人教新课标A版高中数学必修4 第二章平面向量 2.5平面向量应用举例同步测试D卷

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人教新课标A版高中数学必修4第二章平面向量2.5平面向量应用举例同步测试A卷

人教新课标A版高中数学必修4 第二章平面向量 2.5平面向量应用举例同步测试A卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共15题；共30分)
1. （2分）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是（）
A . 5 N
B . 5N
C . 10N
D . 5 N
12. （2分）已知作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1），且A（1，1），则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为（）
A . （9，1）
B . （1，9）
C . （9，0）
D . （0，9）
13. （2分）若，则向量在向量方向上的投影为（）
22. （5分）一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向花去，到达对岸时船的实际航程为8km，求河水的流速．
23. （5分）一船以8km/h的速度向东航行，船上的人测得风自北方来；若船速加倍，则测得风自东北方向来，求风速的大小及方向．
24. （5分） (2016高二上·长沙开学考) 在△ABC中，．
②试问在x轴上是否存在点E（m，0），使 • 恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题 (共15题；共30分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
二、填空题 (共5题；共5分)

2021-2022年高中数学第二章《平面向量》同步练习新人教A版必修4

2021-2022年高中数学第二章《平面向量》同步练习新人教A 版必修4一、选择题1.已知点按向量平移后变为，点按向量平移后对应点的坐标为A ．B ．C ．D ．2.已知为平面上四点，且(1),(1,2)OM OB OA λλλ=+-∈，则A.点在线段上B.点在线段上C.点在线段上D.四点一定共线3.平面直角坐标系中, 为坐标原点, 已知两点, 若点满足, 其中且, 则点的轨迹方程为（）A. B.C. D.二、填空题4.点在平面上做匀速直线运动,速度向量,(即点的运动方向与相同,且每秒钟移动的距离为个单位).设开始时点的坐标为,则秒钟后的坐标 .5.设为所在平面上一定点, 为平面上的动点,且满足()()0OP OA AB AC -⋅-=,则点的轨迹一定通过的心.三、解答题6.已知向量(cos ,sin ),(cos ,cos ),(1,0)a x x b x x c ==-=-.（1）若，求向量与的夹角；（2）当时，求函数的最大值.7.设函数，其中向量，，，.（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.8.如图,过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.（1）设点分有向线段所成的比为，证明；（2）设直线的方程是,过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程.参考答案1．（C ）提示：设，则有， ∴.点按向量平移后对应点的坐标为.2．（B ）提示: (1)AM OM OA OB OA OA OB OA AB λλλλλ=-=+--=-=,这表明点在直线上, ∵, ∴和同向, ∵,∴.3．提示：设,则,(3,1)(1)(1,3)(3,)(1,33)OC OA OB αβαααααα=+⇒+--=+--, ∴, 消去得.4．提示:秒钟后的坐标为(10,10)5(4,3)(10,5)-+-=-.5．垂提示: ()()00OP OA AB AC AP CP -⋅-=⇒⋅=, ∴.6．解：（1）当时，，设向量与的夹角为，则2cos cos ||||sin a b x a b θ⋅===-=， ∵，∴，即向量与的夹角为.（2）2()212(cos sin cos )1sin 2cos 2)4f x a b x x x x x x π=⋅+=-++=-=-，∵， )[1,42x π-∈-， ∴函数的最大值为.7．解：（1）由题意得，()(sin ,cos )[(sin ,3cos )(cos ,sin )]a b c x x x x x x ⋅+=--+- 22(sin ,cos )(sin cos ,sin 3cos )sin 2sin cos 3cos x x x x x x x x x x =-⋅--=-+ 32cos 2sin 22)4x x x π+-=++. 所以，的最大值为，最小正周期是.（2）由，得，即,.于是，)d k Z =∈.因为为整数，要使最小，则只有，此时即为所求.8．解：（1）依题意,可设直线的方程为,代入抛物线方程，得.①设两点的坐标分别是,则是方程①的两根.所以由点分有向线段所成的比为，得，即又点是点关于原点的对称点，故点的坐标是,从而1122(,)(,)QA QB x y m x y m λλ-=+-+=).)1(,(2121m y y x x λλλ-+--12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+-=])1(44[221222121m x x x x x x m ++⋅+ 122442()04m m m x x x -+=+⋅=，所以（2）由得点的坐标分别是. 由得，所以抛物线在点处切线的斜率为.设圆的方程是，则⎪⎩⎪⎨⎧-=---++=-+-,3169.)4()4()9()6(2222a b b a b a 解之得.2125)4()4(,223,23222=-++==-=b a r b a 所以圆的方程是2125)223()23(22=-++y x .31204 79E4 秤36647 8F27 輧24229 5EA5 庥28079 6DAF 涯Z + 5C20657 50B1 傱32182 7DB6 綶 Y。

人教新课标A版高中数学必修4第二章平面向量2.5平面向量应用举例同步测试

人教新课标A 版高中数学必修4 第二章平面向量 2.5平面向量应用举例同步测试共 25 题一、单选题1、已知=（1，0），=（x ，1），若•=，则x 的值为（）A. B. 2C.-1D.2、已知三个力 =(-2,-1)，=(-3,2)，=(4,-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于（）A. （﹣1，﹣2）B. （1，﹣2）C. （﹣1，2）D. （1，2）3、如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则的最大值是（）A. 2B. C. D. 44、已知O 是△ABC 内一点，若，则△AOC 与△ABC 的面积的比值为（）A. B.C.D.5、点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点P 的运动方向与相同，且每秒移动的距离为各单位）。

