5.流体力学-实际流体动力学基础-wyj
流体力学课件_第五章_流体运动学基础
gQ
2g
2g
u dA v A
3
3
——动能修正系数
g
1
v1
2
2g
z2
p2
g
2
v2
2
层流α=2 紊流α=1.05~1.1≈1
2g
——总流的伯努利方程
5.3 理想流体的伯努利方程
丹· 伯努利（Daniel Bernoull，1700—1782）：瑞 士科学家，曾在俄国彼得堡科学院任教，他在流体力 学、气体动力学、微分方程和概率论等方面都有重大 贡献，是理论流体力学的创始人。 伯努利以《流体动力学》（1738）一书著称于世， 书中提出流体力学的一个定理，反映了理想流体（不 可压缩、不计粘性的流体）中能量守恒定律。这个定 理和相应的公式称为伯努利定理和伯努利公式。 他的固体力学论著也很多。他对好友 欧拉提出 建议，使欧拉解出弹性压杆失稳后的形状，即获得弹 性曲线的精确结果。1733—1734年他和欧拉在研究上 端悬挂重链的振动问题中用了贝塞尔函数，并在由若 干个重质点串联成离散模型的相应振动问题中引用了 拉格尔多项式。他在1735年得出悬臂梁振动方程； 1742年提出弹性振动中的叠加原理，并用具体的振动 试验进行验证；他还考虑过不对称浮体在液面上的晃 动方程等。
g
1
v1
2
2g
z3
g
3
v3
2
3
2g
5.7 伯努利方程的应用 毕托管测流速
p1
h
h p2 p1
g
u
2
p2
2g
g
g
g
u
2 gh c
2 gh c——流速系数
流体动力学基础
流体动力学基础流体动力学是研究流体的运动规律和性质的科学，它是流体力学的分支之一，广泛应用于航空、航天、水力、能源等领域。
本文将介绍流体动力学的基础概念、基本方程以及常用方法。
一、流体动力学的基本概念1. 流体力学与流体静力学的区别流体力学研究流体在运动中的行为，包括流体的流动速度、压力、密度等参数的分布规律；而流体静力学则研究流体在静止状态下的平衡规律，主要关注流体的静压力和浮力等性质。
2. 流体的本构关系流体的本构关系描述了流体的应力与变形速率之间的关系。
常见的本构关系有牛顿黏性流体、非牛顿流体以及理想流体等。
3. 流体的运动描述流体的运动可以通过流体速度场来描述，流体速度场是空间中的矢量函数，它描述了流体的速度分布。
流体速度场的描述可以使用欧拉描述方法或者拉格朗日描述方法。
二、流体动力学的基本方程1. 连续性方程连续性方程描述了质量守恒的原理，即单位时间内通过某一截面的质量是恒定的。
对于稳定流动的不可压缩流体来说，连续性方程可表示为流体密度与速度之积在空间中的量级是恒定的。
2. 动量方程动量方程是描述质点运动定律的基本方程，对流体来说，动量方程体现了运动流体的动力学行为。
对于稳定流动的不可压缩流体来说，动量方程可表示为流体的密度乘以速度与压力梯度的叠加等于外力的结果。
3. 能量方程能量方程描述了热力学系统的能量守恒原则，对于流体来说，能量方程考虑了流体的流动对能量转移的影响，以及热源、做功所导致的能量变化。
三、流体动力学的常用方法1. 数值模拟方法数值模拟是流体动力学研究的重要工具，通过在计算机上建立流体动力学方程的数值解，可以模拟复杂流动现象，如湍流、多相流等。
2. 实验方法实验方法是流体动力学研究的另一重要手段，通过搭建实验平台，测量流体的压力、速度等参数，从而验证理论和数值模拟结果的准确性。
3. 理论分析方法理论分析方法是流体动力学研究中的基础，通过建立假设和推导数学表达式，可以得到流体动力学问题的解析解，为实验和数值模拟提供参考。
流体动力学基础理论
流体动力学基础理论流体动力学是研究流体运动规律及其物理现象的学科，其基础理论包括流体静力学和流体动力学两个部分。
本文将围绕流体动力学的基础理论展开论述，包括主要概念、基本方程和典型应用等内容。
一、流体动力学概述流体动力学是研究流体在受力作用下的运动规律的学科。
在研究流体动力学时，通常将流体视为连续分布的介质，分析其运动状态和受力情况。
流体动力学的研究对象包括气体、液体和等离子体等。
流体动力学的基本假设有两个，即连续介质假设和边界层假设。
连续介质假设认为流体可以被看作是连续分布的介质，从而可以用连续函数来描述其物理量。
边界层假设认为流体与物体表面之间存在一层边界层，该层内的流体性质发生较大变化，而在该层外的流体相对稳定。
