向量组与线性方程组的解的结构
第四讲 线性方程组与向量组的线性关系
第四讲 线性方程组和线性关系部分是矩阵齐次线性方程组问题：有无非零解？解的结构问题非齐次线性方程组问题：有无解？解的个数、解的结构问题解的存在性：有解当且仅当永远有零解解的个数：有唯一解当且仅当；有无穷多解当且仅当；只有零解当且仅当；有非零解当且仅当的解与的解的关系：的解的线性组合还是它的解；的两个解的差是的解；的一个解与的解的和是的解解的结构：1）的个线性无关解称为的基础解系.（是的基础解系当且仅当都是的解，且能够线性表示的任意解）2）是的基础解系，则（为任意数）为的通解.3）是的基础解系，则（为任意数）为的通解.其中是的一个特解.一 解的结构（概念题）1.是的两个特解，是对应的齐次方程组的基础解系，为任意常数，则的通解为：；;;解：是的特解，不是的特解，所以不可能选择.又与等价，所以也是的基础解系，因此是的通解.而虽然都是的解，但是是否线性无关是不能确定，所以不能确定是的基础解系，因此选择.2. 是矩阵, ，的两个特解满足，求的通解3.求一个齐次线性方程组，使该齐次线性方程组的基础解系为解：设的基础解系为，所以也是的基础解系.所以方程组的解可以写成构造方程组即可二 求解方程组（计算题）1.是3阶方程，.1）求证：存在使得2）求齐次线性方程组的基础解系解： ，，所以或1，如果，1）的结论显然，的基础解系为如果，存在可逆矩阵使得此时齐次方程组即为，即由于，所以，由于所以不全为零，不妨设，的基础解系为2. 已知是齐次线性方程组的一个基础解系， ，问当满足什么条件时，是的基础解系.解：是的基础解系当且仅当与等价当且仅当可逆.由于所以可逆，所以时，时，是的基础解系.3.讨论取何值时下列方程组有解？并在有解时求解1）；解：时，方程无解时，方程有无穷多解，此时，，方程组的通解为为任意数）时，方程有唯一解，此时所以；2）解：时，，方程无解当时，方程组等价于，方程组有无穷多解，此时方程组的通解为（为任意数）; 当，且时，方程有唯一解3）；解：.所以时方程组有唯一解方程组有无穷多解，解为（为任意数）时方程组无解4）解：，所以时方程组有唯一解当时，方程组无解，当时有所以时无解;时，，无穷多解.解为（为任意数）4.求三个线性无关的向量，使它们都是下列线性方程组的解解：通解（为任意数）取，则都是方程组的解，且线性无关.5.（I）；（II）1）求（I）的解；2）当（II）中参数取何值时（I）与（II）同解解：（I）的解为（为任意数）（II）与（I）同解，所以是的解，将解代入方程有是的解，将解代入方程有解的理论（证明题）1.是矩阵，,，的任意个线性无关解满足：1）的任意解均可以表示为2）是的解的充分必要条件是证明：由于是的解，所以1）设是的任意解，由于是的线性无关解，所以是的线性无关解，即的基础解系.事实上，显然是的解，再设，有，由于线性无关，有，故线性无关，所以是的基础解系.所以即.2）当时，，所以是的解如果是的解，则，所以2.证明：是的非空子集，则是某个线性方程组的解集的充分必要条件是对任意的当且仅当.证明：设是线性方程组的解集，，则，所以，所以如果任意，都有取的极大无关组，做以为解的线性方程组，则的通解可表示为所以的解都在中.反之对任意的，，由于，有，所以.所以是某个线性方程组的解集.3.是中的行向量，，证明:的解都是的解的充分必要条件是可由线性表示.证明：充分性:如果可由线性表示,设,则则时,显然有必要性: 的解都是的解则,所以向量组与,秩相同,所以可由线性表示.4. 是矩阵，，有解当且仅当对使得的任意解，有证明：有解可由的行向量线性表示的解都是的解，即对使得的任意解，有5.证明：有解当且仅当无解证明：由于，无解有解.6. 是矩阵，有非零解，证明：存在，使得无解证明： 有非零解当且仅当，所以存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使得,所以等价于等价于，令，取，则无解7.的行向量组是齐次线性方程组的基础解系，证明：任意阶可逆矩阵，的行向量组也是的基础解系.证明：令所以，由可逆，知与等价，所以的行向量组也是的基础解系.8. 是矩阵，已知齐次线性方程组的基础解系为，令,求的基础解系解：由已知，所以,令,所以是的解，又由已知，所以是的个线性无关解，又，所以是的基础解系.9. 是中的一组列向量，，求线性方程组的解解： =，当时，，此时只有零解；当时，，此时任意中的列向量都是的解；当时，，此时有，所以的极大无关组是的个线性无关解向量，所以是的基础解系.10.,且存在的某个元素的代数余子式，证明：1）是的基础解系；2)证明：1）当时，有，所以的列向量都是的解， 是的第列，又，所以是的非零解.由于，的解空间是1维的，所以是的基础解系.2）由的解空间是1维的，且的列向量都是的解，知，又，所以，故. 11. 是的前行组成的矩阵，求的基础解系.解：，所以，可逆，设，，，所以又，且是的个线性无关解向量，所以是的基础解系.11.设的行向量组是线性方程组的解,令表示中划掉第列的阶行列式, 1) 证明:当且仅当的行向量组不是的基础解系.2）令，求解：，设1)证明: 如果，由已知是的行向量组，它们都是的解，假设它们是的基础解系，则它们线性无关，又，所以可由线性表示，所以是的解，显然不成立.所以不是的基础解系.反之，如果不是的基础解系.则线性相关，所以，所以，所以，即. 2），所以是的基础解系.则，即，所以.同理12.设两个多项式互素，为阶方阵，,证明：方程组的解都可以唯一表示为形式，其中分别是的解.证明：所以.设是的解，由于，令，则所以都可以表示为形式，其中分别是的解下证表示的唯一性，假设方程组的一个解可以表示为和形式，其中和满足，.所以，即，所以，即由于，所以，即.所以方程组的解都可以唯一表示为形式.（此题也可以表述为：设两个多项式互素，为阶方阵，,证明：分别是方程组，的解空间，证明：都可以唯一表示为形式，其中分别是的解.）13. 是矩阵，，设线性方程组都有解，分别是的任意一个解，则（为与解选取无关的定常数）证明：设也是的解，则，所以是一个与的解选取无关的常数，同理也是一个与的解的选取无关的常数，所以，则（为与解无关的固定常数）向量组的线性相关性1. 是线性空间中线性无关向量组，线性相关，证明：线性无关.证明：设由于线性无关，线性相关，所以可由线性表示，所以存在使得，即由于线性无关，所以代入（1）得到，又线性无关，所以所以，线性无关.2.设向量组的秩为，则中任意个向量线性无关当且仅当对任意的，若，则全为零或全不为零证明：向量组的秩为，且中任意个向量线性无关，设对任意的，若，若中存在为零的数，则不妨设，则，由中任意个向量线性无关有.所以全为零或全不为零.反之，向量组的秩为，且中任意的个向量的线性组合为零都有系数全为零或全不为零.现任取中任意个向量，不妨就记为，设，在向量组中任意取一个异于的向量记为，则，由已知，所以线性无关.3.设向量组线性无关，且可由线性表示，则可以适当调整的顺序使得与等价.（替换定理）证明：当时，由可由线性表示，所以存在，使得，由于线性无关，所以，故存在，适当调整的顺序可使，则，所以与等价.假设对个线性无关向量结论成立，对个线性无关向量向量，如果它们可由线性表示，归纳假设适当调整顺序可使与等价，所以可由线性表示，，如果，则，与线性无关矛盾，所以不全为0，可适当调整顺序可使得，所以所以与等价，即有与等价.4.是阶实方阵，证明：1）如果，则；2），则证明：设，任取不全为零的数，令，则，则所以，所以所以线性无关，所以2）构造矩阵则是的次多项式函数，且且（由1）），如果，则存在，由知，满足由1），矛盾，所以5. 是互不相同的个数，证明：线性无关证明：设方程两边逐步求导，有这个关于的齐次线性方程组的系数行列式为，所以，所以，所以线性无关6.证明：线性无关（三角函数正交系）证明：设利用即可证得，所以线性无关。
同济大学线性代数教案第三章向量空间与线性方程组解的结构