设开始时点P 的坐标为（-10，10），求5秒后点P 的坐标为（）A.B.C. D.6、若两个非零向量满足，则向量与的夹角为( )A. B.C.D.7、已知两个力F 1 ， F 2的夹角为90°，它们的合力大小为20N ，合力与F 1的夹角为30°，那么F 1的大小为（）A. 10NB. 10 NC. 20 ND. 10N8、一条渔船以6km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h ，则这条渔船实际航行的速度大小为（）A. 2km/hB. 4km/hC. 2km/hD. 3km/h9、河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（）A.13m/sB.12m/sC.17m/sD.15m/s10、一物体在力F（x）=4x﹣1（单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=1m处运动到x=3m处，则力F（x）所作的功为（）A.10JB.12JC.14JD.16J11、已知两个力 F1,F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F2的大小为（）A.5NB.5NC.10ND.5N12、已知作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1），且A（1，1），则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为（）A.（9，1）B.（1，9）C.（9，0）D.（0，9）13、把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记录第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b、设向量=（a,b）,=（1,-2），则向量的概率为（）A. B.C. D.14、一物体在力F(x)=5x+2（x单位为m，F单位为N）的作用下，沿着与力F相同的方向从x=0处运动到x=4处，则力F所作的功是 ( )A.40B.42C.48D.5215、已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心二、填空题16、已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以AB，AC为边的平行四边形的面积是________17、作用于原点的两个力F1=（1，1），F2=（2，3），为使它们平衡，需加力F3=________ ．18、在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________ km/h．19、河水从东向西流，流速为2km/h，一艘船以2km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是________ km/h．20、一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距5海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是________ 海里/小时．三、解答题21、一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）．22、一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向花去，到达对岸时船的实际航程为8km，求河水的流速．23、一船以8km/h的速度向东航行，船上的人测得风自北方来；若船速加倍，则测得风自东北方向来，求风速的大小及方向．24、某人在静水中游泳，速度为4公里/小时，他在水流速度为4公里/小时的河中游泳．（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？25、如图所示，已知在矩形ABCD中，=4，设=a,=b,=c，试求| ++|．参考答案一、单选题1、【答案】D【解析】【解答】∵=（1，0），=（x，1），∴•=（1，0）•（x，1）=x=故选D．【分析】根据两向量的数量积的坐标运算等于横坐标乘以横坐标+纵坐标乘以纵坐标表示出•即可得答案．2、【答案】D【解析】【解答】为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量，∴=（0﹣（﹣2）﹣（﹣3）﹣4，0﹣（﹣1）﹣2﹣（﹣3））=（1，2）．故选D．【分析】为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量．3、【答案】A【解析】【解答】如图令，由于故,,如图， AB=1，故，,故，同理可求得，所以，所以的最大值为2.选A.【分析】本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题。

高中数学第二章平面向量综合测试题(含解析)新人教A版必修4(2021年最新整理)

高中数学第二章平面向量综合测试题（含解析）新人教A版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量综合测试题（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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平面向量综合测试题（时间：120分钟满分:150分）学号：______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。

向量a ，b ,c ，实数λ，下列命题中真命题是（）A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λ a ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ·b ＝a ·c ,则b ＝c2．已知向量a ＝（1，0）与向量b ＝（－1，错误!），则向量a 与b 的夹角是（）A 。

错误!B 。

错误!C.错误! D 。

错误!3。

设P 是△ABC 所在平面内的一点,错误!＋错误!＝2错误!，则( )A 。

错误!＋错误!＝0 B.错误!＋错误!＝0C.错误!＋错误!＝0D.错误!＋错误!＋错误!＝04．已知向量a ＝(2，3)，b ＝（－1，2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则错误!＝( ）A ．－2B ．2C ．－错误!D 。

错误!5．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·（a ＋2b ）＝( ）A ．4B ．3C ．2D ．06．已知点A （－1,1），B (1,2)，C (－2，－1），D （3，4），则向量错误!在错误!方向上的投影为( ）A 。

高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习及答案

描述：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、学习任务了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义．二、知识清单平面向量的概念与表示三、知识讲解1.平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做，长度为的向量叫做零向量(zero vector)，记做．零向量的方向不确定．长度等于个单位的向量，叫做单位向量(unit vector)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors），向量、平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．A B AB −→−||AB −→−00 1a b ∥a b a →∥0→a →例题：相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)．向量与相等，记做．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）∥a b =a b 下列四个命题：① 时间、速度、加速度都是向量；② 向量的模是一个正实数；③ 相等向量一定是平行向量；④ 共线向量一定在同一直线上；⑤ 若，是单位向量，则；⑥ 若非零向量与是共线向量，则四点共线．其中真命题的个数为（）A． B． C． D．解：B只有③正确．a →b →=a →b →AB −→−CD −→−A ,B ,C ,D 0123下列说法正确的是（）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为D．任意两个单位向量方向相同解：C零向量的长度为，方向是任意的，故 A，B 错误，C 正确，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 D 错误．00如图所示，是正六边形的中心．（1）与的模相等的向量有多少个？（2）是否存在与长度相等、方向相反的向量？（3）与共线的向量有哪些？解：（1）因为的模等于正六边形的边长，而在图中，模等于边长的向量有个，所以共有个与的模相等的向量．（2）存在，是．（3）有、、．O ABCDEF OA −→−OA −→−OA −→−OA −→−1211OA −→−F E −→−F E −→−CB −→−DO −→−高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例学案新人教A版必修4(2021年整理)

（浙江专版）2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.5 平面向量应用举例学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.5 平面向量应用举例学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

5 错误!预习课本P109～112，思考并完成以下问题。

(1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题?(2)如何用向量方法解决物理问题？（3)如何判断多边形的形状？错误!1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用(1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．（2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．（3)动量mv 是向量的数乘运算． (4）功是力F 与位移s 的数量积．错误!1．若向量1OF ＝（2，2），2OF ＝（－2，3)分别表示两个力F 1，F 2,则|F 1＋F 2｜为（） A ．（0，5) B ．(4,－1) C ．2错误! D ．5答案：D2．在四边形ABCD 中，AB ·BC ＝0，BC ＝AD ,则四边形ABCD 是（）A．直角梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形答案:C3．力F＝(－1,－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3，4），则力F对质点P做的功是________．答案：－11向量在几何中的应用题点一：平面几何中的垂直问题1.如图所示，在正方形ABCD中，E,F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE。

高中数学第二章平面向量 2.5平面向量应用举例课时训练新人教A版必修4(2021年最新整理)

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2.5 平面向量应用举例2。

5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例一、向量在平面几何中的应用1．利用向量研究平面几何问题的思想向量集数与形于一身,既有代数的抽象性又有几何的直观性,因此,用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为的运算问题，将“证”转化为“算”,思路清晰，便于操作。

2．向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)x y x y ==a b 。

（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题,常用向量共线的条件：λ⇔=⇔∥a b a b 0(0)=≠b（2)证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件:0⊥⇔⋅=⇔a b a b 0=（其中,a b 为非零向量）（3）求夹角问题,若向量a 与b 的夹角为θ，利用夹角公式：cos θ= = （其中,a b 为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等,可以用向量的模：||=a ，或||||AB AB == (其中,A B 两点的坐标分别为3344(,),(,)x y x y )（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题。

高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2课后习题新人教A版必修4(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第二章平面向量2.5 平面向量应用举例2课后习题新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章平面向量2.5 平面向量应用举例2课后习题新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

5。

2向量在物理中的应用举例课后篇巩固探究1。

一质点受到平面上的三个力F1,F2，F3的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角,且｜F1｜=2 N,｜F2｜=4 N，则|F3|=(）A。

2 N B。

2 N C.2 N D。

6 N解析由题意知-F3=F1+F2，平方得|F3|2=｜F1｜2+｜F2｜2+2F1·F2=|F1|2+|F2｜2+2｜F1｜|F2｜cos 60°=4+16+8=28,∴｜F3｜=2 N,故选A。

答案A2.两个大小相等的共点力F1,F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N，则当它们的夹角为120°时,合力的大小为（）A。

40 N B。

10 N C.20 N D. N解析对于两个大小相等的共点力F1，F2,当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10 N；当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10 N。

答案B3。

河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（)A.10 m/sB.2 m/sC.4 m/s D。

