函数的简单性质(1)
中职数学(人教版)： 函数的性质教学教案
第03讲 函数的性质一、奇偶性与周期性 （一）知识归纳： 1．奇偶性：①定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数； f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数.如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数.②简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称.2）函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. 2．周期性：①如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数.注意：f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(T x f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期. ②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT .（二）学习要点：1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具人这种性质.判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性.如果要证明一个函数不具有奇偶性质，可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ，验证f (a )±f (－a )≠0.2．学习函数的周期性的重点是能运用周期性的定义证明一个函数是周期函数，或运用定义解决周期函数的有关问题，而且大量的问题是以抽象函数的形式出现.求一个周期函数的最小正周期是十分困难的问题，只有在后面三角函数的学习中会出现一些非常简单问题.【例1】讨论下述函数的奇偶性：);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222+-+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=>++=++=x x og x f x x x n x x x x n x f x f xxx);0(||)()4(22≠-+-=a aa x x a x f 常数[解析] （1）函数定义域为R ，)(2211614161211161222116)(x f x f xx x x x xx x x x x =++=++•=++=++=----， ∴f (x )为偶函数；（另解）先化简：14414116)(++=++=-x x xx x f ，显然)(x f 为偶函数； 从这可以看出，化简后再解决要容易得多. （2）须要分两段讨论：①设);()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n xx n x x n x f x x -=-+-=-+=++=-∴<-∴> ②设)()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n xx nx x n x f x x -=-+--=-+-=--+-=-∴>-∴<③当x =0时f (x )=0，也满足f (－x )=－f (x )；由①、②、③知，对x ∈R 有f (－x ) =－f (x )， ∴f (x )为奇函数；（3）10101222=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-x x x ，∴函数的定义域为1±=x ， ∴f (x )=log 21=0(x =±1) ，即f (x )的图象由两个点 A （－1，0）与B （1，0）组成，这两点既关于y 轴对称，又关于原点对称，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数； （4）∵x 2≤a 2, ∴要分a >0与a <0两类讨论，①当a >0时，)],,0()0,[(||a a aa x ax a -⇒⎩⎨⎧≠+≤≤-函数的定义域为xx a x f a x 22)(,0||-=∴>+∴，∴当a >0时，f (x )为奇函数；,2,2,2)(,0||2122ax a x a x x a x f a x -==---=∴<+称的两点取定义域内关于原点对 )(,0,03353)2()2(x f a a f af 时当<∴≠±=-± 既不是奇函数，也不是偶函数. [评析]判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.【例2】解答下述问题：（I ）已知定义在R 上的函数y= f (x )满足f (2+x )= f (2－x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )=2x －1，求x ∈[－4，0]时f (x )的表达式.[解析]由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑： ①若x ∈[－2，0]，－x ∈[0，2]，∵f (x )为偶函数， ∴当x ∈[－2，0]时，f (x )= f (－x )=－2x －1,②若x ∈[－4，－2) ， ∴4+ x ∈[0，2)，∵f (2+x )+ f (2－x )， ∴f (x )= f (4－x )，∴f (x )= f (－x )= f [4－（－x ）]= f (4+x )=2（x +4）－1=2x +7; 综上，.)02(12)24(72)(⎩⎨⎧≤<---≤=≤-+=x x x x x f（II ）已知f (x )的图象关于直线x =a 对称，又关于点（m ,n ）对称（m ≠a ），求证：f (x )是周期函数.[证明] 用第4讲所学的公式将两个条件表示出来，并反复运用这两个条件.由条件得⎩⎨⎧--=-=⇒⎩⎨⎧=-+-=)2(2)()2()(2)2()()2()(x m f n x f x a f x f n x m f x f x a f x f ， )),(4()]24(2[)24()))]22((2(2[2)]22([2)]2(2[2)2(2)(m a x f x a m a f x a m f m a x m f n n m a x f n x m a f n x m f n x f -+=---=--=-+---=-+-=---=--=∴ ∵a ≠m , ∴f (x )是周期T=4（a －m ）的周期函数.（Ⅲ）已知定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x+1)=－f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )=3－x －1，求 )321(log 31f 的值. [解析] ∵f (x+2)=－f (x+1)= f (x ) ， ∴f (x )是周期为2的周期函数，.81491813213)321(log 8132log 3281log 811log 321log 4321log 4,321log ,13)4()]4([)4()(,]4,3[,,2)(,140041,43,4321log 3,2713218118132log 31331313131314313-=-=-=∴==-=-=-=-=-=--=-=∈∴≤-≤⇒≤-≤-∴≤≤<<∴<<-f x x x f x f x f x f x x f x x x x 时当时当且为偶函数周期为令[评析] 运用数学定义解决问题是学习“奇偶性”与“周期性”的最基本的能力，应熟练训练这种能力.