二、基本方程流体动力学的基本方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程三个方程。
这三个方程构成了描述流体运动规律的基本框架。
1. 质量守恒方程质量守恒方程描述了流体质量的变化情况，其数学表达式为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ表示流体的密度，t表示时间，v表示流体的速度，∇·表示散度运算符。
质量守恒方程表明在流体中，质量的增减与流体的速度有关，通过质量守恒方程可以研究流体的质量流动和密度分布情况。
2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体运动的动力学规律，其数学表达式为：ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p表示流体的压力，τ表示流体的黏性应力，g表示重力加速度。
动量守恒方程表明流体的运动受到压力、黏性应力和重力的综合作用，通过动量守恒方程可以研究流体的速度场和受力情况。
3. 能量守恒方程能量守恒方程描述了流体能量的变化情况，其数学表达式为：ρCv(∂T/∂t + v·∇T) = ∇·(κ∇T) + Q其中，Cv表示流体的定压比热容，T表示流体的温度，κ表示流体的热导率，Q表示流体受到的热源项。
流体动力学基础
市政工程中的雨水排放系统需要考虑 流体动力学原理，以确保在暴雨等极 端天气条件下，雨水能够快速、顺畅 地排出城市区域，防止内涝现象的发 生。
03
污水处理
污水处理厂的设计和运行中，流体动 力学知识有助于优化处理工艺流程， 提高污水处理的效率和效果，减少对 环境的不良影响。
THANKS
感谢观看
规律2
在同一水平面上，流体的 静压力相等，与深度成正 比。
规律3
在垂直方向上，流体静压 力随深度线性增加，即符 合帕斯卡定律。
压力的测定及表示方法
测定方法1
液柱法，通过测量液柱的高度 来计算压力。
测定方法2
弹性法，利用弹性元件的变形 来测量压力。
表示方法1
绝对压力，以绝对真空为基准 表示的压力。
表示方法2
一维、二维与三维流动
根据流动的空间维度，流动可分为一维（如管道流动）、 二维（如平板间的流动）和三维（如绕物体的流动）流动 。高维流动通常更难以分析和计算。
恒定流连续性方程
质量守恒
恒定流连续性方程基于质量守恒 原理，即单位时间内流入和流出
控制体的流体质量相等。
方程的表述
在不可压缩流体中，恒定流的连续 性方程可表述为流速的散度为零（ 即流入和流出某点的流体体积流量 相等）。
应用场景
恒定流连续性方程在管道流动、水 坝设计、风洞实验等方面有广泛应 用，可用于分析流体在复杂几何形 状中的流动行为。
恒定流能量方程及其应用
伯努利定理
恒定流能量方程，又称伯努利定理，描述了不可压缩流体在恒定流动过程中压力、位能和 动能之间的关系。
方程表述
在不可压缩、无粘性流体的恒定流动中，单位体积流体的压力能、位能和动能之和保持不 变。
流体力学中的流体动力学分析
流体力学中的流体动力学分析引言流体力学是研究流体的运动规律和力学性质的一门学科，其中包括流体动力学分析。
流体动力学分析是研究流体运动中涉及的力学问题，如速度场、压力场、流速、流量等。
本文将介绍流体动力学分析的基本概念、数学模型和应用。
一、基本概念1. 流体动力学流体动力学是研究流体在运动中的力学行为的学科。
它主要研究流体的速度场、压力场、力学性质和相互作用等问题。
流体动力学的研究对象包括液体和气体，在工程和自然科学的许多领域都有广泛的应用。
2. 流体流体是指可以流动的物质，包括液体和气体。
液体具有定体积和定形状特性，而气体则没有定体积和定形状特性。
流体的基本特性包括质量、密度、体积、压力、粘度等。
3. 流体力学分析流体力学分析是研究流体运动中涉及的力学问题的分析方法和技术。
它包括数学模型的建立、基本方程的求解和实际问题的应用等内容。
流体力学分析可以帮助我们理解流体的运动规律，预测和优化流体系统的性能。
二、数学模型1. 流体力学方程流体力学方程是描述流体运动规律的基本方程。
流体力学方程包括连续性方程、动量方程和能量方程等。
这些方程可以用偏微分方程的形式表示，求解这些方程可以得到流体的速度场、压力场和温度场等信息。
1.1 连续性方程连续性方程描述了流体运动中质量守恒的规律。
