专题复习与圆的切线有关的证明与计算

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2020年中考数学一轮专项复习32 圆中与切线有关的证明、计算(含解析)

2020年中考数学一轮专项复习——圆中与切线有关的证明、计算基础过关1. (2018湘西州)已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定2．(2019广州)平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为()A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条3．(2019杭州)如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于A、B两点，若P A＝3，则PB＝()A. 2B. 3C. 4D. 5第3题图4．(2019重庆A卷)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若∠C＝50°，则∠AOD的度数为()A．40°B．50°C．80°D．100°第4题图5．(2019舟山)如图，已知⊙O上三点A、B、C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线P A交OC延长线于点P，则P A的长为()第5题图A. 2B. 3C. 2D. 1 26．(2019娄底)如图，边长为23的等边△ABC的内切圆的半径为()A. 1B. 3C. 2D. 2 3第6题图7．(2019泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO的延长线于点P，则∠P的度数为()A. 32°B. 31°C. 29°D. 61°第7题图8．(2019贺州)如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝3OD，AB＝12，CD的长是()第8题图A. 2 3B. 2C. 3 3D. 4 39．(2019宿迁)直角三角形的两条直角边分别为5和12，则它的内切圆半径为________．10．如图，P A是⊙O的切线，A为切点，连接PO交⊙O于点B，P A＝4，PB＝2，则sin∠APO＝________．第10题图11．(2019包头)如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为________．第11题图12．(2020原创)如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，且CA＝BA.连接OC，过点A作AD⊥OC 于点E，交⊙O于点D，连接DB.(1)求证：△ACE≌△BAD；(2)连接CB交⊙O于点M，交AD于点N.若AD＝4，求MN的长．第12题图13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于点D，交AC 于点E，F是DE的中点，连接CF.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC.第13题图能力提升1．(2019绵阳模拟)如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10 cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14 cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是()A. 圆形铁片的半径是4 cmB. 四边形AOBC为正方形C. 弧AB的长度为4π cmD. 扇形OAB的面积为4π cm2第1题图2．(2019安顺)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)求证：点H为CE的中点；(3)若BC＝10，cos C＝55，求AE的长．第2题图满分冲关1．(2019玉林)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M、N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值与最大值之和是()A. 5B. 6C. 7D. 8第1题图2．如图，直线y ＝－34x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是________．第2题图参考答案基础过关1．B 【解析】根据圆心到直线的距离等于半径，则圆与直线相切，可知直线l 与⊙O 相切． 2．C 【解析】∵⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，∴点P 在圆外．过圆外一点可以作两条直线和圆相切．3．B 【解析】∵P 为⊙O 外一点，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，∴根据切线长定理知，PB ＝P A ＝3.4．C 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∵∠C ＝50°，∴∠ABD ＝40°，∴∠AOD ＝2∠ABD ＝80°.5．B 【解析】如解图，连接OA ，则∠AOC ＝2∠ABC ＝60°，∵AP 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴AP ＝OA ·tan ∠AOC ＝1×tan60°＝ 3.第5题解图6．A 【解析】如解图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵⊙O 是等边△ABC 的内切圆，∴D 为AB 的中点．∵AB ＝23，∴AD ＝12AB ＝ 3.∵在等边△ABC 中，∠CAB ＝60°，∴∠OAD ＝30°.∴tan ∠OAD＝OD AD .∴tan30°＝OD 3，解得OD ＝1.第6题解图7．A 【解析】如解图，设BP 与⊙O 交于点M ，连接OC 、CM .∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°.∵四边形ABMC 是⊙O 的内接四边形，∠A ＝119°，∴∠BMC ＝180°－119°＝61°.∵OC ＝OM ，∴∠OCM ＝∠OMC ＝61°.∴在△COM 中，∠COM ＝180°－∠OCM ＝∠OMC ＝58°.∴在△COP 中，∠P ＝180°－∠COM －∠OCP ＝180°－58°－90°＝32°.第7题解图8．A 【解析】∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD ，在Rt △AOD 中，AD ＝3OD ，∴tan A ＝OD AD ＝OD3OD ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠AOD ＝60°，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD ＝12∠AOD ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠ABD ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠C ＝90°. 在Rt △ABC 中，BC ＝AB ·sin A ＝12×12＝6. 在Rt △CBD 中，CD ＝BC ·tan30°＝6×33＝2 3. 9．2 【解析】∵两条直角边的长分别为5和12，由勾股定理可知，斜边长＝52＋122＝13，∴它的内切圆的半径＝5＋12－132＝2.10.35 【解析】∵P A 为⊙O 的切线，A 为切点，∴∠OAP ＝90°，∵在Rt △OAP 中，P A ＝4，PB ＝2，设半径为r ，∴OA ＝OB ＝r ，OP ＝r ＋2.在Rt △OAP 中，由勾股定理得(r ＋2)2＝r 2＋42，解得r ＝3，∴OP ＝3＋2＝5，OA ＝3，∴sin ∠APO ＝OA OP ＝35.11．26 【解析】如解图，连接CD ，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DCB ＝90°，∵∠ABC ＝∠CBD ，∠CAB ＝∠DCB ＝90°，∴△CAB ∽△DCB .∴BC AB ＝BD CB，即BC ＝BD ·AB ＝2 6.第11题解图12．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AD ⊥OC ， ∴∠AEC ＝90°， ∴∠ADB ＝∠AEC ， ∵CA 是⊙O 的切线， ∴∠CAO ＝90°，∴∠CAE ＋∠BAD ＝∠CAE ＋∠ACE ＝90°， ∴∠ACE ＝∠BAD ，在△ACE 和△BAD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEC ＝∠BDA ∠ACE ＝∠BAD CA ＝AB， ∴△ACE ≌△BAD (AAS)； (2)解：如解图，连接AM ，第12题解图∵AD ⊥OC ，AD ＝4， ∴AE ＝DE ＝12AD ＝2，∵△ACE ≌△BAD ，∴AE ＝BD ＝2，CE ＝AD ＝4，在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝25，在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝210. ∵∠CEN ＝∠BDN ＝90°，∠CNE ＝∠BND ， ∴△CEN ∽△BDN ， ∴CN BN ＝CEBD＝2. ∴BN ＝13BC ＝2103，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AMB ＝90°，即AM ⊥CB ， ∵CA ＝BA ，∠CAB ＝90°， ∴BM ＝12BC ＝10，∴MN ＝BM －BN ＝103. 13．证明：(1)如解图，连接OC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. ∴∠ECD ＝90°. ∵点F 为DE 的中点， ∴EF ＝CF . ∴∠FCE ＝∠FEC . ∵∠AEO ＝∠FEC ， ∴∠FCE ＝∠AEO . ∵OA ＝OC ， ∴∠OCA ＝∠A . ∵OD ⊥AB ， ∴∠A ＋∠AEO ＝90°. ∴∠OCA ＋∠FCE ＝90°，即∠FCO ＝90°. ∴OC ⊥CF .∵OC 是⊙O 的半径， ∴CF 是⊙O 的切线；第13题解图(2)∵∠A ＝22.5°，∴∠BOC ＝2∠A ＝45°.∵OD ⊥AB ，∴∠BOD ＝90°.∴∠DOC ＝45°.∵∠FCO ＝90°，∴∠CFO ＝45°.∴∠CFO ＝∠DOC .∴CF ＝CO .∵CF ＝EF ＝DF ，∴DE ＝2CF .∴AB ＝2OC ＝DE .∵∠A ＋∠B ＝90°，∠D ＋∠B ＝90°，∴∠A ＝∠D ，在△ABC 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D∠ACB ＝∠DCE ＝90°AB ＝DE，∴△ABC ≌△DEC (AAS)．∴AC ＝DC .能力提升1．C 【解析】∵CA 、CB 分别与⊙O 相切，∴∠OBC ＝∠OAC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴四边形AOBC 是矩形，∵OA ＝OB ，∴四边形AOBC 是正方形，∵AC ＝4 cm ，∴OB ＝4 cm ，即圆形铁片的半径是4 cm ，∴弧AB 的长为90π×4180＝2π cm ，扇形OAB 的面积为90π×42360＝4π cm 2，综上所述，说法错误的是C . 2．(1)解：DH 与⊙O 相切．理由如下：如解图，连接OD ，∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠ODB ＝∠C ，∴OD ∥AC ，∵DH ⊥AC ，∴OD ⊥DH ，∵OD 是⊙O 的半径，∴DH 与⊙O 相切；第2题解图 (2)证明：如解图，连接DE ，∵四边形ABDE 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠AED ＝180°，∵∠DEC ＋∠AED ＝180°，∴∠DEC ＝∠B ，∵∠B ＝∠C ，∴∠DEC ＝∠C ，∴DE ＝DC ，∵DH ⊥EC ，∴点H 为CE 的中点；(3)解：如解图，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴DC ＝12BC ＝12×10＝5，∵在Rt △ADC 中，cos C ＝DC AC ＝55，∴AC ＝55，∵在Rt △DHC 中，cos C ＝HC CD ＝55，∴HC ＝5，∵点H 为CE 的中点，∴CE ＝2CH ＝25，∴AE ＝AC －EC ＝3 5.满分冲关1．B 【解析】如解图，在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠C ＝90°，∴AB ＝5，∵点O 是AB 的三等分点，∴AO ＝53，设半圆O 与AC 相切于点D ，交AB 于点E 、F ，则OD ⊥AD ，∴△ADO ∽△ACB ，∴DO CB ＝AO AB ，即DO 3＝13，∴DO ＝EO ＝1.当N 在点E 处，M 在点B 处时MN 最大，最大值为BE ＝BO ＋OE ＝103＋1；过点O 作OM ⊥BC 于M ，交半圆O 于点N ，则此时MN 最小，∵△BOM ∽△BAC ，∴OM AC ＝OB AB ＝23，∴OM ＝83，∴MN 的最小值为OM －ON ＝83－1，∴最大值与最小值的和为103＋1＋83－1＝6.第1题解图2．(－73，0)或(－173，0) 【解析】如解图①，当点P 在直线AB 上方且⊙P 与直线AB 相切时，设切点为C ，连接PC ，则PC ⊥AB ，∵直线y ＝－34x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴A (－4，0)，B (0，－3)．∴AB ＝5.在△APC 与△ABO 中，∠AOB ＝90°，∠ACP ＝90°，∠P AC ＝∠OAB ，∴△ABO ∽△APC .∴CP OB＝AP AB .∴13＝AP 5.∴AP ＝53.∴OP ＝AO －AP ＝4－53＝73.∴P 点的坐标为(－73，0)；如解图②，当点P 在AB 下方且⊙P 与直线AB 相切时，设切点为C ，连接PC ，则PC ⊥AB ，在△ABO 与△APC 中，∵∠AOB ＝90°，∠ACP ＝90°，∠P AC ＝∠OAB ，∴△APC ∽△ABO .∴CP OB ＝AP AB .∴13＝AP 5.∴AP ＝53.∴OP ＝AO ＋AP ＝4＋53＝173.∴P 点的坐标为(－173，0)综上的述点P 的坐标是(－73，0)或(－173，0)．第2题解图。

