正弦定理练习含答案上课讲义
高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理练习(含解析)新人教A版必修5(2021年最新整理)
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1正弦定理一、选择题:1. 在ABC △中，45 60 10A B a =︒=︒=，，，则b =（ ） A．．． 【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a bA B=得10sin sin 2a Bb A ===，故选D.2。
在△ABC 中,若2,a b ==, 030A = ， 则B 等于（ ） A ．60 B ．60或 120 C ．30 D ．30或150 【答案】B【解析】由正弦定理sin sin a bA B =得22sin sin 30B B ===60或 120 3。
在ABC △中,角 A B C，，的对边分别是 a b c ，，，若 2a AB ==，，则cos B =（ )ABC D【答案】B【解析】由已知2a =,根据正弦定理变形有sin sin 2A B =，又因为2A B =，所以sin sin 2A B =，则sin 22B B =，即2sin cos 2B B B =，因为sin 0B ≠，所以cos 4B =，故选B.4．在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则该ABC ∆的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰或直角三角形 【答案】D【解析】由正弦定理得22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⋅=⋅，化简得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22,2A B A B ππ+=+=，故选D.5. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则以下结论错误的为（ )A ．若sin cos cos A B Ca b c ==，则90A =︒ B ．sin sin sin a b c A B C+=+ C ．若sin sin A B >，则A B >；反之，若A B >，则sin sin A B > D ．若sin 2sin 2A B =，则a b = 【答案】D【解析】∵sin cos cos A B Ca b c==，∴由正弦定理B B cos sin =,C C cos sin =，又∵B ,C 为ABC ∆的内角，∴ 45==C B ,故90A =︒，A 正确；∵由正弦定理可得R CcB b A a 2sin sin sin ===，∴()AaR C B C B R C B c b sin 2sin sin sin sin 2sin sin ==++=++，故B 正确;在ABC ∆，设外接圆的半径为R ,若sin sin A B >,则B R A R sin 2sin 2>,由正弦定理可得b a >，即A B >;若A B >，即有b a >，即B R A R sin 2sin 2>，即b a >．则在ABC ∆中，B A B A >⇔>sin sin ，故C 正确;∵sin 2sin 2A B =,∴()()0sin cos 2sin 2sin =-+=-B A B A B A ，∴()0cos =+B A 或()0sin =-B A ,∴2π=+B A 或B A =，∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故D 错误．故选:D ．6. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3π=A ，则c b +的最大值为（ )A ．4B ．33 C.32 D ．2 【答案】C【解析】由正弦定理可得:23b c sinB sinC sin π===，∴2222()23b c sinB sinC sinB sin B π+=+=+-()12222sinB sinB =++3()6sinB B π==+≤，当且仅当3B π=时取等号．∴b c +的最大值为32．故选:C. 二、填空题：7. 在ABC ∆中,则 a =【解析】根据正弦定理32522315sin sin sin sin =⨯==⇔=BA b aB b A a ,8。
正弦定理练习--含答案
课时作业1 正弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π3【答案】 D【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32， ∴∠A ＝π3.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°，由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝56π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】102【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝1010.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π1010＝102.4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长．【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A .【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ，又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°.(1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC的周长为4＋2 3.综上，△ABC的周长为6＋23或4＋2 3.【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】 B【解析】∵sin A＝sin C，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选B.2．已知△ABC的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么a b c＝()A．1:2:3 B．1:2: 3C．1: 2 : 3 D．1: 3 :2【答案】 D【解析】 设∠A ＝k ，∠B ＝2k ，∠C ＝3k ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180°，∴k ＝30°，故∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.由正弦定理得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C ＝sin30°:sin60°:sin90°＝1: 3 :2.3．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则( ) A ．b ＝4 2 B ．b ＝4 3 C ．b ＝4 6 D ．b ＝323【答案】 C【解析】 ∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由a sin A ＝b sin B 可得b ＝a sin Bsin A ＝8sin60°sin45°＝4 6.4．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝π6，则B ＝( ) A.π3 B.23π C.π3或23π D.56π或π6 【答案】 C【解析】 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa ， ∴sin B ＝3·sin30°1＝32，∴B ＝π3或23π. 5．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积S 等于( )A ．32 3B ．16C ．326或16D ．323或16 3【答案】 D【解析】 由正弦定理，知 sin B ＝b sin A a ＝83sin30°8＝32， 又b >a ，∴∠B >∠A ，∴∠B ＝60°或120°. ∴∠C ＝90°或30°.∴S ＝12ab sin C 的值有两个，即323或16 3.6．在△ABC 中，cos A cos B ＝b a ＝85，则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形【答案】 D【解析】 ∵cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，即sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2，又cos A ≠cos B ，∴∠A ≠∠B ，∴∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．7．已知△ABC 中，2sin B －3sin A ＝0，∠C ＝π6，S △ABC ＝6，则a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 B【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，故由2sin B －3sin A ＝0， 得2b ＝3a .①又S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π6＝6， ∴ab ＝24.②解①②组成的方程组得a ＝4，b ＝6.故选B.8．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2633 D ．2 3 【答案】 B【解析】 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得 a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，b 2－c 2a 2sin 2A ＋c 2－a 2b 2sin 2B ＋a 2－b 2c 2sin 2C 的值为________．【答案】 0【解析】 可利用正弦定理的变形形式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入原式即可．10．在锐角三角形ABC 中，若∠A ＝2∠B ，则ab 的取值范围是________．【答案】 (2，3)【解析】 ∵△ABC 为锐角三角形，且∠A ＝2∠B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2∠B <π2，0<π－3∠B <π2，∴π6<∠B <π4.∵∠A ＝2∠B ，∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，∴a b ＝sin Asin B ＝2cos B ∈(2，3)．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)在△ABC 中，已知a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求b . (2)在△ABC 中，已知∠A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B .【解析】 (1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin45°sin30°＝5 2.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin45°2＝12.又∵0°<∠B <180°，且a >b ，∴∠B ＝30°.【规律方法】 (1)中要注意在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°的运用，另外sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30)＝6＋24.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．12．在△ABC中，已知sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，判断△ABC的形状．【分析】当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．【解析】∵sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin B＋sin C.∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)．∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A cos B＋cos A sin B. ∴cos A sin C＋sin B cos A＝0.∴cos A(sin B＋sin C)＝0.∵∠B，∠C∈(0，π)，∴sin B＋sin C≠0.π∴cos A＝0，∴∠A＝2，∴△ABC为直角三角形．。
正弦定理(一)(附答案)
正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题.知识点一 正弦定理 1.正弦定理的表示2.正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径. (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径).(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝csin C . (5)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B . 3.正弦定理的证明(1)在Rt △ABC 中，设C 为直角，如图，由三角函数的定义：sin A ＝a c ，sin B ＝bc，∴c ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin 90°＝csin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (2)在锐角三角形ABC 中，设AB 边上的高为CD ，如图，CD＝a sin_B＝b sin_A，∴asin A＝bsin B，同理，作AC边上的高BE，可得asin A＝csin C，∴asin A＝bsin B＝csin C.(3)在钝角三角形ABC中，C为钝角，如图，过B作BD⊥AC于D，则BD＝a sin(π－C)＝a sin_C，BD＝c sin_A，故有a sin C＝c sin_A，∴asin A＝csin C，同理，asin A＝bsin B，∴asin A＝bsin B＝csin C.思考下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有()A.1B.2C.3D.4答案 B解析正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确.故选B. 知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.思考正弦定理能解决哪些问题？答案利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角.题型一 对正弦定理的理解例1 在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( ) A.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B.a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2B C.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD.正弦值较大的角所对的边也较大 答案 B解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确. 当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误. 根据比例式的性质易得C 正确. 大边对大角，故D 正确.跟踪训练1 在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A.a >b sin A B.a ＝b sin A C.a <b sin A D.a ≥b sin A答案 D解析 在△ABC 中，B ∈(0，π)，∴sin B ∈(0,1]， ∴1sin B≥1， 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得a ＝b sin Asin B ≥b sin A .题型二 用正弦定理解三角形例2 (1)在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形. (2)在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形. 解 (1)∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°， 由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. ∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64， ∴b ＝c sin B sin C ＝c sin (A ＋C )sin C ＝10×sin 75°sin 30°＝20×2＋64＝52＋5 6.∴B ＝105°，a ＝102，b ＝52＋5 6. (2)∵a sin A ＝csin C， ∴sin C ＝c sin Aa ＝6×sin 45°2＝32，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°， C ＝120°.跟踪训练2 (1)在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A.4 2 B.4 3 C.4 6 D.4(2)在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝______. 答案 (1)C (2)105°或15°解析 (1)易知A ＝45°，由a sin A ＝bsin B 得b ＝a sin Bsin A ＝8·3222＝4 6.(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.题型三 判断三角形的形状例3 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状. 解 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A ，由正弦定理得sin 2A sin B cos B ＝sin 2B sin Acos A .∵sin A 、sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B . 即sin 2A ＝sin 2B .∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B . ∴A ＋B ＝π2或A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.跟踪训练3 在△ABC 中，b sin B ＝c sin C 且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状. 解 由b sin B ＝c sin C ，得b 2＝c 2， ∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形， 由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 为等腰直角三角形.1.在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，下列等式中总能成立的是( ) A.a sin A ＝b sin B B.b sin C ＝c sin A C.ab sin C ＝bc sin BD.a sin C ＝c sin A2.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )A.135°B.90°C.45°D.30°3.在锐角三角形ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π34.