高中数学第二章平面向量 2.5 平面向量应用举例课堂达标新人教A版必修4(2021年最新整理)

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2。

5 平面向量应用举例1.已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向南航行1km"，则向量a+b表示( )A.向东南航行km B。

向东南航行2kmC.向东北航行kmD.向东北航行2km【解析】选A.因为向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向南航行1km”,由向量加法的几何意义知两个向量的和是向东南航行km,故选A.2.在四边形ABCD中，·=0，且=，则四边形ABCD是（）A.梯形B。

菱形 C.矩形D。

正方形【解析】选C。

因为=,所以AB=DC，AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形。

又因为·=0，所以AB⊥BC，所以四边形ABCD是矩形.3。

一物体受到相互垂直的两个力f1，f2的作用，两力大小都为5N,则两个力的合力的大小为。

【解析】根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为×5=5（N).答案:5N4。

已知三个力F1=(3，4），F2=（2，-5),F3=（x，y）和合力F1+F2+F3=0，则F3的坐标为.【解析】因为F1=(3，4），F2=(2，-5)，F3=(x,y），所以F1+F2+F3=(3，4)+（2，—5)+（x，y)=0，所以（3+2+x，4—5+y）=0，所以解得x=—5，y=1.所以F3的坐标为（-5,1）。

高一数学必修4同步练习：2-5平面向量应用举例

2-5平面向量应用举例一、选择题1．△ABC 中，|AB →|＝|AC →|，且AB →与BC →的夹角为120°，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．斜三角形[答案] C2．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是( )A ．5B ．－5 C.32 D ．－32[答案] A[解析] 由题意，得BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)． ∵∠C ＝90°，∴AC →⊥BC →.∴AC →·BC →＝0. ∴2(2－k )＋3×2＝0.∴k ＝5.3．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．形状无法确定 [答案] C[解析] ∵(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0， ∴CA 2→－CB 2→＝0，CA 2→＝CB 2→.∴CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形．4．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高线的交点 [答案] D[解析] 由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OA →·OB →－OB →·OC →＝0， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0. ∴OB →⊥CA →.同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →.∴OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的三条高线的交点．5．两个大小相等的共点力F 1、F 2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N ，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40NB ．102NC ．202ND ．402N[答案] B[解析] 如上图，以F 1、F 2为邻边作平行四边形，F 为这两个力的合力．由题意，易知|F |＝2|F 1|，|F |＝20N ， ∴|F 1|＝|F 2|＝102N.当它们的夹角为120°时，以F 1、F 2为邻边作平行四边形，此平时四边形为菱形，此时|F 合|＝|F 1|＝102N.6．两质点M ，N 的位移分别为s M ＝(4，－3)，s N ＝(－5，－12)，则s M 在s N 方向上的投影为( )A ．(－1，－15)B ．(－20,36) C.1613 D.165[答案] C[解析] s M ·s N ＝4×(－5)＋(－3)×(－12)＝16，|s M |＝5，|s N |＝13，则s M 在s N 方向上的投影为s M ·s N |s N |＝1613.7．若向量OF 1→＝(2,2)，OF 2→＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A ．(0,5)B ．(4，－1)C．2 2 D．5[答案] D[解析]F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝5.8．速度|v1|＝10m/s，|v2|＝12m/s，且v1与v2的夹角为60°，则合速度的大小是()A．2m/s B．10m/sC．12m/s D．291m/s[答案] D[解析]|v|2＝|v1＋v2|2＝|v1|2＋2v1·v2＋|v2|2＝100＋2×10×12cos60°＋144＝364.∴|v|＝291(m/s)．9．一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：N)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．27 B．2 5C．2 D．6[答案] A[解析]∵F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－F1－F2，∴|F3|＝|－F1－F2|＝(F1＋F2)2＝|F1|2＋2F1·F2＋|F2|2＝4＋2×2×4cos60°＋16＝27.10．已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行3km”，则向量a＋b表示()A．向东北方向航行2 kmB ．向北偏东30°方向航行2 kmC ．向北偏东60°方向航行2 kmD ．向东北方向航行(1＋3)km [答案] B[解析] a 与b 的夹角为90°，则a ·b ＝0，则|a ＋b |＝(a ＋b )2 ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝|a |2＋|b |2＝1＋3＝2， a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝1.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝11×2＝12，∴θ＝60°，即a ＋b 表示向北偏东30°方向航行2 km. 二、填空题11．在菱形ABCD 中，AC →·BD →＝________. [答案] 0[解析] ∵AC ⊥BD ，∴AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0.12．某人从点O 向正东走30m 到达点A ，再向正北走303m 到达点B ，则此人的位移的大小是________m ，方向是东偏北________．[答案] 60 60°[解析] 如图所示，此人的位移是OB →＝OA →＋AB →，且OA →⊥AB →，则|OB →|＝|OA →|2＋|AB →|2＝60(m)，tan ∠BOA ＝|AB →||OA →|＝ 3.∴∠BOA＝60°.13．一个物体在大小为10N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为50m ，且力F 所做的功W ＝2502J ，则F 与s 的夹角等于________．[答案] π4[解析] 设F 与s 的夹角为θ，由W ＝F ·s ，得2502＝10×50×cos θ， ∴cos θ＝22.又θ∈[0，π]，∴θ＝π4.14．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 为对角线AC 上一点，则(AP →＋BD →)·(PB →＋PD →)的最大值为________．[答案] 1[解析] 如上图所示，设AP →＝xAC →，AB →＝a ，AD →＝b ，则a ·b ＝0，BD →＝b －a ，AP →＝xAC →＝x (a ＋b )，其中x ∈[0,1]，所以PB →＝AB →－AP →＝a －x (a ＋b )＝(1－x )a －x b ， PB →＝AD →－AP →＝b －x (a ＋b )＝－x a ＋(1－x )b ，所以(AP →＋BD →)·(PB →＋PD →)＝[x (a ＋b )＋b －a ]·[(1－x )a －x b －x a ＋(1－x )b ]＝[(x －1)a ＋(x ＋1)b ]·[(1－2x )a ＋(1－2x )b ]＝－16x 2＋8x ＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋1，由于x ∈[0,1]，则－16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋1的最大值为1. 三、解答题15．如图所示，已知▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，a 与b 的夹角为θ，则|a |＝3，|b |＝1，θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC 2→＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， |DB →|＝DB 2→＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7. ∴AC ＝13，DB ＝7.[点评] 向量法求平面内A 、B 两点间的距离的步骤：①选取一组基底a ，b ；②用基底a ，b 表示AB →，即AB →＝x a ＋y b ；③利用|AB →|＝|AB →|2＝(x a ＋y b )2求得|AB →|；④归纳结论．16．已知：▱ABCD 中，AC ＝BD ，求证：四边形ABCD 是矩形． [分析] 以AB →和AD →为基底，转化为证明AB →⊥AD →. [证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，由于四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， BD →＝AD →－AB →＝b －a . ∵AC ＝BD ，∴|a ＋b |＝|b －a |. ∴|a ＋b |2＝|b －a |2.∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|b |2－2a ·b ＋|a |2. ∴a ·b ＝0.∴a ⊥b ，即AB →⊥AD →.∴AB ⊥AD . ∴四边形ABCD 是矩形．17．今有一小船位于d ＝60m 宽的河边P 处，从这里起，在下游l ＝80m 处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s ，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？(sin37°＝35)[解析] 如图，由题设可知，船的实际速度v ＝v 划＋v 水，其方向为临界方向PO →.则最小划速|v 划|＝|v 水|·sin θ， sin θ＝dd 2＋l 2＝60602＋802＝35， ∴θ＝37°.∴最小划速应为v 划＝5×sin θ＝5×35＝3(m/s)．当划速最小时，划速的方向与水流方向的夹角为127°. 18．如图，已知甲、乙两人同时从O 出发，甲行走10 km 到达B 处，乙出发的方向与甲的方向的夹角为60°，乙走了14 km 后到A 处，求此时甲、乙两人之间的距离．[解析] 设向量OA →＝a ，OB →＝b ，AB 2→＝(OB →－OA →)2＝OB 2→＋OA 2→－2OA →·OB →，又∵|OB →|＝10，|OA →|＝14，∴AB 2→＝196＋100－2×10×14×cos60°＝156， ∴|AB →|＝239.∴甲、乙两人此时之间的距离为239km.。