中考复习圆的切线的证明

中考复习圆的切线的证明圆的切线是一条与圆相切且只与圆相交于切点的直线。

下面我将为你展示圆的切线的证明。

设圆的半径为r，圆心坐标为(O,O)，切线与圆相切于点A，切点坐标为(a,b)。

我们需要证明切线的斜率与切点到圆心的距离之间的关系。

O_______________________/\/\AB根据几何性质，切线与径线的夹角为90度，所以角AOB为直角。

根据直角三角形AOB的性质，我们可以得到以下两个等式：1.OA²+AB²=OB²（勾股定理）2.OA=r（圆的定义）再根据切线与直径线的性质，我们可以得到以下等式：3.AB⊥OA（切线与半径线垂直）由等式3，我们可以得到两个直角三角形OAB和OBA。

考虑到OA=r，我们可以用r来表示OA和OB。

根据等式1，我们可以得到：r²+AB²=(2r)²r²+AB²=4r²AB²=3r²再根据等式2，我们可以得到：OA=r将等式2代入等式1中，我们可以得到：r²+AB²=OA²3r²=OA²移项得：AB²=2r²现在，我们来计算切线的斜率。

设切线的斜率为k，OA的斜率为m。

由定义可知，斜率m为切点A处切线的斜率，其值等于切线过切点A 和圆心O的直线的斜率。

而且，切线与直径OB垂直，垂直线的斜率之积为-1，即斜率k和斜率m之积为-1所以，我们可以得到以下等式：k×m=-1另外，我们可以计算切点A到圆心O的距离的平方。

根据点到点的距离公式，我们可以得到：OA²=(a-O)²+(b-O)²将具体的坐标代入上式，并将OA²替换为r²，我们可以得到：r²=(a-O)²+(b-O)²综上所述，我们可以得到以下两个等式：AB²=2r²k×m=-1现在我们来证明切线的斜率与切点到圆心的距离之间的关系。

人教版九年级上册圆专题复习2切线证明及计算

圆的切线证明与计算一、知识回顾1、切线证明的两种主要类型：（1）已知直线经过圆上某一点，辅助性的作法是连接圆心和这一点，判定方法是：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。

（2）未知直线是否经过圆上的某一点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线段，判定方法是：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

2、圆的有关计算：经常用到垂径定理、勾股定理等。

二、例题讲解：例1：如图1，在Rt △ABC 中，C 90∠=,BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥.（１）求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；（２）若26,62==AE AD ，求EC 的长.注：（1）角平分线、平行于角平分线一边的直线、等腰三角形中，任意两个作为条件都可以推导出第三个。

（2）直角三角形中的特殊边角关系的应用。

例2：如图2，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE=DC ，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆。

求证：（1）AC 是⊙D 的切线；（2）AB+EB=AC 。

证明：（1）过点D 作DF ⊥AC 于F.∵AB 为⊙D 的切线, AD 平分∠BAC, ∴BD=DF .∴AC 为⊙D 的切线 .（2）在△BDE 和△DCF 中, ∵BD=DF, DE=DC,∴△BDE ≌△DCF （HL ）, ∴EB=FC .又AB=AF, ∴AB+EB=AF+FC, 即AB+EB=AC .三、课堂练习：1、如图3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，在∠ACD的外部作∠ACE=∠ACD，CE的反向延长线交AB的延长线于点P．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若PC=4，PA=8，求sinP的值．2、如图4，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D,AB＝5,EB＝3.求证:⑴AC是⊙O的切线；⑵求线段AC的长.3、如图5，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB = 15，EF = 10，求AE的长．4、已知：如图6，∠ACB=60°，CE为∠ACB的角平分线，O为射线CE上的一点，⊙O切AC于点D．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，P为⊙O上一点，且使得∠DPC=90°，求DP的长．5、（20XX元月调考试题）如图7，在边长为4的正方形ABCD中，以AD为直径作⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙C，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F.(1)求证：CF与⊙O相切；（2）求△BCF和直角梯形ADCF周长之比.四、课后作业：1、如图8，AB为⊙O的直径，D是⊙O 外一点，AD交⊙O于C，AE平分∠BAD交⊙O于E，AD⊥ED于D。

中考数学一轮复习圆的切线的的有关计算与证明试题

圆的切线有关证明与计算创作单位：*ＸＸＸ创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景【考情分析】圆的切线的有关计算与证明题一般出在第21或者22题位置，分值在9分左右，难度中等偏上，所考察的知识点相对稳定，从题目本身来看，一般都采取很HY 的两问式。

第一问考察切线的断定和性质，第二问求角度或者线段长度。

【解题要领方法透视】【根底题强化】1.〔2021，〕如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上〔异于B A ,〕，CD AD ⊥.〔1〕假设BC =3，5=AB ，求AC 的值；图13〔2〕假设AC 是DAB ∠的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线.2、(2021〕如图13，在ABC ∆中，AB AC =,以AC 边为直径作⊙O 交BC 边于点D ,过点D 作DE AB ⊥于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F .〔1〕求证：EF 是⊙O 的切线；〔2〕假设32EB =,且3sin 5CFD ∠=,求⊙O 的半径与线段AE 的长A第1题图【典例精析】例1.〔2021〕如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，且∠B=2∠A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF=FC.〔1〕求证：CF是⊙O的切线.〔2〕设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长.例2.〔2021〕如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，tan B= 12.半径为2的⊙C，分别交AC、BC于点D、E，得到DE.(1)求证：AB为⊙C的切线；(2)求图中阴影局部的面积.【课堂检测】1、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直经作⊙O交BC与D点，过(1)求证:FE⊥AB.(2)当AE=6，AF=10时，示BE的长.2．〔2021〕如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．〔1〕求证：直线BF是⊙O的切线．〔2〕假设CD＝OP＝1，求线段BF的长．3.〔2021〕如图，以△ABC的边BC边上一点O为圆心的圆，经过A、C两点且与BC边交于点E．点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，假设AB＝BF．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕假设CF＝4，DF＝10，求⊙O的半径r及sin B专题复习——圆的切线有关证明与计算限时作业1．〔2021年 23，8分〕如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，假设CE是⊙O的切线，解答以下问题：〔1〕求证：CD是⊙O的切线；〔2〕假设BC=3，CD=4，求平行四边形OABC 的面积.2、〔2021〕如图11，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且CBD CDA ∠=∠．〔1〕求证：CD 是⊙O 的切线；〔2〕过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，6=BC ，32=BD AD ．求BE 的长．3.〔2021，27，10分〕如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E 为BC的中点，连接DE．〔1〕求证：DE是半圆⊙O的切线．〔2〕假设∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．4. (2021)如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC.(1)求证：AP是⊙O的切线.(2)假设⊙O的半径是4，AP=43，求图中阴影局部的面积.3.〔2021，30，10分〕如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连接CE，AE，CD，假设∠AEC=∠ODC．〔1〕求证：直线CD为⊙O的切线；〔2〕假设AB=5，BC=4，求线段CD的长．4.〔2021，21，8分〕如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F ．〔1〕求证：DF ⊥AC ；〔2〕假设⊙O 的半径为4，∠CDF °，求阴影局部的面积．5、如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，∠BAC 的角平分线交BC 于点O ，OC =1，以点O 为圆心OC 为半径作圆.创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景 (1)求证：AB 为⊙O 的切线；(2)假如tan ∠CAO =13，求cosB 的值.B A C。

中考数学专题四圆的综合问题

∴∠AED=∠ODC,∴AE∥OD,
∴∠ODA=∠DAE. ∵OD=OA,∴∠ODA=∠DAC, ∴∠DAE=∠DAC.
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方法类型2 与圆的切线有关的证明与计算
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方法类型2 与圆的切线有关的证明与计算
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方法类型2 与圆的切线有关的证明与计算
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方法类型2 与圆的切线有关的证明与计算
∵OA=OC,∴∠A=∠OCA.
∵∠DCB=∠A,∴∠DCB=∠OCA.
∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°,即∠OCB+∠OCA=90°,
∴∠DCB+∠OCB=90°,
∴∠OCD=90°,即OC⊥DC,
∴CD是☉O的切线.
答图
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方法
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高分类型2 与圆的切线有关的证明与计算
答图
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方法
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(2)连接DB,求证:DB=DI; 证明:设∠BAC=2α,∠ABC=2β, 由(1)知∠BAD=∠CAD=α. ∵点I为△ABC的内心,∴BI平分∠ABC, ∴∠ABI=∠CBI=β. 又∵∠CBD=∠CAD=α, ∴∠DBI=∠IBC+∠CBD=α+β. ∵∠DIB=∠BAD+∠ABI=α+β, ∴∠DBI=∠DIB,∴DB=DI.
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类型1 与圆的性质有关的证明与计算
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高分
高分
类型1 与圆的性质有关的证明与计算
②求图中阴影部分的面积.
答图
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高分
类型1 与圆的性质有关的证明与计算

