n ，A 1C -→〉＝n ·A 1C -→|n ||A 1C -→|＝－105，∴A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.【变式1】在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，求AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值解析 取AC 的中点E ，连接BE ，则BE ⊥AC ，以B 为坐标原点，BE ，BB 1所在直线分别为x 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，D (0,0,1)，B (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫32，0，0，则AD →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，1，BE →＝⎝⎛⎭⎫32，0，0. ∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，BE ⊥AC ，BE ⊂平面ABC ， ∴BE ⊥平面AA 1C 1C ，∴BE →＝⎝⎛⎭⎫32，0，0为平面AA 1C 1C 的一个法向量．设AD 与平面AA 1C 1C 所成角为α，∵cos 〈AD →，BE →〉＝－64，∴sin α＝|cos 〈AD →，BE →〉|＝64.题型二 利用法向量求点到平面的距离问题【知识准备】设P 是平面α外一点，P A 是α的一条斜线，交平面α于点A ，n 是平面α的法向量，那么向量PA 在n 方向上的正射影长OP 就是点A 到平面α的距离h ，在Rt AOP ∆中，OP = =例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．解 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ， 则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)．所以AG →＝(0,1,0)，GE →＝(－2,1,1)，GF →＝(－1，－1,2)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，点A 到平面EFG 的距离为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·GE →＝0，n ·GF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋z ＝0，－x －y ＋2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝z .令z ＝1，此时n ＝(1,1,1)，所以d ＝|AG →·n ||n |＝13＝33，即点A 到平面EFG 的距离为33.A 级 学业水平达标1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值． 【答案：63】解析 以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，A (1,0,0)，∴BC 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(－1,1,1)，A 1B -→＝(0,1，－1)， A 1D -→＝(－1,0，－1)．∴AC 1→·A 1B -→＝1－1＝0，AC 1→·A 1D -→＝1－1＝0.∴AC 1⊥A 1B ，AC 1⊥A 1D .又A 1B ∩A 1D ＝A 1，且A 1B ，A 1D ⊂平面A 1BD ，∴AC 1⊥平面A 1BD . ∴AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．∴cos 〈BC 1→，AC 1→〉＝BC 1→·AC 1→|BC 1→||AC 1→|＝1＋12×3＝63.2.正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．解析：取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .设BC ＝1，A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D ⎝⎛⎭⎫32，0，0，所以BA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，32， BD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，0，CD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－12，0. 设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA ―→＝0，n ·BD ―→＝0，所以⎩⎨⎧12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1，则y＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，CD ―→＝32＋325×1＝155，因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155.3.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，A 1D 1的中点．(1)求直线A 1C 与DE 所成角的余弦值；【答案：1515】(2)求直线AD 与平面B 1EDF 所成角的余弦值；【答案：33】(3)求平面B 1EDF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【答案：66】解 以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz . 则A 1(0,0，a )，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0， (1) A 1C -→＝(a ，a ，－a )，DE →＝⎝⎛⎭⎫a ，－a 2，0，∴cos 〈A 1C -→，DE →〉＝A 1C -→·DE →|A 1C -→||DE →|＝1515，故A 1C 与DE 所成角的余弦值为1515.(2)连接DB 1，∵∠ADE ＝∠ADF ，∴AD 在平面B 1EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上．又B 1EDF 为菱形，∴DB 1为∠EDF 的平分线，故直线AD 与平面B 1EDF 所成的角为∠ADB 1.由DA →＝(0，－a,0)，DB 1→＝(a ，－a ，a )，∴cos 〈DA →，DB 1→〉＝DA →·DB 1→|DA →||DB 1→|＝33，又直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2， (3)由已知得ED →＝⎝⎛⎭⎫－a ，a 2，0， EB 1→＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a ，平面ABCD 的一个法向量为m ＝AA 1→＝(0,0，a )．设平面B 1EDF的一个法向量为n ＝(1，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·ED →＝0，n ·EB 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝1，∴n ＝(1,2,1)，∴cos 〈n ，m 〉＝m ·n |m ||n |＝66，∴平面B 1EDF与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为66. B 级 应试能力达标4.如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1； (2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．[解] (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE .∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k . 在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD .又BE ∥AD ，∴CD ⊥AD . ∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为坐标原点，DA ―→，DC ―→，DD 1―→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，∴AC ―→＝(－4k,6k,0)，AB 1―→＝(0,3k,1)，AA 1―→＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AC ―→·n ＝0，AB 1―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，可得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(3,2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1―→，n 〉|＝|AA 1―→·n ||AA 1―→|·|n |＝|－6k |36k 2＋13＝67，解得k ＝1.故k 的值为1. 5.如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，∠ACB ＝90°.(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若二面角D -PC -A 的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离．解：(1)证明：∵P A ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC .(2)设AP ＝h ，取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，∴AE ⊥AB .又P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥AE ，P A ⊥AB ，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0，h )，C ⎝⎛⎭⎫32，12，0，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，B (0,2,0)，PC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，－h ，DC ―→＝(0,1,0)，设平面PDC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·PC ―→＝0，n 1·DC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x 1＋12y 1－hz 1＝0，y 1＝0，取x 1＝h ，∴n 1＝⎝⎛⎭⎫h ，0，32.由(1)知平面P AC 的一个法向量为BC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－32，0，∴|cos 〈n 1，BC ―→〉|＝32h h 2＋34×3＝55，解得h ＝3， 同理可求得平面PBC 的一个法向量n 2＝(3，3，2)，所以，点A 到平面PBC 的距离为 d ＝|AP ―→·n 2||n 2|＝234＝32.。
[精品]点到平面的距离 高中数学 高考 立体几何
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[精品]点到平面的距离高中数学高考立体几何点到平面的距离就是：该点与平面内任意一点连成的线段，在平面的法向量上的射影长。
点到平面的距离公式：Ax+By+Cz+D=0。
平面，是指面上任意两点的连线整个落在此面上，一种二维零曲率广延，这样一种面，它与同它相似的面的任何交线是一条直线。
是由显示生活中(例如镜面、平静的水面等)的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别，既具有无限延展性(也就是说平面没有边界)，又没有大小、宽窄、薄厚之分，平面的这种性质与直线的无限延展性又是相通的。
在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量)，数量(或标量)只有大小，没有方向。
点和平面的位置关系点与平面几种位置关系：属于和不属于直线和直线几种位置关系：平行,相交,异面,重合直线和平面几种位置关系：属于,平行,相交平面和平面几种位置关系：平行,相交,重合点和平面的离差是什么1、点到平面的离差是什么意思。
2、点与平面的离差是什么。
3、点到平面的离差怎么算。
4、点到平面的离差的计算公式。
1.点到平面的离差的绝对值就是点到平面的距离。
2.绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“||”来表示。
3.|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。
4.在数学中，绝对值或模数|x|的非负值，而不考虑其符号，即|x|=x表示正x，|x|=-x表示负x(在这种情况下-x为正)，|0|=0。
5.例如，3的绝对值为3，-3的绝对值也为3。
6.数字的绝对值可以被认为是和零的距离。
立体几何必考知识汇总一空间几何体结构1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。
高三数学复习(文科)立体几何知识点、方法总结
立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。
llαββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理)余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
高中立体几何体积、点到面的距离
例1：如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形,EF//AB ，EF=3/2，EF 与面AC 的距离为2，且F 到底面的投影O 落在BC 上，求该多面体的体积。
例2：如图4所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分 别为PC 、PD 、BC 的中点．（1）求证：PA//平面EFG ；（2）求三棱锥P EFG -的体积．例3：如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.（1）求证AE ⊥平面BCE ； （2）求点D -ACE 的体积.例4：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AD AA AB ===点E 在棱AB 上移动. （I ）证明：11D E A D ⊥；（II ）若E 为AB 中点，求E 到面1ACD 的距离；图4 ABCD E F GPEADC BA 1B 1C 1D 1练习：1. 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a,求三棱锥C 1—A 1BD 的体积。
2.在三棱锥S—ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=2，M 、N 分别为AB 、SB的中点.（1）证明：AC ⊥SB（2）求点B -CMN 的体积.3. 右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =． （1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求AB 与平面11AAC C 所成的角的大小； （3）求此几何体的体积．3。
用公式法求立体几何中点到平面的距离
用公式法求立体几何中点到平面的距离
许乐灵
【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(010)002
【摘要】在空间图形中，求点到平面的距离是立体几何中的难点，瓶颈是一般不易找到点到平面的垂线段或与之相对应的等积．纵观历年高考题，此类题目也不少见。
如何突破瓶颈?本人认为，在向量已引入中学教科书的今天，完全可以不用找点到平面的垂线段的方法或利用等积转换的方法求点到平面的距离，而用空间向量知识，导出点到平面的距离公式，直接将已知条件转化成坐标代入运算即可，此种方法，避开了几何中繁难的逻辑推理，为逻辑思维能力偏差的学生解决此类问题无疑找到了一个捷径。
【总页数】2页(P121-122)
【作者】许乐灵
【作者单位】池州职业技术学院,安徽,池州,247000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.对“垂面法”求点到平面距离问题的探究 [J], 叶保国
2.对"垂面法"求点到平面距离问题的探究 [J], 叶保国
3.应用点到直线(平面)的距离公式证明不等式、求条件极值 [J], 李忠义;
4.求点到平面的距离的新方法——向量法 [J], 方义成
5.利用向量法求点到平面距离的利与弊 [J], 胡玉莲
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