新课标数学必修4第2章平面向量同步练习(含答案)

第1课时平面向量的实际背景及基础概念一、选择题1.下列各量中不是向量的是（A.浮力 B .风速 C.位移 D.2.下列命题正确的是（A.向量AB 与BA 是两平行向量B.若a 、b 都是单位向量，则a=bC.若=，则A 、B 、C 、D四点构成平行四D.3. 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（A. 与AC 共线B. 与CB 共线C. 与相等D. 与相等 4.在下列结论中，正确的结论为（(1)|a |=|b |⇒a =b ； (2) a ∥b 且|a |=|b | ⇒ a =b ； (3) a =b ⇒a ∥b 且|a |=|b |(4) a ≠b ⇒ a 与b 方向相反 A. (3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)(4) 二、填空题：5.物理学中的作用力和反作用力是模且方向的共线向量.6.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是 .7.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC=60°，则|BC |= .8.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD 是 .三、解答题：9. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点. (1)作出向量、、 (1 cm 表示200 m).(2)求的模.10.如图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={、P 、Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.第10题图A B一、选择题1.下列等式: a +0=a ， b +a =a +b ，AB +AC =BC ， AB +BC =BC 正确的个数是( ) A.2 B .3 C.4 D.52.化简++的结果等于( ) A. B . C. SPD.3.若C 是线段AB 的中点，则 AC +为A. B . C. 0D. 以上都错4．O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ，=b ，=c ，=d ，则（）A.a +b =c +d B .a +c =b +d C.a +d =b +c D.a +b +c +d =0 二、填空题：5.化简：（OM BO MB AB +++)= ； 6．如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:b +e = ， f +d = ，a +b +c = .7.已知向量a 、b 分别表示“向北走5km ”和“向西走5公里”，则a +b 表示； 8、一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 . 三、解答题：9.一架飞机向北飞行300公里，然后改变方向向东飞行400公里，求飞机飞行的路程和位移.10．如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =，并画出a +d.Dd e c A f Ca bBC一、选择题1.下列等式:①AB -= ②AB -= ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b( )A.2 B .3 C.4D.52. 在△ABC 中， =a ， =b ，则AB 等于( ) A.a +bB .-a +(-b ) C.a -bD.b -a3.在下列各题中，正确的命题个数为( )(1)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a +b 与a (2)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a -b 与a +b(3)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a (4)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a +b A.1 B.2 C.3 D.44.若a 、b 是非零向量，且|a -b |=|a |=|b ，则a 和a +b 的夹角是（） A.090 B . 600 C.300 D.045二、填空题5. 在正六边形ABCDEF 中， AE =m ， AD =n ，则BA = .6. 已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件. 7. 如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空: c -d = ，a +b +c -d= .8.已知=a ， =b ，若||=12，||=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= . 三、解答题9. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.10. 已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若=a ， BC =b ，=c ，试证明:c +a -b =.Dd e c A fa b C B第4、5课时向量的数乘运算及其几何意义一、选择题 1.设e 1、e2A.e 1、e2 B .e 1、e2C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -yA.3B .-3C.0D.24. 下面向量a 、b 共线的有（）(1)a =2e 1，b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2，b =-2e 1+2e2(3)a =4e 1-52e 2，b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2，b =2e 1-2e 2.(e 1、e 2不共线)A.(2)(3) B .(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) 二、填空题5.若a 、b 不共线，且λa +μb =0(λ，μ∈R )则λ= ，μ= .6.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .7.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).8. 如图，在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= 三、解答题：9. 如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，N 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与.DABCa bB FC MA N D10.如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求OP 与.第6课时平面向量基本定理一、选择题1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A. e 1、e 2一定平行 B. e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.2 4．已知|a |=1，|b |=2，且a -b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A.60° B .30° C.135° D.４５° 二、填空题5．已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .6．已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且 a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).7．已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .8．已知矩形ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 三、解答题9．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M ， N 分别是DC ， AB 中点，设AD =a ， AB =b ，试以a， b 为基底表示DC ， BC ， MN .10．化简++++.第7课时平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、选择题 1.设a =(23，sin α)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（） A.30° B .60° C.45° D.75°2.设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是（）A.(k ，k ) B .(-k ，-k )C.(k ２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）3．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（） A.72 B .-72 C.36 D.-36 4．已知|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直二、填空题5．已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ＝ . 6．若a=(-1，x)与b=(-x ，2)共线且方向相同，则x= . 7．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) 则-2=8．在△ABC 中，AB =a， BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= .三、解答题9．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ，求P 点的坐标.10．在中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a， b 表示AB ，BC .11.已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形.12．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， =1e +32e ，=21e -2e ，若三点A ， B ， D 共线，求k 的值.第8课时平面向量共线的坐标表示一、选择题1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.若a =(x １，y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ，则坐标满足的条件为（） A.x １x ２－ｙ１ｙ２＝0 B .ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝0 C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝0 D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝0 二、填空题5.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .6已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .7.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 8.若A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)三点共线，则x = . 三、解答题9.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时k a +b 与a -3b 平行?10.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A (1，0)，B (4，3)，C (2，4)，D (0，2)，试证明：四边形ABCD 是梯形.11.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =AC 3131=，求证：∥.12．△ABC 顶点A(1， 1)， B(-2， 10)， C(3， 7) ，∠BAC 平分线交BC 边于D ，求D 点坐标第9课时平面向量的数量积的物理背景及其含义一、选择题1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A.60° B .30° C.135° D.４５° 2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（） A.2 B .23材 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A.λ＞310 B .λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 二、填空题5.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 6.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 7.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .8.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 三、解答题9.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.10.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.11.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.12.已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.第10课时平面向量数量积的运算律一、选择题1.下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 4.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（） A.23 B .223 C. 323 D. 423 二、填空题5.已知a =(1,2),b (1,1),c=b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 7.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 8.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 三、解答题5. 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).6. 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1.7. 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .12.如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量的坐标.第11课时平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b ＝（） A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5)，则△ABC 为（）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-4.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（） A.13 B .513 C.565D.65 二、填空题5.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .6.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 7.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 . 8.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .三、解答题9．已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .10.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.11.四边形ABCD 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.12.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值..第12课时平面向量的应用举例一选择题1．在四边形ABCD 中，若则,AD AB AC += ( ) A ．ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形C ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 2已知:在是则中，ABC ABC ∆<∙∆,0( )A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形二．解答题3．设M 、N 分别是四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点，求证：)(21MN +=4．求证:对角线相等的四边形是矩形.5.求证：圆的直径所对的圆周角为直角.6．求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．证明:三角形的三条高交于一点.8．.AC AB CE BD CE BD ABC ==∆，求证：为中线，且，中，第13课时向量在物理中的应用一选择题1某人以时速为a km 向东行走,此时正刮着时速为a km 的南风,则此人感到的风向及风速分别为( )A ．东北, 2akm/h B.东南, akm/hC ．西南, 2akm/h D.东南, 2akm/h2．一船以4km/h 的速度沿与水流方向成1200的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则ABCDA E3h 后船的实际航程为( )A ．63km B.6km C ．53km D.5km二、填空题3．力F 1,F 2共同作用在某质点上,已知F 1=5N, F 2=12N,且F 1与F 2互相垂直,则质点所受合力的大小为_______________4．在200米山顶上.测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 60,30则塔高为__________米 5．某人向正东方向走x 千米后,他向右转150,然后朝新方向走3千米.结果他离开出发点恰好3千米,则 x=_________________.6.若用两根完全相同的绳子向两侧呈“V ”挂重物，每根绳子最大拉力为100N ，两根绳子间的夹角为600，则能挂重物的最大重量是 . 三、解答题7．一个质量为100g 的球从1.8m 的. 高处落到水平板上又弹回到1.25m 的高度，求在整个过程中重力对球所做的功。