2020中考数学冲刺专题：圆切线的相关证明与计算

2020中考数学冲刺专题：圆切线的相关证明与计算1. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.第1题图(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．(1)证明：如解图，连接OD，∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，第1题解图∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC.∵PD∥BC，∴OD ⊥PD .又∵OD 是⊙O 的半径， ∴PD 是⊙O 的切线； (2)证明：∵PD ∥BC ， ∴∠P ＝∠ABC . 又∵∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠P ＝∠ADC .∵∠PBD ＋∠ABD ＝180°，∠ACD ＋∠ABD ＝180°， ∴∠PBD ＝∠ACD ， ∴△PBD ∽△DCA ；(3)解：∵△ABC 是直角三角形， ∴BC 2＝AB 2＋AC 2＝62＋82＝100， ∴BC ＝10.∵OD 垂直平分BC ， ∴DB ＝DC .∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC ＝90°.∵在Rt △DBC 中，DB 2＋DC 2＝BC 2，即2DC 2＝BC 2＝100， ∴DC ＝DB ＝5 2. ∵△PBD ∽△DCA ， ∴PB DC ＝BD CA ，∴PB ＝DC ·BD CA ＝52·528＝254.2．如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，P A与⊙O相切于点A，连接OP交⊙O 于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O于点B，连接PB.第2题图(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若PC＝9，AB＝63，求图中阴影部分的面积．(1)证明：连接OB，∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP垂直平分AB，∴AP＝BP，又∵OA＝OB，OP＝OP，第2题解图∴△APO≌△BPO(SSS)，∵P A切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠P AO＝90°，∴∠PBO＝∠P AO＝90°，∴OB ⊥BP ，又∵点B 在⊙O 上， ∴PB 与⊙O 相切于点B ；(2)解：∵OP ⊥AB ，OP 经过圆心O ， ∴BC ＝12AB ＝33， ∵∠PBO ＝∠BCO ＝90°，∴∠PBC ＋∠OBC ＝∠OBC ＋∠BOC ＝90°， ∴∠PBC ＝∠BOC ， ∵∠PCB ＝∠BCO ＝90°， ∴△PBC ∽△BOC ， ∴BC OC ＝PC BC ，∴OC ＝BC ·BC PC ＝33×339＝3， ∴在Rt △OCB 中，OB ＝OC 2＋BC 2＝6，tan ∠COB ＝BCOC ＝3，∴∠COB ＝60°，PB ＝OP ·sin60°＝63,∴S △OPB ＝12PB ·BO ＝183，S 扇形DOB ＝6036360 g ＝6π，∴S 阴影＝S △OPB －S 扇形DOB ＝183－6π.3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠A ＝2∠BCD ，点E 在AB 的延长线上，∠AED ＝∠ABC . (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)若BF ＝2，DF ＝10，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：如解图，连接DO，∴∠BOD＝2∠BCD=∠A，∵∠DEA＝∠CBA，第3题解图∴∠DEA+∠DOE＝∠CAB+∠CBA，∵∠ACB＝90°,∴OD⊥DE，又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如解图，连接BD，可得△FBD∽△DBO,BD DF BF==，BO OD BD∴BD=DF10∴OB=5.4．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长，交⊙O于点D、E，连接AD并延长，交BC于点F，连接BD、BE.第4题图(1)试判断∠CBD 与∠CEB 是否相等，并证明你的结论； (2)求证：BD BE ＝CDBC ；(3)若BC ＝2AB ，求tan ∠CDF 的值． (1)解：∠CBD ＝∠CEB ，证明如下： ∵AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ， ∴∠CBD ＝90°－∠OBD ，又∵DE 过⊙O 的圆心，∴∠DBE ＝90°，OB ＝OD ， ∴∠CEB ＝90°－∠ODB ，∠ODB ＝∠OBD ， ∴∠CBD ＝∠CEB ；(2)证明：∵在△CBD 和△CEB 中， ∵∠CBD ＝∠CEB ，∠C ＝∠C ， ∴△CBD ∽△CEB ，∴BD BE ＝CD BC ； (3)解：∵BC ＝2AB ，OB ＝12AB ， ∴在Rt △OBC 中，OC ＝32AB ，∴CD ＝OC －OD ＝AB ，∵DE 是⊙O 的直径， ∴∠DBE ＝90°，∵∠CDF ＝∠ADE ＝∠ABE ＝∠BED ，∴tan ∠CDF ＝tan ∠BED ＝BD BE ＝CD BC ＝AB 2AB ＝22.5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O 上，CE＝CA，AB和CE的延长线交于点F.(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若⊙O的半径为3，EF＝4，求BD的长．第5题图(1)证明：如解图，连接OE，OC，第5题解图∵OA＝OE，CE＝CA，OC共用，∴△OEC≌△OAC(SSS)，∴∠OEC＝∠A＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴CE与⊙O相切；(2)解：在Rt△OEF中，OE＝3，EF＝4，∴OF＝OE2＋EF2＝5，∴AF＝8，在Rt△ACF中，设AC＝x，则CF＝CE＋EF＝x＋4，∵AF2＋AC2＝CF2，∴82＋x2＝(x＋4)2，解得x ＝6，则AC ＝6，在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝6， ∴BC ＝62，如解图，连接AD ，则AD ⊥BC ， ∴BD ＝12BC ＝3 2.6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，点E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .(1)若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长； (2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由．第6题图(1)解：如解图，连接OD ，∵∠BCD ＝36°， ∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°， ∵BC 是⊙O 的直径，且BC ＝10， ∴l BD ︵＝72π×5180＝2π；第6题解图(2)解：DE 是⊙O 的切线．理由如下： ∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝180°－∠BDC ＝90°，又∵点E 是线段AC 的中点， ∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，在△DOE 与△COE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE ， ∴△DOE ≌△COE ， ∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线．7.如图，⊙O 的半径OC 垂直弦AB 于点H ，连接BC ，过点A 作弦AE ∥BC ，过点C 作CD ∥BA 交EA 延长线于点D ，延长CO 交AE 于点F . (1)求证：CD 为⊙O 的切线； (2)若BC ＝10，AB ＝16，求OF 的长．第7题图（1）证明：∵OC ⊥AB ，AB ∥CD ， ∴OC ⊥DC ， ∵OC 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，连接BO .设OB ＝x ，∵AB ＝16，OC ⊥AB ， ∴HA ＝BH ＝8， ∵BC ＝10，∴CH ＝6， ∴OH ＝x －6. 在Rt △BHO 中， ∵OH 2＋BH 2＝OB 2，∴(x －6)2＋82＝x 2，解得x ＝253， ∵CB ∥AE ，∴∠CBH ＝∠F AH ，在△CHB 和△FHA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CBH ＝∠F AH ∠CHB ＝∠FHA BH ＝AH， ∴△CHB ≌△FHA ，∴CH ＝HF ， ∴CF ＝2CH ＝12，∴OF ＝CF －OC ＝12－253＝113.第7题解图8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .(1)若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长；(2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE 2＝AB ·EF.第8题图(1)解：如解图，连接OD ，∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°， ∵BC 是⊙O 的直径，且BC ＝10，∴l BD ︵＝72π×5180＝2π.第8题解图(2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°，又∵点E 是线段AC 的中点，∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，在△DOE 与△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE，∴△DOE ≌△COE ； ∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(3)证明：∵△DOE ≌△COE ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线，DE ＝CE ， ∴点F 是线段CD 的中点，∵点E 是线段AC 的中点，则EF ＝12AD ，在△ACD 与△ABC 中，⎩⎨⎧∠CAD ＝∠BAC ∠ADC ＝∠ACB， ∴△ACD ∽△ABC ，则AC AB ＝AD AC ，即AC 2＝AB ·AD ，而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ， ∴(2CE )2＝AB ·2EF ，即4CE 2＝AB ·2EF ，∴2CE 2＝AB ·EF .。

