人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结

数学选修2-1圆锥曲线知识归纳一、复习总结：

二、知识点：

椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质

1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹

2．椭圆的标准方程：12222=+b y a x ，122

22=+b x a y （0>>b a ）

3．椭圆的性质：由椭圆方程122

22=+b

y a x (0>>b a )

(1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．

(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称

中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距．

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．

椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，,0(),,0(2b B b B -加两焦)0,(),0,(21c F c F -共

有六个特殊点 21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2.b a ,分别为椭圆

的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点．

(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c =

⇒

e =<

可认为圆为椭圆在1=e 时的特例．（识记方法）

2

b a

.

两焦半径与焦距构成三角形的面积12

F PF

．

8．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点

的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=- 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离

叫做焦距

在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）

两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线） 双曲

线的形状与两定点间距离、定差有关

9．双曲线的标准方程及特点：

（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：

焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：122

22=-b y a x (0>a ,0>b )；

焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：122

22=-b

x a y (0>a ,0>b )

(2)c b a ,,有关系式2

22b a c +=成立，且,0,0>>>c b a

其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,

10．焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2

x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据

项的正负来判断焦点所在的位置，即2

x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上

11．双曲线的几何性质： （1）范围、对称性

由标准方程122

22=-b

y a x ，从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图象，从纵的方向来

看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心.

（2）顶点

顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21

实轴：21A A 长为a 2, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异

（3）渐近线

过双曲线12222=-b y a x 的渐近线x a b y ±=（0=±b

y

a x ）

（4）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比a

c

a c e ==

22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e 双曲线形状与e 的关系：112

222

2-=-=

-==e a

c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

12．等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等

轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e

13．共渐近线的双曲线系

如果双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ

=-22

22b y a x

2

b a

.

1cot 2F PF

∠

19 抛物线定义：

平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛

物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线

20．抛物线的准线方程：

(1))0(22

>=p px y , 焦点:)0,2(

p ，准线l ：2p x -= (2))0(22

>=p py x , 焦点:)2,0(p ，准线l ：2

y =(3))0(22

>-=p px y , 焦点:)0,2

(p -，准线l ：2p x =

(4) )0(22

>-=p py x , 焦点:)2

,0(p -，准线l ：2y =

相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

4

1

，即2

42p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为x （2）

开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号

21．抛物线的几何性质 （1）范围

因为p ＞0，由方程()022

>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y )满足不等