动量方程及其应用分析

辽宁工程技术大学力学与工程学院
流体力学综合训练（二）
题目动量方程式及其应用
班级工力13-3班
赵永振吕周翔顾鹏
姓名
李壮张敬尧陈锦学
指导教师吴迪
成绩
辽宁工程技术大学
力学与工程学院制
1
目录
1动量方程能解决流体中的问题 (1)
1.1用欧拉方法推导动量方程式 (1)
1.2特殊情况下的动量方程 (2)
2动量方程式在实际中的应用 (2)
2.1水力真空喷射泵 (2)
2.2轮船、火箭 (4)
参考文献 (6)
引言：动量方程式是根据牛顿第二定律及N-S 方程推导出来的，是以微分形式
表示的质点运动方程。

动量方程式是通过质点系动量变化率的办法计算求解，是求解流体力学问题的又一条途径。

该方程式在水利、航天、工业等工程方面都有应用。

一、用欧拉方法表示的动量方程式 1.1用欧拉方法推导动量方程式
在流场中，选择控制体（固定）如图中虚线所示,一部分与固体边界重合,在某一瞬时t,控制体内包含的流体是我们要讨论的质点系，设控制体内任一质点的速度为v, 密度为ρ。

在t 瞬时的初动量为t
V
vdV ][⎰⎰⎰ρ经过△t ，质点系运动到实线位置，这个质点系在t+△t 瞬时的末动量为：
原来质点系尚留在控制 图1 动量方程式 体中的部分及新流入控 （I ）部分通过A1面非 （II ）部分通过A2 制体的总动量。

原质点系的流入动量 面流出的动量 ↓ ↓ ↓
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑⋅+
∂∂=-⋅∆+∆==∆+→∆A V
V
t A V
t t t dA v
v vdV t
vdV dA v v t vdV t dt mv d F )
(}][)(]{[1lim )(0ρρρρρ对于控制体的全部控制面:
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑⋅+∂∂
=-⋅∆+∆==
∆+→∆A
V
V
t A V t t t dA v v vdV t
vdV dA v v t vdV t
dt
m v d F )
(}
][)(]{[1
lim
)
(0ρρρρρ 这就是用欧拉方法表示的动量方程式，这个方程式既适用于控制体固定的情况，也适用于控制体运动的情况。

在运动时需将速度v 换成相对速度，
并在控制
体上加上虚构的惯性力。

1.2特殊情况下的动量方程
特例：常见的定常、不可压缩、一元流动时，方程式可以简化的很简单。

如图所示，把流线方向取为自然坐标s ，取如图控制体，则总控制面上只有A1，A2上有动量流入流出，假设断面上平均速度为v1,v2,则在定常不可压缩
)
()()(121211221
2
v v q v v q dA
v v dA v v dA v v F v v A A A
s
-≈-=-=⋅=⎰⎰⎰⎰
∑ρβρρρρ⎰⎰⎰⎰⎰∑⋅+∂∂=
A
V
dA v v vdV t
F )
(ρρ
式中β为用平均速度计算动量而引起的动量修正系数，β取1
在三个坐标轴上的投影式:
)
()()(121212z z v z
y y v y x x v x v v q F v v q F v v q F -=-=-=∑∑∑ρρρ 二、动量方程式的应用
2.1水力真空喷射泵 图2 一元流流管
按水在水力真空喷射泵系统申前派动状态, 属于非理想流体。