人教新课标A版高中数学必修4 第二章平面向量 2.5平面向量应用举例同步测试(I)卷

17. （1分）如图，用两条绳提起一个物体处于平衡状态，此时每条绳用力5N，且两条绳的夹角是120°，则物体G的重量是________ N．
18. （1分）一物体在力 =(3,-4), =(2,-5), =（3，1）的共同作用下从点A（1，1）移动到点B（0，5）．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________ ．
19. （1分）如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为________ cm．
20. （1分）一个重20N的物体从倾斜角为30°，长为1m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________ ．
A . 20 km/h
B . 20km/h
C . 10 km/h
D . 10km/h
11. （2分）已知两个力 F1,F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F2的大小为（）
A . 5 N
B . 5N
C . 10N
D . 5 N
12. （2分）已知作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1），且A（1，1），则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为（）
A . 40
B . 42
C . 48
D . 52
15. （2分）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（）
A . 重心外心垂心
B . 重心外心内心
C . 外心重心垂心
D . 外心重心内心
二、填空题 (共5题；共5分)
16. （1分） (2017·南京模拟) 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=2，，，若，则 =________．

高中数学人教A版必修四同步练测：第二章+平面向量+本章练测.docx

第二章平面向量（数学人教A版必修4）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量OD等于（）A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足OC=OA+OB，其中、∈R，且+ =1，则点C的轨迹方程为（）A.3x+2y-11=0B.（x-1）2+（y-2）2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=03.在△ABC中，AB边的高为CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则AD=( )A. 13a-13b B.23a-23bC. 35a-35b D.45a-45b4.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=（）A. B. C.5 D.255.设x，y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b ∥c,则|a+b|=（）A. B. C.2 D.106.设a=(13，tan )，b=(cos ，32)，且a∥b，则锐A.π12B.π6C.π4D.π37.点P为△ABC所在平面内任一点，且PA+PB+PC=AB，则点P与△ABC的位置关系是（）A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上8.对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是（）A.若a·b=0，则a=0或b=0B.若λa=0，则λ=0或a=0C.若a2=b2，则a=b或a=-bD.若a·b=a·c，则b=c9.设A（a，1）、B（2，b）、C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的射影相同，则a与b满足的关系式为（）A.4a-5b=3B.5a-4b=3C.4a+5b=14D.5a+4b=1410.若将向量a=（1，2）绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b，则b的坐标是（）A. （2，32）B.（22，322）C.（22-，322-）D.（22，322-）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）11.已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值等于.12.已知点A（1，-2），若向量AB与a=（2，3）同向，|AB |=213，则点B的坐标为.13.在△ABC中，已知向量AB与AC满足(AB AB+ ACAC)·BC=0且ABAB·ACAC=12，则△ABC为三角形.14.若对n个向量a1，a2，…，a n存在n个不全为零的实数k1,k2,…,k n，使得k1a1+k2a2+…+k n a n=0成立，则称向量a1,a2,…,a n为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1,2),a2=(1,-1)，a3=(2,10)“线性相关”的实数k1,k2,k3依次可以取（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15.(15分)设a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）. 16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）=2222()()x a b x c d+++-+的最小值.17.（21分）平面内给定三个向量a＝（3，2），b ＝（-1，2），c=（4，1）.（1）求满足a=m b+n c的实数m,n；（2）若（a+k c）∥(2b-a)，求实数k；（3）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)，且|d-c|＝1，求向量d. 18.（14分）设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.（1）若x=a+（t-3）b与y=-k a+t b垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；（2）求函数k=f（t）的最小值.19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为500 m，一条船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=4 km/h，那么v1与v2的夹角（精确到1°）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（精确到0.1 min）第二章平面向量（数学人教A版必修4）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题11． 