它表示了流体的流量在空间和时间上的连续性。
连续性方程可以通过质量守恒定律和流体的流体性质推导得到。
1.2 动量方程动量方程描述了流体运动中力的平衡关系。
它表示了流体受到外力和内力的作用，从而产生加速度。
动量方程可以通过牛顿第二定律和流体的运动性质推导得到。
1.3 能量方程能量方程描述了流体运动中能量的转化和传输过程。
它表示了流体的热量传递和机械能转换等情况。
能量方程可以通过能量守恒定律和流体的能量性质推导得到。
2. 边界条件和初值条件在求解流体力学方程时，需要给定一些边界条件和初值条件。
边界条件指定了流体在边界上的运动状态，可以是流体速度、压力或温度等。
工程流体力学--第三章--流体动力学基础
度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中 间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的 速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2 点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移
加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变
化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速
2021/3/7
10
图 3-1 中间有收缩形的变截面管道内的流动
2021/3/7
11
度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速 度。
应该注意，流体质点和空间点是两个截然不同的概念，
空间点指固定在流场中的一些点，流体质点不断流过空间
点，空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速
第三章 流体动力学基础
§1–1 描述流体运动的两种方法
§1–2 流体运动的一些基本概念
§1–3 流体运动的连续性方程
§1–4 理想流体的运动微分方程
§1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
§1–6 伯努利（Bernoulli）方程的应用
§1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程
§1–8 液体的空化和空蚀现象
段微小距离时的速度变化率，于是可按复合函数的求导法
则，分别将式（3-4）中三个速度分量对时间取全导数，
并将式（3-7）代入，即可得流体质点在某一时刻经过某
空间点时的三个加速度分量
2021/3/7
8
ax
u t
u
u x
v
u y
w
u z
ay
v t
u
v x
v
v y
w
v z
(3-8)
《流体力学》第三章流体动力学基础
q 断面平均流速： v A
令 v v代表真实速度与平均速度的差值 v
q vdA (v v)dA v A vdA v A
A A A
3.2 流体运动中的几个基本概念 五、过流断面上的平均速度与动能、动量修正系数 断面平均流速：
q v A
v
v v v v vx v y vz t x y z ——————— —
3.2 流体运动中的几个基本概念 流体质点物理量的随体导数（或物质导数）
d vx vy vz dt ___ t _______________ x y z ___
A
v ndA
dV t V
A
v ndA
dV V t
— Euler型连续性方程
它反映了控制面上速度分布与控制体内密度变化之间的积分关系。
特例： v ndA
A
V
dV t
t0 流动定常（ t ）：
A
动量修正系数:
4 管中层流时： 3 管中湍流时： 1.02
3.2 流体运动中的几个基本概念 六、流动的分类( 欧拉法) 一元流动、二元流动和三元流动
流动参数的变化与几个空间坐标有关？
1
2
3
x
喷管内粘性流体流动的速度分布 实际流动 u=u(u=u x,= y ,(( z , ,t ) 考虑平均流速 V V t,) t) 三元流动 一元流动 考虑轴对称， rx x 二元流动
aa
..
b .
b c c
..
