高数3 7-6旋转曲面与二次曲面(修)

解
yoz 面上直线方程为 z y cot
z
圆锥面方程


M 1 (0, y1 , z1 )
y
z x 2 y 2 cot
x 2 y 2 z 2 tan 2
x
o
M ( x, y, z )
填空题：
x2 y2 z2 1. 曲 面 + + =1 百度文库 看 成 由 xoy 面 上 的 曲 线 2 4 2
x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c
o x
y
（三）抛物面 1. 椭圆抛物面
x2 y2 z 2 2 a b
x2 y2 z , 可写成： 2 p 2q
p 0, q 0
用截痕法讨论：
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面 z z1 ( z1 0) 的交线为椭圆.
________________绕_______轴旋转面成，或由 yoz 面上的曲线 _______________ 绕 ________ 轴 旋 转 面 成 。 它 表 示 _______________曲面。 y2 2 2 2.曲面 x z 1 是由_______绕_________轴放置一周所形 4 成的，它表示_______________曲面。 3.曲面 ( z a )2 x 2 y 2 是由______________绕_____轴旋转一 周所形成的，它表示_______________曲面。 2 2 2 4.曲面 z x y 为_____________面 曲面 z 曲面 z
z
o x
y
椭球面与平面 z z1 (0 z1 c ) 的交线为椭圆
x2 y2 2 1 a2 b 2 2 2 2 (c z1 ) (c z1 ) 2 2 c c z z1 | z1 | c
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
o
x
y
与平面 y y1 ( y1 b ) 的交线为双曲线.
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y 轴上. a c y y 1
(1 ) ( 2 )
2 y1 b 2 , 实轴与 x 轴平行, 2 y1 b 2 , 实轴与 z 轴平行,
x2 z2 （1）双曲线 a 2 c 2 1 , 分别绕 z 轴和 x 轴； y0
x2 y2 z2 绕 z 轴旋转 2 1 2 a c x2 y2 z2 1 绕 x 轴旋转 2 2 a c
旋 转 双 曲 面
y z 2 2 1 （2）椭圆 a 分别绕 y 轴和 z 轴； c x 0 2 2 2 y x z 绕 y 轴旋转 1 2 2 a c
虚轴与 z 轴平行.
虚轴与 x 轴平行.
( 3 )
y1 b, 截痕为一对相交于点 (0, b,0) 的直线.
截痕图
o x
y
（3）用坐标面 yoz ( x 0) 或 x x1 去截曲面
均可得双曲线.
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形
z
o x
y
2. 双叶双曲面
方程可写为
（二）双曲面 1. 单叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
（1）用坐标面 xoy ( z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
2 y2 x2 2 1 a b z 0
2
2
2
z
o x
y
与平面 z z1 的交线为椭圆.
曲面 z x y 为_____________
2 2 2
曲面 z 2 x y 为_____________
2 2
曲面 z
x 2 y 2 2 为_____________
5.曲面 z 2 x y 为_____________
2 2
曲面 z 2 x y 为_____________
椭圆抛物面的图形如下：
z x z
o
y
x
o
y
x2 y2 z 2 2 a b
x2 y2 z 2 2 a b
2. 双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2 z 2 2 a b
x2 y2 可写成： z 2 p 2q
p 0, q 0
z o x
用截痕法讨论： 图形如下：
y
三、小结
第六节 旋转曲面与二次曲面
一、旋转曲面 二、二次曲面 三、小结 思考题
一、旋转曲面
由一条平面曲
线绕其平面上的一
条定直线旋转一周
所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
播放
设在 yOz 面上的一条已知曲线C ，它的方程为
f ( y, z ) 0
曲线C 绕 z 轴旋转一周， 得旋转曲面
2 x2 y2 z1 2 2 1 2 b c a z z 1
当 z1 变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上. z
o x
y
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截 截得中心在原点的双曲线.
x2 z2 2 2 1 a c y 0
实轴为 x 轴， 虚轴为 z 轴. z
二、1.
z
2.
z
o x o x
y
y
z
三、
1.
o x
1
2
y
z
R
2.
o x
R
R
y
2 2 2
曲面 z 2 2 x y 为_____________
2 2
曲面 z
2 x 2 y 2 2 为_____________
2 2 2 2
6.曲面 z 2 x y 为_____________ 曲面 z 2 x y 为_____________ 曲面 z 2 2 x y 为_____________
2 2
x2 y2 z2 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c
旋 转 椭 球 面
y 2 2 pz （3）抛物线 绕 z 轴； x 0
z
x 2 y 2 2 pz
旋转抛物面
o x
y
