不等关系与不等式导学案
高中数学3.1《不等关系与不等式》导学案新人教A版必修5
?不等关系与不等式〔1〕?导学案【学习目标】1.了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；2.会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.【重点难点】比较大小的根本步骤及其应用【知识链接】复习1：写出一个以前所学的不等关系_________复习2：用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x不低于400元______________________【学习过程】※学习探究探究1：文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多小于至少大于等于不少于小于等于不多于探究2：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是_______________某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量p应不少于2.5%，蛋白质的含量q应不少于2.3%，写成不等式组就是_________________※典型例题例1 设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，那么其中不等关系有 ______________例2某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，假设单价每提高元，销售量就可能相应减少2000本.假设把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？例3某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？※动手试试练1．用不等式表示下面的不等关系：1〕a与b的和是非负数_________________2〕某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m〞_____________________(3)如图(见课本74页)，在一个面积为350的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L大于宽W的4倍练2．有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)．【学习反思】※学习小结1．会用不等式〔组〕表示实际问题的不等关系；2．会用不等式〔组〕研究含有不等关系的问题．※知识拓展“等量关系〞和“不等量关系〞是“数学王国〞的两根最为重要的“支柱〞，相比较其它一些科学王国来说，“证明精神〞可以说是“数学王国〞的“血液和灵魂〞．【根底达标】※自我评价你完本钱节导学案的情况为〔〕.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测〔时量：5分钟总分值：10分〕计分：1. 以下不等式中不成立的是〔〕.A．12B．12C．11D．122 .用不等式表示，某厂最低月生活费a不低于300元〔〕. A．a300B．a300C．a300D．a3003.ab0，b 0，那么a,b,a,b的大小关系是〔〕.A．abb a B．ab abC．a bb a D．abab用不等式表示：a与b的积是非正数___________用不等式表示：某学校规定学生离校时间t在16点到18点之间_______________________【拓展提升】某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号的帐篷中选择一种．A型号的帐篷比B型号的少5顶．假设只选A型号的，每顶帐篷住4人，那么帐篷不够；每顶帐篷住5人，那么有一顶帐篷没有住满．假设只选B型号的，每顶帐篷住3人，那么帐篷不够；每顶帐篷住4人，那么有帐篷多余．设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．2.某正版光碟，假设售20元/本，可以发10张，售价每体2元，发行量就减5000张，如价行高少何定价可使销售总收入不低于224万元?。
高中数学《不等关系与不等式》导学案
第1课时不等关系与不等式1.不等式的定义所含的两个要点(1)□01<，≤，>，≥或□02≠.(2)□03不等关系．2．比较实数a，b大小的依据(1)文字叙述如果a－b是□04正数，那么a>b；如果a－b是□05零，那么a＝b；如果a－b是□06负数，那么a<b，反之也成立．(2)符号表示a－b>0⇔a□07>b；a－b＝0⇔a□08＝b；a－b<0⇔a□09<b.(3)结论确定任意两个实数a、b的大小关系，只需确定□10它们的差a－b与0的大小关系．3．比较大小的方法(1)作差：比较数(式)的大小常用作差与□110比较．(2)作商：两数(式)为同号时，作商与□121比较．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a 不大于－2，用不等式表示为a ≥－2.( )(2)某隧道入口竖立着“限高4.0米”的警示牌，则经过该隧道的物体的高度h 应满足h <4.0.( )(3)若x 2>0，则x >0.( )(4)若x >1，则x 3＋2x 与x 2＋2的大小关系为x 3＋2x >x 2＋2.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．做一做(1)(教材改编P 74T 1(2))一桥头竖立的“限重40 t ”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使货车总重量T 不超过40 t ，用不等式表示为________．(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于3%，蛋白质的含量p 应不少于2.5%，写成不等式组就是________．(3)若x ≠1，则M ＝x 2＋y 2－2x ＋2y 的值与－2的大小关系为________． (4)x 2＋3与2x 的大小关系为________． 答案 (1)T ≤40 (2)⎩⎨⎧f ≥3%，p ≥2.5% (3)M >－2(4)x 2＋3>2x探究1 用不等式(组)表示不等关系例1 某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？解 设该校拟建的初级机房有x 台计算机、高级机房有y 台计算机，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0.8＋0.35(x －1)＝1.15＋0.7(y －1)，20≤0.8＋0.35(x －1)≤21，20≤1.15＋0.7(y －1)≤21.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，5567≤x ≤5857，271314≤y ≤29514.∵x ，y 均为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝56，y ＝28或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝58，y ＝29，即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56,28或58,29台计算机． 拓展提升将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接，应特别注意能否取等号． (3)多个不等关系用不等式组表示．