u 0 ? t
p 0 ? t
第三章 流体动力学基础 §3-2 流体运动中的几个基本概念 一、物理量的质点导数 运动中的流体质点所具有的物理量N（例如速度、 压强、密度、温度、质量、动量、动能等）对时
水力学 第五章 实际流体动力学基础
5-1 实际流体的运动微分方程—纳维斯托克斯方程
5-1-3 实际流体的运动微分方程—纳维-斯托克斯方程
1、纳维-斯托克斯方程
对不可压缩流体的运动微分方程，将应力关系代入（以x方向的投影方程为 例）
得：
1 p xx yx zx fx x y z
dux dx
上式即为以应力形式表示的实际流体的运动微分方程。 对于不可压缩均质流体来讲，密度ρ 为常数，单位质量力的分量fx、fy、fz通常是已 知的，所以上式中有表面应力的九个分量和速度的三个分量，共十二个未知量。 牛顿定律只给出了三个方程式，加上连续性微分方程只有四个方程式，所以无法求 解，需找出其它的关系式。这些补充关系式需从分析流体质点的应力状态中获得。
τ yx μ du x dθ 2 με yx dy dt
yz
x y u z u y zy ( ) y z
u x u z zx xz ( ) z x
5-1 实际流体的运动微分方程—纳维斯托克斯方程
7
5-1-2 流体质点的应力状态
r
、f 、f z 分别为单位质量力在 r , , z
12
坐标轴上的分量。
5-1 实际流体的运动微分方程—纳维斯托克斯方程
3、纳维-斯托克斯方程求解条件
（1）初始条件：在起始时刻t = 0时，各处的流速、压力值. （对于恒定流，则不需要该条件。）
u ( x, y, z, t ) p( x, y, z, t )
压力为：
1 p xx 1 p xx dxdydz p xx dxdydz p xx 2 x 2 x
左右面、上下面的切力为：
z
流体动力学基础
流体动力学基础流体动力学是一个操作系统的一部分，主要研究流体运动规律和流体力学的原理。
无论是研究天气变化的气象学家，还是设计飞机、火箭的工程师，都离不开流体动力学的科学知识。
下面让我们从基础知识开始，深入了解流体动力学。
一、概述流体动力学分为静止流体动力学和运动流体动力学两大类。
前者研究的是静止流体的压力、浮力等问题，后者则是研究运动流体的物理过程和原理，包括涡旋、流动阻力、热输运等问题。
二、基础概念在流体动力学中，我们需了解几个基本概念。
首先，流体。
流体是一种液体和气体通称，其特点是无法保持固定的形状，而且会随外力作用发生变形。
其次，继原理。
继原理是流体动力学中极其重要的一项原则，用以研究保质量、能量以及动量。
又如雷诺数，这是判断流体的流动方式是层流还是湍流的无量纲数。
三、基础原理流体动力学原理中，最核心的就是质点和控制体系。
质点是流体动力学假设中的一个理论模型，它具有质量，但没有体积和形状和能够省去在实际研究中的空间集中和温度等因素。
控制体系则是流体动力学中控制流体流动的体积元素，包括控制面和控制体。
四、基础公式在流体动力学中，有许多重要的公式。
例如伯努利方程，它是流体动力学中的一个重要原理，告诉我们流速快的地方，流体的压力就小。
再例如动量定理，它告诉我们流体动力学中系统的总动量是守恒的。
五、应用领域流体动力学的应用领域极其广泛，如航天飞机设计，气象学研究，地球物理探测，海洋动力发电等。
能够说，生活中的许多领域都离不开流体动力学的应用。
流体动力学，作为物理学的一个重要分支，旨在研究流体运动的规律，及其与周围物体的相互作用。
同时，它也是如火箭、飞机等依托的科学理论基础，因此其理论研究和应用价值不可忽视。
第四章-流体运动学和流体动力学基础
流线
强调的是空间连续质点而不是某单个质点； 形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内； 表示的是质点的速度方向而不是空间位置连 线。
2、流线微分方程：
速度矢量 V xi y j zk
速度与坐标轴夹角的余弦
cosV, x x /V cosV, y y /V
该点流线微元的切线
dL dxi dyj dzk
t为变量。
3、t为常数，（a，b，c）为变量
某一时刻不同流体质点的位置分布
根据流体质点的运动方程，可得
速度： 加速度：
vx vy
ddtx ＝
dy
dt
x(a，b，c，t ) t
y (a，b，c，t ) t
vz
dz
dt
z (a，b，c，t ) t
d 2 x 2 x(a，b，c，t)
ax dt
欧拉法
微分方程
vx
dx
dt （ t为自变量，
dx
dy
dz
vy
dy
dt
x, y, z 为t
vx(x, y, z,t)
vy(x, y, z,t)
vz(x, y, z,t)
vz
dz dt
的函数 ）
(x,y,z为t的函数，t为参数）
第四节 流管 流束 流量 水力半径
一、 流管 流束 缓变流 急变流 流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过 该周线上的所有流线组成的管状表面。
一般公式
d
r
( )
dt t
全导数 随体导数
当地 导数
迁移 导数
压强的随体导数 密度的随体导数
dp p
r
p
dt t
d
流体力学 流体动力学基础
x xa,b, c,t
y ya,b, c,t
（3—1）
z za,b, c,t
式中a，b，c，t 统称为拉格朗日变量，不同的运动质点， 起始坐标不同。
用拉格朗日法分析流体运动，在数学上将会遇到困难。 除少数情况外（如研究波浪运动），在流体运动中多采用欧拉 法。
5
二、欧拉法 定义：
uy
u y y
uz
u y z
fz
p
z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
（3—17）
上面二式即是理想流体运动的微分方程式，也叫做欧拉 运动微分方程式。
式中x，y，z，t为四个变量， , ux , u y,uz 为x，y，z，t的函
数，是未知量。 f x, f y , f z 也是x，y，z的函数，一般是已知的。
一、理想流体的伯努利方程
在稳定条件下
ux uy uz p 0 t t t t
将式（3—16）中各式分别乘以 dx, dy, dz 。相加得
(
fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
dx
p y
dy
流经过流断面的体积流量Q除以过流断面面积A，即
Q Au ndA
A
A
（3—11）
即为断面平均速度。
五、一元流动、二元流动、与三元流动
定义：
运动要素是一个坐标的函数，称为一元流动。 运动要素是二个坐标的函数，称为二元流动。 运动要素是三个坐标的函数，称为三元流动。
16
§3-4 连续方程式
流体动力学基础 _流体力学资料
1 dp ab(xdx ydy)
积分，得
p ab x2 y 2 c'
2
令p=常数 即得等压面方程
x2 y2 c
等压面是以坐标原点为中心的圆。
第二节 元流的伯努利方程
一、理想流体运动微分方程的伯努利积分 理想流体运动微分方程式是非线性偏微分方程组，只有
特 定 条 件 下 的 积 分 ， 其 中 最 为 著 名 的 是 伯 努 利 (Daniel Bernoull，1700～1782，瑞士科学家)积分。
yz zx
zy xz
u z y
u x z
u y z
u z x
xy
yx
u y x
u x y
（4—6）
3．粘性流体运动微分方程
采用类似于推导理想流体运动微分方程式（4—1）的方 法，取微小平行 六面体，根据牛顿第二定律建立以应力(包 括切应力)表示的运动微分方程式，并以式(4—5)、式(4—6) 代人整理，使得到粘性液体运动微分方程：
2 x2
2 y 2
2 z 2
——拉普拉斯算子。
——粘性流体运动微分方程，又称为纳维— 斯托克斯方程(简写为N—S方程)。
N—S方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力(压力 和粘性力) 的相平衡。由N—S方程式和连续性微分方程式组成的 基本方程组，原则上可以求解速度场和压强场p,可以说粘性流体的 运动分析，归结为对N—S方程的研究。
X Y
1
1
p x
p y
ux ux
u x x
u y x
uy uy
u y y
u y y
uz uz
u z z
u y z
Z
1
5第五章-实际流体动力学基础
5第五章-实际流体动力学基础第五章 实际流体动力学基础5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ，u y=-2ay ，a 为实数，且a >0。
试求切应力τxy 、τyx 和附加压应力p ´x 、p ´y 以及压应力p x 、p y 。
