最新高中数学-含绝对值的不等式的解法教案

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 一．课题：含绝对值的不等式的解法

二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．

三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）

不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间

的交、并等各种运算．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离

2．当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．

（二）主要方法：

1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；

2．去掉绝对值的主要方法有：

（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-．

（2）定义法：零点分段法；

（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．

（三）例题分析：

例1．解下列不等式：

（1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->．

解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,)

(,5]22--． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >

，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （3）当12x ≤-

时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122

x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53

x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞．

例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞；

（2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞．

解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <；

（2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．

例3．（《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”）设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．

解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或2()2a b x x a b

+≤⇒≤

+②，

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 当0a b >>时，由①得2x a b ≥

-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≥-或2x a b

≤+； 当0a b =>时，由①得x φ∈，∴此时，原不等式解为：2x a b

≤+； 当0a b <<时，由①得2x a b ≤-，∴此时，原不等式解为：2x a b

≤+． 综上可得，当0a b >>时，原不等式解集为22(,][,)a b a b -∞+∞+-， 当0a b <≤时，原不等式解集为2(,]a b

-∞+． 例4．已知{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ⊂≠，求实数a 的取值范围． 解：当0a ≤时，A φ=，此时满足题意；

当0a >时，33|23|22

a a x a x -+-<⇒<<，∵A B ⊂≠， ∴3102173102

a a a -⎧≥-⎪⎪⇒≤⎨+⎪≤⎪⎩， 综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．

例5．（《高考A 计划》考点3“智能训练第15题”）在一条公路上，每隔100km 有个仓库（如下图），共有5个仓库．一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t ，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？

解：以一号仓库为原点建立坐标轴，

则五个点坐标分别为12345:0,:100,:200,:300,:400A A A A A ，

设货物集中于点:B x ，则所花的运费5||10|100|20|200|y x x x =+-+-，

当0100x ≤≤时，259000y x =-+，此时，当100x =时，min 6500y =；

当100400x <<时，57000y x =-+，此时，50006500y <<；

当400x ≥时，359000y x =-，此时，当400x =时，min 5000y =．

综上可得，当400x =时，min 5000y =，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．

（四）巩固练习：

1．|

|11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5

-∞； 2．不等式||1||||

a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >； 3．若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a ∈(7,)+∞； 4．不等式22|2log |2|log |x x x x -<+成立，则x ∈(1,)+∞ ．

五．课后作业：《高考A 计划》考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．