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC是( )A.等边三角形B.直角三角形，且有一个角是30°C.等腰直角三角形D.等腰三角形，且有一个角是30°5.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，则△ABC 的形状是________.6.在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______，a ＝________.一、选择题1.在△ABC 中，BC ＝a ＝5，AC ＝b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.572.在△ABC 中，A >B ，则下列不等式中不一定正确的是( ) A.sin A >sin B B.cos A <cos B C.sin 2A >sin 2BD.cos 2A <cos 2B3.在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于( ) A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C.2∶1∶1D.3∶1∶14.在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形5.已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( )A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120° 6.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2833D.2 37.在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A.60° B.75° C.90° D.115° 8.在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.56π二、填空题9.已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________.10.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则角C ＝______.11.在△ABC 中，BC ＝a ＝15，AC ＝b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.三、解答题12.(1)在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，解三角形；(2)在△ABC中，BC＝a＝4，AC＝b，AB＝c＝26，A＝45°，求b，B和C.13.在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.当堂检测答案1.答案 D解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a sin C ＝c sin A . 2.答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin Bb ＝2×323＝22， ∴A ＝45°或135°.又∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝45°. 3.答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ， 又∵sin B ≠0，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.4.答案 C解析 由题a cos B ＝b sin A ， 又由正弦定理a sin B ＝b sin A ， ∴sin B ＝cos B ，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°.同理C ＝45°.故△ABC 为等腰直角三角形. 5.答案 等腰或直角三角形解析 由b sin B ＝c sin C 得sin C ＝c sin B b ＝150×12503＝32，又∵C ∈(0°，180°)， ∴C ＝60°或120°， ∴A ＝90°或30°，∴△ABC 为等腰或直角三角形. 6.答案255210 解析 由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A ， 由sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255，∵b ＝5，B ＝π4，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.错误!课时精练答案一、选择题 1.答案 A 解析sin A sin B ＝a b ＝53. 2.答案 C解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，A 正确. 由于(0，π)上，y ＝cos x 单调递减， ∴cos A <cos B ，B 正确. cos 2α＝1－2sin 2α.∵sin A >sin B >0，∴sin 2A >sin 2B ， ∴cos 2A <cos 2B ，D 正确. 3.答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝180°，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1， ∴A ＝120°，B ＝30°，C ＝30°.由正弦定理的变形公式得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝32∶12∶12＝3∶1∶1. 4.答案 B解析 ∵a ＝b sin A ，∴a b ＝sin A ＝sin Asin B ，∴sin B ＝1，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π2，即△ABC 为直角三角形.5.答案 D解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin B ＝b sin A a ＝43×124＝32，又∵B ∈(0°，180°)，且b >a ，B >A ，∴B ＝60°或120°. 6.答案 D解析 利用正弦定理及比例性质，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝3sin 60°＝332＝2 3.7.答案 B解析 不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin Asin (120°－A )＝3＋12.整理得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A . ∴tan A ＝2＋3，又∵A ∈(0°，120°)，∴A ＝75°，故选B. 8.答案 A解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，∴A ∈(0，π2)，∴sin A ＝45，由正弦定理得445＝52sin B ，∴sin B ＝12.又∵a >b ，∴A >B ，且A ∈(0，π2)，∴B 必为锐角，∴B ＝π6.二、填空题 9.答案 2解析 ∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3， ∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°. ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1sin 30°＝2， ∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， ∴a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝2.10.答案 π4解析 由正弦定理，得sin C ＝sin A ·AB BC ＝22. 因为BC >AB ，所以A >C ，则0<C <π3，故C ＝π4. 11.答案 63解析 由正弦定理得sin B ＝b a sin A ＝1015·sin 60°＝33， 又b <a ，∴0°<B <60°，∴cos B >0，∴cos B ＝1－sin 2B ＝ 1－(33)2＝63. 三、解答题12.解 (1)因为A ＋B ＋C ＝180°，所以C ＝105°.所以sin C ＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得a ＝sin A sin C·c ＝10(3－1)， b ＝c sin B sin C ＝10sin 30°sin 105°＝5(6－2). 所以C ＝105°，a ＝10(3－1)，b ＝5(6－2).(2)由正弦定理a sin A ＝c sin C得 sin C ＝c sin A a ＝26×224＝32. ∵C ∈(0°，180°)，且c >a ，C >A ，∴C ＝60°或120°，∴B ＝75°或15°，∴sin B ＝6＋24或6－24， ∴b ＝a sin A ·sin B ＝422×6±24＝2(3±1)， ∴b ＝2(3＋1)，B ＝75°，C ＝60°或b ＝2(3－1)，B ＝15°，C ＝120°.13.解 方法一 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sin B cos C＝2sin B cos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝2 2.∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形.方法二根据正弦定理asin A＝bsin B＝csin C.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin B cos C，∴sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形.。
解三角函数：正弦定理习题及详细答案
1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( ) A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135° C ．B ＝45° D ．以上答案都不对．以上答案都不对解析：选C.sin B c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C.3 D.2 解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C ⇒sin C ＝12， 于是C ＝30°⇒A ＝30°⇒a ＝c ＝ 2. 3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________. 解析：在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°， ∴则根据正弦定理知AB ＝BC ·sin C sin A ＝102. 答案：1024．已知△ABC 中，AD 是∠BAC D，求证：BD DC ＝AB AC. 证明：如图所示，设∠ADB ＝θ，则∠ADC ＝π－θ. 在△ABD 中，由正弦定理得： BD sin A 2＝AB sin θ，即BDAB ＝sin A2sin θ；① 在△ACD 中，CD sin A 2＝ACsin (π－θ)，解三角函数：正弦定理＝22，∵a ＞b ，∴B ＝45°45°. . 2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，sin A ＝110，BC ＝1，的平分线，交对边BC 于∴CDAC ＝sinA2 sin θ.②由①②得BDAB＝CDAC，∴BDDC＝ABAC. 一、选择题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是() A.53 B.35C.37 D.5B＝ab＝53. 2．在△ABC中，若sin Aa＝cos Cc，则C的值为() A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B.∵sin Aa＝cos Cc，∴sin Acos C＝ac，又由正弦定理ac＝sin Asin C. ∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B. 3．15，b＝10，A ＝60°，则cos B＝() A．－223 B.223C．－63D.63解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B，∴sin B＝10·10·sin 60°sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a＞b，A 7解析：选A.根据根据正弦定理正弦定理得sin A sin (2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝＝60°，∴B为锐角．∴cos B＝1－sin2B＝1－(33)2＝63. 4．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是() A．锐角三角形．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形．钝角三角形 D．等腰三角形解析：选B.由题意有a sin A ＝b ＝bsin 3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C.3－1 D.3 解析：选 B.．两解．两解 B ．一解．一解 C ．无解．无解 D ．无穷多解．无穷多解解析：选B.因c sin A ＝23＜4，且a ＝c ，故有唯一解．二、填空题7．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 解析：AB ＝sin C sin A BC ＝2BC＝2 5. 答案：25 8．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－30°－120°＝30°， 由正弦定理得： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶3 在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________. 解析：由正弦定理，有3sin 2π3＝1sin B ， B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC是直角三角形．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin π3＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°150°. . 由a ＞b ，得A ＞B ，∴B ＝30°30°. . 故C ＝90°，由，由勾股定理勾股定理得c ＝2. 6．(2011年天津质检)在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( ) A9．(2010年高考北京卷)＝6，＝. ＝a2R∶b2R∶c2R＝×4A＝bsin B，得＝a sin Bb＝×322＝534＞＝532，所以cos(π－cos(π－cos(π2－cos(π2－a·a2Rcos(π2－cos(π2－2.＝π15＝根据正弦定理正弦定理asin ＝b·b2R，。
(完整word版)正弦定理练习含答案
课时作业1 正弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π3【答案】 D【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32， ∴∠A ＝π3.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°，由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝56π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】102【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝1010.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π1010＝102.4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长．【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A .【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ，又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°.(1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC的周长为4＋2 3.综上，△ABC的周长为6＋23或4＋2 3.【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】 B【解析】∵sin A＝sin C，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选B.2．已知△ABC的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么a b c＝()A．1:2:3 B．1:2: 3C．1: 2 : 3 D．1: 3 :2【答案】 D【解析】 设∠A ＝k ，∠B ＝2k ，∠C ＝3k ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180°，∴k ＝30°，故∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.由正弦定理得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C ＝sin30°:sin60°:sin90°＝1: 3 :2.3．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则( ) A ．b ＝4 2 B ．b ＝4 3 C ．b ＝4 6 D ．b ＝323【答案】 C【解析】 ∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由a sin A ＝b sin B 可得b ＝a sin Bsin A ＝8sin60°sin45°＝4 6.4．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝π6，则B ＝( ) A.π3 B.23π C.π3或23π D.56π或π6 【答案】 C【解析】 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa ， ∴sin B ＝3·sin30°1＝32，∴B ＝π3或23π.5．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积S 等于( )A ．32 3B ．16C ．326或16D ．323或16 3【答案】 D【解析】 由正弦定理，知 sin B ＝b sin A a ＝83sin30°8＝32， 又b >a ，∴∠B >∠A ，∴∠B ＝60°或120°. ∴∠C ＝90°或30°.∴S ＝12ab sin C 的值有两个，即323或16 3.6．在△ABC 中，cos A cos B ＝b a ＝85，则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形【答案】 D【解析】 ∵cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，即sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2，又cos A ≠cos B ，∴∠A ≠∠B ，∴∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．7．已知△ABC 中，2sin B －3sin A ＝0，∠C ＝π6，S △ABC ＝6，则a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 B【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，故由2sin B －3sin A ＝0，得2b ＝3a .