【跟踪训练1】 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A ，B 含量及成本如下表：若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B.试用x ，y 表示混合食物成本c 元，并写出x ，y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ，又x ＋y ＋z ＝100，∴c ＝400＋7x ＋5y .由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56000，800x ＋400y ＋500z ≥63000 及z ＝100－x －y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.探究2 作差法比较大小例2 (1)设m ≠n ，x ＝m 4－m 3n ，y ＝n 3m －n 4，比较x 与y 的大小． (2)已知a >0且a ≠1，p ＝log a (a 3＋1)，q ＝log a (a 2＋1)，比较p 与q 的大小． 解 (1)x －y ＝(m 4－m 3n )－(n 3m －n 4) ＝(m －n )m 3－n 3(m －n ) ＝(m －n )(m 3－n 3) ＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)， ∵m ≠n ，∴(m －n )2>0.又∵m 2＋mn ＋n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＋3n 24>0，∴(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)>0. ∴x －y >0，∴x >y .(2)p －q ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1.当a >1时，a 3＋1>a 2＋1， ∴a 3＋1a 2＋1>1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0； 当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1， ∴a 3＋1a 2＋1<1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0. 综上，p －q >0，∴p >q . 拓展提升1.第(1)题通过分解因式和配方判断差的符号，第(2)题通过分类讨论判断差的符号．可以看到，用作差比较法时，判断所作差的符号常用配方法、分解因式法、分类讨论法．2．作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤第一步：作差并变形，其目标应是容易判断差的符号．变形有两种情形： (1)将差式进行因式分解转化为几个因式相乘． (2)将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断． 第二步：判断差值与零的大小关系． 第三步：得出结论．【跟踪训练2】 (1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小； (2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a 的大小．解 (1)∵x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a ，当a ＝±1时，a ＝1a ；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a . 探究3 作商法比较大小例3 已知a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小． 解 a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ， ①当a >b >0时，a b >1，a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1；②当0<a <b 时，0<a b <1，a －b <0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1.综上可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a .拓展提升作商法比较大小应注意的问题作商法：即通过判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．解[规律小结]1.用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．2.关于a≤b或a≥b的含义(1)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者a<b或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即，若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b 正确．(2)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者a>b或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即，若a>b或a＝b之中有一个正确，则a≥b 正确．3.作差法比较两个实数大小的基本步骤(1)作差．(2)变形．将两个实数作差后变形为：①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形式．(3)定号．即判定所得差是大于0，小于0，还是等于0.(4)结论．利用实数大小之间的关系得出结论．注意：变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形．4.作商法比较两个实数大小的基本步骤 (1)作商； (2)变形；(3)比较商与1的关系．注意：只有同号的两数才适用于作商法比较大小．[走出误区] 易错点⊳用不等式组表示实际问题时理解错误 [典例] 两种药片有效成分见下表：若要求至少提供12 mg 阿司匹林、70 mg 小苏打、28 mg 可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．[错解档案] 设提供A 药片x 片，B 药片y 片，则由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x ＋6y ≥28.[误区警示] 以上不等式对药品成分的限定额度是完全正确的，但是考虑到问题的实际应用性，还应保证两种药片的数量均为非负整数，这一隐含条件往往是容易被忽视的．[规范解答] 设提供A 药片x 片，B 药片y 片(x 、y ∈N )，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x ＋6y ≥28，x ≥0(x ∈N )，y ≥0(y ∈N ).[名师点津] 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤： (1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量． (2)列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)． (3)列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件).1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关答案 A解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴M >N .2．高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h ，行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式(组)表示为( )A ．v ≤120 km/h 或d ≥10 m B.⎩⎨⎧v ≤120 km/h ，d ≥10 m C ．v ≤120 km/h D ．d ≥10 m 答案 B解析 依据题意直接将不等关系转化为不等式，即v ≤120 km/h ，d ≥10 m ，注意两个不等关系必须同时成立．3．用“>、<、≥、≤”符号填空(1)(2a ＋1)(a －3)________(a －6)(2a ＋7)＋45； (2)a 2＋b 2________2(a －b －1)． 答案 (1)< (2)≥解析 (1)因为(2a ＋1)(a －3)－[(a －6)(2a ＋7)＋45]＝－6<0，所以(2a ＋1)(a －3)<(a －6)(2a ＋7)＋45.(2)因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)．4．当m >2时，m m 与2m 的大小关系是________． 答案 m m >2m解析 由于m m >0,2m >0，故可采用作商法， ∴m m 2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m . ∵m >2，∴m 2>1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m >1.即m m >2m .5．(1)当x >1时，比较x 3与x 2－x ＋1的大小； (2)已知：a <b ，1a <1b ，判定a ，b 的符号．解 (1)x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1 ＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)， 因为x >1，所以(x －1)(x 2＋1)>0， 所以x 3>x 2－x ＋1.(2)因为1a <1b ，所以1a －1b ＝b －aab <0，① 因为a <b ，所以b －a >0，②综合①②知ab <0，又因为a <b ，所以a <0<b .A 级：基础巩固练一、选择题1．某校对高一划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示为( )A.⎩⎨⎧ x ≥95，y ≥380，z >45B.⎩⎨⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎨⎧x >95，y >380，z ≥45D.⎩⎨⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 x 不低于95分，是x ≥95；y 高于380分，是y >380；z 超过45分，是z >45.2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a >1b B ．2a >2b C ．|a |>|b | D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 答案 B解析 ∵a <b ，y ＝2x 单调递增，∴2a <2b .故选B.3．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )<0 答案 C解析 ∵c <b <a ，且ac <0，∴a >0，c <0.∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A ，B ，D 均正确． ∵b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立. 故选C.4．某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对生产的某种型号的彩电降价销售，现有4种降价方案：(1)先降价a %，再降价b %； (2)先降价b %，再降价a %； (3)先降价a ＋b 2%；再降价a ＋b2%；(4)一次性降价(a ＋b )%，其中a >0，b >0，a ≠b . 上述方案中，降价幅度最小的是( )A ．方案(1)B ．方案(2)C ．方案(3)D ．方案(4)答案 C解析 设该品牌彩电的原价为“1”，降价后的彩电价格依次为x 1，x 2，x 3，x 4， 则x 1＝(1－a %)(1－b %)，x 2＝(1－b %)(1－a %)， ∴x 1＝x 2否定A ，B.x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2，x 4＝1－(a ＋b )%，x 3－x 4＝14[(a ＋b )%]2>0.故降价幅度最小的是C.二、填空题5．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216解析 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，∴0<x ≤18， 这时菜园的另一条边长为30－x 2＝15－x2. ∴菜园面积S ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意S ≥216，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216，∴题中的不等关系用不等式组表示为⎩⎨⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.6．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：________.答案a ＋mb ＋m >ab解析 ∵a ＋m b ＋m －a b ＝(a ＋m )b －a (b ＋m )(b ＋m )b ＝(b －a )m (b ＋m )b >0，∴a ＋m b ＋m >ab.答案>解析三、解答题8．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较a n＋b n与a n－1b＋ab n－1的大小．解(a n＋b n)－(a n－1b＋ab n－1)＝a n－1(a－b)＋b n－1(b－a)＝(a－b)(a n－1－b n－1)，①∵当a＞b＞0时，a n－1＞b n－1，∴(a－b)(a n－1－b n－1)＞0；②∵当0＜a＜b时，a n－1＜b n－1，∴(a－b)(a n－1－b n－1)＞0；∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，总有(a－b)(a n－1－b n－1)＞0.∴a n＋b n＞a n－1b＋ab n－1.9．若x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．解(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x2＋y2)(x－y)－(x－y)(x＋y)2＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x<y<0，∴x－y<0，xy>0，∴－2xy <0，－2xy (x －y )>0， 即(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元(x >0)，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2； 当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．B 级：能力提升练1．