圆的相关证明与计算--与切线有关的证明与计算(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总

圆的相关证明与计算-中考数学重难点题型与切线有关的证明与计算（专题训练）1.如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，E 为AB 上一点，BE BC =，延长CE 交AD 于点D ，AD AC =．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若1tan 3ACE ∠=，3OE =，求BC 的长．【答案】（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据BE BC =，可得BEC BCE ∠=∠，根据对顶角相等可得AED BEC ∠=∠，进而可得BCE AED ∠=∠，根据AD AC =，可得ADC ACE ∠=∠，结合90ACB ∠=︒，根据角度的转化可得90AED D ∠+∠=︒，进而即可证明AD 是O 的切线；（2）根据ADC ACE ∠=∠，可得1tan tan 3EA D ACE DA ==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，分别求得,,AC AB BC ，进而根据勾股定理列出方程解方程可得x ，进而根据6BC x =+即可求得．【详解】（1） BE BC =，∴BEC BCE ∠=∠，AED BEC ∠=∠，∴BCE AED ∠=∠，AD AC =，∴ADC ACE ∠=∠，AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，90D AED ACD BCE ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴AD 是O 的切线；（2）AD AC = ，∴ADC ACE ∠=∠，1tan tan 3EA D ACE DA ∴==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，3,336OB OA AE OE x BC BE OE OB x x ==+=+==+=++=+，226AB OA x ==+，在Rt ABC 中，222AC BC AB +=，即()()()2223626x x x ++=+，解得122,0x x ==（舍去），68BC x ∴=+=．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．2.如图，ABC 内接于O ，AB AC =，AD 是O 的直径，交BC 于点E，过点D 作//DF BC ，交AB 的延长线于点F，连接BD ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知12AC =，15AF =，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）DF =【分析】（1）由题意根据圆周角定理得出90ABC CBD ∠+∠=︒，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；（2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出FBD FDA ~△△，继而运用相似比FB FD FD FA =即可求出DF 的长．【详解】解：（1）证明：∵AD 是O 的直径∴90ABD ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）即90ABC CBD ∠+∠=︒∵AB AC=∴ABC C ∠=∠（等边对等角）∵ AB AB=∴ADB C ∠=∠（同弧或等弧所对的圆周角相等）∴ABC ADB∠=∠∵//BC DF ，∴CBD FDB∠=∠∴90ADB FDB ∠+∠=︒即90ADF ∠=︒∴AD DF⊥又∵AD 是O 的直径∴DF 是O 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．（2）解：∵12AB AC ==，15AF =∴3BF AF AB =-=∵F F ∠=∠，90FBD FDA ∠=∠=∴FBD FDA ~△△（两个角分别相等的两个三角形相似）∴FB FD FD FA=，∴231545FD FB FA =⋅=⨯=∴DF =【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．3.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为AB 上一点，BD BC =，过点A 作AE AB ⊥交CD 的延长线于点E，CE 交O 于点G，连接AC，AG，在EA 的延长线上取点F，使2FCA E ∠=∠．（1）求证：CF 是O 的切线；（2）若6AC =，AG ，求O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据题意判定ADG DCB ∽，然后结合相似三角形的性质求得2AGD E ∠∠＝，从而可得FCA AGD ∠∠＝，然后结合等腰三角形的性质求得90FCO ∠︒＝，从而判定CF 是O 的切线；（2）由切线长定理可得AF CF ＝，从而可得2FAC E ∠∠＝，得到AC AE ＝，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【详解】（1）证明：B AGC ∠∠ ＝，ADG CDB ∠∠＝，ADG DCB ∴ ∽，BD BC GD GA∴=，BD BC ＝，GD GA ∴＝，ADG DAG ∴∠∠＝，又AE AB ⊥ ，90EAD ∴∠︒＝，90GAE DAG E ADG ∴∠+∠∠+∠︒＝＝，GAE E ∴∠∠＝，AG DG EG ∴＝＝，2AGD E ∠∠＝，2FCA E ∠∠ ＝，FCA AGD B ∴∠∠∠＝＝，AB 是O 的直径，90CAB B ∴∠+∠︒＝，又OA OC Q ＝，ACO CAB ∴∠∠＝，90FCA ACO ∴∠+∠︒＝，90FCO ∴∠︒＝，即CF 是O 的切线；（2） CF 是O 的切线，AE AB ⊥，AF CF ∴＝，2FAC FCA E ∴∠∠∠＝＝，6AC AE ∴＝＝，又AG DG EG ＝＝在Rt ADE △中，2AD ===，设O 的半径为x，则2AB x ＝，22BD BC x＝＝﹣，在Rt ABC △中，2226222x x +（﹣）＝（），解得：5x ＝，O ∴ 的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练4.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE⊥AD 交AD 的延长线于点E，延长EC，AB 交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O 的半径是4.5【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD 内接于⊙O，得CDE OBC ∠∠＝，再根据等量代换和直角三角形的性质可得90OCE ∠︒＝，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC 是矩形，设⊙O 的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵OB OC ＝，∴OCB OBC ∠∠＝，∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴180CDA ABC ∠+∠=︒又180CDE CDA ∠+∠=︒∴CDE OBC ∠∠＝，∵CE AD ⊥，∴90E CDE ECD ∠∠∠︒＝＋＝，∵ECD BCF ∠∠＝，∴90OCB BCF ∠∠︒＋＝，∴90OCE ∠︒＝，∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 为⊙O 的切线；（2）解：如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，∵90E OCE ∠∠︒＝＝，∴四边形OGEC 是矩形，∴OC EG OG EC ＝，＝，设⊙O 的半径为x，Rt△CDE 中，31CD DE ＝，＝，∴EC =∴OG =1GD xOD x ＝﹣，＝，由勾股定理得222OD OG DG +：＝，∴222(1)x x =+-，解得： 4.5x ＝，∴⊙O 的半径是4.5．【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．5.如图， ABC 内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD 与CO 的延长线交于点D．（1）求证：直线AD 是⊙O（2）若【答案】（1）见解析；（2）6π-【分析】（1）连接OA，证明OA⊥AD 即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC．【详解】解：（1）如图，连接OA 并延长交BC 于E，∵AB=AC，△ABC 内接于⊙O，∴AE 所在的直线是△ABC 的对称轴，也是⊙O 的对称轴，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠MAD=∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，∴∠BAD+∠BAE=12×180°=90°，即AD⊥OA，∴AD 是⊙O 的切线；（2）连接OB，∴△AOD∽△EOC，∴AD OA EC OE =，由（1）可知AO 是ABC ∆的对称轴，OE ∴垂直平分BC ，132CE BC ∴==，设半径为r ，在Rt EOC ∆中，由勾股定理得，OE∴，解得6r =（取正值），经检验6r =是原方程的解，即6OB OC OA ===，又6BC = ，OBC ∴∆是等边三角形，60BOC ∴∠=︒，OE ==BOC BOC S S S ∆∴=-阴影部分扇形2606163602π⨯=-⨯⨯6π=-【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键．6.如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点D 作//DG BC ，DG 交线段AC 于点G，交AB 于点E，交⊙O 于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD 与⊙O 相切；（2）若AE＝OE，CF 平分∠ACB，BD＝12，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）如图1，延长DB 至H ，证明90ABD ∠=︒，即可根据切线的判定可得BD 与O 相切；（2）如图2，连接OF ，先根据圆周角定理证明OF AB ⊥，再证明EFO EDB △∽△，列比例式可得4OF =，即O 的半径为4，根据勾股定理可得DE 的长．【详解】（1）证明：如图1，延长DB 至H ，，DG BC//∴∠=∠，CBH D，∠=∠A D∴∠=∠，A CBH的直径，Q是OAB∴∠=︒，ACB90∴∠+∠=︒，A ABC90∴∠+∠=︒，90CBH ABC∴∠=︒，90ABD∴AB⊥BD，相切；∴与OBD（2）解：如图2，连接OF，CF平分ACB∠，∴∠=∠，ACF BCF∴=，AF BF∴∠AOF＝∠BOF＝90°，OF AB ∴⊥，BD AB ⊥ ，//OF BD ∴，EFO EDB ∴△∽△，∴OF OE BD BE=，AE OE = ，∴13OE EB =，∴1123OF =，4OF ∴=，4OA OB OF ∴===，246BE OE OB ∴=+=+=，DE ∴=．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明EFO EDB △∽△．7.如图，在Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，点O 在CD 上，作⊙O，使⊙O 与AD 相切于点B，⊙O 与CD 交于点E，过点D 作DF∥AC，交AO 的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F 的值．【答案】（1）见详解；（2）12．【分析】（1）由题意，先证明OA 是∠BAC 的角平分线，然后得到BO=CO，即可得到结论成立；（2）由题意，先求出BD=4，OD=5，然后利用勾股定理求出6AB AC ==，10AD =，结合直角三角形ODF，即可求出tan∠F 的值．【详解】解：（1）∵DF∥AC，∴∠CAO=∠F，∵∠OAB＝∠F，∴∠CAO=∠OAB，∴OA 是∠BAC 的角平分线，∵AD 是⊙O 的切线，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴BO=CO，又∵AC⊥OC，∴AC 是⊙O 的切线；（2）由题意，∵OC＝3，DE＝2，∴OD=5，OB=3，CD=8，∴4BD ==，由切线长定理，则AB=AC，设AB AC x ==，在直角三角形ACD 222AC CD AD +=，即2228(4)x x +=+，解得：6x =，∴6AB AC ==，6410AD =+=，∵∠OAB＝∠F，∴10DF AD ==，∵90FDO ACO ∠=∠=︒，∴51tan 102OD F DF ∠===．【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题．8.如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以斜边AB 上的中线CD 为直径作O ，与BC 交于点M ，与AB 的另一个交点为E ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ．（1）求证：MN 是O 的切线；（2）若O 的直径为5，3sin 5B =，求ED 的长．【答案】（1）见解析；（2）75ED =．【解析】【分析】（1）欲证明MN 为⊙O 的切线，只要证明OM⊥MN．（2）连接,DM CE ，分别求出BD=5，BE=325，根据ED BE BD =-求解即可．【详解】（1）证明：连接OM ，OC OM = ，OCM OMC ∴∠=∠．在Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，12CD AB BD ∴==，DCB DBC ∴∠=∠，OMC DBC ∴∠=∠，//OM BD ∴，MN BD ⊥ ，MN OM ∴⊥，MN ∴是O 的切线．（2）连接,DM CE ，易知,DM BC CE AB ⊥⊥，由（1）可知5BD CD ==，故M 为BC 的中点，3sin 5B =，4cos 5B ∴=，在Rt BMD △中，cos 4BM BD B =⋅=，28BC BM ∴==．在Rt CEB 中，32cos 5BE BC B =⋅=，327555ED BE BD ∴=-=-=．【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．9.如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是半圆O 上不同于,A B 的两点,AD BC AC =与BD 相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ，()1求证：CBA DAB ∆∆≌；()2若,BE BF =求AC 平分DAB ∠．【答案】()1证明见解析；()2证明见解析．【解析】【分析】()1利用,AD BC =证明,ABD BAC ∠=∠利用AB 为直径，证明90,ADB BCA ∠=∠=︒结合已知条件可得结论；()2利用等腰三角形的性质证明：,EBC FBC ∠=∠再证明,CBF DAF ∠=∠利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：,EBC CAB ∠=∠从而可得答案．【详解】()1证明：,AD BC = ,AD BC∴=,ABD BAC ∴∠=∠AB Q 为直径，90,ADB BCA ∴∠=∠=︒,AB BA = CBA DAB ∴ ≌．()2证明：,90,BE BF ACB =∠=︒ ,FBC EBC ∴∠=∠90,,ADC ACB DFA CFB ∠=∠=︒∠∠ ,DAF FBC EBC ∴∠=∠=∠BE 为半圆O 的切线，90,90,ABE ABC EBC ∴∠=︒∠+∠=︒90,ACB ∠=︒ 90,CAB ABC ∴∠+∠=︒,CAB EBC ∴∠=∠,DAF CAB ∴∠=∠AC ∴平分DAB ∠．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．10.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交 BC于点D，过点D 作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，AB为⊙O的直径，90,ACB∴∠=︒∵DE∥BC，∴∠E＝ACB=∠90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BF BA BD=，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．11.如图，在⨀O中，AB为⨀O的直径，C为⨀O上一点，P是 BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC 的延长线于点D．（1）求证：DP 是⨀O 的切线；（2）若AC=5，5sin 13APC ∠=,求AP 的长．【答案】（1）见解析；（2）AP=．【解析】【分析】（1）根据题意连接OP，直接利用切线的定理进行分析证明即可；（2）根据题意连接BC，交于OP 于点G，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可.【详解】解：（1）证明：连接OP；∵OP=OA;∴∠1=∠2；又∵P 为 BC的中点；∴ PCPB =∴∠1=∠3；∴∠3=∠2；∴OP∥DA；∵∠D=90°；∴∠OPD=90°；又∵OP 为⨀O 半径；∴DP 为⨀O 的切线；（2）连接BC，交于OP 于点G；∵AB 是圆O 的直径；∴∠ACB 为直角；∵5sin 13APC ∠=∴sin∠ABC=513AC=5,则AB=13,半径为132由勾股定理的12=，那么CG=6又∵四边形DCGP 为矩形；∴GP=DC=6.5-2.5=4∴AD=5+4=9;在Rt△ADP ==.【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的切线定理和勾股定理以及三角函数和矩形的性质是解题的关键.12.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE ＝12，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA＝BC AC ＝tan∠BCE＝BE CE ＝12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC ＝CD AD ＝12，∵AD＝8，∴CD＝4．【点睛】本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．13.如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，CAB ∠的平分线AD 交 BC于点D ，过点D 作//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，连接BD ．若1OF =，2BF =，求BD 的长度．【答案】（1）见解析；（2）BD =【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC 得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB 的值，进而得出AF 和BA 的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD 2的值，求算术平方根即可得出BD 的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD 平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°−∠E＝90°，∴DE 是⊙O 的切线；（2）因AB 为直径，则90ADB ∠=︒∵1OF =，2BF =∴OB=3∴4AF =，6BA =∵∠ADB=∠DFB=90°,∠B=∠B∴△DBF∽△ABD ∴BF BD BD AB=∴22612BD BF BA =⋅=⨯=所以BD ．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．。

