梯形辅助线作法(讲义)
梯形专题讲解
梯形专题培优训练常见辅助线的作法：典型题例1、如图所示．在直角三角形ABC 中，E 是斜边AB 上的中点，D 是AC 的中点，DF ∥EC 交BC 延长线于F ．求证：四边形EBFD 是等腰梯形．2、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，两条对角线交于E ，AC AB ⊥，且BC BD AC AB ==,. 求证：CE CD =.3、如图所示．直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，∠ADC=135°，CD 的垂直平分线交BC 于N ，交AB 延长线于F ，垂足为M ．求证：AD=BF ．4、如图所示．等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 所成的角∠AOB=60°，P ，Q ，R 分别是OA ，BC ，OD 的中点．求证：△PQR 是等边三角形．5、求证：两条对角线相等的梯形是等腰梯形.6、如图所示．直角梯形ABCD 中，∠C=90°，AD ∥BC ，AD+BC=AB ，E 是CD 的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE 的面积． 练习题一、选择题1、有如下命题：（1）有两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）有两条边相等的梯形是等腰梯形；（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形；（4）等腰梯形上，下底边中点的连线把等腰梯形分成面积相等的两部分。
其中正确的命题有（ ）个 A ．1 B. 2 C. 3 D. 42、等腰梯形上、下底差等于一腰的长，那么腰与下底的夹角是（ ）A ．︒75B ．︒60C ．︒45D ．︒303、下列说法正确的是（ ）A ．平行四边形是一种特殊的梯形B ．等腰梯形的两底角相等C ．等腰梯形不可能是直角梯形D ．有两个底角相等的梯形是等腰梯形 4、如图，梯形ABCD 中，CD AB //，对角线AC 、BD 交于O ，则图中面积相等的三角形有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对4题图 5题图 6题图5、如图，在梯形ABCD中，BCAD//，B∠与C∠互余，5=AD，13=BC，︒=∠60C，则该梯形面积是（）A．218 B．318 C．36 D．2366、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD＝4，BC＝8，则AE＋EF等于（）A．9 B．10 C．11 D．127、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2，∠B=60°，则下底BC的长是( )A．3 B．4 C． 23 D．2+238、如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，有如下四个结论：①AC=BD；②AC⊥BD；③等腰梯形ABCD是中心对称图形；④△AOB≌△DOC．则正确的结论是（）Ａ．①④Ｂ．②③④Ｃ．①②③Ｄ．①②③④8题图 9题图 10题图9、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，若AB＝AD＝CD，BD⊥CD，则∠C＝ ( )A．30° B．45° C．60° D．75°10、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M是AB的中点，若△DM C的面积为S，则梯形ABCD的面积为( ) A.52S B．2S C.74S D.94S二、填空题1、等腰梯形的上底是4 cm，下底是10 cm，一个底角是60°，则等腰梯形的腰长是______cm.2、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，BD＝4，AC＝3，则梯形ABCD的面积是。
第3课时：《平行四边形》(3)——梯形及梯形中常用的辅助线的作法
第3课时《四边形》（3）——梯形及梯形中常用的辅助线的作法【知识点拨】一、梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形判定定理：（1）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
（2）对角线相等的梯形是等腰梯形。
[例题1]1、下列命题中，正确的个数是（ ）①如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是等腰梯形②有两个角相等的梯形，一定是等腰梯形③一组对边平行，另一组对边相等的四边形事实上是等腰梯形④对角线相等的梯形是等腰梯形 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】：B2、已知梯形的两个对角分别是78和120，则另两个角分别为（ ） A ．78和120 B ．102和60C ．120和78 D ．60和120【答案】：Ｂ3、如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC E ∥，是AB 的中点， 若DEC △的面积为S ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．52S B ．2S C ．74SD ．94S 【答案】：B4、已知，如图所示，在等腰梯形ABCD 中，.AD BC PA PD =∥，求证：PB PC =． 【答案】：证明：四边形ABCD 是等腰梯形．.B A D C D A ∴∠=∠ 又PA PD =，1 2..B A P C D P∴∠=∠∴∠=∠在PBA △和PCD △中，A B D C B A P C D P P A =∠=∠=，，．..P B A P C DP B P C ∴∴=△≌△12ADCPBA E BCD第3题图5、已知，如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。
求证（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD ＝DE 【答案】：二、梯形的中位线的性质：梯形的中位线平行于上下底边，且等于上下底边长度的和的一半。
【全效学习 中考学练测】中考数学 第29课时 梯形课件(考点管理+归类探究+易错警示+课时作业,
(2)若AC⊥BD，AD＝3，S梯形ABCD＝16，求AB的长．
图29－2 解：(1)∵AD∥BC，AD＝CE， ∴四边形ADEC为平行四边形，∴AC＝DE. 又∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AC＝BD.∴BD＝DE.