若a ，b ，c ，d 均为实数，使不等式a b >cd >0和ad <bc 都成立的一组值(a ，b ，c ，d )是________(只要举出适合条件的一组值即可)．答案 (2,1，－1，－2)解析 由a b >c d >0知，a ，b 同号，c ，d 同号，且a b －c d ＝ad －bcbd >0. 由ad <bc ，得ad －bc <0，所以bd <0.所以在取(a ，b ，c ，d )时只需满足以下条件即可： ①a ，b 同号，c ，d 同号，b ，d 异号；②ad <bc . 令a >0，b >0，c <0，d <0， 不妨取a ＝2，b ＝1，c ＝－1， 则d <bc a ＝－12，取d ＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求．2．设a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小． 解 ∵12log a t ＝log a t ，t ＋12－t ＝t －2t ＋12＝(t －1)22，∴当t ＝1时，t ＋12＝t ；当t ＞0且t ≠1时，t ＋12＞t . ∵当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＞log a t ＝12log a t ； 当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＜log a t ＝12log a t ； 当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .综上可知，当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .当t ＞0且t ≠1时，若a ＞1，则log a t ＋12＞12log a t ；若0＜a ＜1，则log a t ＋12＜12log a t .。
人教版高中数学高二 不等关系与不等式 同步导学案
不等关系与不等式导学（二）【学习目标】1、 复习不等式的基本性质2、 学习比较两个数的大小。
【重难点】不等式的性质，作差比较法。
【自主学习】不等式的基本性质：（1）反身性：如果a b ，那么b a （2）传递性：如果a b ，b c ，那么a c （3）可加性：如果a b ，那么a c b c ++ 如果a b ，c d 那么a cb d ++。
（4）可乘性：如果a b ，0c ，那么ac bc 如果a b ，0c ，那么ac bc 如果0a b ，0c d那么ac bd 。
（5）乘方法则：如果0a b，那么(,2)n n a b n N n ∈≥（6）开方法则：如果0a b ，那么,2)n N n ∈≥ 【课堂学习--互助交流】（先独立思考，有困难时与小组同学探讨）： (1)0a b a b -⇒(2)0a b a b -=⇒(3)0a b ab -⇒ 从这三个式子我们得到这样的启示，比较两个实数的大小，我们只需考察这两个实数的差。
这种方法叫作差比较法。
【练习提高】比较下列各组中两个代数式的大小：（1）256x x ++与2259x x ++ (2) ()23x -与()()24x x --（3）当1x时，3x 与21x x -+（4）221x y ++与2(1)x y +-【课堂学习--互助交流】（先独立思考，有困难时与小组同学探讨）：火车站有某公司待运的甲种货物1530t,乙种货物1150t 。
现计划用A 、B 两种型号的车厢共50节运送这批货物。
已知35t 甲种货物和15t 乙种货物可装满一节A 型货厢；25t 甲种货物和35t 乙种货物可装满一节B 型货厢，据此安排A 、B 两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A 型货厢的运费是0.5万元，每节B 型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？提示：（1）把已知的数据用表格列出（2）找等量关系和不等关系【课后知识拓展】比较两数大小方法二------作商比较法 理论依据：若0,0a b >>，且1a b>则a b >【练习提高】1、设0a b >>。
高中数学《不等关系与不等式》导学案
第三章不等式§3.1 不等关系与不等式一、学习目标1.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系.2.掌握常用不等式的基本性质.3会用不等式的性质证明简单的不等式.【重点、难点】教学重点：不等式的意义及不等式的基本性质。
教学难点：不等式的意义及不等式基本性质的应用。
二、学习过程【情景创设】咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯分别用奶粉9 g,咖啡4 g,糖3 g;乙种饮料每杯分别用奶粉4 g,咖啡5 g,糖10 g.已知每天使用原料限额为奶粉3600 g,咖啡2000 g,糖3000 g,设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y 杯,你能写出满足上述条件的所有不等式吗?【导入新课】1 .上述情景中的x,y满足的不等式分别为. . .x≥0,y≥02．作差法比较大小的依据是什么?(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的与的大小关系即可.3．作商法比较大小的依据是什么?设a,b∈R,且a>0,b>0(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的与的大小关系即可.4．不等式的基本性质(1)对称性:a>b⇔b a;(2)传递性:a>b,b>c⇒a c;(3)可加性:a>b⇒a+c b+c;(4)a>b,c>d⇒a+c b+d;(5)可乘性:a>b,c>0⇒ac bc;(6)a>b>0,c>d>0⇒ac bd;(7)a>b,c<0⇒ac bc;(8)乘方性:a>b>0⇒a n b n(n∈N,n≥2);(9)开方性:a>b>0⇒错误!未找到引用源。
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(n∈N,n≥2);(10)a>b,ab>0⇒错误!未找到引用源。
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3.1 不等关系与不等式导学案
【例 2】已知 a b ， c d ，求证 a c b d
自主检测
1．用不等式表示下面的不等关系： （1） a 与 b 的和是非负数； （2）某公路立交桥对通过车辆的高度 h “限高
4 m” ；
总结提升
通过本节课的学习，你收获了什么？
（3）如图，在一个面积为 350 m 2 的矩形地基上 建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长 L 大于 宽 W 的四倍．
自主检测
1．求证 2 7 3 6 ． Nhomakorabea 复习回顾
1．不等式的基本性质有哪些？
2．比较下列各组中两个代数式的大小： （1） x 2 5 x 6 与 2 x 2 5 x 9 ； 自主探究（阅读课本 57～62 页） ※ 探究任务一：阅读并感受分析法 如何解决不 ．．． 等式的问题 求证： 3 6 2 2 7 ． 证明：要想证明 3 6 2 2 7 ， 因为 3 6 0 ， 2 2 7 0 ， 只需证明 15 6 6 15 4 14 ， 即只需证明 3 6 2 14 ， 即只需要证明 54 56 ， 显然这是成立的，即可证得 3 6 2 2 7 ． 分析法 （也叫执果索因法）是从结论入手，倒 ．．． 着求使它成立需要的条件，直到得到已知条件 或者得到一种事实为止， 从而找出解题途径． 概 括地说，就是“从未知，看需知，逐步靠拢已 知” ． ※ 探究任务二: 作差比较法的理论依据 （1） a b 0 a b （2） a b 0 a b （3） a b 0 a b 从这三个式子我们得到这样的启示，比较两个 数的大小，我们只需考察这两个数的差．这种 方法叫作差比较法． （4） x 2 y 2 1 与 2 x y 1 ． （3）当 x 1 时， x 3 与 x 2 x 1 ； （2） x 3 与 x 2 x 4 ．