九年级中考复习专题七圆切线证明及计算

中考复习专题七--- 圆切线与计算5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角均分线，B M均分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．1、如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A 是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（）若为的中点，求证：直线是⊙的切线． 2 D AP CD O （1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=4，cosC= 1时，求⊙O的半径36、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延伸BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线；2、在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足（3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）假如BC=8，AB=5，求CE的长．7、已知：△ABC是边长为4 的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC订交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．4、如图，AB为⊙O内垂直于直径的弦，AB、CD相于点H，△AED与△AHD对于直线（1）求证：直线EF 是⊙O的切线；（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．AD成轴对称．（1）试说明：AE为⊙O的切线；（2）延伸AE与CD交于点P，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半径和DE的长．8、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延伸线上的一点，14、如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧ACA E⊥C D交DC的延伸线于E，C F⊥AB于F，且CE=CF．的中点，连结BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）判断DE与⊙O的地点关系，并说明原因；（1）求证：MN是半圆的切线；（2）若AB=6，BD=3，求BC和AE的长．（2）求证：FD=FG．（3）若△DFG的面积为 4.5 ，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．15、如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E 点。

数学专题-切线的证明与圆的计算

专题一:圆的切线直线与圆相切是圆的重点，也是中考的热点．证明、判断或探究直线与圆相切的题目虽然很多，但是在这些众多的题目中，只有两个类型．►类型之一有公共点时，连接圆心与公共点，证垂直当要证明的直线与圆有公共点时，连接圆心与公共点，证明此半径与直线垂直，利用“经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可证明直线是圆的切线．1．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，点O在AB上，BD ⊥AB，B是垂足，OD∥AC，连接CD.求证：CD是⊙O的切线．证明：如图，连接CO.∵OD∥AC，∴∠COD＝∠ACO，∠CAO＝∠DOB.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠COD＝∠BOD.又∵OD＝OD，OC＝OB，∴△COD≌△BOD，∴∠OCD＝∠OBD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．2.如图所示，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．[解析]要证明直线AB是⊙O的切线，由于直线AB与⊙O已有公共点C，所以连接OC，只需要证明OC⊥AB即可．证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线，∴OC ⊥AB.∵AB经过半径OC的外端点C，∴AB是⊙O的切线(经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．3．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB＝AC；(2)求证：DE为⊙O的切线．证明：(1)如图，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC.(2)如图，连接OD.∵点O，D分别是AB，BC的中点，∴OD∥AC.又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线．4．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠DAO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥OD.又∵AE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．5．如图所示，设AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC＝∠B.求证：直线CD与⊙O相切．证明：连接OD.∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO＋∠ODB ＝90°.∵∠CDA＝∠B＝∠BDO，∴∠ADO＋∠ADC＝90°，即OD ⊥CD.∵CD经过半径OD的外端点D，∴CD是⊙O的切线(经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．6．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以AB 为直径作半圆交AC 于点D，点E 为BC 的中点，连接DE.(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD 的长．解：(1)证明：如图，连接OD，OE，BD.∵AB为⊙O 的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.在Rt△BDC 中，E 为斜边BC 的中点，∴DE＝BE.在△OBE 和△ODE∴△OBE≌△ODE(SSS)，∴∠ODE＝∠ABC＝90°，即OD⊥DE，故DE 为⊙O 的切线．(2)在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，∴BC＝12AC.∵BC＝2DE ＝4，∴AC＝8.又∵∠C＝90°－∠A＝60°，∠BDC＝90°，∴∠DBC＝30°，∴DC＝12BC＝2，则AD＝AC－DC＝6.►类型之二无公共点时，过圆心作垂线，证相等欲证直线与圆相切，当直线与圆无公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长等于圆的半径，利用“到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线”可以证明直线是圆的切线．7．在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定()A．与x 轴相离，与y 轴相切B．与x 轴、y 轴都相离C．与x 轴相切，与y 轴相离D．与x 轴、y 轴都相切[答案]A8．如图，在直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y ＝－2x＋5与⊙O 的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．无法确定[解析]C 如图1－ZT－11所示，过O 作OC⊥直线AB，垂足为C，对于直线y＝－2x＋5，令x＝0，解得y＝5；令y＝0，解得x＝52，∴A(52，0)，B(0，5)，即OA＝52，OB＝5，∴在Rt△AOB 中，根据勾股定理得AB＝OA 2＋OB 2＝52.又S △AOB ＝12AB·OC＝12OA·OB，∴OC＝OA·OB AB ＝52×552＝1.又⊙O的半径为1，∴直线y＝－2x＋5与圆O的位置关系是相切．9．如图所示，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D.求证：AC与⊙O相切．证明：如图，连接OD，则OD⊥AB.过点O作OE⊥AC于点E.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵O是BC的中点，∴OB＝OC.又∵∠BDO＝∠CEO＝90°，∴△BDO≌△CEO，∴OD＝OE，∴AC与⊙O相切(到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线)．专题二:不规则图形的面积及曲线长的求法►类型之一用覆盖法求阴影图形的面积1．如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积是________．[答案]π－2[解析]∵在△ABC 中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴S 阴影部分＝S 半圆AB ＋S 半圆BC －S △ABC ＝12π×(22)2＋12π×(222－12×2×2＝π－2.2.如图所示，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为________(结果用π表示)．[答案]8－2π[解析]用四个半圆的面积减去正方形的面积求出空白部分的面积，再利用阴影部分的面积等于正方形的面积减去空白部分的面积计算．空白部分的面积＝π2×4－2×2＝2π－4，阴影部分的面积＝2×2－(2π－4)＝4－2π＋4＝8－2π.►类型之二用旋转求阴影图形的面积3．如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B 经过的路径为BB′︵，若∠BAC＝60°，AC＝1，则图中阴影部分的面积是()A.π2B.π3C.π4D．π[解析]A ∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∴BC＝ACtan60°＝1×3＝3，AB＝2AC＝2.根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S △ABC ＝S △AB′C′，AB ＝AB′，∴S 阴影＝S 扇形BAB′＋S △AB′C′－S △ABC ＝45π×22360＝π2.4．当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图是某汽车的一个雨刷器的转动示意图，雨刷器杆AB 与雨刷CD 在B 处固定连接(不能转动)，当杆AB 绕点A 转动90°时，雨刷CD 扫过的面积如图所示，现量得：CD＝80cm，∠DBA＝20°，AC＝115cm，DA ＝35cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．解：由题意可知：△ABD≌△AB′D′，△ACD≌△AC′D′，且大扇形半径AC＝115cm，小扇形半径AD＝35cm，且圆心角都为直角，所以雨刷CD 扫过的面积为S 扇形CAC′－S 扇形DAD′＝90π×1152360－90π×352360＝π4×(115＋35)×(115－35)＝3000π(cm 2)．答：雨刷扫过的面积为3000πcm 2.►类型之三用平移求阴影图形的面积5．如图是两个半圆，点O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB＝24，求图中阴影部分的面积．[解析]将小圆向右平移，使之与大圆的圆心重合，阴影部分的面积等于大半圆面积减去小半圆面积．解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图2－ZT －6所示，连接OB，过点O 作OC⊥AB 于点C，则AC＝BC＝12.∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小半圆的半径，∴S 阴影部分＝S 大半圆－S 小半圆＝12π·OB 2－12π·OC 2＝12π(OB2－OC 2)＝12πBC 2＝72π.►类型之四用等积变形求阴影图形的面积6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，∠CDB＝30°，CD＝23，则阴影部分图形的面积为()A．4πB．2πC．πD.2π3[解析]D 连接OD.∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝12CD＝3，故S △OCE ＝S △ODE ，则阴影部分的面积等于扇形BOD 的面积．又∵∠CDB＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OB＝2，故S 扇形BOD ＝60π×22360＝2π3，即阴影部分的面积为2π3D.►类型之五用割补法求阴影图形的面积7.如图所示，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为________．[答案]2π－4[解析]连接AB.由题意，得阴影部分的面积＝2(S 扇形AOB－S △OAB )＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4.8．如图，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC 为直径作半圆，圆心为O.以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D，E，则阴影部分的面积是________．[答案]5π33[解析]连接CE.由题意，得∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD ＝2，BC＝CE＝4.又∵OE∥AC，∴∠ACB＝∠COE＝90°，∴在Rt△OEC 中，OE＝23，cos∠OCE＝OC CE ＝24＝12，∴∠OCE＝60°.∴S 阴影＝S 扇形BCE －S 扇形BOD －S △OCE ＝60π×42360－14π×22－12×2×23＝5π3－23.9．如图所示，OC 平分∠MON，点A 在射线OC 上，以点A 为圆心，半径为2的⊙A 与OM 相切于点B，连接BA 并延长交⊙A 于点D，交ON 于点E.(1)求证：ON 是⊙A 的切线；(2)若∠MON＝60°，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．解：(1)证明：过点A 作AF⊥ON 于点F.∵⊙A 与OM 相切于点B，∴AB⊥OM.∵OC 平分∠MON，∴AF＝AB＝2，∴ON 是⊙A 的切线．(2)∵∠MON＝60°，AB⊥OM，∴∠OEB＝30°.∵AF⊥ON，∴∠FAE＝60°.在Rt△AEF 中，EF＝23，∴S 阴影＝S △AEF －S 扇形DAF ＝12AF·EF－603602＝23－23π.►类型之六用圆的周长公式计算曲线长10．如图所示，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是()A．2πcm B．4πcmC．8πcm D．16πcm[解析]B∵一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，∴圆心移动的距离等于圆的周长，即2π×42＝4π(cm)．►类型之七用弧长公式计算曲线长11．如图所示，△ABC 的边长都大于2，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧(弧的端点分别在三角形的相邻两边上)，则这三条弧的长度之和是()A．4πB．3πC．6πD．5π[解析]D 三个圆的圆弧缺少的部分之和是∠A＋∠B＋∠C 360·2π·1＝180360三个圆的周长为2π×1×3＝6π，则这三条弧的长度之和是6π－π＝5π.12．如图所示，三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6.三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边上时立即停止转动，则点B转过的路径长为________．[答案]2π►类型之八用分步求和计算曲线长13.[安徽模拟]如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为________．[答案]4π3[解析]从图中发现，B 点从开始至结束所走过的路径长度为两段圆弧，第一段长120π×1180，第二段长120π×1180.故B 点从开始至结束所走过的路径长度＝120π×1180＋120π×1180＝4π3.14．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆做如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O 所经过的路线长是________m(结果用π表示)．[答案](2π＋50)[解析]由图2－ZT－16可知，圆心先向前走O 1O 2的长度，即14圆的周长，然后沿着O 2O 3︵旋转1450m，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半(即半圆)加上50m，由已知得圆的半径为2m，则半圆的弧长l＝（90＋90）×π×2180＝2π(m)，∴圆心O 所经过的路线长＝(2π＋50)m.15．如图所示，将一长为4cm，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动翻滚(顺时针方向)，木板上点A 的位置变化为A→A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时总共走过的路径长为多少？解：由图形知AA 1︵的圆心角为90°，半径为长方形的对角线长，为32＋42＝5(cm)，从而求出AA 1︵的长为90π×5180＝52π(cm)．同理，A 1A 2︵的圆心角为60°，半径为3cm，从而求出A 1A 2︵的长为60π×3180＝π(cm)，从而得点A 翻滚到A 2位置时总共走过的路径长为52π＋π＝72►类型之九用转化的方法求曲线长16．如图所示，已知圆柱体底面的半径为2π，高为2，AB，CD 分别是两底面的直径，AD，BC 是母线．若一只小虫从点D 出发，从侧面爬行到点B，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．[答案]22[解析]沿AD，BC 将圆柱侧面剪开，并展开得到矩形B 1C 1D 1A 1，如图2－ZT－19所示，B 1C 1＝BC＝2，A 1B 1＝2×2π×π×12＝2，B 1D 1＝22＋22＝2 2.即小虫爬行的最短路线的长度是22.。