(2)∵AC⊥BD，AC∥DE，∴BD⊥DE.
又∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠E＝45°， ∴∠OCB＝∠E＝45°＝∠DBE，∴OB＝OC.
图29－4
解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC. ∵∠DEC＝∠C，∴∠B＝∠C. 又∵四边形ABCD是梯形，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
[2011· 茂名]如图29－5，在等腰△ABC中，点D，E分
别是两腰AC，BC上的点，连结AE，BD相交于点O，∠1 ＝∠2. (1)求证：OD＝OE； (2)求证：四边形ABED是等腰梯形； (3)若AB＝3DE，△DCE的面积为2，求四边形ABED 的面积．
60°，∠B＝30°，AD＝CD＝6，则AB的长度为 ( C )
图29－1 A．9
B．12
C．18
D．＋3 3
归类探究
类型之一 等腰梯形的性质 [2013· 深圳]如图29－2，在等腰梯形ABCD中，
已知AD∥BC，AB＝DC，AC与BD交于点O，延长BC到
E，使得CE＝AD，连结DE. (1)求证：BD＝DE.
又∵∠DOE＝∠AOB，
∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB. ∵AD，BE是等腰三角形两腰上的线段， ∴AD与BE不平行， ∴四边形ABED是梯形． 又由(1)知△ABD≌△BAE， ∴AD＝BE，∴梯形ABED是等腰梯形．
(3)由(2)知DE∥AB，∴△DCE∽△ACB， DE 2 1 S△DCE DE2 2 ∴ ＝ ，即 ＝3DE ＝ ， AB 9 S△ACB S△ACB
全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)梯形是一种四边形，其中两条边是平行而另外两条边不平行。
在解决全等梯形问题时，我们可以使用一些辅助线的方法来简化问题并找到解答。
以下是常见的8种辅助线的作法，每种方法都附有答案解析。
1. 垂直辅助线法：垂直辅助线法是最基本的辅助线作法之一，它通过引入垂直辅助线来将梯形划分为上下两个小三角形或小梯形，并利用全等三角形的性质来解题。
2. 高度辅助线法：高度辅助线法通过引入高度辅助线来找到梯形的高，并利用相似三角形的性质来解题。
3. 中位线辅助线法：中位线辅助线法通过引入中位线辅助线来将梯形划分为两个全等的平行四边形，并利用平行四边形的性质来解题。
4. 对角线辅助线法：对角线辅助线法通过引入对角线辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
5. 平行边辅助线法：平行边辅助线法通过引入平行边辅助线来将梯形划分为两个全等的梯形，并利用梯形的性质来解题。
6. 外接圆辅助线法：外接圆辅助线法通过引入外接圆辅助线来找到梯形的外接圆，并利用外接圆的性质来解题。
7. 中心对称辅助线法：中心对称辅助线法通过引入中心对称辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
8. 连接线辅助线法：连接线辅助线法通过引入连接线辅助线来划分梯形并利用形成的图形的性质来解题。
这些辅助线的作法可以帮助我们在解决全等梯形问题时更简单而有条理地进行推导和解答。
通过灵活运用这些方法，我们可以提高解决问题的效率和准确性。
请注意：本文档中的答案解析仅供参考，具体解答的正确性应根据实际情况进行确认。
最新梯形常见辅助线作法(教师版)
梯形常见辅助线作法11、平移法2（1）梯形内平移一腰(过一顶点做腰的平行线)3［例1］如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠C＝60°，AD＝15cm，4BC＝49cm，求CD的长．5解：过D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED为平行四边形．6∴AD＝BE＝15cm，AB＝DE．7∴EC＝BC－BE＝BC－AD＝49－15＝34cm．8又∵AB＝CD，∴ DE＝CD．9又∵∠C＝60°，10∴△CDE是等边三角形，11即CD＝EC＝34cm．