初中数学八年级《不等关系与不等式》教学设计导学案
不等关系与不等式（1）教学目标：知识目标：了解不等式的意义.能力目标：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力.情感目标：1、感受生活中存在着大量的不等关系.2、初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一.教学重、难点：1、重点：不等式的意义.2、难点：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力。
教学准备：教学设计过程：一、创设情境：1、下列问题中的数量关系能用等式表示吗？若不能，应该用怎样的式子来表示？（1）公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过40km/h.用v(km/h)表示汽车的速度，怎样表示v与40之间的关系？（2）据科学家测定，太阳表面的温度不低于6000℃。
设太阳表面的温度为t （℃）怎样表示t与6000之间的关系？（3）天平左盘放3个乒乓球，右盘放5g砝码，天平倾斜。
设每个乒乓球的质量为x（g），怎样表示x与5之间的关系？（4）小聪与小明玩跷跷板。
大家都不用力时，跷跷板左低、右高，小聪的身体质量为p（kg），书包的质量为2 kg，小明的身体质量为q （kg），怎样表示p，q之间的关系？（5）要使代数式有意义，x的值与3之间有什么关系？二、探究新知：2、议一议：观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同的特点？像v≤40，t≥6000，3x＞5，q＜p+2，x≠3这样，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连成的数学式子，叫不等式（inequality）。
这些用来连接的符号统称不等号（inequality symbol）3、讲解例题例1 根据下列数量关系列不等式：（1）a是正数；（2）y的2倍与6的和比1小；（3）x2减去10不大于10；（4设）a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边.3、做一做：（1）已知x1=1，x2=2，请在数轴上表示出x1，x2的位置；（2）x＜1表示怎样的数的全体？4、归纳：x＜a表示小于a的全体实数，在数轴上表示a左边的所有点，不包括a在内（如图5—4）；x≥a表示大于或等于a的全体实数，在数轴上表示a右边的所有点，包括a在内（如图5一5）；b＜x＜a（b＜a＝表示大干b而小于a的全体实数，在数轴上表示如图5一6.你能在数轴上分别类似地表示x＞a，x≤a和b≤x＜a（b＜a＝吗？5、讲解例2一座小水电站的水库水位在12～20m（包括12m，20m）时，发电机能正常工作。
导学案033不等式与不等关系
不等式与不等关系考纲要求1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景. 考情分析1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用 是命题的热点．2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的判断交汇命题，体现了化归转化思想，难度中、 低档．3.考查题型多为选择、填空题. 教学过程基础梳理一、实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b ＞0⇔ ；a －b ＝0⇔ ；a －b ＜0⇔ . 二、不等式的基本性质1.对称性a >b ⇔2.传递性a >b ，b >c ⇒3.可加性a >b ⇒4.可乘性a >bc >0⇒ ，⎭⎪⎬⎪⎫a >b c <0⇒5.同向可加性⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >d ⇒6.同向同正可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒7.可乘方性a >b >0⇒ (n ∈N ，n ≥2)8.可开方性a >b >0⇒ (n ∈N ，n ≥2)两条常用性质① a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b② 若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋ma ＋m；双基自测1．若x ＋y >0，a <0，ay >0，x －y 的值为 ( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0D ．不确定2．(教材习题改编)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0.那么下列选项中一定成立的是 ( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．c b 2<a b 2D ．ac (a －c )>03．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(教材习题改编)3＋7与25的大小关系是________． 5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则a c 2>b c 2； ②若a c 2>b c 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c>b ·2c以上命题中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)．典例分析考点一、比较大小[例1] (2012·珠海模拟)已知b >a >0，x >y >0，求证：x x ＋a >yy ＋b.变式1．(2012·杭州模拟)已知a>b≥2.现有下列不等式：①b2>3b－a；②ab>a ＋b.其中正确的是 ( )A．①B．②C．①②D．都不正确比较大小的方法1．作差法：其一般步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差．2．作商法：其一般步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论．3．特例法：若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路. 考点二、不等式的性质[例2](2011·全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3变式2．(2012·义乌模拟)设a，b∈R，若b－|a|>0，则下列不等式中正确的是()A．a－b>0 B．a＋b>0C．a2－b2>0 D．a3＋b3<0(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题.考点三、不等式性质的应用[例3](2011·浙江高考)若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1a”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件变式3．(2012·金华质检)已知a∈R，则“a>2”是“a2>2a”成立的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件．