①又S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π6＝6， ∴ab ＝24.②解①②组成的方程组得a ＝4，b ＝6.故选B.8．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2633 D ．2 3 【答案】 B【解析】 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得 a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，b 2－c 2a 2sin 2A ＋c 2－a 2b 2sin 2B ＋a 2－b 2c 2sin 2C 的值为________．【答案】 0【解析】 可利用正弦定理的变形形式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入原式即可．10．在锐角三角形ABC 中，若∠A ＝2∠B ，则ab 的取值范围是________．【答案】 (2，3)【解析】 ∵△ABC 为锐角三角形，且∠A ＝2∠B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2∠B <π2，0<π－3∠B <π2，∴π6<∠B <π4.∵∠A ＝2∠B ，∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，∴a b ＝sin Asin B ＝2cos B ∈(2，3)．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)在△ABC 中，已知a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求b . (2)在△ABC 中，已知∠A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B .【解析】 (1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin45°sin30°＝5 2. (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin45°2＝12. 又∵0°<∠B <180°，且a >b ，∴∠B ＝30°.【规律方法】 (1)中要注意在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°的运用，另外sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30)＝6＋24.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．12．在△ABC 中，已知sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C，判断△ABC 的形状．【分析】当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．【解析】∵sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin B＋sin C.∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)．∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A cos B＋cos A sin B. ∴cos A sin C＋sin B cos A＝0.∴cos A(sin B＋sin C)＝0.∵∠B，∠C∈(0，π)，∴sin B＋sin C≠0.∴cos A＝0，∴∠A＝π2，∴△ABC为直角三角形．。
《正弦定理》教案(含答案)
《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。
2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。
3. 让学生了解正弦定理的应用场景。
教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。
2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 解释正弦定理的证明过程。
教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。
2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。
3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。
练习题：1. 解释正弦定理的概念。
2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。
章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。
练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。
2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。
章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。
2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。
教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。
2. 解释正弦定理的证明方法。
教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。
2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。
练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。
2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。
章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。
2024-2025年人教版必修第四册9.1.1正弦定理(带答案)
9．1.1 正弦定理1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( ) A ．15 B ．59C ．53D ．1 2．已知△ABC 中，a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝60°，那么A 等于( )A ．45°B ．60°C ．120°或60°D ．135°或45°3．已知锐角△ABC 的面积为3，BC ＝4，AC ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°4．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3 ，A ＝30°，则c ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．无解5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin B ＝12，A ＝120°，且b ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．23C ．3D ．436．在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. (1)求角A ；(2)求AC 边上的高．7．(多选)在△ABC 中，下列式子可能成立的是A ．a >b sin A B ．a <b sin AC ．a ＝b sin AD ．b <a sin B8．在△ABC 中，若AB → ·AC → ＝2且∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．23C ．33D ．233 9．(多选)下列关于正弦定理或其变形的叙述正确的是( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sin CB ．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin BD ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C10．(逻辑推理)在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形11．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6 ，b ＝4，则满足条件的△ABC ( )A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定12．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论成立的是( )A ．若A >B ，则sin A >sin BB ．若A >B ，则cos A <cos BC ．若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则a ＝b ＝c D ．若a cos A ＝b cos B ，则A ＝B13．在△ABC 中，已知a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，试判断△ABC 的形状．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 所对的边，已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．15.已知△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32 c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3 ，求c 的值．9．1.1 正弦定理必备知识基础练1．答案：B解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝5×133 ＝59，故选B.2．答案：A解析：在△ABC 中，∵a ＝2 ，b ＝3 ，∴a <b ，∴A <B .又∵B ＝60°，∴A <60°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b＝2×323 ＝22 ，则A ＝45°或135°(舍)，故选A. 3．答案：D解析：S ＝12 BC ·AC ·sin C ＝12 ×4×3×sin C ＝3，∴sin C ＝12，∵三角形为锐角三角形，∴C ＝30°.4．答案：C 解析：由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.∵a <b ，∴B >A ＝30°.∴B 为60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°.此时，c ＝a 2＋b 2 ＝1＋3 ＝2.②当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°.此时，c ＝a ＝1.故选C.5．答案：A解析：∵△ABC 中，sin B ＝12，A ＝120°，∴B ＝30°，∴C ＝30°，又∵b ＝2，∴c ＝b ＝2.∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×2×2×32＝3 . 6．解析：(1)∵B 是△ABC 的内角，且cos B ＝－17， ∴B 为钝角，sin B ＝437. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得7sin A ＝8437 ， 即sin A ＝32 ，∴A ＝π3.(2)由sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32 ×⎝⎛⎭⎫－17 ＋12 ×437 ＝3314， 则AC 边上的高＝a ·sin C ＝7×3314 ＝332. 关键能力综合练7．答案：AC解析：∵a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A，∵sin B ≤1，sin A ≤1，∴a ≥b sin A ，b ≥a sin B ，故选AC.8．答案：C解析：由AB → ·AC → ＝2得AB ·AC ·cos 30°＝2，即AB ·AC ＝43，所以由三角形面积公式得S ＝12 AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12 ×43×12 ＝33 . 9．答案：ACD解析：由正弦定理易知A 、C 、D 正确，对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B 或2A＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误，故选ACD. 10．答案：B解析：由正弦定理，可设a sin A ＝b sin B＝k ，由a ＝b sin A 得k sin A ＝k sin B ·sin A ，所以sin B ＝1，所以B ＝π2，故选B. 11．答案：C 解析：由正弦定理得6sin 60° ＝4sin B.∴sin B ＝2 ＞1，∴角B 不存在． 12．答案：ABC解析：对于A ：因为A >B ，所以a >b ，由正弦定理可得2R sin A >2R sin B (R 是△ABC 外接圆的半径)，所以sin A >sin B ，故正确；对于B ：因为y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，A ，B ∈(0，π)且A >B ，所以cos A <cos B ，故正确；对于C ：因为a cos A ＝b cos B ＝c cos C，由正弦定理化边为角可得tan A ＝tan B ＝tan C ，又因为A ，B ，C ∈(0，π)，所以A ＝B ＝C ，所以a ＝b ＝c ，故正确；对于D ：利用正弦定理化边为角可得sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故错误．故选ABC. 13．解析：∵a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴4R 2sin 2A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A.又∵sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 14．解析：(1)在△ABC 中，由题意知sin A ＝1－cos 2A ＝33， 又B ＝A ＋π2 ，所以sin B ＝sin (A ＋π2 )＝cos A ＝63. 由正弦定理可得b ＝a sin B sin A ＝3×6333＝32 . (2)由B ＝A ＋π2， 得cos B ＝cos (A ＋π2 )＝－sin A ＝－33， 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33 ×(－33)＋63 ×63 ＝13. 所以△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×3×32 ×13 ＝322 . 核心素养升级练 15．解析：(1)由a cos C ＋32 c ＝b ，得sin A cos C ＋32sin C ＝sin B . 因为sin B ＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝32 . 因为0<A <π，所以A ＝π6. (2)由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝32 ， 所以B ＝π3 或2π3. ①当B ＝π3 时，由A ＝π6 ，得C ＝π2 ，所以c ＝2； ②当B ＝2π3 时，由A ＝π6 ，得C ＝π6，所以c ＝a ＝1.综上可得c＝1或2.。
第7节 余弦定理、正弦定理应用举例--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第七节余弦定理、正弦定理应用举例测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线01上方的叫做仰角，目标视线在水平视线02下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i ＝hl＝tan θ解三角形应用问题的步骤：1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东南方向与南偏东45°方向相同．()(2)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为0，π2.()(5)在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针．()答案(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×2．小题热身(1)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为()A．502m B．503m C．252m D．2522m 答案A解析在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin∠CBA，又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，所以AB＝AC sin∠ACBsin∠CBA＝50×2212＝502(m)．故选A.(2)(人教A必修第二册6.4.3例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A．(303＋30)m B．(153＋30)m C．(303＋15)m D．(153＋15)m 答案A解析在△ABP中，∠APB＝45°－30°，所以sin∠APB＝sin(45°－30°)＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB＝AB sin30°sin∠APB＝60×126－24＝30(6＋2)，所以该树的高度为30(6＋2)sin45°＝303＋30(m)．故选A.(3)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为________m.答案507解析连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17500，解得OC ＝507.则该扇形的半径为507m.考点探究——提素养考点一测量距离问题例1(2024·重庆模拟)一个骑行爱好者从A 地出发，向西骑行了2km 到达B 地，然后再由B地向北偏西60°骑行了23km 到达C 地，再从C 地向南偏西30°骑行了5km 到达D 地，则A 地到D 地的直线距离是()A ．8kmB ．37kmC ．33kmD ．5km答案B解析如图，在△ABC 中，∠ABC ＝150°，AB ＝2，BC ＝23，依题意，∠BCD ＝90°，在△ABC中，由余弦定理得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝4＋12＋83×32＝27，由正弦定理得sin ∠ACB ＝AB sin ∠ABC AC＝714，在△ACD 中，cos ∠ACD ＝cos(90°＋∠ACB )＝－sin ∠ACB ＝－714，由余弦定理得AD ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos ∠ACD ＝28＋25＋2×27×5×714＝37.所以A 地到D 地的直线距离是37km.故选B.【通性通法】距离问题的类型及解法(1)类型：①两点间既不可达也不可视；②两点间可视但不可达；③两点都不可达．(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．【巩固迁移】1．已知某渔船在渔港O的南偏东60°方向，距离渔港约160海里的B处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角为68.20°，测得渔政船C的俯角为63.43°，且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上．(1)计算渔政船C与渔港O的距离；(2)若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？