圆的切线证明和有关计算复习

圆的切线证明和相关计算切线的性质与判定 1.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.2.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径.提示：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.（模型1：证平行）【例1】已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，MN 过C 点，AD MN ⊥于D ，AC 平分DAB ∠．求证：MN 为O ⊙的切线．【例2】如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；（模型2：证全等）【例3】如下图所示，以Rt ABC ∆的直角边BC 为直径作半圆O ，交斜边于D ，OE AC ∥交AB 于E ，⑴ 求证：DE是O ⊙的切线；【例4】如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；EB【例5】已知：O 为BAC ∠平分线上一点，OD AB ⊥于D ，以O 为圆心．以OD 为半径作圆O ．求证：O ⊙与AC相切．【例6】如图，O ⊙是Rt ABC ∆的外接圆，90ABC ∠=︒，点P 是圆外一点，PA 切O ⊙于点A ，且PA PB =．（1）求证：PB 是O ⊙的切线．（模型3：等量代换）【例7】如图，AB 是O ⊙的直径，C 点在圆上，CD AB ⊥于D ．P 在BA 延长线上，且PCA ACD ∠=∠．求证：PC是O ⊙的切线．BP【例8】已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠．求证：（1）DC 为O ⊙的切线；【例9】如图，AC 为O ⊙的直径，B 是O ⊙外一点，AB 交O ⊙于E 点，过E 点作O ⊙的切线，交BC 于D 点，DE DC =，作EF AC ⊥于F 点，交AD 于M 点．（1）求证：BC 是O ⊙的切线；D CB A（模型4：三角形内角和定理）【例10】已知：如图，ABC ∆内接于O ，AD 是过A 的一条射线，且B CAD ∠=∠．求证：AD 是O 的切线．【例11】如图，已知OA 是O ⊙的半径，B 是OA 中点，BC OA ⊥，P 是OA 延长线上一点，且PA AC =．求证：PC是O ⊙的切线．【例12】如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线．（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长．与圆有关的面积和长度计算设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，弧长公式：π180n Rl =扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+(l 为母线) 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法A O BD C 补充：在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例题：已知，如图，扇形AOB 的圆心角为120°，半径OA 为6cm .(1)求扇形AOB 的弧长和扇形面积；(2)若把扇形纸片AOB 卷成一个圆锥无底纸盒，求这个纸盒的高OH.【例1】如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=，6BC =，点D 为BC 中点，将ABD △绕点A 按逆时针方向旋转120得到AB D ''△，则点D 在旋转过程中所经过的路程为．(结果保留π)【例2】如图，已知半圆的直径12AB =厘米，点C D ，是这个半圆的三等分点，求弦AC AD ，和CD 围成的阴影部分面积．(结果用π表示)【例3】将ABC △绕点B 逆时针旋转到A BC ''△使A B C '、、在同一直线上，若90BCA ∠=°，4cm 30AB BAC ︒=∠=，，则图中阴影部分面积为 cm 2．【中考链接】例1.（2016四川省内江市）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC =45°，OB =2，则图中阴影部分的面积为（）B AC DD 'B 'A．π﹣4B．213π-C．π﹣2D．223π-例2.（2016山东省临沂市）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C．若∠ACB=30°，AB=3，则阴影部分的面积是（）A．32B．6πC．326π-D．336π-例3.（2016山东省潍坊市）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=23，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．15332π-B．15332π-C．7346π-D．7326π-。

与圆的切线有关的计算与证明

专题复习 : 与圆有关的证明与计算一、例题讲解例题 1：如图，AB 是⊙ O 的直径，过点 B 作⊙ O 的切线 BM ，弦 CD ∥ BM ，交 AB 于点 F ，且 DA=DC ，连接 AC ，AD ，延长 AD 交 BM 地点 E 。

M(1) 求证：△ ACD 是等边三角形；DE(2) 连接 OE ，若 DE=2，求 OE 的长。

AOBFC练习：如图，⊙ O 为△ ABC 的外接圆， BC 为⊙ O 的直径， AE 为⊙ O 的切线，过点 B 作BD ⊥ AE 于 D 。

（1）求证：∠ DBA=∠ ABC ；（2）如果 BD=1，tan ∠ BAD= 1，求⊙ O 的半径。

AD2EBOC例题 2：如图，以线段 AB 为直径作⊙ O ， CD 与⊙ O 相切于点 E ，交 AB 的延长线于点 D , 连接 BE , 过点 O OC BE 交切线 DE 于点 C , 连接 AC 。

作 ∥(1)求证： AC 是⊙ O 的切线；（）若BD=OB= 4 , 求弦 AE 的长。

2练习：如图， AB 是⊙ O 的直径，半径 OD 垂直弦 AC 于点 E ．F 是 BA 延长线上一点，CDBBFD 。

（1）判断 DF 与⊙ O 的位置关系，并证明；（2）若 AB=10， AC=8，求 DF 的长。

CD EFA OB1二、课堂练习1．如图，⊙ O是△ ABC 的外接圆， AB= AC ，BD是⊙ O的直径， PA∥BC，与 DB的延长线交于点 P，连接 AD。

（1）求证： PA是⊙ O的切线；（ 2）若 AB= 5，BC=4 ，求 AD的长。

2．如图，已知 BC是⊙ O的直径，AC切⊙ O于点 C，AB交⊙ O于点 D，E 为 AC的中点，连结 DE。

(1)若 AD＝DB， OC＝5，求切线 AC的长；(2)求证： ED是⊙ O的切线。

ADEBOC3．如图，△ ABC中， AB=AC，点 D 为 BC上一点，且 AD=DC，过 A，B，D 三点作⊙O，AE是⊙ O的直径，连结 DE．（ 1）求证： AC是⊙ O的切线；（2）若 sin C 4 ，，求⊙O 的直径．5AC=6AOEB DC 4．如图，△ ABC内接于⊙ O，OC⊥AB于点 E，点 D在 OC的延长线上，且∠ B=∠D=30°.（1）求证： AD是⊙ O的切线；（2）若AB6 3 ,求⊙O的半径．AOE CBD25．如图，已知 BC是⊙ O的直径，AC切⊙ O于点 C，AB交⊙ O于点 D，E 为 AC的中点，连结 DE。