12． 13． 14．三、解答题15．16.17.18. 19.第二章平面向量（数学人教A 版必修4）答案一、选择题1.B 解析：如图，点O 到平行四边形三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ，结合图形有OD =OA +AD =OA +BC =OA +OC -OB =a +c -b .2.D 解析：设OC =（x ，y ）,OA =（3，1）, OB =（-1，3）, ∵ OC = OA + OB ,∴ （x ，y ）=（3，1）+（-1，3）.∴ 3,3.x y αβαβ=-⎧⎨=+⎩①又 + =1,与①联立可得x+2y-5=0.3.D 解析：利用向量的三角形法则求解.如图，∵ a ·b =0，∴ a ⊥b ，∴ ∠ACB =90°， ∴ AB =22AC BC +=5.又CD ⊥AB ,∴ AC 2=AD ·AB ，∴ AD =455.∴ AD =45AB =45（a -b ）=45a -45b . 4.C 解析：｜a +b ｜2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=50，即5+2×10+|b |2=50,∴ |b |=5.故选C.5.B 解析：利用平面向量共线和垂直的条件求解. ∵ a =（x ,1）,b =（1,y ）,c =（2,-4）, 由a ⊥c 得a ·c =0,即2x-4=0,∴ x =2. 由b ∥c ,得1×（-4）-2y =0,∴ y =-2. ∴ a =（2,1）,b =（1,-2）.A DO B CCb aA D B∴ a +b =（3,-1）,∴ |a +b |=223(1)+-=. 6.B 解析：∵ a ∥b ，∴ 13×32-tan cos =0，即sin =12，∴ =π6. 7.D 解析：∵ PA +PB +PC =AB ，∴ PA +PC =AB +BP =AP ，即PC =2AP . ∴ A 、C 、P 三点共线，即P 在AC 边上. 8. B 解析：取a =（1，0），b =（0，-1），满足条件a ·b =0，a 2=b 2，但不能推得a =0或b =0，a =b 或a =-b ，故选项A 、C 均假；向量数量积运算不满足消去律，故选项D 假.9. A 解析：由数量积的几何意义和OA 与OB 在OC 方向上的射影相同，得OA ·OC =OB ·OC . 而OA =（a ，1），OB =（2，b ），OC =（4，5）， ∴ 4a+5=8+5b ，即4a-5b =3.10. A 解析：设b =（x ，y ），则|b |=|a |=，a ·b =|a ||b |·cosπ4=××22=522，即x 2+y 2=5，x+2y =522，解得x =22-，y =322（舍去x =322，y =22）.故b =（22-，322）. 二、填空题11.-25 解析：∵|AB |2+|BC |2=|CA |2，∴ △ABC 为直角三角形，AB ⊥BC ， cos A =35，cos C =45. ∴原式=3×4×0+4×5×(45-)+5×3×(35-)=25-.12.（5，4）解析：设AB =（x ，y ），∵ AB 与a 同向， ∴ AB =λa （λ>0），即（x ，y ）=λ（2，3）.∴ 2,3.x y λλ=⎧⎨=⎩又|AB |=2，∴ x 2+y 2=52.∴ 4λ2+9λ2=52，解得λ=2（负值舍去）.∴ 点B 的坐标为（5，4）.13.等边解析：设∠BAC 的角平分线为AD ，则AB AB+AC AC=λAD .由已知AD ⊥BC ,∴ △ABC 为等腰三角形.又cos ∠BAC =12,∴∠BAC =60°, ∴ △ABC 为等边三角形.14.只要写出-4c ,2c ,c (c ≠0)中一组即可，如-4，2，1等解析：由k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3＝0得12313,12323,20,421002k k k k k k k k k k ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴ k 1=-4c ,k 2=2c ,k 3=c (c ≠0). 三、解答题设向量a 、b 的夹角为，则（ac+bd ）2=（a ·b ）2=（|a ||b |cos ）2≤（|a ||b |）2=（a 2+b 2）（c 2+d 2）. 16.解：引入向量a =（x+a ，b ），b =（c-x ，d ），则原函数变为f （x ）=|a |+|b |.∴ f （x ）=|a |+|b |≥|a +b |=22()()x a c x b d ++-++=22()()a c b d +++. ∴ 函数f （x ）的最小值为22()()a c b d +++. 17.解：（1）因为a =m b +n c ,所以（3，2）＝（-m+4n ,2m+n ）,所以5,43,9228.9m m n m n n ⎧=⎪-+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩（2）因为（a +k c ）∥(2b -a ),又a + k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2), 所以2（3+4k ）+5（2+k ）＝0，即k =-1613. （3）因为d -c =(x-4,y-1),a +b =(2,4), 又（d -c ）∥(a +b ),|d -c |=1，所以22554,4,4(4)2(1)0,55(4)(1)1,25251,155x x x y x y y y ⎧⎧=+=-⎪⎪---=⎧⎪⎪⎨⎨⎨-+-=⎩⎪⎪=+=-⎪⎪⎩⎩解得或.所以d =（5254,155++）,或d =（5254,155--）. 18.解：（1）∵ a ⊥b ，∴ a ·b =0.又x ⊥y ，∴ x ·y =0，即［a +（t-3）b ］·（-k a +t b ）=0，-k a 2-k （t-3）a ·b +t a ·b +t （t-3）b 2=0. 将|a |=2，|b |=1代入上式得-4k+t 2-3t =0，即k =f （t ）=14（t 2-3t ）. （2）由（1）知k =f （t ）=14（t 2-3t ）=14（t-32）2916-, ∴ 当t =32时，k 最小=916-. 19.解：如图，根据向量的平行四边形法则和解三角形知识可得| v 1|2=| v |2+| v 2|2，得| v |=2212-v v =22104-≈9.2（km/h ）. ∵ cos （π-）=2v v =410=25，∴ π-≈1130π，即≈1930π=114°，v 1 v时间t=dv≈0.59.2=592（h）,即约3.3 min.答：v1与v2的夹角约为114°时船才能垂直到达对岸B处，大约行驶3.3 min.。