(参考数据：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，sin63.43°≈0.89，tan63.43°≈2.00，11≈3.32，13≈3.61)解(1)∵AO⊥OB，∠OBA＝68.20°，OB＝160，∴AO＝OB tan∠OBA≈160×2.50＝400，∵AO⊥OC，∠OCA＝63.43°，∴OC＝OAtan63.43°≈4002.00＝200.即渔政船C与渔港O的距离为200海里．(2)由题意知∠OBC＝60°＋60°＝120°，在△OBC中，由余弦定理得OC2＝OB2＋BC2－2OB·BC cos∠OBC，即40000＝25600＋BC2＋160BC，解得BC＝－80－4013(舍去)或BC＝－80＋4013，即BC≈－80＋40×3.61＝64.4，∵64.425＝2.576<3，∴渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能在3小时内赶到出事地点．考点二测量高度问题例2(1)(2024·江苏南通调研)湖北宜昌三峡大瀑布是国家4A 级景区，也是神农架探秘的必经之地，为了测量湖北宜昌三峡大瀑布的某一处实际高度，李华同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为32，沿山道继续走20m ，抵达B 点位置测得瀑布顶端的仰角为π3.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为π3，则该瀑布的高度约为()A ．60mB ．90mC ．108mD ．120m答案A解析根据题意作出示意图，其中tan α＝32，β＝θ＝π3，AB ＝20，在Rt △AOH 中，tan α＝OHOA，所以OA ＝23OH .在Rt △BOH 中，tan β＝OH OB ，所以OB ＝33OH .在△AOB 中，由余弦定理，得OB 2＝OA 2＋AB 2－2OA ·AB cos θ，即13OH 2＝49OH 2＋202－2×23OH ×20×12，解得OH ＝60.所以该瀑布的高度约为60m ．故选A.(2)(2023·辽宁协作校联考)山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北．整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮．如图，小张为了测量黄河楼的实际高度AB ，选取了与楼底B 在同一水平面内的两个测量基点C ，D ，现测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝95°，CD ＝116m ，在点D 处测得黄河楼顶A 的仰角为45°，求黄河楼的实际高度．(结果精确到0.1m ，取sin55°＝0.82)解由题知，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝55°，在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，则BD ＝CD sin ∠BCD sin ∠CBD＝116×sin30°sin55°＝580.82≈70.7m ，在△ABD 中，AB ⊥BD ，∠ADB ＝45°，所以AB ＝BD tan ∠ADB ＝BD ≈70.7m.故黄河楼的实际高度约为70.7m.【通性通法】(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．(2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．(4)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．【巩固迁移】2．(2023·安徽蚌埠模拟)圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)．当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至．如图是根据蚌埠市(北纬32.92°)的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角(即∠ABC )约为33.65°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC )约为80.51°.圭面上冬至线和夏至线之间的距离(即BD 的长)为7米，则表高(即AC 的长)约为()A ．cos80.51°7tan46.86°B ．7tan46.86°sin33.65°C ．7sin33.65°sin80.51°sin46.86°D ．sin33.65°7sin80.51°答案C解析由图可知∠BAD ＝∠ADC －∠ABC ＝80.51°－33.65°＝46.86°.在△ABD 中，BDsin ∠BAD＝AD sin ∠ABC ，得AD ＝7sin33.65°sin46.86°.在△ACD 中，AC ＝AD sin ∠ADC ＝7sin33.65°sin80.51°sin46.86°.故选C.考点三测量角度问题例3已知在岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇．岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛A 北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5sin38°≈5314，解如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，则BC ＝0.5x ，AC ＝5，依题意，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC sin ∠BAC BC ＝5×327＝5314，所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD .故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．【通性通法】(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．【巩固迁移】3.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝()A ．33B ．6－2C ．3－1D ．2－1答案C解析由题意知，∠CAD ＝15°，∠CBD ＝45°，所以∠ACB ＝30°，∠ABC ＝135°.在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin30°＝ACsin135°，又AB ＝100m ，所以AC ＝1002m ．在△ADC 中，∠ADC ＝90°＋θ，CD ＝50m ，由正弦定理，得AC sin （θ＋90°）＝CDsin15°，所以cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC sin15°CD＝3－1.故选C.课时作业一、单项选择题1.如图，两座相距60m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20m ，50m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为()A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°答案B解析由已知，得AD ＝2010m ，AC ＝305m ，又CD ＝50m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝600060002＝22，又0°＜∠CAD ＜180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.故选B.2.如图，设A ，B 两点在河的两岸，在A 所在河岸边选一定点C ，测量AC 的距离为50m ，∠ACB ＝30°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点间的距离是()A ．252mB ．502mC ．253mD ．503m答案A解析在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，得AB ＝AC sin ∠ACB sin ∠ABC ＝50sin30°sin45°＝50×1222＝252(m)．故选A.3．(2023·山东济南模拟)如图，一架飞机从A 地飞往B 地，两地相距500km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A 点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB 成12°角的方向飞行，飞行到中途C 点，再沿与原来的飞行方向AB 成18°角的方向继续飞行到终点B 点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km 大约多飞了(sin12°≈0.21，sin18°≈0.31)()A ．10kmB ．20kmC ．30kmD ．40km 答案B 解析在△ABC 中，由A ＝12°，B ＝18°，得C ＝150°，由正弦定理，得500sin150°＝BC sin12°＝AC sin18°，所以50012≈BC 0.21≈AC 0.31，所以AC ≈310km ，BC ≈210km ，所以AC ＋BC －AB ≈20(km)．故选B.4.(2023·安徽六安一中校考模拟预测)《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书．”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强．如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A ，B 处分别作切线相交于点C ，测得AC ＝100cm ，BC ＝100cm ，AB ＝180cm ，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为()A ．0.62B ．0.56C ．－0.56D ．－0.62答案A 解析如图所示，设弧AB 对应的圆心是O ，根据题意可知，OA ⊥AC ，OB ⊥BC ，则∠AOB＋∠ACB ＝π，因为AC ＝100，BC ＝100，AB ＝180，则在△ACB 中，cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝1002＋1002－18022×100×100＝－0.62，所以cos ∠AOB ＝cos(π－∠ACB )＝－cos ∠ACB ＝0.62.故选A.5．(2023·山西太原模拟)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，若河流的宽度BC 为60m ，则此时气球的高度为()A ．15(3－1)mB ．15(3＋1)mC ．30(3－1)mD ．30(3＋1)m 答案B 解析在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝75°－30°＝45°，BC ＝60m ，则∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°.又sin105°＝sin(60°＋45°)＝32×22＋12×22＝6＋24，BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，所以AC ＝60×6＋2422＝30(3＋1)m ，所以气球的高度为AC sin ∠ACB ＝30(3＋1)×12＝15(3＋1)m ．故选B.6.(2023·福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A 处垂直上升的无人机P ，对地面B ，C 两受灾点的视角为∠BPC ，且tan ∠BPC ＝13.已知地面上三处受灾点B ，C ，D 共线，且∠ADB ＝90°，BC ＝CD ＝DA ＝1km ，则无人机P 到地面受灾点D 处的遥测距离PD 的长度是()A ．2kmB ．2kmC ．3kmD ．4km 答案B 解析解法一：由题意得BD ⊥平面PAD ，∴BD ⊥PD .设PD ＝x ，∠PBD ＝α，∠PCD ＝β，则tanα＝x2，tanβ＝x，∴tan∠BPC＝tan(β－α)＝x－x21＋x·x2＝xx2＋2＝13，解得x＝1或x＝2，又在Rt△PDA中有x>1，∴x＝2.故选B.解法二：由题意知BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PA＝x，则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.由tan∠BPC＝13，可得cos∠BPC＝31010，在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2x2＋5·x2＋2·31010，解得x2＝3，进而PD＝x2＋1＝2.故选B.7.大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望．吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度(即图中线段AB的长度)．他在该雕塑塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进72米后到达D处(A，C，D三点在同一个水平面内)，测得图中线段AB在东北方向，且测得点B的仰角为71.565°，则该雕塑的高度大约是(参考数据：tan71.565°≈3)()A．19米B．20米C．21米D．22米答案C解析在△ACD中，∠CAD＝135°，∠ACD＝30°，CD＝72，由正弦定理得ADsin∠ACD＝CDsin∠CAD，所以AD＝CD sin∠ACDsin∠CAD＝7(米)，在Rt△ABD中，∠BDA＝71.565°，所以AB＝AD tan71.565°≈7×3＝21(米)．故选C.8．(2023·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(2≈1.4，3≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650m答案B解析如图，设飞机的初始位置为点A，经过420s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000(m)，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，则BC＝2100012×sin15°＝10500(6－2)(m)，因为CD⊥AB，所以CD＝BC sin45°＝10500(6－2)×22＝10500(3－1)≈7350(m)，所以山顶的海拔高度大约为10000－7350＝2650(m)．故选B.二、多项选择题9．某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好3km，那么x的值是()A．3B．23C．3D．6答案AB解析如图，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°.由余弦定理，得3＝x2＋9－2×3×x×cos30°，解得x＝23或x＝ 3.故选AB.10．某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是()A．A处与D处之间的距离是24n mileB ．灯塔C 与D 处之间的距离是83n mileC ．灯塔C 在D 处的南偏西30°D ．D 处在灯塔B 的北偏西30°答案ABC 解析在△ABD 中，由已知，得∠ADB ＝60°，∠DAB ＝75°，则∠B ＝45°.由正弦定理，得AD＝AB sin B sin ∠ADB ＝126×2232＝24，所以A 处与D 处之间的距离为24n mile ，故A 正确；在△ADC中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos30°，又AC ＝83，所以CD ＝8 3.所以灯塔C 与D 处之间的距离为83n mile ，故B 正确；因为AC ＝CD ＝83，所以∠CDA ＝∠CAD ＝30°，所以灯塔C 在D 处的南偏西30°，故C正确；因为灯塔B 在D 处的南偏东60°，所以D 处在灯塔B 的北偏西60°，故D 错误．故选ABC.三、填空题11．神舟载人飞船返回舱成功着陆，标志着返回任务取得圆满成功．假设返回舱D 垂直下落于点C ，某时刻地面上A ，B 两个观测点，观测到点D 的仰角分别为45°，75°，若点A ，B间的距离为10千米(其中向量CA →与CB →同向)，估算该时刻返回舱距离地面的距离CD 约为________千米．(结果保留整数，参考数据：3≈1.732)答案14解析在△ABD 中，A ＝45°，∠ABD ＝180°－75°＝105°，∠ADB ＝30°，由正弦定理得AB sin30°＝AD sin105°，AD ＝20sin105°＝20sin(60°＋45°)＝5(6＋2)，所以CD ＝AD sin A ＝5(6＋2)×22＝53＋5≈14(千米)．12.魏晋南北朝时期，数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高谷深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步．关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高和远的问题，故将《重差》更名为《海岛算经》．受此启发，小明同学依照此法测量泾阳县崇文塔的高度(示意图如图所示)，测得以下数据(单位：米)：前表却行DG ＝1，表高CD ＝EF ＝2，后表却行FH ＝3，表间DF ＝85.则塔高AB ＝________米．答案87解析由题意可知，△EFH ∽△ABH ，△CDG ∽△ABG ，所以EF AB ＝FH BH ，CD AB ＝DG BG，又EF ＝CD ＝2，DG ＝1，FH ＝3，DF ＝85，所以2AB ＝3BD ＋88，2AB ＝1BD ＋1，则3BD ＋88＝1BD ＋1，解得BD ＝852，所以AB ＝2BD ＋2＝87.13．海面上有相距10n mile 的A ，B 两个小岛，从A 岛望C 岛，和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛，和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离为________n mile.答案56解析由题意，知C ＝45°，A ＝60°，AB ＝10.由BC sin A ＝AB sin C，得BC ＝56n mile.14．山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A 与其附近一建筑物楼顶B 之间的距离，无人机在点C 测得点A 和点B 的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D ，此时测得点A 和点B 的俯角分别为45°，60°(A ，B ，C ，D 在同一铅垂面内)，则A ，B 两点之间的距离为________米．答案10015解析由题意，∠DCB ＝30°，∠CDB ＝60°，所以∠CBD ＝90°，所以在Rt △CBD 中，BD ＝12CD ＝300，BC ＝32CD ＝3003，又∠DCA ＝75°，∠CDA ＝45°，所以∠CAD ＝60°，在△ACD 中，由正弦定理，得AC sin45°＝CD sin60°，所以AC ＝60032×22＝2006，在△ABC 中，∠ACB ＝∠ACD －∠BCD ＝75°－30°＝45°，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝(2006)2＋(3003)2－2×2006×3003×22＝150000，所以AB ＝10015.四、解答题15．某市广场有一块不规则的绿地，如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC ，△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用更低(请说明理由)?解(1)在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7.②由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D ，解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米．(2)小李的设计使建造费用更低．理由如下：易知S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD ＞AC ·BC ，且∠C ＝∠D ，所以S △ABD ＞S △ABC .故选择△ABC 的形状建造环境标志费用更低．16．