中考数学与圆的切线相关的证明与计算

中考数学与圆的切线相关的证明与计算圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .一、圆的切线的判定及相关计算1.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O，与BC 交于点D，点E 是弧BD 的中点，连接AE 交BC 于点F，∠ACB＝2∠BAE .求证：AC 是⊙O 的切线．例题1图【分析】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE 可得到∠BAD＝∠BCA，再结合直径所对圆周角为直角即可得证．证明：如解图，连接AD.例题1解图∵点E 是弧BD 的中点，∴弧BE ＝弧DE，∴∠1＝∠2 .∵∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1，∴∠ACB＝∠BAD.∵AB为⊙O 直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴∠DAC＋∠C＝90°.∵∠C＝∠BAD，∴∠DAC＋∠BAD＝90°.∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC. 又∵AB 是⊙O 的直径，∴AC 是⊙O 的切线．证明切线的常用方法：1．直线与圆有交点，“连半径，证垂直”．(1) 图中有90°角时，证垂直的方法如下：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；②利用平行线性质证明垂直：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；③利用三角形全等或相似：通过证明切线和其他两边围成的三角形与含90°的三角形全等或相似得证．(2)图中无90°角时：利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线，再根据“三线合一”的性质得证．2．直线与圆无交点，“作垂线，证相等”．2.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，且弧AD＝弧CD , 过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线相交于点E，并与AB 的延长线相交于点F .(1) 求证：DF 是⊙O 的切线；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AC＝8，求DF 的长．例题2图【解析】(1) 证明：如解图，连接DO 并延长，与AC 相交于点P.例题2解图∵弧AD = 弧CD，∴DP⊥AC.∴∠DPC＝90°.∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°.∵∠C＝90°.∴∠ODF＝90°，而点D 在⊙O 上，∴DF 是⊙O 的切线；(2) 解：例题2解图∵∠C＝90°，R＝5，∴AB＝2R＝10.在Rt△ABC 中，根据勾股定理可得，BC＝6 .∵∠DPC＋∠C＝180°，∴PD∥CE.∴∠CBA＝∠DOF.∵∠C＝∠ODF，∴△ABC ∽△FOD.∴CA / DF = BC / OD , 即8 / DF = 6 / 5 ,∴DF = 20 / 3 .类型二、切线性质的相关证明与计算3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点B 作⊙O 的切线DE，与AC 的延长线交于点D，作AE⊥AC 交DE 于点E .(1) 求证：∠BAD＝∠E；(2) 若⊙O 的半径为5，AC＝8，求BE 的长．例题3图【解析】(1) 证明：∵⊙O 与DE 相切于点B，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°.∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°.∴∠BAD＝∠E；(2) 解：如解图，连接BC.例题3解图∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝8，AB＝2 ×5＝10 .∴在Rt△ACB 中，根据勾股定理可得BC = 6 .又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，∴△ABC ∽△EAB .∴AC / EB = BC / AB , 即8 / EB = 6 / 10 ,∴BE＝40 / 3 .4.如图，⊙O 的半径OA＝6，过点A 作⊙O 的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B 作BC∥OA，并与⊙O 交于点C，连接AC、CD.(1) 求证：DC∥AP；(2) 求AC 的长．例题4图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°.∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD＝90°.∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO.∴DC∥AP；(2) 解：∵AO∥BC，OD＝OB，例题4解图∴如解图，延长AO 交DC 于点E，则AE⊥DC，OE＝1/2 BC，CE＝1/2 CD.在Rt△AOP 中，根据勾股定理可得：OP＝10.由(1) 知，△AOP∽△CBD，∴BD/OP = BC/OA = CD/AP , 即12/10 = BC/6 = DC/8 ,∴BC = 36/5 , DC = 48/5 .∴OE = 18/5 , CE = 24/5 , AE = OA + DE = 6 + 18/5 = 48/5 ,在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：AC = 24√5 / 5 .5.如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线．作BM＝AB，并与AP 交于点M，延长MB 交AC 于点E，交⊙O 于点D，连接AD.(1) 求证：AB＝BE；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AB＝6，求AD 的长．例题5图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°. 又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE；(2) 解：如解图，连接BC.例题5解图∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝∠EAM＝90°，在Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6，根据勾股定理可得：BC = 8 . 由(1) 知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，AC/EM = BC/AM , 即10/2 = 8/AM ,∴AM = 48/5 .又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD.∴AD＝AM＝48/5 .。

《中考数学专题—与圆切线有关的计算和证明》教学设计

1《圆的切线的判定和性质》教学设计与反思学习目标：理解切线的判定定理和性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．重（难）点预见重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目：学习流程一、揭示目标二、自学指导 1.复习下列内容1、直线与圆的位置关系有几种？分别是那些关系？直线与圆的位置关系的判断方法有哪几种?2、直线与圆相切有哪几种判断方法？3、思考作图：已知：点A 为⊙o 上的一点，如和过点A 作⊙o 的切线呢？交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA 过A 点作OA 的垂线从作图中可以得出：经过_________________并且___________与这条半径的的直线是圆的切线思考：如图所示，它的数学语言该怎样表示呢？4、思考探索；如图，直线l 与⊙O 相切于点A ，OA 是过切点的半径，直线l 与半径OA 是否一定垂直？你能说明理由吗？小结：（1）圆的切线（）过切点的半径。

（2）一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的（）两条，就必然满足第三条。

5、例题精析：例1、（教材103页例1）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB 是⊙O 的切线。

oCAB例2.如图，点D 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过D 作DE ⊥OB 于E ，以DE 为半径作⊙D ，判断⊙D 与OA 的位置关系，并证明你的结论。

（无点作垂线证半径）方法小结：如何证明一条直线是圆的切线四、当堂检测1、下列说法正确的是（）A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线2、已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB 是⊙O 的切线.ACD COA3.：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。

精微专题有关切线的证明和计算

精微专题圆中有关切线的证明和计算【知识与方法】1. 切线的证明:① 有切点, 连半径, 证垂直 ②无切点, 作垂直, 证半径. 2. 圆中的有关计算常用的方法：① 利用特殊角进行计算 ② 利用勾股定理进行计算 ③ 构造垂径定理进行计算 ④ 利用面积法进行计算 ⑤ 利用相似进行计算【例】如图, 已知，直线MN 切⊙O 于点B, BC 是⊙O 的弦, ∠CBN ＝45°, 过点C 的直线交⊙O 于点A , 交直线MN 与点D , CE ⊥BD 于点E .① 求证: CE 是⊙O 的切线 ② 若∠ADB ＝30°, BD ＝2┼2 3 , 求⊙O 的半径R【解析】如图，①连接OB,OC ,则OB ⊥MN , ∠OBC ＝∠OCB ＝45°，又∵CE ⊥BD∴∠BCE ＝45° ∴∠OCE ＝90° ∴CE 是⊙O 的切线 ② 由 ①可知，四边形OCEB 是正方形，∵∠ADB ＝30°，∴DE ＝ 3 CE ＝ 3 BE ∴CE ＝BE ＝2 即⊙O 的半径R ＝2【针对练习】1. 如图, 已知点AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点F ，AD ⊥CF 于点D 交⊙O 于点E , DE ＝2，CD ＝4 ① 求证: AC 平分∠DAF ② 求⊙O 的半径长2. 如图, 已知点AB 切⊙O 于点B ，半径OC ⊥OA ，BC 交OA 于点P .① 求证: AP ＝AB② 若OB ＝4, AB ＝3, 求线段BP 的长.3. 如图, 已知PE 平分∠APB ，点O 是PE 上一点，作⊙O 切P A 于点C ，交PE 于点F ,G .① 求证: PB 是⊙O 的切线.② 若⊙O 的半径R ＝3，PC ＝4，求CF 的长.(例题图）(例题解答图）N（第1题）A(第2题)A（第3题）P4. 如图, 已知⊙O 的直径CD ＝6，A 、B 是⊙O 上两点，四边形OABC 是平行四边形，过点A 作EF ∥BD 分别CD 、CB 交的延长线于点E 、F . ① 求证: EF 是⊙O 的切线 ② 求线段AE 的长.5. 如图, 已知△ABC 内接于⊙O , BC 是⊙O 的直径，AD 平分∠BAC ,DP ∥BC 交AB 的延长线于点P .① 求证: PD 是⊙O 的切线② 当AB ＝6, AC ＝8时, 求线段BP 的长.6. 如图, 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝8，以AB 上一点O 为圆心作⊙O 分别与AC 、BC 相切于点D 、E , 与AB 的一个交点为F , DF 与CB 的延长线相交于点G .① 求证: CE ＝BE ② 求线段BG 的长.7. 如图, 已知AB 是⊙O 的直径, CB 、CD 分别切⊙O 于点B 、D, 延长CD 、BA 交于点E ，延长CO 交⊙O 于点G ，EF ⊥CG 于点F . ① 求证: ∠BEF ＝∠ECF② 若BC ＝6，DE ＝4，求线段EF 的长.8. 如图, 已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，∠ADC 的角平分线交AE 于点O , 以OA 为半径的⊙O 恰好经过B 点. ① 求证: CD 是⊙O 的切线.② 若BF ＝24，OE ＝5，求tan ∠ABC 的值.【答案简析】1．连接OC ,作OG ⊥AD 于点G ,在Rt △AOG 中，运用勾股定理求解得R ＝5 2. 作OH ⊥BC 于点H , 则OP ²－PH ²＝OC ²－CH ²＝OC ²－(CP －PH )² 求得 PH（第4题图）E(第5题图)C（第6题图）A（第7题图）EB（第8题图）＝BP ＝3.①连接OC ,作OH ⊥PB 于点H ,证OH ＝OC ②连接OG ,由△PCG ∽△PFC 可得CF＝2CG运用勾股定理求得CF ＝4. 连接OB ,证∠AOE ＝60°,又OA ＝3 ∴AE ＝3 35. 连接OD ,证OD ⊥PD ,由△BPD ∽△CDA 可得 BP ＝6. 连接OD,OE ,则CE ＝OD ＝OE ＝BE ,BG ＝BF ＝3 －37 .连接OD ,则CD ＝4 , BE ＝10, 由勾股定理可得 OD ＝3, 再由面积法得 EF ＝28. 作OH ⊥CD 于点H ,证OH ＝OA ；又连接OB ,BE ＝BF ＝12, ∴OB ＝OA ＝13,tan ∠ABC ＝（第1题解答图）FA(第2题解答图)A（第3题解答图）P（第4题解答图）EC(第5题解答图)C（第6题解答图）A（第7题解答图）EB（第8题解答图）。