(2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式．一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．两条常用性质(1)倒数性质：①a＞b，ab＞0⇒1a＜1b；②a＜0＜b⇒1a＜1b；③a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd；④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x1a(2)若a＞b＞0，m＞0，则①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)； ②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m (b －m ＞0)．本节检测1．(2011·长沙一模)若a ，b ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．若a >b ，则a 2>b 2B ．若|a |>b ，则a 2>b 2C ．若a >|b |，则a 2>b 2D ．若a ≠|b |，则a 2≠b 22．(2011·泉州质检)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定3．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b4．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )A ．ab <b 2<1B ．12log b <12log a <0C ．2b <2a <2D ．a 2<ab <15.12－1与3＋1的大小关系为________．6. (2011·陕西)设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )．A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b2 B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2D.ab ＜a ＜a ＋b2b自我反思。
3.1.1不等关系与不等式导学案
3.1《不等关系与不等式》（1）主备人：张有明校对人：李德明周萍萍审核人：胡道成【学习目标】1、会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；2、理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【重点】用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；【难点】用不等式（组）正确表示不等关系。
【知识链接】大于用表示，小于用表示，不大于用表示，不小于用表示，正数用表示，负数用表示，非负数用表示，非正数用表示知识点1：现实世界和日常生活中常见的不等关系问题1：用不等式表示下列不等关系：（1）a与b的和是非正数；（3）右图是限速为40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，表示为 40知识点2:现实世界和日常生活中常见的不等式组关系问题2：用不等式组表示下列不等关系：（1）中国“神州七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11.2km/s. 表示为（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪f的含量应不少于2.5﹪，蛋白质p的含量应不少于2.3﹪. 表示为（3）铁路旅行常识规定：旅客每人免费携带物品——杆状物长度w不超过200cm，重量m不超过20kg. 表示为问题3：配制A、B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂B种药需甲料5毫克，乙料4毫克。
今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A、B两种药至少各配一剂，设配制A种药剂x剂,配制B种药剂y剂，求x,y应满足的条件。
（1）配制A种药剂x剂，需要甲种原料毫克，乙种原料毫克；（2）配制B种药剂y剂，需要甲种原料毫克，乙种原料毫克；（3）配制两种药剂，共需要甲种原料毫克，乙种原料毫克；（4）所需甲种原料不能超过毫克，得到不等式，乙种原料不能超过毫克，得到不等式；（5）因为A、B两种药至少各配一剂，所以应该满足（6）将上述不等式列成不等式组如下：基础达标：用不等式（组）表示下面的不等关系：（1）有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2。
不等关系与不等式导学案(第一课时)
3.1不等关系与不等式（一）学习目标：1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.学习重点：不等关系与不等式性质学习难点：用不等式（组）正确表示出不等关系一、 自主学习【预习提纲】根据以下提纲，预习教材第72页～第73页性质1前的内容1、现实生活中，“数量”与“数量”之间即存在 关系，又存在 关系，2、现实生活中，人们是用 表示“不等关系”，3、不等式的定义：用不等号 表示不等式的式子叫做不等式，4、不等式a b ≥的含义是什么？22≥对吗？5、实数比较大小的依据是：如果a b -是正数，那么 ；如果a b -等于零，那么 ；如果a b -是负数，那么 ；即0__,0__,0__a b a b a b a b a b a b ->⇔-=⇔-<⇔.6、符号⇔表示为 ，符号⇒表示为 ，符号⇐表示为 ，二、合作探究的路标用不等式表示为 ；（2）a 与b 的和是非负数用不等式表示为 ；（3）有一个两位数大于50而小于60，其二位数比十位数大2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a 和b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字).探究3：：如何比较两个实数的大小.两个实数比较大小的方法（1）作差法 (2)作商法R);,(000∈⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a b a b a b a b a b a ).0R (111>∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⇔<=⇔=>⇔>，b a b a b a b a b a ba b a三.典例学习例1、比较下列各组中两个代数式的大小：（1）(x-3)2与(x-2)(x-4)； （2）当x>1时，x 3与x 2-x+1.变式训练：比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.方法总结：做差比较法法的一般步骤：（教师引导，学生回答）（1） 作差；（2） 变形，常采用的手段是因式分解和配方法，因式分解是将“差“化成“积”的形式，配方是将“差”化为一个或几个完全平方的“和”，也可两种手段并用；（3） 定号，就是确定是大于0，还是等于0，或是小于0(与具体的值无关)（4） 得出结论。
1.不等关系与不等式的性质导学案
1．不等关系【教学目标】①理解不等式的意义。
②能根据条件列出不等式。
③能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义。
【教学重点】①通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。
②根据实际问题建立合理的不等关系。
【教学难点】根据实际问题建立合理的不等关系【教学过程】第一环节：创设情景，引入新课（1）我们学过等式，等式的定义是什么？（2）我们知道相等关系的量可以利用等式来描述。