一颗人造地球卫星在地球上空1600km 处沿着圆形的轨道运行，每2h 沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站点A 的正上空，地球半径约为6400km.(1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离；(2)如果此时卫星跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？(参考数据：cos9°≈0.988，sin9°≈0.156)解(1)如图所示，设人造卫星在12：03时位于点C ，其中∠AOC ＝β，则β＝360°×3120＝9°，在△ACO 中，OA ＝6400km ，OC ＝6400＋1600＝8000(km)，β＝9°，由余弦定理得AC 2＝64002＋80002－2×6400×8000cos9°≈3.79×106，解得AC ≈1.95×103，因此在12：03时，人造卫星与卫星跟踪站相距约1950km.(2)如图所示，设此时天线瞄准的方向与水平线的夹角为γ，则∠CAO ＝γ＋90°，由正弦定理得1950sin9°＝8000sin （γ＋90°），故sin(γ＋90°)＝80001950·sin9°≈0.64，即cos γ≈0.64，因此，天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值约为0.64.17．近年来临夏州深入实施生态环境保护和流域综合治理，城区面貌焕然一新．某片水域，如图，OA ，OB 为直线型岸线，OA ＝200米，OB ＝400米，∠AOB ＝π3，该水域的水面边界是某圆的一段弧AB ︵，过弧AB ︵上一点P 按线段PA 和PB 修建垃圾过滤网，已知∠APB ＝3π4(1)求岸线上点A 与点B 之间的距离；(2)如果线段PA 上的垃圾过滤网每米可为环卫公司节约50元的经济效益，线段PB 上的垃圾过滤网每米可为环卫公司节约402元的经济效益，则这两段垃圾过滤网可为环卫公司节约的经济总效益最高约为多少元？(参考数据：102≈10.1，170≈13.04)解(1)由题意，OA ＝200米，OB ＝400米，∠AOB ＝π3，故AB ＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos ∠AOB＝2002＋4002－2×200×400×12＝2003(米)．(2)设∠PAB ＝θ，θ则在△PAB 中，ABsin ∠APB ＝PA ＝PB sin θ，即2003sin 3π4＝PA ＝PB sin θ，故PA ＝2006sin PB ＝2006sin θ，设这两段垃圾过滤网可为环卫公司节约的经济总效益为y 元，则y ＝50PA ＋402PB ＝100006160003sin θ＝100006θ－22sin 160003sin θ＝60003sin θ＋100003cos θ＝20003(3sin θ＋5cos θ)＝2000102sin(θ＋φ)，其中φ为辅助角，不妨取其为锐角，tan φ＝53<3，则φ当θ＋φ＝π2，即θ＝π2－φ时，y 取到最大值2000102，故经济总效益的最大值为2000102≈2000×10.1＝20200(元)，即这两段垃圾过滤网可为环卫公司节约的经济总效益最高约为20200元．18.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 处沿直线步行到C 处，另一种是先从A 处沿索道乘缆车到B 处，然后从B 处沿直线步行到C 处．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ，在甲出发2min 后，乙从A 处乘缆车到B 处，在B 处停留1min 后，再从B 处匀速步行到C 处．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 的长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？解(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理得AB ＝AC sin B ·sin C ＝12606365×45＝1040(m)，所以索道AB 的长为1040m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客的距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)＝＋6251369.因为0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，所以当t ＝3537时，甲、乙两游客距离最短，即乙出发3537min 后，乙在缆车上与甲的距离最短．。
2017-2018学年高中数学(人教B版)5名师讲义：第一章1.1 正弦定理和余弦定理含答案
正弦定理和余弦定理1．1。
1 正弦定理预习课本P3~5，思考并完成以下问题（1)直角三角形中的边角之间有什么关系？(2）正弦定理的内容是什么?利用它可以解哪两类三角形？（3）解三角形的含义是什么?错误!1．正弦定理在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即错误!＝错误!＝错误!.[点睛］正弦定理的特点（1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式:分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2．解三角形一般地，把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．错误!1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1）正弦定理适用于任意三角形（)(2)在△ABC中，等式b sin A＝a sin B总能成立（）(3)在△ABC中，已知a，b，A,则此三角形有唯一解( ）解析：(1）正确．正弦定理适用于任意三角形．（2)正确．由正弦定理知错误!＝错误!,即b sin A＝a sin B.（3）错误．在△ABC中,已知a,b，A，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a,b,A的值来定．答案:(1)√(2)√(3）×2．在△ABC中，下列式子与错误!的值相等的是( )A。
错误! B.错误!C.sin CcD.错误!解析:选C 由正弦定理得，错误!＝错误!，所以sin Aa＝错误!.3．在△ABC中，已知A＝30°,B＝60°，a＝10,则b等于（）A．5错误! B．10错误!C。
错误! D．5错误!解析：选B 由正弦定理得，b＝错误!＝错误!＝10错误!。
4．在△ABC中，A＝30°,a＝3，b＝2，则这个三角形有( ）A．一解 B．两解C．无解 D．无法确定解析：选A ∵b<a,A＝30°，∴B〈30°,故三角形有一解．已知两角及一边解三角形[典例] 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.[解] A＝180°－(B＋C)＝180°－（60°＋75°)＝45°，由正弦定理错误!＝错误!，得b＝错误!＝错误!＝4错误!，由错误!＝错误!，得c＝错误!＝错误!＝错误!＝4（错误!＋1)．已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．（2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边．［注意］若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值（这时应注意角的拆并,即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用］在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3错误!，则AC＝（)A．4错误! B．2错误!C。
高三数学正弦定理试题答案及解析
高三数学正弦定理试题答案及解析1.在中，,则的面积等于___ __.【答案】【解析】由余弦定理得：.所以.【考点】解三角形.2.在中，的对边分别为且成等差数列．（1）求的值；（2）求的范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先利用等差中项的定义找出等量关系，再利用三角恒等变换化简求解；（2）先由（1）得，从而代入，转化为只含Ａ的三角函数，利用三角公式将其化为的形式，再注意到，进而转化成三角函数求值域问题求解．试题解析：（1）由正弦定理得，，即：，.又在中，，.（2），所以，的范围是．【考点】１．等差数列的性质；２．正弦定理；３．三角函数的图象和性质．3.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________.【答案】150【解析】根据题意，在中，已知，易得：;在中，已知，易得：，由正弦定理可解得：，即：;在中，已知，易得：.【考点】1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用4.若的内角满足，则的最小值是 .【答案】【解析】由已知及正弦定理可得，，当且仅当即时等号成立．【考点】正弦定理与余弦定理．5.在△ABC中,2sin2=sinA,sin(B-C)=2cosBsinC,则=____________.【答案】【解析】2sin2=sinA⇔1-cosA=sinA⇔sin=,又0<A<π,所以<A+<,所以A+=,所以A=.再由余弦定理,得a2=b2+c2+bc①将sin(B-C)=2cosBsinC展开,得sinBcosC=3cosBsinC,所以将其角化边,得b·=3··c,即2b2-2c2=a2②将①代入②,得b2-3c2-bc=0,左右两边同除以bc,得-3×-1=0,③解③得=或=(舍),所以==.6.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c且c＝3，a＝2，a＝2bsin A，则△ABC的面积为________．【答案】【解析】由题意知，bsin A＝1，又由正弦定理得：bsin A＝2sin B，故解得sin B＝，所以△ABC的面积为acsin B＝．7.设函数f(x)＝cos＋2cos2，x∈R．(1)求f(x)的值域；(2)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)＝1，b＝1，c＝，求a的值．【答案】（1）[0,2] （2）1或2【解析】(1)f(x)＝cos xcos －sin xsin ＋cos x＋1＝－cos x－sin x＋cos x＋1＝cos x－sin x＋1＝sin＋1，因此f(x)的值域为[0,2]．(2)由f(B)＝1得sin＋1＝1，即sin＝0，又因0<B<π，故B＝．方法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或2．方法二由正弦定理＝，得sin C＝，C＝或．当C＝时，A＝，从而a＝＝2；当C＝时，A＝，又B＝，从而a＝b＝1．故a的值为1或2．8.已知分别为三个内角A、B、C的对边，若,则=_________.【答案】【解析】【考点】正弦定理和余弦定理.9.设函数.（1）求的值域；（2）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若，求a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根据两角和的余弦公式展开，再根据二倍角公式中的降幂公式展开，然后合并同类项，利用进行化简；利用三角函数的有界性求出值域.(2)若,,得到角的取值，方法一：可以利用余弦定理，将已知代入，得到关于的方程，方法二：利用正弦定理，先求,再求角C,然后利用特殊三角形，得到的值.试题解析：（1）4分因此的值域为[0，2]. 6分（2）由得，即，又因，故. 9分解法1：由余弦定理，得，解得. 12分解法2：由正弦定理，得. 9分当时，，从而； 10分当时，，又，从而. 11分故a的值为1或2. 12分【考点】两角和的余弦公式、二倍角公式、余弦定理、正弦定理.10.已知向量，设函数（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积的坐标表示，先计算，然后代入中，利用正弦的二倍角公式和降幂公式，将函数解析式化为，然后利用复合函数的单调性和正弦函数的单调区间，求出函数的单调递增区间；（2）三角形问题中，涉及边角混合的式子，往往进行边角转换，或转换为边的代数式，或转换为三角函数问题处理．将利用正弦定理转换为，同时结合已知和余弦定理得，，从而求，进而求的值．试题解析：（1）令 6分所以所求增区间为 7分（2）由，， 8分，即 10分又∵， 11分 12分【考点】1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函数的图象和性质.11.的三个内角A，B，C所对的边分别为，则()A．B．C．D．【答案】B【解析】根据正弦定理可知，即，所以，选B.12.在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=.（1）求sinA的值；（2）设AC=，求ABC的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）∵sin(C-A)=1且A，B，C为三角形之内角，∴C-A=，又C+A=-B，∴A=-∴sinA=sin(-)=(cos-sin)，∴sin2A =(cos2+sin2-2sin cos)即，又，∴（2）如图，由正弦定理得∴，又∴13.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，若的值.【答案】(1)(2)【解析】(1)要得到的最小正周期,必须对进行化简,首先观察与之间的关系,可以发现,故利用诱导公式(奇变偶不变符号看象限)把,再利用正弦的倍角公式即可得到函数的最简形式,利用周期即可得到最小正周期.(2)把带入(1)得到的中,化简即可求的C角的大小,A角已知,所以可以求的C,A两个角的正弦值,利用正弦定理可得所求比值即为A,C两个角的正弦之比,带入即可求出.试题解析：（1）因为，所以函数的最小正周期为 6分（2）由（1）得，，由已知，，又角为锐角，所以，由正弦定理，得 12分【考点】诱导公式正弦定理周期正弦倍角公式14.在三棱锥中，，，，则与平面所成角的余弦值为.【答案】【解析】作PO⊥面ABC，垂足为O，连结AO，BO，CO，∴∠PBO是PB与面ABC所成的角，因，∴≌≌，∴AO=BO=CO，∴O是△ABC的外心，由正弦定理知，===12（R为△ABC外接圆半径），∴R=6，∴在Rt△POB中，∠BPO=30，∴∠PBO=，其余弦值为.【考点】1.正弦定理；2.线面角.15.已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）设△的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知为锐角，，，，求的值．【答案】(1) (2)【解析】(1)首先利用正弦和差角公式展开,再利用正余弦的二倍角与辅助角公式化简,得到,则从x的范围得到的范围,再利用正弦函数的图像得到的取值范围,进而得到的取值范围.(2)把带入第(1)问得到的解析式,化简求值得到角A,再利用角A的余弦定理,可以求出a的值,再根据正弦定理,可以求的B角的正弦值,再利用正余弦之间的关系可以求的A,B的正余弦值,根据余弦的和差角公式即可得到的值.试题解析：（1）.4分∵，∴，．∴． .7分（2）由，得，又为锐角，所以，又，，所以，． .10分由，得，又，从而，．所以， 14分【考点】三角形正余弦定理正余弦和差角与倍角公式正弦函数图像16.在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且bcosB是acosC、ccosA的等差中项．(1)求B的大小；(2)若a＋c＝，b＝2，求△ABC的面积．【答案】（1）B＝（2）【解析】(1)由题意，得acosC＋ccosA＝2bcosB.由正弦定理，得sinAcosC＋cosAsinC＝2sinBcosB，即sin(A＋C)＝2sinBcosB.∵A＋C＝π－B，0＜B＜π，∴sin(A＋C)＝sinB≠0.∴cosB＝，∴B＝.(2)由B＝，得＝，即＝，∴ac＝2.∴S＝acsinB＝.△ABC17.已知函数,的最大值为2．（1）求函数在上的值域；（2）已知外接圆半径，，角所对的边分别是，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查三角函数的最值问题、函数的单调性、正弦定理等基础知识，同时考查运算转化能力和计算能力.第一问，利用最大值为，可以解出m的值，利用两角和的正弦公式化简，根据函数定义域求的值域；第二问，利用第一问的表达式，化简，再利用正弦定理将角转化成边，由，从而得到的值.试题解析：（1）由题意，的最大值为，所以． 2分而，于是，． 4分在上递增．在递减，所以函数在上的值域为； 5分（2）化简得． 7分由正弦定理，得， 9分因为△ABC的外接圆半径为．． 11分所以 12分【考点】1.两角和的正弦公式；2.正弦定理；3.三角函数值域.18.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】A【解析】由正弦定理,得sinBcosC+cosBsinC=sin2A,则sin(B+C)=sin2A,由三角形内角和定理及互为补角的诱导公式,得sin(B+C)=sin2A=1,所以A=,故选A.19.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若B=2A,a=1,b=,则c等于()(A)2 (B)2 (C) (D)1【答案】B【解析】由正弦定理,得=,∵B=2A,a=1,b=,∴==,∵sinA≠0,∴cosA=得A=,B=,C=.∴c==2.故选B.20.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为()A．2+2B．+1C．2-2D．-1【答案】B【解析】由正弦定理知c==2.又sinA=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=,所以△ABC的面积S=bcsin A=+1.故选B.21.在中，角、、所对的边分别为、、，若，则为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，故，所以，由正弦定理可得，故选B.【考点】1.二倍角公式；2.正弦定理22.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝120°，c＝a，则() A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定【答案】C【解析】因为sin 120°＝sin A，所以sin A＝，则A＝30°＝B，因此a＝b23.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________．【答案】【解析】因为cos A＝，cos B＝，所以sin A＝，sin B＝.由正弦定理得，即，所以a＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即9＝＋c2－2c，解得c＝ (负值舍去)．24.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别a，b，c，且a cos C，b cos B，c cos A成等差数列，则角B等于()A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】由题意，得2b cos B＝a cos C＋c cos A，根据正弦定理可得2sin B cos B＝sin A cos C＋cos A sin C，即2sin B cos B＝sin(A＋C)＝sin B，解得cos B＝，所以B＝60°25.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于________．【答案】【解析】先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．由，且8b＝5c，C＝2B，所以5c sin 2B＝8c sin B，所以cos B＝.所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝.26.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.(1)求cos A的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．【答案】（1）－（2）【解析】(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，∴cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.(2)由cos A＝－，0<A<π，得sin A＝，由正弦定理，有，所以，sin B＝.由题知a>b，则A>B，故B＝，根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)．