渗流有限元分析理论2

定解问题为边界问题。假设知道了所研究区域边界上的水头值，那
么此边界条件即可以下式表示：
h x, y, z f x, y, z
1
(2.18)
式中，Γ1—为渗流区域边界： f(x，y，z)—为已知函数；
x、y、z处于边界 Γ1上。称此种边界条件为第一类边界条件，
即水头边界条件。
假设不能确定研究的渗流边界上的水头，然而却知道边界上单位面积 流出或者流入的流量，那么这样的边界条件问题可用下式表示为：
vx v y vz 0 x y z
(2.11)
该公式是不可压缩液体在刚体介质中流动的渗流方程，设方程式是连 续性的，说明在流体中任何一点的单位流量（即流速）的纯变化率是零。
2.2. 3渗流微分方程 将达西渗透定律和连续条件结合起来
H H H vx k x , v y k y , vx k z x y z
N i 0
（2.2）
代入插值函数后，上式可写为
b i(1 0 ) 0 1 Bi 0 ai(1 0 ) 4ab a (1 ) b (1 ) 0 i 0 i
式中
（2.3）
0 i ,0 i
根据弹性力学平面问题物理方程，单元里每一点的应力能表示为：
有限元法对于单元应力应变的求解．只要单元位移确定，就可以利用几何方程和 物理方程就可以求单元的应力和应变。下面仍以平面四节点矩形单元为例推导单元刚
度矩阵。根据弹塑性力学中平面问题几何方程能得到单元里任何一点的应变表示式如
下：
x y Bi z
域以适当的方法分割成有限个适合求解的小区域，即单元，
单元的角点即为结点，单元里建立单元局部方程的方法是借 助于连续分片的插值函数，之后通过结点之问的关系装配全 部单元成为一个整体，利用计算机，再通过线性代数方程组 的形式进行求解。有限元法求解渗流场的水头函数 h 有其自
身的的方程。其一般形式可表示如下：
由以上推理可直接得出二维稳定渗流的微分方程式
(2.16)
h h kx k y 0 x x y y
式中：h—为总水头； kx，ky—分别为x和y方向的渗透系数。
(2.17)
2.2.4定解条件 流体的运动总是发生在一定的流场内，要确定流场的分布 仅渗流基本微分方程还是不够的，同时还必须依靠边界条件与 初始条件来确定。边界条件是指顺着流场边界发挥主导作用的

N i y
Si
E
1
2
（2.6）
将其代入无量纲形函数后，上式变为
bi 1 0 a i 1 0 E bi 1 0 ai 1 0 Si 2 4ab 1 1 1 ai 1 0 ai 1 0 2 2
h x, y, z, t f x, y, z, t
1
t0 t0
(2.20)
h 流量边界： k q x, y, z, t n 2
(2.21)
不透水边界．我们认为是流量边界条件的特例，即
h 0 n
此外，还有以下定解条件：
h 混合边界： h t
条件；而初始条件指的是研究分析开始时流场内部整体流场状
态或对流动起决定作用的条件（譬如水头所处区域等）。通常 所说的定解条件就是指边界条件及初始条件这两个的合称。当 研究稳定渗流场问题时，无需考虑初值问题；而当研究非稳定 渗流场问题时，需要考虑边界条件，此条件有可能是变化的。
因为稳定渗流场问题不需考虑初值条件，要求解，就必须采用 基本微分方程的定解条件之一即边界条件才可解决，我们称这样的
vx v y vz h g n t x y z
（2.10）
式中，α—为多孔介质压缩系数；
β—为水的压缩系数；
ρ—为渗透水的密度； ρg(α+nβ) —为单位贮水量或贮存率; vx，vy，vz— 分别为渗流沿坐标轴方向的分速度。 假设水体和土体均为不可压缩的，则上述公式可转化为；
K h f
式中，[K] —为渗透矩阵；
{h}一为列向量； {f}—为自由项列向量。
(2.25)
故此求解原有的渗流偏微分方程就等价于求解现在的代数 方程组。影响渗流有限元法求解渗流场精度的因素包括划分好
的计算区域对原来区域模拟的精度，分片插值对实际工程渗流
场模拟的精度和代数方程组自身求解的精度。
间的连接方式、组合方法均可以不相同，单元自身的形状又是多种多样，因
此可以对几何形状比较复杂的模型进行数值模拟求解。该法是通过将全部求 解域内将要求解的未知区域函数分离到所有单元内假定的逼近相似函数分区 域表示来实现的。与此同时，全部单元里的逼近相似函数由未知区域里的函 数在单元的各个结点的数值以及插值函数表示。随着单元个数的增加．单元 尺寸不断缩小、其自由度不断增加，插值函数更加精确。所得到的解与真实 值的差距将会不断缩小，假如该单元的收敛条件得以满足，那么所求解最终 将趋于我们所希望得到的精确解。
这样的孔隙相当大的介质中的渗流被认为是紊流之外。相当一部分渗流都包
括于层流这个范围之内，均可运用达西定律进行渗流分析。根据达西定律所 建立起来的渗流分析的数值分析模型，与很多工程实际问题还存在一些差别。 故而应用达西渗流理论分析解决实际渗流问题时，应多考虑工程实际情况。
2.2.2 渗流连续性方程 渗流理论基础之一是水力学中的连续性方程，该方程是自然界中质