【例3】设函f (x )的定义域关于原点对称，且满足①)()(1))(()(122121x f x f x x f x x f -+=-，②存在正常数a ，使得f (a )=1；求证：（I ）f (x )是奇函数； （II ）f (x )是周期4a 的周期函数. [解析] （I ）令x =x 1－x 2,)(1)(1)(111)(2121)(21)2(,1)(21)(11)()()(1)()()]([)()()(),()()()(1))(()()(1)()()()(211221211212x f x f x f x f a x f a x f x f x f x f x f a f a f x f a x f a x f II x f x f x x f x f x f x x f x f x f x f x f x x f x f -=+-=++--=+-=+∴+-=--+-=--+-=--=+∴-=--=-+-=-+=-=-∴ 为奇函数)(),()2(1)4(x f x f a x f a x f ∴=+-=+∴是周期为4a 的周期函数.[评析] 通过例3（II ）的解答，我们学习了一种很好的解题方法，由于4a 与条件中的a 很难直接挂上钩，因此考虑到逐步逼近结论的方法：由a →2a →4a ，这是值得很好学习的数学思想方法. 二、单调性： （一）知识归纳：1．定义：如果函数y= f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时，①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2．设复合函数y= f [g(x )],其中u =g(x ) , A 是y= f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集，①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y= f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y= f [g(x )]在A 上是增函数；②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y= f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y= f [g(x )]在A 上是减函数.3．若函数y= f (x )在定义域l 内的某个区间上可导 ， ①若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增函数； ②若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减函数. （二）学习要点：1．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决.注意，在上面第2小点中，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决.2．注意“函数f (x )的单调递增（或递减）区间是D ”与“函数f (x )在区间上单调递增（或递减）“，这是两类不同的问题，从导数知识出发，更容易理解这两类问题：①函数f (x )的单调递增（减）区间是D ⇔不等式f ′(x )>0（<0）的解集是区间D ； ②函数f (x )在区间D 内单调递增（减）⇔不等式f ′(x )>0（<0）对于x ∈D 恒成立. 【例1】解答下述问题：（I ）讨论函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的单调性. [解析] ∵函数的定义域为),,0()0,(+∞-∞),,(),()(;000)(;0)()(22222+∞--∞∴<<<<-⇒<<'>-<⇒>>'-=-='aba b x f ab x x ab a b x x f abx a bx a b x x f x bax x b a x f 与的单调递增区间是或得令或得令求导).,0()0,(ab a b 与而单调递减区间是-（注）这个函数的单调性十分重要，应用非常广泛，它的图象如图所示. （II ）.2)(ax x x f -+=[解析] f (x ) 的定义域是),2[+∞-，,22221221)(++-=-+='x x a a x x f①当a ≤0时，)),,2((0)(+∞-∈>'x x f 而f (x )在端点x =2连续， ∴当a ≤0时，f (x )在定义域),2[+∞-内为增函数；②当a >0时，令;2411)2(41220)(22-<⇒<+⇒<+⇒>'ax x a x a x f 令2410)(2->⇒<'ax x f ； ∴当a >0时f (x )的单调递增区间是),241,2[2-a 而单调递减区间是).,241(2+∞-a[评析] 例1 求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题，但必须注意，如果函数的解析式含有参数，而且参数的取值影响函数的单调区间，这时必须对参数的取值进行分类讨论.【例2】解答下述问题：（I ）设函数f (x )=k x 3+3(k －1)x 2－k 2+1，（1）当k 为何值时，函数f (x )单调递减区间是（0，4）； （2）当k 为何值时，函数f (x )在（0，4）内单调递减. [解析] 对f (x )求导得：f ′(x )=3 k x 2+6（k －1）x ， （1）∵函数f (x )的单调递减区间是（0，4），∴不等式f ′(x )<0的解集为{x |0<x <4}, 得k x 2+2(k －1)x <0， ∴x =0或4是方程k x 2+2(k －1)x =0的两根，将x=4代入得k=31，由二次不等式性质知所求k 值为31. （2）命题等价于k x 2+2(k －1)x <0对x ∈（0，4）恒成立，设g(x )=k x +2(k －1), ∵g(x )为单调函数，.310)4(0)0(≤⇒⎩⎨⎧≤≤k g g 则（或分离变量）)4,0(22∈+<⇔x x k 对恒成立， 记31,31)4()(,)(,22)(≤∴=>∴+=k g x g x g x x g 为单调减函数 . （II ）已知f (x )=x 2+a ,，且f [f (x )]= f (x 2－2),（1）设g (x )= f [f (x )],求g (x )的表达式；（2）设h (x)= g (x )－λf (x )，若h (x )在（0，1）内为减函数，而在（1，+∞）内为增函数，求实数λ的值. [解答] （1）∵f [f (x )]=（x 2+a ）2+a =x 4+2ax 2+a 2+a ,,24,)1,0(0)4(24,)1,0()(,)4(24)(),24()4()2()44()()2(;44)(,2,0402,0)4()2(2,442,44)2()2(23324224242222422424222x x x x x h x x x h x x x x x x h x x x g a a a x a x a a x x a a ax x a x x a x x f >+∈<++∴++='∴++++=--+-=+-=∴-=∴⎩⎨⎧=-=+∴=-++++-=+++∴++-=+-=-λλλλλλ即恒成立对内为减函数在无关与即224,22)1,0(2-≥⇒≥+∴<∈λλx x 时当 ①； 而h (x)在（1，+∞）内为增函数，,24,),1(0)4(2423x x x x <++∞∈>++∴λλ即恒成立对224,22),1(2-≤⇒≤+∴>+∞∈λλx x 时当 ②；由①、②得λ=6.