12（2）梯形外平移一腰(过一顶点做腰的平行线)13［例2］如图,在梯形ABCD中，AB∥CD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F. 求14证：EF=FB15证明：过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G16∴四边形ABGD是平行四边形∴AD=BG17∵ACED中，AD∥CE AD=CE18∴CE∥BG且CE=BG ∴∠CEF=∠GBF 19又∵∠CFE=∠GFB20∴△ECF≌△BGF( ASA)21∴EF=FB22 AD CEFB点评：过梯形上底或下底的一个端点作另一腰的平行线，可将梯形转化为一个平行四边形23和三角形。
24（3）梯形内平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到25同一个三角形中。
26［例3］如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，27∠C+∠B=90°，M，N分别是AD，BC的中点．28求证：MN＝1() 2BC AD29证明：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H ,30则四边形ABGE,EDCH为平行四边形∴AE=BG，ED=HC31∵AB∥EG ∴∠B=∠EGF32又∵DC∥EH ∴∠C=∠EHF33则∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°，△EGH是直角三角形34∵E、F分别是AD、BC的中点∴AE=ED，BF=CF ∴GF=FH 35则有EF=12GH=12(BC-BG-HC)=12(BC-AD)36（4）平移对角线(过一顶点做对角线的平行线）37[例4］求证：对角线相等的梯形是等腰梯形38已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线39求证：AB=DC40证明：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E 41B B则四边形ACED 是平行四边形 ∴AC=DE42 ∵DE=AC=DB ∴∠DBC=∠E ∠ACB=∠E ∴∠DBC=∠ACB 43 又∵BD=CA BC=CB ∴△ABC ≌△DCB(SAS) 44 ∴AB=DC45 点评：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将对角线的有关条件转化到一个三角形中。
解决梯形问题常添加的四种辅助线
分析 ： 有 些 学 生 看 到 条 件 Ｂ ＋ Ｃ ＝ ９ ０ 。 ， 想补成 以 Ｂ Ｃ 为斜 边 的直 角 三 角 形 ， 于是 延 长 Ｂ Ａ、 Ｃ Ｄ交 于 点 Ｇ， 再 连接 Ｇ Ｅ， 虽 然 得 出 的答 案 是 正 确 的 ， 但 没有 说 明 Ｅ、 Ｆ 、 Ｇ三点共线 （ 事 实 上我
Ａ Ｄ ＝ Ｂ Ｃ ． 因 此需 要 构造 全 等 三角 形 ． 故 分别 过 点 Ｃ 、 Ｄ作 Ｄ Ｅ上Ａ Ｂ ，
Ｃ Ｆ上ＡＢ， 垂 足 分 别 为 Ｅ、 Ｆ， 利用 Ｓ ＡＳ证 明 ＡＡＤＥ￣ ａＢＣ Ｆ， 问 题 得 以解 决 。
Ｅ分别作 Ｅ Ｎ ∥Ｄ Ｃ， Ｅ Ｍ∥Ａ Ｂ ， 可得出 Ｅ ＭＮ ＋ Ｅ Ｎ Ｍ＝ Ｂ ＋ ｃ ＝
差为 ６ ｃ ｍ， 腰长为 ６ ｃ ｍ． 求 梯形 中较小 内角 的度 数 。
例： 如图 （ ４ ） 在直角梯形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ， 若Ａ Ｄ ＝ ４ ， Ｂ Ｃ ＝ ７ ， Ｄ Ｃ ＝ ５ ，
则 Ａ Ｂ的长 为 多少 ？ 分析 ： 结 合 图形 ， 很 容 易 想 到 过点 Ａ作 Ａ Ｅ上Ｂ Ｃ交 Ｂ Ｃ 于点 Ｅ．可 得 矩 形 Ａ Ｅ Ｃ Ｄ 和 直 角 ＡＡ Ｅ Ｂ ，利 用 勾 股 定 理 求 得 Ａ Ｂ ＝
形 ： 若 对 角 线垂 直 ， 则 这个 三角 形 是 直 角 三 角 形 ； 若 对 角 线 相 等 又垂 直 ． 则 这个 三角 形 是 等 腰 直 角 三 角形 ， 这些结论的得出 ， 为
梯 形 是 一种 特 殊 的 四边 形 ， 在解 决 与 之相 关 的 问题 时 常 需要