1 1
0 0 1 2
（2.5）
E是杨氏模量，µ 是泊松比。
应力矩阵[S]的分块子矩阵可用下式表示：
N i x N i x 1 N i 2 y N i y 1 N i 2 x
(2.12)
式中：vx，vy，vz—分别为x，y，z 三个渗透主轴方向上的渗流流速； kx，ky，kz—分别为x，y，z方向上的渗透系数。代入式（2.10）中，得
h h h h h k k k g n x y x z x x y y z z t t
h—测压管水头，它是压力水头与位置高度之和。
它指出了渗透速度v与水力梯度J，或渗透坡降的线性关系。故又称为线 性渗透定律。从公式中可以看到达西渗透定律是把流速 v与渗透坡降J的关系
作为正比关系来考虑的，通过许多学者的研究证明这一正比关系在一定的条
件下才能成立，太沙基通过大量试验证明从砂土到黏土达西渗透定律在很大 的范围内都能适用，其适用范围是由雷诺数（Re）来决定的，也就是说达西 定律仅适用于线性阻力关系的层流动力。 在水利水电建设工程中，除了一些水工建筑物诸如堆石坝、堆石排水体
初始条件：
h x, y, z , t t 0 h0 x, y , z
(2.24)
其中h0是初始水头。
2.2.5 渗流分析的有限元法原理 渗流分析的有限元法是通过利用变分原理将渗流基本微 分方程和它的边界条件变换成为泛函数的极值问题加以解决 的，它是一种分块近似里兹(Ritz)法的应用。首先将所研究区
J L L
h1 l
达西通过实验得出，圆筒内
的渗流量 Q 与渗流模型过水断面 面积 A 及水力坡度 J 成正比，与 Q，A h2
土壤的透水性能有关，即
h1 h2 Q Ak L
(2.8)
Q dh v k kJ A dS
(2.9)
式中：V—断面A上的平均流速，或称达西流速； J—渗透坡降，即沿流程S的水头损失率； k—渗透系数；
Bj
Bl
Bm B
e
e
（2.1）
式中[B]称为应变矩阵，它的分块子矩阵可表示成：
x Bi 0 x 0 y y N i x 0 0 Ni N i x 0 N i y N i y
x e e y D D B S xy

（2.4）
式中[s]表示应力矩阵，[D]为弹性矩阼其表达式为
1 E D 1 2 0
2.2.6 有限元法计算渗流的基本公式 由以上对渗流微分方程的分析，依据变分原理，将其和下面取 极小的泛函进行等价。
即稳定渗流情况下的基本微分方程式： 在各个方向上渗透系数为常数时，上式为
(2.14)
h h h kx 2 k y 2 kz 2 0 x y z
2 2 2
(2.15)
如果每一方向有相同性质，即kx=ky=kz时，可转换成为常见的拉普拉斯方程：
2h 2h 2h 2 2 0 2 x y z
量守恒定律应用于渗流问题的一个具体表现，它表明，运行于渗透介质
中流体，在其运行变化的整个过程中，其质量始终保持恒定不变，即不 会自动增加也不会自动减少。 我们假设渗透进介质中流动的水是不能被压缩的均质液体，而且仅 是涉及竖直方向这一单个方向的压缩，那么由质量守恒定律，通过对公
式加以变换就能得到如下可压缩介质的渗流方程（即连续性方程）：
（2.7）
E , 代替即可 对于平面应变问题，只需将上式中的E和µ 分别用 2 1 1
2．2 渗流分析理论
达西（Darcy） 于1852年通过实验研究，总结出了渗流水头
损失与渗流速度之间的关系，后人称之为达西定律。
设一均匀渗流装置，水经过 长为 L的砂滤层后，测压管水头 由 h1 减小为 h2 ，于是其间的水 力坡度 J 可表示为 hl h1 h2
以节点变量为未知量的代数方程组，进行求解就可得到某个节点处 的待求变量。因此，有限元法的实质是将拥有无限个自由度的连续 系统，抽象为仅有有限个自由度的单元集合体，使问题更适于数值