线性代数教学教案第三章 向量组及其线性组合授课序号01,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭维向量写成),,n a个分量，其中T,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量0⎪⎪⎪⎭或()0,0,,00=.2n a ⎪⎪⎪⎭称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：122,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭β，k ∈，则有1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β； （2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,,n n n n b ba a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭；()111212212221212,,,n n n n n n n n a b a b a b a b a ba b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭. 二、向量组及其线性组合：：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． ：给定n 维向量组,,,n ααα，对于任意一组数,,,n k k k ，表达式+n n k k α,n α和一个,n k ，使得++n n k =βα，,,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.三、向量组的等价：由向量组B 线性表示：,,m αα是m ,,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,,m αα与向量组:B 2,,,s βββ. 令矩阵),m A α，),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程=B向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程=BY A四、主要例题：1211222221122n n n n m m mn n ma x a x a x a x a xb +++++=中第()121,2,,i i i mi a ai n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，维列向量2m b ⎪⎪⎪⎭， n n x β+=α12122212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪⎪-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫授课序号02,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线性无关.m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k +++=0ααα有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性如果向量组12,,,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e ，对任意一组数12120001001n n n n k k k k k k k ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e ，0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα授课序号03,r α满足条件：）向量组1,,r ααα线性无关；）对于A 中任意的向量β，向量组,,r αβ线性相关，则称向量组12,,r ααα为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组向量组A 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为等价的向量组有相同的秩二、矩阵秩的概念及求法：rB ，则RA B ,n α为列构作矩阵),,n α，对矩阵的阶梯数给出矩阵的秩，从而给出向量组1,,n ααα的秩),n β，,n α与向量组,n β有相同的线性相关性，从而可以根据向量组,n β的极大无关组给出向量组12,,,n ααα的极大无关组，并给出不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示的表示20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e 线性无关，所以该向量组的极大无关组就是它3145,1227⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭α，向量1α与2α的分量不对应成比例，。
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构
线性方程组的解的结构是线性空间。
线性方程组是数学中一个很重要
的概念，它是由多个线性方程组成的方程组。
线性方程组是指所有未知量
的各个线性方程组成的一个方程组。
线性方程组的解的结构本质上是线性
空间的结构。
线性空间是指一个能进行线性运算的集合。
线性空间具有加法运算和
数乘运算，而且满足线性运算的性质。
线性方程组的解符合线性空间的定义，因此可以将线性方程组的解看作是线性空间中的向量。
首先，线性方程组的解是一个向量空间。
向量空间是线性空间的一种
特殊情况，它是一个向量的集合，可以进行线性运算。
在线性方程组中，
解是通过求解方程组得到的向量。
其次，线性方程组的解是一个子空间。
子空间是线性空间的一个子集，同时也是一个线性空间。
线性方程组的解是通过线性运算得到的，所以它
也是线性空间中的子空间。
1.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
唯一解。
2.如果矩阵的秩小于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
无穷多解。
3.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，但是矩阵的秩小于
矩阵的列数，那么线性方程组有无解。
总之，线性方程组的解的结构是线性空间，它满足线性空间的定义和
性质。
线性方程组的解是线性空间中的向量，该向量可以通过矩阵运算来
求解。
线性方程组的解的结构与矩阵的秩有密切的关系，矩阵的秩决定了线性方程组的解的结构。
线性方程组的解的结构是线性空间及其应用的一个重要领域，它在数学和工程中都有广泛的应用。
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。
有解时再化为行最简形求解。
(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。
2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。
例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。
向量的秩与线性方程组解的结构
所以向量组
α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4
α α
3 4
= (0,0,0,5 )
= (0,0,0,0 ) 的秩为3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 4⎟ β1 = ⎜ ⎟ , β 2 = ⎜ ⎟ , β 3 = ⎜ ⎟ , β 4 = ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ 7 1 而 可以验证 β 1 , β 2 , β 4 线性无关， β 3 = β 1 − β 2 + 0 β 4 2 2 所以向量组 β 1 , β 2 , β 3 , β 4 的一个极大无关组是 β 1 , β 2 , β 4
知，要求齐次线性方程组的通解，只需求出它 的基础解系.