用 特 殊 的 方法 来 处 理 。 即 当根 据 题 目的 已知 条 件 无 法 直 接求 解 或证明结论时． 就 需 要 我 们添 加 适 当 的辅 助 线 把 它 转 化 成较 熟
梯形常见辅助线作法(教案)
梯形常见辅助线作法(教案)第一章：梯形的基本概念1.1 梯形的定义介绍梯形的定义：一个四边形，其中两边平行，两边不平行。
强调梯形的两个底和两个腰的概念。
1.2 梯形的性质介绍梯形的性质：对角相等，同底边上的角互补。
解释梯形的高的概念，并说明高的作法。
第二章：梯形的画法2.1 画一个梯形介绍画梯形的步骤：先画两个平行的底，再画两个腰。
强调画梯形时要注意的要点，如保持直角和角度的准确性。
2.2 用尺规作图画梯形介绍用尺规作图画梯形的步骤：先画一个圆，再画两个与圆相切的直线，连接两个切点与圆的端点。
强调用尺规作图时要注意的要点，如保持半径和角度的准确性。
第三章：梯形的对称性3.1 梯形的轴对称性介绍梯形的轴对称性：梯形关于底边的中垂线对称。
解释对称轴的概念，并说明如何找到梯形的对称轴。
3.2 梯形的中心对称性介绍梯形的中心对称性：梯形绕其中心点对称。
解释中心点的概念，并说明如何找到梯形的中心点。
第四章：梯形的面积计算4.1 梯形的面积公式介绍梯形的面积公式：梯形的面积等于上底加下底的和乘以高除以2。
强调面积公式的应用，并解释如何将梯形的形状分解为更简单的形状。
4.2 梯形的面积计算实例通过实例讲解如何计算梯形的面积：先画出梯形的辅助线，应用面积公式。
强调在计算面积时要准确地测量和计算底边和高的长度。
第五章：梯形的应用5.1 梯形在实际问题中的应用介绍梯形在实际问题中的应用：例如，计算梯形形状的农田的面积。
解释如何将实际问题转化为梯形的面积计算问题。
5.2 梯形的实际测量和作图介绍如何进行梯形的实际测量和作图：使用尺子和直尺测量底边和高的长度，并用画图工具画出梯形的形状。
强调在实际测量和作图时要准确地测量和绘制图形。
第六章：梯形的平行线性质6.1 梯形平行线的性质介绍梯形平行线的性质：如果一个梯形有两对平行边，这两对平行边之间的对应角相等。
强调平行线性质在解决梯形问题中的应用。
6.2 利用平行线性质解题通过实例讲解如何利用梯形平行线性质解决问题：如已知梯形的一对平行线和一对对应角，如何求另一对对应角。
梯形中常用的辅助线
图 ５
例 ４ 在 课 外 活 动 课 上 ， 师 让 同学 们 老 做 ～个 对 角线 互相 垂直 的 等腰 梯形 形状 的风
Ａ Ｅ Ｂ Ｆ Ｂ Ｃ。Ｈ ？ Ｄ。 Ｇ ｝ Ｄ． 故 Ｅ ∥ Ｇ Ｆ ∥ Ｅ 即四边形 Ｅ Ｇ Ｆ Ｈ， Ｇ Ｈ， ＦＨ
是 平 行 四边形 ．
１ ＇
（ ）ｏ ｃ ６
（ ）０ Ｄ ６√
Ｄ
解 ：如 图 ４ 所 示 ， 点 Ｄ 作 过
构 造全 等 三角 形
Ｄ ／Ａ 交 Ｂ Ｅ／ Ｃ Ｃ的 延 长 线 于点 Ｅ， 则
四边 形 Ａ Ｅ 为 ＣＤ
Ｃ Ｅ
例 ６ 在梯形 Ａ Ｃ 中，Ｄ／ Ｂ ，Ｅ＝ ＢＤ Ａ ／ ＣＡ
Ｂ Ｄ Ｅ， Ｆ＝Ｃ 求 证 ： Ｆ．
故 Ｊ 形 ＝ Ａ Ｃ ）ｅ ｓ ＾ 去（Ｂ＋ Ｄ Ａ 梯黝
＝ ×２ ５× １ ２＝ １ ｏ． ５
Ｆ Ｇ是 三 角 形 的 中 位 线， 则
４ 平移 对 角线— — 构造 平行 四边形 和 以 ．
两条 对角 线为 边 的三 角形
Ｆ
Ｃ
Ｅ Ｉ Ｃ。Ｉ ／ Ｆ Ａ Ｆ Ｇ／
因为 Ａ Ｂ∥ Ｃ Ａ Ｄ， Ｐ∥ Ｂ ， 以 ， Ｃ所 四边形
ＡＣ Ｐ Ｂ是平 行 四边形 ． 因而有
ＡＰＤ ＝ Ｃ ＝３ 。 ＡＰ ＝ＢＣ， ０， ＡＢ ＝ ＰＣ ．
可得 Ｆ＝ ０， Ｆ Ｂ＝ Ｆ， Ｄ＝ Ｆ． ５￣ Ａ
则 Ｂ Ｆ＝Ａ ４ Ｃ Ｂ＝ ， Ｆ＝Ｃ Ｄ＝１ ． ０
１
Ｅ ／Ｂ ， Ｆ＝ １ Ａ ） Ｆ ／ Ｃ Ｅ （ Ｄ＋ ．
证 明 ： 图 如 ６ 联 结 Ａ 并 ， Ｆ
Ａ Ｄ
平 行 四边 形 ， 从
八年级上梯形讲义
梯 形知识要点：梯形是一种特殊的四边形，在解决有关梯形的问题时，常常需要借助辅助线，将其分割、拼接成三角形、（1）梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。