高中数学第二章平面向量同步练习02新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量同步练习02新人教A版必修4平面向量同步练习§2.2. 1 向量加减运算及几何意义班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．化简PM PN MN所得的结果是（）MPA．B．NP C．0 D．MN2．设OA a，OB b且|a|=| b|=6，∠AOB=120 ，则|a－b|等于（）0013．飞机从甲地按南偏东10方向飞行2022年km到达乙地，再从乙地按北偏西70方向飞行2022年km到达丙A．36 B．12 C．6 D．63．a，b为非零向量，且|a+ b|=| a|+| b|，则（）A．a与b方向相同B．a = b C．a =－4．在平行四边形ABCD中，若| BC BA | | BC ABb D．a与b方向相反|，则必有（）A．ABCD为菱形B．ABCD为矩形C ．ABCD 为正方形D．以上皆错5．已知正方形ABCD边长为1，AB=a，BC=b，AC=c，则|a+b+c|等于（）A．0 B．3 C．22*6．设( AB CD ) ( BC DA D．2) a，而b是一非零向量，则下列个结论：(1) a与b共线；（2）a + b = a；(3) a + b = b；(4)| a + b||a |+|b|中正确的是（）A．(1) (2) B．(3) (4) C．(2) (4) D．(1) (3) 二、填空题7．在平行四边形ABCD中，AB a，AD b，则CA __________，BD_______．8．在a =“向北走20km”，b =“向西走20km”，则a +b9．若| AB | 8，| AC | 5，则| BC表示______________．|的取值范围为_____________．*10．一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于河岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4km/h，则河水的流速的大小为___________．三、解答题11．如图，O是平行四边形ABCD外一点，用OA 、OB 、OC 表示OD．12．如图，在任意四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求证：AB DC EF EF ．地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地距离甲地多远？*14．点D、E、F分别是△ABC求证：（1）AB 三边AB、BC、CA上的中点，BE AC CE；（2）EA FBDC 0．§2. 2. 2 向量数乘运算及其几何意义班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．已知向量a= e1-2 e2，b=2 e1+e2, 其中e1、e2不共线，则a+b 与c=6 e1-2 e2的关系为（A．不共线B．共线C．相等D．无法确定2．已知向量e1、e2不共线，实数(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则x－y的值等于（）A．3 B．-3 C．0 D．2）平面向量同步练习3．若AB=3a, CD =－5a ,且| AD | | BC |,则四边形ABCD是（）A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰梯形4．AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且AD =a , BE =b ,那么BC 为（）A．__-__3a＋3b B．3a－3b C．3a－3b D．－3a＋3b5．已知向量a ,b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b共线的条件是（）①2a -3b=4e且a+2b= -3e②存在相异实数λ ，μ，使λa -μb=0 ③xa+yb=0 (其中实数x, y满足x+y=0) ④已知梯形ABCD，其中AB=a ,CD=bA．①② B．①③ C．② D．③④*6．已知△ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，若PA PB PC AB ，则（）A．P在△ABC 内部B．P在△ABC 外部C．P在AB边所在直线上D．P在线段BC上二、填空题7．若|a|=3,b与a方向相反,且|b|=5,则a= b8．已知向量e1 ,e2不共线，若λe1－e2与e1－λe2共线,则实数λ= 9．a,b是两个不共线的向量，且AB=2a＋kb , CB =a＋3b , CD =2a－b ,若A、B、D三点共线，则实数k的值可为*10．已知四边形ABCD中，AB =a－2c, CD =5a＋6b－8c对角线AC、BD的中点为E、F，则向量EF三、解答题11．计算：⑴(－7)×6a=⑵4(a＋b)－3(a－b)－8a= ⑶(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)=12．如图，设AM是△ABC的中线，AB=a , AC=b ,求AM13．设两个非零向量a与b不共线,⑴若AB =a＋b ,BC =2a＋8b ,CD=3(a－b) ,求证：A、B、D三点共线; ⑵试确定实数k，使ka＋b和a ＋kb共线.*14．设OA ,OB 不共线,P点在AB上,求证:OP =λOA +μOB且λ+μ=1(λ, μ∈R).§2. 3. 1平面向量基本定理及坐标表示（1）班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．e1=(0,0), e2 =(1,－2) ; B．e1=(-1,2),e2 =(5,7); C．e1=(3,5),e2 =(6,10); D．e1=(2,-3) ,e2 =(1, 324)2．已知向量a、b，且AB=a+2b , BC = -5a+6b , CD =7a-2b,则一定共线的三点是（）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C 、D D．A、C、D3．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe1＋μe2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a,使a=λe1＋μe2的λ, μ有无数多对；③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数k,使λ2e1+μ2e2=k(λ1e1+μ1e2)；④若实数λ, μ使λe1＋μe2=0，则λ=μ=0.平面向量同步练习A．①② B．②③ C．③④ D．仅②4．过△ABC的重心任作一直线分别交AB、AC于点D、E，若AD =x AB , AE =y AC ,xy≠0，则11x y的值为（）A．4 B．3 C．2 D．15．若向量a=(1,1),b=（1,-1) ,c=(-2,4) ,则c= ( ) A．-a+3b B．3a-b C．a-3b D．-3a+b*6．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x, y)满足OC=αOA +βOB ，其中α,β∈R且α+β=1，则x, y所满足的关系式为（）A．3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C．2x-y=0 D．x+2y-5=0二、填空题7．作用于原点的两力F1 =(1,1) ,F2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F3= ;8．若A(2,3)，B(x, 4),C(3,y),且AB=2 AC ,则x= ，y= ;9．已知A(2,3),B(1,4)且1 2AB =(sinα,cosβ), α,β∈(- 2,2),则α+β=*10．已知a=(1,2) ,b=(-3,2),若ka+b与a-3b平行，则实数k的值为三、解答题11.已知向量b与向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26,求b12．如果向量AB=i-2j , BC =i+mj ,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线。

人教A版高中数学必修四第二章平面向量单元测试新课程新课标

第二章平面向量（复习）1、理解和掌握平面向量有关的概念；熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；2、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；（预习教材P116—P121）二、新课导学※复习1、平面向量有关的概念：（1）向量；（2）向量模；（3）相等向量；（4）相反向量；（5）零向量；（6）单位向量；（7）平行向量；（8）向量的夹角；（9）向量的坐标。

2、向量的运算：（1）加减法；（2）实数与向量的乘积；（3）向量的数量积。

3、几个重要的结论：设11a (x ,y )=，22b (x ,y )=，λ为一实数。

（1）+a b =________；-a b =__________ ；λa =__________；a b ⋅= .（2）设a=(x,y),则2a =_____________或a _______________；（3）设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________；（4）a b ⊥⇔a b 0⋅=⇔ ；（5）a //b ⇔存在0λ≠，使得a b =λ⇔※ 典型例题例1、设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知AB =122e ke +，123CB e e =+，122CD e e =-，若,,A B D 三点共线，求k 的值.例2、已知向量()()4,3,1,2a b ==-，求⑴求a 与b 的夹角θ；⑵若向量a b λ-与2a b +垂直，求λ的值.例3、向量a (1,1)=-，且a 与a 2b +方向相同，求a b ⋅的取值范围。

※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则a b c ++为多少？2、若12,e e 是夹角为60的两个单位向量，则122a e e =+；1232b e e =-+的夹角为多少？3、已知向量()2,2a =-，()5,b k =，若a b +不超过5，则k 的取值范围是多少？1. 已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则b 在a 方向上的投影为________．2. 已知OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )．若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．3.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，求a 与b 的夹角θ.。

2020_2021学年高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例课时素养评价含解析新人教A版必修4

平面向量应用举例(20分钟35分)1.(2020·廊坊高一检测)如果一架飞机先向东飞行200 km,再向南飞行300 km,设飞机飞行的路程为s km,位移的模为a km,则( )A.s>aB.s<aC.s=aD.s与a不能比较大小【解析】选A.物理量中的路程是数量,位移是向量,从而s=500,由位移的合成易得a<500,故s>a.2.在△ABC中,AB=3,AC边上的中线BD=错误!未找到引用源。

,·=5,则AC的长为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为=-=错误!未找到引用源。

-,所以==错误!未找到引用源。

-·+,即错误!未找到引用源。

=1,所以||=2,即AC=2.3.若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形【解析】选C.因为+=0,所以=,所以四边形ABCD是平行四边形.由(-)·=0,得·=0,所以⊥,即此平行四边形对角线互相垂直,故一定是菱形.4.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( ) A.10 m/s B.2错误!未找到引用源。

m/sC.4错误!未找到引用源。

m/sD.12 m/s【解析】选B.由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图.所以小船在静水中的速度大小|v|=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=2错误!未找到引用源。