[评析] 上面讨论了函数单调性的两类问题，其中“函数f (x )在区间D 上单调递增（减）”这类问题的难度要大一些，而且题型也非常广泛，应在后面的学习中注意总结经验.【例3】解答下述问题：（I ）已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+)(1x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论. [解析] 这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决. 在R 上任取x 1、x 2，设x 1<x 2，∴f (x 2)= f (x 1)，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵f (x )是R 上的增函数，且f (10)=1，∴当x <10时0< f (x )<1, 而当x >10时f (x )>1; ①若x 1<x 2<5，则0<f (x 1)<f (x 2)<1, ∴0< f (x 1)f (x 2)<1, ∴)()(1121x f x f -<0, ∴F (x 2)< F (x 1)；②若x 2 >x 1>5，则f (x 2)>f (x 1)>1 , ∴f (x 1)f (x 2)>1, ∴)()(1121x f x f ->0, ∴ F (x 2)> F (x 1)； 综上，F (x )在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数. （II ）已知函数f (x )的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），且满足条件： ①f (x ·y)= f (x )+ f (y )， ②f (2)=1， ③当x >1时，f (x )>0， （1）求证：f (x )为偶函数； （2）讨论函数的单调性；（3）求不等式f (x )+ f (x －3)≤2的解集.[解析] （1）在①中令x =y=1, 得f (1)= f (1)+ f (1)⇒ f (1)=0, 令x =y=－1, 得f (1)= f (－1)+ f (－1)⇒ f (－1)=0, 再令y=－1, 得f (－x )= f (x )+ f (－1)⇒ f (x ),∴f (x )为偶函 数； （2）在①中令),()1()1()()1(,1x f xf x f x f f x y -=⇒+==得 先讨论),0()(+∞在x f 上的单调性， 任取x 1、x 2，设x 2>x 1>0， ,1),()1()()()(12121212>=+=-∴x x x x f x f x f x f x f由③知：)(12x x f >0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )在（0，+∞）上是增函数，∵偶函数图象关于y 轴对称 ，∴f (x )在（－∞，0）上是减函数；（3）∵f [x (x －3)]= f (x )+ f (x －3)≤2， 由①、②得2=1+1= f (2)+ f (2)= f (4)= f (－4)， 1）若x (x －3)>0 , ∵f (x )在（0，+∞）上为增函数， 由f [x (x －3)] ≤f (4)得;430141304)3(0)3(≤<<≤-⇒⎩⎨⎧≤≤-><⇒⎩⎨⎧-≤->-x x x x x x x x x 或或2）若x (x －3)<0, ∵f (x )在（－∞，0）上为减函数；由f [x (x －3)] ≤f (－4)得 ;30304)3(0)3(<<⇒⎩⎨⎧∈<<⇒⎩⎨⎧-≥-<-x R x x x x x x∴原不等式的解集为：}.43|{}30|{}01|{≤<⋃<<⋃<≤-x x x x x x[评析] 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点.《训练题》一、选择题1．下述函数中，在]0,(-∞内为增函数的是（ ）A ．y=x 2－2B ．y=x3 C ．y=x --21 D ．2)2(+-=x y 2．下述函数中，单调递增区间是]0,(-∞的是（ ）A ．y=－x1 B ．y=－(x －1) C ．y=x 2－2D ．y=－|x |3．如果f (x )是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上是减函数，那么下述式子中正确的是（ ） A ．)1()43(2+-≥-a a f f B ．)1()43(2+-≤-a a f fC ．)1()43(2+-=-a a f fD ．以上关系均不确定4．函数f (x )、f (x +2)均为偶函数，且当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数，设),21(log 8f a =b= f (7.5)，c= f (－5),则a 、b 、c 的大小是（ ）A ．a >b>cB ．a > c > bC ．b>a > cD ．c> a >b5．下列4个函数中：①y=3x －1 ②);10(11log ≠>+-=a a xxy a 且 ③123++=x x x y ④).10)(2111(≠>+-=-a a a x y x 且 则其中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ ）A ．①B ．②③C ．①③D ．①④6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足=f (x+2))(1x f -，当2≤x ≤3，f (x )=x ，则f (5.5)=（ ） A ．5.5 B ．－5.5C ．－2.5D ．2.5二、填空题7．设偶函数f (x )在),0[+∞上为减函数，则不等式f (x )> f (2x+1) 的解集是 . 8．已知f (x )与g (x )的定义域是{x|x ∈R ，且x ≠±1}，若f (x )是偶函数，g(x )是奇函 数，且f (x )+g(x )=x-11，则f (x )= ，g(x )= . 9．若函数f (x )=4x 3－ax +3的单调递减区间是)21,21(-，则实数a 的值为 .10．已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数f (x )是偶函数，并且在（－∞，0）上是增函数，若f (－3)=0，则不等式)(x f x<0的解集是 . 三、解答题：11．