解：0yxxyyxu u x y ττμ∂⎛⎫∂==+= ⎪∂∂⎝⎭24xx u p a xμμ∂'=-=-∂，24y y u p a yμμ∂'=-=∂，4x x p p p p a μ'=+=-，4yyp p p p a μ'=+=+5－2 设例５－1中的下平板固定不动，上平板以速度v 沿x 轴方向作等速运动（如图所示），由于上平板运动而引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。
试求在这种流动情况下，两平板间的速度分布。
（请将d 0d px=时的这一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较）解：将坐标系ox 轴移至下平板，则边界条件为y ＝０，0Xu u ==；y h =，u v =。
由例５－1中的（11）式可得2d (1)2d h y p y yu v h x h hμ=-- （１）当d 0d p x =时，yu v h =，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。
它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。
当d 0d px≠时，即为一般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成，速度分布为(1)u y y yp v h h h =-- （２）式中2d ()2d h pp v xμ=-（３）当p ＞０时，沿着流动方向压强减小，速度在整个断面上的分布均为正值；当p ＜０时，沿流动方向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生p ＜－１的情况．5－3 设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。
若忽略空气阻力，试用纳维—斯托克斯方程和连续性方程，证明过流断面上的速度分布为2sin (2)2xg u zh z ，单宽流量3sin 3gh q。
流体力学基础第三章一维流体动力学基础
有输入或输出的情况
例：断面为50X50cm2的送风管，通过abcd四个40X40cm2的 送风口向室内输送空气，送风口气流平均速度为5m/s,求 通过送风管1-1,2-2,3-3各断流面的流速和流量。
解：每一个送风口流量
Q 0.4 0.4 5 0.8 m
3
s
3
3 Q0 Q2 2Q Q2 2Q 1.6 m s 3 Q0 Q3 3Q Q3 Q 0.8 m s
d 2 4A d 4R d x
非圆形截面管道的当量直径 x
D 4A 4R x
R
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
五、一维流动模型
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数； 二维流动： 流动参数是两个坐标的函数； 三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
二维流动→一维流动
A A
六、流量和平均流速
2、断面平均流速
断面平均流速，以v表示，它是一种假想的流速，假定在 单位时间内，过流断面上各流体质点都以v流速流动，按 此流速计算的流量恰好等于过流断面上各流体质点以真实 流速u所通过的流量。 即 vA udA Q
A
断面平均流速为 Q-流体的体积流量 v-断面平均流速 A-总流过流断面的面积
一、定常流动和非定常流动 定常流动：在流场中，流体质点的一切运动要素(υ、p、 粘性力、惯性力)都不随时间改变而只是坐标的函数的 流动。表示为：
u u( x, y, z ) u p 0 t t t p p( x, y, z )
例如离心式水泵，恒位水箱出水口的 稳定泄流都是定常流动。
－1782)。1738年撰写和出版
了《流体动力学》一书，建
实际流体动力学基础
23
总水头线
hw12
2 u2 2g
u12 2g
p1
测压管水头线
H1
p2
H2
液流中心线
Z1
l
Z2
基准面线
图中具有能量意义的线： 总水头线
由于能量损失的存在，总水 头线不是一水平线，而是沿 测压管水头线 流程下降。 可上升可下降
24
液流中心线（管轴线）
p u ' dz dh 0 g 2g 2 2 p1 u1 p2 u2 ' z1 z2 h g 2g g 2g
2
(5-12)
(5-13)