故向量在方向上的投影为||cos B＝.27.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为______米．【答案】400【解析】如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得所以，得AD＝400 (米)．在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理，可得AC2＝AD2＋CD2－2×AD×CD×cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝400(米)．故索道AC的长为400米．28.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin B sin C的值．【答案】（1）A＝（2）【解析】(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝，(2)由S＝bc sin A＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理得sin B＝sin A，sin C＝sin A.∴sin B·sin C＝sin2A＝×＝.29.在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin ∠BAC＝()．A．B．C．D．【答案】C【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC cos ∠ABC＝()2＋32－2××3cos ＝5.∴AC＝，由正弦定理得sin ∠BAC＝.30.已知函数f(x)＝sin x cos x＋cos 2x－，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B)＝1.(1)求角B的大小；(2)若a＝，b＝1，求c的值．【答案】（1）B＝，（2）c＝1【解析】(1)因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，所以f(B)＝sin ＝1，又∈，所以2B＋＝，所以B＝(2)法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B得c2－3c＋2＝0，所以c＝1，或c＝2.法二由正弦定理得sin A＝，所以A＝或A＝，当A＝时，C＝，所以c＝2；当A＝时，C＝，所以c＝1.31.类比正弦定理，如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，二面角B-AA1-C，C-BB1-A，B-CC1-A的平面角分别为α，β，γ，则有________．【答案】＝＝【解析】根据正弦定理得＝＝，即＝＝，而AA1＝BB1＝CC1，且EF·BB1＝SBB1C1C，DF·CC1＝SAA1C1C，DE·AA1＝SAA1B1B，因此＝＝32.在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为()．A．B．C．D．【答案】D【解析】由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，即72＝52＋AC2－10AC·cos 120°，∴AC＝3.由正弦定理，得＝＝.33.设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，且，,则的取值范围为（）.A．B．C．．D．【答案】A【解析】要求的范围，首先用正弦定理建立一个关系，，从而，因此我们只要确定出的取值范围，就可求出的取值范围了，，从而，又，，所以有，，所以．【考点】正弦定理，锐角三角形的判定．34.在中，角所对的边分别为，已知，（1）求的大小；（2）若，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）本小题的突破口主要是抓住条件可使用正弦定理，得到，然后利用三角函数即可求得；（2）本小题首先通过正弦定理把三边用角表示出来，，然后把周长的问题转化为三角函数的值域求解问题；当然本小题也可采用余弦定理建立三边之间的关系，然后根据基本不等式求得，再根据三角形中两边之和大于第三边可得，于是，又，所以求得周长范围为.试题解析：（1）由条件结合正弦定理得，从而，∵，∴ 5分（2）法一：由正弦定理得：∴，， 7分9分∵ 10分∴，即（当且仅当时，等号成立）从而的周长的取值范围是 12分法二：由已知：，由余弦定理得：（当且仅当时等号成立）∴（，又，∴，从而的周长的取值范围是 12分【考点】1 正弦定理；2 余弦定理；3 基本不等式35.在中，角所对的边分别为满足，,, 则的取值范围是 .【答案】【解析】∵,∴，∴，∴为钝角，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，，∴.【考点】1.向量的数量积；2.余弦定理；3.正弦定理；4.三角函数的值域.36.已知中，角的对边分别为，且满足.（I）求角的大小；（Ⅱ）设，求的最小值.【答案】（I）；（Ⅱ）当时，取得最小值为0．【解析】（I）利用正弦定理或余弦定理，将已知式化为：，再利用三角函数相关公式（两角和的正弦公式、诱导公式等），结合三角形内角和定理将其化简，即可求得角的大小；（Ⅱ）由已知及平面向量的数量积计算的坐标公式，可得的函数关系式：．由（I），，从而，只需求函数的最小值即可．试题解析：（I）由正弦定理，有， 2分代入得. 4分即.． 6分，． 7分． 8分（Ⅱ）， 10分由，得. 11分所以，当时，取得最小值为0． 12分【考点】1．利用正弦定理、余弦定理解三角形；2．平面向量的数量积运算；3．三角函数的最值．37.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，＝（sinA，1），＝（cosA，），且∥．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．【答案】（1）；（II）△ABC的面积为或.【解析】（1）根据向量平行的坐标运算解答；（2）由（1）得出角A的大小，利用正弦定理计算，计算角大小，然后利用三角形中计算角，根据三角形面积公式解答即可.试题解析：（1） 4分（2）由正弦定理可得，，或. 6分当时，； 9分当时，. 11分故，△ABC的面积为或. 12分【考点】平面向量的坐标运算、正弦定理、解三角形、三角形面积公式.38.的角的对边分别为，已知.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，,求的值.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】(Ⅰ)先根据正弦定理将已知表达式：，全部转化为边的关系，然后根据余弦定理求出角的余弦值，结合特殊角的三角函数值以及三角形的内角求角；(Ⅱ)先根据三三角形的面积公式求出，然后根据余弦定理的变形，求得，将已知的与代入此式可解得.试题解析：（1）根据正弦定理，原等式可转化为：， 2分， 4分∴. 6分(Ⅱ)，∴， 8分， 10分∴. 12分【考点】1.正弦定理；2.余弦定理及其变形；3.解三角形；4.三角形的面积公式；5.特殊角的三角函数值39.在中，角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，求和的值.【答案】（1）；（2），；【解析】（1）本小题主要通过正弦定理得边角互化把条件转化为，然后利用余弦定理化简可得；（2）本小题通过展开得，然后根据正弦定理求得，.试题解析：（1）由正弦定理得由余弦定理得故 6分（2）故13分【考点】1.正弦定理；2.余弦定理.40.在中，角的对边分别为,,.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据已知条件，建立的方程组即可得解.（Ⅱ）应用余弦定理可首先.进一步应用正弦定理即得.试题解析：（Ⅰ）由和可得, 2分所以， 3分又所以. 5分（Ⅱ）因为,,由余弦定理可得 7分，即. 9分由正弦定理可得 11分， 12分所以. 13分【考点】正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积.41.在△中，角的对边分别为，若，则等于.【答案】【解析】因为，，，所以，，由正弦定理得，.【考点】，三角函数同角公式，正弦定理.42.已知的三个内角满足，则角的取值范围是．【答案】.【解析】设的外接圆的半径为，则三个内角、、的对边分别为、、，由于，则有，即，故有，由余弦定理得，，当且仅当的时候，上式取等号，，，即角的取值范围是.【考点】正弦定理与余弦定理、基本不等式43.在中，内角的对边分别为．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为钝角，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）3（Ⅱ）【解析】（I）由正弦定理，设则所以………………4分即，化简可得又，所以因此……………….6分（II）由得由题意，…10分……………………………………12分【考点】正余弦定理解三角形点评：正弦定理，余弦定理，，，两定理可以实现三角形中边与角的互相转化44.如图，在某港口处获悉，其正东方向20海里处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西据港口10海里的处，救援船接到救援命令立即从处沿直线前往处营救渔船.(Ⅰ) 求接到救援命令时救援船据渔船的距离；（Ⅱ）试问救援船在处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（已知）.【答案】 (Ⅰ) 接到救援命令时救援船据渔船的距离为海里.（Ⅱ）救援船应沿北偏东的方向救援.【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中的应用，注意方位角与计算的准确性，考查计算能力．（Ⅰ）：△ABC中，求出边长AB，AC，∠CAB，利用余弦定理求出BC，即可求接到救援命令时救援船据渔船的距离；（Ⅱ）△ABC中，通过正弦定理求出sin∠ACB的值，结合已知数据，得到∠ACB即可知道救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援．解：(Ⅰ) 由题意得：中，，……………3分即，所以接到救援命令时救援船据渔船的距离为海里. (6)（Ⅱ）中, ,,由正弦定理得即………9分，，故救援船应沿北偏东的方向救援. …………… 12分45.在中，，，则 ( )A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由正弦定理，，故B>A,所以或，选C46.在中，若，则角B为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,所以.47.在△中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，则．【答案】【解析】因为由正弦定理可知，得到sinB=，由于b<a，因此48.（本小题满分14分）中，角A，B,C的对边分别是且满足（１）求角B的大小；（２）若的面积为为，求的值；【答案】(1). ⑵a＋c＝．【解析】本试题主要是考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的综合运用，求解边和角的关系，同时也考查了三角形面积公式的运用。
正弦定理练习题(含答案)
正弦定理 复习1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C， ∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°， ∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2， 又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 解得b ＝2 3.答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12， 又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A 2，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)， A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010. 又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B＝255×31010－55×1010＝22. 又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4. (2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22. 由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得 5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b . ∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1.∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝b sin B，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.。
高中余弦正弦定理练习题及讲解
高中余弦正弦定理练习题及讲解### 练习题一：余弦定理的应用在三角形ABC中，已知AB=7cm，AC=9cm，BC=10cm。
求角A的大小。
解答：首先，我们可以使用余弦定理来解决这个问题。
余弦定理公式为：\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \]其中，a、b、c 分别是三角形的三边，C 是夹角。
在本题中，我们有：- a = AB = 7cm- b = AC = 9cm- c = BC = 10cm- C = A（我们要求的角）将已知值代入公式，我们得到：\[ 10^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos(A) \]\[ 100 = 49 + 81 - 126 \cdot \cos(A) \]\[ \cos(A) = \frac{49 + 81 - 100}{126} \]\[ \cos(A) = \frac{30}{126} \]\[ \cos(A) = \frac{5}{21} \]然后，我们可以通过反余弦函数求得角A的大小：\[ A = \arccos\left(\frac{5}{21}\right) \]### 练习题二：正弦定理的应用在三角形DEF中，已知DE=8cm，DF=6cm，角E=45°。
求角D的大小。
解答：正弦定理公式为：\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]其中，a、b、c 分别是三角形的三边，A、B、C 分别是对应角。
在本题中，我们有：- a = DE = 8cm- b = DF = 6cm- B = E = 45°- 我们需要求角D，即角C。
根据正弦定理，我们可以得到：\[ \frac{8}{\sin(45°)} = \frac{6}{\sin(D)} \]\[ \sin(D) = \frac{6 \cdot \sin(45°)}{8} \]\[ \sin(D) = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{8} \]\[ \sin(D) = \frac{3\sqrt{2}}{8} \]然后，我们可以通过正弦函数的反函数求得角D的大小：\[ D = \arcsin\left(\frac{3\sqrt{2}}{8}\right) \]### 练习题三：余弦定理与正弦定理的结合在三角形GHI中，已知GH=5cm，HI=6cm，角G=60°。
新人教A版高中数学【必修5】 第一章 1.1.1正弦定理(二)课时作业练习含答案解析
1.1.1 正弦定理(二) 课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ；(3)a ＝2Rsin_A ，b ＝2Rsin_B ，c ＝2Rsin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R .2．三角形面积公式：S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12casin B.一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案 D2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C ，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C.3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞)C ．(0,10) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C.∴0<c≤403.4．在△ABC 中，a ＝2bcos C ，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案 A解析 由a ＝2bcos C 得，sin A ＝2sin Bcos C ，∴sin(B ＋C)＝2sin Bcos C ，∴sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ，∴sin(B －C)＝0，∴B ＝C.5．在△ABC 中，已知(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于() A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6答案 B解析 ∵(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k>0)，则⎩⎨⎧ b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝72kb ＝52kc ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2C.12 D ．4答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR2＝π，得R ＝1，由S △＝12absin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12absin C ＝43，∴b ＝2 3.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________. 答案 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a>b ，得A>B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2，∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7.10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12absin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝a sin A ＝12，∴c ＝6.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －ccos Bb －ccos A ＝sin B sin A .证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，所以左边＝2Rsin A －2Rsin Ccos B2Rsin B －2Rsin Ccos A ＝＋－sin Ccos B ＋－sin Ccos A ＝sin Bcos C sin Acos C ＝sin B sin A ＝右边．所以等式成立，即a －ccos B b －ccos A ＝sin B sin A .12．在△ABC 中，已知a2tan B ＝b2tan A ，试判断△ABC 的形状．解 设三角形外接圆半径为R ，则a2tan B ＝b2tan A⇔a2sin B cos B ＝b2sin A cos A⇔4R2sin2 Asin B cos B ＝4R2sin2 Bsin A cos A⇔sin Acos A ＝sin Bcos B⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为() A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°答案 C解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12，∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S.解 cos B ＝2cos2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210. 由正弦定理得c ＝asin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12acsin B ＝12×2×107×45＝87.1．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B)＝sin C ，cos(A ＋B)＝－cos C ；(3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tan C 2.2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．。