喷嘴流量和流速取决于水泵的轴功率、骨路特性和汽室真空度等因素。

喷射水流在汽室将绝大部分蒸汽凝结成水, 同时把不凝气体和微量未被冷凝的蒸汽滋合压缩, 一井通过文丘里管的喉部, 经由尾管落入冷凝水池。

尾管直径一般是文氏管喉部直径的1.1至1.3倍。

低位安装的尾管直径较高位安装的略小。

尾管里的下落水流有气体, 若与大气相通,可能发生气体被倒吸入汽室, 降低真空度或破坏真空的现象。

安装时, 一般将尾管插入冷凝水池的水面以下, 形成水封。

设低位安装总高2 m ，尾管高1m ； 高位安装总高12m 和22m 。

尾管高分别为11 m 和 21m 。

使用局一型号的离心水泵和与之配套的电动时，不同的管路特性，其轴功率以及流量、流速各不相同。

不同的安装高度要求的喷嘴直径也有差
异，一般低位安装喷嘴直径较小，以获得较高的水贡射速度。

高位安装时喷嘴直径相应增大，以保证必要的流量。

喷射器安装得越高，需求的喷嘴直经越大，流速和流量则比低位安装的相应减少。

同一台离心水泵和配套电机，在汽室压力均为660mm 汞柱真空度的情况下，不同的安装高度，其喷嘴直径、喷嘴出口处的水喷射速度、流量如下表所示：
喷射器安装高度
（m）尾管高度
（cm）
喷嘴流速
（m/s）
流量
(m3/h )
2 1 24.8
55
12 11 21.35
50
22 21 15.84 46
尾管末端喷射水流速度 (1)
可以认为下落水流速度必然是越落越快，这样便产生良好的抽吸作用。

尾管越高水流速度越快，抽吸作用越良好，水力真空喷射泵的抽吸作用主要取决于汽室中喷嘴喷出的射流速度。

由于汽室真空引力的存在，当其数值大于地球引力时，喷射水流的下落过程就变成为匀减速运动。

所以，按垂直下落物体的运动方程 (1) 式及其重力加速度g=9.8，计算得出的尾管末端水流的终了速度，必然不是正确的结果。

为了方便计算，水流的速度，仍须按能量守恒的柏努利方程来计算。

当尾管高度分别为1m 、11 m、21 m 时, 冷却水温取30，汽室压力在660 mm汞柱真空度下; 按柏努利方程进行计算，其相对应的尾管末端喷射水流的速度分别为：
显而显见，尾管越高，下落水流速度不是越快，而是越慢，对抽吸作用自然也不会产生什么影响。

根据以上得出的流速，根据动量方程计算，不同安装高度尾管出口处下落水流的动量分别为:
假定尾管直径均为 3. 7c m , 不同安装高度尾管末端下落水流的冲击压强分别为:
用喷射水流末端的冲击压强P与尾管水柱静压强R 之和，同汽室真空形成的负压f进行比较，便能判断回水与否，即能不能发生冷却水倒流入罐的现象。

水力真空喷射泵的工作状态，不发生回水的必要条件是 :P + R + f >0
当汽室真空度为660mm汞柱时，负压; 达到最高真空度760mm 汞柱时，负压在300水温的相同条件下，不同尾管高度水柱的静压强分别为：
显然，水力真空喷射泵系统在正常工作状态，无论低位安装还是高位安装，其喷射水流末端的冲击压强P与尾管水柱静压强R之和，均大于汽室真空形成的负压的绝对值，不可能发生冷却水倒流入罐的情况。

水力真空喷射泵喷嘴喷射水流的速度和尾管下落水流的速度,不是越高越快, 而是越高越慢。

其根本原因,在于管路摩擦损失的增加和能量转换导致的水室压力的降低。

低位安装比高位安装还有节省钢材. 安装、维修方便等优点。

至于可能因停电停水出现的冷却水倒流入罐间题,可以从汽室和蒸汽管路的结构等方面加以解决。

[2] 2.2.轮船、火箭
2.2.1. 轮船：
船的叶轮作用在水上，水的反作用力使船前进。

发动机本身不能引起运动，它仅是个能源，若船上有发动机而没有叶轮，那么，发动机的功率再大，船也是不能运动的。

因此，除了发动机（能源）外，有着一个介于发动机和外界某物体（如本例中的水）之间的中间机构，它与外界某物体相互作用，井承受由此产生的反作用力。

这种中间机构，通常称为推进器。

2.2.2 火箭：
利用动量定理，可求得火箭垂直向上的飞行加速度。

火箭发动机所达到的推力和速度远远超过了一般的推进方法。

这种发动机不依赖周围介质条件，在空间环境也能工作，这一特点，保证了在不同飞行速度下，发动机产生的推力不受空气接受能力的影响，而是恒定的，这也使得火箭（发动机）所能达到的飞行速度比其它任何类型发动机要高得多；其次，由于是直接反作用运动，没有中间机构，在主要的喷射通道中不存在限制工作温度的运动机构，这就决定了火箭发动机的结构简单，而所产生的推力却很大。

参考文献
[1]张也影.动量方程式及其应用.流体力学（第二版）.1999（6），180-184
[2]程润达、金淑芳.《柏努利方程在水力真空喷射泵中的应用》.1989第八期。