3. 基础解系的求法
设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个 列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为
⎛1 ⎜ ⎜ ⎜0 B = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝ 0 1 b 11 br1 b 1 ,n − r ⎞ ⎟ ⎟ b r,n − r ⎟ ⎟, 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
x1 ⎞ ⎛ − b 11 ⎞ ⎛ − b 12 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− b ⎟ ⎜−b xr r1 r2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x r +1 ⎟ = c1 ⎜ 1 ⎟ + c 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ 1 xr+2 ⎟ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ xn ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0
⎛x1 ⎞ ⎛−b ⎞ ⎛−b ⎞ ⎛−b,n−r ⎞ 11 12 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ,⎜ ⎟ , ,⎜ ⎜x ⎟ ⎜−b ⎟ ⎜−b ⎟ ⎜−b ⎟ ⎝ r ⎠ ⎝ r1⎠ ⎝ r2 ⎠ ⎝ r,n−r ⎠
《线性代数》教学课件—第4章 向量线性相关 第四节 线性方程组的解的结构
2. 基础解系的求法
设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个
列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为
1
0
b11
b1,nr
B
0
0
1 0
br1 0
br,nr
,
0
0
0
0
0
与 B 对应, 即有方程组
x1
b11xr1 b1,nr xn
,
(3)
例 12 求齐次线性方程组
2xx11x52x2
x3 x4 3x3
2
0, x4
0,
7x1 7x2 3x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵 A 作初等行变换, 变为行最
简形矩阵, 有
1
1
1 1
行变换
1
0
2 7 5
3
7 4
例 13 设 Am×nBn×l = O，证明
xr
br1xr1 br,nr xn
,
把 xr+1 , ···, xn 作为自由未知量，并令它们依次 等于 c1 , ···, cn-r ，可得方程组 (1) 的通解
x1
b11
b12
b1,nr
xr
br1
br
2
br
,nr
xr1 c1 1 c2 0 cnr 0 .
把方程 Ax = 0 的全体解所组成的集合记作 S ,
如果能求得解集 S 的一个最大无关组 S0 : 1 , 2 , ···, t，那么方程 Ax = 0 的任一解都可由最大无关
组 S0 线性表示；另一方面，由上述性质 1、2 可 知，最大无关组 S0 的任何线性组合
线性方程组的解的结构与性质
线性方程组的解的结构与性质线性方程组是数学中常见的问题，它在各个领域都有广泛的应用。
解决线性方程组问题需要了解其解的结构与性质，这将有助于我们更好地理解和应用线性方程组。
一、线性方程组的定义与基本性质线性方程组由一组线性方程组成，每个方程都是关于未知数的一次多项式，并且未知数的次数都为1。
线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b₁、b₂、...、bₙ为常数。
线性方程组的基本性质包括：1. 线性方程组可以有唯一解、无解或无穷多解。
2. 若线性方程组有解，则其解可以表示为一个向量。
3. 若线性方程组有解，则其解的个数与未知数的个数之间存在关系。
二、线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构与其系数矩阵的秩有关。
系数矩阵是指将线性方程组的系数按顺序排列形成的矩阵。
1. 若系数矩阵的秩等于未知数的个数，即rank(A) = n，则线性方程组有唯一解。
解向量可以通过高斯消元法或矩阵求逆的方法求得。
2. 若系数矩阵的秩小于未知数的个数，即rank(A) < n，则线性方程组有无穷多解。
此时，解向量可以表示为特解加上齐次方程的解的线性组合。
特解可以通过高斯消元法或矩阵求逆的方法求得。
3. 若系数矩阵的秩小于未知数的个数，并且存在某个未知数的系数全为0，则线性方程组无解。
三、线性方程组的解的性质线性方程组的解具有以下性质：1. 若线性方程组有唯一解，则解向量是唯一确定的。
不同的线性方程组可能具有相同的解向量。
2. 若线性方程组有无穷多解，则解向量可以表示为特解加上齐次方程的解的线性组合。
特解可以通过高斯消元法或矩阵求逆的方法求得。
3. 若线性方程组有无穷多解，则解向量的个数与未知数的个数之间存在关系。
向量组的线性相关性与线性方程组的解的结构
注：设n维向量 a1 a2 an T , b1 b2 bn T
的对应分量相等，即
ai bi (i 1, 2, , n)
称这两个量是相等的，即
注：1 与 要么都是行向量，要么都是列向量。 2 与 的分量个数应相同。
，， Rn , k, l R
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.