已知∈++=c b a cbx ax x f ,,(1)(2Z ）是奇函数，又f (1)=2，f (2)<3, 求a ,b ,c 的值. 12．设定义在R 上的偶函数f (x )又是周期为4的周期函数，且当x ∈[－2，0]时f (x )为增函数，若f (－2)≥0，求证：当x ∈[4，6]时，| f (x )|为减函数.13．设f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足f (－a 2+2a －5)<f (2a 2+a +1), 求实数a 的取值范围. 14．若a >0，求函数)),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.15．设函数)0(1)(2>-+=a ax x x f ，（I ）求证：当且仅当a ≥1时f (x )在),0[+∞内为单调函数； （II ）求a 的取值范围，使函数f (x )在区间),1[+∞上是增函数.《答案与解析》一、选择题：1．C 2．D 3．A 4．A 5．C 6．D 二、填空题： 7．x<－1或x>－31; 8．221,11x x x --; 9．3; 10．(－3,0)∪（3，+∞） 三、解答题11．∵f (x )为奇函数，∴f (－x )=－f (x )，.1221)1(,1)(,011222-=⇒=+=∴+=∴=⇒--=+-⇒--+=+-+∴b a b a f bx ax x f c c bx c bx c bx ax c bx ax ,2300232321)12(4,3)2(,1)12()(2<<⇒<-⇒<+-∴<+-=b b b b b f bx x b x f ∵a,b, c, ∈Z ，∴b=1, ∴a =1, 综上 ，a =1, b=1, c=0.12．[证明]这是“抽象”函数问题，应熟练运用奇偶性、周期性、单调性的定义证明. 在[4，6]内任取x 1、x 2，设4≤x 1<x 2≤6,.|)(|,]6,4[|,)(||)(|,0)()(|)(||)(|,64,0)()(),()(,0)()(),()4(,0)2()4()4(,]0,2[)(,04422121212121212112为减函数时故当即有时当内为增函数在x f x x f x f x f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f f x f x f x f x x ∈>>-=-≤<≤∴≥>∴=-≥->-∴=+≥-≥+->+-∴-≤+-<+-≤-∴13．∵)(x f 为R 上的偶函数，,087)41(212,04)1(52),12()52(),52()]52([)52(222222222>++=++>+-=+-++<+-∴+-=-+--=-+-∴a a a a a a a a f a a f a a f a a f a a f 而不等式等价于∵)(x f 在区间)0,(-∞上单调递增，而偶函数图象关于y 轴对称， ∴)(x f 在区间（0，+∞）上单调递减，,140431252)12()52(22222<<-⇒<-+⇒++>+-++<+-∴a a a a a a a a a f a a f 得由∴实数a 的取值范围是（－4，1）. 14．,121)(ax xx f +-=' ,0)42(0)(,)(22121,0)(222>+-+⇔>'∴+<⇔+<⇔+>>'a x a x x f a x x a x x a x xx f 得令),1(164)42(,0)42(0)(,2222a a a a x a x x f -=--=∆<+-+⇔<' 同样（1）当a .>1时，对x ∈（0，+∞）恒有)(x f '>0，∴当a .>1时，f (x )在（0，+∞）为增函数；（2）当a =1时，f (x )在（0，1）及（1，+∞）内都是增函数，而f (x )在x=1处连续，∴f (x )在（0，+∞）内为增函数；（3）当0<a <1时，△>0，解方程x 2+(2a －4)x +a 2=0.)122,122(,),122()122,0()(,0122,0,122,12221221内为减函数而在内都是增函数与在而显然有得a a a a a a a a x f aa a x x a a x a a x -+----+∞-+----∴>-+-=>-+-=---=15．（I ）a x x x f -+='1)(2，①当;),0[)(,11||1,122上单调递增在时+∞∴≤<+≤+≥x f a x x x x a②当0<a <1时，由f ′(x )<0,得;101022aa x x a x -<≤⇒+<≤由f ′(x )>0得;1122aa x x a x ->⇒+>∴当0<a <1时，f (x )在),1(,)1,0[22+∞--aa aa 而在为减函数，为增函为函数，∴当0<a <1时，f (x )在 ),0[+∞上不是单调函数；（另证）令f (x ) =12212212,00]2)1[(11aa x x a x a x ax x -==⇒=--⇒+=+⇒当0<a <1时，f (x )在 ),0[+∞上存在两点x 1=0 或2212a ax -=使f (x 1)= f (x 2)=1，故f (x )不是单调函数.综上，当且反当a ≥1时f (x )在),0[+∞上为单调函数. （II ）由（I ）①知当a ≥1时f (x )单调递减，不合； 由②知当f (x )在),1[+∞上单调递增等价于：,112≤-aa220≤<∴a ，即a 的取值范围是].22,0(。
函数的简单性质-单调性
求最值
求函数最大值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最大值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最小值。
求函数最小值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最小值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最大值。
对于函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$，其导数为$f'(x) = 3x^{2} - 6x$。要使$f(x)$在区间$( - infty,a)$上是 增函数，需要满足$f'(x) > 0$，即$3x^{2} - 6x > 0$， 解得$x < 0$或$x > 2$。因此，当$a < 0$或$a > 2$ 时，函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$在区间$( infty,a)$上是增函数。
反例应用
在研究经济发展时，需要考虑到各种因素对经济的影响，包括政策、技术、人口等。通过 找到单调性的反例，可以更全面地了解经济发展的实际情况，为政策制定提供更有针对性 的建议。
06 习题与解答
习题
判断函数$f(x) = x^{2} - 2x$在 区间$( - infty,a)$上是减函数的
条件是什么？
单调性与奇偶性的关系
总结词
函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质，而单调性是指函数值随自变量变化的 趋势。虽然奇偶性和单调性是函数的两种不同性质，但它们之间也存在一定的关系。例 如，奇函数在对称轴两侧的函数值是相等的，因此奇函数在对称轴两侧的单调性是一致
的。
详细描述
对于奇函数，如果它在某个区间内单调递增，那么它在该区间内关于原点对称的区间内 也单调递增；同样地，如果奇函数在某个区间内单调递减，那么它在该区间内关于原点 对称的区间内也单调递减。而对于偶函数，由于其图像关于y轴对称，因此偶函数在任
常用函数的象和性质
常用函数的象和性质函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域中。
在数学中，我们常常需要通过函数的象来研究函数的性质。
本文将介绍几种常用函数的象和性质，帮助读者更好地理解和应用这些函数。
一、线性函数线性函数是最简单的一类函数，形式为f(x) = ax + b，其中a、b为常数，且a不等于0。
线性函数的象是全部实数集R，即f(x)的取值范围是全体实数。
线性函数的性质如下：1. 斜率：线性函数的斜率为常数a，表示函数图像的倾斜程度。
斜率为正时，函数图像向上倾斜；斜率为负时，函数图像向下倾斜。
2. 截距：线性函数的截距为常数b，表示函数图像与y轴的交点。
截距为正时，函数图像在y轴上方；截距为负时，函数图像在y轴下方。
3. 单调性：线性函数的单调性与斜率的正负有关。
当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。
二、二次函数二次函数是一类常见的函数，形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的象取决于a的取值。
1. 当a>0时，函数图像开口向上，象是一条抛物线的上半部分。
函数的最小值为c，即f(x) >= c，c为二次函数的顶点坐标。
2. 当a<0时，函数图像开口向下，象是一条抛物线的下半部分。
函数的最大值为c，即f(x) <= c，c为二次函数的顶点坐标。
3. 对称性：二次函数的图像关于顶点对称。
即若点(x,y)在图像上，则点(2a-x,y)也在图像上。
三、指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a>0且a≠1。
指数函数的象和性质取决于底数a的取值。
1. 当0<a<1时，函数图像递减，趋近于x轴上的正半轴。
函数的象是(0,正无穷)，即正数的全体。
2. 当a>1时，函数图像递增，趋近于x轴上的负半轴。
函数的象是(负无穷,正无穷)，即实数集R。
3. 性质：指数函数有如下重要性质：- a^0 = 1，即任何数的0次幂等于1。
一次函数的性质及应用
一次函数的性质及应用一次函数，也称为线性函数，是数学中较为简单而重要的函数类型之一。
它的一般形式可以表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a 表示直线斜率，b 表示直线与 y 轴的截距。
一次函数在数学中有着广泛的应用，本文将介绍一次函数的性质及其在实际问题中的应用。
1. 一次函数的性质一次函数的性质主要包括直线斜率和截距的关系，直线的特殊情况以及函数图像的特点。
1.1 直线斜率和截距的关系在一次函数 y = ax + b 中，直线的斜率 a 决定了直线的倾斜程度，截距 b 决定了直线在 y 轴上的位置。
当 a > 0 时，直线向右上方倾斜；当 a < 0 时，直线向左上方倾斜；当 a = 0 时，直线平行于 x 轴。
截距 b 则表示直线与 y 轴的交点在 y 轴上的位置，当 b > 0 时，交点在 y 轴上方；当 b < 0 时，交点在 y 轴下方；当 b = 0 时，交点位于原点。
1.2 直线的特殊情况一次函数中存在两种特殊的情况，即水平和竖直线。
当直线平行于 x 轴时，斜率 a = 0，此时直线呈水平姿态。
水平直线的一般形式为 y = b，其中 b 为直线与 y 轴的交点在 y 轴上的位置。
当直线平行于 y 轴时，斜率不存在，此时直线呈竖直姿态。
竖直直线的一般形式为 x = c，其中 c 为直线与 x 轴的交点在 x 轴上的位置。
1.3 函数图像的特点一次函数的图像呈现直线的形式。
根据直线的性质，我们可以得出以下结论：a) 当a ≠ 0 时，直线是无限延伸的；b) 当 a = 0 时，直线是水平的，长度可能有限也可能无限；c) 当 b = 0 时，直线经过原点。
2. 一次函数的应用一次函数在实际问题中有着广泛的应用，其中包括数学、物理、经济等各个领域。
2.1 数学领域在数学中，一次函数常用于解决线性方程组的问题。
线性方程组可以通过一次函数的表示转化为直观易懂的图像，从而得出解的意义和解的性质。
数学高一(上)沪教版(函数的性质--单调性(一))教师版
，(1,0-，()0,1，1,+∞⎡⎣b a ⎤⎥⎦，,0b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,b a ⎛- ⎝，⎡-⎢⎣上单调递增（减），则数()f x 在区间[],b --上单调递增（减）； 上单调递增（减），则数)在区间[]-上单调递减（增）。
【注意】书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭【典型例题分析】例1、判断函数()21xf x x =-在区间()1,1-上的单调性。
【解析】利用函数的单调性的定义判读即可。
【答案】()21xf x x =-在区间()1,1-上单调递减。
变式练习1：已知()3f x x x =+，判断()f x 在(),-∞+∞上的单调性，并证明。
【解析】直接利用函数单调性的定义判断。
【答案】()f x 在(),-∞+∞是增函数【点拨】用定义研究函数的单调性时，所取12,x x 应是指定区间上的任意两值，对差()()12f x f x -的变形主要有因式分解或配方、通分、分子有理化等方法，确定差的符号时要注意12,x x 的所在范围，另外，有字母系数（即参数）的要注意字母对单调性的影响（如y kx b =+）变式练习2：证明：函数()1f x x x=+在()0,1上是减函数。
证明略例2、求下列函数的单调区间 （1）()210y x x x =+< （2）221x y x -=+ （3）223y x x =-++ 【解析】 利用常见函数的单调性及函数图像求解 【答案】（1）单调减区间(),0-∞ （2）单调增区间()()1,,,1-+∞-∞- （3）单调增区间为]([],1,0,1-∞- 单调减区间为[])1,0,1,-+∞⎡⎣例3、已知()f x 为偶函数，且当x ∈)0,+∞⎡⎣时单调递减，求()22f x x -()1x ≤的单调区间。
【解析】根据外层函数的单调区间，对内层函数的单调区间进行相应分段。
一次函数揭秘一次函数的定义和性质
一次函数揭秘一次函数的定义和性质一次函数揭秘：一次函数的定义和性质一次函数，也称为线性函数，是数学中最简单、最重要的函数之一。
它的函数表达式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是实数，并且a ≠ 0。
本文将深入探讨一次函数的定义和性质，帮助读者更好地理解和应用一次函数。
一、一次函数的定义一次函数是指其函数图像为一条直线的函数。
在一次函数的函数表达式中，x 是自变量，y 是因变量。
其中，a 代表斜率，决定了函数图像的斜率和方向；b 代表截距，决定了函数图像与 y 轴的交点位置。
当a > 0 时，函数图像呈现正斜率，向上倾斜；当 a < 0 时，函数图像呈现负斜率，向下倾斜。