同时，我们也知道现实生活中还存在许多反映不等关系的量。
比如，研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时；体育考试中合格的分数要不低于60分。
请同学们也举一些不等关系的例子。
第二环节：问题提出（1）某厂今年的产值是a元，预计明年年产值增长率高于20%，如果明年的产值是b 元，那么b和a满足的关系式是。
（2）如果某等腰三角形的底边用a cm表示，这边上的高为4 cm，如果这个三角形的面积不大于8 cm²，那么a应该满足的关系式为。
（注意：不大于的含义）（3）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm。
设行李的长、宽、高分别为 a cm、b cm、c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式。
第三环节：归纳定义一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
（特别的，不等号还包含“≠”）第四环节：运用巩固1、用“＜”或“＞”号填空：(1) －7____－5；(2) (－3)4____34；(3) (－4)2____(－3)2；(4) |－0.5|____|－1000|；(5) 3＋4____1＋4；(6) 5＋3____12－5；(7) 6×3____4×3；(8) 6×(－3)____4×(－3)2、用适当的符号表示下列关系：（1）a 是非负数；（2）直角三角形斜边 c 比它的两直角边a、b 都长；（3）x 与17 的和比它的5倍小；（4）两数的平方和不小于这两数积的2倍。
高中数学 3.1不等关系与不等式(1)导学案 新人教版必修5-新人教版高二必修5数学学案
不等关系与不等式学习目标：①了解不等关系、不等式（组）的实际背景 ②理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义 ③理解用不等式（组）表示、研究实际问题的不等关系 ④理解不式等的基本性质 学习重点：掌握不等式的性质及应用。
学习难点：掌握不等式的性质及应用 复习回顾：1.数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.2.对于任意两个实数a 和b ，a=b ，a>b ，a<b 三种关系中，有且仅有一种关系成立.3.实数比较大小的方法：(作差法或作商法)b a b a >⇔>-0；b a b a <⇔<-0；b a b a =⇔=-0若a,b +∈R 则 ⇔〉1b a ，⇔=1b a ，⇔〈1ba。
4．不等式的性质：(1),(2)(3),0(4),0(5),(6)0,0(7)0,(,1)(8)(,2)n na b b c a b a c b c a b c ac bc a b c ac bca b c d a c b d a b c d a cb d a b a b n N n a b n N n >>⇒>⇒++>>⇒><⇒>>⇒++>>>>⇒++>>∈≥>>∈≥基础过关：1.对于实数a,b,c ，下列四个命题中假命题为（ ） A.若ba b a 11,>>，则0,0<>b a B.若b a >则bc ac < C.若22bc ac >则b a > D.若0>>>b a c 则bc ba c a ->- 2.若01,0<<-<b a 则（ ）A. 2ab ab a >>B. a ab ab >>2C. 2ab b ab >> D. a ab ab >>23.已知a,b,c,d R ∈，且bda c ab -<->,0，则下列各式恒成立的是（ ） A. ad bc < B. ad bc > C.d b c a > D. dbc a < 4.若011<<ba 则下列结论不正确的是（ ）A.22b a <B. 2b ab < C.2>+baa b D.b a b a +〉+ 5.已知a,b,c R ∈，若22bc ac >是b a >的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、例题探究：例1、比较的大小，其中x R ∈.2232(1)56259(2)1x x x x x x ++++-++与当x>1时，x 与例2、已知31<+<-b a ，且422<+<b a ，求b a 3+的取值范围课后作业：1.若a>b,c>d ，则下列不等式成立的是（ ）A.a+d>b+cB.ac>bdC.dac a 〉 D.d-a<c-b 2.若a<b<0，则下列不等关系中不能成立的是（ ） A. b a 11〉B.bb a 11〉- C.b a -〉- D.b a -〉 3.若a,b 是任意实数，且a>b ，则( )A.22b a 〉 B.1〉a b C.lg(a-b)>0 D. ba )21()21(〈4.已知a>b>c ，则ac c b b a -+-+-111的值（ ） A.为正数 B. 为非正数 C. 为非负数 D.不确定 5.已知x>y>z ，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（ ）A.xy>yzB.xz>yzC.xy>xzD.x y >z y 6.若a>b>0,则下列不等式不成立的是( )(A) 11a b ＜ (B)a 2＞b 2 (C)a+b ≥ (D) ()()a b1122＞7.已知22πβαπ〈〈〈-，则βα-的取值范围是 。
《不等式与不等关系》第一课时导学案
《不等式与不等关系》第一课时导学案《不等式与不等关系》第一课时导学案【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm 两种。
按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。
不等式与不等关系第一课时导学案
《不等式与不等关系》第一时导学案【教学目标】．知识与技术：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，明白得不等式（组）的实际背景，把握不等式的大体性质；2．进程与方式：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方式；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培育严谨的思维适应。
【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
明白得不等式（组）关于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学进程】题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还常经常使用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或很多于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，咱们用不等式来表示不等关系。
下面咱们第一来看如何利用不等式来表示不等关系。
2教学新）用不等式表示不等关系引例1：限速40/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40/h，写成不等式确实是：引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应很多于2%，蛋白质的含量p应很多于23%，写成不等式组确实是——用不等式组来表示问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，那么。
问题2：某种杂志原以每本2元的价钱销售，能够售出8万本。
据市场调查，假设单价每提高01元，销售量就可能相应减少XX本。
