高一数学校本教材《数学在生活中的应用》

课题：数学在生活中的应用

本课题分三个部分： 1、分段函数模型在实际问题中的应用

2、概率在生活中的应用

3、函数在现实生活中的应用

第一部分：分段函数在实际问题中的应用

数学应用意识的考查是高考命题的指导思想，考查应用意识是通过解答应

用问题来体现的，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实生活的背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。我们会遇到如关于醉酒驾车问题、工作安排问题、学生听课注意力问题、通讯话费问题、阶梯电价问题、计程车计费问题、停车费问题、邮资问题、个人所得税等诸如此类问题，

加以说明。

一、醉酒驾车问题 举例1. 某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小

实际问题

(核心) 数学模型 (关键) 还原说明 (验证) 模型的解 (目的)

分析模型 (重点)

时)变化的规律近似地满足表达式f(x)=()⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤≤-1

,10,531532x x x x 。《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定: 驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过______小时后才能开车。(精确到1小时)

分析:本题为分段函数型。根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式求解。

解析:当0≤x ≤1时,f(x)为增函数，f(x )≥50-2=0.04>0.02；当x>1时, f(x)=()x

3153⋅≤0.02得()x

31≤301，3x ≥30, 33=27<30, 34=81>30,x ≥4,故该驾驶员至少要过4小时后才能开车.

二、工作安排问题

举例2. 某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A

型零件和1个B 型零件配套组成，每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每

组加工同一种型号的零件。设加工A 型零件的工人人数为x 名(*∈N x ).

⑴分别用含x 的式子表示完成A 型零件加工所需时间和完成B 型零件加工所需时间；

⑵为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取何值?

解析: ⑴生产150件产品，需加工A 型零件450个，则完成A 型零件加工所需时间f(x)=

()

491,905450

≤≤∈=*x N x x x . 生产150件产品，需加工B 型零件150个，则完成B 型零件加工所需时间g(x)=()()

491,5050503150≤≤∈=*--x N x x x . (2)设完成全部生产任务所需时间为h(x)小时，则h(x)为f(x)与g(x)的较大者。令

f(x)≥g(x)，即x 90≥x

-5050，解得1≤x ≤3271.所以当1≤x ≤32时，f(x)>g(x)，当33

≤x ≤49时，f(x)

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤≤∈*-*4932,,321,,505090x N x x N x x x 。当1≤x ≤32时，h(x)在[1,32]上单调递减，则h(x)在[1,32]上的最小值为h(32)=164532

90=(小时)，当33≤x ≤49时，故h(x)在[33，49] 上单调递增，则h(x)在[33，49] 上的最小值为h(33)= 17

50335050

=-(小时).因为h(33)> h(32)，所以h(x)在[1,49] 上的最小值为h(32).所以x=32.故为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取32.

点评:本题主要考查分段函数，反比例函数及其性质等基本知识，同时考查数学建模能力及应用意识。本题的理解有一定难度。

三、学生听课注意力问题

举例3 . 通过研究学生的学习行为，心理学专家发现学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过试验分析得知:

f(t)=

40203807)2010(240)100100242t t t t t t (1) 讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中?能持续多少分钟?

(2) 讲课开始25分钟与讲课开始5分钟时，学生的注意力哪时更集中?

(3) 一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那

么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?

解析:(1) 当0

(2) f(5)=195，f(25)=205，故讲课开始25分钟时学生的注意力比讲课开始5分

钟时更集中

(3) 当024.所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需的状态下讲授完这道题目。

四、商品利润最大问题

举例4. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加

投入100元，设月产量为x ，已知总收入满足函数:R （x ）=()()⎩⎨⎧>≤≤-40080000

,400040021x x x x (1) 将利润表示为月产量的函数f(x);

(2) 每月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?( 总收入=总成本+利润)

分析: 本题为分段函数型。根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式来求新的表达式可求得第(1)小题，然后利用配方法和单调性求解最值。

解析: (1)月产量为x 台，则总成本为20000+100x ，从而f(x)=

()()⎩

⎨⎧>-≤≤-+-40010060000,400020000300221x x x x x (3) 当0≤X ≤400时,f(x)=-2

1(x-300)2+25000. 当X >400时, f(x)=60000-100x 是减函数, f(x)< 60000-100×400<25000.故每月生产300台仪器时，利润最大，最

大利润为25000元.

评注: 本题主要是根据题设条件给出的函数去求，但要注意分段求解，分段函数的最值求法注意取各段的最大(或者最小)者的最大者(最小者)为函数的最值。