中考专题提升与圆的切线有关的计算与证明

专题提升(十二)与圆的切线有关的计算与证明类型之一与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__．图Z12－1 经典母题答图【解析】如答图，连结OC.∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°，∴OP＝2OC＝2，∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.【思想方式】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，取得切线与半径垂直．【中考变形】[2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.(1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小；(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．图Z12－2解：(1)如答图①，连结AC，∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°；中考变形答图①中考变形答图②(2)如答图②，连结AD，在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°，∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.【中考预测】[2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.(1)求证：AP＝AB；(2)假设OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．图Z12－3 中考预测答图解：(1)证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴∠ABP＋∠OBC＝90°，∵OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，∴∠OCB＋∠CPO＝90°，∵∠APB＝∠CPO，∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；(2)如答图，作OH⊥BC于H.在Rt△OAB中，∵OB＝4，AB＝3，∴OA＝32＋42＝5，∵AP＝AB＝3，∴PO＝2.在Rt△POC中，PC＝OC2＋OP2＝25，∵12PC·OH＝12OC·OP，∴OH＝OP·OCPC＝455，∴CH＝OC2－OH2＝85 5，∵OH⊥BC，∴CH＝BH，∴BC＝2CH＝165 5，∴BP＝BC－PC＝1655－25＝655.类型之二与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图Z12－4，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．图Z12－4经典母题答图证明：如答图，连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB⊥OB，又∵OB为⊙O半径，∴AB是⊙O的切线．【思想方式】证明圆的切线经常使用两种方式“作半径，证垂直”或“作垂直，证半径”．【中考变形】1．[2016·黄石]如图Z12－5，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD ⊥CD.(1)假设BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)假设AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．图Z12－5 中考变形1答图解：(1)∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得AC＝4；(2)证明：如答图，连结OC，∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，∴直线CD是⊙O的切线．2．[2017·南充]如图Z12－6，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O 交AB于点D，E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)假设CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．图Z12－6 中考变形2答图【解析】(1)连结OD，欲证DE是⊙O的切线，需证OD⊥DE，即需证∠ODE ＝90°，而∠ACB＝90°，连结CD，依照“等边对等角”可知∠ODE＝∠OCE ＝90°，从而得证；(2)在Rt△ODF中，利用勾股定理成立关于半径的方程求解．解：(1)证明：如答图，连结OD，CD.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴∠BDC＝90°.又∵E为BC的中点，∴DE＝12BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直径为6.【中考预测】如图Z12－7，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E 在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)假设BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．图Z12－7 中考预测答图解：(1)证明：如答图，连结OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，∴∠BOD＝∠A，∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；(2)如答图，连结BD，过点D作DH⊥BF于点H.∵DE与⊙O相切，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ODB＋∠BDE＝90°，∵∠ACD＝∠OBD，∠OBD＝∠ODB，∴∠BDE＝∠BCD，∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，∵∠AFC＝∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，∴FH＝BH＝12BF＝1，∴HD＝DF2－FH2＝3，在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，即(OD－1)2＋32＝OD2，∴OD＝5.即⊙O的半径是5.。

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算（含答案解析）类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．【答案】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．【答案】(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，60°，即得AB=3BD=23，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=2AB= 6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC=BF+CF=6+2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．3.（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点AB BC CDE．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE=BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据 BCCD =得到BC=CD ，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD ，∵ AB BCCD ==，∴∠ADB=∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF=∠CBF ，∵ BCCD =，∴BC=CD ，∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF ．4.（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N ，利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA ，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴OE//BC ，DC=过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中，∠C=30°，∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ，∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．5.（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥，OM 平分CD ，则有6MC =，利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，根据CE EF =，AE FC ⊥，可得AF AC =，12∠=∠，利用圆周角定理可得2D ∠=∠，可得1D ∠=∠，利用直角三角形的两锐角互余，可证得90AGB ∠=︒，即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC ，∵M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥，OM 平分CD ，90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=．在Rt OMC △中．OC ===∴圆O 的半径为（2）证明：连接AC ，延长AF 交BD 于G ．CE EF = ，AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．∠是 AD所对的圆周角，6.（2021·浙江中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠=︒．30ACD∠的度数；（1）求DABAB=，求DF的（2）过点D作DE AB⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若4长．【答案】（1）60︒；（2）23【分析】（1）连结BD ，根据圆周角性质，得B ACD ∠=∠；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含30°角的直角三角形性质，得12AD AB =；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结BD ，30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒（2）90ADB ∠=︒ ，30B ∠=︒，4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ，DE AB ⊥，且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=．【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．7.（2021·湖南中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5CE =．【分析】（1）连接OD ，由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ，由DE//BC 得OD ⊥DE ，由OD 是半径可得DE 是切线；（2）证明△ODE 是等腰直角三角形，可求出OE 的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD 交BC 于点F ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴OD ⊥BC ，∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切；（2）∵AC 是O 的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得，OE =∴5CE OE OC =-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8.（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OB ，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒，再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可；（2）先求出∠COD ，然后再运用弧长公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OD∵30OAB ∠=︒，90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线；（2）∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．9.（2020•齐齐哈尔）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AC=CD =DB ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠BOD =13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，=CD =DB ，∵AC∴∠BOD=13×180°＝60°，=DB ，∵CD∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=62−32=33．10.（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=102−62=8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC•CE，∴CD=6×810=245．11.（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB AD==83，∴AD=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF AF=3，∴EF=3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43．类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.（2022·北部湾）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AE DE=23，AF=10，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE，∵AE DE=23，∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ，∠B=∠C ，则∠B=∠ODC ，推出OD ∥AB ，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE ⊥OD ，据此证明；（2）连接CF ，由（1）知OD ⊥DE ，则OD ∥AB ，易得OD 是△ABC 的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE ∥CF ，推出DE 是△FBC的中位线，得CF=2DE ，设AE=2x ，DE=3k ，CF=6k ，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k 的值，然后求出AC 、OA ，据此可得半径.14.（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA Ð=°，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE V V ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AC 是O 的直径，∴∠ABC=90°，∵PB 切O 于点B ，∴∠OBP=90°，∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBA OBC ∠=∠；（2）∵20PBA Ð=°，PBA OBC ∠=∠，∴20OBC ∠=︒，∵OB=OC ，∴20OCB OBC ∠=∠=︒，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB=20°，∵AC 是O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB ，∵40ACD ∠=︒，∴40ACD AOB ∠=∠=︒，∴OAB CDE V V ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．15.（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CE AC=AC AB，求出EC即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，=CD ，∴AC∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC=AC AB，∴CE6=610，∴CE＝3.6，∵OC=12AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．16.（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC=CD AD=12，∵AD＝8，∴CD＝4．17.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC=325，∴CD=AD2−AC2==245，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴OD AC=BD BC，∴5325=BD BD+245，∴BD=1207．18.（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BA=BF BD，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．19.（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，在Rt△AOP中，OP=62+82=10，由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DB OP=BC OA=DC AP，即1210=BC6=DC8，∴BC=365，DC=485，∴OE=185，CE=245，在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2==20（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．【答案】（1）见解析；（2）910【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC 是圆O 的切线；（2）根据已知得到OA=2DA ，证明△DCO ∽△DEB ，得到DO CO DB EB =，可得DA=310EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（1）如图，连接OC ，由题意可知：∠ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC ，OB 是圆O 的半径，∴OC=OB ，∴∠OCB=∠ABC ，又∵∠DCA=∠ABC ，∴∠DCA=∠OCB ，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC ⊥DC ，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF=BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CDB ，又BD=BD ，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF=BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．22.（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC 于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC=AD DC=23，推出AO OH=AE BH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，=AC ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC+∠C+∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =∴BC ＝2BH =23.（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC是O的切线：（2）若2,33OA BEOD==，求DA的长．【答案】（1）见解析；（2）9 10【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到DO CODB EB=，可得DA=310EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF的长．【答案】(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE= 90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．25.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD ，∠BDC =∠BAD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若tan∠BED =23，AC =9，求⊙O 的半径．【答案】（1）连接OD ，由圆周角定理得出∠ADB =90°，证出OD ⊥CD ，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC ，由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG 【分析】（1）连接OE ，证明OE ⊥EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA ．∵EF=PF ，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ，∴∠APH=∠EPF ，∴∠AEF=∠APH ．∵CD ⊥AB ，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF ．∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线，（2）∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =，则5FG x=由勾股定理得，4FH x=由（1）得，OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =，即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得，2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．27.（2022·黔东南）（1）请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；的中点，过点B的（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.【答案】（1）解：如下图所示（2）解：①如下图所示，连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角，∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示，连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆；【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.28.（2022·鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，∴BC AC=12，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC PA=PB PC=BC CA=12，∴PA=8，PB=2，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PB OP=PC PD，即25=4PD，∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；（2）根据三角函数的概念可得BC AC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.29.（2022·毕节）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：∵AC为圆O的切线，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，。