不可压缩均质实际流体恒 定流的伯努利方程式
8
恒定元流能量方程
（一不可压缩均质实际流体恒定元流的 伯努利方程（能量方程）
2 1
2
20
5-2-2 实际流体元流伯努利方程的 物理意义和几何意义
u12 2g p1 g
u2 2 2g
p2 g
图5-6
21
因为元流能量方程中各项的因次都是长度，所以也可用线 段图形来形象地反映沿流能量的转化情况，即水头线。
总水头线
hw12
26
26
1 p A z udA平均单位势能 Q
'
（5-4）
（5-5）
4
5-1-3 实际流体的运动微分方程 ——纳维-斯托克斯方程
u x u x u x u x 1 p 2 fx ux ux uy uz x dt x y z u y u y u y u y 1 p 2 （5-6） fy uy ux uy uz y dt x y z u z u z u z u z 1 p 2 fz uz ux uy uz z dt x y z
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学习重点
➢掌握实际流体能量方程、动量方程； ➢掌握流体运动总流的分析方法，能熟练运用
三大运动方程解决实际问题；
➢了解N—S 方程。
2020/6/17
3
学习内容
伯努利方程 (能量方程)
动量方程
实际流体运 动微分方程
2020/6/17
4
§5—1 实际流体运动微分方程
一、以应力表示的实际流体运动微分方程
式 5—5
13
三、N—S 方程
将以上关系式5—3、5—5代入实际流体运动微分方程 5—1，结合不可压缩、均质流体连续性微分方程整理即可
得N—S方程（p166 5—6式）。
此 N—S方程 + 连续性微分方程
共 4 个方程，解 4 个未知量。
2020/6/17
14
四、实际流体运动微分方程积分
1、积分条件：
( uz
y
u y z
)
zx
xz
( uz
x
ux z
)
2020/6/17
实际流体切 应力普遍表达 式，也称广义 的牛顿内摩擦
定律。
11
2、压应力的特性和大小： px= p+ px’ p y= p+ py’ pz= p+ pz’
p ——平均压应力
p=
1 3
（px+py+pz
）
切应力互等定律。原 方程减少3个变量。
4>列动量方程求解。
2020/6/17
35
几点说明：
1>方程是矢量式，正确取好外力和速度的正负号；
2> 建立坐标系应尽量使问题简化；
3> 计算断面为渐变流断面（中间可为急变流）；
4> 动量差 = 流出控制体的动量 － 流入控制体的动量， 切不可颠倒；
5> 求压力的压强 p 一律采用相对压强；
6> 一般要与连续性方程、能量方程联用。
通常是已知的, 故在三个方程中有九个表面应力、 三个速度分量，共十二个未知量，既使加上连续 性微分方程（四个方程，解十二个未知量），也 无法求得唯一的解，所以还应再找出其它的关系。
2020/6/17
10
二、流体质点的应力状态
1、切应力的特性：
yx
xy
( uy
x
ux y
)
式5—3
yz
zy
2020/6/17
26
三、方程的延伸应用
1、有汇流或分流时： 可分别列方程，如：
1—1与2—2 断面 1—1与3—3 断面
2 2
1 3
1
3
2020/6/17
27
2、有能量输入或输出时： 可列方程：
假如：
Hm——输入或输出
能量
z1
p1
1v12
2g
Hm
z2
p2
2v22
2g
hw
2020/6/17
16
2、积分式： 不可压缩、均质、恒定、实际流体伯诺里方程。
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
hw
5—13式
同一条流 线上的任意两点，
满足上式。
2020/6/17
17
§5—2 实际流体元流伯诺里方程
一、方程 1、推导依据： 动能定理。 2、推导过程： 同理想流体元流。 3．方程形式：
不可压缩、 均质、恒定 、实际流体 元流伯诺里
（2）h’ w
单位重量元流的水头损失
2020/6/17
20
3、水头线的绘制：
（1）水力坡度 J：
J dhw dH
dl
dl
注： 流体的总机械能（总水头）总是沿程
d(z p)
（2）测压管下坡降度；Jp流：体的各J种p能量可以dl相 互转
dH dl
p
换。 （3）水头线的绘制：
以后详细讲
2020/6/17
28
§5—4 不可压缩气体伯努利方程
1、方程中的压强为相对压强时：
p1
v12
2