高一数学正弦定理试题答案及解析
高一数学正弦定理试题答案及解析1.在中，角所对的边分别为，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若成等比数列，试判断的形状．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）是等边三角形.【解析】（Ⅰ）直接通过已知条件，利用余弦定理求出A的余弦函数值，即可求角A的大小；（Ⅱ）通过sinB、sinA、sinC成等比数列，利用正弦定理，得到abc关系，结合已知条件，求出b=c，即可判断△ABC的形状．试题解析：（Ⅰ）由已知得．， 4分又是的内角，所以. 6分（Ⅱ）由正弦定理得，. 9分又即.所以是等边三角形.. 12分【考点】余弦定理；三角形的形状判断．2.在△ABC中,若,且sin C =,则∠C =【答案】【解析】由已知得，【考点】余弦定理3.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为且.（1）求角A的大小;（2）若求△ABC的面积.【答案】（1），（2）.【解析】（1）利用公式化简，要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确，得到的形式，（2）求解较复杂三角函数的最值时，首先化成形式，在求最大值或最小值，寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；（3）要注意符号，有时正负都行，有时需要舍去一个；（4）在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.试题解析：解：（1）由已知得到:，且，且; 6分（2）由（1）知，由已知得到:所以 12分【考点】（1）在三角形中，求角的大小；（2）求三角形的面积；4.在△ABC中，若，则△ABC的形状（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形【答案】B【解析】由，又，所以△ABC的形状是等腰或直角三角形，故选Ｂ．【考点】正弦定理．5.如图，在平面四边形中，，（1）求的值；（2）求的长【答案】（1），（2）.【解析】（1）本小题中先在中用余弦定理求得CD，再在中用正弦定理求得，注意在用这两个定理时，要找足条件，并正确选择三角形；（2）本小题中，而用两角差的余弦公式展开求得，又在中，故即可求得其值.试题解析：（1）设，在中，由余弦定理，得,于是由题设知，,即，解得（舍去），在中，由正弦定理，得，于是，,即.（2）由题设知，于是由（1）知，，而，所以，在中，故.【考点】余弦定理，正弦定理，同角三角函数的基本关系，直角三角形的边角关系，两角差的余弦公式.6.在中，角对的边分别为，且．(1)求的值；(2)若，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）已知，根据正弦定理和合比定理求的值；（2）由余弦定理得出的值，再根据三角形的面积公式可求出的面积．试题解析：（1）因为，由正弦定理，得，∴；（2）∵，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍去），所以.【考点】1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角形面积公式.7.在△ABC中，AB=A=45°，C=60°,则BC= .【答案】.【解析】如图，根据正弦定理，，解得.【考点】正弦定理，特殊角的三角函数.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角A的大小为（）.A．B．C．D．【答案】C.【解析】根据正弦定理，（其中R为三角形外接圆的半径），则有，所以有，又，所以有，即，又，所以.【考点】正弦定理，二倍角的正弦公式，特殊角的三角函数值.9.（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由得， =，用两角和与差的公式展开得，，由正弦定理得，所以，所以或，所以或，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选D.【考点】正弦定理；三角恒等变换10.在△中，角所对的边分别为，已知,，．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）将已知条件,，代入余弦定理即可求得；（2）由及同角三角函数基本关系式中的平方关系求出sinB,再由正弦定理即可求出sinC的值.试题解析：（1）由余弦定理 2分得 5分6分（2） 7分由正弦定理，即 10分12分【考点】余弦定理；正弦定理；同角三角函数基本关系式11.在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A.【解析】∵，∴由正弦定理可得，∴，又∵，∴，∴为钝角三角形.【考点】正弦定理余弦定理结合判断三角形形状.12.在中，若三角形有两解，则的取值范围是．【答案】【解析】,且三角形有两解，，．【考点】正弦定理、三角形接的个数．13.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为，，．若，，则角（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】∵，∴，，又∵，∴，∴，∴．【考点】正余弦定理解三角形．14.△ABC中，若，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】D【解析】∵在△ABC中，若，由正弦定理得：又由余弦定理得：∴故△ABC形状不确定．故选D．【考点】三角形的形状判断．15.△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，△ABC的周长为＋2，且sinA＋sinB＝sinC.(1)求边c的长. (2)若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．【答案】(1)c＝;(2) ∠C＝60°.【解析】(1)由正弦定理可知: sinA＋sinB＝sinC等价于a＋b＝c代入已知a+b+c=＋2＝absinC＝sinC，又注意到sinC>0得可求得边c的长； (2)由三角形的面积公式可得S△ABCab=,结合（1）中结论,并注意到a＋b＝2,应用余弦定理cosC＝＝可求得cosC值，进而得到角C的度数.试题解析：(1)在△ABC中，∵sinA＋sinB＝sinC，由正弦定理，得a＋b＝c， 3分∴a＋b＋c＝c＋c＝(＋1)c＝＋2.∴a＋b＝2，c＝ 6分。
《正弦定理》教案(含答案)
《正弦定理》教案（含答案）第一章：正弦定理的引入1.1 实物的直观引入利用直角三角形和平行四边形模型，引导学生直观感受正弦定理的概念。
让学生通过观察和实验，发现正弦定理在几何图形中的普遍性。
1.2 数学定义与公式给出正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a, b, c分别为三角形的边长，A, B, C分别为对应的角度。
解释正弦定理的内涵，让学生理解各个参数之间的关系。
1.3 例题讲解选择具有代表性的例题，讲解正弦定理的应用方法。
引导学生通过正弦定理解决问题，培养学生的解题能力。
第二章：正弦定理的应用2.1 三角形内角和定理的推导利用正弦定理推导三角形内角和定理：A + B + C = 180°。
解释推导过程，让学生理解正弦定理与三角形内角和定理之间的关系。
2.2 三角形形状的判断利用正弦定理判断三角形的形状（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）。
引导学生通过正弦定理判断给定三角形的形状。
2.3 实际问题应用选择与生活实际相关的问题，引导学生利用正弦定理解决问题。
培养学生的实际问题解决能力，提高学生对正弦定理的应用意识。
第三章：正弦定理在测量中的运用3.1 角度测量讲解利用正弦定理进行角度测量的方法。
引导学生通过正弦定理进行角度测量，提高学生的实际操作能力。
3.2 距离测量讲解利用正弦定理进行距离测量的方法。
引导学生通过正弦定理进行距离测量，提高学生的实际操作能力。
3.3 实际测量案例提供实际测量案例，让学生利用正弦定理进行测量。
培养学生的实际测量能力，提高学生对正弦定理在测量中应用的理解。
第四章：正弦定理在三角函数中的应用4.1 三角函数的定义与关系讲解正弦定理与三角函数之间的关系。
引导学生理解正弦定理在三角函数中的应用。
4.2 三角函数图像的绘制利用正弦定理绘制三角函数图像。
培养学生的图像绘制能力，提高学生对正弦定理在三角函数中应用的理解。
4.3 三角函数问题的解决利用正弦定理解决三角函数问题。
人教A版必修二6.4.3正弦定理 课堂、课后练习题(含答案)
6.4.3正弦定理课堂练习1、在ABC ∆中，c C A b 求,75,45,200===2、在ABC ∆中，c a b B A ,,3,3,54cos 求===π3、在ABC ∆中，0120,332,2===A c a ，求C b 和4、在ABC ∆中，求证：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=B c C b a C a A c b A b B a c cos cos ,cos cos ,cos cos (射影定理)5、在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且A a B c C b sin cos cos =+,判断ABC ∆的形状？答案1. 00060,75,45=∴==B C A 3623326234262sin sin +=+=+⨯==B C b c2. 5623533sin sin ,53sin ,54cos =⨯====B A b a A A ()1034323542153cos sin cos sin sin sin +=⨯+⨯=+=+=A B B A B A C 534323103433sin sin +=+⨯==B C b c 3.21223332sin sin =⨯==a A c C ，所以030=C 33223212sin sin =⨯==A B a b 4利用正弦定理()c R B A R A B B A R A b B a ==+=+=+sinC 2sin 2)cos sin cos (sin 2cos cos 同理可证：B c C b a C a A c b cos cos ,cos cos +=+= 5由正弦定理()A C B A C B C B 22sin sin sin sin cos cos sin =+∴=+ 0290,1sin sin sin ==∴=A A A AABC ∆是直角三角形6.4.3正弦定理课后练习1. 在ABC ∆中，”“B A >是”“B A sin sin >的 A. 充分非必要条件 B .必要非充分体条件C.充要条件 D 既不充分又不必要条件2. 在ABC ∆中，====b a B A 则,2,45,3000A 2B 1C 36 D 6 3.在中，====b c C A 则,2,45,10500 A 1 B 2 C 3 D 24.在ABC ∆中，3,4,34π===A b a ，则B A 6π B 3π C 2π D 32π 5. 在ABC ∆中，====B A b a 则,30,3,10A 0012060或B 0005103或C 060D 01206. 在ABC ∆中，若cC b B a A cos cos sin ==，则ABC ∆ A 等腰直角三角形 B 有一个角是030的直角三角形C 等边三角形D 有一个角是030的等腰三角形7. 在ABC ∆中，====B A b a 则,45,2,208. 在====∆a B c b ABC 则，,30,33,309. 在ABC ∆中，045,2,3===B b a ,解这个三角形10. 在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且22tan tan b a B A = 试判断ABC ∆的形状()11*20193sin sin 2A C ABC a b A +∆=年全国文科在中， ()1B 求角()21,ABC c ABC ∆=∆若是锐角三角形，且求的面积的取值范围答案1 C;2 A;3 A;4 A ;5 A;6 A;7. 030; 8. 3或6 9.由正弦定理：232223sin sin =⨯==bB a A 0018045<<A ,0012060或=A（1）0075,60==C A （2）226224262sin sin +=+⨯==B C b c 0015,120==C A226224262sin sin -=-⨯==B C b c 10.由正弦定理：BA AB B A B A B A sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 22=∴= B A B B A A 2sin 2sin cos sin cos sin =∴= 01802222=+=B A B A 或即090=+=B A B A 或 ABC ∆是等腰三角形或者直角三角形11()1sin sinsin sin sin sin 22A C A C AB A B ++=∴=解利用正弦定理1cos 2sin cos cos 0sin ,60222222B B B B B B =≠==，()12sin 24ABC S ac B a ∆==()01sin sin 120sin 122sin sin sin 2C C c C c A a C C C +-====+0000090,090ABC A C ∆<<<<是锐角三角形，00011203090tan 22A C C C a +=∴<<><<所以1sin 2ABCS ac B ∆∴==∈⎝⎭。
正弦定理(一)(附答案)
正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题.知识点一正弦定理1.正弦定理的表示2.正弦定理的常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，其中R为△ABC外接圆的半径.(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R(R为△ABC外接圆的半径).(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.(4)a＋b＋csin A＋sin B＋sin C ＝asin A＝bsin B＝csin C.(5)a sin B＝b sin A，a sin C＝c sin A，b sin C＝c sin B.3.正弦定理的证明(1)在Rt△ABC中，设C为直角，如图，由三角函数的定义：sin A ＝a c ，sin B ＝b c，∴c ＝asin A ＝b sin B ＝c sin 90°＝csin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C. (2)在锐角三角形ABC 中，设AB 边上的高为CD ，如图，CD ＝a sin_B ＝b sin_A ，∴a sin A ＝bsin B， 同理，作AC 边上的高BE ，可得a sin A ＝csin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.(3)在钝角三角形ABC 中，C 为钝角，如图，过B 作BD ⊥AC 于D ，则BD ＝a sin(π－C )＝a sin_C ，BD ＝c sin_A ，故有a sin C ＝c sin_A ，∴a sin A ＝csin C， 同理，a sin A ＝b sin B ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.思考 下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝BC ∶AC ∶AB .其中正确的个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确.故选B. 知识点二 解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 思考 正弦定理能解决哪些问题？答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角.题型一 对正弦定理的理解例1 在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )A.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin CB.a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2BC.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD.正弦值较大的角所对的边也较大 答案 B解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确.当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误. 根据比例式的性质易得C 正确. 大边对大角，故D 正确.跟踪训练1 在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A.a >b sin A B.a ＝b sin A C.a <b sin A D.a ≥b sin A答案 D解析 在△ABC 中，B ∈(0，π)，∴sin B ∈(0,1]， ∴1sin B≥1， 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得a ＝b sin Asin B≥b sin A .题型二 用正弦定理解三角形例2 (1)在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形. (2)在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形. 解 (1)∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°， 由asin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. ∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64， ∴b ＝c sin B sin C ＝c sin (A ＋C )sin C ＝10×sin 75°sin 30°＝20×2＋64＝52＋5 6.∴B ＝105°，a ＝102，b ＝52＋5 6. (2)∵a sin A ＝csin C ， ∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32， ∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.跟踪训练2 (1)在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A.4 2 B.4 3 C.4 6 D.4(2)在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝______. 答案 (1)C (2)105°或15°解析 (1)易知A ＝45°，由a sin A ＝bsin B 得 b ＝a sin Bsin A ＝8·3222＝4 6.(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22. ∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.题型三 判断三角形的形状例3 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状.解 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A，由正弦定理得sin 2A sinB cos B ＝sin 2B sin Acos A.