二、一次函数的性质1. 变化率恒定：一次函数的斜率 a 表示了函数图像的变化率。
具体来说，a 的绝对值越大，函数图像变化的速率就越快；a 的绝对值越小，函数图像变化的速率就越慢。
当 a = 0 时，函数图像为一条水平直线，不变化。
2. 函数图像经过定点：一次函数的截距 b 决定了函数图像与 y 轴的交点位置。
当 b = 0 时，函数图像经过原点；当b ≠ 0 时，函数图像与y 轴有一个截距点。
这个截距点的纵坐标为 b，横坐标为 0。
3. 一次函数的图像特点：一次函数的图像是一条直线，具有直线的一些特点。
例如，两点确定一条直线，可以利用函数图像上的两个点得到函数的具体表达式；一次函数的图像关于 y 轴对称，可以通过将 x 取负得到关于 y 轴对称的点，并连接这两个点得到函数图像。
三、一次函数的应用1. 行程与距离关系：一次函数可以应用于行程与距离之间的关系。
例如，当一个物体以一定速度匀速运动时，其行进的距离与时间的关系可以用一次函数来表示。
2. 成本与产量关系：一次函数也可以应用于企业的成本与产量之间的关系。
例如，当产量固定的情况下，成本可以通过一次函数来表示，这样就可以帮助企业进行成本控制和预测。
3. 温度变化关系：一次函数还可以应用于温度变化之间的关系。
函数的基本性质-1.3.1单调性与最大(小)值-学生用
三人行学堂学科老师个性化教案教师 陈永福学生姓名上课日期 上课时段 年 月 日 到 学科数学年级高一（上） 必修一类型新课讲解□ 复习课讲解□教学目标教学内容 单调性与最大（小）值学习问题解决1、函数单调性的证明及判断方法2、由函数的单调性求参数的取值范围3、由函数的单调性解不等式4、求函数的最大（小）值知识清单1、增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数f （x ）的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的 两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 <x 2时结论 那么就说函数f(x)在区间D 上是 函数 那么就说函数f(x)在区间D 上是函数图示2、如果函数)(x f y =在区间D 上是 函数或 函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数)(x f y =的 。
3、函数的最大（小）值一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足 （1）对于任意的I x ∈，都有 （1）对于任意的I x ∈，都有 （2）存在I x ∈0，使得 （2）存在I x ∈0，使得 那么就称M 是函数)(x f y =的最大值 那么就称M 是函数)(x f y =的最小值方法探究一、函数单调性的证明及判断方法 方法点拨1、函数单调性的证明：现阶段只能用定义证明，其步骤为（1）取值：设x 1，x 2为该区间内任意两个自变量的值，且x 1 <x 2；（2）作差变形：作差f(x 1)-f(x 2)，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （4）作结论：根据定义作出结论；其中最关键的步骤为作差变形，在变形时一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方式，直到符号判断水到渠成。
2、函数单调性的判断方法（1）图像法：先作出函数图象，利用图象直观判断函数单调性；（2）直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接判断它们单调性。
高中数学必修1函数的基本性质
高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
14、可测函数定义及简单性质(一)
ⅱ）f(x)在集合E上连续
注3
ⅰ’）定义在集合E 上的实函数 f(x) 在一点连续的定义 设f(x)为E上有限实函数， 若∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得f ( N （x0，δ） ∩ E) ⊂ N （f (x0 )，ε）
思考
若集合 E是孤立点集, 则定义在集合 E上的实函数 f(x)在E上连续吗?说明理由. 当E=(a，b)时,与数分中连续的定义一样
注1 由定义，函数可测讨论的是集合可测——实函中函数的讨论方法主要是集合分析法
)，若 ∀a ∈ R, E[ f ≥ a] 可
2、 可测函数举例
例1(104页7) 设f(x)是 R 1 中的可测子集E上的单调函数，证明： f(x) 在E上 可测。
证：不妨设f ( x)单增，对∀a ∈ R, 则 inf { x | f ( x) ≥ a, x ∈ E} = xa
3）证明定理3 当f(x)既是 E1 上又是 E2 的可测函数， f(x)也是 E1 ∪ E上 的可测函数 2
证明：
记E = E1 ∪ E2
由E[ x | f ( x) ≥ a] = E1[ x | f ( x) ≥ a] ∪ E2 [ x | f ( x) ≥ a]
可知E[ x | f ( x) ≥ a]也为可测集
5、定理5 定义在可测集 E上的可测函数列的上下确界函数、上下极限函数必可测。 6、定理5推论2 可测函数列的极限函数若存在，则也必可测。
7、定理6 定义在可测集 E上的函数可测充要条件是它的的正部与负部函数均可测。
总结
可测函数对四则运算、绝对值运算、上下确界运算、 上下极限运算、极限运算、正负部运算等均封闭。
由 f 单调增知下面的集合为可测集
存在
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；②设()g x的定义域分别是12,D D，那么在它们f x，()的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。
（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
一次函数的图象和性质(一)教案
一次函数的图象和性质（一）教案人教版八年级上册14.2.2一次函数第二课时学校:青溪初级中学校讲课人：张青青一、教材分析：在这节课之前，学生们已经学习了函数和一次函数的概念，学习了用描点法画函数的图象。
在学习上述这些知的同时，教材其实已经为这节课做上了铺垫。
其中十四章第一节画函数图象时，所安排的例题、习题、练习题中，学生大部分都是在画一次函数的图象。
数形结合是数学研究的重要方法，通过这节课的教学，学生们将进一步体会这一十分重要的数学思想。
所以整个这节课在教材中占有着承上启下的重要地位。
虽然学生们在上这节课之前已经学习了相关的基础知识，但由于我校学生的抽象归纳能力较差，所以在教学中应尽可能多地让学生动手操作，仔细观察所画图象，从而自主探究出一次函数的主要性质。
二、教学目标：1、知识技能：会选取两个适当的点画一次函数的图象并能结合图象探究出一次函数的性质。
2、过程与方法:通过培养学生观察、比较、抽象和概括的能力，向学生渗透“数形结合”的思想，同时也培养学生交流与合作的能力。
3、情感目标：通过学生在学习活动中获得成功的体验，增强学生学习数学的自信心。
三、重点与难点：重点：一次函数的图象及性质。
难点：由一次函数的图象探究出一次函数的性质。