一般梯形（2）梯形的分类：梯形 直角梯形特殊梯形等腰梯形①有一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形（3）梯形的判定 ②一组对边平行但不相等的四边形是梯形①边：两底平行、两腰相等（4）等腰梯形的性质 ②角：同一底上的两个角相等③对角线：对角线相等④等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线是对称轴（5）等腰梯形的判定：① 两腰相等的梯形是等腰梯形② 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 ③ 对角线相等的梯形是等腰梯形一、 典型例题例1、如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ACD ＝600，点S 、P 、Q 分别是OD 、OA 、BC 的中点且PS=21AD 。
（1）求证：△PQS 是等边三角形；（2）若AB ＝8，CD ＝6，求PQS S 的值。
例2、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∠B ＋∠C ＝900，AD ＝7，BC ＝15，求EF 的长。
例3、如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，（1）若E 是AB 的中点，且AD ＋BC ＝CD ，则DE 与CE 有何位置关系？（2）若E 是∠ADC 与∠BCD 的角平分线的交点，则DE 与CE 有何位置关系？AB CDEA DE PCBF 第3题图例4、如图，梯形ABCD 的面积为32㎝2，两底与高的和为16㎝，如果其中一条对角线与两底垂直，求另一条对角线长。
例5、在直角梯形ACD 中，AD ∥BC, ∠B=90°,AD=24㎝, BC=26㎝.动点P 从A 开始沿边AD 向D 以每秒1㎝的速度运动，动点Q 从C 开始沿CB 边向B 以每秒3㎝的速度运动。
P,Q 两点分别从点A,点C 同时出发，当其中一 点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s) ⑴t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？ ⑵四边形PQCD 会为等腰梯形吗？说明理由。
梯形讲义
【讲义课题】：梯形及梯形的辅助线【考点及考试要求】一、学习目标：1. 掌握梯形的有关概念和基本性质。
2. 能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养分析问题能力和计算能力。
3. 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形的问题，体会图形变换的方法和转化的思想。
总结作梯形常见辅助线的方法，通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形的问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．二、重点、难点：重点：等腰梯形的性质及其应用。
难点：解决梯形问题的基本方法：将梯形转化为平行四边形或三角形及正确添加辅助线。
解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）。
三、考点分析：考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用梯形直角梯形的概念√等腰梯形的概念√等腰梯形的性质与判定√知识梳理一、梯形的定义和分类梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
（强调：①梯形与平行四边形的区别和联系；②上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是就位置来说的。
）1. 一些基本概念（如图）：底、腰、高。
2. 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
3. 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
二、梯形的性质梯形的上底和下底互相平行，两腰不平行。