(m/s).5.若O为△ABC所在平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为.【解析】(-)·(+-2)=(-)·(-+-)=(-)·(+)=||2-||2=0,所以||=||,所以△ABC为等腰三角形.答案:等腰三角形6.已知等腰△ABC中,BB′,CC′是两腰的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A的余弦值.【解析】以底边BC所在的直线为x轴,以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,设A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0),=(c,-a).因为BB′,CC′分别为AC,AB边上的中线,所以′=错误!未找到引用源。

人教新课标版数学高二-必修4检测 2.5平面向量应用举例

第二章 2.5考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难向量在物理中的应用 1、3、59 向量在几何中的应用6、7、10综合运用2、48111．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A.10 B ．25 C.5D.15解析：F 1＋F 2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)， ∴|F 1＋F 2|＝(－2)2＋(－1)2＝ 5.答案：C2．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．无法确定解析：∵(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝CA →2－CB →2 ＝|CA →|2－|CB →|2＝0，∴|CA →|2＝|CB →|2. 故|CA →|＝|CB →|.△ABC 为等腰三角形．答案：C3．当两人提起重量为|G |的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120° 解析：作OA →＝F 1，OB →＝F 2，OC →＝－G ，则OC →＝OA →＋OB →，当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，∴∠AOC ＝60°.从而∠AOB ＝120°. 答案：D4.在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为O (0,0)，B (1,1)，则AB →·AC →＝ ________.解析：由已知得A (1,0)，C (0,1)，∴AB →＝(0,1)，AC →＝(－1,1)． ∴AB →·AC →＝1. 答案：15．一个重20 N 的物体从倾斜角为30°，斜面上1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．解析：W ＝F ·s ＝|F |·|s |·cos θ＝20×1×cos 60°＝10 J. 答案：10 J6．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，点RA →＝2 AP →，求点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则RA →＝(1－x 1，－y 1)，AP →＝(x －1，y )．由RA →＝2 AP →得(1－x 1，－y 1)＝2(x －1，y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2x ＋3，y 1＝－2y ，代入直线l 的方程得y ＝2x .所以，点P 的轨迹方程为y ＝2x .7．已知，四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线．求证：AC ⊥BD . 证明：证法一：∵AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →) ＝|AD →|2－|AB →|2＝0. ∴AC →⊥BD →，即AC ⊥BD .证法二：解答本题还可以用坐标法，解法如下：以BC 所在直线为x 轴，以B 为原点建立平面直角坐标系，则B (0,0)，设A (a ，b )，C (c,0)，则由|AB |＝|BC |得a 2＋b 2＝c 2.∵AC →＝BC →－BA →＝(c,0)－(a ，b )＝(c －a ，－b )， BD →＝BA →＋BC →＝(a ，b )＋(c,0)＝(c ＋a ，b )，∴AC →·BD →＝c 2－a 2－b 2＝0. ∴AC →⊥BD →，即AC ⊥BD .8．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，AO →＝12(AB →＋AC →)，且|OA →|＝|AB →|，则BA →·BC →等于________．解析：设BC 的中点是D ，如图所示，则AB →＋AC →＝2 AD →，则AD →＝AO →，所以O 和D 重合．所以BC 是圆O 的直径．所以∠BAC ＝90°. 又|OA →|＝|AB →|，则|BA →|＝1，|BC →|＝2，所以∠ABC ＝60°，所以BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos 60°＝1×2×12＝1.答案：19.如图所示，用两根分别长5 2 m 和10 m 的绳子将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后G 点距屋顶的距离恰好为5 m ，求A 处受力的大小．解：由已知条件可知AG 与铅直方向成45°角，BG 与铅直方向成60°角，设A 处所受的力为F a ，B 处所受的力为F b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧|F a |cos 45°＝|F b |cos 30°，|F a |sin 45°＋|F b |sin 30°＝100.解得|F a |＝1502－506，故A 处受力的大小为(1502－506)N.10.如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2BA ，∠ABC ＝60°，作AE ⊥BD 交BC 于E ，求BE ∶EC .解：设BA →＝a ，BC →＝b ，|a |＝1，|b |＝2. a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝1，BD →＝a ＋b .设BE →＝λBC →＝λb ，则AE →＝BE →－BA →＝λb －a .由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0，即(λb －a )·(a ＋b )＝0.解得λ＝25，∴BE ∶EC ＝25∶35＝2∶3.11.在某海滨城市O 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O (如图所示)的东偏南θcos θ＝210，θ∈(0°，90°)方向300 km 的海面P处，并以20 km /h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？⎝⎛⎭⎫注：cos (θ－45°)＝45 解：设t 小时后，台风中心移动到Q 处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ ＝θ－45°. ∵OQ →＝OP →＋PQ →，∴OQ →2＝(OP →＋PQ →)2 ＝OP →2＋PQ →2＋2OP →·PQ →.∴OQ →2＝OP →2＋PQ →2－2|OP →||PQ →|cos(θ－45°) ＝3002＋(20t )2－2×300×20t ×45＝100(4t 2－96t ＋900)．依题意得OQ →2≤(60＋10t )2，解得12≤t ≤24，从而12 h 后该城市开始受到台风的侵袭．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的运算获得几何命题的证明．2．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.。

全国通用高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例检测新人教A版必修4(2021年整理)

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第二章2。

5 平面向量应用举例A级基础巩固一、选择题1．若向量错误!＝(1，1），错误!＝（－3,－2)分别表示两个力错误!、错误!，则｜错误!＋错误!｜为（ C ）A．(5，0）B．（－5,0)C． 5 D．－5［解析]∵错误!＝(1，1）,错误!＝（－3，－2)，∴｜错误!＋错误!|＝错误!＝错误!，故选C．2．(2018·四川绵阳期末）△ABC中,设错误!＝c,错误!＝a，错误!＝b，若c·（c＋a－b）<0，则△ABC是（ C ）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定其形状[解析］由已知，错误!·(错误!＋错误!－错误!)＝错误!·2错误!<0，∴角A为钝角，故选C．3．已知点A（－2，0)，B（0,0），动点P（x，y）满足错误!·错误!＝x2，则点P的轨迹是( D ）A．x2＋y2＝1 B．x2－y2＝1C．y2＝2x D．y2＝－2x［解析]PA→＝（－2－x，－y)，错误!＝（－x,－y）则错误!·错误!＝（－2－x)（－x)＋y2＝x2，∴y2＝－2x．4．在△ABC中，∠C＝90°，错误!＝(k,1），错误!＝（2，3），则k的值是( A ）A．5 B．－5C．错误!D．－错误![解析]由题意，得错误!＝错误!－错误!＝(2，3）－(k，1)＝（2－k,2）．∵∠C＝90°，∴错误!⊥错误!。

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