四、教学方法：我采用自主探究→合作交流式教学，让学生动手操作，主动去探索，小组合作交流。
而互动式教学将顾及到全体学生，让全体学生都参与，达到优生得到培养，后进生也有所收获的效果。
五、教学准备：课件、学案六、教学过程（一）设疑，导入（2分钟）师：同学们，上节课我们学习了一次函数，你能说出一次函数的基本形式吗？师：（同学们回答的都很好）一次函数的一般形式是:y=kx+b（其中k、b为常数，k≠0）。
那么一次函数的图象是什么形状呢？它有哪些主要的性质呢？这节课让我们一起来研究“一次函数的图象和性质”。
（板书）（二）自主探究——小组交流、归纳 (30分钟)1、师：（出示幻灯片）问（1）（2分钟）：请同学们仔细观察我们以前画过的这四个函数（y=2x,y=2x+4,y=2x-4,y=x+4）的图象，并分组讨论这些函数都是什么函数？它们的图象都是什么形状？生：小组汇报：这些函数都是一次函数，它们的图象都是一条是直线。
函数的性质、奇偶性、最值和二次函数的解析法
函数的性质、奇偶性、最值和二次函数的解析法1．函数：⑴函数：一般地，设,A B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么，这样的对应叫做A B 到的一个函数，通常记为：(),y f x x A =∈其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域。
⑵值域：若()A y f x =是函数的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对立，我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域。
⑶列表法、解析法、图象法是函数的常用方法：用列表法表示函数关系，不必通过计算就可以知道自变量取某个值时，相应的函数值是多少；用解析法表示函数关系，便于用解析式研究数的性质；而用图象法表示函数关系，可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况。
2．函数的简单性质：⑴单调性：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ＜那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间。
如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x ＜，都有12()()f x f x ＞那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间。
⑵最大值及最小值：一般地，设()y f x =的定义域为A ，如果存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，都有 0()()f x f x ≤那么称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =如果存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，都有0()()f x f x ≥那么称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =⑶奇偶性：①对于函数2()f x x =，当自变量取一对相反数时，它们的函数值相等。
高中数学：函数的基本性质
⾼中数学：函数的基本性质⼀、知识点1、函数（1）了解构成函数的要素，会求⼀些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的⽅法（如图象法、列表法、解析法）表⽰函数．（3）了解简单的分段函数，并能简单应⽤．（4）理解函数的单调性、最⼤（⼩）值及其⼏何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．（5）会运⽤函数图象理解和研究函数的性质．2、指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景．（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．（3）理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．（4）知道指数函数是⼀类重要的函数模型．3、对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道⽤换底公式能将⼀般对数转化成⾃然对数或常⽤对数；了解对数在简化运算中的作⽤．（2）理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点。
（3）知道对数函数是⼀类重要的函数模型．（4）了解指数函数与对数函数互为反函数．4、幂函数（1）了解幂函数的概念（2）结合函数的图象，了解它们的变化情况．5、函数与⽅程（1）结合⼆次函数的图象，了解函数的零点与⽅程根的联系，判断⼀元⼆次⽅程根的存在性及根的个数．（2）根据具体函数的图象，能够⽤⼆分法求相应⽅程的近似解．6、函数模型及其应⽤（1）指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．（2）函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）在社会⽣活中普遍使⽤的函数模型）的⼴泛应⽤．⼆、点拨：1、关于映射和函数的基本概念在应⽤时应注意把重点放在它们的⼏个要素上，从定义⼊⼿，其规律⽅法是：（1）映射的定义是有⽅向性的，即从集合A到B与从集合B到A的映射是两个不同的映射，映射是⼀种特殊对应关系，只有⼀对⼀、多对⼀的对应才是映射。
（2）函数的定义有两种形式，都描述了定义域、值域和从定义域到值域的对应法则。
数学七大函数的性质
1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
2.1.3函数的简单性质——单调性(第一课时)
苏教版高中数学教材必修1
第2章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.1.3 函数的简单性质 10 T(C°) 8 6 4 2 O −2 2 4 6
创设情境
8 10 12 14 16 18 20 22 24 t(时刻) (时刻)
如图，气温 是关于时间 的函数，记为T＝ ． 是关于时间t的函数 如图，气温T是关于时间 的函数，记为 ＝f(t)． （1）怎样描述这一天内气温随时间变化而变化的情况？ ）怎样描述这一天内气温随时间变化而变化的情况？ （2）怎样用数学语言来刻画上述时间段内“随着时间 ）怎样用数学语言来刻画上述时间段内“ 的增加，气温逐渐升高或是下降”这一特征？ 的增加，气温逐渐升高或是下降”这一特征？ （3）在区间上，气温是否随时间增加而增大？ ）在区间上，气温是否随时间增加而增大？
第2章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.1.3 函数的简单性质
例题讲解
1 求证： 在区间(－ ， 例2 求证：函数 f(x)＝－ －1在区间 －∞，0) ＝－ 在区间 x 上是单调增函数． 上是单调增函数．