三、等腰梯形的性质1. 等腰梯形同一底边上的两个角相等2. 等腰梯形的两条对角线相等3. 等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴四、等腰梯形的判定1. 有两腰相等的梯形是等腰梯形2. 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形五、梯形的中位线1. 定义：梯形两腰中点的连线2. 定理：梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半六、梯形的面积梯形的面积=（上底+下底）×高÷2=中位线×高七、梯形中常作的辅助线（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长，使其与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）。
怎样添加梯形的辅助线
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责任＿ 辑 ： 编 王二喜
梯 形 是一 种 特 殊 的 四边 形 ，在 处 理 梯形 问题 时 需 要添 加 适 当的
辅 助 线 ， 之转 化 为 三角 形 、 行 四边 形 ， 运用 相 关 知 识 加 以解 决 ． 使 平 再
如 何 添加 辅助 线 呢 ？一般 有 以下 几 种常 见 的方 法 ：
一
、
过 梯 形 上 底 或 下 底 的 一 个 端 点 作 另 一 腰 的 平 行 线 ， 造 出 一 构
个 平 行 四 边 形 和 一 个 三 角 形
例１ 如图１ ，在 等 腰 梯 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ， Ａ ／ Ｃ， Ｂ Ｃ Ｃ ６ 。Ａ １ｃ Ｂ ＝ Ｄ／ Ｂ Ａ ＝ Ｄ， ＝ ０ ， Ｄ＝ ５ ｍ， Ｃ
因 为Ａ ∞ ， 以 Ｄ ＝ ． ＝ 所 Ｅ ∞
又 Ｃ ６ 。 所 以 △Ｃ Ｅ 等 边 三角 形 ， Ｃ Ｅ ＝ ４ ＝０ ， Ｄ是 即 Ｄ＝ Ｃ ３ ．
二 、 上 底 作 下 底 的 垂 线 ， 造 一 个 矩 形 和 两 个 直 角 三 角 形 过 构
例２ 在等腰梯形Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ， ／ Ｃ， Ｄ Ｃ ４ 。 ＡＤ／ Ｂ Ｂ ＝ ５ ，高 Ｄ ＝ ０ ｍ． Ｅ １ｃ
四 、 底 边 的 一 个 端 点 作 对 角 线 的 平 行 线 ， 造 出 一 个 平 行 四 边 过 构 形 和 一 个 三 角 形
例 ４ 如 图 ４ 等 腰 梯 形Ａ Ｃ ， Ｂ Ｄ中 ， Ｂ／ＤＣ Ａ Ｂ 对 角 线Ａｃ上 Ａ ／ ， Ｄ＝ Ｃ， Ｄ 若 中位线 ＭＮ ８ｍ， 梯 形 的面 积 ． Ｂ， ＝ｃ 求 分析 ： 由于梯 形 的 面 积等 于 中位 线 乘 以 高 ， 时 只要 能求 出高 即 此 可 ， 是作高线Ｃ ， 于 Ｆ 由对 角 线Ａｃ上Ｄ 想 到过 点 ｃ Ｃ ／ Ｂ Ｂ的 Ｂ， 作 Ｅ／ Ｄ 交Ａ
数学人教版八年级下册第十八章梯形的中位线和常用辅助线--
（A）ab/2 D （B） ab （C）（ a+b）/2 F （D） ab/4
C
2
（二）、选择题：
1. 梯形中位线的长是高的2倍，面 积是18cm ，则梯形的中位线的长 是（ B）.
（A）6√2 cm （B）6 cm （C）3√2 cm 3 cm
（ D）
2. 如图，直角梯形ABCD的中位线 EF的长为a，垂直于底的 腰长 AB 为b， 图中阴影部分的面积 为（ A ）.
A
E
A D
E
B
F
C
梯形的中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半·
A
E D
∵EF是梯形ABCD的中位线
F ∴
EF ∥A D∥ BC
B
C
1 EF （AD+BC） 2
已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是 腰AB的中点，DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。
A E D
证明：（一） 延长DE交CB 延长线于F
A 15 B 8 F C ED Nhomakorabea构造旋转变换
其 他 方 法
F是梯形的腰DC的中点
A
D
F
B C
E
梯形ABCD面积与哪个图形面 积相等?
