对数与对数函数 知识点与题型归纳

●高考明方向

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．

3.知道对数函数是一类重要的函数模型．

4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数

(a>0，且a≠1)．

★备考知考情

通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.

一、知识梳理《名师一号》P27

注意：

知识点一对数及对数的运算性质

1.对数的概念

一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的

对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．

注意：(补充)关注定义---指对互化的依据

2．对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么

①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；

②log a M N ＝log a M －log a N ；

③log a M n ＝n log a M (n ∈R)；

④log a m M n ＝n m log a M .

(2)对数的性质

①a log aN ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．

(3)对数的重要公式

①换底公式：log b N ＝log a N log a b

(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a

，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 注意：(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a ==

知识点二 对数函数的图象与性质

1.对数函数的图象与性质（注意定义域!）

a>10

2.反函数

指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

(补充)

设y＝f(x)存在反函数，并记作y＝f－1(x)，

1) 函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的图象

关于直线y x

对称．

2) 如果点P(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，

则必有f－1(y0)＝x0，

反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域．

3)函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的单调性相同．

二、例题分析：

（一）对数式的运算

例1.(1)《名师一号》P27 对点自测1

(2013·陕西文3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()

A．log a b·log c b＝log c a

B．log a b·log c a＝log c b

C．log a(bc)＝log a b·log a c

D．log a(b＋c)＝log a b＋log a c

解析由对数的运算性质：log a(bc)＝log a b＋log a c，

可判断选项C，D错误；选项A，由对数的换底公式知，

log a b·log c b＝log c a⇒lg b

lg a·

lg b

lg c

＝lg a

lg c⇒lg

2b＝lg2a，此式不恒成

立，故错误；对选项B，由对数的换底公式知，log a b·log c a

＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c

＝log c b ，故恒成立． 答案 B

例1.(2) (补充) 计算下列各式的值 (1) 2lg 2lg 3111lg 0.36lg823

+=++ (2) 温故知新P22 第8题

()22log 3lg5lg 2lg504

+⋅+= (3) 235111log log log 2589

⋅⋅=

答案：(1) 1 (2)10 (3)-12

注意：

多练 lg 2lg51+=

《名师一号》P28 高频考点 例1

【规律方法】 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．

例2.(1)《名师一号》P27 对点自测2

(2014·陕西卷)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.

解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log 42＝12.由lg x ＝12

， 得x ＝10 12 ＝10.

例2.（2）《名师一号》P28 高频考点 例1(1)

若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( )

A.94

B.54

C.103

D.43

解析:由x ＝log 43，得4x ＝3，

即2x ＝3，2－x ＝33

， 所以(2x －2－x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝43

. 注意：指数与对数的互化

a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，a ≠1，N >0)．