假设把提价后杂志的定价设为x元，如何用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x元，那么销售的总收入为万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”能够表示为不等式问题3：某钢铁厂要把长度为4000的钢管截成00和600两种。
依照生产的要求，600的数量不能超过00钢管的3倍。
如何写出知足所有上述不等关系的不等式呢？解：假设截得00的钢管x根，截得600的钢管根。
导学设计14 不等关系与不等式
山西大学附中高中数学（必修5）导学设计 编号14不等关系与不等式【学习目标】1.熟记不等式的性质.2.会利用不等式的性质比较两个数或代数式的大小.3.会利用不等式的性质证明简单的不等式.【学习重点】不等式性质的灵活应用【学习难点】不等式性质的灵活应用【学习过程】一、导学：阅读课本73--74页不等式的基本性质：(1)对称性：⇔>b a _________.(2)传递性：⇒>>c b b a ,__________.(3)加法法则：⇒>b a ____________.(4)乘法法则：⇒>>0,c b a __________,⇒<>0,c b a ____________.(5)同向可加性：d c b a >>,⇒______________.(6)同向可积性：⇒>>>>0,0d c b a _______________.(7)乘方法则：⇒>>0b a _____________（+∈N n ，2≥n ）(8)开方法则：⇒>>0b a _____________（+∈N n ，2≥n ）二、导练：1. 已知,,a b c 满足,且,那么下列选项中不一定成立的是（）A ．B ．0)(>-a b cC ．D ．0)(<-c a ac2. 已知,x y 均为正数，设11M x y =+,4N x y =+,试比较M 和N 的大小.3.已知0>>b a 试比较b a b a 与a b b a 的大小.4. 设0>a 且1≠a ，比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小.5.已知,a b 都是正数，并且a b ≠，求证：552332a b a b a b +>+.三、目标检测：1.判断下列命题的正误：（1）⇒<<0b a 01b a <<； （2）⇒<<0b a b a a b>； （3）⇒<<0b a 2b ab <； （4）0<a 且210b a ab ab -<<⇒<<2.以下四个不等式：（1）0a b << （2） 0b a <<（3） 0b a <<（4） 0b a <<其中使11a b<成立的条件是____________. 3.已知,22ππ-≤α<β≤求124α-β的取值范围.4.比较222c b a ++与ac bc ab ++的大小关系.5.已知1≥a ，比较a a -+1与1--a a 的大小.6.已知,a b≥。
新人教版高中数学《不等关系与不等式》导学案
《不等关系与不等式》导学案使用说明及学法指导：1.先精读一遍教材，用红色笔勾画；再针对导学案问题导学部分阅读并回答，时间不超过15分钟；2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范；3.找出自己的疑惑点；学习目标：1．能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
2．熟练掌握用比较法比较大小，提高灵活运用知识解题的能力.3、自主学习、合作交流，探究不等式证明题的规律方法.4、热情投入学习，养成扎实严谨的科学态度培养良好的数学思维品质.学习重点、难点：重点：作差法比较大小。
难点：差的符号的判断（因式分解，配方法）。
一．课前预习1.知识链接：①.实数与数轴上的点存在怎样的关系？②. 实数a,b 的大小有几种不同的关系？2.自主学习：自学课本p60—p63思考并回答下列问题：①不等式的概念： . ②.a b ≥⇔ 或 .a b ≤⇔或 .思考：（1）当=3x 时，3x ≥是否成立?（2）当3x ≥时，3x =是否一定成立？（3）当3x ≥和3x ≤都成立时，3x =是否一定成立？③对于任意的两个实数a 和b ，它们的大小关系有哪几种？④性质：（等价性）p q ⇔是指 且 .0a b ->⇔ ；0a b -=⇔ ；0a b -<⇔ ；思考：两个实数（代数式）比较大小的方法是什么？其一般步骤是什么？变形的常用方法有哪些？3.预习自测（1）用不等号表示①a 是非负数；②实数a 小于3，但不小于2：③ a 和b 的差的绝对值大于2，且小于等于9（2）比较22x x +与3x --的大小.二．课内探究探究一.用不等式（组）表示不等关系例题1. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？21教育网练习.某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。
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不等关系与不等式导学案
【学习目标】能用不等式（组）正确表示出不等关系, 掌握不等式的基本性质；
【重点难点】作差法比较两实数大小.
【学习过程】
1、用不等式表示不等关系
例1某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示.
变式训练1：
（1）b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式 .
（2）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高
0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不
等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
例2 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。
按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm钢管的3倍。
怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？变式训练2：
某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
2、不等式的基本性质
（1）,
a b b c a c
>>⇒>（2）a b a c b c
>⇒+>+
（3）,0
a b c ac bc
>>⇒>（4）,0
a b c ac bc
><⇒<
（5）,
a b c d a c b d
>>⇒+>+；（6）0,0
a b c d ac bd
>>>>⇒>；
（7）0,,1n n n n
a b n N n a b a b
>>∈>⇒>>
3、两代数式比较大小
a b a b
->⇔>0
a b a b
-=⇔=0
a b a b
-<⇔<比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论.
例3 比较(3)(5)
a a
+-与(2)(4)
a a
+-的大小.
变式训练3：比较26x x +与2
6x +的大小．
例4 已知0,0,a b c >><求证c c a b >
变式训练4：已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e a －c ＞e
b －d
例5 已知1＜a ＜4,2＜b ＜8.2a ＋3b 与a －b 的取值范围
变式训练5-1：已知1＜a ＜4,2＜b ＜8，试求
a
b
的取值范围.
变式训练5-2：已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a ＋3b 的取值范围．。