∵sin A 、sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B . 即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B . ∴A ＋B ＝π2或A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.跟踪训练3 在△ABC 中，b sin B ＝c sin C 且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状. 解 由b sin B ＝c sin C ，得b 2＝c 2， ∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形， 由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 为等腰直角三角形.1.在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，下列等式中总能成立的是( ) A.a sin A ＝b sin B B.b sin C ＝c sin A C.ab sin C ＝bc sin BD.a sin C ＝c sin A2.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )A.135°B.90°C.45°D.30°3.在锐角三角形ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π34.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC是( )A.等边三角形B.直角三角形，且有一个角是30°C.等腰直角三角形D.等腰三角形，且有一个角是30°5.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，则△ABC 的形状是________.6.在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______，a ＝________.一、选择题1.在△ABC 中，BC ＝a ＝5，AC ＝b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.572.在△ABC 中，A >B ，则下列不等式中不一定正确的是( ) A.sin A >sin B B.cos A <cos B C.sin 2A >sin 2BD.cos 2A <cos 2B3.在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于( ) A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C.2∶1∶1D.3∶1∶14.在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形5.已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( )A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°6.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C等于( )A.833 B.2393 C.2833D.2 3 7.在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A.60° B.75° C.90° D.115°8.在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )A.π6B.π4C.π3 D.56π二、填空题9.已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝________.10.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则角C ＝______.11.在△ABC 中，BC ＝a ＝15，AC ＝b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.三、解答题12.(1)在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10，解三角形； (2)在△ABC 中，BC ＝a ＝4，AC ＝b ，AB ＝c ＝26，A ＝45°，求b ，B 和C .13.在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状.当堂检测答案1.答案 D解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a sin C ＝c sin A . 2.答案 C解析 由a sin A ＝bsin B 得sin A ＝a sin Bb＝2×323＝22， ∴A ＝45°或135°.又∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝45°. 3.答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ， 又∵sin B ≠0，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.4.答案 C解析 由题a cos B ＝b sin A ，又由正弦定理a sin B ＝b sin A ，∴sin B ＝cos B ，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°.同理C ＝45°.故△ABC 为等腰直角三角形.5.答案 等腰或直角三角形解析 由b sin B ＝c sin C 得sin C ＝c sin B b ＝150×12503＝32， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或120°，∴A ＝90°或30°，∴△ABC 为等腰或直角三角形.6.答案 255 210解析 由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A ，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255，∵b ＝5，B ＝π4，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a ＝b sin Asin B ＝2522＝210.课时精练答案一、选择题1.答案 A解析 sin A sin B ＝a b ＝53. 2.答案 C解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，A 正确.由于(0，π)上，y ＝cos x 单调递减，∴cos A <cos B ，B 正确.cos 2α＝1－2sin 2α.∵sin A >sin B >0，∴sin 2A >sin 2B ，∴cos 2A <cos 2B ，D 正确.3.答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝180°，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，∴A ＝120°，B ＝30°，C ＝30°.由正弦定理的变形公式得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝32∶12∶12＝3∶1∶1. 4.答案 B 解析 ∵a ＝b sin A ，∴a b ＝sin A ＝sin A sin B，∴sin B ＝1， 又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π2，即△ABC 为直角三角形. 5.答案 D解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B得 sin B ＝b sin A a ＝43×124＝32， 又∵B ∈(0°，180°)，且b >a ，B >A ，∴B ＝60°或120°.6.答案 D解析 利用正弦定理及比例性质，得 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝3sin 60°＝332＝2 3. 7.答案 B解析 不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin A sin (120°－A )＝3＋12. 整理得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A .∴tan A ＝2＋3，又∵A ∈(0°，120°)，∴A ＝75°，故选B.8.答案 A解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35， ∴A ∈(0，π2)，∴sin A ＝45， 由正弦定理得445＝52sin B ，∴sin B ＝12. 又∵a >b ，∴A >B ，且A ∈(0，π2)， ∴B 必为锐角，∴B ＝π6. 二、填空题9.答案 2解析 ∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.∵asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1sin 30°＝2， ∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝2.10.答案 π4解析 由正弦定理，得sin C ＝sin A ·AB BC ＝22. 因为BC >AB ，所以A >C ，则0<C <π3，故C ＝π4. 11.答案 63解析 由正弦定理得sin B ＝b a sin A ＝1015·sin 60°＝33， 又b <a ，∴0°<B <60°，∴cos B >0，∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－(33)2＝63. 三、解答题12.解 (1)因为A ＋B ＋C ＝180°，所以C ＝105°.所以sin C ＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C， 得a ＝sin A sin C ·c ＝10(3－1)， b ＝c sin B sin C ＝10sin 30°sin 105°＝5(6－2). 所以C ＝105°，a ＝10(3－1)，b ＝5(6－2).(2)由正弦定理a sin A ＝csin C得 sin C ＝c sin A a ＝26×224＝32. ∵C ∈(0°，180°)，且c >a ，C >A ，∴C ＝60°或120°，∴B ＝75°或15°，∴sin B ＝6＋24或6－24， ∴b ＝a sin A ·sin B ＝422×6±24＝2(3±1)， ∴b ＝2(3＋1)，B ＝75°，C ＝60°或b ＝2(3－1)，B ＝15°，C ＝120°.13.解 方法一 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C. ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角，B ＋C ＝90°，∴2sin B cos C ＝2sin B cos(90°－B )＝2sin 2B ＝sin A ＝1， ∴sin B ＝22. ∵0°<B <90°，∴B ＝45°，C ＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形.方法二 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C. ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角.∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0.又－90°<B －C <90°，∴B －C ＝0，∴B ＝C ，∴△ABC 是等腰直角三角形.感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考。
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正弦定理练习课时作业1正弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1. （2013湖南理，3）在锐角△ ABC 中，角A , B 所对的边长分别 为a , b.若2asinB = 3b ，则角A 等于（）A. T2【答案】 D【解析】 本题考查了正弦定理由s^a A =S^B ，得sinA ^23,1 1 n -sinB , SinB =2,3 故ZB = 30 或 150 °2.在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 的对边分别为a 、b 、c ,已知/ An =3,a=.3, b = 1,则c 等于（C. 3— 1D/3【答案】【解析】 a由正弦定理sinA - si nB ‘可得匚3sin ：由 a>b ,得/A>ZB./.z B = 30 ° 故ZC = 90 °由勾股定理得c = 2,故选B.1 53 .在厶 ABC 中，若 tanA = 3 , C = g n, BC = 1 ,贝S AB =【答案】 弓0【解析】1 J10••tanA = 3,且 A 为/△ABC 的内角，二 sinA^^0.由正104.在△ ABC 中，若Z B = 30° AB = 2 3, AC = 2,求厶 ABC 的周长.【分析】本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边 BC ,但BC 的对角Z A 未知，只知道Z B ,可 结合条件由正弦定理先求出Z C ,再由三角形内角和定理求出Z A.【解析】 由正弦定理，得sinC =AE AnB = 23.VAB>AC ,AZ C>ZB ,又 TO °<ZC<180 ° A/C = 60 或 120 °(1)如图(1)，当Z C = 60°时，Z A = 90° BC = 4,^ABC 的周长为 6 + 2 3;弦定理得AB =BCs inC si nA1X sin 6n口0: io~YAB 2 C⑴(2)如图⑵，当Z C= 120°时，/A= 30°, Z A=Z B, BC = AC= 2, △ABC的周长为4+ 2 ：3.综上，A ABC的周长为6+ 2 3或4 + 2 ' 3.【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角.课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1. 在△ ABC 中，sinA= si^3,贝卩厶ABC 是()A .直角三角形B .等腰三角形C.锐角三角形 D .钝角三角形【答案】B【解析】,-,sinA= sinC,「.由正弦定理得a= c,—/ABC为等腰三角形，故选B.2. 已知△ ABC的三个内角之比为A:B:C = 1:2:3，那么a b c=()A. 1:2:3B. 1:2: 3C. 1: 一2 : 3D. 1: 3 :2【答案】 D【解析】 设/A = k ,Z B = 2k ，/C = 3k ,由/A +/B + /C = 180°得，k + 2k + 3k = 180°, •*= 30°,故/A = 30° /B = 60° /C = 90°.由正弦定理得 a:b:c = sinA:sinB:sinC = sin30 :sin60 :sin90 = 1:3 :2. 3.在△ABC 中，已知 a = 8,/ B = 60° / C = 75° 则（）A . b = 4 2B . b =4 3C . b =4 6D . b =32【答案】 Ca b【解析】 /A = 180° — 60° - 75°= 45°由 拆=拆可得b = asinB 8sin60 ° - sinA = sin45 °=4 6.4.已知△ ABC 中，a = 1, b = V3, A =f,贝B =（）2 B. 3n5 n D *6兀或6 y[3 sin30 ° 血 n 2• sinB = 1 = 2，…B = 3或3 n.5. 在△ ABC 中，已知/ A = 30° a = 8, b = 8 3，则△ ABC 的面 积S 等于（）【解析】 由聶=b / 口而得sinB = bsinA a ，【答案】 CA . 32 3 C. 32 6或 16 【答案】 D【解析】 由正弦定理，知bsinA 8 . 3sin30 ° , 3 a = 8 = ~2， 又Z A ,A /B = 60 或 120 °/.zC = 90 或 30 :/.S = *absinC 的值有两个，即32.3或16 3.cosA b 86.在△ ABC中，c 0s§=a = 5,则厶ABC 的形状为（）A .钝角三角形B .锐角三角形C .等腰三角形D .直角三角形【答案】 D 【解析】，，cOsB =a =sinA ，即卩 sin2A = sin2B ,「./A =/B 或/An n f + ZB = 2，又 COSA M cosB ,—z A ^ ZB ,—z A +/B =2，・••公BC 为直角三角形.7. 已知△ ABC 中，2sinB — 3sinA = 0,/ C = 6，S ^ABC = 6,J 则 a =()A . 2B . 4C . 6 【答案】 BB . 16D . 32「3或 16 3sinB =得2b = 3a.①1 1 n又 S^BC = qabsinC = 2absing = 6, •^ab = 24.②解①②组成的方程组得a = 4, b = 6.故选B. a + b + c 等于 sinA +sinB + si nC 等()A.833B.穿C.警D . 2 3【答案】 B【解析】 由 a = 2RsinA , b = 2RsinB , c = 2RsinC 得a +b + c二、填空题（每小题10分，共20分）b 2 一c 2 c 2 ― a 2 a 2 一 b 29.在△ ABC 中，—^sin 2A +「一厂sin 2B + 一in 2C 的值为【答案】 0【解析】 可利用正弦定理的变形形式a = 2RsinA , b =2RsinB , c = 2RsinC 代入原式即可.10 .在锐角三角形 ABC 中，若/ A = 2 / B ，则*的取值范围是sinA + si nB + sinCa b【解析】由正弦定理得si^= siHB,故由 2sinB — 3sinA = 0, 8.在△ ABC 中, / A = 60° a=/i3，则 =旦=Vi32R=si nA = si n602 39 3【答案】 (2,3)【解析】T/ABC 为锐角三角形，且Z A = 2ZB ,0<2 ZB<n ， / n0< n — 3ZB<2,(.2,3).三、解答题(每小题20分，共40分.解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤)11. (1)在厶ABC 中，已知 a = 5,Z B = 45° Z C = 105° 求 b. (2)在厶ABC 中，已知Z A = 45° a = 2, b = 一2,求 B.【解析】 (1) T Z A +Z B + /C = 180° ° A /A = 180° — (ZB + ZC)t、亠 a b®sinB=180 —(45 + 105 J= 30°•由正弦疋理 五=sinB ，得 b = a 拆=sin455sin30a b bsi nA 2sin45 sinA =snB ，得sinB===又T0 °<ZB<180 ；且 a>b ,AZ 3= 30 °【规律方法】 (1)中要注意在△ ABC 中，Z A +/B + Z C = 180°的运用，另外 sin105 =s in75 =sin(45 + 30)= 4—.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数.T /A = 2 ZB ,「・sinA = sin2B = 2sinBcosB ,a sinA b— si nB 2cosB € (2)由正弦定理12.12 .在△ ABC中，已知sinA = ，判断△ ABC的形状.【分析】当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零,另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状.sinB+ sinC【解析】TsinA=cosB + cosC「sinAcosB + sin AcosC= si nB+ si nC.•••/A+/B+ /C= n「sinAcosB + sin AcosC= si n(A+ C) + si n(A+ B).「sinAcosB + sin AcosC=sinAcosC + cosAs inC + sinAcosB + cosAs inB./cosAsi nC + sin BcosA= 0./cosA(s inB+ si nC)= 0.(0, n,/.sinB+ sinC^0.n/•cosA= 0,/./A= 2，/•公BC为直角三角形.。