3.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充 要 条 件
是 两 向 量 的 分 量 对 应 成比 例 ， 几 何 意 义 是 两 向量 共 线 ；
三 个 向 量 相 关 的 几 何 意义 是 三 向 量 共 面.
例5.一个零向量形成的向量组是线性相关的， 一个非零向量 a 0 是线性无关的.
证 设有x1, x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0,
a
a2
an
称 为n维 向 量 ， 这n个 数 称 为 该 向 量 的n个 分 量 ，
第i个 数ai称 为 第i个 分 量.
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
a1
a
a2
an
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT , T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 , ,an )
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
4.4-线性方程组解的结构
cr brr1cr1 brr2cr2 cr1 1 cr1
ccrn2
1 cr2
写成向量形式即为：
b1ncn b2ncn
brncn b1ncn
b2ncn brncn 1 cn
b1r1
b1r2
b1n
c r 1
brr1 1
b1n
b2n
A
行
0
0
1 brr1 brr2
brn
0 0
00 0
0
0 0
00 0
0
于是，齐次线性方程AX=0组的同解方程组为
x1 b1r1xr1 b1r2xr2 b1
b2r2 xr2
b2n xn
xr brr1xr1 brr2xr2 brn xn
0
xn
0
0
1
得到方程组AX=0的 n r 个解：
n－r个 n－r维 向量。
b1r1
b2r
1
b1r2
b2r
2
1
brr1 1
,
2
brr2 0
,
0 1
0
0
b1n
b2n
, nr
brn 0
0
1
现证1,2, ,nr就是线性方程组AX=0的
x1 x3
x2
4x5 x5
x4 0
令自由未知量
x2 x5
1 0
,
0 1
,
得基础解系
1
4
1
0
0 , 1,
1
0
2 0
0
1
所以, 通解为＝c11 c22 c1,c2 R.
※ ※ 一般常用齐次线性方程组 AX=0 的基础解 系所含向量个数 n－r(A) 与系数矩A的秩的关系 证明矩阵的秩。
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构11111221n n b a x a x a x =++⋅⋅⋅+ 22112222n n b a x a x a x =++⋅⋅⋅+ 33113223n n b a x a x a x =++⋅⋅⋅+…………………………………1122n n n nn n b a x a x a x =++⋅⋅⋅+表示从变量12,n x x x ⋅⋅⋅到变量12,n b b b ⋅⋅⋅的线性变换，其中ij a 是常数。
确定了线性变换，它的系数所构成的矩阵（系数矩阵）也就确定，线性变换根矩阵是一一对应的关系。
上式可以表示为以向量x 为未知元的向量方程：Ax=b线性方程组如果是有解的，称它是相容的，否则称为不相容。
一、 定理4：N 元线性方程组Ax=b（1) 无解的充要条件是R(A)<R(A.B)（2) 有唯一解的充要条件是R （A ）=R(A.b)=n （3) 有无限多个解的充要条件是R(A)=R(A. b)<n二、 非齐次线性方程组求解步骤：Ax=b （1)对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵化为行阶梯型矩阵，从而根据定理4 判断其解的结构。
（2) 若R(A)=R(B)，则进一步把B 化成最简型，而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A 化成最简型。
（3) 设R(A)=R(B)=r ，把行最简型中r 个非0行的非0首个元素所对应的未知数取做非自由未知数，其他的元素取做自由未知数。
带入原方程，就可以得到一个关于自由为未知量的表达式。
三、 齐次线性方程组求解步骤：Ax=0（1) 根据R(A)与n (变量个数)来判断解的结构：A. R(A)<n 有非0解B. R(A)=n 只有0解（2) 设R(A)<n ，把行最简型中r 个非0行的非0首个元素所对应的未知数取做非自由未知数，其他的元素取做自由未知数。
带入原方程，就可以得到一个关于自由为未知量的表达式： 自由未知量赋值的步骤（写成向量组形式）： i.例如：112523x c c =+212423x c c =-+31x c =42x c =向量形式：1212123142523423c c x x c c x c x c ⎡⎤+⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=12210c ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+2534301c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3) 可写出基础解系：12210η⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2534301η⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （4) 写出通解：1122c c ηηη=+ i c R ∈。
问题：什么是线性方程组的解的结构？
基础解系的概念
定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：ξ1, ξ2, ..., ξr 如果满足 ① ξ1，ξ2，...，ξr 线性无关； ②方程组中任意一个解都可以表示ξ1, ξ2, ..., ξr 的线性组合， 那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
设 R(A) = r ，为叙述方便， 不妨设 A 行最简形矩阵为
称为方程组的解向量．
ξ11 ξ 21 ξ= M ξ n1
齐次线性方程组的解的性质
性质1：若 x = ξ1， x = ξ2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = ξ1 + ξ2 还是 Ax = 0 的解． 证明： A(ξ1 + ξ2 ) = Aξ1+ Aξ2 = 0 + 0 = 0 ． 性质2：若 x = ξ 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kξ 还是 Ax = 0 的解． 证明： A( kξ ) = k ( Aξ ) = k 0 = 0 ．
令
− b11 − b12 − b1,n− r M M M − br 1 − br 2 − br ,n − r ξ1 = 1 , ξ 2 = 1 ,L , ξ n − r = 0 0 0 0 M M M 0 0 1
齐次线性方 程组的通解
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
− b11 − b12 − b1,n − r x1 − b11c1 − L − b1,n− r cn − r M M M M M − br 1 − br 2 − br ,n − r xr − br 1c1 − L − br ,n− r cn − r = = c1 1 + c1 1 + L + cn − r 0 xr +1 c1 0 0 0 M O M M M x c n− r n 0 0 1
向量组的应用—线性方程组解的结构
b1,nr xn 0 ， b2,nr xn 0 ，
br,nr xn 0 ，
其中，xr1 ，xr2 ， ，xn 是 n r 个自由未知数。特别取
xr1 1 0 0
xr
2
0
， 1
，
， 0
，
xn 0 0 1
（2-17）
可得齐次线性方程组的 n r 个解
x r 1 1 r 1 2 nnr
综合（1），（2）知，1 ，2 ， ，nr 是齐次线性方程的一组 基础解系，它所含线性无关的解向量的个数恰等于 n r（方程组 中未知数个数减去系数矩阵的秩）。矩阵的秩是确定的，所以通 解中所含任意常数的个数也是确定的。
例1
求齐次线性方程组
2x1x1x52
推论
设 m n 矩阵 A 的秩 R(A) r ，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0 的 解集 S 的秩 R(S) n r 。
例2
设 n 元齐次线性方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解，证明R(A) R(B) 。
