动量方程及其应用分析

辽宁工程技术大学力学与工程学院

流体力学综合训练（二）

题目动量方程式及其应用

班级工力13-3班

赵永振吕周翔顾鹏

姓名

李壮张敬尧陈锦学

指导教师吴迪

成绩

辽宁工程技术大学

力学与工程学院制

1

目录

1动量方程能解决流体中的问题 (1)

1.1用欧拉方法推导动量方程式 (1)

1.2特殊情况下的动量方程 (2)

2动量方程式在实际中的应用 (2)

2.1水力真空喷射泵 (2)

2.2轮船、火箭 (4)

参考文献 (6)

引言：动量方程式是根据牛顿第二定律及N-S 方程推导出来的，是以微分形式

表示的质点运动方程。动量方程式是通过质点系动量变化率的办法计算求解，是求解流体力学问题的又一条途径。该方程式在水利、航天、工业等工程方面都有应用。

一、用欧拉方法表示的动量方程式 1.1用欧拉方法推导动量方程式

在流场中，选择控制体（固定）如图中虚线所示,一部分与固体边界重合,在某一瞬时t,控制体内包含的流体是我们要讨论的质点系，设控制体内任一质点的速度为v, 密度为ρ。在t 瞬时的初动量为t

V

vdV ][⎰⎰⎰ρ经过△t ，质点系运动到实线位置，这个质点系在t+△t 瞬时的末动量为：

原来质点系尚留在控制 图1 动量方程式 体中的部分及新流入控 （I ）部分通过A1面非 （II ）部分通过A2 制体的总动量。 原质点系的流入动量 面流出的动量 ↓ ↓ ↓

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑⋅+

∂∂=-⋅∆+∆==∆+→∆A V

V

t A V

t t t dA v

v vdV t

vdV dA v v t vdV t dt mv d F )

(}][)(]{[1lim )(0ρρρρρ对于控制体的全部控制面:

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑⋅+∂∂

=-⋅∆+∆==

∆+→∆A

V

V

t A V t t t dA v v vdV t

vdV dA v v t vdV t

dt

m v d F )

(}

][)(]{[1

lim

)

(0ρρρρρ 这就是用欧拉方法表示的动量方程式，这个方程式既适用于控制体固定的情况，也适用于控制体运动的情况。在运动时需将速度v 换成相对速度，

并在控制

体上加上虚构的惯性力。

1.2特殊情况下的动量方程

特例：常见的定常、不可压缩、一元流动时，方程式可以简化的很简单。 如图所示，把流线方向取为自然坐标s ，取如图控制体，则总控制面上只有A1，A2上有动量流入流出，假设断面上平均速度为v1,v2,则在定常不可压缩

)

()()(121211221

2

v v q v v q dA

v v dA v v dA v v F v v A A A

s

-≈-=-=⋅=⎰⎰⎰⎰

∑ρβρρρρ⎰⎰⎰⎰⎰∑⋅+∂∂=

A

V

dA v v vdV t

F )

(ρρ

式中β为用平均速度计算动量而引起的动量修正系数，β取1

在三个坐标轴上的投影式:

)

()()(121212z z v z

y y v y x x v x v v q F v v q F v v q F -=-=-=∑∑∑ρρρ 二、动量方程式的应用

2.1水力真空喷射泵 图2 一元流流管

按水在水力真空喷射泵系统申前派动状态, 属于非理想流体。喷嘴流量和流速取决于水泵的轴功率、骨路特性和汽室真空度等因素。喷射水流在汽室将绝大部分蒸汽凝结成水, 同时把不凝气体和微量未被冷凝的蒸汽滋合压缩, 一井通过文丘里管的喉部, 经由尾管落入冷凝水池。尾管直径一般是文氏管喉部直径的1.1至1.3倍。低位安装的尾管直径较高位安装的略小。尾管里的下落水流有气体, 若与大气相通,可能发生气体被倒吸入汽室, 降低真空度或破坏真空的现象。安装时, 一般将尾管插入冷凝水池的水面以下, 形成水封。

设低位安装总高2 m ，尾管高1m ； 高位安装总高12m 和22m 。尾管高分别为11 m 和 21m 。 使用局一型号的离心水泵和与之配套的电动时，不同的管路特性，其轴功率以及流量、流速各不相同。

不同的安装高度要求的喷嘴直径也有差

异，一般低位安装喷嘴直径较小，以获得较高的水贡射速度。高位安装时喷嘴直径相应增大，以保证必要的流量。喷射器安装得越高，需求的喷嘴直经越大，流速和流量则比低位安装的相应减少。同一台离心水泵和配套电机，在汽室压力均为660mm 汞柱真空度的情况下，不同的安装高度，其喷嘴直径、喷嘴出口处的水喷射速度、流量如下表所示：

喷射器安装高度

（m）尾管高度

（cm）

喷嘴流速

（m/s）

流量

(m3/h )

2 1 24.8

55

12 11 21.35

50

22 21 15.84 46

尾管末端喷射水流速度 (1)

可以认为下落水流速度必然是越落越快，这样便产生良好的抽吸作用。尾管越高水流速度越快，抽吸作用越良好，水力真空喷射泵的抽吸作用主要取决于汽室中喷嘴喷出的射流速度。

由于汽室真空引力的存在，当其数值大于地球引力时，喷射水流的下落过程就变成为匀减速运动。所以，按垂直下落物体的运动方程 (1) 式及其重力加速度g=9.8，计算得出的尾管末端水流的终了速度，必然不是正确的结果。为了方便计算，水流的速度，仍须按能量守恒的柏努利方程来计算。当尾管高度分别为1m 、11 m、21 m 时, 冷却水温取30，汽室压力在660 mm汞柱真空度下; 按柏努利方程进行计算，其相对应的尾管末端喷射水流的速度分别为：

显而显见，尾管越高，下落水流速度不是越快，而是越慢，对抽吸作用自然也不会产生什么影响。根据以上得出的流速，根据动量方程计算，不同安装高度尾管出口处下落水流的动量分别为: