人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结

数学选修2-1圆锥曲线知识归纳一、复习总结：
二、知识点：
椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．椭圆的标准方程：12222=+b y a x ，122
22=+b x a y （0>>b a ）
3．椭圆的性质：由椭圆方程122
22=+b
y a x (0>>b a )
(1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．
(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称
中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距．
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，,0(),,0(2b B b B -加两焦)0,(),0,(21c F c F -共
有六个特殊点 21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2.b a ,分别为椭圆
的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点．
(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c =
⇒
e =<<e 椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例 ,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也
可认为圆为椭圆在1=e 时的特例．（识记方法）
2
b a
.
两焦半径与焦距构成三角形的面积12
F PF
．
8．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点
的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=- 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离
叫做焦距
在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）
两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线） 双曲
线的形状与两定点间距离、定差有关
9．双曲线的标准方程及特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：
焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：122
22=-b y a x (0>a ,0>b )；
焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：122
22=-b
x a y (0>a ,0>b )
(2)c b a ,,有关系式2
22b a c +=成立，且,0,0>>>c b a
其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,
10．焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2
x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据
项的正负来判断焦点所在的位置，即2
x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上
11．双曲线的几何性质： （1）范围、对称性
由标准方程122
22=-b
y a x ，从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图象，从纵的方向来
看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心.
（2）顶点
顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21
实轴：21A A 长为a 2, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异
（3）渐近线
过双曲线12222=-b y a x 的渐近线x a b y ±=（0=±b
y
a x ）
（4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比a
c
a c e ==
22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e 双曲线形状与e 的关系：112
222
2-=-=
-==e a
c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
12．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等
轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e
13．共渐近线的双曲线系
如果双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ
=-22
22b y a x
2
b a
.
1cot 2F PF
∠
19 抛物线定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛
物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线
20．抛物线的准线方程：
(1))0(22
>=p px y , 焦点:)0,2(
p ，准线l ：2p x -= (2))0(22
>=p py x , 焦点:)2,0(p ，准线l ：2
y =(3))0(22
>-=p px y , 焦点:)0,2
(p -，准线l ：2p x =
(4) )0(22
>-=p py x , 焦点:)2
,0(p -，准线l ：2y =
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的
4
1
，即2
42p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为x （2）
开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号
21．抛物线的几何性质 （1）范围
因为p ＞0，由方程()022
>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y )满足不等
式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性
以－y 代y ，方程()022
>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线
的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022
>=p px y 中，当y=0时，x=0，
因此抛物线()022
>=p px y 的顶点就是坐标原点．
（4）离心率
抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．
22抛物线的焦半径公式：（画图即可）
抛物线)0(22
>=p px y ，0022x p
p x PF +=+
= 抛物线)0(22
>-=p px y ，002
2x p
p x PF -=-
= 抛物线)0(22
>=p py x ，0022y p
p y PF +=+
= 抛物线)0(22
>-=p py x ，002
2y p
p y PF -=-
= 23．直线与抛物线： （1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）
将b kx y l +=:代入0:2
2=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到 关于x 的二次方程2
=++c bx ax （*）
若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离
综上，得：
联立⎩⎨
⎧=+=px
y b kx y 22
，得关于x 的方程02
=++c bx ax 当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当0≠a ，则
若0>∆，两个公共点（交点）
0=∆，一个公共点（切点）
0<∆，无公共点 （相离）
（2）相交弦长： 弦长公式：21k a
d +∆
=
， （3）焦点弦公式：
抛物线)0(22
>-=p px y ， (21x x p AB +-=
抛物线)0(22
>=p py x ， (21y y p AB ++=
抛物线)0(22
>-=p py x ，(21y y p AB +-=
（4）通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：p d 2=
通径是所有焦点弦（经过焦点的弦简称焦点弦）中最短的弦． （5）若已知过焦点的直线倾斜角θ（识记这条结论）
则⎪⎩⎪⎨⎧
=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒2
212
12p
y y k p y y θsin 2442
2
221p p k p y y =+=-⇒ θ
θ22
1sin 2sin 1.1p y y AB =-=结论 θ
sin 2.22p S AOB
=∆结论 （6）常用结论：。