证
由于方程组 Ax 0与 Bx 0 有相同的解集，设为 S，解集为秩 为 R(S) ，则有 R( A) n R(S) ，R(B) n R(S) ，因此R( A) R(B)。
经济数学
向量组的应用—线性方程组解的结构
齐次线性方程 组 Ax 0 解的 结构
非齐次线性方程 组 Ax b解的结 构
1.1 齐次线性方程组Ax=0 解的结构
齐次线性方程组 Ax 0 的解具有以下性质：
性质1 如果1 ，2 是齐次线性方程组的解，则 1 2 也是齐次线
性方程组的解。
证 因为A(1 2 ) A1 A2 0 0 0 ，所以 1 2是齐次线
1.2 非齐次线性方程组Ax=b 解的结 构
线性方程组解的结构及性质
§4线性方程组的解的结构设有齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a n mn m m n n n n ，⑴记，，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x a aa aa a a a a n mn m m n nx A21212222111211则⑴式可写成向量方程Ax =⑵若ξξξ1212111n n x x x ===，，，为⑴的解，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==ξξξ12111n ξx1称为方程组⑴的解向量，它也就是向量方程⑵的解.性质1若ξx ξx 21，==为向量方程⑵的解，则ξξx 21+=也是向量方程⑵的解.性质2若ξx 1=为向量方程⑵的解，k 为实数，则ξx 1k=也是向量方程⑵的解.把方程⑵的全体解所组成的集合记作S ，如果能求得解集S 的一个最大无关组ξξξl 21，，， ：S 0，那么方程⑵的任一解都可由最大无关组S 0线性表示；另一方面，由上述性质1、2可知，最大无关组S 0的任何线性组合ξξξx t21k k k t +++= 21（为任意实数）都是方程⑵的解，因此上式便是方程⑵的通解.齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系.要求齐次线性方程组的通解，只需求出它的基础解系.设方程组⑴的系数矩阵A 的秩为r ，并不妨设A 的前r 个列向量线性无关，于是A 的行最简形矩阵为，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--000010011111b b bbt n r r rn B 与B 对应，即有方程组⎪⎩⎪⎨⎧---=---=-+-+，，，，x b x b x x b x b x n r n r r r rn r n r 1111111⑶把x x n r ，，1+作为自由未知数，并令它们依次等于c c r n -，， 1，可得方程组⑴的通解⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++100010001------121221111211 b b c b b c b b c x x x x x r n r r n r n r r n r r r ，，把上式记作，ξξξx rn 21--+++=c c c r n 21可知解集S 中的任一向量x能由ξξξr n 21，，，- 线性表示，又因为矩阵()ξξξrn 21，，，- 中有r n -阶子式0E rn ≠-，故()r n R -=-ξξξrn 21，，， ，所以ξξξrn 21，，，- 线性无关.根据最大无关组的等价定义，即知ξξξr n 21，，，- 是解集S 的最大无关组，即ξξξr n 21，，，- 是方程组⑴的基础解系.令自由未知数x x x n r r ，，，21++取下列r n -组数，，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++10001000121 x x x n r r 由⑶即依次可得，，，，，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b b b b b b x x r n r r n r r r ------,12121111 合起来便得基础解系.100010001------121221111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--- b b b b b b r n r r n r n r r ，，，，，ξξξ定理7设n m ⨯矩阵A 的秩()r R =A ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩r n R S -=.方程组⑴的任何r n -个线性无关的解都可构成它的基础解系.齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的，它的通解的形式也不是唯一的.例12求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=--+0377023520432143214321x x x x x x x x x x x x ，，的基础解系与通解.上述解法中，由于行最简形矩阵的结构，x 1总是选为非自由未知数.对于解方程来说，x 1当然也可选为自由未知数.如果要选x 1为自由未知数，那么就不能采用上述化系数矩阵为行最简形矩阵的“标准程序”，而要稍作变化，对系数矩阵A 作初等行变换时，先把其中某一列（不一定是第一列）化为()0,0,1T.如本例中第四列数值较简，容易化出两个0：，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000013-41025-026-8013-4111-1-137-7235-21-1-11A上式最后一个矩阵虽不是行最简形矩阵，但也具备行最简形矩阵的功能.按照这个矩阵，取x x 21，为自由未知数，便可写出通解⎪⎩⎪⎨⎧=+=，，x x x x x x 2142132-534-（xx 21，可任意取值），即()，，R c c c c x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212143212-31054-01而对应的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-31054-01，.例13设O B A l n n m =⨯⨯，证明()()n R R ≤+B A .例14设n 元齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解，证明()()B A R R =.例15证明()()A AA T R R =.设有非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++，，，b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a m n mn m m n n n n22112222212111212111它也可写作向量方程b Ax =，性质3设ηx 1=及ηx 1=都是向量方程⑸的解，则η2ηx 1-=为对应的齐次线性方程组0Ax =的解.性质4设ηx =是方程⑸的解，ξx =是方程⑹的解，则ηξx +=仍是方程⑸的解.如果求得方程⑸的一个解η*（称为特解），那么方程⑸的通解为ηξξx r-n 1*+++=k k r n -1（为任意实数），其中ξξr -n 1，，是方程⑹的基础解系.事实上，由性质4知上式右端向量总是方程⑸的解；反过来，设x 0为方程⑸的任一解.由性质3知x 0-η*是方程⑹的解，从而可由其基础解系线性表示为x 0-η*=，ξξξr -n 21k k k r n 0-0201+++ 即+=*ηx，ξξξr-n 21k k k r n 0-021+++ 至此我们已得到了非齐次线性方程的解的结构：非齐次方程的通解=对应的齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解.例16求解方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=+--21-,.43214321432132130x x x x x x x x xx xx ，，。
向量组与线性方程组的解的结构
满足⑴ 向量组 1,2,L,r 线性无关； ⑵ 向量组 A 中任意一个向量都能由 1,2,L,r线性表示
那么称 1,2,L,r 是向量组的一个极大线性无关组，简称极
大无关组；极大线性无关组所含向量的个数 r ,称为向量组 A
4.3.2向量组的秩与矩阵的秩的关系
定理8 矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量 组的秩.
r 结论:若 D r 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式，则 D r 所在的 r 列即是列向量组的一个极大无关组，D r 所在的 行即
是行向量组的一个极大无关组.
4.3.3 利用初等行变换求向量组的秩与极大无关组
试问 能否由1,2,3 线性表示？若能，写出具体表示式.
解:
1 2 3 0 1 0 0 1
B(1,2,3, ) 2
3
3 1
1 2
4 2
0 0
1 0
0 1
1 1
R(A)R(B)3
所以 能否由1,2,3惟一线性表示，且
123
例2 ( 2 , 3 , 0 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 0 , 7 , 4 )
推论：向量组 A 与向量组 B 等价 R (A ) R (B ) R (A ,B )
4.2向量组的线性相关性
4.2.1线性相关与线性无关的定义 1.定义4 设有n 维向量组A:1,2,L,m,若存在一组不全为
零的数 k1,k2,L ,km使 k11 k 22 L k mm 0,则
称向量组 A:1,2,L,m线性相关,否则称为线性无关. 换言之,若 A:1,2,L,m线性无关,则上式当且仅当
因为 1,2,3线性无关，故有
线性代数线性方程组解的结构
例3.10 设
1 1 1 1 1
α1
0 2
,
α2
1 3
,
α3
1 a2
,
α4
2 4
, β
1
b 3
3
5
1
a
8
5
试问
(1) 当a,b取何值时, b不能由1,2,3,4线性
表示?
(2) 当a,b取何值时, b可由1,2,3,4唯一线
19
证明 如果方程组AX=0的系数矩阵的秩 为r, 可以通过交换系数矩阵中某些行的 位置，使得位于系数矩阵的左上角的r阶 子式不为零, 这样原方程组就等于下面的 方程组:
多解. 而解法二是用Cramer法则来考虑(1), 系数 行列式列和相等，而(2)和(3)的解法一样.
11
例3.12 试判断线性方程组
x1 x2 x3 1,
121xx11
2 x2 22 x2
3 x3 32 x3
4, 42 ,
13x1 23x2 33x3 43
是否有解, 其中1,2,3,4为互不相同的
性表示?
5
解 b能不能由1,2,3,4(唯一)线性表示,
就看是否存在(唯一的)一组数x1,x2,x3,x4使
得
x1
β
x1α1
x2α2
x3α3
x4α4
(α1
,
Байду номын сангаас
α2
,
α3
,
α4
)
x2 x3
x4
于是问题(1)就是a,b取何值时, 线性方程组
AX=b无解? 而问题(2)转化为a,b取何值时, AX=b有唯一解?其中A=(1,2,3,4)
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构在数学领域中，线性方程组是一个包含多个线性方程的集合。
解析线性方程组是解决实际问题和在数学中的基础问题之一。
线性代数作为数学分支的一个基石，研究线性方程组解的结构是至关重要的。
本文将探讨线性方程组解的结构及相关性质。
一、线性方程组的定义线性方程组是形如以下形式的方程组：$$ \\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \\cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \\cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\\\ \\vdots \\\\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2 + \\cdots + a_{mn}x_n = b_m \\\\ \\end{cases} $$其中，a ij和b i是已知的常数，x i是未知数。
二、线性方程组解的结构1. 解的存在性和唯一性对于线性方程组而言，可能出现以下几种情况：•若线性方程组有解，则解的存在性表明至少存在一组解；•若线性方程组有唯一解，则意味着只存在一组满足所有方程的解；•若线性方程组有无穷多个解，则说明有无穷多组解。
2. 解的结构线性方程组的解可以表示成一个通解和一个特解之和的形式。
具体而言，设A 是线性方程组的系数矩阵，X是未知数的向量，B是常数项的向量，通解可以表示为：X=Xℎ+X p其中Xℎ是方程组的齐次解，而X p是方程组的特解。
3. 解的分类根据线性方程组的系数矩阵的行、列数以及特殊性质，线性方程组的解可以分为以下几种情况：•若系数矩阵的行数等于列数且满秩（行列式不为零），则方程组有唯一解；•若系数矩阵的行数大于列数或者系数矩阵的秩小于行数，方程组可能无解或者有无穷多组解；•若线性方程组有特殊结构（如三角形方程组、对角矩阵方程组等），可以通过特殊性质简化解的求解过程。
三、线性方程组解的应用线性方程组解的结构在数学和应用领域均具有重要意义。
第五章(2) 向量组的秩与线性方程组解的结构
【解】
r
A (1 ,2 ,,5 )
1 B 0
0
0 1 0
5 3 0
0 0 1
8
－4 －1
(1, 2,, 5 )
0 0
0
0
0Leabharlann 所以 RA RA 3 并且 1,2 ,4 就是向量组A的一个
最大无关组。
又因为矩阵A与矩阵B行等价,所以Ax=0与Bx=0同解
x11 x22 x33 x44 x55 0 x11 x22 x33 x44 x55 0
（1） 包含m个向量的向量组的秩满足 0 R m
（2）若组B是组A的一个部分组，那么 RB RA
（3） 向量组 A :1,2 ,,n 线性无关 RA n
5.3 向量组的秩
二、向量组的秩与矩阵的秩的关系
仔细体会向量组的最大无关组和秩的定义,不难发现 与矩阵的最高阶非零子式和矩阵的秩有着相似之处.先 看一个例子:
在这一目中我们将看到不同的最大无关组都与向量 组本身等价.
首先介绍最大无关组的一个等价定义，并且利用这 个定义研究一个包含无限多个向量的向量组的例子.
5.3 向量组的秩 三、向量组与其最大无关组之间的等价性
定理5.3.2 向量组 A0 :1,2 ,,r 是组A的一个最大 无关组的充要条件是： A0 :1,2 ,,r 线性无关, 并且组A中任意一个向量都可以由组 A0 线性表示.
（1）向量组A0 :1,2 , ,r 线性无关； （2）组A中任意r+1个向量（如果有的话）都线性相关,
则称向量组 A0 是向量组A的一个最大无关组； 而最大无关组中所包含的向量个数r叫做向量组A的秩，
记做 RA 特别地只含零向量的向量组，秩为0
5.3 向量组的秩 一、向量组的秩的概念与性质
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α = (a1, a2 ,, an ), β = (b1, b2 ,, bn ) α = β ai = bi (i =1,2,, n)
5．向量组 同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称 为向量组
4.1.2 n 维向量的线性运算
1．加法与数乘 为任意实 k 数，则
α = (a1, a2 ,, an ), β = (b1, b2 ,, bn )
称为第
i 个分量（或第 i个坐标）．
αT = (a1, a2 ,, an ) 行向量 即 1×n 矩阵
a1 a2 列向量 即 n×1 矩阵 α= an
2．零向量 3．负向量
0 = (0,0,,0)
α = (a1, a2 ,, an ), α = (a1, a2 ,, an )
k1, k2 ,, km ,表达式 k1α1 + k2α2 ++ kmαm 称为向量组
k A 的一个线性组合， 1, k2 ,, km 称为该线性组合的系数.
(2)给定向量组 A:α1,α2 ,,αm 和向量 β ,如果存在一组实数
k1, k2 ,, km
,使
β = k1α1 + k2α2 ++ kmαm
β 能由α1,α2 ,,αm 线性表示，且表示式是惟一的.
定理7 定理 设有两个向量组 A:α j = (a1 j , a2 j ,, arj )Τ ( j =1,2,, m)
B : β j = (a1 j , a2 j ,, arj , ar+1 j )Τ ( j =1,2,, m)
若向量组 A 线性无关，则向量组 B 也线性无关； 若向量组 B 线性相关，则向量组 A 也线性相关. 注:向量组的线性相关与线性无关的概念可用于线性方程组． 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个 方程就是多余方程，此时称方程组（各个方程）是线性 相关的； 当方程组中没有多余方程，则称该方程组（各个方程） 是线性无关（或线性独立）的 .
的线性相关性.
1 1 2 2 1 3
1 1 1 1 1 1 r2×(1)+r3 r ×(3)+r2 1 0 1 5 0 1 5 → → r ×(2)+r3 1 0 1 5 0 0 0
由于 R( A) = 2 < 3 ,从而 α1,α2 ,α3 线性相关.
2 1 3 例4：已知向量组 α1 = 3,α2 = 2,α3 = 5 ，问 2 1 4
b x1 1 b x2 b = 2 x= bm xn
Ax = b x1α1 + x2α2 ++ xnαn = b (α1,α2,,αn)x = b
则
4.1.3 向量组的线性组合与线性表示
1.定义 (1) 给定向量组 A:α1,α2 ,,αm ,对于任何一组实数 定义2 定义
4.2.2 向量组线性相关的充分必要条件
定理3 定理 向量组 A:α1,α2 ,,αm 线性相关 R( A) < m 向量组 A:α1,α2 ,,αm 线性无关 R( A) = m
2 1 3 例3 讨论向量组 α1 = 3,α2 = 2,α3 = 2 1 1 1 2 1 3 1 r r3 1 → 解: A = (α1,α2 ,α3 ) = 3 2 2 3 1 1 1 2
因为 α1,α2 ,α3线性无关，故有 k1 + k3 = 0 k1 + k2 = 0 k + k = 0 3 2 此时，线性方程组只有零解 k1 = k2 = k3 = 0 也即向量组 β1, β2 , β3线性无关.
定理4 定理 向量组 α1,α2 ,,αm (m ≥ 2)线性相关
向量组中至少
行变换,化为行阶梯形 行阶梯形矩阵,其非零行的行数就是矩阵的秩 非零行的行数就是矩阵的秩, 行变换 行阶梯形 非零行的行数就是矩阵的秩 也是向量组的秩(当然也是极大无关组所含向量的个数); 行 阶梯形矩阵的每一个非零行的第一个非零元所在的列对应 阶梯形矩阵的每一个非零行的第一个非零元所在的列 的向量构成的向量组就是向量组的一个极大无关组.