梯形中位线的定义
A D
E
B
F 连接梯形两腰中 点的线段叫梯形 的中位线
C
已知：点 E和F分别是梯形ABCD的腰 AB、DC的中点，猜想EF与AD+BC的 数量关系，以及EF与AD、BC的位置 关系，并加以证明。
54º
B
E
O
补 三 B
A
D C
角 1、 若梯形ABCD是等腰梯形时，
ΔOBC是什么三角形？
梯形问题中如何添加辅助线
、（／ ｘ３ ／Ｘ ＋ ／ － Ｖ ￣ － ６ －
＋１ ．
）： ， ：
、 （一 ／ ）：一 ／ ， ／４ 、了 ４ 、了
１ ＝２ １ １
所 以 １ｂ ３ 、 了 ． ，＝ 一 ／
所 以
一
所以６ 、百 一． ＝／ ２
所 以 一 １ 一
一
１． ８
四 、 算值 法 估
解： 因分是。 ／ １、 ，小数部分是ｂ那 ，
、 ／ （
一
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） ， ：
么求
＋
舱
所以０ 、 一． ＝／ １
又因为、 ／
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解： 因为ｘ２ 一 ／ ＝／ ｚ 、了 ＋ 、了 ） ／ １、 、４ ８ ／ （／ 一
２ ２年 ６ 月 ０１
关于整数 部分 ＼ 小数部分求
⑧黑龙 江 省肇 源 县三 站 中学 张 生
求 无 理 式 的整 数 部 分 、 数 部 分 是 经 常 出 现 的 问 题 ， 人 通 小 本
过 多 年 的 教 学 感 到 此 类 问题 可 以从 以下 几 方 面进 行 ．
一
所 以 ＡＢ Ｍ为 等 腰 三 角 形 ． 因 为 ＭＥ Ｃ 所 以Ｂ Ｃ 又 ＝ Ｅ， Ｅ上Ｃ ， Ｍ
即Ｃ Ｅ上ＢＥ ．
例５ 在 梯形Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ， ／ＡＢ， Ｂ ，若ＡＤ ５ Ｃ ２ ＤＣｌ ＡＤ＝ Ｃ ＝ ，Ｄ＝ ，
ＡＢ ８ 求 梯 形ＡＢ Ｄ 面 积． ＝， Ｃ的
小结 ： 在梯形 中 ， 只要有腰上 的中点 ， 采用过 中点构造全等
解： 通过作高Ｄ Ｃ 把这个梯形 分割成两个全等的直角三 Ｅ、Ｆ，
三 角形 ， 从而把上 下底之和 与另一条腰集 中在一个 三角形 中 ， 而
梯形中常见的辅助线(含答案)
梯形中常见的辅助线内容基本要求略高要求较高要求梯形会识别梯形、等腰梯形：了解等腰梯形的性质和判定.掌握梯形的槪念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题.例我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质•下而给出几个常见的添加辅助线的方法.1.作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，英好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股;4^理，如果过梯形的两个顶点分别作高•则会出现矩形•2.过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中•3.延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.4.过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.5.连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形.常见的辅助线添加方式如下:梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理.解题时要根据题目的条件和结论来确总作哪种辅助线.常见辅助线1.梯形问题通常是通过分割和拼接转化为三角形或平行四边形，英分割拼接的方法有如下几种（如图）:1,把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1所示）:【答案】（1）作一腰的平行线； （2）作另一底边的垂线： （3）作对角线的平行线:（4）交于一点：（5）对称中心： （6）对称轴.【例1】 等腰梯形ABCD 中，AD//BC,若AD=3, AB=4・ BC=7,则ZB= 【答案】60° 如图，直角梯形ABCD 中，AB//CD. CB 丄AB, △ABD 是等边三角形，若AB=2,则BC=在梯形ABCD 中，AD//BC. AD=5, BC=7.若E 为DC 的中点，対线交BC 的延长线于F 点，则BF= •梯形ABCD 中.AD//BC,若对角线AC 丄BD ■且AC=5cm. BD=12cm,则梯形的而积等于（（1）平移一腰，即从梯形的一个顶点（2）从同一底的两端. ,把梯形分成一个矩形和两个宜角三角形（图2所示）;（3）平移对角线，即过底的一端图2，可以借助新得的平行四边形或三角形来研究梯形（图3所示）:（4）延长梯形的两腰.图3,得到两个三角形，如果梯形是等腰梯形，则得到两个等腰三角形（图4所示）:（5）以梯形一腰的中点为.图4,作某图形的中心对称图形（图5、图6所（6）以梯形一腰为.图5 图6,作梯形的轴对称图形（图7所【例2】【答案】 73【例3】【答案】 12 【例4】 A. 30cw- B. 60CW' C- 90cm~2D- } 69 cm-【例10】如图，等腰梯形ABCD 中，AB//CD.对角线AC 平分Z BAD, ZB=60。