g(a
)( z2
z1)
p2
v22
2
pw12
2、方程中的压强为绝对压强时：
p1
v12
2
z1
p2
v22
2
z2
pw1~ 2
2020/6/17
29
其中：
v2 ——动压。单位体积气体所具有的动能。
2
全压
p ——静压。单位体积气体所具有的压能
1、应用条件： （1）流体的流动为恒定流； （2）流体不可压缩； （3）流体所受质量力只有重力； （4）流体运动是连续的。
2020/6/17
24
2、使用方法：
（1）选择基准面：
原则上可任选，一般可尽量使 位置水头为零（即：Z=0）。
（2）选择计算断面：
1> 渐变流过流断面； 2> 已知数较多的断面； 3> 包含未知数的断面。
（1） 作用于流体上的力是有势的力：
fx w x
fy w y
fz w z
（2） 流体的流动为恒定流：
2020/6/17
ux uy uz 0 t t t
15
（3） 沿流线积分(即沿迹线积分)：
dx uxdt dy uydt dz uzdt
（4） 作用于流体上的力只有重力。
2020/6/17
Q(2v2x 1v1x ) Fx
2020/6/17
Q( 2v2 y 1v1y ) Fy
Q(2v2z 1v1z ) Fz 34
二、方程的应用条件及使用方法
1、应用条件： 可参照能量方程。
2、解题方法：
1>选取控制体 ；
2>建立坐标系，分析控制体上的受力 （包括表面力和重力）；
3>规定好力与流速的方向；
2020/6/17
36
例：水流水平冲击一光
滑平板，水流的重
1
量忽略，求 R。
θ
列方程如下：
1
R
1、动量方程：
x方向： －R=(0+0)－ρQ1β1 v1sinθ
y方向： 0 = (ρQ2 β2 v2 －ρQ3β3 v3 ) － ρQ1 β1 v1cosθ
2020/6/17
37
2、连续性方程： Q1= Q2 + Q3
2020/6/17
25
（3）选择计算点： 1> 对圆形管路，可选择在轴心处；
2> 对明渠，可选择在液面上。
（4）公式中的压强 p：
简言之，分析流动，划分断面， 可以是绝对压强，也可以是相对压强，只要 方程前后统选一择即基可准（面对，气写体出必方须程是。绝对压强）。
3、公式中的γ是指计算流体的重度，各项单位要统一。
3、能量方程：
可分别对
1—1 与2—2、
1—1 与3—3断面列
1
方程，从而可得到：
v1= v2＝ v3
1
2020/6/17
θ R
38
作业 P193～200习题
5-1 ～ 5-37
39
That’s all ! Good Luck!
因为实际流体运动存在切应力，故各方位的压应力不
尽相等，可取其平均值，每个方向上的压应力均可看
作由均值 2020/6/17
p
加上附加压应力
px’ 、
py’ 、 1p2z’
。
px
2
ux x
2 xx
px
p
2
ux x
py
2
u y y
2 yy
py
p
2
u y y
pz
2
uz z
2zz
pz
p
2
uz z
式 5— 2020/6/174
M
t
C
τzx
B
y x
7
切应力（四个表面） ：
ABGH:
(
xy
1 2
xy
x
dx)dydz
将以上所有的力代入
CDEF:
Fy (mxyay12mdduxtxyy dx)dydz
GD整EH理: 即可得实(际zy流体12 运动zzy 微dz分)d方yd程x 。
ABCF:
2020/6/17
( zy
1 2
zy
Z
F
τzy
τzx
与 x 轴垂直的平面 上，沿 y 方向。
A y
t C
B
2020/6/17
x
6
（1）质量力：
fyρdx dy dz
（2）表面力： 压力 ：
(
ps
pt
)dxdz
p y
dxdydz
切应力（四个表面） ：
ABGH CDEF ABCF GDEH
2020/6/17
E
H τzx
τzy
D
G
s F
Z A τzy
1、方程推导依据：
牛顿第二定律： 2、分析受力：
F=ma
因为是实际流体，故运动流体的表面力既有
压应力（动压强）也有切应力。
2020/6/17
5
以 y 方向
为例：
设M点的相应要素为： py , u y , τzy , τxy
τzy
与 Z 轴垂直的平面 上，沿 y 方向。
E
τzx
H
D
τzy
G
M s
τxy
21
§5—3 实际流体总流伯努利方程
一、实际总流能量方程的建立 1、推导依据： （1）元流的能量方程；
（2）连续性方程 dQ=u1dA1= u2dA2