4.2.1线性相关与线性无关的定义
k1 = k2 == km = 0 时才成立． 2.由定义4可知， (1) 仅含一个零向量的向量组必线性相关; (2) 仅含一个非零向量的向量组必线性无关; (3) 任何包含零向量在内的向量组必线性相关; (4) 向量组 A:α1,α2 ,,αm 线性相关 齐次线性方程组 x1α1 + x2α2 ++ xmαm = 0 有非零解 R( A) = R(α1,α2 ,,αm ) < m
β1 = α1 +α2 , β2 = α2 + α3 , β3 = α3 +α1 证明向量组 β1, β2 , β3也线性无关.
证明：设有 k1, k2 , k3 使得
k1β1 + k2 β2 + k3β3 = (k1 +k 3)α1 + (k1 + k2 )α2 + (k2 + k3 )α3 = 0
有一个向量可以由其余 m1个向量线性表示. 注：两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例.
4.2.3 线性相关性的判断定理
定理5 定理 （1）若 α1,α2 ,,αr 线性相关,则 α1,,αr ,αr+1,,αm 也线性相关; （ 2）线性无关向量组的任何部分组必线性无关. 定理6 定理 若 α1,α2 ,,αr 线性无关,而α1,α2 ,,αm , β 线性相关,则
α + β = (a1 + b1, a2 + b2 ,, an + bn )
kα = (ka1, ka2 ,, kan ),
2．加法与数乘的运算规律（略）
a1 j a2 j , ( j =1,2,, n) αj = amj
注:利用向量的运算,对于方程组 Ax = b 3
所以 β 能否由α1,α2 ,α3惟一线性表示，且
β = α1 +α2 α3
例2
α = (2, 3,0), β = (0, 1,2),γ = (0, 7, 4)
试问 β 能否由α1,α2 ,α3 线性表示？若能，写出具体表示式.
2 0 0 1 0 0 解: B = ( A,γ T ) = (αT , β T ,γ T ) = 3 1 7 → 0 1 0 0 2 4 0 0 1
则称 β 是向量组的线性组合，或称
β 可由向量组 A 线性表示.
2.定理 定理1 定理
β 可由向量组 A线性表示 的充分必要条件是
矩阵 A= (α1,α2 ,,αm ) 的秩等于矩阵 B = (α1,α2 ,,αm, β )的秩 注：设
A= (α1,α2 ,,αm ) B = (α1,α2 ,,αm, β )
的秩. 注: (1) 只含零向量的向量组没有极大线性无关组,规定它的秩 为0． (2) 任何非零向量组必存在极大无关组． (3) 向量组的极大无关组与向量组本身等价． (4) 线性无关向量组的极大无关组就是其本身 . (5) 向量组的极大无关组一般不是惟一的.但每一个极大无 关组所含向量的个数是惟一的,等于向量组的秩．
α α α α
例7
α1 = (2,1,4,3),α2 = (1,1, 6,6),α3 = (1, 2,2,9),α4 = (1,1, 2,7),α5 = (2,4,4,9)
4.3向量组的秩
4.3.1 向量组的极大无关组与秩的定义 1.定义 设有向量组 A,如果在 A中能选出 r 个向量α1,α2 ,,αr 定义5 定义 满足⑴ 向量组 α1,α2 ,,αr 线性无关； ⑵ 向量组 A 中任意一个向量都能由 α1,α2 ,,αr 线性表示 那么称 α1,α2 ,,αr 是向量组的一个极大线性无关组，简称极 大无关组；极大线性无关组所含向量的个数 r ,称为向量组 A
例6
1 2 1 0 4 5 2 2 α1 = 1,α2 = 1,α3 = 5,α4 = 2 0 3 6 1 2 2 2 0
解: 将向量组构成矩阵 A,进行初等行变换
1 4 A = (α1,α2 ,α3,α4 ) = 1 0 2 1 2 1 1 r× 5 2 r2 r5 0 1 2 r ×(1)+r4 3 r ×(1)+r 3 5 0 0 0 → 1 r4 ×( ) 3 r2 ×3+r3 0 0 0 1 r× 3 2 r ×(1)+r4 3 0 0 0 1 0 1 2 1 0 2 2 0 3 6 2 r ×(4)+r2 1 r ×(1)+r3 1 → 1 5 2 0 3 6 2 r ×(2)+r5 1 3 3 6 1 0 3 6 1 2 2 0 0 2 4 0 0 0 , R( A) = 3 从而向量组 1, 2 , 3, 4 1 0 0 的秩为3, α ,α ,α 为其一极大无关组. 1 2 4 2 5
4.3.2向量组的秩与矩阵的秩的关系
定理8 定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量 组的秩. 结论:若 Dr 是矩阵 A的一个最高阶非零子式，则 Dr 所在的 r D 列即是列向量组的一个极大无关组， r 所在的 r 行即 是行向量组的一个极大无关组.
4.3.3 利用初等行变换求向量组的秩与极大无关组 将所讨论的向量组 α1,α2 ,,αm 的每一个向量作为矩阵 的列写成一个矩阵 A= (α1,α2 ,,αm ) ,并对此矩阵施行初等 列
α1,α2 ,α3 是否线性相关.
解：
2 1 3 2 1 3 1 1 2 A = 3 2 5 →1 1 2 →0 1 1 ， 2 1 4 0 0 1 0 0 1
R( A) = 3
所以， α1,α2 ,α3 是线性无关.
例5：设向量组 α1,α2 ,α3 线性无关，又设，
β 可由向量组 A 唯一线性表示 的充分必要条件是