梯形中添加辅助线的六种常用技巧
梯形中添加辅助线的六种常用技巧在几何学中，梯形是一种具有两条平行边的四边形。
为了解决梯形问题，往往需要在梯形中添加辅助线。
下面介绍六种常用的技巧。
1.连接两个对角线：首先，连接梯形的两个非平行边的中点，形成一条对角线。
然后，连接梯形的两个对角线中点，即可形成两个等腰三角形。
这样，可以通过等腰三角形性质来得到有关角度和边长的信息。
2.连接平行边的中点：将梯形的两条平行边的中点相连，可以形成一条平行于两条平行边的线段。
这条线段将梯形分成两个平行四边形，从而可以根据平行四边形的性质来解决问题。
3.连接一条平行边的中点和另一条边的中点：将梯形的一条平行边的中点和与之相对的边的中点连接，可以形成一条平行于梯形的底边的中线。
这样，可以通过中线分割线段的性质来得到有关线段和平行边的信息。
4.连接底边的中点和非平行边的中点：将梯形的底边的中点和非平行边的中点连接，可以形成一条平行于两条平行边的线段。
这样，可以根据平行四边形的性质来推导出梯形内部各部分的关系。
5.连接两个顶点和底边上的中点：将梯形的两个顶点和底边上的中点相连，可以得到两个等腰三角形。
利用等腰三角形的性质，可以推导出梯形的各个部分的角度和边长关系。
6.连接梯形的顶点和对角线交点：将梯形的两个顶点和另一条对角线的交点相连，可以形成一个三角形。
根据三角形的性质，可以得到角度和边长的关系，进而解决梯形问题。
这些添加辅助线的技巧可以帮助我们更好地理解和解决梯形问题。
通过巧妙地添加辅助线，可以将原来复杂的问题转化为简单的几何形状，从而更容易得到解答。
在解决梯形问题时，我们可以根据具体情况选择适合的添加辅助线的技巧，以便更加高效地解决问题。
第48讲梯形--梯形常见辅助线做法
梯形---梯形常见辅助线做法
梯形的定义：
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
梯形的性质：
等腰梯形的对角线相等，且分成的四个小三角形中，有两个是全等
的(即以两腰为一边的两个三角形)，另外两个都是等腰三角形。
等腰梯形的同一底边上的两底角相等，从而延长两腰相交后成为等
梯形中的基本辅助线
腰三角形。
1
梯形的中位线平行于底边，且等于两底边之和的
2
【例1】如图所示，已知梯形ABCD中，DC∥AB，BD＝AD，AC＝AB，∠ADB＝90°。
⑴求证：∠CAB＝30°；
⑵若BD和AC交于E，求证：BE＝BC。
【例2】⑴已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC＝5，BD＝12。
求：梯形ABCD中位线的长。
1
【例2】⑵如图，等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，
对角线AC⊥BD于O，若DC＝12cm，AB＝28cm 。
求梯形的高。
【例2】⑶如图所示，在等腰梯形ABCD中，AC＝
BC＋AD，则∠DBC的度数。
【例3】在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别
1
是AD、BC的中点，EF＝
2
(BC－AD)，
【例4】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC
＝8，M是AB的中点，若MD⊥CD，则梯形的面积
是。
则∠B＋∠C＝。
2。
八年级人教版19.3梯形常用辅助线课件
A
4
B
2
解：（平移腰） 过B作BE∥AD交DC于E
则∠ 1= ∠ D=70°, ∵AB//CDDE=AB=4
70°
40° 11
D
E
7
∵△BCE中， ∠ C=40°∠1=70° C ∴ ∠ 2= ∠1= 70 °
分析: ∠D =70 °, ∠∴CB=CE=CD─DE=11—4=7(cm) C=40° 在一个三角形中结果会如何? 如何才能在一个三角形中?
例2：已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点，
DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。 A 证明：（一）延长DE交CB延长线于F D ∵在梯形ABCD中AD//B ,∠A= ∠ ABF
E
∴ AE=BE,∠A= ∠ ABF,∠ AED= ∠ BEF ∴ ΔADE≌ΔBFE
F B
C ∴ DE=FE，AD=BF
如图，直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的 腰长 AB 为b， 图中阴影部分的面积为（ A ）.
A D
（A）ab/2 （C） （ a+b）/2
（B） ab （D） ab/4
E B
F C
（三）、如图,梯Biblioteka ABCD中, AD∥BC, ∠B=60 °, ∠ C=45 AB= 2 3 , AD=2,求梯形周长.
F
B
C
变式2：已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点， DE平分∠ADC，CE平分∠BCD, 求证： AD+BC=CD, DE ⊥CE
A
E
D
F
B
C
已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点， DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。