例 2 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，所 得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶 点，两直线的夹角 （锐角）叫圆锥面的半角．试 建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为 的圆锥面方程．
旋转曲面、椭球面、抛物面、双曲 面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
思考题
x 4 y z 25 方程 表示怎样的曲线？ x 3
2 2 2
思考题解答
4 y 2 z 2 16 x 4 y z 25 . x 3 x 3
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
2
x2 y2 z2 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c
2
x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c
如方程
x 2 y 2 2 z 2 1 表示旋转椭球面
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z
z1 ( | z1 | c )的交线为圆.
2 2 2
表示双曲线.
练 习 题
一、 填空题：
x2 y2 z2 1.设曲面方程 2 + 2 + 2 =1，当 a b 时，曲面可由 xoz 面上以 a b c 曲线________________绕_______轴旋转面成，或由 yoz 面上 以曲线_______________ 绕________轴旋转面成 ; y2 2 2.曲面 x 2 z 1 是由_______绕_________轴放置一周 4 所形成的； 3.曲面 ( z a )2 x 2 y 2 是由______________绕_____轴旋转 一周所形成的； 2 2 4.曲面 z x y 为_____________
z
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
o
y
旋转过程如图
x
设 M1 (0, y1 , z1 ) 是曲线C 上任一点，
M ( x , y , z ) 是点 M1 绕 z 轴旋转所得的任一点，
则
z
(1) z z1
（2）点 M ( x , y , z ) 到 z 轴 的距离
该方程就是 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.
同理， yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f
y,
x z
2
2
0.
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x 2 y 2 为_____________面 2 x 2 y 2 为_____________面
二、二次曲面
三元二次方程表示的曲面称为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
2 2
曲面 z 2 x y 2 为_____________ 2 2 2 7.曲面 z 2 x y 为_____________
2 2
曲面 z 2 x y 为_____________
2 2 2
曲面 z 2 2 x y 为_____________
2 2 2
（一）椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
椭球面与三个坐标面的交线：
2 y2 x2 2 1 a b , z 0 2 y2 2 z2 1 . b c x 0
2 z2 x2 2 1 , a c y 0
x2 y2 2 2 1 a z1 b z1 z z 1
z
当 z1 变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
x o
y
这种椭圆的长短半轴 随 z1 值的增加而增加.
（2）用平行 y y1 截取的截痕为 2 x2 y1 2 2 pz 2 抛物线 b a y y 1
2 a2 2 2 2 x y 2 (c z1 ) . 截面上圆的方程 c z z 1
如
x2 y2 4 . z 2
( 2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a
x2 y2 z2 a2 .
o
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d x 2 y 2 | y1 |
将 z1 z , y1 x y
2
x
2
代入
曲线C 的方程 f ( y1 , z1 ) 0
得旋转曲面的方程为 f

x 2 y 2 , z 0,

与平面 z z1 ( z1 0) 的交线为圆.
x 2 y 2 a 2 z1 z z1
当 z1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.半 径随之增加.
z
椭圆抛物面（开口向下）：
x
o
y
x2 y2 z 2 2 a b
x2 y2 可写成： z 2 p 2q
p 0, q 0
z
x
o
y
（3）用平行 x x1 截取的截痕为 2 x2 y1 2 2 pz 2 抛物线 b a y y 1
z
x
o
y
特殊地：当 a b 时，方程变为
x2 y2 z 2 2 a a
旋转抛物面
x2 （由 xoz 面上的抛物线 z 2 绕 z 轴旋 a 转而成的）
曲面 z
2 x 2 y 2 2 为_____________
二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 1. ； 3 4 9 2.16 x 2 4 y 2 z 2 64 .
三、 画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1. x 0 , z 0 , x 1 , y 2 , z ； 4 2. x 0 , y 0 , z 0 , x 2 y 2 R 2 , y 2 z 2 R 2 (在第一卦限内) .