证明：任取 证明：任取x1＜x2＜0，则 ， f(x2)－f(x1)＝(－ － ＝－
1 1 －1)－(－ －1) －－ x2 x1 1 x2－x1 1 ＝ － ＝ ． x1 x1x2 x2
＋ ＞ ， x1 x2 0，
所以f(x － 在定义域上是减函数． 所以 2)－f(x1)＜0，所以 ＜ ，所以f(x)在定义域上是减函数． 在定义域上是减函数
苏教版高中数学教材必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.1.3 函数的简单性质
课堂训练
1 课后探究：求函数f(x)＝x+ 的单调区间． 课后探究：求函数 ＝ （x>0)的单调区间． 的单调区间 x
高考数学总复习：函数的概念与性质
高考数学总复习：函数的概念与性质知识网络目标认知考试大纲要求：1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3. 了解简单的分段函数，并能简单应用．4. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．5. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．重点：会求一些简单函数的定义域和值域，理解分段函数及其简单应用，会运用函数图象理解和研究函数的性质。
难点：分段函数及其简单应用；运用函数图象理解和研究函数的性质．知识要点梳理知识点一：函数的概念1.映射设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f：A→B。
理解：（1）映射是从集合A到集合B的“一对一”或“多对一”两种特殊的对应.（2）映射中的两个集合可以是数集，点集或其它集合.（3）集合A到集合B的映射f：A→B是一个整体,具有方向性；f：A→B 与f：B→A 一般情况下是不同的映射.（4）给定一个集合A到集合B的映射f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有f：a→b,则b叫做a的象,a叫做b的原象.（5）映射允许集合B中的元素在集合A中没有原象.2.函数的定义（1）传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一X围内x 的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).（2）现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值X围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合C=｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域.理解：①集合A、B是两个非空数集；②f表示对应法则；③f：A→B为从集合A到集合B的一个映射；④值域C B。
2.1.3函数的简单性质(1)
2.1.3函数的简单性质(1)---单调性一、教学目标1、会用函数图象判断函数是递增还是递减。
2、理解函数单调性，能判别或证明一些简单函数的单调性3、注意单调性是在函数定义域内或其子集内讨论的二、学习过程第一部分：阅读教材，完成下列问题1、一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆⑴如果对于区间I 内的______两个值1x 、2x ，当21x x <时，都有___________，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调递增函数，I 称为)(x f y =的_____________. ⑵如果对于区间I 内的_____两个值1x 、2x ，当21x x <时，都有____________，那么就说)(x f y =在区间I上是单调递增函数，I 称为)(x f y =的_____________. 2、如果函数)(x f y =在区间I 上是单调递增函数或单调递减函数，那么就称)(x f y =在区间I 上具有___________。
函数的单调递增区间函和单调递减区间统称为__________________。
第二部分：例题自学例1、画出下列函数图像，并指出单调区间：⑴、22+-=x y ； ⑵11+=x y ⑶12-=x y例2、⑴求证：函数111--=x y 在区间()1,∞-是单调减函数； ⑵求证：函数x x y +-=2在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,是单调增函数；总结：证明函数的单调性的步骤是什么？第三部分：练习1、函数b x k k x f ++-=)23()(2在R 上是减函数，则k 的取值范围___________; 2、函数122-+=x x y 的单调递减区间____________________3、函数⎩⎨⎧<>=)0.....()0.....(2x x x x y ，则函数单调递减区间____________________,单调递增区间_____________________;4、画函数图像，指出单调区间⑴、22-=x y ⑵x x y 1+=5、32)(2+-=mx x x f 在[)∞+-，2上是增函数，在(]2-∞-，上是减函数，是比较)1(-f 与)1(f 的大小7、求证：函数)0(,3<+=a b ax y 在R 上为减函数8、求函数13+--=x x y 的单调减区间.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的简单性质（1）
教学目标：
1．在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上，进一步感知函数的单调性，并能结合图形，认识函数的单调性；
2．通过函数的单调性的教学，渗透数形结合的数学思想，并对学生进行初步的辩证唯物论的教育；
3．通过函数的单调性的教学，让学生学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．
教学重点：
用图象直观地认识函数的单调性，并利用函数的单调性求函数的值域． 教学过程：
活动【一】问题情境
如图〔课本37页图2-2-1〕，是气温关于时间t 的函数，记为＝f (t)，观察这个函数的图
象，说出气温在哪些时间段内
是逐渐升高的或是下降的？
问题：怎样用数学语言刻画上述时间段内〝随时间的增大气温逐渐升高〞这一特征？
结合图2―2―1，说出该市一天气温的变化情况；
活动【二】数学建构
1．增函数与减函数：
一般地，
2．函数的单调性与单调区间：
单调增区间与单调减区间统称为单调区间．
注：一般所说的函数的单调性，就是要指出函数的单调区间，并说明在区间上是单调增函数还是单调减函数． t /h /℃ 10 8 6 4 2 －2 2 4 24 14
活动【三】数学运用
例1〔教材例1〕 画出以下函数的图象，结合图象说出函数的单调性．
1．y ＝x2＋2x －1 2．y ＝2x 例2〔教材例2〕 求证：函数f(x)＝－1x －1在区间(－∞，0)上是单调
增函数．
练习：说出以下函数的单调性并证明．
1．y ＝－x2＋2 2．y ＝2x ＋1
活动【四】回顾小结
六、作业
课堂作业：课本44页1，3两题．。